Ecuația de undă este o expresie care dă deplasarea unei particule oscilante în funcție de coordonatele sale x, y, z și timpul t:

(adică coordonatele poziției de echilibru a particulei). Această funcție trebuie să fie periodică atât în ​​raport cu timpul t cât și în raport cu coordonatele x, y, z. Periodicitatea în timp decurge din faptul că descrie oscilațiile unei particule cu coordonatele x, y, z. Periodicitatea în coordonate rezultă din faptul că punctele separate între ele de o distanță K vibrează în același mod.

Să găsim forma funcției în cazul unei unde plane, presupunând că oscilațiile sunt de natură armonică. Pentru a simplifica, să direcționăm axele de coordonate astfel încât axa să coincidă cu direcția de propagare a undei. Atunci suprafețele undelor vor fi perpendiculare pe axă și, întrucât toate punctele suprafeței undei vibrează în mod egal, deplasarea va depinde numai de Fie ca oscilațiile punctelor situate în plan (Fig. 94.1) să aibă forma

Să găsim tipul de oscilație a punctelor din planul corespunzător unei valori arbitrare a lui x. Pentru a călători din planul x = 0 în acest plan, unda necesită timp - viteza de propagare a undei).

În consecință, oscilațiile particulelor aflate în planul x vor întârzia în timp față de oscilațiile particulelor din plan, adică vor avea forma

Deci, ecuația unei unde plane (atât longitudinale, cât și transversale) care se propagă în direcția axei x este următoarea:

Mărimea a reprezintă amplitudinea undei. Faza inițială a undei a este determinată de alegerea originilor Când se consideră o singură undă, originile timpului și coordonatele sunt de obicei alese astfel încât a să fie egal cu zero. Când luăm în considerare mai multe valuri împreună, de obicei nu este posibil să ne asigurăm că fazele inițiale pentru toate sunt egale cu zero.

Să fixăm orice valoare a fazei din ecuația (94.2) punând

(94.3)

Această expresie definește relația dintre timpul t și locul x la care faza are o valoare fixă. Valoarea rezultată oferă viteza cu care se mișcă o anumită valoare a fazei. Diferențiând expresia (94.3), obținem

Astfel, viteza de propagare a undei v în ecuația (94.2) este viteza de mișcare a fazei și de aceea se numește viteza de fază.

Conform (94,4). În consecință, ecuația (94.2) descrie o undă care se propagă în direcția creșterii x. O undă care se propagă în direcția opusă este descrisă de ecuație

Într-adevăr, echivalând faza undei (94.5) cu o constantă și diferențiind egalitatea rezultată, ajungem la relația

din care rezultă că unda (94.5) se propagă în direcția descrescătoare a x.

Ecuația de undă plană poate primi o formă care este simetrică față de x și t. Pentru a face acest lucru, introducem cantitatea

care se numește numărul de undă. După ce am redus numărătorul și numitorul expresiei (94.6) la frecvența v, putem reprezenta numărul de undă sub forma

(vezi formula (93.2)). Deschizând parantezele din (94.2) și ținând cont de (94.7), ajungem la următoarea ecuație pentru o undă plană care se propagă de-a lungul axei x:

Ecuația unei unde care se propagă în direcția descrescătoare a x diferă de (94.8) doar în semnul termenului

Când derivăm formula (94.8), am presupus că amplitudinea oscilațiilor nu depinde de x. Pentru o undă plană, acest lucru se observă în cazul în care energia undei nu este absorbită de mediu. La propagarea într-un mediu absorbant de energie, intensitatea undei scade treptat odată cu distanța de la sursa oscilațiilor - se observă atenuarea undei. Experienţa arată că într-un mediu omogen o astfel de atenuare are loc după o lege exponenţială: cu scăderea în timp a amplitudinii oscilaţiilor amortizate; vezi formula (58.7) a volumului I). În consecință, ecuația undelor plane are următoarea formă:

Amplitudinea in puncte ale planului

Acum să găsim ecuația unei unde sferice. Fiecare sursă reală de valuri are o anumită întindere. Totuși, dacă ne limităm la a considera undele la distanțe față de sursă care depășesc semnificativ dimensiunile acesteia, atunci sursa poate fi considerată o sursă punctuală. Într-un mediu izotrop și omogen, unda generată de o sursă punctuală va fi sferică. Să presupunem că faza oscilațiilor sursei este egală, atunci punctele situate pe suprafața undei de rază vor oscila odată cu faza.

Înainte de a lua în considerare procesul undelor, să oferim o definiție a mișcării oscilatorii. Ezitare - Acesta este un proces care se repetă periodic. Exemplele de mișcări oscilatorii sunt foarte diverse: schimbarea anotimpurilor, vibrațiile inimii, respirația, încărcarea pe plăcile unui condensator și altele.

Ecuația de oscilație în formă generală se scrie ca

Unde - amplitudinea oscilațiilor,
- frecventa ciclica, - timp, - faza initiala. Adesea, faza inițială poate fi considerată zero.

De la mișcarea oscilativă putem trece la luarea în considerare a mișcării ondulatorii. Val este procesul de propagare a vibrațiilor în spațiu în timp. Deoarece oscilațiile se propagă în spațiu în timp, ecuația undei trebuie să țină cont atât de coordonatele spațiale, cât și de timp. Ecuația de undă are forma

unde A 0 – amplitudine,  – frecvență, t – timp,  – numărul de undă, z – coordonată.

Natura fizică a valurilor este foarte diversă. Sunt cunoscute undele sonore, electromagnetice, gravitaționale și acustice.

Pe baza tipului de vibrație, toate undele pot fi clasificate în longitudinale și transversale. Unde longitudinale - sunt unde în care particulele mediului oscilează pe direcția de propagare a undei (Fig. 3.1a). Un exemplu de undă longitudinală este o undă sonoră.

Unde transversale - sunt unde în care particulele mediului oscilează într-o direcție transversală față de direcția de propagare (Fig. 3.1b).

Undele electromagnetice sunt clasificate drept unde transversale. Trebuie luat în considerare faptul că în undele electromagnetice câmpul oscilează și nu are loc nicio oscilație a particulelor mediului. Dacă o undă cu o frecvență  se propagă în spațiu, atunci așa val numit monocromatic .

Pentru a descrie propagarea proceselor unde sunt introduse următoarele caracteristici. Argumentul cosinus (vezi formula (3.2)), i.e. expresie
, numit faza de val .

Schematic, propagarea undelor de-a lungul unei coordonate este prezentată în Fig. 3.2, în acest caz, propagarea are loc de-a lungul axei z.

Perioadă – timpul unei oscilatii complete. Perioada este desemnată prin litera T și se măsoară în secunde (s). Se numește reciproca perioadei frecvență liniară si este desemnat f, măsurată în Herți (=Hz). Frecvența liniară este legată de frecvența circulară. Relația este exprimată prin formula

(3.3)

Dacă fixăm timpul t, atunci din Fig. 3.2 este clar că există puncte, de exemplu A și B, care vibrează în mod egal, adică. în fază (în fază). Se numește distanța dintre cele mai apropiate două puncte care oscilează în fază lungime de undă . Lungimea de undă este desemnată  și măsurată în metri (m).

Numărul de undă  și lungimea de undă  sunt legate între ele prin formula

(3.4)

Numărul de undă  este altfel numit constantă de fază sau constantă de propagare. Din formula (3.4) este clar că constanta de propagare este măsurată în ( ). Semnificația fizică este că arată câți radiani se schimbă faza undei atunci când trece un metru de cale.

Pentru a descrie procesul de undă, este introdus conceptul de front de undă. Frontul de val – aceasta este locația geometrică a punctelor imaginare ale suprafeței la care a ajuns excitația. Un front de undă se mai numește și front de undă.

Ecuația care descrie frontul de undă al unei unde plane poate fi obținută din ecuația (3.2) sub forma

(3.5)

Formula (3.5) este ecuația frontului de undă a unei unde plane. Ecuația (3.4) arată că fronturile de undă sunt plane infinite care se deplasează în spațiu perpendicular pe axa z.

Viteza de mișcare a frontului de fază se numește viteza de fază . Viteza fazei se notează cu V f și se determină prin formula

(3.6)

Inițial, ecuația (3.2) conține o fază cu două semne – negativ și pozitiv. Semn negativ, adică
, indică faptul că frontul de undă se propagă de-a lungul direcției pozitive de propagare a axei z. Un astfel de val se numește călătorie sau cădere.

Un semn pozitiv al fazei de undă indică mișcarea frontului de undă în direcția opusă, adică. opus direcției axei z. O astfel de undă se numește reflectată.

În cele ce urmează vom lua în considerare valurile care călătoresc.

Dacă o undă se propagă într-un mediu real, atunci din cauza pierderilor de căldură care apar, are loc inevitabil o scădere a amplitudinii. Să ne uităm la un exemplu simplu. Lăsați unda să se propagă de-a lungul axei z și valoarea inițială a amplitudinii undei corespunde la 100%, adică. A 0 =100. Să presupunem că la trecerea unui metru de cale, amplitudinea undei scade cu 10%. Apoi vom avea următoarele valori ale amplitudinilor undelor

Modelul general al modificărilor de amplitudine are forma

Funcția exponențială are aceste proprietăți. Grafic procesul poate fi prezentat sub forma Fig. 3.3.

În general, scriem relația de proporționalitate ca

, (3.7)

unde  este constanta de atenuare a undei.

Constanta de fază  și constanta de amortizare  pot fi combinate prin introducerea unei constante de propagare complexă , adică.

, (3.8)

unde  este constanta de fază,  este constanta de atenuare a undei.

În funcție de tipul de front de undă, se disting unde plane, sferice și cilindrice.

Val de avion este un val care are un front de undă plan. O undă plană poate primi, de asemenea, următoarea definiție. O undă se numește plan omogen dacă câmpul vectorial Și în orice punct al planului sunt perpendiculare pe direcția de propagare și nu se modifică în fază și amplitudine.

Ecuația undelor plane

Dacă sursa care generează unda este o sursă punctuală, atunci frontul de undă care se propagă într-un spațiu omogen nelimitat este o sferă. Undă sferică este o undă care are un front de undă sferic. Ecuația undelor sferice are forma

, (3.10)

unde r este vectorul rază trasat de la origine, care coincide cu poziția sursei punctuale, până la un anumit punct din spațiu situat la o distanță r.

Undele pot fi excitate de un șir nesfârșit de surse situate de-a lungul axei z. În acest caz, un astfel de fir va genera unde, al căror front de fază este o suprafață cilindrică.

Unda cilindrica este o undă care are un front de fază sub forma unei suprafețe cilindrice. Ecuația unei unde cilindrice este

, (3.11)

Formulele (3.2), (3.10, 3.11) indică o dependență diferită a amplitudinii de distanța dintre sursa undei și punctul specific din spațiu până la care a ajuns unda.

Ecuații Helmholtz

Maxwell a obținut unul dintre cele mai importante rezultate în electrodinamică, demonstrând că propagarea proceselor electromagnetice în spațiu în timp are loc sub formă de undă. Să luăm în considerare dovada acestei propoziții, i.e. Să demonstrăm natura ondulatorie a câmpului electromagnetic.

Să scriem primele două ecuații Maxwell în formă complexă ca

(3.12)

Să luăm a doua ecuație a sistemului (3.12) și să-i aplicăm operația rotorului pe părțile din stânga și din dreapta. Ca rezultat obținem

Să notăm
, care reprezintă constanta de propagare. Prin urmare

(3.14)

Pe de altă parte, pe baza identității binecunoscute în analiza vectorială, putem scrie

, (3.15)

Unde
este operatorul Laplace, care în sistemul de coordonate carteziene este exprimat prin identitate

(3.16)

Având în vedere legea lui Gauss, i.e.
, ecuația (3.15) se va scrie într-o formă mai simplă

, sau

(3.17)

În mod similar, folosind simetria ecuațiilor lui Maxwell, putem obține o ecuație pentru vector , adică

(3.18)

Ecuațiile de forma (3.17, 3.18) se numesc ecuații Helmholtz. În matematică s-a dovedit că, dacă orice proces este descris sub formă de ecuații Helmholtz, aceasta înseamnă că procesul este un proces ondulat. În cazul nostru, concluzionăm: câmpurile electrice și magnetice care variază în timp duc inevitabil la propagarea undelor electromagnetice în spațiu.

Sub formă de coordonate, ecuația Helmholtz (3.17) se scrie ca

Unde ,,- vectori unitari de-a lungul axelor de coordonate corespunzătoare

,

,

.(3.20)

Proprietățile undelor plane la propagarea în medii neabsorbante

Lasă o undă electromagnetică plană să se propagă de-a lungul axei z, apoi propagarea undei este descrisă de un sistem de ecuații diferențiale

(3.21)

Unde Și - amplitudini complexe de câmp,

(3.22)

Soluția sistemului (3.21) are forma

(3.23)

Dacă unda se propagă într-o singură direcție de-a lungul axei z, iar vectorul este îndreptată de-a lungul axei x, atunci este recomandabil să scrieți soluția sistemului de ecuații sub forma

(3.24)

Unde Și - vectori unitari de-a lungul axelor x, y.

Dacă nu există pierderi în mediu, de ex. parametrii de mediu  a și  a și
sunt cantități reale.

Să enumerăm proprietățile undelor electromagnetice plane

Pentru mediu se introduce conceptul de impedanță de undă a mediului

(3.25)

Unde ,
- valorile amplitudinii intensităților câmpului. Impedanța caracteristică pentru un mediu fără pierderi este, de asemenea, o valoare reală.

Pentru aer, rezistența la val este

(3.26)

Din ecuația (3.24) este clar că câmpurile magnetice și electrice sunt în fază. Câmpul de undă plană este o undă care călătorește, care este scrisă sub formă

(3.27)

În fig. 3.4 vectori câmp Și schimbare de fază, după cum urmează din formula (3.27).

Vectorul Poynting coincide în orice moment cu direcția de propagare a undei

(3.28)

Modulul vectorial Poynting determină densitatea fluxului de putere și este măsurat în
.

Densitatea medie a fluxului de putere este determinată de

(3.29)

, (3.30)

Unde
- valori efective ale intensității câmpului.

Energia câmpului conținută într-o unitate de volum se numește densitate de energie. Câmpul electromagnetic se modifică în timp, adică este variabilă. Valoarea densității de energie la un moment dat se numește densitate de energie instantanee. Pentru componentele electrice și magnetice ale câmpului electromagnetic, densitățile de energie instantanee sunt, respectiv, egale

Având în vedere că
, din relațiile (3.31) și (3.32) reiese clar că
.

Densitatea totală de energie electromagnetică este dată de

(3.33)

Viteza de fază de propagare a undei electromagnetice este determinată de formula

(3.34)

Se determină lungimea de undă

(3.35)

Unde - lungimea de undă în vid (aer), s - viteza luminii în aer,  - constantă dielectrică relativă,  - permeabilitatea magnetică relativă, f– frecvență liniară,  – frecvență ciclică, V f – viteza fazei,  – constanta de propagare.

Viteza de mișcare a energiei (viteza grupului) poate fi determinată din formulă

(3.36)

Unde - Vector de poynting, - densitatea energetică.

Dacă pictezi și în conformitate cu formulele (3.28), (3.33), obținem

(3.37)

Astfel, primim

(3.38)

Când o undă electromagnetică monocromatică se propagă într-un mediu fără pierderi, vitezele de fază și de grup sunt egale.

Există o relație între faza și viteza grupului exprimată prin formulă

(3.39)

Să luăm în considerare un exemplu de propagare a undei electromagnetice în fluoroplastic având parametrii  =2, =1. Fie ca intensitatea câmpului electric să corespundă

(3.40)

Viteza de propagare a undelor într-un astfel de mediu va fi egală cu

Impedanța caracteristică a fluoroplasticului corespunde valorii

Ohm (3,42)

Valorile de amplitudine ale intensității câmpului magnetic preiau valorile

, (3.43)

Densitatea fluxului de energie este, în consecință, egală cu

Lungime de undă la frecvență
are sensul

(3.45)

Teorema Umov–Poynting

Un câmp electromagnetic este caracterizat de propria sa energie de câmp, iar energia totală este determinată de suma energiilor câmpurilor electrice și magnetice. Lasă câmpul electromagnetic să ocupe un volum închis V, apoi putem scrie

(3.46)

Energia câmpului electromagnetic, în principiu, nu poate rămâne o valoare constantă. Apare întrebarea: Ce factori influențează schimbarea energiei? S-a stabilit că modificarea energiei în interiorul unui volum închis este influențată de următorii factori:

o parte din energia câmpului electromagnetic poate fi convertită în alte tipuri de energie, de exemplu, mecanică;

in interiorul unui volum inchis pot actiona forte exterioare, care pot creste sau scade energia campului electromagnetic continut in volumul luat in considerare;

volumul închis V luat în considerare poate face schimb de energie cu corpurile înconjurătoare prin procesul de radiație energetică.

Intensitatea radiației este caracterizată de vectorul Poynting . Volumul V are o suprafață închisă S. Modificarea energiei câmpului electromagnetic poate fi considerată ca fluxul vectorului Poynting prin suprafața închisă S (Fig. 3.5), adică.
, iar opțiunile sunt posibile
>0 ,
<0 ,
=0 . Rețineți că normalul tras la suprafață
, este întotdeauna extern.

Să vă reamintim că
, Unde
sunt valori instantanee ale intensității câmpului.

Tranziția de la integrala de suprafață
la integrala peste volumul V se realizează pe baza teoremei Ostrogradsky-Gauss.

Știind că

Să substituim aceste expresii în formula (3.47). După transformare, obținem o expresie sub forma:

Din formula (3.48) este clar că partea stângă este exprimată printr-o sumă formată din trei termeni, fiecare dintre care îi vom considera separat.

Termen
exprimă pierdere instantanee de putere , cauzată de curenții de conducție în volumul închis luat în considerare. Cu alte cuvinte, termenul exprimă pierderile de energie termică ale câmpului închis într-un volum închis.

Al doilea mandat
exprimă munca forțelor externe efectuate pe unitatea de timp, adică puterea forțelor externe. Pentru o astfel de putere valorile posibile sunt
>0,
<0.

Dacă
>0, acestea. se adaugă energie la volumul V, apoi forțele externe pot fi considerate ca un generator. Dacă
<0 , adică in volumul V are loc o scadere a energiei, apoi fortele externe joaca rolul de sarcina.

Ultimul termen pentru un mediu liniar poate fi reprezentat ca:

(3.49)

Formula (3.49) exprimă viteza de modificare a energiei câmpului electromagnetic conținut în volumul V.

După luarea în considerare a tuturor termenilor, formula (3.48) poate fi scrisă ca:

Formula (3.50) exprimă teorema lui Poynting. Teorema lui Poynting exprimă echilibrul de energie într-o regiune arbitrară în care există un câmp electromagnetic.

Potențiale întârziate

Ecuațiile lui Maxwell în formă complexă, după cum se știe, au forma:

(3.51)

Să existe curenți externi într-un mediu omogen. Să încercăm să transformăm ecuațiile lui Maxwell pentru un astfel de mediu și să obținem o ecuație mai simplă care descrie câmpul electromagnetic într-un astfel de mediu.

Să luăm ecuația
.Ştiind că caracteristicile Și interconectate
, atunci putem scrie
Să luăm în considerare faptul că intensitatea câmpului magnetic poate fi exprimată folosind potențial electrodinamic vectorial , care este introdus de relația
, Apoi

(3.52)

Să luăm a doua ecuație a sistemului Maxwell (3.51) și să facem transformările:

(3.53)

Formula (3.53) exprimă a doua ecuație a lui Maxwell în termeni de potențial vectorial . Formula (3.53) poate fi scrisă ca

(3.54)

În electrostatică, după cum se știe, este valabilă următoarea relație:

(3.55)

Unde - vector intensitatea câmpului,
- potenţialul electrostatic scalar. Semnul minus indică faptul că vectorul direcționat dintr-un punct cu potențial mai mare către un punct cu potențial mai mic.

Expresia dintre paranteze (3.54), prin analogie cu formula (3.55), se poate scrie sub forma

(3.56)

Unde
- potenţialul electrodinamic scalar.

Să luăm prima ecuație a lui Maxwell și să o scriem folosind potențiale electrodinamice

În algebra vectorială a fost dovedită următoarea identitate:

Folosind identitatea (3.58), putem reprezenta prima ecuație a lui Maxwell, scrisă sub forma (3.57), ca

Să dăm similar

Înmulțiți părțile din stânga și din dreapta cu un factor (-1):

poate fi specificat într-un mod arbitrar, deci putem presupune că

Se numește expresia (3.60). ecartamentul Lorentz .

Dacă w=0 , apoi primim Calibrare Coulomb
=0.

Ținând cont de gabarit, se poate scrie ecuația (3.59).

(3.61)

Ecuația (3.61) exprimă ecuația de undă neomogenă pentru potențialul electrodinamic vectorial.

Într-un mod similar, pe baza celei de-a treia ecuații a lui Maxwell
, putem obține o ecuație neomogenă pentru potențial electrodinamic scalar la fel de:

(3.62)

Ecuațiile neomogene rezultate pentru potențiale electrodinamice au propriile lor soluții

, (3.63)

Unde M– punctul arbitrar M, - densitatea de sarcină volumetrică, γ - constanta de propagare, r

(3.64)

Unde V– volumul ocupat de curenții externi, r– distanța curentă de la fiecare element al volumului sursei până la punctul M.

Soluția pentru potențialul electrodinamic vectorial (3.63), (3.64) se numește Integrală Kirchhoff pentru potențiale retardate .

Factor
poate fi exprimat luând în considerare
la fel de

Acest factor corespunde vitezei finite de propagare a undei de la sursă și
Deoarece viteza de propagare a undelor este o valoare finită, atunci influența sursei care generează undele atinge un punct arbitrar M cu o întârziere de timp. Valoarea timpului de întârziere este determinată de:
În fig. 3.6 arată o sursă punctuală U, care emite unde sferice care se propagă cu viteza v în spațiul omogen înconjurător, precum și un punct arbitrar M situat la distanță r, la care ajunge valul.

La un moment dat t potențial vectorial
în punctul M este o funcţie a curenţilor care circulă în sursă Uîntr-un timp mai devreme
Cu alte cuvinte,
depinde de curenții sursă care au trecut în ea într-un moment anterior

Din formula (3.64) este clar că potențialul electrodinamic vectorial este paralel (co-direcțional) cu densitatea de curent a forțelor externe; amplitudinea acestuia scade conform legii; la distante mari in comparatie cu marimea emitorului, unda are un front de unda sferic.

Luand in considerare
și prima ecuație a lui Maxwell, intensitatea câmpului electric poate fi determinată:

Relațiile rezultate determină câmpul electromagnetic în spațiul creat de o distribuție dată a curenților externi

Propagarea undelor electromagnetice plane în medii înalt conductoare

Să luăm în considerare propagarea unei unde electromagnetice într-un mediu conductor. Astfel de medii sunt denumite și medii asemănătoare metalelor. Un mediu real este conductiv dacă densitatea curenților de conducere depășește semnificativ densitatea curenților de deplasare, adică.
Și
, și
, sau

(3.66)

Formula (3.66) exprimă condiția în care un mediu real poate fi considerat conductiv. Cu alte cuvinte, partea imaginară a constantei dielectrice complexe trebuie să depășească partea reală. Formula (3.66) arată, de asemenea, dependența pe frecvență și cu cât frecvența este mai mică, cu atât proprietățile conductorului sunt mai pronunțate în mediu. Să privim această situație cu un exemplu.

Da, la frecventa f = 1 MHz = 10 6 Hz solul uscat are parametri =4, =0,01 ,. Să comparăm unul cu altul Și , adică
. Din valorile obținute este clar că 1,610 -19 >> 3,5610 -11, prin urmare solul uscat trebuie considerat conductiv atunci când se propagă o undă cu o frecvență de 1 MHz.

Pentru un mediu real, notăm constanta dielectrică complexă

(3.67)

deoarece în cazul nostru
, apoi pentru un mediu dirijor putem scrie

, (3.68)

unde  este conductivitatea specifică,  este frecvența ciclică.

Constanta de propagare , după cum se știe, este determinată din ecuațiile Helmholtz

Astfel, obținem o formulă pentru constanta de propagare

(3.69)

Se știe că

(3.70)

Luând în considerare identitatea (3.49), formula (3.50) poate fi scrisă sub formă

(3.71)

Constanta de propagare este exprimată ca

(3.72)

Compararea părților reale și imaginare din formulele (3.71), (3.72) conduce la egalitatea valorilor constantei de fază  și constantei de amortizare , adică

(3.73)

Din formula (3.73) scriem lungimea de undă pe care o dobândește câmpul atunci când se propagă într-un mediu bine conducător

(3.74)

Unde - lungime de undă în metal.

Din formula rezultată (3.74) este clar că lungimea undei electromagnetice care se propagă în metal este semnificativ redusă în comparație cu lungimea de undă în spațiu.

S-a spus mai sus că amplitudinea unei unde la propagarea într-un mediu cu pierderi scade conform legii.
. Pentru a caracteriza procesul de propagare a undelor într-un mediu conductor, este introdus conceptul adâncimea stratului de suprafață sau adâncimea de penetrare .

Adâncimea stratului de suprafață - aceasta este distanța d la care amplitudinea undei de suprafață scade cu un factor de e față de nivelul său inițial.

(3.75)

Unde - lungime de undă în metal.

Adâncimea stratului de suprafață poate fi determinată și din formulă

, (3.76)

unde  este frecvența ciclică,  a este permeabilitatea magnetică absolută a mediului,  este conductivitatea specifică a mediului.

Din formula (3.76) este clar că odată cu creșterea frecvenței și a conductibilității specifice, adâncimea stratului de suprafață scade.

Să dăm un exemplu. Cupru de conductivitate
la frecventa f = 10 GHz ( = 3cm) are o adâncime a stratului de suprafață d =
. Din aceasta putem trage o concluzie importantă pentru practică: aplicarea unui strat de substanță foarte conductivă pe o acoperire neconductivă va face posibilă producerea de elemente de dispozitiv cu pierderi de căldură reduse.

Reflexia și refracția unei unde plane la interfață

Când o undă electromagnetică plană se propagă în spațiu, care constă din regiuni cu valori diferite ale parametrilor
iar interfața sub formă de plan, apar unde reflectate și refractate. Intensitățile acestor unde sunt determinate prin intermediul coeficienților de reflexie și refracție.

Coeficientul de reflexie al undei este raportul dintre valorile complexe ale intensității câmpului electric al undelor reflectate cu cele incidente la interfață și este determinat de formula:

(3.77)

Rata de trecere valuri în al doilea mediu din primul se numește raportul valorilor complexe ale intensității câmpului electric al refracției. la cădere unde și este determinată de formula

(3.78)

Dacă vectorul Poynting al undei incidente este perpendicular pe interfață, atunci

(3.79)

unde Z 1 ,Z 2 – rezistența caracteristică pentru mediile corespunzătoare.

Rezistența caracteristică este determinată de formula:

Unde
(3.80)

.

În cazul incidenței oblice, direcția de propagare a undei în raport cu interfața este determinată de unghiul de incidență. Unghiu de incidenta – unghiul dintre normala la suprafață și direcția de propagare a fasciculului.

Planul de incidenta este planul care conține raza incidentă și normalul restabilit la punctul de incidență.

Din condiţiile la limită rezultă că unghiurile de incidenţă si refractie legat de legea lui Snell:

(3.81)

unde n 1, n 2 sunt indicii de refracție ai mediilor corespunzătoare.

Undele electromagnetice sunt caracterizate prin polarizare. Există polarizări eliptice, circulare și liniare. În polarizarea liniară se disting polarizarea orizontală și cea verticală.

Polarizare orizontală – polarizarea la care vectorul oscilează într-un plan perpendicular pe planul de incidență.

Lasă o undă electromagnetică plană cu polarizare orizontală să cadă pe interfața dintre două medii, așa cum se arată în Fig. 3.7. Vectorul Poynting al undei incidente este indicat prin . Deoarece unda are polarizare orizontală, adică vectorul intensității câmpului electric oscilează într-un plan perpendicular pe planul de incidență, apoi este desemnat iar în fig. 3.7 este prezentat ca un cerc cu o cruce (îndreptată departe de noi). În consecință, vectorul intensității câmpului magnetic se află în planul de incidență al undei și este desemnat . Vectori ,,formează un triplet din dreapta de vectori.

Pentru o undă reflectată, vectorii de câmp corespunzători sunt echipați cu indicele „neg”; pentru o undă refractată, indicele este „pr”.

Cu polarizarea orizontală (perpendiculară), coeficienții de reflexie și transmisie se determină după cum urmează (Fig. 3.7).

La interfața dintre două medii sunt îndeplinite condițiile de limită, adică

În cazul nostru, trebuie să identificăm proiecțiile tangențiale ale vectorilor, i.e. poate fi notat

Liniile de intensitate a câmpului magnetic pentru undele incidente, reflectate și refractate sunt direcționate perpendicular pe planul de incidență. De aceea ar trebui să scriem

Pe baza acestui lucru, putem crea un sistem bazat pe condiții la limită

De asemenea, se știe că intensitățile câmpului electric și magnetic sunt interconectate prin impedanța caracteristică a mediului Z

Atunci a doua ecuație a sistemului poate fi scrisă ca

Deci, sistemul de ecuații a luat forma

Să împărțim ambele ecuații ale acestui sistem la amplitudinea undei incidente
și, ținând cont de definițiile indicelui de refracție (3.77) și ale transmisiei (3.78), putem scrie sistemul sub forma

Sistemul are două soluții și două mărimi necunoscute. Se știe că un astfel de sistem este solubil.

Polarizare verticală – polarizarea la care vectorul oscileaza in planul de incidenta.

Cu polarizarea verticală (paralelă), coeficienții de reflexie și transmisie sunt exprimați după cum urmează (Fig. 3.8).

Pentru polarizarea verticală se scrie un sistem similar de ecuații ca și pentru polarizarea orizontală, dar ținând cont de direcția vectorilor câmpului electromagnetic.

Un astfel de sistem de ecuații poate fi redus în mod similar la forma

Soluția sistemului o reprezintă expresiile pentru coeficienții de reflexie și transmisie

Când unde electromagnetice plane cu polarizare paralelă incid pe interfața dintre două medii, coeficientul de reflexie poate deveni zero. Unghiul de incidență la care unda incidentă pătrunde complet, fără reflexie, dintr-un mediu în altul se numește unghi Brewster și se notează ca
.

(3.84)

(3.85)

Subliniem că unghiul Brewster atunci când o undă electromagnetică plană este incidentă pe un dielectric nemagnetic poate exista doar cu polarizare paralelă.

Dacă o undă electromagnetică plană este incidentă la un unghi arbitrar pe interfața dintre două medii cu pierderi, atunci undele reflectate și refractate ar trebui considerate neomogene, deoarece planul de amplitudini egale trebuie să coincidă cu interfața. Pentru metalele reale, unghiul dintre frontul de fază și planul de amplitudini egale este mic, așa că putem presupune că unghiul de refracție este 0.

Condiții de limită aproximative ale lui Shchukin-Leontovici

Aceste condiții la limită sunt aplicabile atunci când unul dintre medii este un bun conductor. Să presupunem că o undă electromagnetică plană este incidentă din aer sub un unghi  pe o interfață plană cu un mediu bine conducător, care este descrisă de indicele de refracție complex.

(3.86)

Din definiţia conceptului de mediu bine conducător rezultă că
. Aplicând legea lui Snell, se poate observa că unghiul de refracție  va fi foarte mic. Din aceasta putem presupune că unda refractată intră în mediul bine conducător aproape de-a lungul direcției normale la orice valoare a unghiului de incidență.

Folosind condițiile la limită Leontovici, trebuie să cunoașteți componenta tangentă a vectorului magnetic . De obicei, se presupune că această valoare coincide cu o componentă similară calculată pentru suprafața unui conductor ideal. Eroarea rezultată dintr-o astfel de aproximare va fi foarte mică, deoarece coeficientul de reflexie de la suprafața metalelor este, de regulă, aproape de zero.

Emisia de unde electromagnetice în spațiul liber

Să aflăm care sunt condițiile pentru radiația energiei electromagnetice în spațiul liber. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un emițător punctual monocromatic de unde electromagnetice, care este plasat la originea unui sistem de coordonate sferice. După cum se știe, un sistem de coordonate sferice este dat de (r, Θ, φ), unde r este vectorul rază trasat de la originea sistemului până la punctul de observație; Θ – unghi meridional, măsurat de la axa Z (zenit) la vectorul rază trasat în punctul M; φ – unghi azimutal, măsurat de la axa X la proiecția vectorului rază trasat de la origine la punctul M′ (M′ este proiecția punctului M pe planul XOY). (Fig.3.9).

Un emițător punctual este situat într-un mediu omogen cu parametrii

Un emițător punctual emite unde electromagnetice în toate direcțiile și orice componentă a câmpului electromagnetic respectă ecuația Helmholtz, cu excepția punctului r=0 . Putem introduce o funcție scalară complexă Ψ, care este înțeleasă ca orice componentă de câmp arbitrară. Atunci ecuația Helmholtz pentru funcția Ψ are forma:

(3.87)

Unde
- numărul de undă (constanta de propagare).

(3.88)

Să presupunem că funcția Ψ are simetrie sferică, atunci ecuația Helmholtz poate fi scrisă ca:

(3.89)

Ecuația (3.89) poate fi scrisă și ca:

(3.90)

Ecuațiile (3.89) și (3.90) sunt identice între ele. Ecuația (3.90) este cunoscută în fizică ca ecuația de oscilație. Această ecuație are două soluții, care, dacă amplitudinile sunt egale, au forma:

(3.91)

(3.92)

După cum se poate observa din (3.91), (3.92), soluția ecuației diferă doar în semne. În plus, indică o undă de intrare de la sursă, adică unda se propagă de la sursă la infinit. Al doilea val indică faptul că unda vine la sursă de la infinit. Din punct de vedere fizic, una și aceeași sursă nu poate genera două valuri în același timp: călătoresc și vin din infinit. Prin urmare, este necesar să se țină cont de faptul că valul nu există fizic.

Exemplul în cauză este destul de simplu. Dar în cazul emisiei de energie dintr-un sistem de surse, alegerea soluției potrivite este foarte dificilă. Prin urmare, este necesară o expresie analitică, care este un criteriu pentru alegerea soluției corecte. Avem nevoie de un criteriu general în formă analitică care să ne permită să alegem o soluție neechivocă determinată fizic.

Cu alte cuvinte, avem nevoie de un criteriu care să distingă o funcție care exprimă o undă care se deplasează de la o sursă la infinit de o funcție care descrie o undă care vine de la infinit la o sursă de radiație.

Această problemă a fost rezolvată de A. Sommerfeld. El a arătat asta pentru un val de călătorie descris de funcție , este valabilă următoarea relație:

(3.93)

Această formulă se numește starea de radiație sau starea Sommerfeld .

Să considerăm un emițător electric elementar sub forma unui dipol. Un dipol electric este o bucată scurtă de fir lîn comparație cu lungimea de undă  ( l<< ), по которому протекает переменный ток (рис. 3.9). Т.к. соблюдается выполнение условия l<< , то можно считать, что во всех сечениях провода в данный момент времени протекает одинаковый ток

Nu este greu de demonstrat că modificarea câmpului electric în spațiul din jurul firului este de natură ondulatorie. Pentru claritate, să luăm în considerare un model extrem de simplificat al procesului de formare și modificare a componentei electrice a câmpului electromagnetic pe care o emite firul. În fig. Figura 3.11 prezintă un model al procesului de radiație a câmpului electric al unei unde electromagnetice pe o perioadă de timp egală cu o perioadă.

După cum se știe, curentul electric este cauzat de mișcarea sarcinilor electrice și anume

sau

În viitor, vom lua în considerare doar schimbarea poziției sarcinilor pozitive și negative pe fir. Linia câmpului electric începe cu o sarcină pozitivă și se termină cu o sarcină negativă. În fig. 3.11 linia de alimentare este prezentată cu o linie punctată. Merită să ne amintim că câmpul electric este creat în întreg spațiul care înconjoară conductorul, deși în fig. Figura 3.11 prezintă o linie de alimentare.

Pentru ca curentul alternativ să circule printr-un conductor, este necesară o sursă de fem alternativă. O astfel de sursă este inclusă în mijlocul firului. Starea procesului de emisie a câmpului electric este indicată prin numere de la 1 la 13. Fiecare număr corespunde unui anumit moment de timp asociat cu starea procesului. Momentul t=1 corespunde începutului procesului, adică. EMF = 0. În momentul t=2, apare un EMF alternativ, care determină mișcarea sarcinilor, așa cum se arată în Fig. 3.11. odată cu apariția sarcinilor în mișcare în fir, un câmp electric apare în spațiu. în timp (t = 3÷5) sarcinile se deplasează la capetele conductorului și linia de alimentare acoperă o parte din ce în ce mai mare a spațiului. linia de forță se extinde cu viteza luminii într-o direcție perpendiculară pe fir. La momentul t = 6 – 8, emf, trecând prin valoarea maximă, scade. Încărcăturile se deplasează spre mijlocul firului.

La momentul t = 9, jumătatea perioadei de modificare a EMF se termină și scade la zero. În acest caz, taxele fuzionează și se compensează reciproc. Nu există câmp electric în acest caz. Linia de putere a câmpului electric radiat se închide și continuă să se îndepărteze de fir.

Urmează a doua jumătate de ciclu a schimbării EMF, procesele se repetă ținând cont de schimbarea polarității. În fig. Figura 3.11 la momentele t = 10÷13 prezintă o imagine a procesului ținând cont de linia intensității câmpului electric.

Am examinat procesul de formare a liniilor închise de forță ale unui câmp electric vortex. Dar merită să ne amintim că emisia de unde electromagnetice este un singur proces. Câmpurile electrice și magnetice sunt componente indisolubil interdependente ale câmpului electromagnetic.

Procesul de radiație prezentat în fig. 3.11 este similară cu radiația unui câmp electromagnetic de către un vibrator electric simetric și este utilizat pe scară largă în tehnologia comunicațiilor radio. Trebuie amintit că planul de oscilație al vectorului intensității câmpului electric este reciproc perpendiculară pe planul de oscilație al vectorului intensității câmpului magnetic .

Emisia de unde electromagnetice se datorează unui proces variabil. Prin urmare, în formula pentru sarcină putem pune constanta C = 0. Pentru valoarea complexă a taxei poate fi scrisă.

(3.94)

Prin analogie cu electrostatica, putem introduce conceptul de moment al unui dipol electric cu curent alternativ

(3.95)

Din formula (3.95) rezultă că vectorii momentului dipolului electric și ai bucății de sârmă direcționate sunt co-directionale.

Trebuie remarcat faptul că antenele reale au lungimi de fire de obicei comparabile cu lungimea de undă. Pentru a determina caracteristicile radiative ale unor astfel de antene, firul este de obicei împărțit mental în secțiuni mici separate, fiecare dintre acestea fiind considerată un dipol electric elementar. câmpul de antenă rezultat este găsit prin însumarea câmpurilor vectoriale emise generate de dipolii individuali.

Procese ondulatorii

Concepte de bază și definiții

Să luăm în considerare un mediu elastic - solid, lichid sau gazos. Dacă vibrațiile particulelor sale sunt excitate în orice loc al acestui mediu, atunci datorită interacțiunii dintre particule, vibrațiile, transmise de la o particulă a mediului în alta, se vor propaga prin mediu cu o anumită viteză. Proces propagarea vibrațiilor în spațiu se numește val .

Dacă particulele dintr-un mediu oscilează în direcția de propagare a undei, atunci se numește longitudinal Dacă oscilațiile particulelor apar într-un plan perpendicular pe direcția de propagare a undei, atunci unda se numește transversal . Undele mecanice transversale pot apărea numai într-un mediu cu un modul de forfecare diferit de zero. Prin urmare, se pot răspândi în medii lichide și gazoase numai unde longitudinale . Diferența dintre undele longitudinale și transversale se vede cel mai clar în exemplul de propagare a vibrațiilor într-un arc - vezi figura.

Pentru a caracteriza vibrațiile transversale, este necesar să se stabilească poziția în spațiu plan care trece prin direcția de oscilație și direcția de propagare a undei - planul de polarizare .

Se numește regiunea spațiului în care toate particulele mediului vibrează câmp de undă . Se numește granița dintre câmpul de undă și restul mediului frontul de val . Cu alte cuvinte, front de undă - locația geometrică a punctelor la care au ajuns oscilațiile la un moment dat în timp. Într-un mediu omogen și izotrop, direcția de propagare a undei este perpendicular spre frontul de val.

În timp ce o undă există în mediu, particulele mediului oscilează în jurul pozițiilor lor de echilibru. Fie aceste oscilații să fie armonice, iar perioada acestor oscilații este T. Particule separate printr-o distanță

de-a lungul direcției de propagare a undelor, oscilează în același mod, adică. în orice moment dat deplasările lor sunt aceleaşi. Distanța se numește lungime de undă . Cu alte cuvinte, lungime de undă este distanța pe care o parcurge o undă într-o perioadă de oscilație .

Se numește locația geometrică a punctelor care oscilează în aceeași fază suprafața valului . Un front de undă este un caz special de suprafață de undă. Lungime de undă – minim distanța dintre două suprafețe de undă în care punctele vibrează în același mod, sau putem spune asta fazele oscilaţiilor lor diferă prin .

Dacă suprafețele undelor sunt plane, atunci unda se numește apartament , iar dacă prin sfere, atunci sferic. O undă plană este excitată într-un mediu continuu, omogen și izotrop, atunci când un plan infinit oscilează. Excitația unei suprafețe sferice poate fi reprezentată ca rezultat al pulsațiilor radiale ale unei suprafețe sferice și, de asemenea, ca rezultat al acțiunii punctul sursă, ale căror dimensiuni pot fi neglijate în comparație cu distanța până la punctul de observație. Deoarece orice sursă reală are dimensiuni finite, la o distanță suficient de mare de ea unda va fi aproape de sferică. În același timp, secțiunea suprafeței de undă a unei unde sferice, pe măsură ce dimensiunea acesteia scade, devine în mod arbitrar apropiată de secțiunea suprafeței de undă a unei unde plane.

Ecuații ale undelor plane și sferice

Ecuația undelor este o expresie care determină deplasarea unui punct oscilant în funcție de coordonatele poziției de echilibru a punctului și a timpului:

Dacă sursa se angajează periodic oscilații, atunci funcția (22.2) trebuie să fie o funcție periodică atât a coordonatelor, cât și a timpului. Periodicitatea în timp decurge din faptul că funcția descrie oscilațiile periodice ale unui punct cu coordonate; periodicitatea în coordonate - din faptul că punctele situate la distanță de-a lungul direcției de propagare a undelor oscilează in acelasi fel

Să ne limităm la a considera undele armonice, atunci când punctele din mediu efectuează oscilații armonice. Trebuie remarcat faptul că orice funcție nearmonică poate fi reprezentată ca rezultat al suprapunerii undelor armonice. Prin urmare, luarea în considerare doar a undelor armonice nu duce la o deteriorare fundamentală a generalității rezultatelor obținute.

Să luăm în considerare un val plan. Să alegem un sistem de coordonate astfel încât axa Oh a coincis cu direcția de propagare a undei. Apoi suprafețele undelor vor fi perpendiculare pe axă Ohși, deoarece toate punctele suprafeței undei vibrează în mod egal, deplasarea punctelor mediului din pozițiile de echilibru va depinde doar de x și t:

Fie vibrațiile punctelor aflate în plan să aibă forma:

(22.4)

Oscilații într-un plan situat la distanță X de la origine, decalaj în timp de la oscilațiile în perioada de timp necesară pentru ca valul să parcurgă distanța X,și sunt descrise de ecuație

care este ecuația unei unde plane care se propagă în direcția axei Ox.

Când derivăm ecuația (22.5), am presupus că amplitudinea oscilațiilor este aceeași în toate punctele. În cazul unei unde plane, acest lucru este adevărat dacă energia undei nu este absorbită de mediu.

Să considerăm o valoare a fazei din ecuația (22.5):

(22.6)

Ecuația (22.6) oferă relația dintre timp t si loc - X, în care valoarea de fază specificată este în prezent implementată. După ce am determinat din ecuația (22.6), găsim viteza cu care se mișcă o anumită valoare a fazei. Diferențiând (22.6), obținem:

Unde urmează (22.7)

PLATE WAVE

PLATE WAVE

O undă a cărei direcție de propagare este aceeași în toate punctele spațiului. Cel mai simplu exemplu este un monocromatic omogen. P.v. neamortizat:

u(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

unde A este amplitudinea, j= wt±kz - , w=2p/T - frecvența circulară, T - perioada de oscilație, k - . Suprafețe de fază constantă (fronturi de fază) j=const P.v. sunt avioane.

În absența dispersiei, când vph și vgr sunt identice și constante (vgr = vph = v), există mișcări liniare staționare (adică, în mișcare în ansamblu), care permit o reprezentare generală a formei:

u(z, t)=f(z±vt), (2)

unde f este o funcție arbitrară. În mediile neliniare cu dispersie, sunt de asemenea posibile PV care rulează staționar. tipul (2), dar forma lor nu mai este arbitrară, ci depinde atât de parametrii sistemului, cât și de natura mișcării. În mediile absorbante (dissipative) P. v. scade amplitudinea lor pe măsură ce se răspândesc; cu amortizare liniară, aceasta poate fi luată în considerare prin înlocuirea k în (1) cu numărul de undă complex kd ± ikм, unde km este coeficientul. atenuarea lui P. v.

Un PV omogen care ocupă întregul infinit este o idealizare, dar orice undă concentrată într-o regiune finită (de exemplu, direcționată de linii de transmisie sau ghiduri de undă) poate fi reprezentată ca o suprapunere a PV. cu un spațiu sau altul. spectrul k. În acest caz, unda poate avea încă un front de fază plat, dar amplitudine neuniformă. Un astfel de P. v. numit unde plane neomogene. Unele zone sunt sferice. și cilindric undele care sunt mici în comparație cu raza de curbură a frontului de fază se comportă aproximativ ca o undă de fază.

Dicționar enciclopedic fizic. - M.: Enciclopedia Sovietică. . 1983 .

PLATE WAVE

- val, direcția de propagare este aceeași în toate punctele spațiului.

Unde A - amplitudine, - fază, - frecvență circulară, T - perioada de oscilatie k- numărul de undă. = const P.v. sunt avioane.
În absența dispersiei, când viteza de fază v f și grup v gr sunt identice și constante ( v gr = v f = v) există P staționar (adică în mișcare în ansamblu) care rulează. c., care poate fi reprezentat în formă generală

Unde f- funcţie arbitrară. În mediile neliniare cu dispersie, sunt de asemenea posibile PV care rulează staționar. tipul (2), dar forma lor nu mai este arbitrară, ci depinde atât de parametrii sistemului, cât și de natura mișcării undei. În mediile absorbante (disipative), P. k pe numărul de undă complex k d ik m, unde k m - coeficient atenuarea lui P. v. Un câmp de undă omogen care ocupă întregul infinit este o idealizare, dar orice câmp de undă concentrat într-o regiune finită (de exemplu, direcționat linii de transmisie sau ghiduri de undă), poate fi reprezentat ca o suprapunere P. V. cu unul sau altul spectru spațial k.În acest caz, unda poate avea încă un front de fază plat, cu o distribuție neuniformă a amplitudinii. Un astfel de P. v. numit unde plane neomogene. Dept. zone sferice sau cilindric undele care sunt mici în comparație cu raza de curbură a frontului de fază se comportă aproximativ ca PT.

Lit. vezi sub art. Valuri.

M. A. Miller, L. A. Ostrovsky.

Enciclopedie fizică. În 5 volume. - M.: Enciclopedia Sovietică. Redactor-șef A. M. Prohorov. 1988 .

Pentru majoritatea problemelor care implică unde, este important să cunoaștem starea oscilațiilor diferitelor puncte din mediu la un moment dat sau altul. Starile punctelor din mediu vor fi determinate daca se cunosc amplitudinile si fazele oscilatiilor lor. Pentru undele transversale, este, de asemenea, necesar să se cunoască natura polarizării. Pentru o undă plană polarizată liniar, este suficient să aveți o expresie care vă permite să determinați deplasarea c(x, t) din poziţia de echilibru a oricărui punct din mediu cu coordonate X, oricand t. Această expresie se numește ecuația de undă.

Orez. 2.21.

Să luăm în considerare așa-numitul val de alergare, acestea. o undă cu un front de undă plan care se propagă într-o direcție specifică (de exemplu, de-a lungul axei x). Lasă particulele mediului imediat adiacente sursei undelor plane să oscileze conform legii armonice; %(0, /) = = LsobsoG (Fig. 2.21). În figura 2.21, A prin ^(0, t) indică deplasarea particulelor de mediu aflate într-un plan perpendicular pe desen și având o coordonată în sistemul de coordonate selectat X= 0 la timp t. Originea timpului este aleasă astfel încât faza inițială a oscilațiilor, definită prin funcția cosinus, să fie egală cu zero. Axă X compatibil cu fasciculul, adică cu direcția de propagare a vibrației. În acest caz, frontul de undă este perpendicular pe axă X, astfel încât particulele aflate în acest plan vor oscila într-o singură fază. Frontul de undă însuși într-un mediu dat se mișcă de-a lungul axei X cu viteza Și propagarea undelor într-un mediu dat.

Să găsim o expresie? (x, t) deplasarea particulelor de mediu aflate la distanta de sursa la distanta x. Aceasta este distanța pe care o parcurge frontul de undă

în timp În consecință, oscilațiile particulelor aflate într-un plan îndepărtat de sursă la o distanță X, va întârzia în timp cu o cantitate m de la oscilațiile particulelor direct adiacente sursei. Aceste particule (cu coordonata x) vor efectua și vibrații armonice. În absența amortizarii, amplitudinea A oscilațiile (în cazul unei unde plane) nu vor depinde de coordonata x, adică.

Aceasta este ecuația necesară melancolia unui val care rulează(a nu se confunda cu ecuația de unde discutată mai jos!). Ecuația, așa cum sa menționat deja, ne permite să determinăm deplasarea % particule ale mediului cu coordonata x la momentul de timp t. Faza de oscilație depinde

pe două variabile: pe coordonata x a particulei și timp t. La un anumit moment fix în timp, fazele oscilațiilor diferitelor particule vor fi, în general, diferite, dar este posibil să se identifice particule ale căror oscilații vor avea loc în aceeași fază (în fază). De asemenea, putem presupune că diferența de fază dintre oscilațiile acestor particule este egală cu 2pt(Unde t = 1, 2, 3,...). Se numește distanța cea mai scurtă dintre două particule ale unei unde care se deplasează care oscilează în aceeași fază lungimea de unda X.

Să găsim relația lungimii de undă X cu alte mărimi care caracterizează propagarea oscilaţiilor în mediu. În conformitate cu definiția introdusă a lungimii de undă, putem scrie

sau după abrevieri De la , atunci

Această expresie ne permite să oferim o definiție diferită a lungimii de undă: Lungimea de undă este distanța pe care vibrațiile particulelor mediului au timp să se propage într-un timp egal cu perioada vibrațiilor.

Ecuația de undă dezvăluie periodicitate dublă: în coordonate și timp: ^(x, t) = Z,(x + nk, t) = l,(x, t + mT) = ​​​​Tx + pX, ml), Unde pete - orice numere întregi. Puteți, de exemplu, să fixați coordonatele particulelor (puneți x = const) şi consideră deplasarea lor în funcţie de timp. Sau, dimpotrivă, fixați un moment în timp (acceptați t = const) și considerați deplasarea particulelor în funcție de coordonate (starea instantanee a deplasărilor este o fotografie instantanee a unei unde). Deci, în timp ce vă aflați pe dig, puteți folosi o cameră la un moment dat t fotografiați suprafața mării, dar puteți arunca un cip în mare (adică fixând coordonatele X), monitorizați fluctuațiile acesteia în timp. Ambele cazuri sunt prezentate sub formă de grafice în Fig. 2.21, a-c.

Ecuația de undă (2.125) poate fi rescrisă diferit

Relația este notată La si se numeste numărul de undă

Deoarece , Acea

Numărul de undă arată astfel câte lungimi de undă se încadrează într-un segment de 2l unități de lungime. Prin introducerea numărului de undă în ecuația unei unde obținem ecuația unei unde care se deplasează în direcția pozitivă Oh undele în forma cea mai des folosită

Să găsim o expresie care să raporteze diferența de fază Der a vibrațiilor a două particule aparținând unor suprafețe de undă diferite. Xși x 2. Folosind ecuația de undă (2.131), scriem:

Dacă notăm sau conform (2.130)

O undă plană care se propagă într-o direcție arbitrară este descrisă în cazul general de ecuație

Unde G-vector de rază trasat de la origine până la particula aflată pe suprafața undei; La - un vector de undă egal ca mărime cu numărul de undă (2.130) și care coincide în direcția cu normala la suprafața undei în direcția de propagare a undei.

Este posibilă și o formă complexă de scriere a ecuației de undă. Deci, de exemplu, în cazul unei unde plane care se propagă de-a lungul axei X

iar în cazul general al unei unde plane de direcţie arbitrară

Ecuația de undă în oricare dintre formele enumerate poate fi obținută ca soluție la o ecuație diferențială numită ecuația de undă. Dacă știm soluția acestei ecuații sub forma (2.128) sau (2.135) - ecuația undei de călătorie, atunci găsirea ecuației de undă în sine nu este dificilă. Să diferențiem 4(x, t) = % de la (2.135) de două ori în coordonate și de două ori în timp și obținem

exprimând?, prin derivatele obținute și comparând rezultatele, obținem

Ținând cont de relația (2.129), scriem

Aceasta este ecuația undelor pentru cazul unidimensional.

În termeni generali pentru?, = c(x, y,z,/) ecuația de undă în coordonate carteziene arată astfel

sau într-o formă mai compactă:

unde D este operatorul diferenţial Laplace

Viteza fazei este viteza de propagare a punctelor de undă care oscilează în aceeași fază. Cu alte cuvinte, aceasta este viteza de mișcare a „crestei”, „jgheabului” sau a oricărui alt punct al valului, a cărui fază este fixă. După cum sa menționat mai devreme, frontul de undă (și, prin urmare, orice suprafață de undă) se mișcă de-a lungul axei Oh cu viteza Și.În consecință, viteza de propagare a oscilațiilor în mediu coincide cu viteza de mișcare a unei faze date de oscilații. Prin urmare viteza Și, determinat de relația (2.129), adică

numit de obicei viteza de fază.

Acelaşi rezultat poate fi obţinut prin aflarea vitezei punctelor din mediu care satisfac condiţia de fază constantă co/ - taxă = const. De aici găsim dependența coordonatei de timp (co/ - const) și viteza de deplasare a acestei faze.

care coincide cu (2.142).

Undă plană care se propagă în direcția axei negative Oh, descris de ecuație

Într-adevăr, în acest caz, viteza de fază este negativă

Viteza de fază într-un mediu dat poate depinde de frecvența de oscilație a sursei. Se numește dependența vitezei fazei de frecvență dispersie, iar mediile în care apare această dependenţă se numesc medii de dispersie. Nu trebuie să credem, totuși, că expresia (2.142) este dependența indicată. Ideea este că, în absența dispersiei, numărul de undă Laîn raport direct

cu si prin urmare . Dispersia are loc numai atunci când ω depinde de La neliniar).

Se numește undă plană care călătorește monocromatic (având o singură frecvență), dacă vibraţiile din sursă sunt armonice. Undele monocromatice corespund unei ecuații de forma (2.131).

Pentru o undă monocromatică, frecvența unghiulară co și amplitudinea A nu depinde de timp. Aceasta înseamnă că o undă monocromatică este nelimitată în spațiu și infinită în timp, adică. este un model idealizat. Orice undă reală, oricât de atent este menținută constanta frecvenței și amplitudinii, nu este monocromatică. O undă reală nu durează la infinit, ci începe și se termină la anumite momente într-un anumit loc și, prin urmare, amplitudinea unei astfel de undă este o funcție de timp și de coordonatele acestui loc. Cu toate acestea, cu cât intervalul de timp în care amplitudinea și frecvența oscilațiilor sunt menținute constante este mai lung, cu atât este mai aproape de monocromatic această undă. Adesea, în practică, o undă monocromatică este numită un segment suficient de mare al undei, în care frecvența și amplitudinea nu se schimbă, așa cum este descris în figură un segment al unei undă sinusoidală și se numește undă sinusoidală.