Din păcate, nu toți elevii și școlarii cunosc și iubesc algebra, dar toată lumea trebuie să pregătească temele, să rezolve teste și să susțină examene. Este deosebit de dificil pentru mulți să găsească sarcini pentru trasarea graficelor de funcții: dacă undeva nu înțelegeți ceva, nu-l terminați, ratați-l, greșelile sunt inevitabile. Dar cine vrea să ia note proaste?
Ați dori să vă alăturați cohortei de tailers și ratați? Pentru a face acest lucru, aveți 2 moduri: așezați-vă pentru manuale și completați golurile în cunoștințe sau utilizați un asistent virtual - un serviciu pentru trasarea automată a graficelor de funcții în funcție de condițiile specificate. Cu sau fără decizie. Astăzi vă vom prezenta câteva dintre ele.
Cel mai bun lucru despre Desmos.com este o interfață extrem de personalizabilă, interactivitate, capacitatea de a răspândi rezultatele în tabele și de a vă stoca munca în baza de date de resurse gratuit, fără limite de timp. Și dezavantajul este că serviciul nu este tradus complet în rusă.
Grafikus.ru
Grafikus.ru este un alt calculator remarcabil de grafice în limba rusă. Mai mult, el le construiește nu numai în spațiu bidimensional, ci și în spațiu tridimensional.
Iată o listă incompletă a sarcinilor cărora acest serviciu le face față cu succes:
- Desenarea graficelor 2D ale funcțiilor simple: linii, parabole, hiperbole, trigonometrice, logaritmice etc.
- Desenarea graficelor 2D ale funcțiilor parametrice: cercuri, spirale, figuri Lissajous și altele.
- Desenarea graficelor 2D în coordonate polare.
- Construcția suprafețelor 3D de funcții simple.
- Construcția suprafețelor 3D de funcții parametrice.
Rezultatul final se deschide într-o fereastră separată. Utilizatorul are opțiuni pentru a descărca, imprima și copia linkul către acesta. Pentru acesta din urmă, va trebui să vă conectați la serviciu prin butoanele rețelelor sociale.
Planul de coordonate Grafikus.ru acceptă modificarea limitelor axelor, a etichetelor acestora, a distanței dintre grilă, precum și a lățimii și înălțimii planului în sine și a mărimii fontului.
Cel mai mare punct forte al Grafikus.ru este capacitatea de a crea grafice 3D. În caz contrar, nu funcționează mai rău și nici mai bine decât resursele analogice.
Onlinecharts.ru
Asistentul online Onlinecharts.ru nu construiește diagrame, ci diagrame de aproape toate tipurile existente. Inclusiv:
- Liniar.
- Columnar.
- Circular.
- cu zone.
- Radial.
- Diagrame XY.
- Bubble.
- Punct.
- Tauri polari.
- Piramidele.
- Vitezometre.
- coloană-liniară.
Resursa este foarte ușor de utilizat. Aspectul diagramei (culoarea fundalului, grila, liniile, indicatoarele, forma colțului, fonturile, transparența, efectele speciale etc.) este complet definit de utilizator. Datele pentru construirea pot fi introduse fie manual, fie importate dintr-un tabel într-un fișier CSV stocat pe un computer. Rezultatul final este disponibil pentru descărcare pe un computer ca imagine, fișier PDF, CSV sau SVG, precum și pentru salvare online pe găzduirea foto ImageShack.Us sau în contul personal Onlinecharts.ru. Prima opțiune poate fi folosită de toată lumea, a doua - doar cei înregistrați.
1. Funcția fracțională liniară și graficul acesteia
O funcție de forma y = P(x) / Q(x), unde P(x) și Q(x) sunt polinoame, se numește funcție rațională fracțională.
Probabil că ești deja familiarizat cu conceptul de numere raționale. În mod similar funcții raționale sunt funcții care pot fi reprezentate ca un coeficient de două polinoame.
Dacă o funcție rațională fracțională este un coeficient de două funcții liniare - polinoame de gradul I, i.e. funcția de vizualizare
y = (ax + b) / (cx + d), atunci se numește liniar fracționar.
Rețineți că în funcția y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (în caz contrar, funcția devine liniară y = ax/d + b/d) și că a/c ≠ b/d (în caz contrar, funcția este o constantă). Funcția liniar-fracțională este definită pentru toate numerele reale, cu excepția x = -d/c. Graficele funcțiilor liniar-fracționale nu diferă ca formă de graficul pe care îl cunoașteți y = 1/x. Se numește curba care este graficul funcției y = 1/x hiperbolă. Cu o creștere nelimitată a x în valoare absolută, funcția y = 1/x scade la nesfârșit în valoare absolută și ambele ramuri ale graficului se apropie de axa absciselor: cea dreaptă se apropie de sus, iar cea stângă se apropie de jos. Liniile abordate de ramurile unei hiperbole se numesc ei asimptote.
Exemplul 1
y = (2x + 1) / (x - 3).
Soluţie.
Să selectăm partea întreagă: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Acum este ușor de observat că graficul acestei funcții se obține din graficul funcției y = 1/x prin următoarele transformări: deplasare cu 3 segmente unitare la dreapta, întindere de-a lungul axei Oy de 7 ori și deplasare cu 2 segmente de unitate în sus.
Orice fracție y = (ax + b) / (cx + d) poate fi scrisă în același mod, evidențiind „întreaga parte”. În consecință, graficele tuturor funcțiilor liniare-fracționale sunt hiperbole deplasate de-a lungul axelor de coordonate în diferite moduri și întinse de-a lungul axei Oy.
Pentru a reprezenta graficul unei funcții liniar-fracționale arbitrare, nu este deloc necesar să se transforme fracția care definește această funcție. Deoarece știm că graficul este o hiperbolă, va fi suficient să găsim liniile de care se apropie ramurile sale - asimptotele hiperbolei x = -d/c și y = a/c.
Exemplul 2
Aflați asimptotele graficului funcției y = (3x + 5)/(2x + 2).
Soluţie.
Funcția nu este definită, când x = -1. Prin urmare, linia x = -1 servește ca asimptotă verticală. Pentru a găsi asimptota orizontală, să aflăm ce se apropie de valorile funcției y(x) atunci când argumentul x crește în valoare absolută.
Pentru a face acest lucru, împărțim numărătorul și numitorul fracției la x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Ca x → ∞ fracția tinde spre 3/2. Prin urmare, asimptota orizontală este linia dreaptă y = 3/2.
Exemplul 3
Trasează funcția y = (2x + 1)/(x + 1).
Soluţie.
Selectăm „întreaga parte” a fracției:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Acum este ușor de observat că graficul acestei funcții se obține din graficul funcției y = 1/x prin următoarele transformări: o deplasare de 1 unitate la stânga, un afișaj simetric față de Ox și o deplasare de 2 unităţi de intervale în sus de-a lungul axei Oy.
Domeniul definiției D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Interval de valori E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Puncte de intersecție cu axele: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funcția crește pe fiecare dintre intervalele domeniului de definiție.
Răspuns: figura 1.
2. Funcția fracțională-rațională
Se consideră o funcție rațională fracțională de forma y = P(x) / Q(x), unde P(x) și Q(x) sunt polinoame de grad mai mare decât primul.
Exemple de astfel de funcții raționale:
y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) sau y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Dacă funcția y = P(x) / Q(x) este un coeficient de două polinoame de grad mai mare decât primul, atunci graficul său va fi, de regulă, mai complicat și uneori poate fi dificil să îl construiți exact. , cu toate detaliile. Cu toate acestea, este adesea suficient să aplicați tehnici similare cu cele cu care ne-am întâlnit deja mai sus.
Fie fracția proprie (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
În mod evident, graficul unei funcții raționale fracționale poate fi obținut ca sumă de grafice ale fracțiilor elementare.
Trasarea funcțiilor raționale fracționale
Luați în considerare mai multe moduri de a reprezenta o funcție fracțională-rațională.
Exemplul 4
Trasează funcția y = 1/x 2 .
Soluţie.
Folosim graficul funcției y \u003d x 2 pentru a reprezenta graficul y \u003d 1 / x 2 și folosim metoda de „împărțire” a graficelor.
Domeniul D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Interval de valori E(y) = (0; +∞).
Nu există puncte de intersecție cu axele. Funcția este uniformă. Crește pentru tot x din intervalul (-∞; 0), scade pentru x de la 0 la +∞.
Răspuns: figura 2.
Exemplul 5
Trasează funcția y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Soluţie.
Domeniul D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.
Aici am folosit tehnica factorizării, reducerii și reducerii la o funcție liniară.
Răspuns: figura 3.
Exemplul 6
Trasează funcția y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Soluţie.
Domeniul de definiție este D(y) = R. Deoarece funcția este pară, graficul este simetric față de axa y. Înainte de a trasa, transformăm din nou expresia prin evidențierea părții întregi:
y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).
Rețineți că selecția părții întregi în formula unei funcții fracționale-raționale este una dintre principalele la trasarea graficelor.
Dacă x → ±∞, atunci y → 1, adică linia y = 1 este o asimptotă orizontală.
Răspuns: figura 4.
Exemplul 7
Luați în considerare funcția y = x/(x 2 + 1) și încercați să găsiți exact valoarea sa cea mai mare, adică. cel mai înalt punct din jumătatea dreaptă a graficului. Pentru a construi cu acuratețe acest grafic, cunoștințele de astăzi nu sunt suficiente. Este evident că curba noastră nu poate „urca” foarte sus, de vreme ce numitorul începe rapid să „depășească” numărătorul. Să vedem dacă valoarea funcției poate fi egală cu 1. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați ecuația x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Această ecuație nu are rădăcini reale. Deci presupunerea noastră este greșită. Pentru a găsi cea mai mare valoare a funcției, trebuie să aflați pentru care A mai mare ecuația A \u003d x / (x 2 + 1) va avea o soluție. Să înlocuim ecuația inițială cu una pătratică: Ax 2 - x + A \u003d 0. Această ecuație are o soluție când 1 - 4A 2 ≥ 0. De aici găsim cea mai mare valoare A \u003d 1/2. 
Răspuns: Figura 5, max y(x) = ½.
Aveti vreo intrebare? Nu știți cum să construiți grafice de funcții?
Pentru a obține ajutorul unui tutor - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!
site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.
„Logaritm natural” - 0,1. logaritmi naturali. 4. „Săgeți logaritmice”. 0,04. 7.121.
„Funcția de putere gradul 9” - U. Parabolă cubică. Y = x3. Profesorul de clasa a 9-a Ladoshkina I.A. Y = x2. Hiperbolă. 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n unde n este un număr natural dat. X. Exponentul este un număr natural par (2n).
„Funcția cuadratică” - 1 Definiția funcției cuadratice 2 Proprietățile funcției 3 Grafice funcțiilor 4 Inegalități cuadratice 5 Concluzie. Proprietăți: Inegalități: Întocmit de Andrey Gerlitz, elev de clasa a 8-a. Plan: Grafic: -Intervale de monotonitate la a > 0 la a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
„Funcția cadranică și graficul acesteia” - Decizie. y \u003d 4x A (0,5: 1) 1 \u003d 1 A-apartine. Când a=1, formula y=ax ia forma.
„Funcția pătratică de clasa 8” - 1) Construiți vârful parabolei. Trasarea unei funcții pătratice. X. -7. Trasează funcția. Algebra Clasa a VIII-a Profesor 496 scoala Bovina TV -1. Plan de construcție. 2) Construiți axa de simetrie x=-1. y.
Lungimea segmentului pe axa de coordonate se află prin formula:
Lungimea segmentului pe planul de coordonate se caută prin formula:
Pentru a afla lungimea unui segment într-un sistem de coordonate tridimensional, se utilizează următoarea formulă:
Coordonatele mijlocului segmentului (pentru axa de coordonate se folosește doar prima formulă, pentru planul de coordonate - primele două formule, pentru sistemul de coordonate tridimensional - toate cele trei formule) sunt calculate prin formulele:
Funcţie este o corespondență a formei y= f(X) între variabile, datorită cărora fiecare a considerat valoarea unei variabile X(argument sau variabilă independentă) corespunde unei anumite valori a unei alte variabile, y(variabilă dependentă, uneori această valoare se numește pur și simplu valoarea funcției). Rețineți că funcția presupune acea valoare a argumentului X nu poate exista decât o singură valoare a variabilei dependente la. Totuși, aceeași valoare la se poate obtine cu diverse X.
Domeniul de aplicare a funcției sunt toate valorile variabilei independente (argumentul funcției, de obicei X) pentru care este definită funcția, i.e. sensul ei există. Este indicat domeniul de definire D(y). În general, ești deja familiarizat cu acest concept. Domeniul unei funcții este altfel numit domeniul valorilor valide, sau ODZ, pe care l-ați putut găsi de mult timp.
Gama de funcții sunt toate valorile posibile ale variabilei dependente a acestei funcții. Notat E(la).
Funcția crește pe intervalul în care valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mari a funcției. Funcție în scădere pe intervalul în care valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mici a funcției.
Intervalele de funcții sunt intervalele variabilei independente la care variabila dependentă își păstrează semnul pozitiv sau negativ.
Zerourile funcției sunt acele valori ale argumentului pentru care valoarea funcției este egală cu zero. În aceste puncte, graficul funcției intersectează axa absciselor (axa OX). Foarte des, nevoia de a găsi zerourile unei funcții înseamnă simpla rezolvare a ecuației. De asemenea, adesea nevoia de a găsi intervale de semn constant înseamnă nevoia de a rezolva pur și simplu inegalitatea.
Funcţie y = f(X) sunt numite chiar X
Aceasta înseamnă că pentru orice valori opuse ale argumentului, valorile funcției pare sunt egale. Graficul unei funcții pare este întotdeauna simetric față de axa y a amplificatorului operațional.
Funcţie y = f(X) sunt numite ciudat, dacă este definită pe o mulțime simetrică și pentru oricare X din domeniul definiției egalitatea este îndeplinită:
Aceasta înseamnă că pentru orice valori opuse ale argumentului, valorile funcției impare sunt, de asemenea, opuse. Graficul unei funcții impare este întotdeauna simetric față de origine.
Suma rădăcinilor funcțiilor pare și impare (punctele de intersecție ale axei absciselor OX) este întotdeauna egală cu zero, deoarece pentru fiecare rădăcină pozitivă X are rădăcină negativă X.
Este important de reținut că anumite funcții nu trebuie să fie par sau impare. Există multe funcții care nu sunt nici pare, nici impare. Astfel de funcții sunt numite funcții generale, și nici una dintre egalitățile sau proprietățile de mai sus nu sunt valabile pentru ele.
Funcție liniară se numeste functie ce poate fi data prin formula:
Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă și, în general, arată astfel (un exemplu este dat pentru cazul în care k> 0, în acest caz funcția este în creștere; pentru ocazie k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Graficul funcției cuadratice (Parabola)
Graficul unei parabole este dat de o funcție pătratică:
O funcție pătratică, ca orice altă funcție, intersectează axa OX în punctele care sunt rădăcinile sale: ( X unu ; 0) și ( X 2; 0). Dacă nu există rădăcini, atunci funcția pătratică nu intersectează axa OX, dacă există o rădăcină, atunci în acest punct ( X 0; 0) funcția pătratică atinge doar axa OX, dar nu o intersectează. O funcție pătratică intersectează întotdeauna axa OY într-un punct cu coordonatele: (0; c). Graficul unei funcții pătratice (parabolă) poate arăta astfel (figura arată exemple care departe de a epuiza toate tipurile posibile de parabole):
în care:
- dacă coeficientul A> 0, în funcție y = topor 2 + bx + c, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus;
- dacă A < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Coordonatele vârfurilor parabolelor pot fi calculate folosind următoarele formule. X vârfuri (p- în figurile de mai sus) a unei parabole (sau punctul în care trinomul pătrat atinge valoarea maximă sau minimă):
Y vârfuri (q- în figurile de mai sus) a unei parabole sau maximul dacă ramurile parabolei sunt îndreptate în jos ( A < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (A> 0), valoarea trinomului pătrat:
Grafice ale altor funcții
functie de putere
Iată câteva exemple de grafice ale funcțiilor de putere:
Dependență invers proporțională numiți funcția dată de formula:
În funcție de semnul numărului k Un grafic invers proporțional poate avea două opțiuni fundamentale:
Asimptotă este dreapta de care linia graficului funcției se apropie la infinit, dar nu se intersectează. Asimptotele pentru graficele de proporționalitate inversă prezentate în figura de mai sus sunt axele de coordonate, de care graficul funcției se apropie infinit, dar nu le intersectează.
functie exponentiala cu baza A numiți funcția dată de formula:
A graficul unei funcții exponențiale poate avea două opțiuni fundamentale (vom da și exemple, vezi mai jos):
funcţie logaritmică numiți funcția dată de formula:
Depinde dacă numărul este mai mare sau mai mic decât unu A Graficul unei funcții logaritmice poate avea două opțiuni fundamentale:
Graficul funcției y = |X| după cum urmează:
Grafice ale funcțiilor periodice (trigonometrice).
Funcţie la = f(X) se numește periodic, dacă există un astfel de număr diferit de zero T, ce f(X + T) = f(X), pentru oricine Xîn afara domeniului de aplicare f(X). Dacă funcţia f(X) este periodică cu punct T, apoi funcția:
Unde: A, k, b sunt numere constante și k nu este egal cu zero, de asemenea periodic cu punct T 1, care este determinată de formula:
Cele mai multe exemple de funcții periodice sunt funcții trigonometrice. Iată graficele principalelor funcții trigonometrice. Următoarea figură prezintă o parte din graficul funcției y= păcat X(întregul grafic continuă la nesfârșit la stânga și la dreapta), graficul funcției y= păcat X numit sinusoid:
Graficul funcției y= cos X numit unde cosinus. Acest grafic este prezentat în figura următoare. De la graficul sinusului, acesta continuă la nesfârșit de-a lungul axei OX la stânga și la dreapta:
Graficul funcției y=tg X numit tangentoid. Acest grafic este prezentat în figura următoare. Ca și graficele altor funcții periodice, acest grafic se repetă la nesfârșit de-a lungul axei OX la stânga și la dreapta.
Și în sfârșit, graficul funcției y=ctg X numit cotangentoid. Acest grafic este prezentat în figura următoare. Ca și graficele altor funcții periodice și trigonometrice, acest grafic se repetă la nesfârșit de-a lungul axei OX la stânga și la dreapta.
Implementarea cu succes, diligentă și responsabilă a acestor trei puncte vă va permite să arătați un rezultat excelent la CT, maximul de care sunteți capabil.
Ați găsit o eroare?
Dacă, după cum vi se pare, ați găsit o eroare în materialele de instruire, atunci vă rugăm să scrieți despre aceasta prin poștă. Puteți scrie despre eroare și pe rețeaua de socializare (). În scrisoare, indicați subiectul (fizică sau matematică), numele sau numărul temei sau testului, numărul sarcinii sau locul din text (pagină) în care, în opinia dumneavoastră, există o eroare. De asemenea, descrieți care este presupusa eroare. Scrisoarea ta nu va trece neobservată, eroarea fie va fi corectată, fie ți se va explica de ce nu este o greșeală.
