În acest articol, enumerăm principalele proprietăți ale unei integrale definite. Cele mai multe dintre aceste proprietăți sunt dovedite pe baza conceptelor lui Riemann și Darboux de integrală definită.

Calculul integralei definite se realizează foarte des folosind primele cinci proprietăți, așa că ne vom referi la ele atunci când este necesar. Proprietățile rămase ale integralei definite sunt utilizate în principal pentru a evalua diferite expresii.

Înainte de a trece la proprietățile de bază ale unei integrale definite, suntem de acord că a nu depășește b .

Pentru funcția y = f(x) , definită pentru x = a , egalitatea este adevărată.

Adică, valoarea integralei definite cu aceleași limite de integrare este zero. Această proprietate este o consecință a definiției integralei Riemann, deoarece în acest caz fiecare sumă integrală pentru orice partiție a intervalului și orice alegere de puncte este egală cu zero, deoarece, prin urmare, limita sumelor integrale este zero.

Pentru o funcție integrabilă pe un segment, avem .

Cu alte cuvinte, atunci când limitele superioare și inferioare de integrare sunt inversate, valoarea integralei definite este inversată. Această proprietate a unei integrale definite rezultă și din conceptul de integrală Riemann, doar numerotarea partiției unui segment ar trebui să înceapă din punctul x = b.

pentru funcțiile y = f(x) și y = g(x) integrabile pe un interval.

Dovada.

Scriem suma integrală a funcției pentru o anumită partiție a segmentului și o anumită alegere de puncte:

unde și sunt sumele integrale ale funcțiilor y = f(x) și respectiv y = g(x) pentru o partiție dată a segmentului.

Trecerea la limita la obţinem că, prin definiţia integralei Riemann, este echivalentă cu afirmarea proprietăţii care se dovedeşte.

Factorul constant poate fi scos din semnul unei integrale definite. Adică, pentru o funcție integrabilă pe un segment y = f(x) și un număr arbitrar k, egalitatea .

Dovada acestei proprietăți a unei integrale definite este absolut similară cu cea anterioară:


Fie funcția y = f(x) integrabilă pe intervalul X , și și apoi .

Această proprietate este valabilă pentru ambele și pentru sau .

Demonstrarea poate fi efectuată pe baza proprietăților anterioare ale integralei definite.

Dacă o funcție este integrabilă pe un segment, atunci este și integrabilă pe orice segment intern.

Dovada se bazează pe proprietatea sumelor Darboux: dacă se adaugă puncte noi la partiția existentă a segmentului, atunci suma Darboux inferioară nu va scădea, iar cea superioară nu va crește.

Dacă funcția y = f(x) este integrabilă pe interval și pentru orice valoare a argumentului , atunci .

Această proprietate este dovedită prin definiția integralei Riemann: orice sumă integrală pentru orice alegere de puncte de împărțire a segmentului și puncte la va fi nenegativă (nu pozitivă).

Consecinţă.

Pentru funcțiile y = f(x) și y = g(x) integrabile pe un interval, sunt valabile următoarele inegalități:


Această afirmație înseamnă că integrarea inegalităților este admisibilă. Vom folosi acest corolar pentru a demonstra următoarele proprietăți.

Fie funcția y = f(x) integrabilă pe segmentul , apoi inegalitatea .

Dovada.

Este evident că . În proprietatea anterioară, am aflat că inegalitatea poate fi integrată termen cu termen, prin urmare, este adevărat . Această dublă inegalitate poate fi scrisă ca .

Fie ca funcțiile y = f(x) și y = g(x) să fie integrabile pe interval și pentru orice valoare a argumentului , atunci , Unde și .

Dovada se realizează într-un mod similar. Deoarece m și M sunt cele mai mici și mai mari valori ale funcției y = f(x) pe segment, atunci . Înmulțirea inegalității duble cu funcția nenegativă y = g(x) ne conduce la următoarea inegalitate dublă. Integrându-l pe segmentul , ajungem la afirmația de demonstrat.

Consecinţă.

Dacă luăm g(x) = 1, atunci inegalitatea ia forma .

Prima formulă pentru medie.

Fie funcția y = f(x) integrabilă pe segmentul , și , atunci există un număr astfel încât .

Consecinţă.

Dacă funcția y = f(x) este continuă pe segmentul , atunci există un număr astfel încât .

Prima formulă a valorii medii într-o formă generalizată.

Fie funcțiile y = f(x) și y = g(x) integrabile pe intervalul , și , și g(x) > 0 pentru orice valoare a argumentului . Apoi există un număr astfel încât .

A doua formulă pentru medie.

Dacă pe un segment funcția y = f(x) este integrabilă și y = g(x) este monotonă, atunci există un număr astfel încât egalitatea .

Aceste proprietăți sunt utilizate pentru a efectua transformări ale integralei pentru a o aduce la una dintre integralele elementare și calcule ulterioare.

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:

2. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul:

3. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:

4. Un factor constant poate fi scos din semnul integral:

Mai mult, a ≠ 0

5. Integrala sumei (diferența) este egală cu suma (diferența) integralelor:

6. Proprietatea este o combinație de proprietăți 4 și 5:

Mai mult, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Proprietatea de invarianță a integralei nedefinite:

Daca atunci

8. Proprietate:

Daca atunci

De fapt, această proprietate este un caz special de integrare folosind metoda schimbării variabilei, care este discutată mai detaliat în secțiunea următoare.

Luați în considerare un exemplu:

Mai întâi am aplicat proprietatea 5, apoi proprietatea 4, apoi am folosit tabelul de antiderivate și am obținut rezultatul.

Algoritmul calculatorului nostru integral online acceptă toate proprietățile enumerate mai sus și va găsi cu ușurință o soluție detaliată pentru integrala dvs.

În calculul diferenţial, problema se rezolvă: sub funcția dată ƒ(x) găsiți derivata acesteia(sau diferential). Calculul integral rezolvă problema inversă: pentru a găsi funcția F (x), cunoscând derivata ei F "(x) \u003d ƒ (x) (sau diferențială). Funcția dorită F (x) se numește antiderivată a funcției ƒ (x).

Se numește funcția F(x). primitiv funcția ƒ(x) pe intervalul (a; b), dacă pentru orice x є (a; b) egalitatea

F " (x)=ƒ(x) (sau dF(x)=ƒ(x)dx).

de exemplu, funcția antiderivată y \u003d x 2, x є R, este o funcție, deoarece

Evident, antiderivatele vor fi, de asemenea, orice funcție

unde C este o constantă, deoarece

Teorema 29. 1. Dacă funcția F(x) este antiderivată a funcției ƒ(x) pe (a;b), atunci mulțimea tuturor antiderivatelor pentru ƒ(x) este dată de formula F(x)+ C, unde C este un număr constant.

▲ Funcția F(x)+C este antiderivată a lui ƒ(x).

Într-adevăr, (F(x)+C) „=F” (x)=ƒ(x).

Fie F(x) o altă funcție, diferită de F(x), antiderivată ƒ(x), adică Ф "(x)=ƒ(x). Atunci pentru orice x є (a; b) avem

Și aceasta înseamnă (vezi Corolarul 25.1) că

unde C este un număr constant. Prin urmare, Ф(х)=F(x)+С.▼

Se numește mulțimea tuturor funcțiilor primitive F(x)+C pentru ƒ(x). integrală nedefinită a funcției ƒ(x)și se notează prin simbolul ∫ ƒ(x) dx.

Deci prin definiție

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Aici se numește ƒ(x). integrand, ƒ(x)dx — integrand, X - variabila de integrare, ∫ -semn integral nedefinit.

Operația de găsire a unei integrale nedefinite a unei funcții se numește integrarea acestei funcții.

Integrala nedefinită geometric este o familie de curbe „paralele” y \u003d F (x) + C (fiecare valoare numerică a lui C corespunde unei anumite curbe a familiei) (vezi Fig. 166). Graficul fiecărei antiderivate (curbe) se numește curba integrala.

Fiecare funcție are o integrală nedefinită?

Există o teoremă care spune că „fiecare funcție continuă pe (a;b) are o antiderivată pe acest interval”, și, în consecință, o integrală nedefinită.

Remarcăm o serie de proprietăți ale integralei nedefinite care decurg din definiția ei.

1. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul, iar derivata integralei nedefinite este egală cu integrandul:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) „=ƒ(x).

Într-adevăr, d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx

(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).

Datorită acestei proprietăți, corectitudinea integrării este verificată prin diferențiere. De exemplu, egalitatea

∫(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C

adevărat, deoarece (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4.

2. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:

∫dF(x)=F(x)+C.

Într-adevăr,

3. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:

α ≠ 0 este o constantă.

Într-adevăr,

(puneți C 1 / a \u003d C.)

4. Integrala nedefinită a sumei algebrice a unui număr finit de funcții continue este egală cu suma algebrică a integralelor termenilor funcțiilor:

Fie F"(x)=ƒ(x) și G"(x)=g(x). Apoi

unde C 1 ±C 2 \u003d C.

5. (Invarianța formulei de integrare).

În cazul în care un , unde u=φ(x) este o funcție arbitrară care are o derivată continuă.

▲ Fie x o variabilă independentă, ƒ(x) o funcție continuă și F(x) antiderivată. Apoi

Să setăm acum u=φ(x), unde φ(x) este o funcție diferențiabilă continuu. Se consideră o funcție complexă F(u)=F(φ(x)). Datorită invarianţei formei primei diferenţiale a funcţiei (vezi p. 160), avem

De aici▼

Astfel, formula pentru integrala nedefinită rămâne valabilă indiferent dacă variabila de integrare este o variabilă independentă sau orice funcție a acesteia care are o derivată continuă.

Deci, din formula prin înlocuirea x cu u (u=φ(x)) obținem

În special,

Exemplul 29.1. Găsiți integrala

unde C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.

Exemplul 29.2. Găsiți soluția integrală:

• 29.3. Tabelul integralelor nedefinite de bază

Profitând de faptul că integrarea este inversul diferențierii, se poate obține un tabel de integrale de bază inversând formulele corespunzătoare ale calculului diferențial (tabelul diferențialelor) și folosind proprietățile integralei nedefinite.

de exemplu, la fel de

d(sin u)=cos u . du,

Derivarea unui număr de formule de tabel va fi dată în considerarea principalelor metode de integrare.

Integralele din tabelul de mai jos se numesc integrale tabulare. Ele trebuie cunoscute pe de rost. În calculul integral nu există reguli simple și universale pentru a găsi antiderivate din funcții elementare, ca în calculul diferențial. Metodele pentru găsirea antiderivatelor (adică integrarea unei funcții) sunt reduse la indicarea metodelor care aduc o integrală dată (dorită) la una tabelară. Prin urmare, este necesar să cunoașteți integralele tabelare și să le puteți recunoaște.

Rețineți că în tabelul integralelor de bază, variabila de integrare și poate desemna atât o variabilă independentă, cât și o funcție a unei variabile independente (conform proprietății de invarianță a formulei de integrare).

Valabilitatea formulelor de mai jos poate fi verificată luând diferența din partea dreaptă, care va fi egală cu integrandul din partea stângă a formulei.

Să demonstrăm, de exemplu, validitatea formulei 2. Funcția 1/u este definită și continuă pentru toate valorile nenule ale lui u.

Dacă u > 0, atunci ln|u|=lnu, atunci Asa de

Daca tu<0, то ln|u|=ln(-u). НоMijloace

Deci formula 2 este corectă. În mod similar, să verificăm formula 15:

Tabelul integralelor de bază

Prieteni! Vă invităm să discutați. Dacă aveți o părere, scrieți-ne în comentarii.

Acest articol vorbește în detaliu despre principalele proprietăți ale unei integrale definite. Ele sunt dovedite folosind conceptul de integrală Riemann și Darboux. Calculul unei integrale definite trece, datorită celor 5 proprietăți. Restul sunt folosite pentru a evalua diverse expresii.

Înainte de a trece la principalele proprietăți ale integralei definite, este necesar să ne asigurăm că a nu depășește b .

Proprietățile de bază ale unei integrale definite

Definiția 1

Funcția y \u003d f (x) , definită pentru x \u003d a, este similară cu egalitatea corectă ∫ a a f (x) d x \u003d 0.

Dovada 1

De aici vedem că valoarea integralei cu limite coincidente este egală cu zero. Aceasta este o consecință a integralei Riemann, deoarece fiecare integrală sumă σ pentru orice partiție de pe intervalul [ a ; a ] și orice alegere de puncte ζ i este egală cu zero, deoarece x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , deci obținem că limita funcțiilor integrale este zero.

Definiția 2

Pentru o functie integrabila pe segmentul [ a ; b ] , condiția ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x este îndeplinită.

Dovada 2

Cu alte cuvinte, dacă modificați limitele superioare și inferioare de integrare pe alocuri, atunci valoarea integralei va schimba valoarea la opus. Această proprietate este preluată din integrala Riemann. Cu toate acestea, numerotarea diviziunii segmentului începe de la punctul x = b.

Definiția 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x este utilizat pentru funcții integrabile de tipul y = f (x) și y = g (x) definite pe intervalul [ a ; b] .

Dovada 3

Scrieți suma integrală a funcției y = f (x) ± g (x) pentru împărțirea în segmente cu o alegere dată de puncte ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i x i - x i - 1 = σ f ± σ g

unde σ f și σ g sunt sumele integrale ale funcțiilor y = f (x) și y = g (x) pentru împărțirea segmentului. După trecerea la limita la λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 obținem că lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Din definiția lui Riemann, această expresie este echivalentă.

Definiția 4

Scoaterea factorului constant din semnul unei integrale definite. O funcţie integrabilă din intervalul [ a ; b ] cu o valoare arbitrară a lui k are o inegalitate valabilă de forma ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Dovada 4

Dovada proprietății unei integrale definite este similară cu cea anterioară:

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x

Definiția 5

Dacă o funcție de forma y = f (x) este integrabilă pe un interval x cu a ∈ x , b ∈ x , se obține ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .

Dovada 5

Proprietatea este considerată valabilă pentru c ∈ a ; b , pentru c ≤ a și c ≥ b . Dovada se realizează în mod similar cu proprietățile anterioare.

Definiția 6

Când o funcție are capacitatea de a fi integrabilă din segmentul [ a ; b], atunci acest lucru este fezabil pentru orice segment intern c; d ∈ a; b.

Dovada 6

Dovada se bazează pe proprietatea Darboux: dacă sunt adăugate puncte la o partiție existentă a unui segment, atunci suma inferioară a Darboux nu va scădea, iar cea superioară nu va crește.

Definiția 7

Când o funcție este integrabilă pe [ a ; b ] din f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 pentru orice valoare a lui x ∈ a ; b , atunci obținem că ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Proprietatea poate fi demonstrată folosind definiția integralei Riemann: orice sumă integrală pentru orice alegere a punctelor de partiție ale segmentului și punctelor ζ i cu condiția ca f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 este nenegativă.

Dovada 7

Dacă funcţiile y = f (x) şi y = g (x) sunt integrabile pe segmentul [ a ; b ] , atunci următoarele inegalități sunt considerate valide:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Datorită afirmației, știm că integrarea este admisibilă. Acest corolar va fi folosit în demonstrarea altor proprietăți.

Definiția 8

Pentru o funcție integrabilă y = f (x) din segmentul [ a ; b ] avem o inegalitate valabilă de forma ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Dovada 8

Avem că - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Din proprietatea anterioară, am obținut că inegalitatea poate fi integrată termen cu termen și corespunde unei inegalități de forma - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Această dublă inegalitate poate fi scrisă sub altă formă: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Definiția 9

Când funcțiile y = f (x) și y = g (x) sunt integrate din segmentul [ a ; b ] pentru g (x) ≥ 0 pentru orice x ∈ a ; b , obținem o inegalitate de forma m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x , unde m = m i n x ∈ a ; b f (x) și M = m a x x ∈ a ; b f (x).

Dovada 9

Dovada se face într-un mod similar. M și m sunt considerate a fi cele mai mari și mai mici valori ale funcției y = f (x) definite din segmentul [ a ; b ] , atunci m ≤ f (x) ≤ M . Este necesar să se înmulțească inegalitatea dublă cu funcția y = g (x) , care va da valoarea inegalității duble de forma m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) . Este necesar să-l integrăm pe segmentul [ a ; b ] , atunci obținem afirmația de demonstrat.

Consecinţă: Pentru g (x) = 1, inegalitatea devine m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) .

Prima formulă medie

Definiția 10

Pentru y = f (x) integrabil pe intervalul [ a ; b ] cu m = m i n x ∈ a ; b f (x) și M = m a x x ∈ a ; b f (x) există un număr μ ∈ m ; M , care se potrivește cu ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Consecinţă: Când funcţia y = f (x) este continuă din segmentul [ a ; b ] , atunci există un astfel de număr c ∈ a ; b , care satisface egalitatea ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a .

Prima formulă a valorii medii într-o formă generalizată

Definiția 11

Când funcțiile y = f (x) și y = g (x) sunt integrabile din segmentul [ a ; b ] cu m = m i n x ∈ a ; b f (x) și M = m a x x ∈ a ; b f (x) și g (x) > 0 pentru orice valoare a lui x ∈ a ; b. Avem deci că există un număr μ ∈ m ; M , care satisface egalitatea ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

A doua formulă a valorii medii

Definiția 12

Când funcţia y = f (x) este integrabilă din segmentul [ a ; b ] , iar y = g (x) este monoton, atunci există un număr care c ∈ a ; b , unde obținem o egalitate justă de forma ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru elită. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar știu puțin sau nimic despre ele. Integral... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce sunt integralele definite și nedefinite?

Dacă singura utilizare a integralei pe care o știi este să obții ceva util din locuri greu accesibile cu un cârlig în formă de pictogramă integrală, atunci bine ai venit! Învață cum să rezolvi integrale simple și alte integrale și de ce nu te poți descurca fără ea la matematică.

Studiem conceptul « integrală »

Integrarea era cunoscută în Egiptul antic. Desigur, nu într-o formă modernă, dar totuși. De atunci, matematicienii au scris foarte multe cărți pe această temă. Deosebit de distins newton și Leibniz dar esența lucrurilor nu s-a schimbat.

Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect, veți avea nevoie în continuare de cunoștințe de bază despre elementele de bază ale analizei matematice. Informații despre limite și derivate, necesare înțelegerii integralelor, le avem deja în blogul nostru.

Integrală nedefinită

Să avem o funcție f(x) .

Integrala nedefinită a funcției f(x) se numeste o astfel de functie F(x) , a cărui derivată este egală cu funcția f(x) .

Cu alte cuvinte, o integrală este o derivată inversă sau o antiderivată. Apropo, citiți articolul nostru despre cum să calculați derivatele.

Un antiderivat există pentru toate funcțiile continue. De asemenea, un semn constant este adesea adăugat la antiderivată, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a unei integrale se numește integrare.

Exemplu simplu:

Pentru a nu calcula în mod constant antiderivatele funcțiilor elementare, este convenabil să le aduceți într-un tabel și să utilizați valori gata făcute.

Tabel complet de integrale pentru elevi

Integrala definita

Când avem de-a face cu conceptul de integrală, avem de-a face cu cantități infinitezimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei figurii, a masei unui corp neomogen, a traseului parcurs în timpul mișcării inegale și multe altele. Trebuie amintit că integrala este suma unui număr infinit de termeni infinit de mici.

Ca exemplu, imaginați-vă un grafic al unei anumite funcții.

Cum să găsiți aria unei figuri mărginite de un grafic al unei funcții? Cu ajutorul unei integrale! Să despărțim trapezul curbiliniu, mărginit de axele de coordonate și graficul funcției, în segmente infinitezimale. Astfel, figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da un rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem în așa măsură încât lungimea tinde spre zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde către aria figurii. Aceasta este integrala definită, care se scrie după cum urmează:

Punctele a și b se numesc limite de integrare.

« Integral »

Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la orice fel de muncă

Reguli pentru calcularea integralelor pentru manechin

Proprietățile integralei nedefinite

Cum se rezolvă o integrală nedefinită? Aici vom lua în considerare proprietățile integralei nedefinite, care vor fi utile în rezolvarea exemplelor.

• Derivata integralei este egala cu integrandul:

• Constanta poate fi scoasă de sub semnul integral:

• Integrala sumei este egală cu suma integralelor. Adevărat și pentru diferență:

Proprietățile Integralei Definite

• Linearitate:

• Semnul integralei se schimbă dacă limitele integrării sunt inversate:

• La orice puncte A, bși cu:

Am aflat deja că integrala definită este limita sumei. Dar cum să obțineți o anumită valoare atunci când rezolvați un exemplu? Pentru aceasta, există formula Newton-Leibniz:

Exemple de rezolvare a integralelor

Mai jos luăm în considerare integrala nedefinită și exemplele cu soluții. Vă oferim să înțelegeți în mod independent complexitățile soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.

Pentru a consolida materialul, urmăriți un videoclip despre cum se rezolvă integralele în practică. Nu disperați dacă integrala nu este dată imediat. Apelați la un serviciu pentru studenți profesioniști și orice integrală triplă sau curbilinie pe o suprafață închisă va fi în puterea dumneavoastră.