În capitolul anterior s-a arătat că, prin alegerea unui anumit sistem de coordonate pe plan, putem exprima analitic proprietățile geometrice care caracterizează punctele dreptei luate în considerare printr-o ecuație între coordonatele curente. Astfel, obținem ecuația dreptei. În acest capitol vor fi luate în considerare ecuațiile dreptelor.

Pentru a formula ecuația unei linii drepte în coordonate carteziene, trebuie să stabiliți cumva condițiile care determină poziția acesteia față de axele de coordonate.

În primul rând, introducem conceptul de pantă a unei drepte, care este una dintre mărimile care caracterizează poziția unei drepte pe un plan.

Să numim unghiul de înclinare al liniei față de axa Ox unghiul cu care axa Ox trebuie rotită astfel încât să coincidă cu linia dată (sau să se dovedească a fi paralelă cu aceasta). Ca de obicei, vom lua în considerare unghiul ținând cont de semn (semnul este determinat de sensul de rotație: în sens invers acelor de ceasornic sau în sensul acelor de ceasornic). Deoarece o rotație suplimentară a axei Ox cu un unghi de 180 ° o va combina din nou cu linia dreaptă, unghiul de înclinare a liniei drepte față de axă poate fi ales ambiguu (până la un multiplu de ).

Tangenta acestui unghi este determinată în mod unic (deoarece schimbarea unghiului în nu schimbă tangenta acestuia).

Tangenta unghiului de înclinare a unei drepte la axa x se numește panta dreptei.

Panta caracterizează direcția dreptei (aici nu facem distincție între două direcții reciproc opuse ale dreptei). Dacă panta dreptei este zero, atunci linia este paralelă cu axa x. Cu o pantă pozitivă, unghiul de înclinare al dreptei față de axa Ox va fi ascuțit (se consideră aici cea mai mică valoare pozitivă a unghiului de înclinare) (Fig. 39); în acest caz, cu cât panta este mai mare, cu atât este mai mare unghiul de înclinare a acesteia față de axa Ox. Dacă panta este negativă, atunci unghiul de înclinare al dreptei față de axa x va fi obtuz (Fig. 40). Rețineți că o dreaptă perpendiculară pe axa x nu are o pantă (tangenta unui unghi nu există).

Egal numeric cu tangentei unghiului (constituind cea mai mică rotație de la axa Ox la axa Oy) între direcția pozitivă a axei x și dreapta dată.

Tangenta unui unghi poate fi calculată ca raport dintre catetul opus și cel alăturat. k este întotdeauna egală cu , adică derivata ecuației drepte în raport cu X.

Cu valori pozitive ale coeficientului unghiular kși valoarea zero a coeficientului de deplasare b linia se va afla în primul și al treilea cadran (în care XȘi y atât pozitive cât și negative). În același timp, valori mari ale coeficientului unghiular k va corespunde o linie dreaptă mai abruptă, iar una mai mică - una mai plată.

Dreptele și sunt perpendiculare dacă , și paralele când .

Note

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce este „Line Slope” în alte dicționare:

panta (drept)- — Subiecte industria petrolului și gazelor EN pantă … Manualul Traducătorului Tehnic

- numărul (matematic) k în ecuația unei drepte pe planul y \u003d kx + b (a se vedea Geometria analitică), care caracterizează panta dreptei în raport cu axa absciselor. Într-un sistem de coordonate dreptunghiular U. to.k \u003d tg φ, unde φ este unghiul dintre ... ... Marea Enciclopedie Sovietică

O ramură a geometriei care studiază cele mai simple obiecte geometrice prin intermediul algebrei elementare bazate pe metoda coordonatelor. Crearea geometriei analitice este de obicei atribuită lui R. Descartes, care a conturat fundamentele acesteia în ultimul capitol al lui ... ... Enciclopedia Collier

Măsurarea timpului de reacție (RT) este probabil cel mai venerat subiect din psihologia empirică. A luat naștere în domeniul astronomiei, în 1823, odată cu măsurarea diferențelor individuale în viteza cu care o stea a fost percepută că traversează linia vizuală a telescopului. Acestea… Enciclopedie psihologică

O ramură a matematicii care oferă metode pentru studiul cantitativ al diferitelor procese de schimbare; se ocupă cu studiul vitezei de schimbare (calcul diferențial) și cu determinarea lungimilor curbelor, ariilor și volumelor figurilor delimitate de contururi curbe și ... Enciclopedia Collier

Acest termen are alte semnificații, vezi Direct (sensuri). O linie dreaptă este unul dintre conceptele de bază ale geometriei, adică nu are o definiție universală exactă. Într-o prezentare sistematică a geometriei, o linie dreaptă este de obicei luată ca una ... ... Wikipedia

Reprezentarea dreptelor într-un sistem de coordonate dreptunghiular O linie dreaptă este unul dintre conceptele de bază ale geometriei. Într-o prezentare sistematică a geometriei, o linie dreaptă este de obicei luată ca unul dintre conceptele inițiale, care este determinată doar indirect ... ... Wikipedia

Reprezentarea dreptelor într-un sistem de coordonate dreptunghiular O linie dreaptă este unul dintre conceptele de bază ale geometriei. Într-o prezentare sistematică a geometriei, o linie dreaptă este de obicei luată ca unul dintre conceptele inițiale, care este determinată doar indirect ... ... Wikipedia

A nu se confunda cu termenul „elipsis”. Elipsa și focarele sale Elipsa (alte dezavantaje grecești ἔλλειψις, în sensul lipsei de excentricitate până la 1) locul punctelor M ale planului euclidian, pentru care suma distanțelor de la două puncte date F1 ... ... Wikipedia

Învață să iei derivate ale funcțiilor. Derivata caracterizează rata de schimbare a unei funcții la un anumit punct situat pe graficul acestei funcții. În acest caz, graficul poate fi fie o linie dreaptă, fie o linie curbă. Adică, derivata caracterizează rata de schimbare a funcției la un anumit moment în timp. Amintiți-vă de regulile generale după care sunt luate instrumentele derivate și abia apoi treceți la pasul următor.

• Citește articolul.
• Este descris cum să luăm cele mai simple derivate, de exemplu, derivata unei ecuații exponențiale. Calculele prezentate în următorii pași se vor baza pe metodele descrise acolo.

Învață să faci distincția între problemele în care panta trebuie calculată în termeni de derivată a unei funcții.În sarcini, nu este întotdeauna sugerat să găsiți panta sau derivata unei funcții. De exemplu, vi se poate cere să găsiți rata de schimbare a unei funcții în punctul A(x, y). De asemenea, vi se poate cere să găsiți panta tangentei în punctul A(x, y). În ambele cazuri, este necesar să se ia derivata funcției.

Luați derivata funcției date. Nu trebuie să construiți un grafic aici - aveți nevoie doar de ecuația funcției. În exemplul nostru, luăm derivata funcției f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x). Luați derivatul conform metodelor prezentate în articolul menționat mai sus:

Înlocuiți coordonatele punctului dat în derivata găsită pentru a calcula panta. Derivata functiei este egala cu panta intr-un anumit punct. Cu alte cuvinte, f „(x) este panta funcției în orice punct (x, f (x)). În exemplul nostru:

Fie pe un plan în care există un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare, o linie dreaptă l trece prin punctul M 0 paralel cu vectorul direcție A (Fig. 96).

Dacă drept l traversează axa O X(în punctul N), apoi sub unghiul unei drepte l cu axa O X vom înțelege unghiul α cu care este necesară rotirea axei O Xîn jurul punctului N în sensul opus de rotație în sensul acelor de ceasornic astfel încât axa O X a coincis cu linia l. (Acest lucru se referă la un unghi mai mic de 180°.)

Acest colț se numește unghi de înclinare Drept. Dacă drept l paralel cu axa O X, atunci unghiul de înclinare se presupune a fi zero (Fig. 97).

Tangenta pantei unei drepte se numeste panta unei drepte și este de obicei notat prin literă k:

tgα = k. (1)

Dacă α = 0, atunci k= 0; aceasta înseamnă că linia este paralelă cu axa o X iar panta sa este zero.

Dacă α = 90°, atunci k= tg α nu are sens: asta înseamnă că linia perpendiculară pe axa O X(adică paralel cu axa O la), nu are pantă.

Panta unei drepte poate fi calculată dacă sunt cunoscute coordonatele oricăror două puncte ale acestei drepte. Să fie date două puncte ale unei drepte: M 1 ( X 1 ; la 1) și M 2 ( X 2 ; la 2) și fie, de exemplu, 0< α < 90°, а X 2 > X 1 , la 2 > la 1 (Fig. 98).

Apoi dintr-un triunghi dreptunghic M 1 PM 2 găsim

$$ k=tga = \frac(|M_2 P|)(|M_1 P|) = \frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) $$

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) \;\; (2)$$

În mod similar, demonstrăm că formula (2) este adevărată și în cazul 90°< α < 180°.

Formula (2) își pierde sensul dacă X 2 - X 1 = 0, adică dacă linia l paralel cu axa O la. Pentru astfel de linii, panta nu există.

Sarcina 1. Determinați panta primei care trece prin puncte

M1 (3; -5) şi M2 (5; -7).

Înlocuind coordonatele punctelor M 1 și M 2 în formula (2), obținem

\(k=\frac(-7-(-5))(5-3) \) sau k = -1

Sarcina 2. Determinați panta dreptei care trece prin punctele M 1 (3; 5) și M 2 (3; -2).

Deoarece X 2 - X 1 = 0, atunci egalitatea (2) își pierde sensul. Căci această pantă directă nu există. Linia dreaptă M 1 M 2 este paralelă cu axa O la.

Sarcina 3. Determinați panta dreptei care trece prin origine și punctul M 1 (3; -5)

În acest caz, punctul M 2 coincide cu originea. Aplicând formula (2), obținem

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1)=\frac(0-(-5))(0-3)= -\frac(5)(3); \;\; k= -\frac(5)(3) $$

Compuneți ecuația unei drepte cu pantă k trecând prin punct

M 1 ( X 1 ; la 1). Conform formulei (2), panta unei drepte se află din coordonatele celor două puncte ale sale. În cazul nostru, este dat punctul M 1, iar ca al doilea punct, puteți lua orice punct M( X; la) din linia dorită.

Dacă punctul M se află pe o dreaptă care trece prin punctul M 1 și are o pantă k, atunci prin formula (2) avem

$$ \frac(y-y_1)(x-x_1)=k \;\; (3) $$

Dacă punctul M nu se află pe linie, atunci egalitatea (3) nu este valabilă. Prin urmare, egalitatea (3) este ecuația unei drepte care trece prin punctul M 1 ( X 1 ; la 1) cu panta k; această ecuație este de obicei scrisă ca

y- y 1 = k(X - X 1). (4)

Dacă linia intersectează axa O la la un moment dat (0; b), atunci ecuația (4) ia forma

la - b = k (X- 0),

y = kx + b. (5)

Această ecuație se numește ecuația unei drepte cu panta k și ordonată inițială b.

Sarcina 4. Aflați unghiul de înclinare al unei drepte √3 x + 3la - 7 = 0.

Aducem această ecuație în formă

$$ y= =\frac(1)(\sqrt3)x + \frac(7)(3) $$

Prin urmare, k= tg α = - 1 / √ 3 , de unde α = 150°

Sarcina 5. Compuneți ecuația unei drepte care trece prin punctul P (3; -4), cu pantă k = 2 / 5

Înlocuind k = 2 / 5 , X 1 = 3, y 1 = - 4 în ecuația (4), obținem

la - (- 4) = 2 / 5 (X- 3) sau 2 X - 5la - 26 = 0.

Sarcina 6. Compuneți ecuația unei drepte care trece prin punctul Q (-3; 4) și a unei componente cu direcția pozitivă a axei O X unghi 30°.

Dacă α = 30°, atunci k= tan 30° = √ 3 / 3 . Substituind în ecuația (4) valorile X 1 , y 1 și k, primim

la -4 = √ 3 / 3 (X+ 3) sau √3 X-3y + 12 + 3√3 = 0.

Subiectul „Coeficientul unghiular al tangentei ca tangentă a unghiului de înclinare” din examenul de certificare primește mai multe sarcini deodată. În funcție de starea lor, absolventului i se poate cere să ofere atât un răspuns complet, cât și un răspuns scurt. Când se pregătește pentru examenul de matematică, elevul ar trebui să repete cu siguranță sarcinile în care este necesar să calculeze panta tangentei.

Portalul educațional Shkolkovo vă va ajuta să faceți acest lucru. Experții noștri au pregătit și au prezentat materiale teoretice și practice cât mai accesibile. După ce s-au familiarizat cu acesta, absolvenții cu orice nivel de pregătire vor putea rezolva cu succes probleme legate de derivate, în care este necesar să se găsească tangentei pantei tangentei.

Momente de bază

Pentru a găsi soluția corectă și rațională la astfel de sarcini în USE, este necesar să ne amintim definiția de bază: derivata este rata de schimbare a funcției; este egală cu tangentei pantei tangentei trasate la graficul funcţiei într-un anumit punct. Este la fel de important să finalizați desenul. Vă va permite să găsiți soluția corectă la problemele USE pe derivată, în care este necesar să calculați tangentei pantei tangentei. Pentru claritate, cel mai bine este să trasați un grafic pe planul OXY.

Dacă v-ați familiarizat deja cu materialul de bază pe tema derivatei și sunteți gata să începeți să rezolvați probleme pentru calcularea tangentei pantei tangentei, similar sarcinilor USE, puteți face acest lucru online. Pentru fiecare sarcină, de exemplu, sarcini pe tema „Relația derivatei cu viteza și accelerația corpului”, am notat răspunsul corect și algoritmul de soluție. În acest caz, elevii pot exersa îndeplinirea sarcinilor de diferite niveluri de complexitate. Dacă este necesar, exercițiul poate fi salvat în secțiunea „Preferate”, pentru ca ulterior să discutați decizia cu profesorul.