Ce trebuie să știți despre pictogramele inegalității? Inegalități de pictograme Mai mult (> ), sau mai mici (< ) sunt numite strict. Cu icoane mai mult sau egal (≥ ), mai putin sau egal (≤ ) sunt numite nestrict. Pictogramă nu este egal (≠ ) stă singur, dar trebuie să rezolvați tot timpul exemplele cu o astfel de pictogramă. Și noi vom.)

Pictograma în sine nu are prea mult efect asupra procesului de soluție. Dar la finalul soluției, la alegerea răspunsului final, sensul pictogramei apare cu forță! După cum vom vedea mai jos, în exemple. Sunt niste glume...

Inegalitățile, ca și egalitățile, sunt credincios și necredincios. Totul este simplu aici, fără trucuri. Să zicem 5 > 2 este inegalitatea corectă. 5 < 2 este incorect.

O astfel de pregătire funcționează pentru inegalități orice felși simplu de groază.) Trebuie doar să executați corect două (doar două!) acțiuni elementare. Aceste acțiuni sunt familiare tuturor. Dar, ceea ce este tipic, stâlpii din aceste acțiuni sunt principala greșeală în rezolvarea inegalităților, da... Prin urmare, aceste acțiuni trebuie repetate. Aceste acțiuni se numesc astfel:

Transformări identitare ale inegalităților.

Transformările identitare ale inegalităților sunt foarte asemănătoare cu transformările identitare ale ecuațiilor. De fapt, aceasta este principala problemă. Diferențele trec pe lângă cap și... au sosit.) Prin urmare, voi evidenția aceste diferențe în special. Deci, prima transformare identică a inegalităților:

1. Același număr sau expresie poate fi adăugat (scăzut) la ambele părți ale inegalității. Orice. Semnul inegalității nu se va schimba.

În practică, această regulă se aplică ca un transfer de termeni din partea stângă a inegalității în partea dreaptă (și invers) cu o schimbare de semn. Cu o schimbare a semnului termenului, nu inegalitate! Regula unu-la-unu este aceeași cu regula pentru ecuații. Dar următoarele transformări identice în inegalități diferă semnificativ de cele în ecuații. Așa că le evidențiez cu roșu:

2. Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite (împărțite) cu același lucrupozitivnumăr. Pentru oricepozitiv Nu se va schimba.

3. Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite (împărțite) cu același lucrunegativ număr. Pentru oricenegativnumăr. Semnul inegalității de aicise va schimba la invers.

Vă amintiți (sperați...) că o ecuație poate fi înmulțită/împărțită cu orice. Și pentru orice număr și pentru o expresie cu x. Atâta timp cât nu este zero. El, ecuația, nu este nici cald, nici rece din asta.) Nu se schimbă. Dar inegalitățile sunt mai sensibile la înmulțire/împărțire.

Un bun exemplu pentru o memorie lungă. Scriem o inegalitate care nu provoacă îndoieli:

5 > 2

Înmulțiți ambele părți cu +3, primim:

15 > 6

Există obiecții? Nu există obiecții.) Și dacă înmulțim ambele părți ale inegalității originale cu -3, primim:

15 > -6

Și aceasta este o minciună totală.) O minciună completă! Păcălirea oamenilor! Dar, de îndată ce semnul inegalității este inversat, totul cade la locul său:

15 < -6

Despre minciuni și înșelăciune - nu jur doar.) „Am uitat să schimb semnul inegalității...”- Acest Acasă eroare în rezolvarea inegalităților. Această regulă banală și necomplicată a rănit atât de mulți oameni! Care au uitat...) Așa că jur. Poate iti amintesti...)

Cei care sunt deosebit de atenți vor observa că inegalitatea nu poate fi înmulțită cu o expresie cu x. Respect atent!) Și de ce nu? Răspunsul este simplu. Nu cunoaștem semnul acestei expresii cu x. Poate fi pozitiv, negativ... Prin urmare, nu știm ce semn de inegalitate să punem după înmulțire. O schimbi sau nu? Necunoscut. Desigur, această limitare (interdicția înmulțirii / împărțirii unei inegalități cu o expresie cu x) poate fi ocolită. Dacă chiar ai nevoie de el. Dar acesta este un subiect pentru alte lecții.

Toate acestea sunt transformări identice ale inegalităților. Permiteți-mi să vă reamintesc din nou că lucrează pentru orice inegalităților. Și acum puteți trece la anumite tipuri.

Inegalități liniare. Soluție, exemple.

Inegalitățile liniare se numesc inegalități în care x este de gradul întâi și nu există împărțire cu x. Tip:

x+3 > 5x-5

Cum se rezolvă aceste inegalități? Sunt foarte usor de rezolvat! Și anume: cu ajutorul reducem cea mai confuză inegalitate liniară direct la răspuns. Asta e toata solutia. Voi evidenția punctele principale ale soluției. Pentru a evita greșelile stupide.)

Rezolvăm această inegalitate:

x+3 > 5x-5

Rezolvăm în același mod ca o ecuație liniară. Cu singura diferenta:

Atenție mare la semnul inegalității!

Primul pas este cel mai comun. Cu x - la stânga, fără x - la dreapta ... Aceasta este prima transformare identică, simplă și fără probleme.) Nu uitați să schimbați semnele membrilor transferați.

Se păstrează semnul inegalității:

x-5x > -5-3

Va prezentam altele asemanatoare.

Se păstrează semnul inegalității:

4x > -8

Rămâne de aplicat ultima transformare identică: împărțiți ambele părți la -4.

Împarte la negativ număr.

Semnul inegalității va fi inversat:

X < 2

Acesta este răspunsul.

Așa se rezolvă toate inegalitățile liniare.

Atenţie! Punctul 2 este desenat alb, adică. nevopsite. Gol în interior. Asta înseamnă că ea nu este inclusă în răspuns! Am desenat-o atât de sănătoasă intenționat. Un astfel de punct (gol, nu sănătos!)) în matematică se numește punct punctat.

Numerele rămase pe axă pot fi marcate, dar nu sunt necesare. Numerele străine care nu au legătură cu inegalitatea noastră pot fi confuze, da ... Trebuie doar să rețineți că creșterea numerelor merge în direcția săgeții, adică. numerele 3, 4, 5 etc. sunteți La dreapta doi și numerele 1, 0, -1 etc. - La stânga.

Inegalitatea x < 2 - strict. X este strict mai mic de doi. Când aveți îndoieli, verificarea este simplă. Inlocuim un numar indoielnic in inegalitate si ne gandim: "Doi este mai mic decat doi? Bineinteles ca nu!" Exact. Inegalitatea 2 < 2 gresit. Un doi nu este bun pentru un răspuns.

Un singur este suficient de bun? Cu siguranță. Mai puțin... Și zero este bun și -17 și 0,34... Da, toate numerele care sunt mai mici de doi sunt bune! Și chiar și 1.9999 .... Măcar puțin, dar mai puțin!

Deci marcam toate aceste numere pe axa numerelor. Cum? Există opțiuni aici. Prima opțiune este eclozarea. Plasăm mouse-ul peste imagine (sau atingem imaginea de pe tabletă) și vedem că zona x-urilor bilei care se potrivește cu condiția x este umbrită < 2 . Asta e tot.

Să luăm în considerare a doua opțiune din al doilea exemplu:

X ≥ -0,5

Desenați o axă, marcați numărul -0,5. Ca aceasta:

Ai observat diferența?) Ei bine, da, e greu să nu observi... Acest punct este negru! Pictat peste. Aceasta înseamnă că -0,5 incluse în răspuns. Aici, apropo, verifică și încurcă pe cineva. Inlocuim:

-0,5 ≥ -0,5

Cum așa? -0,5 este nimic mai mult de -0,5! Există mai multe pictograme...

E bine. Într-o inegalitate nestrictă, tot ceea ce se potrivește pictogramei este potrivit. Și egală se potrivesc şi Mai mult bun. Prin urmare, -0,5 este inclus în răspuns.

Deci, am marcat -0,5 pe axă, rămâne de marcat toate numerele care sunt mai mari de -0,5. De data aceasta marchez intervalul de valori x potrivite cătuşe(din cuvânt arc) mai degrabă decât eclozare. Treceți cu mouse-ul peste imagine și vedeți acest arc.

Nu există nicio diferență specială între hașurare și arcade. Fă cum spune profesorul. Dacă nu există profesor, trageți brațele. În sarcinile mai complexe, eclozarea este mai puțin evidentă. Poți fi confuz.

Așa sunt desenate inegalitățile liniare pe axă. Trecem la următoarea singularitate a inegalităților.

Scrieți un răspuns pentru inegalități.

A fost bine în ecuații.) Am găsit x și am notat răspunsul, de exemplu: x \u003d 3. În inegalități, există două forme de scriere a răspunsurilor. Unu - sub forma inegalității finale. Bun pentru cazuri simple. De exemplu:

X< 2.

Acesta este un răspuns complet.

Uneori se cere să scrieți același lucru, dar într-o formă diferită, prin goluri numerice. Apoi intrarea începe să pară foarte științifică):

x ∈ (-∞; 2)

Sub icoană ∈ ascunzând cuvântul „aparține”.

Intrarea sună astfel: x aparține intervalului de la minus infinit la doi neincluzând. Destul de logic. X poate fi orice număr din toate numerele posibile de la minus infinit la doi. Dublul X nu poate fi, ceea ce ne spune cuvântul "neincluzând".

Unde este în răspunsul că "neincluzând"? Acest fapt este notat în răspuns. rundă paranteză imediat după deuce. Dacă doi s-ar include, paranteza ar fi pătrat. Iată-l: ]. Următorul exemplu folosește o astfel de paranteză.

Să notăm răspunsul: x ≥ -0,5 prin intervale:

x ∈ [-0,5; +∞)

Citeste: x aparține intervalului de la minus 0,5, inclusiv, până la plus infinit.

Infinitul nu se poate porni niciodată. Nu este un număr, este un simbol. Prin urmare, în astfel de intrări, infinitul coexistă întotdeauna cu o paranteză.

Această formă de înregistrare este convenabilă pentru răspunsuri complexe constând din mai multe lacune. Dar - doar pentru răspunsurile finale. În rezultatele intermediare, unde se așteaptă o soluție ulterioară, este mai bine să folosiți forma obișnuită, sub forma unei inegalități simple. Ne vom ocupa de asta în subiectele relevante.

Sarcini populare cu inegalități.

Inegalitățile liniare în sine sunt simple. Prin urmare, sarcinile devin adesea mai dificile. Deci, să cred că era necesar. Acest lucru, dacă din obișnuință, nu este foarte plăcut.) Dar este util. Voi arăta exemple de astfel de sarcini. Nu pentru tine să le înveți, este de prisos. Și pentru a nu vă teme când vă întâlniți cu exemple similare. Un pic de gândire - și totul este simplu!)

1. Găsiți oricare două soluții pentru inegalitatea 3x - 3< 0

Dacă nu este foarte clar ce să faceți, amintiți-vă de regula principală a matematicii:

Dacă nu știi ce să faci, fă ce poți!

X < 1

Şi ce dacă? Nimic special. Ce ni se cere? Ni se cere să găsim două numere specifice care sunt soluția unei inegalități. Acestea. se potrivește cu răspunsul. Două orice numerele. De fapt, acest lucru este jenant.) Câteva 0 și 0,5 sunt potrivite. Un cuplu -3 și -8. Da, există un număr infinit de aceste cupluri! Care este răspunsul corect?!

Eu raspund: totul! Orice pereche de numere, fiecare dintre ele mai mică de unu, ar fi raspunsul corect. Scrie ce vrei. Să mergem mai departe.

2. Rezolvați inegalitatea:

4x - 3 ≠ 0

Lucrări de genul acesta sunt rare. Dar, ca inegalități auxiliare, la găsirea ODZ, de exemplu, sau la găsirea domeniului unei funcții, acestea sunt întâlnite tot timpul. O astfel de inegalitate liniară poate fi rezolvată ca o ecuație liniară obișnuită. Doar peste tot, cu excepția semnului „=" ( egală) pune semnul " ≠ " (nu este egal). Deci veți ajunge la răspuns, cu un semn de inegalitate:

X ≠ 0,75

În exemple mai complexe, este mai bine să faci lucrurile diferit. Faceți inegalitatea egală. Ca aceasta:

4x - 3 = 0

Rezolvați-l cu calm așa cum ați învățat și obțineți răspunsul:

x = 0,75

Principalul lucru, la sfârșit, când notăm răspunsul final, este să nu uităm că am găsit x, care dă egalitate.Și avem nevoie de - inegalitate. Prin urmare, pur și simplu nu avem nevoie de acest X.) Și trebuie să-l notăm cu pictograma corectă:

X ≠ 0,75

Această abordare duce la mai puține erori. Cei care rezolvă ecuații pe mașină. Și pentru cei care nu rezolvă ecuații, inegalitățile, de fapt, sunt inutile ...) Un alt exemplu de sarcină populară:

3. Găsiți cea mai mică soluție întreagă a inegalității:

3(x - 1) < 5x + 9

În primul rând, rezolvăm pur și simplu inegalitatea. Deschidem parantezele, transferăm, dăm altele similare... Obținem:

X > - 6

Nu s-a întâmplat!? Ai urmat indicatoarele? Și în spatele semnelor membrilor și în spatele semnului inegalității...

Să ne imaginăm din nou. Trebuie să găsim un anumit număr care să se potrivească atât cu răspunsul, cât și cu condiția „cel mai mic număr întreg”. Dacă nu vă prinde imediat, puteți pur și simplu să luați orice număr și să-l dați seama. Doi este mai mare decât minus șase? Cu siguranță! Există un număr mai mic potrivit? Desigur. De exemplu, zero este mai mare decât -6. Și chiar mai puțin? Avem nevoie de cel mai mic posibil! Minus trei este mai mult decât minus șase! Poți deja să prinzi modelul și să nu mai trimiți prostește numerele, nu?)

Luăm un număr mai aproape de -6. De exemplu, -5. Răspuns executat, -5 > - 6. Puteți găsi un alt număr mai mic de -5 dar mai mare de -6? Puteți, de exemplu, -5,5 ... Stop! Ni s-a spus întreg decizie! Nu se rostogolește -5,5! Ce zici de minus șase? Eee! Inegalitatea este strictă, minus 6 nu este mai puțin decât minus 6!

Deci răspunsul corect este -5.

Sper că totul este clar cu alegerea valorii din soluția generală. Alt exemplu:

4. Rezolvați inegalitatea:

7 < 3x+1 < 13

Cum! O astfel de expresie se numește inegalitate triplă. Strict vorbind, aceasta este o notație prescurtată a sistemului de inegalități. Dar mai trebuie să rezolvi astfel de inegalități triple în unele sarcini... Se rezolvă fără sisteme. Prin aceleași transformări identice.

Este necesar să simplificăm, să aducem această inegalitate la un X pur. Dar... Ce să transferi unde!? Aici este momentul să ne amintim că schimbarea stânga-dreapta este formă scurtată prima transformare identică.

Și forma completă arată astfel: Puteți adăuga/scădea orice număr sau expresie la ambele părți ale ecuației (inegalitate).

Sunt trei părți aici. Deci vom aplica transformări identice tuturor celor trei părți!

Deci, să scăpăm de cel din partea de mijloc a inegalității. Scădeți unul din toată partea de mijloc. Pentru ca inegalitatea să nu se modifice, scădem una din celelalte două părți. Ca aceasta:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Deja mai bine, nu?) Rămâne să împărțim toate cele trei părți în trei:

2 < X < 4

Asta e tot. Acesta este răspunsul. X poate fi orice număr de la doi (neincluzând) la patru (neincluzând). Acest răspuns este scris și la intervale, astfel de intrări vor fi în inegalități de pătrat. Acolo sunt cel mai comun lucru.

La sfârșitul lecției, voi repeta cel mai important lucru. Succesul în rezolvarea inegalităților liniare depinde de capacitatea de a transforma și simplifica ecuațiile liniare. Dacă în acelaşi timp urmați semnul inegalității, nu vor fi probleme. Ce iti doresc eu. nici o problema.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

De exemplu, expresia \(x>5\) este o inegalitate.

Tipuri de inegalități:

Dacă \(a\) și \(b\) sunt numere sau , atunci inegalitatea este numită numeric. De fapt, aceasta este doar o comparație a două numere. Aceste inegalități sunt împărțite în credinciosși necredincios.

De exemplu:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) este o inegalitate numerică nevalidă deoarece \(17+3=20\) și \(20\) este mai mic decât \(115\) (nu este mai mare sau egal cu).

Dacă \(a\) și \(b\) sunt expresii care conțin o variabilă, atunci avem inegalitatea cu variabila. Astfel de inegalități sunt împărțite în tipuri în funcție de conținut:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Variabil doar la prima putere
\(3x^2-x+5>0\)				Există o variabilă în a doua putere (pătrat), dar nu există puteri superioare (a treia, a patra etc.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... etc.

Care este soluția la o inegalitate?

Dacă orice număr este înlocuit în inegalitate în loc de o variabilă, atunci se va transforma într-un număr numeric.

Dacă valoarea dată pentru x face ca inegalitatea originală să fie adevărată numerică, atunci este numită rezolvarea inegalitatii. Dacă nu, atunci această valoare nu este o soluție. Și a rezolva inegalitatea- trebuie să-i găsești toate soluțiile (sau să arăți că nu există).

De exemplu, dacă ne aflăm în inegalitatea liniară \(x+6>10\), înlocuim numărul \(7\) în loc de x, obținem inegalitatea numerică corectă: \(13>10\). Și dacă înlocuim \(2\), va exista o inegalitate numerică incorectă \(8>10\). Adică, \(7\) este o soluție la inegalitatea originală, dar \(2\) nu este.

Totuși, inegalitatea \(x+6>10\) are alte soluții. Într-adevăr, vom obține inegalitățile numerice corecte când înlocuim și \(5\), și \(12\), și \(138\) ... Și cum putem găsi toate soluțiile posibile? Pentru a face acest lucru, folosiți Pentru cazul nostru, avem:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Adică putem folosi orice număr mai mare de patru. Acum trebuie să scriem răspunsul. Soluțiile la inegalități, de regulă, sunt scrise numeric, marcându-le suplimentar pe axa numerică cu hașurare. Pentru cazul nostru avem:

Răspuns: \(x\in(4;+\infty)\)

Când se schimbă semnul într-o inegalitate?

Există o mare capcană în inegalități, în care studenților „le place” să cadă:

Când înmulțiți (sau împărțiți) inegalitatea cu un număr negativ, aceasta este inversată („mai mare decât” cu „mai puțin”, „mai mare decât sau egal cu” cu „mai mică sau egală cu”, și așa mai departe)

De ce se întâmplă asta? Pentru a înțelege acest lucru, să ne uităm la transformările inegalității numerice \(3>1\). Este corect, triplul este într-adevăr mai mult decât unul. Mai întâi, să încercăm să-l înmulțim cu orice număr pozitiv, de exemplu, doi:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

După cum puteți vedea, după înmulțire, inegalitatea rămâne adevărată. Și indiferent ce număr pozitiv înmulțim, vom obține întotdeauna inegalitatea corectă. Și acum să încercăm să înmulțim cu un număr negativ, de exemplu, minus trei:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Sa dovedit a fi o inegalitate incorectă, deoarece minus nouă este mai puțin decât minus trei! Adică, pentru ca inegalitatea să devină adevărată (ceea ce înseamnă că transformarea înmulțirii cu un negativ a fost „legală”), trebuie să răsturnați semnul de comparație, astfel: \(−9<− 3\).
Cu divizare, se va dovedi similar, îl puteți verifica singur.

Regula scrisă mai sus se aplică tuturor tipurilor de inegalități, și nu doar celor numerice.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea \(2(x+1)-1<7+8x\)
Decizie:

\(2x+2-1<7+8x\)	Să ne mișcăm \(8x\) la stânga și \(2\) și \(-1\) la dreapta, fără a uita să schimbăm semnele
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Împărțiți ambele părți ale inegalității la \(-6\), fără a uita să schimbați de la „mai puțin” la „mai mare”
	Să marchem un interval numeric pe axă. Inegalitatea, deci valoarea \(-1\) este „eliminată” și nu o luăm ca răspuns
	Să scriem răspunsul ca un interval

Răspuns: \(x\in(-1;\infty)\)

Inegalități și DHS

Inegalitățile, precum și ecuațiile, pot avea restricții asupra , adică asupra valorilor lui x. În consecință, acele valori care sunt inacceptabile conform ODZ ar trebui excluse din intervalul de soluție.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea \(\sqrt(x+1)<3\)

Decizie: Este clar că, pentru ca partea stângă să fie mai mică decât \(3\), expresia rădăcină trebuie să fie mai mică decât \(9\) (la urma urmei, de la \(9\) doar \(3\)). Primim:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

Toate? Orice valoare a lui x mai mică decât \(8\) ne va potrivi? Nu! Pentru că dacă luăm, de exemplu, valoarea \(-5\) care pare să se potrivească cerinței, aceasta nu va fi o soluție la inegalitatea inițială, deoarece ne va conduce la calcularea rădăcinii unui număr negativ.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Prin urmare, trebuie să luăm în considerare și restricțiile privind valorile lui x - nu poate fi astfel încât să existe un număr negativ sub rădăcină. Astfel, avem a doua cerință pentru x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Și pentru ca x să fie o soluție finală, trebuie să îndeplinească ambele cerințe simultan: trebuie să fie mai mic decât \(8\) (pentru a fi o soluție) și mai mare decât \(-1\) (pentru a fi valabil în principiu). Trasând pe linia numerică, avem răspunsul final:

Răspuns: \(\stanga[-1;8\dreapta)\)

Dintre întreaga varietate de inegalități logaritmice, inegalitățile cu bază variabilă sunt studiate separat. Ele sunt rezolvate după o formulă specială, care din anumite motive este rareori predată la școală:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

În loc de un corocan „∨”, puteți pune orice semn de inegalitate: mai mult sau mai puțin. Principalul lucru este că în ambele inegalități semnele sunt aceleași.

Deci scăpăm de logaritmi și reducem problema la o inegalitate rațională. Acesta din urmă este mult mai ușor de rezolvat, dar atunci când se aruncă logaritmi, pot apărea rădăcini suplimentare. Pentru a le tăia, este suficient să găsiți intervalul de valori admisibile. Dacă ați uitat ODZ al logaritmului, vă recomand insistent să-l repetați - vedeți „Ce este un logaritm”.

Tot ceea ce are legătură cu intervalul de valori acceptabile trebuie scris și rezolvat separat:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Aceste patru inegalități constituie un sistem și trebuie îndeplinite simultan. Când se găsește intervalul de valori acceptabile, rămâne să îl traversați cu soluția unei inegalități raționale - și răspunsul este gata.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

Mai întâi, să scriem ODZ al logaritmului:

Primele două inegalități sunt efectuate automat, iar ultima va trebui scrisă. Deoarece pătratul unui număr este zero dacă și numai dacă numărul însuși este zero, avem:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Rezultă că ODZ a logaritmului este toate numerele cu excepția zero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Acum rezolvăm inegalitatea principală:

Efectuăm trecerea de la inegalitatea logaritmică la cea rațională. În inegalitatea originală există un semn „mai puțin decât”, astfel încât inegalitatea rezultată ar trebui să fie și cu un semn „mai puțin decât”. Noi avem:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Zerourile acestei expresii: x = 3; x = -3; x = 0. Mai mult, x = 0 este rădăcina celei de-a doua multiplicități, ceea ce înseamnă că la trecerea prin aceasta, semnul funcției nu se schimbă. Noi avem:

Se obține x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Acest set este complet conținut în ODZ al logaritmului, ceea ce înseamnă că acesta este răspunsul.

Transformarea inegalităților logaritmice

Adesea inegalitatea originală diferă de cea de mai sus. Acest lucru este ușor de remediat conform regulilor standard pentru lucrul cu logaritmi - vezi „Proprietățile de bază ale logaritmilor”. Și anume:

1. Orice număr poate fi reprezentat ca un logaritm cu o bază dată;
2. Suma și diferența logaritmilor cu aceeași bază pot fi înlocuite cu un singur logaritm.

Separat, vreau să vă reamintesc intervalul de valori acceptabile. Deoarece pot exista mai mulți logaritmi în inegalitatea originală, este necesar să se găsească DPV-ul fiecăruia dintre ei. Astfel, schema generală de rezolvare a inegalităților logaritmice este următoarea:

1. Aflați ODZ a fiecărui logaritm inclus în inegalitate;
2. Reduceți inegalitatea la cea standard folosind formulele de adunare și scădere a logaritmilor;
3. Rezolvați inegalitatea rezultată conform schemei de mai sus.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

Găsiți domeniul de definiție (ODZ) al primului logaritm:

Rezolvăm prin metoda intervalului. Aflarea zerourilor numărătorului:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Apoi - zerourile numitorului:

x − 1 = 0;
x = 1.

Marcam zerouri și semne pe săgeata de coordonate:

Se obține x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Al doilea logaritm al ODZ va fi același. Dacă nu mă credeți, puteți verifica. Acum transformăm al doilea logaritm astfel încât baza să fie două:

După cum puteți vedea, triplele de la bază și înainte de logaritm s-au micșorat. Obțineți doi logaritmi cu aceeași bază. Să le punem împreună:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Am obținut inegalitatea logaritmică standard. Scăpăm de logaritmi prin formulă. Deoarece există un semn mai mic decât în ​​inegalitatea originală, expresia rațională rezultată trebuie, de asemenea, să fie mai mică decât zero. Noi avem:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Avem două seturi:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Răspuns candidat: x ∈ (−1; 3).

Rămâne să traversăm aceste seturi - obținem răspunsul real:

Ne interesează intersecția mulțimilor, așa că alegem intervalele umbrite pe ambele săgeți. Se obține x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - toate punctele sunt perforate.