Când studiezi algebra într-o școală secundară (clasa a 9-a), una dintre subiectele importante este studiul secvențelor numerice, care includ progresii - geometrice și aritmetice. În acest articol, vom lua în considerare o progresie aritmetică și exemple cu soluții.
Ce este o progresie aritmetică?
Pentru a înțelege acest lucru, este necesar să se dea o definiție a progresiei luate în considerare, precum și să se dea formulele de bază care vor fi utilizate în continuare în rezolvarea problemelor.
O progresie aritmetică sau algebrică este un astfel de set de numere raționale ordonate, fiecare membru al cărora diferă de cel precedent printr-o cantitate constantă. Această valoare se numește diferență. Adică, cunoscând orice membru al unei serii ordonate de numere și diferența, puteți restabili întreaga progresie aritmetică.
Să luăm un exemplu. Următoarea succesiune de numere va fi o progresie aritmetică: 4, 8, 12, 16, ..., deoarece diferența în acest caz este 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Dar mulțimea numerelor 3, 5, 8, 12, 17 nu mai poate fi atribuită tipului de progresie luat în considerare, deoarece diferența pentru aceasta nu este o valoare constantă (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Formule importante
Vom oferi acum formulele de bază care vor fi necesare pentru a rezolva probleme folosind o progresie aritmetică. Fie un n să desemneze al n-lea membru al secvenței, unde n este un număr întreg. Diferența este notată de litera latină d. Atunci următoarele expresii sunt adevărate:
- Pentru a determina valoarea celui de-al n-lea termen, formula este potrivită: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
- Pentru a determina suma primilor n termeni: S n = (a n + a 1)*n/2.
Pentru a înțelege orice exemple de progresie aritmetică cu o soluție în clasa a 9-a, este suficient să ne amintim aceste două formule, deoarece orice probleme de tipul în cauză sunt construite pe utilizarea lor. De asemenea, nu uitați că diferența de progresie este determinată de formula: d = a n - a n-1 .
Exemplul #1: Găsirea unui membru necunoscut
Dăm un exemplu simplu de progresie aritmetică și formulele care trebuie folosite pentru rezolvare.
Să fie dată șirul 10, 8, 6, 4, ..., este necesar să găsim cinci termeni în ea.
Din condițiile problemei rezultă deja că primii 4 termeni sunt cunoscuți. Al cincilea poate fi definit în două moduri:
- Să calculăm mai întâi diferența. Avem: d = 8 - 10 = -2. În mod similar, se poate lua oricare alți doi termeni stând unul lângă celălalt. De exemplu, d = 4 - 6 = -2. Deoarece se știe că d \u003d a n - a n-1, apoi d \u003d a 5 - a 4, de unde obținem: a 5 \u003d a 4 + d. Inlocuim valorile cunoscute: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- A doua metodă necesită, de asemenea, cunoașterea diferenței progresiei în cauză, așa că mai întâi trebuie să o determinați, așa cum se arată mai sus (d = -2). Știind că primul termen a 1 = 10, folosim formula pentru numărul n al șirului. Avem: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Înlocuind n = 5 în ultima expresie, obținem: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
După cum puteți vedea, ambele soluții duc la același rezultat. Rețineți că în acest exemplu diferența d a progresiei este negativă. Astfel de secvențe se numesc descrescătoare deoarece fiecare termen succesiv este mai mic decât cel anterior.
Exemplul #2: diferența de progresie
Acum să complicăm puțin sarcina, să dăm un exemplu de cum
Se știe că la unii primul termen este egal cu 6, iar al 7-lea termen este egal cu 18. Este necesar să se găsească diferența și să se restabilească această secvență la al 7-lea termen.
Să folosim formula pentru a determina termenul necunoscut: a n = (n - 1) * d + a 1 . Înlocuim datele cunoscute din condiție, adică numerele a 1 și a 7, avem: 18 \u003d 6 + 6 * d. Din această expresie, puteți calcula cu ușurință diferența: d = (18 - 6) / 6 = 2. Astfel, s-a răspuns la prima parte a problemei.
Pentru a restabili secvența celui de-al 7-lea membru, ar trebui să utilizați definiția unei progresii algebrice, adică a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d și așa mai departe. Ca rezultat, restabilim întreaga secvență: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 și 7 = 18.
Exemplul #3: realizarea unei progresii
Să complicăm și mai mult starea problemei. Acum trebuie să răspundeți la întrebarea cum să găsiți o progresie aritmetică. Se poate da următorul exemplu: se dau două numere, de exemplu, 4 și 5. Este necesar să se facă o progresie algebrică astfel încât să mai fie plasați trei termeni între aceștia.
Înainte de a începe să rezolvați această problemă, este necesar să înțelegeți ce loc vor ocupa numerele date în progresia viitoare. Întrucât vor mai exista trei termeni între ei, apoi un 1 \u003d -4 și un 5 \u003d 5. După ce am stabilit acest lucru, trecem la o sarcină care este similară cu cea anterioară. Din nou, pentru al n-lea termen, folosim formula, obținem: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. De la: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Aici diferența nu este o valoare întreagă, ci este un număr rațional, deci formulele pentru progresia algebrică rămân aceleași.
Acum să adăugăm diferența găsită la un 1 și să restabilim membrii lipsă ai progresiei. Obținem: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u, 50 care a coincis cu starea problemei.
Exemplul #4: primul membru al progresiei
Continuăm să dăm exemple de progresie aritmetică cu o soluție. În toate problemele anterioare, era cunoscut primul număr al progresiei algebrice. Acum luați în considerare o problemă de alt tip: să fie date două numere, unde a 15 = 50 și a 43 = 37. Este necesar să aflăm de la ce număr începe această succesiune.
Formulele care au fost folosite până acum presupun cunoașterea a 1 și d. Nu se știe nimic despre aceste cifre în starea problemei. Cu toate acestea, să scriem expresiile pentru fiecare termen despre care avem informații: a 15 = a 1 + 14 * d și a 43 = a 1 + 42 * d. Avem două ecuații în care există 2 mărimi necunoscute (a 1 și d). Aceasta înseamnă că problema se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.
Sistemul specificat este cel mai ușor de rezolvat dacă exprimați un 1 în fiecare ecuație și apoi comparați expresiile rezultate. Prima ecuație: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; a doua ecuație: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Echivalând aceste expresii, obținem: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, de unde diferența d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (sunt date doar 3 zecimale).
Cunoscând d, puteți folosi oricare dintre cele 2 expresii de mai sus pentru a 1 . De exemplu, mai întâi: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.
Dacă există îndoieli cu privire la rezultat, îl puteți verifica, de exemplu, determinați al 43-lea membru al progresiei, care este specificat în condiție. Obținem: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. O mică eroare se datorează faptului că în calcule a fost utilizată rotunjirea la miimi.
Exemplul #5: Sumă
Acum să ne uităm la câteva exemple cu soluții pentru suma unei progresii aritmetice.
Să se dea o progresie numerică de următoarea formă: 1, 2, 3, 4, ...,. Cum se calculează suma a 100 dintre aceste numere?
Datorită dezvoltării tehnologiei informatice, această problemă poate fi rezolvată, adică adunăm secvențial toate numerele, ceea ce computerul va face imediat ce o persoană apasă tasta Enter. Problema poate fi însă rezolvată mental dacă acordați atenție că seria de numere prezentată este o progresie algebrică, iar diferența ei este 1. Aplicând formula pentru sumă, obținem: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Este curios de observat că această problemă se numește „gaussiană”, întrucât la începutul secolului al XVIII-lea celebrul german, încă la vârsta de doar 10 ani, a putut să o rezolve în minte în câteva secunde. Băiatul nu știa formula sumei unei progresii algebrice, dar a observat că dacă adaugi perechi de numere situate la marginile șirului, obții întotdeauna același rezultat, adică 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ... și, deoarece aceste sume vor fi exact 50 (100 / 2), atunci pentru a obține răspunsul corect, este suficient să înmulțiți 50 cu 101.
Exemplul #6: suma termenilor de la n la m
Un alt exemplu tipic al sumei unei progresii aritmetice este următorul: având în vedere o serie de numere: 3, 7, 11, 15, ..., trebuie să aflați care va fi suma termenilor săi de la 8 la 14.
Problema este rezolvată în două moduri. Primul dintre ei implică găsirea de termeni necunoscuți de la 8 la 14 și apoi însumarea lor secvenţial. Deoarece există puțini termeni, această metodă nu este suficient de laborioasă. Cu toate acestea, se propune rezolvarea acestei probleme prin a doua metodă, care este mai universală.
Ideea este de a obține o formulă pentru suma unei progresii algebrice între termenii m și n, unde n > m sunt numere întregi. Pentru ambele cazuri, scriem două expresii pentru suma:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Deoarece n > m, este evident că suma 2 o include pe prima. Ultima concluzie înseamnă că dacă luăm diferența dintre aceste sume și îi adăugăm termenul a m (în cazul luării diferenței se scade din suma S n), atunci obținem răspunsul necesar la problemă. Avem: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Este necesar să se înlocuiască formule pentru a n și a m în această expresie. Atunci obținem: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Formula rezultată este oarecum greoaie, totuși, suma S mn depinde doar de n, m, a 1 și d. În cazul nostru, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Înlocuind aceste numere, obținem: S mn = 301.
După cum se poate observa din soluțiile de mai sus, toate problemele se bazează pe cunoașterea expresiei pentru al n-lea termen și a formulei pentru suma mulțimii primilor termeni. Înainte de a începe să rezolvați oricare dintre aceste probleme, este recomandat să citiți cu atenție condiția, să înțelegeți clar ce doriți să găsiți și abia apoi să continuați cu soluția.
Un alt sfat este să depuneți eforturi pentru simplitate, adică dacă puteți răspunde la întrebare fără a utiliza calcule matematice complexe, atunci trebuie să faceți exact asta, deoarece în acest caz probabilitatea de a face o greșeală este mai mică. De exemplu, în exemplul unei progresii aritmetice cu soluția nr. 6, se poate opri la formula S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, și împărțiți sarcina generală în subsarcini separate (în acest caz, găsiți mai întâi termenii a n și a m).
Dacă există îndoieli cu privire la rezultatul obținut, se recomandă verificarea acestuia, așa cum s-a procedat în unele dintre exemplele date. Cum să găsești o progresie aritmetică, am aflat. Odată ce îți dai seama, nu este atât de greu.
Matematica are propria ei frumusețe, ca și pictura și poezia.
Om de știință rus, mecanic N.E. Jukovski
Sarcinile foarte frecvente la probele de admitere la matematică sunt sarcini legate de conceptul de progresie aritmetică. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, este necesar să cunoașteți bine proprietățile unei progresii aritmetice și să aveți anumite abilități în aplicarea lor.
Să ne amintim mai întâi principalele proprietăți ale unei progresii aritmetice și să prezentăm cele mai importante formule, asociat cu acest concept.
Definiție. Secvență numerică, în care fiecare termen ulterior diferă de cel precedent prin acelaşi număr, numită progresie aritmetică. În același timp, numărulse numeste diferenta de progresie.
Pentru o progresie aritmetică, formulele sunt valabile
, (1)
Unde . Formula (1) se numește formula termenului comun al unei progresii aritmetice, iar formula (2) este proprietatea principală a unei progresii aritmetice: fiecare membru al progresiei coincide cu media aritmetică a membrilor săi vecini și .
Rețineți că tocmai din cauza acestei proprietăți progresia luată în considerare este numită „aritmetică”.
Formulele (1) și (2) de mai sus sunt rezumate după cum urmează:
(3)
Pentru a calcula suma primul membrii unei progresii aritmeticese folosește de obicei formula
(5) unde și .
Dacă luăm în considerare formula (1), atunci formula (5) implică
Dacă desemnăm
Unde . Deoarece , atunci formulele (7) și (8) sunt o generalizare a formulelor corespunzătoare (5) și (6).
În special , din formula (5) rezultă, ce
Printre cele puțin cunoscute de majoritatea studenților se numără proprietatea unei progresii aritmetice, formulată prin intermediul următoarei teoreme.
Teorema. Daca atunci
Dovada. Daca atunci
Teorema a fost demonstrată.
De exemplu , folosind teorema, se poate arăta că
Să trecem la luarea în considerare a exemplelor tipice de rezolvare a problemelor pe tema „Progresia aritmetică”.
Exemplul 1 Lasă și . A găsi .
Decizie. Aplicând formula (6), obținem . Din moment ce și , atunci sau .
Exemplul 2 Lăsați de trei ori mai mult, iar când este împărțit la 2 în coeficient, restul este 8. Definiți și.
Decizie. Sistemul de ecuații rezultă din condiția exemplului
Deoarece , , și , atunci din sistemul de ecuații (10) obținem
Rezolvarea acestui sistem de ecuații sunt și .
Exemplul 3 Găsiți dacă și .
Decizie. Conform formulei (5), avem sau . Cu toate acestea, folosind proprietatea (9), obținem .
Din moment ce și , apoi din egalitate urmează ecuația sau .
Exemplul 4 Găsiți dacă .
Decizie.Prin formula (5) avem
Cu toate acestea, folosind teorema, se poate scrie
De aici și din formula (11) obținem .
Exemplul 5. Dat: . A găsi .
Decizie. De atunci . Cu toate acestea , prin urmare .
Exemplul 6 Să , și . A găsi .
Decizie. Folosind formula (9), obținem . Prin urmare, dacă , atunci sau .
Din moment ce și atunci aici avem un sistem de ecuații
Rezolvând care, obținem și .
Rădăcina naturală a ecuației este un .
Exemplul 7 Găsiți dacă și .
Decizie. Deoarece conform formulei (3) avem că , atunci sistemul de ecuații rezultă din condiția problemei
Dacă înlocuim expresiaîn a doua ecuație a sistemului, atunci obținem sau .
Rădăcinile ecuației pătratice suntși .
Să luăm în considerare două cazuri.
1. Fie , atunci . De când și , atunci .
În acest caz, conform formulei (6), avem
2. Dacă , atunci , și
Raspuns: si.
Exemplul 8 Se ştie că şi A găsi .
Decizie.Ținând cont de formula (5) și de condiția exemplului, scriem și .
Aceasta implică sistemul de ecuații
Dacă înmulțim prima ecuație a sistemului cu 2 și apoi o adăugăm la a doua ecuație, obținem
Conform formulei (9), avem. În acest sens, din (12) rezultă sau .
De când și , atunci .
Răspuns: .
Exemplul 9 Găsiți dacă și .
Decizie. Din moment ce , și după condiție , atunci sau .
Din formula (5) se știe, ce . De atunci .
Prin urmare, aici avem un sistem de ecuații liniare
De aici obținem și . Ținând cont de formula (8), scriem .
Exemplul 10 Rezolvați ecuația.
Decizie. Din ecuația dată rezultă că . Să presupunem că , , și . În acest caz .
Conform formulei (1), putem scrie sau .
Deoarece , ecuația (13) are o rădăcină adecvată unică .
Exemplul 11. Găsiți valoarea maximă cu condiția ca și .
Decizie. De la , atunci progresia aritmetică considerată este în scădere. În acest sens, expresia capătă o valoare maximă atunci când este numărul termenului minim pozitiv al progresiei.
Folosim formula (1) și faptul, care și . Apoi obținem asta sau .
Pentru că, atunci sau . Cu toate acestea, în această inegalitatecel mai mare număr natural, De aceea .
Dacă valorile și sunt înlocuite în formula (6), atunci obținem .
Răspuns: .
Exemplul 12. Aflați suma tuturor numerelor naturale de două cifre care, atunci când sunt împărțite la 6, au restul de 5.
Decizie. Se notează prin mulțimea tuturor numerelor naturale cu două valori, adică . În continuare, construim o submulțime constând din acele elemente (numere) ale mulțimii care, împărțite la numărul 6, dau un rest de 5.
Ușor de instalat, ce . Evident , că elementele ansambluluiformează o progresie aritmetică, în care și .
Pentru a determina cardinalitatea (numărul de elemente) mulțimii, presupunem că . Deoarece și , atunci formula (1) implică sau . Ținând cont de formula (5), obținem .
Exemplele de mai sus de rezolvare a problemelor nu pot pretinde în niciun caz a fi exhaustive. Acest articol este scris pe baza unei analize a metodelor moderne de rezolvare a problemelor tipice pe o anumită temă. Pentru un studiu mai profund al metodelor de rezolvare a problemelor legate de progresia aritmetică, este indicat să consultați lista de literatură recomandată.
1. Culegere de sarcini la matematică pentru solicitanții la universitățile tehnice / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Lumea și educația, 2013. - 608 p.
2. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare din programa școlară. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.
3. Medynsky M.M. Un curs complet de matematică elementară în sarcini și exerciții. Cartea 2: Secvențe de numere și progresii. – M.: Editus, 2015. - 208 p.
Aveti vreo intrebare?
Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.
site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.
Care este esența formulei?
Această formulă vă permite să găsiți orice CU NUMĂRUL LUI" n" .
Desigur, trebuie să știi primul termen a 1 si diferenta de progresie d, ei bine, fără acești parametri, nu puteți nota o anumită progresie.
Nu este suficient să memorezi (sau să înșeli) această formulă. Este necesar să-i asimilezi esența și să aplici formula în diverse probleme. Da, și nu uita la momentul potrivit, da...) Cum nu uita- Nu știu. Si aici cum să-ți amintești Dacă este nevoie, vă dau un indiciu. Pentru cei care stăpânesc lecția până la sfârșit.)
Deci, să ne ocupăm de formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice.
Ce este o formulă în general - ne imaginăm.) Ce este o progresie aritmetică, un număr de membru, o diferență de progresie - este precizat clar în lecția anterioară. Aruncă o privire dacă nu l-ai citit. Totul este simplu acolo. Rămâne să ne dăm seama ce al-lea membru.
Progresia în general poate fi scrisă ca o serie de numere:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1- denotă primul termen al unei progresii aritmetice, a 3- al treilea membru a 4- al patrulea și așa mai departe. Dacă suntem interesați de al cincilea mandat, să presupunem că lucrăm cu un 5, dacă o sută douăzecea - din un 120.
Cum se definește în general orice membru al unei progresii aritmetice, s orice număr? Foarte simplu! Ca aceasta:
un n
Asta e al n-lea membru al unei progresii aritmetice. Sub litera n toate numerele de membri sunt ascunse simultan: 1, 2, 3, 4 și așa mai departe.
Și ce ne oferă un astfel de record? Gândește-te, în loc de un număr, au notat o scrisoare...
Această notație ne oferă un instrument puternic pentru a lucra cu progresii aritmetice. Folosind notația un n, putem găsi rapid orice membru orice progresie aritmetică. Și o grămadă de sarcini de rezolvat în progresie. Vei vedea mai departe.
În formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- primul membru al progresiei aritmetice;
n- numarul membrului.
Formula leagă parametrii cheie ai oricărei progresii: un n; a 1; dși n. În jurul acestor parametri, toate puzzle-urile se învârt în progresie.
Formula a n-a termen poate fi folosită și pentru a scrie o anumită progresie. De exemplu, în problemă se poate spune că progresia este dată de condiția:
a n = 5 + (n-1) 2.
O astfel de problemă poate chiar deruta... Nu există serie, nicio diferență... Dar, comparând condiția cu formula, este ușor să ne dăm seama că în această progresie a 1 \u003d 5 și d \u003d 2.
Și poate fi și mai supărat!) Dacă luăm aceeași condiție: a n = 5 + (n-1) 2, da, deschide parantezele si da altele asemanatoare? Obținem o nouă formulă:
an = 3 + 2n.
Aceasta este Numai că nu general, ci pentru o evoluție specifică. Aici se află capcana. Unii oameni cred că primul termen este un trei. Deși în realitate primul membru este un cinci... Puțin mai jos vom lucra cu o astfel de formulă modificată.
În sarcinile pentru progresie, există o altă notație - un n+1. Acesta este, ați ghicit, termenul „n plus primul” al progresiei. Sensul său este simplu și inofensiv.) Acesta este un membru al progresiei, al cărui număr este mai mare decât numărul n cu unul. De exemplu, dacă într-o problemă luăm pentru un n al cincilea termen, atunci un n+1 va fi al șaselea membru. etc.
Cel mai adesea desemnarea un n+1 apare în formule recursive. Nu vă fie teamă de acest cuvânt groaznic!) Acesta este doar un mod de a exprima un termen al unei progresii aritmetice prin cea precedentă. Să presupunem că ni se oferă o progresie aritmetică în această formă, folosind formula recurentă:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Al patrulea - prin al treilea, al cincilea - prin al patrulea și așa mai departe. Și cum să numărăm imediat, să spunem al douăzecilea termen, un 20? Dar în niciun caz!) În timp ce al 19-lea termen nu este cunoscut, al 20-lea nu poate fi numărat. Aceasta este diferența fundamentală dintre formula recursivă și formula celui de-al n-lea termen. Recursivul funcționează numai prin anterior termen, iar formula celui de-al n-lea termen - prin primul si permite pe loc găsiți orice membru după numărul său. Nu numărând întreaga serie de numere în ordine.
Într-o progresie aritmetică, o formulă recursivă poate fi ușor transformată într-una obișnuită. Numără o pereche de termeni consecutivi, calculează diferența d, găsiți, dacă este necesar, primul termen a 1, scrieți formula în forma obișnuită și lucrați cu ea. În GIA, astfel de sarcini sunt adesea găsite.
Aplicarea formulei celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice.
Mai întâi, să ne uităm la aplicarea directă a formulei. La sfârșitul lecției anterioare a apărut o problemă:
Având în vedere o progresie aritmetică (a n). Găsiți un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.
Această problemă poate fi rezolvată fără formule, pur și simplu pe baza semnificației progresiei aritmetice. Adăugați, da adăugați... O oră sau două.)
Și conform formulei, soluția va dura mai puțin de un minut. O poți cronometra.) Noi decidem.
Condițiile oferă toate datele pentru utilizarea formulei: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Rămâne de văzut ce n. Nici o problema! Trebuie să găsim un 121. Aici scriem:
Vă rugam să acordați atentie! În loc de index n a apărut un anumit număr: 121. Ceea ce este destul de logic.) Ne interesează membrul progresiei aritmetice. numărul o sută douăzeci şi unu. Acesta va fi al nostru n. Acesta este sensul n= 121 vom înlocui în continuare în formulă, între paranteze. Înlocuiți toate numerele din formulă și calculați:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Cam despre asta e. La fel de repede s-ar putea găsi al cinci sute al zecelea membru și al miei și al treilea, oricare. punem in schimb n numărul dorit în indexul literei " A"și între paranteze și luăm în considerare.
Permiteți-mi să vă reamintesc esența: această formulă vă permite să găsiți orice termenul unei progresii aritmetice CU NUMĂRUL LUI" n" .
Să rezolvăm problema mai inteligent. Să presupunem că avem următoarea problemă:
Aflați primul termen al progresiei aritmetice (a n) dacă a 17 =-2; d=-0,5.
Dacă aveți dificultăți, vă propun primul pas. Scrieți formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice! Da Da. Scrieți de mână, chiar în caiet:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Și acum, uitându-ne la literele formulei, înțelegem ce date avem și ce lipsește? Disponibil d=-0,5, există un al șaptesprezecelea membru... Totul? Dacă crezi că asta e tot, atunci nu poți rezolva problema, da...
Avem și un număr n! In stare a 17 =-2 ascuns doua variante. Aceasta este atât valoarea celui de-al șaptesprezecelea membru (-2), cât și numărul său (17). Acestea. n=17. Acest „lucru” alunecă adesea pe lângă cap, iar fără el, (fără „lucru”, nu cap!) Problema nu poate fi rezolvată. Deși... și fără cap.)
Acum putem pur și simplu să substituim datele noastre în formula:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
O da, un 17știm că este -2. Bine, hai să-l punem în:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Asta, în esență, este tot. Rămâne să exprimăm primul termen al progresiei aritmetice din formulă și să calculați. Primești răspunsul: a 1 = 6.
O astfel de tehnică - scrierea unei formule și pur și simplu înlocuirea datelor cunoscute - ajută foarte mult în sarcinile simple. Ei bine, trebuie, desigur, să poți exprima o variabilă dintr-o formulă, dar ce să faci!? Fără această abilitate, matematica nu poate fi studiată deloc...
O altă problemă populară:
Aflați diferența progresiei aritmetice (a n) dacă a 1 =2; a 15 =12.
Ce facem? Vei fi surprins, noi scriem formula!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Luați în considerare ceea ce știm: a 1 =2; a 15 =12; și (evidențiere specială!) n=15. Simțiți-vă liber să înlocuiți în formula:
12=2 + (15-1)d
Să facem aritmetica.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Acesta este răspunsul corect.
Deci, sarcini a n, a 1și d hotărât. Rămâne să înveți cum să găsești numărul:
Numărul 99 este membru al unei progresii aritmetice (a n), unde a 1 =12; d=3. Găsiți numărul acestui membru.
Înlocuim cantitățile cunoscute în formula celui de-al n-lea termen:
a n = 12 + (n-1) 3
La prima vedere, există două cantități necunoscute aici: un n și n. Dar un n este un membru al progresiei cu numărul n... Și acest membru al progresiei îl cunoaștem! Este 99. Nu-i știm numărul. n, deci trebuie găsit și acest număr. Înlocuiți termenul de progresie 99 în formula:
99 = 12 + (n-1) 3
Exprimăm din formulă n, noi gândim. Primim raspunsul: n=30.
Și acum o problemă pe aceeași temă, dar mai creativă):
Determinați dacă numărul 117 va fi membru al unei progresii aritmetice (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Să scriem din nou formula. Ce, nu există opțiuni? Hm... De ce avem nevoie de ochi?) Vedem primul membru al progresiei? V-om vedea. Acesta este -3,6. Puteți scrie în siguranță: a 1 \u003d -3,6. Diferență d se poate determina din serie? Este ușor dacă știi care este diferența unei progresii aritmetice:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Da, am făcut cel mai simplu lucru. Rămâne de a face cu un număr necunoscut nși un număr de neînțeles 117. În problema anterioară, cel puțin se știa că era dat termenul de progresie. Dar aici nici nu știm că... Cum să fim!? Ei bine, cum să fii, cum să fii... Pornește-ți abilitățile creative!)
Noi presupune că 117 este, până la urmă, un membru al progresiei noastre. Cu un număr necunoscut n. Și, la fel ca în problema anterioară, să încercăm să găsim acest număr. Acestea. scriem formula (da-da!)) și înlocuim numerele noastre:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Din nou exprimăm din formulăn, numărăm și obținem:
Hopa! Numărul s-a dovedit fracționat! O sută și jumătate. Și numere fracționale în progresii nu poate fi. Ce concluzie tragem? Da! Numărul 117 nu este membru al progresiei noastre. Este undeva între al 101-lea și al 102-lea membru. Dacă numărul s-a dovedit a fi natural, de ex. întreg pozitiv, atunci numărul ar fi un membru al progresiei cu numărul găsit. Și în cazul nostru, răspunsul la problemă va fi: Nu.
Sarcină bazată pe o versiune reală a GIA:
Progresia aritmetică este dată de condiția:
a n \u003d -4 + 6,8n
Găsiți primul și al zecelea termen al progresiei.
Aici progresia este stabilită într-un mod neobișnuit. Un fel de formulă... Se întâmplă.) Cu toate acestea, această formulă (cum am scris mai sus) - de asemenea formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice! Ea permite, de asemenea găsiți orice membru al progresiei după numărul său.
Căutăm primul membru. Cel care gândește. că primul termen este minus patru, se înșeală fatal!) Deoarece formula din problemă este modificată. Primul termen al unei progresii aritmetice în el ascuns. Nimic, îl vom găsi acum.)
La fel ca în sarcinile anterioare, înlocuim n=1în această formulă:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Aici! Primul termen este 2,8, nu -4!
În mod similar, căutăm al zecelea termen:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
Cam despre asta e.
Și acum, pentru cei care au citit până la aceste rânduri, bonusul promis.)
Să presupunem că, într-o situație dificilă de luptă a GIA sau a examenului de stat unificat, ați uitat formula utilă a celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice. Ceva îmi vine în minte, dar cumva nesigur... Fie n acolo, sau n+1 sau n-1... cum sa fii!?
Calm! Această formulă este ușor de obținut. Nu foarte strict, dar cu siguranță suficient pentru încredere și decizia corectă!) Pentru concluzie, este suficient să vă amintiți semnificația elementară a progresiei aritmetice și să aveți câteva minute de timp. Trebuie doar să desenezi o imagine. Pentru claritate.
Desenăm o axă numerică și o marchem pe prima. al doilea, al treilea etc. membrii. Și notează diferența dîntre membri. Ca aceasta:
Ne uităm la imagine și ne gândim: cu ce este egal al doilea termen? Al doilea unu d:
A 2 =a 1 + 1 d
Care este al treilea termen? Al treilea termenul este egal cu primul termen plus Două d.
A 3 =a 1 + 2 d
Ai inteles? Nu pun câteva cuvinte cu caractere aldine degeaba. Bine, încă un pas.)
Care este al patrulea termen? Al patrulea termenul este egal cu primul termen plus Trei d.
A 4 =a 1 + 3 d
Este timpul să ne dăm seama că numărul de lacune, adică. d, mereu cu unul mai puțin decât numărul membrului pe care îl căutați n. Adică până la număr n, numărul de goluri voi n-1. Deci, formula va fi (fără opțiuni!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
În general, imaginile vizuale sunt de mare ajutor în rezolvarea multor probleme de matematică. Nu neglija pozele. Dar dacă este dificil să desenezi o imagine, atunci ... doar o formulă!) În plus, formula celui de-al n-lea termen vă permite să conectați întregul arsenal puternic al matematicii la soluție - ecuații, inegalități, sisteme etc. Nu poți pune o imagine într-o ecuație...
Sarcini pentru decizie independentă.
Pentru încălzire:
1. În progresia aritmetică (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Găsiți un 3.
Sugestie: conform imaginii, problema se rezolvă în 20 de secunde... Conform formulei, se dovedește mai dificil. Dar pentru stăpânirea formulei, este mai util.) În Secțiunea 555, această problemă este rezolvată atât prin imagine, cât și prin formulă. Simte diferenta!)
Și aceasta nu mai este o încălzire.)
2. În progresia aritmetică (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Aflați un 3 .
Ce, reticența de a face o imagine?) Totuși! E mai bine in formula, da...
3. Progresia aritmetică este dată de condiția:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Găsiți termenul o sută douăzeci și cinci al acestei progresii.
În această sarcină, progresia este dată în mod recurent. Dar numărând până la al o sută douăzeci și cinci de mandat... Nu oricine poate face o asemenea ispravă.) Dar formula celui de-al n-lea termen este în puterea tuturor!
4. Având în vedere o progresie aritmetică (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Aflați numărul celui mai mic termen pozitiv al progresiei.
5. Conform condiției sarcinii 4, găsiți suma celor mai mici membri pozitivi și cei mai mari negativi ai progresiei.
6. Produsul termenilor al cincilea și al doisprezecelea al unei progresii aritmetice crescătoare este -2,5, iar suma celor trei și al unsprezecelea termeni este zero. Găsiți un 14.
Nu este cea mai ușoară sarcină, da ...) Aici metoda „pe degete” nu va funcționa. Trebuie să scrieți formule și să rezolvați ecuații.
Răspunsuri (în dezordine):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
S-a întâmplat? E dragut!)
Nu merge totul? S-a întâmplat. Apropo, în ultima sarcină există un punct subtil. Va fi necesară atenție la citirea problemei. Și logica.
Soluția tuturor acestor probleme este discutată în detaliu în secțiunea 555. Și elementul fantezie pentru al patrulea și momentul subtil pentru al șaselea și abordări generale pentru rezolvarea oricăror probleme pentru formula celui de-al n-lea termen - totul este pictat. Recomanda.
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)
vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Suma unei progresii aritmetice.
Suma unei progresii aritmetice este un lucru simplu. Atât în sens, cât și în formulă. Dar există tot felul de sarcini pe această temă. De la elementar la destul de solid.
În primul rând, să ne ocupăm de sensul și formula sumei. Și atunci vom decide. Pentru plăcerea ta.) Sensul sumei este la fel de simplu ca și joasă. Pentru a găsi suma unei progresii aritmetice, trebuie doar să adăugați cu atenție toți membrii acesteia. Dacă acești termeni sunt puțini, puteți adăuga fără formule. Dar dacă există mult, sau mult... adăugarea este enervantă.) În acest caz, formula salvează.
Formula sumei este simplă:
Să ne dăm seama ce fel de litere sunt incluse în formulă. Acest lucru se va clarifica foarte mult.
S n este suma unei progresii aritmetice. Rezultat adaos toate membri, cu primul pe ultimul. Este important. Adunați exact toate membri la rând, fără goluri și sărituri. Și, exact, pornind de la primul.În probleme precum găsirea sumei termenilor al treilea și al optulei sau a sumei termenilor cinci până la al douăzecilea, aplicarea directă a formulei va fi dezamăgitoare.)
a 1 - primul membru al progresiei. Totul este clar aici, e simplu primul numărul rândului.
un n- ultimul membru al progresiei. Ultimul număr al rândului. Nu este un nume foarte familiar, dar, atunci când este aplicat la sumă, este foarte potrivit. Atunci vei vedea singur.
n este numărul ultimului membru. Este important să înțelegeți că în formulă acest număr coincide cu numărul de termeni adăugați.
Să definim conceptul ultimul membru un n. Întrebare de completare: ce fel de membru va ultimul, dacă este dat fără sfârşit progresie aritmetica?
Pentru un răspuns sigur, trebuie să înțelegeți semnificația elementară a unei progresii aritmetice și... citiți cu atenție tema!)
În sarcina de a găsi suma unei progresii aritmetice, ultimul termen apare întotdeauna (direct sau indirect), care ar trebui limitată.În caz contrar, o sumă finită, specifică pur si simplu nu exista. Pentru soluție, nu contează ce fel de progresie este dată: finită sau infinită. Nu contează cum este dat: printr-o serie de numere sau prin formula celui de-al n-lea membru.
Cel mai important este să înțelegeți că formula funcționează de la primul termen al progresiei până la termenul cu numărul n. De fapt, numele complet al formulei arată astfel: suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice. Numărul acestor primi membri, adică n, este determinată exclusiv de sarcină. În sarcină, toate aceste informații valoroase sunt adesea criptate, da ... Dar nimic, în exemplele de mai jos vom dezvălui aceste secrete.)
Exemple de sarcini pentru suma unei progresii aritmetice.
In primul rand informatii utile:
Principala dificultate în sarcinile pentru suma unei progresii aritmetice este determinarea corectă a elementelor formulei.
Autorii sarcinilor criptează aceste elemente cu o imaginație nemărginită.) Principalul lucru aici este să nu-ți fie frică. Înțelegând esența elementelor, este suficient doar să le descifrem. Să aruncăm o privire la câteva exemple în detaliu. Să începem cu o sarcină bazată pe un GIA real.
1. Progresia aritmetică este dată de condiția: a n = 2n-3.5. Aflați suma primilor 10 termeni.
Loc de muncă bun. Ușor.) Pentru a determina cantitatea conform formulei, ce trebuie să știm? Primul membru a 1, ultimul termen un n, da numarul ultimului termen n.
De unde să obțineți ultimul număr de membru n? Da, in acelasi loc, in stare! Spune găsiți suma primii 10 membri. Ei bine, ce număr va fi ultimul, al zecelea membru?) Nu veți crede, numărul lui este al zecelea!) Prin urmare, în loc de un n vom înlocui în formulă un 10, dar în schimb n- zece. Din nou, numărul ultimului membru este același cu numărul de membri.
Rămâne de stabilit a 1și un 10. Acest lucru este ușor de calculat prin formula celui de-al n-lea termen, care este dată în enunțul problemei. Nu știi cum să o faci? Vizitați lecția anterioară, fără aceasta - nimic.
a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
un 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Am aflat semnificația tuturor elementelor formulei pentru suma unei progresii aritmetice. Rămâne să le înlocuim și să numărăm:
Cam despre asta e. Raspuns: 75.
O altă sarcină bazată pe GIA. Puțin mai complicat:
2. Având în vedere o progresie aritmetică (a n), a cărei diferență este 3,7; a 1 \u003d 2.3. Aflați suma primilor 15 termeni.
Scriem imediat formula sumei:
Această formulă ne permite să găsim valoarea oricărui membru după numărul său. Căutăm o înlocuire simplă:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Rămâne să înlocuiți toate elementele din formulă pentru suma unei progresii aritmetice și să calculați răspunsul:
Răspuns: 423.
Apropo, dacă în formula sumei în loc de un n doar înlocuiți formula celui de-al n-lea termen, obținem:
Dăm altele similare, obținem o nouă formulă pentru suma membrilor unei progresii aritmetice:
 |
După cum puteți vedea, al n-lea termen nu este necesar aici. un n. În unele sarcini, această formulă ajută foarte mult, da... Vă puteți aminti această formulă. Și îl puteți retrage pur și simplu la momentul potrivit, ca aici. La urma urmei, formula pentru sumă și formula pentru al n-lea termen trebuie amintite în orice fel.)
Acum sarcina sub forma unei criptări scurte):
3. Găsiți suma tuturor numerelor pozitive din două cifre care sunt multipli de trei.
Cum! Nici primul membru, nici ultimul, nicio progresie... Cum să trăiești!?
Va trebui să gândești cu capul și să scoți din condiție toate elementele sumei unei progresii aritmetice. Ce sunt numerele din două cifre - știm. Ele constau din două numere.) Ce număr de două cifre va primul? 10, probabil.) ultimul lucru număr de două cifre? 99, desigur! Cei din trei cifre îl vor urma...
Multipli de trei... Hm... Acestea sunt numere care sunt divizibile egal cu trei, aici! Zece nu este divizibil cu trei, 11 nu este divizibil... 12... este divizibil! Deci, ceva iese la iveală. Puteți deja să scrieți o serie în funcție de starea problemei:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Va fi această serie o progresie aritmetică? Cu siguranță! Fiecare termen diferă de cel precedent strict cu trei. Dacă la termen se adaugă 2 sau 4, să zicem rezultatul, adică. un număr nou nu va mai fi împărțit la 3. Puteți determina imediat diferența progresiei aritmetice către grămada: d = 3. Util!)
Deci, putem nota în siguranță câțiva parametri de progresie:
Care va fi numărul n ultimul membru? Oricine crede că 99 se înșală fatal... Numerele - merg întotdeauna la rând, iar membrii noștri sar peste primii trei. Nu se potrivesc.
Există două soluții aici. O modalitate este pentru cei super muncitori. Puteți picta progresia, întreaga serie de numere și puteți număra numărul de termeni cu degetul.) A doua cale este pentru cei gânditori. Trebuie să vă amintiți formula pentru al n-lea termen. Dacă formula este aplicată problemei noastre, obținem că 99 este al treizecilea membru al progresiei. Acestea. n = 30.
Ne uităm la formula pentru suma unei progresii aritmetice:
Ne uităm și ne bucurăm.) Am scos tot ce era necesar pentru calcularea sumei din starea problemei:
a 1= 12.
un 30= 99.
S n = S 30.
Ceea ce rămâne este aritmetica elementară. Înlocuiește numerele din formulă și calculează:
Răspuns: 1665
Un alt tip de puzzle-uri populare:
4. Se dă o progresie aritmetică:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Găsiți suma termenilor de la al douăzecilea la al treizeci și patrulea.
Ne uităm la formula sumei și... suntem supărați.) Formula, permiteți-mi să vă reamintesc, calculează suma din prima membru. Și în problemă trebuie să calculați suma din al XX-lea... Formula nu va funcționa.
Puteți, desigur, să pictați întreaga progresie la rând și să puneți membrii de la 20 la 34. Dar ... cumva se dovedește prostesc și pentru mult timp, nu?)
Există o soluție mai elegantă. Să împărțim seria noastră în două părți. Prima parte va de la primul termen până la al nouăsprezecelea. A doua parte - douăzeci până la treizeci şi patru. Este clar că dacă calculăm suma termenilor primei părți S 1-19, să-l adăugăm la suma membrilor din partea a doua S 20-34, obținem suma progresiei de la primul termen la al treizeci și patrulea S 1-34. Ca aceasta:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Aceasta arată că pentru a găsi suma S 20-34 se poate face prin simpla scădere
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Sunt luate în considerare ambele sume din partea dreaptă din prima membru, adică formula sumei standard le este destul de aplicabilă. Începem?
Extragem parametrii de progresie din condiția sarcinii:
d = 1,5.
a 1= -21,5.
Pentru a calcula sumele primilor 19 și primilor 34 de termeni, vom avea nevoie de al 19-lea și al 34-lea termen. Le numărăm după formula celui de-al n-lea termen, ca în problema 2:
un 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
un 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Nu a mai ramas nimic. Scădeți suma a 19 termeni din suma a 34 de termeni:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Răspuns: 262,5
O notă importantă! Există o caracteristică foarte utilă în rezolvarea acestei probleme. În loc de calcul direct de ce ai nevoie (S 20-34), am numărat ceea ce, s-ar părea, nu este necesar - S 1-19.Și atunci s-au hotărât S 20-34, eliminând ceea ce nu este necesar din rezultatul complet. O astfel de „făcătură cu urechile” salvează adesea în puzzle-uri malefice.)
În această lecție, am examinat probleme pentru care este suficient să înțelegem sensul sumei unei progresii aritmetice. Ei bine, trebuie să știți câteva formule.)
Sfaturi practice:
Când rezolvați orice problemă pentru suma unei progresii aritmetice, vă recomand să scrieți imediat cele două formule principale din acest subiect.
Formula celui de-al n-lea termen:
Aceste formule vă vor spune imediat ce să căutați, în ce direcție să gândiți pentru a rezolva problema. Ajută.
Și acum sarcinile pentru o soluție independentă.
5. Aflați suma tuturor numerelor din două cifre care nu sunt divizibile cu trei.
Cool?) Sugestia este ascunsă în nota la problema 4. Ei bine, problema 3 va ajuta.
6. Progresia aritmetică este dată de condiția: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Aflați suma primilor 24 de termeni.
Neobișnuit?) Aceasta este o formulă recurentă. Puteți citi despre asta în lecția anterioară. Nu ignora linkul, astfel de puzzle-uri se găsesc adesea în GIA.
7. Vasya a făcut economii pentru Sărbători. Cât de mult 4550 de ruble! Și am decis să-i ofer celei mai iubite persoane (mie) câteva zile de fericire). Trăiește frumos fără a te nega nimic. Cheltuiește 500 de ruble în prima zi și cheltuiește cu 50 de ruble mai mult în fiecare zi următoare decât în ziua anterioară! Până se epuizează banii. Câte zile de fericire a avut Vasya?
Este dificil?) O formulă suplimentară din sarcina 2 va ajuta.
Răspunsuri (în dezordine): 7, 3240, 6.
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)
vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
O progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este mai mare (sau mai mic) decât cel precedent cu aceeași cantitate.
Acest subiect este adesea dificil și de neînțeles. Indici de litere, al n-lea membru al progresiei, diferența progresiei - toate acestea sunt oarecum confuze, da ... Să ne dăm seama care este semnificația progresiei aritmetice și totul se va rezolva imediat.)
Conceptul de progresie aritmetică.
Progresia aritmetică este un concept foarte simplu și clar. Îndoială? Degeaba.) Vezi singur.
Voi scrie o serie neterminată de numere:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Poți extinde această linie? Ce numere vor urma, după cele cinci? Toată lumea... uh..., pe scurt, toată lumea își va da seama că numerele 6, 7, 8, 9 etc. vor merge mai departe.
Să complicăm sarcina. Dau o serie neterminată de numere:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Puteți să prindeți modelul, să extindeți seria și să denumiți al șaptelea numărul rândului?
Dacă v-ați dat seama că acest număr este 20 - vă felicit! Nu numai că ai simțit puncte cheie ale unei progresii aritmetice, dar și le-a folosit cu succes în afaceri! Dacă nu înțelegi, citește mai departe.
Acum să traducem punctele cheie din senzații în matematică.)
Primul punct cheie.
Progresia aritmetică se ocupă de serii de numere. Acest lucru este confuz la început. Suntem obișnuiți să rezolvăm ecuații, să construim grafice și toate astea... Și apoi extindem seria, găsim numărul seriei...
E bine. Doar că progresiile sunt prima cunoaștere cu o nouă ramură a matematicii. Secțiunea se numește „Serii” și funcționează cu serii de numere și expresii. Obisnuieste-te.)
Al doilea punct cheie.
Într-o progresie aritmetică, orice număr diferă de cel precedent cu aceeași sumă.
În primul exemplu, această diferență este una. Indiferent de numărul pe care îl luați, este cu unul mai mult decât cel anterior. În al doilea - trei. Orice număr este de trei ori mai mare decât cel precedent. De fapt, acest moment este cel care ne oferă posibilitatea de a surprinde tiparul și de a calcula numerele ulterioare.
Al treilea punct cheie.
Acest moment nu este izbitor, da... Dar foarte, foarte important. Iată-l: fiecare număr de progresie este la locul său. Există primul număr, există al șaptelea, există al patruzeci și cincilea și așa mai departe. Dacă le încurci la întâmplare, modelul va dispărea. Va dispărea și progresia aritmetică. Este doar o serie de numere.
Asta e toată ideea.
Desigur, în noul subiect apar termeni și notații noi. Ei trebuie să știe. Altfel, nu vei înțelege sarcina. De exemplu, trebuie să decideți ceva de genul:
Notați primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n) dacă a 2 = 5, d = -2,5.
Inspiră?) Scrisori, niște indexuri... Și sarcina, de altfel, nu ar putea fi mai ușoară. Trebuie doar să înțelegeți semnificația termenilor și a notației. Acum vom stăpâni această chestiune și ne vom întoarce la sarcină.
Termeni și denumiri.
Progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.
Această valoare este numită . Să ne ocupăm de acest concept mai detaliat.
Diferența de progresie aritmetică.
Diferența de progresie aritmetică este valoarea cu care orice număr de progresie Mai mult cel precedent.
Un punct important. Vă rugăm să acordați atenție cuvântului "Mai mult". Din punct de vedere matematic, aceasta înseamnă că se obține fiecare număr de progresie adăugând diferența unei progresii aritmetice față de numărul anterior.
Pentru a calcula, să zicem al doilea numerele rândului, este necesar să primul număr adăuga tocmai această diferență a unei progresii aritmetice. Pentru calcul a cincea- este necesara diferenta adăuga la Al patrulea bine, etc.
Diferența de progresie aritmetică poate pozitiv atunci fiecare număr al seriei se va dovedi a fi real mai mult decât precedentul. Această progresie se numește crescând. De exemplu:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Aici este fiecare număr adăugând număr pozitiv, +5 față de cel precedent.
Diferența poate fi negativ atunci fiecare număr din serie va fi mai puțin decât precedentul. Această progresie se numește (nu o să crezi!) in scadere.
De exemplu:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Aici se obține și fiecare număr adăugând la numărul anterior, dar deja negativ, -5.
Apropo, atunci când lucrați cu o progresie, este foarte util să determinați imediat natura acesteia - dacă este în creștere sau în scădere. Ajută foarte mult să-ți găsești orientarea în decizie, să-ți detectezi greșelile și să le corectezi înainte de a fi prea târziu.
Diferența de progresie aritmetică notată de obicei prin literă d.
Cum să găsești d? Foarte simplu. Este necesar să se scadă din orice număr al seriei anterior număr. Scădea. Apropo, rezultatul scăderii se numește „diferență”.)
Să definim, de exemplu, d pentru o progresie aritmetică crescătoare:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Luăm orice număr din rând pe care îl dorim, de exemplu, 11. Scădem din el numărul anterior acestea. opt:
Acesta este răspunsul corect. Pentru această progresie aritmetică, diferența este de trei.
Poți doar să iei orice număr de progresii, deoarece pentru o anumită progresie d-întotdeauna la fel. Cel puțin undeva la începutul rândului, cel puțin la mijloc, cel puțin oriunde. Nu poți lua doar primul număr. Doar pentru că primul număr nici anterior.)
Apropo, știind asta d=3, găsirea celui de-al șaptelea număr al acestei progresii este foarte simplă. Adăugăm 3 la al cincilea număr - obținem al șaselea, va fi 17. Adăugăm trei la al șaselea număr, obținem al șaptelea număr - douăzeci.
Să definim d pentru o progresie aritmetică descrescătoare:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Vă reamintesc că, indiferent de semne, să se determine d necesare din orice număr ia-l pe cel precedent. Alegem orice număr de progresie, de exemplu -7. Numărul său anterior este -2. Apoi:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Diferența unei progresii aritmetice poate fi orice număr: întreg, fracțional, irațional, orice.
Alți termeni și denumiri.
Fiecare număr din serie este numit membru al unei progresii aritmetice.
Fiecare membru al progresiei are numărul lui. Cifrele sunt strict în ordine, fără trucuri. Primul, al doilea, al treilea, al patrulea etc. De exemplu, în progresia 2, 5, 8, 11, 14, ... doi este primul membru, cinci este al doilea, unsprezece este al patrulea, bine, înțelegeți ...) Vă rugăm să înțelegeți clar - numerele în sine poate fi absolut orice, întreg, fracționat, negativ, orice, dar numerotare- strict în ordine!
Cum se scrie o progresie în formă generală? Nici o problema! Fiecare număr din serie este scris ca o literă. Pentru a desemna o progresie aritmetică, de regulă, se folosește litera A. Numărul membrului este indicat de indexul din dreapta jos. Membrii se scriu separați prin virgule (sau punct și virgulă), astfel:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 este primul număr a 3- al treilea etc. Nimic complicat. Puteți scrie această serie pe scurt astfel: (un n).
Sunt progresii finit și infinit.
Final progresia are un număr limitat de membri. Cinci, treizeci și opt, orice. Dar este un număr finit.
Fără sfârşit progresie - are un număr infinit de membri, după cum ați putea ghici.)
Puteți scrie o progresie finală printr-o serie ca aceasta, toți membrii și un punct la sfârșit:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
Sau așa, dacă sunt mulți membri:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
Într-o scurtă intrare, va trebui să indicați suplimentar numărul de membri. De exemplu (pentru douăzeci de membri), astfel:
(a n), n = 20
O progresie infinită poate fi recunoscută prin punctele de suspensie de la sfârșitul rândului, ca în exemplele din această lecție.
Acum puteți rezolva deja sarcini. Sarcinile sunt simple, doar pentru înțelegerea sensului progresiei aritmetice.
Exemple de sarcini pentru progresia aritmetică.
Să aruncăm o privire mai atentă la sarcina de mai sus:
1. Notează primii șase membri ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.
Traducem sarcina într-un limbaj ușor de înțeles. Având în vedere o progresie aritmetică infinită. Al doilea număr al acestei progresii este cunoscut: a 2 = 5. Diferența de progresie cunoscută: d = -2,5. Trebuie să găsim primul, al treilea, al patrulea, al cincilea și al șaselea membru al acestei progresii.
Pentru claritate, voi scrie o serie în funcție de starea problemei. Primii șase membri, unde al doilea membru este de cinci:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....
a 3 = a 2 + d
Inlocuim in expresie a 2 = 5și d=-2,5. Nu uita de minus!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Al treilea termen este mai mic decât al doilea. Totul este logic. Dacă numărul este mai mare decât cel precedent negativ valoare, astfel încât numărul în sine va fi mai mic decât cel anterior. Progresia este în scădere. Bine, să luăm în considerare.) Considerăm al patrulea membru al seriei noastre:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
un 5 = a 4 + d
un 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = un 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Deci, termenii de la al treilea la al șaselea au fost calculati. Aceasta a rezultat într-o serie:
a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....
Rămâne de găsit primul termen a 1 după binecunoscuta secundă. Acesta este un pas în cealaltă direcție, spre stânga.) De aici, diferența de progresie aritmetică d nu trebuie adăugată a 2, A la pachet:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Cam despre asta e. Răspuns la sarcină:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
În treacăt, observ că am rezolvat această sarcină recurent cale. Acest cuvânt teribil înseamnă, doar, căutarea unui membru al progresiei după numărul anterior (adiacent). Alte modalități de a lucra cu progresia vor fi discutate mai târziu.
Din această sarcină simplă se poate trage o concluzie importantă.
Tine minte:
Dacă cunoaștem cel puțin un membru și diferența unei progresii aritmetice, putem găsi orice membru al acestei progresii.
Tine minte? Această concluzie simplă ne permite să rezolvăm majoritatea problemelor cursului școlar pe această temă. Toate sarcinile se învârt în jurul a trei parametri principali: membru al unei progresii aritmetice, diferență a unei progresii, număr al unui membru al unei progresii. Tot.
Desigur, toată algebra anterioară nu este anulată.) Inegalitățile, ecuațiile și alte lucruri sunt atașate progresiei. Dar conform progresiei- totul se învârte în jurul a trei parametri.
De exemplu, luați în considerare câteva sarcini populare pe acest subiect.
2. Scrieți progresia aritmetică finală ca o serie dacă n=5, d=0,4 și a 1=3,6.
Totul este simplu aici. Totul este deja dat. Trebuie să vă amintiți cum sunt calculați, numărați și scrieți membrii unei progresii aritmetice. Este recomandabil să nu săriți peste cuvintele din condiția sarcinii: „final” și „ n=5". Pentru a nu număra până nu ești complet albastru la față.) Există doar 5 (cinci) membri în această progresie:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
un 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Rămâne de scris răspunsul:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
O altă sarcină:
3. Stabiliți dacă numărul 7 va fi membru al unei progresii aritmetice (a n) dacă a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.
Hmm... Cine știe? Cum să definești ceva?
Cum-cum... Da, notează progresia sub formă de serie și vezi dacă va fi un șapte sau nu! Noi credem:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Acum se vede clar că suntem doar șapte strecurat prin intre 6,5 si 7,7! Cei șapte nu au intrat în seria noastră de numere și, prin urmare, cei șapte nu vor fi membri ai progresiei date.
Raspuns: nu.
Și iată o sarcină bazată pe o versiune reală a GIA:
4. Se notează mai multe membri consecutivi ai progresiei aritmetice:
...; cincisprezece; X; nouă; 6; ...
Iată o serie fără sfârșit și fără început. Fără numere de membri, fără diferențe d. E bine. Pentru a rezolva problema, este suficient să înțelegeți semnificația unei progresii aritmetice. Să vedem și să vedem ce putem descoperi din linia asta? Care sunt parametrii celor trei principali?
Numerele membrilor? Nu există un singur număr aici.
Dar sunt trei numere și - atenție! - cuvânt "consecutiv" in conditie. Aceasta înseamnă că numerele sunt strict în ordine, fără lacune. Sunt două în acest rând? vecine numere cunoscute? Da, am! Acestea sunt 9 și 6. Deci putem calcula diferența unei progresii aritmetice! Scădem din cele șase anterior număr, adică nouă:
Au rămas spații goale. Ce număr va fi cel anterior pentru x? Cincisprezece. Deci x poate fi găsit cu ușurință prin simplă adăugare. La 15 adăugați diferența unei progresii aritmetice:
Asta e tot. Răspuns: x=12
Următoarele probleme le rezolvăm singuri. Notă: aceste puzzle-uri nu sunt pentru formule. Doar pentru înțelegerea semnificației unei progresii aritmetice.) Scriem doar o serie de cifre-litere, privim și gândim.
5. Aflați primul termen pozitiv al progresiei aritmetice dacă a 5 = -3; d = 1,1.
6. Se știe că numărul 5,5 este membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determinați numărul n al acestui termen.
7. Se știe că într-o progresie aritmetică a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Găsiți un 3.
8. Se notează mai multe membri consecutivi ai progresiei aritmetice:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Găsiți termenul progresiei, notat cu litera x.
9. Trenul a început să se deplaseze din gară, crescându-și treptat viteza cu 30 de metri pe minut. Care va fi viteza trenului în cinci minute? Dati raspunsul in km/h.
10. Se știe că într-o progresie aritmetică a 2 = 5; a 6 = -5. Găsiți un 1.
Răspunsuri (în dezordine): 7,7; 7,5; 9,5; nouă; 0,3; 4.
S-a rezolvat totul? Uimitor! Puteți învăța progresia aritmetică la un nivel superior în următoarele lecții.
Nu a mers totul? Nici o problema. În Secțiunea Specială 555, toate aceste probleme sunt împărțite în bucăți.) Și, desigur, este descrisă o tehnică practică simplă care evidențiază imediat rezolvarea unor astfel de sarcini clar, clar, ca în palma mâinii!
Apropo, în puzzle-ul despre tren există două probleme de care oamenii se poticnesc adesea. Unul - pur prin progresie, iar al doilea - comun tuturor sarcinilor din matematică și fizică. Aceasta este o traducere a dimensiunilor de la una la alta. Acesta arată cum trebuie rezolvate aceste probleme.
În această lecție, am examinat semnificația elementară a unei progresii aritmetice și principalii ei parametri. Acest lucru este suficient pentru a rezolva aproape toate problemele pe această temă. Adăuga d la numere, scrie o serie, totul se va decide.
Soluția cu degetul funcționează bine pentru bucăți foarte scurte din serie, ca în exemplele din această lecție. Dacă seria este mai lungă, calculele devin mai dificile. De exemplu, dacă în problema 9 din întrebare, înlocuiți "cinci minute" pe „treizeci și cinci de minute” problema se va agrava.)
Și există și sarcini simple în esență, dar absolut absurde în ceea ce privește calculele, de exemplu:
Având în vedere o progresie aritmetică (a n). Găsiți un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.
Și ce, vom adăuga 1/6 de multe, de multe ori?! Este posibil să te sinucizi!?
Poți.) Dacă nu cunoști o formulă simplă prin care poți rezolva astfel de sarcini într-un minut. Această formulă va fi în lecția următoare. Și acea problemă este rezolvată acolo. Intr-un minut.)
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)
vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
