Unul dintre cele mai misterioase numere cunoscute omenirii este, desigur, numărul Π (a se citi pi). În algebră, acest număr reflectă raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia. Anterior, această cantitate era numită numărul Ludolph. Cum și de unde a venit numărul Pi nu se știe cu siguranță, dar matematicienii împart întreaga istorie a numărului Π în 3 etape: antică, clasică și epoca computerelor digitale.

Numărul P este irațional, adică nu poate fi reprezentat ca o fracție simplă, unde numărătorul și numitorul sunt numere întregi. Prin urmare, un astfel de număr nu are sfârșit și este periodic. Iraționalitatea lui P a fost dovedită pentru prima dată de I. Lambert în 1761.

Pe lângă această proprietate, numărul P nu poate fi și rădăcina oricărui polinom și, prin urmare, proprietatea numărului, atunci când a fost dovedită în 1882, a pus capăt disputei aproape sfinte dintre matematicieni „despre pătrarea cercului”, care a durat. timp de 2.500 de ani.

Se știe că britanicul Jones a fost primul care a introdus denumirea acestui număr în 1706. După ce au apărut lucrările lui Euler, utilizarea acestei notații a devenit general acceptată.

Pentru a înțelege în detaliu care este numărul Pi, trebuie spus că utilizarea sa este atât de răspândită încât este dificil să numiți chiar și un domeniu al științei care s-ar descurca fără el. Una dintre cele mai simple și mai familiare semnificații din programa școlară este desemnarea perioadei geometrice. Raportul dintre lungimea unui cerc și lungimea diametrului său este constant și egal cu 3,14. Această valoare era cunoscută de cei mai vechi matematicieni din India, Grecia, Babilon și Egipt. Cea mai veche versiune a calculului raportului datează din 1900 î.Hr. e. Omul de știință chinez Liu Hui a calculat o valoare a lui P care este mai aproape de valoarea modernă; în plus, a inventat o metodă rapidă pentru un astfel de calcul. Valoarea sa a rămas în general acceptată timp de aproape 900 de ani.

Perioada clasică în dezvoltarea matematicii a fost marcată de faptul că pentru a stabili exact care este numărul Pi, oamenii de știință au început să folosească metode de analiză matematică. În anii 1400, matematicianul indian Madhava a folosit teoria seriilor pentru a calcula și a determinat perioada lui P cu 11 zecimale. Primul european, după Arhimede, care a studiat numărul P și a adus o contribuție semnificativă la fundamentarea lui, a fost olandezul Ludolf van Zeilen, care a determinat deja 15 zecimale, iar în testamentul său a scris cuvinte foarte distractive: „... cine este. interesat, lasă-l să meargă mai departe.” În onoarea acestui om de știință, numărul P și-a primit primul și singurul nume din istorie.

Era calculelor computerizate a adus noi detalii pentru înțelegerea esenței numărului P. Așadar, pentru a afla care este numărul Pi, în 1949 a fost folosit pentru prima dată computerul ENIAC, unul dintre dezvoltatorii căruia a fost viitorul „părintele” teoriei calculatoarelor moderne, J. Prima măsurătoare a fost efectuată pe peste 70 de ore și a dat 2037 de cifre după virgulă în perioada numărului P. Marca de milion de cifre a fost atinsă în 1973. În plus, în această perioadă au fost stabilite și alte formule care reflectau numărul P. Astfel, frații Chudnovsky au putut găsi una care a făcut posibilă calcularea a 1.011.196.691 de cifre ale perioadei.

În general, trebuie remarcat faptul că, pentru a răspunde la întrebarea: „Ce este Pi?”, multe studii au început să semene cu competițiile. Astăzi, supercalculatoarele lucrează deja la întrebarea care este numărul real Pi. fapte interesante legate de aceste studii pătrund aproape întreaga istorie a matematicii.

Astăzi, de exemplu, se țin campionate mondiale de memorare a numărului P și se înregistrează recorduri mondiale, ultimul îi aparține chinezului Liu Chao, care a numit 67.890 de caractere în puțin peste o zi. Există chiar și o sărbătoare a numărului P în lume, care este sărbătorită ca „Ziua Pi”.

Începând cu 2011, au fost deja stabilite 10 trilioane de cifre ale perioadei numerice.

Textul lucrării este postat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de lucru” în format PDF

INTRODUCERE

1. Relevanța lucrării.

În varietatea infinită de numere, la fel ca printre stelele Universului, se remarcă numerele individuale și „constelațiile” lor întregi de o frumusețe uimitoare, numere cu proprietăți extraordinare și o armonie unică inerentă doar lor. Trebuie doar să puteți vedea aceste numere și să le observați proprietățile. Aruncă o privire mai atentă la seria naturală de numere - și vei găsi în ea o mulțime de surprinzătoare și ciudate, amuzante și serioase, neașteptate și curioase. Cel care se uită vede. La urma urmei, oamenii nici nu vor observa într-o noapte de vară înstelată... strălucirea. Steaua polară, dacă nu își îndreaptă privirea către înălțimile fără nori.

Trecând de la clasă la clasă, m-am familiarizat cu natural, fracționar, zecimal, negativ, rațional. Anul acesta am studiat iraționalul. Printre numerele iraționale există un număr special, ale cărui calcule exacte au fost efectuate de oameni de știință de multe secole. L-am întâlnit în clasa a VI-a în timp ce studiam tema „Circumferința și zona unui cerc”. S-a subliniat că ne-am întâlni cu el destul de des la cursurile din liceu. Sarcinile practice privind găsirea valorii numerice a lui π au fost interesante. Numărul π este unul dintre cele mai interesante numere întâlnite în studiul matematicii. Se găsește la diferite discipline școlare. Există multe fapte interesante asociate cu numărul π, așa că trezește interes pentru studiu.

După ce am auzit o mulțime de lucruri interesante despre acest număr, eu însumi am decis, studiind literatura suplimentară și căutând pe internet, pentru a afla cât mai multe informații despre acesta și pentru a răspunde la întrebări problematice:

De cât timp știu oamenii despre numărul pi?

De ce este necesar să-l studiezi?

Ce fapte interesante sunt asociate cu acesta?

Este adevărat că valoarea lui pi este de aproximativ 3,14

Prin urmare, m-am stabilit ţintă: explorați istoria numărului π și semnificația numărului π în stadiul actual de dezvoltare a matematicii.

Sarcini:

Studiați literatura pentru a obține informații despre istoria numărului π;

Stabiliți câteva fapte din „biografia modernă” a numărului π;

Calculul practic al valorii aproximative a raportului dintre circumferință și diametru.

Obiectul de studiu:

Obiectul de studiu: numărul PI.

Subiect de studiu: Fapte interesante legate de numărul PI.

2. Partea principală. Uimitor numărul pi.

Niciun alt număr nu este la fel de misterios ca Pi, cu faimoasa sa serie de numere fără sfârșit. În multe domenii ale matematicii și fizicii, oamenii de știință folosesc acest număr și legile sale.

Dintre toate numerele folosite în matematică, știință, inginerie și viața de zi cu zi, puține numere primesc atâta atenție ca pi. O carte spune: „Pi captivează mințile geniilor științei și ale matematicienilor amatori din întreaga lume” („Fractali pentru clasă”).

Poate fi găsit în teoria probabilităților, în rezolvarea de probleme cu numere complexe și alte domenii neașteptate și departe de geometrie ale matematicii. Matematicianul englez Augustus de Morgan l-a numit odată pe pi „... misteriosul număr 3.14159... care se târăște prin ușă, prin fereastră și prin acoperiș”. Acest număr misterios, asociat cu una dintre cele trei probleme clasice ale Antichității - construirea unui pătrat a cărui suprafață este egală cu aria unui cerc dat - implică un traseu de fapte istorice dramatice și distractive curioase.

Unii îl consideră chiar unul dintre cele mai importante cinci numere din matematică. Dar, după cum notează cartea Fractals for the Classroom, pe cât de important este pi, „este dificil să găsești zone în calculele științifice care necesită mai mult de douăzeci de zecimale pentru pi”.

3. Conceptul de pi

Numărul π este o constantă matematică care exprimă raportul dintre circumferința unui cerc și lungimea diametrului său. Numărul π (pronunțat "pi") este o constantă matematică care exprimă raportul dintre circumferința unui cerc și lungimea diametrului său. Notat cu litera „pi” din alfabetul grec.

În termeni numerici, π începe cu 3,141592 și are o durată matematică infinită.

4. Istoricul numărului „pi”

Potrivit experților, acest număr a fost descoperit de magicienii babilonieni. A fost folosit la construcția faimosului Turn al Babel. Cu toate acestea, calculul insuficient de precis al valorii lui Pi a dus la prăbușirea întregului proiect. Este posibil ca această constantă matematică să stea la baza construcției legendarului Templu al regelui Solomon.

Istoria lui pi, care exprimă raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul său, a început în Egiptul Antic. Aria unui cerc cu diametru d Matematicienii egipteni l-au definit ca (d-d/9) 2 (Această intrare este dată aici în simboluri moderne). Din expresia de mai sus putem concluziona că în acel moment numărul p era considerat egal cu fracția (16/9) 2 , sau 256/81 , adică π = 3,160...

În cartea sacră a jainismului (una dintre cele mai vechi religii care a existat în India și a apărut în secolul al VI-lea î.Hr.) există un indiciu din care rezultă că numărul p la acel moment a fost luat egal, ceea ce dă fracția 3,162... Grecii antici Eudox, Hipocrate iar alții au redus măsurarea unui cerc la construcția unui segment, iar măsurarea unui cerc la construcția unui pătrat egal. Trebuie remarcat faptul că timp de multe secole, matematicienii din diferite țări și popoare au încercat să exprime raportul dintre circumferință și diametru ca număr rațional.

Arhimedeîn secolul al III-lea î.Hr. în lucrarea sa scurtă „Măsurarea unui cerc” el a fundamentat trei propuneri:

Fiecare cerc este egal ca mărime cu un triunghi dreptunghic, ale cărui catete sunt, respectiv, egale cu lungimea cercului și cu raza acestuia;

Aricele unui cerc sunt legate de pătratul construit pe diametru, ca 11 până la 14;

Raportul dintre orice cerc și diametrul său este mai mic 3 1/7 și altele 3 10/71 .

Conform calculelor exacte Arhimede raportul dintre circumferință și diametru este inclus între numere 3*10/71 Și 3*1/7 , ceea ce înseamnă că π = 3,1419... Adevărata semnificație a acestei relații 3,1415922653... În secolul al V-lea î.Hr. matematician chinez Zu Chongzhi a fost găsită o valoare mai precisă pentru acest număr: 3,1415927...

În prima jumătate a secolului al XV-lea. observator Ulugbek, aproape Samarkand, astronom și matematician al-Kashi calculat pi la 16 zecimale. Al-Kashi a făcut calcule unice care au fost necesare pentru alcătuirea unui tabel de sinusuri în pași de 1" . Aceste tabele au jucat un rol important în astronomie.

Un secol și jumătate mai târziu în Europa F. Viet a găsit pi cu doar 9 zecimale corecte dublând de 16 ori numărul de laturi ale poligoanelor. Dar in acelasi timp F. Viet a fost primul care a observat că pi poate fi găsit folosind limitele anumitor serii. Această descoperire a fost grozavă

valoare, deoarece ne-a permis să calculăm pi cu orice precizie. La doar 250 de ani după al-Kashi rezultatul lui a fost depășit.

Ziua de naștere a numărului „”.

Pe 14 martie este sărbătorită sărbătoarea neoficială „Ziua PI”, care în format american (ziua/data) este scrisă ca 3/14, ceea ce corespunde valorii aproximative a PI.

Există o versiune alternativă a sărbătorii - 22 iulie. Se numește Ziua Pi aproximativă. Faptul este că reprezentarea acestei date ca o fracție (22/7) dă și numărul Pi ca rezultat. Se crede că sărbătoarea a fost inventată în 1987 de către fizicianul din San Francisco Larry Shaw, care a observat că data și ora coincid cu primele cifre ale numărului π.

Fapte interesante legate de numărul „”

Oamenii de știință de la Universitatea din Tokyo, conduși de profesorul Yasumasa Kanada, au reușit să stabilească un record mondial în calcularea numărului Pi la 12.411 trilioane de cifre. Pentru a face acest lucru, un grup de programatori și matematicieni aveau nevoie de un program special, un supercomputer și 400 de ore de calculator. (Cartea Recordurilor Guinness).

Regele german Frederic al II-lea a fost atât de fascinat de acest număr încât i-a dedicat... întregul palat Castel del Monte, în proporțiile cărora se poate calcula PI. Acum palatul magic se află sub protecția UNESCO.

Cum să vă amintiți primele cifre ale numărului „”.

Primele trei cifre ale numărului  = 3,14... nu sunt greu de reținut. Și pentru a reține mai multe semne, există zicale și poezii amuzante. De exemplu, acestea:

Trebuie doar să încerci

Și amintiți-vă totul așa cum este:

Nouăzeci și doi și șase.

S. Bobrov. „Bicorn magic”

Oricine învață acest catren va putea întotdeauna să numească 8 semne ale numărului :

În următoarele expresii, semnele numerice  pot fi determinate de numărul de litere din fiecare cuvânt:

“Ce știu despre cercuri?” (3,1416);

“Deci știu numărul numit Pi. - Bine făcut!"

(3,1415927);

“Învață și cunoașteți numărul din spatele numărului, cum să observați norocul.”

(3,14159265359)

5. Notație pentru pi

Primul care a introdus simbolul modern pi pentru raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul său a fost un matematician englez. W.Johnsonîn 1706. Ca simbol a luat prima literă a cuvântului grecesc "periferie", care a tradus înseamnă "cerc". A intrat W.Johnson denumirea a devenit folosită în mod obișnuit după publicarea lucrărilor L. Euler, care a folosit caracterul introdus pentru prima dată în 1736 G.

La sfârşitul secolului al XVIII-lea. A.M.Lagendre bazat pe lucrări I.G. Lambert a demonstrat că pi este irațional. Apoi matematicianul german F. Lindeman bazat pe cercetare S.Ermita, a găsit o dovadă strictă că acest număr nu este doar irațional, ci și transcendental, i.e. nu poate fi rădăcina unei ecuații algebrice. Căutarea unei expresii exacte pentru pi a continuat după lucrare F. Vieta. La începutul secolului al XVII-lea. matematician olandez din Köln Ludolf van Zeijlen(1540-1610) (unii istorici îl numesc L. van Keulen) a găsit 32 de semne corecte. De atunci (anul publicării 1615), valoarea numărului p cu 32 de zecimale a fost numită număr Ludolph.

6. Cum să vă amintiți numărul „Pi” cu exactitate la unsprezece cifre

Numărul „Pi” este raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia, este exprimat ca o fracție zecimală infinită. În viața de zi cu zi, este suficient să cunoaștem trei semne (3.14). Cu toate acestea, unele calcule necesită o precizie mai mare.

Strămoșii noștri nu aveau computere, calculatoare sau cărți de referință, dar de pe vremea lui Petru I s-au angajat în calcule geometrice în astronomie, inginerie mecanică și construcții navale. Ulterior, aici a fost adăugată inginerie electrică - există conceptul de „frecvență circulară a curentului alternativ”. Pentru a aminti numărul „Pi”, a fost inventat un cuplet (din păcate, nu cunoaștem autorul sau locul primei sale apariții; dar la sfârșitul anilor 40 ai secolului XX, școlarii din Moscova au studiat manualul de geometrie al lui Kiselev, unde era dat).

Cupla este scrisă după regulile ortografiei vechi rusești, conform cărora după consoană trebuie plasat la sfârșitul cuvântului "moale" sau "solid" semn. Iată, acest minunat cuplet istoric:

Care, în glumă, îi va dori în curând

„Pi” știe numărul - el știe deja.

Este logic ca oricine intenționează să se angajeze în calcule precise în viitor să-și amintească acest lucru. Deci, care este numărul „Pi” exact la unsprezece cifre? Numărați numărul de litere din fiecare cuvânt și scrieți aceste numere într-un rând (separați primul număr cu o virgulă).

Această precizie este deja destul de suficientă pentru calculele de inginerie. Pe lângă cea veche, există și o metodă modernă de memorare, care a fost subliniată de un cititor care s-a identificat ca Georgiy:

Ca să nu greșim,

Trebuie sa o citesti corect:

Trei, paisprezece, cincisprezece,

Nouăzeci și doi și șase.

Trebuie doar să încerci

Și amintiți-vă totul așa cum este:

Trei, paisprezece, cincisprezece,

Nouăzeci și doi și șase.

Trei, paisprezece, cincisprezece,

Nouă, doi, șase, cinci, trei, cinci.

Pentru a face știință,

Toată lumea ar trebui să știe asta.

Poți doar să încerci

Și repetă mai des:

„Trei, paisprezece, cincisprezece,

Nouă, douăzeci și șase și cinci”.

Ei bine, matematicienii cu ajutorul computerelor moderne pot calcula aproape orice număr de cifre ale lui Pi.

7. Înregistrare de memorie Pi

Omenirea încearcă de multă vreme să-și amintească semnele lui pi. Dar cum să punem infinitul în memorie? O întrebare favorită a mnemoniștilor profesioniști. Au fost dezvoltate multe teorii și tehnici unice pentru stăpânirea unei cantități uriașe de informații. Multe dintre ele au fost testate pe pi.

Recordul mondial stabilit în ultimul secol în Germania este de 40.000 de caractere. Recordul rusesc pentru valorile pi a fost stabilit la 1 decembrie 2003 la Chelyabinsk de Alexander Belyaev. Într-o oră și jumătate cu pauze scurte, Alexander a scris 2500 de cifre de pi pe tablă.

Înainte de aceasta, listarea a 2.000 de caractere era considerată un record în Rusia, care a fost atins în 1999 la Ekaterinburg. Potrivit lui Alexander Belyaev, șeful centrului de dezvoltare a memoriei figurative, oricare dintre noi poate efectua un astfel de experiment cu memoria noastră. Este important doar să cunoști tehnici speciale de memorare și să exersezi periodic.

Concluzie.

Numărul pi apare în formulele utilizate în multe domenii. Fizica, inginerie electrică, electronică, teoria probabilităților, construcții și navigație sunt doar câteva. Și se pare că, așa cum nu există un sfârșit pentru semnele numărului pi, nu există nici un sfârșit al posibilităților de aplicare practică a acestui număr pi util și evaziv.

În matematica modernă, numărul pi nu este doar raportul dintre circumferință și diametru, ci este inclus într-un număr mare de formule diferite.

Aceasta și alte interdependențe au permis matematicienilor să înțeleagă în continuare natura lui pi.

Valoarea exactă a numărului π în lumea modernă nu are doar propria sa valoare științifică, ci este folosită și pentru calcule foarte precise (de exemplu, orbita unui satelit, construcția de poduri gigantice), precum și pentru evaluarea viteza și puterea computerelor moderne.

În prezent, numărul π este asociat cu un set greu de văzut de formule, fapte matematice și fizice. Numărul lor continuă să crească rapid. Toate acestea vorbesc despre un interes tot mai mare pentru cea mai importantă constantă matematică, al cărei studiu s-a întins pe mai mult de douăzeci și două de secole.

Munca pe care am făcut-o a fost interesantă. Am vrut să aflu despre istoria pi, aplicații practice și cred că mi-am atins scopul. Rezumând munca, ajung la concluzia că acest subiect este relevant. Există multe fapte interesante asociate cu numărul π, așa că trezește interes pentru studiu. În munca mea, m-am familiarizat mai mult cu numărul - una dintre valorile eterne pe care umanitatea le-a folosit de multe secole. Am învățat câteva aspecte din istoria sa bogată. Am aflat de ce lumea antică nu cunoștea raportul corect dintre circumferință și diametru. M-am uitat clar la modalitățile prin care poate fi obținut numărul. Pe baza experimentelor, am calculat valoarea aproximativă a numărului în diferite moduri. Procesarea și analizarea rezultatelor experimentale.

Orice școlar de astăzi ar trebui să știe ce înseamnă un număr și aproximativ egal. La urma urmei, prima cunoaștere a fiecăruia cu un număr, utilizarea lui în calcularea circumferinței unui cerc, a aria unui cerc, are loc în clasa a VI-a. Dar, din păcate, această cunoaștere rămâne formală pentru mulți și, după un an sau doi, puțini oameni își amintesc nu numai că raportul dintre lungimea unui cerc și diametrul său este același pentru toate cercurile, dar chiar au dificultăți în a-și aminti valoarea numerică. al numărului, egal cu 3 ,14.

Am încercat să ridic vălul istoriei bogate a numărului pe care omenirea l-a folosit de multe secole. Am făcut chiar eu o prezentare pentru munca mea.

Istoria numerelor este fascinantă și misterioasă. Aș dori să continui să cercetez alte numere uimitoare în matematică. Acesta va fi subiectul următoarelor mele studii de cercetare.

Bibliografie.

1. Glazer G.I. Istoria matematicii în școală, clasele IV-VI. - M.: Educaţie, 1982.

2. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică - M.: Prosveshchenie, 1989.

3. Jukov A.V. Numărul omniprezent „pi”. - M.: Editorial URSS, 2004.

4. Kympan F. Istoria numărului „pi”. - M.: Nauka, 1971.

5. Svechnikov A.A. o călătorie în istoria matematicii - M.: Pedagogika - Press, 1995.

6. Enciclopedie pentru copii. T.11.Matematică - M.: Avanta +, 1998.

Resurse de internet:

- http:// crow.academy.ru/materials_/pi/history.htm

Http://hab/kp.ru// daily/24123/344634/

Istoria numărului Pi începe în Egiptul Antic și merge în paralel cu dezvoltarea tuturor matematicii. Este prima dată când întâlnim această cantitate între zidurile școlii.

Numărul Pi este poate cel mai misterios dintre numărul infinit al altora. Lui îi sunt dedicate poezii, artiștii îl înfățișează și chiar s-a făcut un film despre el. În articolul nostru ne vom uita la istoria dezvoltării și calculului, precum și domeniile de aplicare a constantei Pi în viața noastră.

Pi este o constantă matematică egală cu raportul dintre circumferința unui cerc și lungimea diametrului său. Inițial a fost numit numărul Ludolph și a fost propus să fie notat cu litera Pi de către matematicianul britanic Jones în 1706. După lucrările lui Leonhard Euler din 1737, această denumire a devenit general acceptată.

Pi este un număr irațional, ceea ce înseamnă că valoarea sa nu poate fi exprimată cu precizie ca o fracție m/n, unde m și n sunt numere întregi. Acest lucru a fost dovedit pentru prima dată de Johann Lambert în 1761.

Istoria dezvoltării numărului Pi datează de aproximativ 4000 de ani. Chiar și vechii matematicieni egipteni și babilonieni știau că raportul dintre circumferință și diametru este același pentru orice cerc și valoarea lui este puțin mai mare de trei.

Arhimede a propus o metodă matematică pentru calcularea lui Pi, în care a înscris poligoane regulate într-un cerc și a descris-o în jurul acestuia. Conform calculelor sale, Pi a fost aproximativ egal cu 22/7 ≈ 3,142857142857143.

În secolul al II-lea, Zhang Heng a propus două valori pentru Pi: ≈ 3,1724 și ≈ 3,1622.

Matematicienii indieni Aryabhata și Bhaskara au găsit o valoare aproximativă de 3,1416.

Cea mai precisă aproximare a lui Pi timp de 900 de ani a fost un calcul al matematicianului chinez Zu Chongzhi în anii 480. El a dedus că Pi ≈ 355/113 și a arătat că 3,1415926< Пи < 3,1415927.

Înainte de mileniul 2, nu erau calculate mai mult de 10 cifre ale lui Pi. Abia odată cu dezvoltarea analizei matematice, și mai ales odată cu descoperirea seriei, s-au realizat progrese majore ulterioare în calculul constantei.

În anii 1400, Madhava a fost capabil să calculeze Pi=3,14159265359. Recordul său a fost doborât de matematicianul persan Al-Kashi în 1424. În lucrarea sa „Tratat despre cerc”, el a citat 17 cifre ale lui Pi, dintre care 16 s-au dovedit a fi corecte.

Matematicianul olandez Ludolf van Zeijlen a ajuns la 20 de numere în calculele sale, dedicându-și 10 ani din viață acestui lucru. După moartea sa, în notele sale au fost descoperite încă 15 cifre ale lui Pi. El a lăsat moștenire ca aceste numere să fie sculptate pe piatra lui funerară.

Odată cu apariția computerelor, numărul Pi are astăzi câteva trilioane de cifre și nu aceasta este limita. Dar, așa cum subliniază Fractals for the Classroom, pe cât de important este Pi, „este dificil să găsești zone în calculele științifice care necesită mai mult de douăzeci de zecimale”.

În viața noastră, numărul Pi este folosit în multe domenii științifice. Fizica, electronica, teoria probabilității, chimie, construcții, navigație, farmacologie - acestea sunt doar câteva dintre ele care sunt pur și simplu imposibil de imaginat fără acest număr misterios.

Pe baza materialelor de pe site-ul Calculator888.ru - Numărul Pi - sens, istorie, cine l-a inventat.

Timp de multe secole și chiar, în mod ciudat, de milenii, oamenii au înțeles importanța și valoarea pentru știință a unei constante matematice egale cu raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul său. numărul Pi este încă necunoscut, dar cei mai buni matematicieni din istoria noastră au fost implicați în el. Cei mai mulți dintre ei au vrut să-l exprime ca un număr rațional.

1. Cercetătorii și adevărații fani ai numărului Pi au organizat un club, la care să se alăture căruia trebuie să știi pe de rost un număr destul de mare de semne ale acestuia.

2. Din 1988, se sărbătorește „Ziua Pi”, care cade pe 14 martie. Ei pregătesc salate, prăjituri, prăjituri și produse de patiserie cu imaginea lui.

3. Numărul Pi a fost deja setat pe muzică și sună destul de bine. I s-a ridicat chiar și un monument în Seattle, America, în fața Muzeului de Artă al orașului.

În acel moment îndepărtat, au încercat să calculeze numărul Pi folosind geometrie. Faptul că acest număr este constant pentru o mare varietate de cercuri a fost cunoscut de geometrii din Egiptul Antic, Babilon, India și Grecia Antică, care au declarat în lucrările lor că era doar puțin mai mult de trei.

Într-una din cărțile sacre ale jainismului (o religie antică indiană care a apărut în secolul al VI-lea î.Hr.) se menționează că atunci numărul Pi era considerat egal cu rădăcina pătrată a lui zece, care dă în cele din urmă 3.162... .

Matematicienii greci antici au măsurat un cerc construind un segment, dar pentru a măsura un cerc, au trebuit să construiască un pătrat egal, adică o figură egală ca suprafață cu acesta.

Când fracțiile zecimale nu erau încă cunoscute, marele Arhimede a găsit valoarea lui Pi cu o precizie de 99,9%. El a descoperit o metodă care a devenit baza pentru multe calcule ulterioare, înscriind poligoane regulate într-un cerc și descriindu-l în jurul acestuia. Ca rezultat, Arhimede a calculat valoarea lui Pi ca raport 22 / 7 ≈ 3,142857142857143.

În China, matematician și astronom de curte, Zu Chongzhi în secolul al V-lea î.Hr. e. a desemnat o valoare mai precisă pentru Pi, calculând-o cu șapte zecimale și a determinat valoarea sa între numerele 3, 1415926 și 3,1415927. Oamenii de știință au avut nevoie de mai mult de 900 de ani pentru a continua această serie digitală.

Evul mediu

Celebrul om de știință indian Madhava, care a trăit la începutul secolelor XIV-XV și a devenit fondatorul școlii de astronomie și matematică din Kerala, a început pentru prima dată în istorie să lucreze la extinderea funcțiilor trigonometrice în serie. Adevărat, doar două dintre lucrările sale au supraviețuit și doar referințele și citatele studenților săi sunt cunoscute pentru alții. Tratatul științific „Mahajyanayana”, care este atribuit lui Madhava, afirmă că numărul Pi este 3,14159265359. Și în tratatul „Sadratnamala” este dat un număr cu zecimale și mai exacte: 3,14159265358979324. În numerele date, ultimele cifre nu corespund valorii corecte.

În secolul al XV-lea, matematicianul și astronomul din Samarkand Al-Kashi a calculat numărul Pi cu șaisprezece zecimale. Rezultatul său a fost considerat cel mai precis pentru următorii 250 de ani.

W. Johnson, un matematician din Anglia, a fost unul dintre primii care a indicat cu litera π raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia. Pi este prima literă a cuvântului grecesc "περιφέρεια" - cerc. Dar această denumire a reușit să devină general acceptată abia după ce a fost folosită în 1736 de mai faimosul om de știință L. Euler.

Concluzie

Oamenii de știință moderni continuă să lucreze la calcule suplimentare ale valorilor lui Pi. Supercalculatoarele sunt deja folosite pentru asta. În 2011, un om de știință de la Shigeru Kondo, colaborând cu un student american Alexander Yi, a calculat corect o secvență de 10 trilioane de cifre. Dar încă nu este clar cine a descoperit numărul Pi, cine s-a gândit prima dată la această problemă și a făcut primele calcule ale acestui număr cu adevărat mistic.

Introducere

Articolul conține formule matematice, așa că pentru a citi, accesați site-ul pentru a le afișa corect. Numărul \(\pi\) are o istorie bogată. Această constantă denotă raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia.

În știință, numărul \(\pi \) este folosit în orice calcule care implică cercuri. Începând de la volumul unei cutii de sifon, până la orbitele sateliților. Și nu doar cercuri. Într-adevăr, în studiul liniilor curbe, numărul \(\pi \) ajută la înțelegerea sistemelor periodice și oscilatorii. De exemplu, unde electromagnetice și chiar muzică.

În 1706, în cartea A New Introduction to Mathematics a savantului britanic William Jones (1675-1749), litera alfabetului grec \(\pi\) a fost folosită pentru prima dată pentru a reprezenta numărul 3,141592.... Această denumire provine de la litera inițială a cuvintelor grecești περιϕερεια - cerc, periferie și περιµετρoς - perimetru. Denumirea a devenit general acceptată după lucrarea lui Leonhard Euler în 1737.

Perioada geometrică

Constanța raportului dintre lungimea oricărui cerc și diametrul său a fost observată de mult timp. Locuitorii Mesopotamiei au folosit o aproximare destul de grosieră a numărului \(\pi\). După cum rezultă din problemele antice, ei folosesc valoarea \(\pi ≈ 3\) în calculele lor.

O valoare mai precisă pentru \(\pi\) a fost folosită de egiptenii antici. La Londra și New York se păstrează două bucăți de papirus egiptean antic, care sunt numite „papirus Rinda”. Papirusul a fost compilat de scribul Armes cândva între 2000-1700. î.Hr. Armes a scris în papirusul său că aria unui cerc cu raza \(r\) este egală cu aria unui pătrat cu latura egală cu \(\frac(8)(9) \) a diametrul cercului \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), adică \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Prin urmare \(\pi = 3,16\).

Vechiul matematician grec Arhimede (287-212 î.Hr.) a fost primul care a pus problema măsurării unui cerc pe o bază științifică. A primit un scor de \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Metoda este destul de simplă, dar în absența unor tabele gata făcute de funcții trigonometrice, va fi necesară extragerea rădăcinilor. În plus, aproximarea converge către \(\pi \) foarte lent: cu fiecare iterație eroarea scade doar de patru ori.

Perioada analitică

În ciuda acestui fapt, până la mijlocul secolului al XVII-lea, toate încercările oamenilor de știință europeni de a calcula numărul \(\pi\) s-au rezumat la creșterea laturilor poligonului. De exemplu, matematicianul olandez Ludolf van Zeijlen (1540-1610) a calculat valoarea aproximativă a numărului \(\pi\) cu precizie la 20 de cifre zecimale.

I-a luat 10 ani să calculeze. Prin dublarea numărului de laturi ale poligoanelor înscrise și circumscrise folosind metoda lui Arhimede, el a ajuns la \(60 \cdot 2^(29) \) - un triunghi pentru a calcula \(\pi \) cu 20 de zecimale.

După moartea sa, în manuscrisele sale au fost descoperite încă 15 cifre exacte ale numărului \(\pi\). Ludolf a lăsat moștenire ca semnele pe care le-a găsit să fie sculptate pe piatra funerară. În onoarea lui, numărul \(\pi\) a fost numit uneori „numărul Ludolf” sau „constanta Ludolf”.

Unul dintre primii care a introdus o metodă diferită de cea a lui Arhimede a fost François Viète (1540-1603). A ajuns la rezultatul că un cerc al cărui diametru este egal cu unul are o zonă:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt ( \frac(1)(2) \cdots )))) \]

Pe de altă parte, aria este \(\frac(\pi)(4)\). Prin înlocuirea și simplificarea expresiei, putem obține următoarea formulă de produs infinit pentru calcularea valorii aproximative a \(\frac(\pi)(2)\):

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2) )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Formula rezultată este prima expresie analitică exactă pentru numărul \(\pi\). Pe lângă această formulă, Viet, folosind metoda lui Arhimede, a dat, folosind poligoane înscrise și circumscrise, începând cu un 6-gon și terminând cu un poligon cu \(2^(16) \cdot 6 \) laturi, o aproximare a numărului \(\pi \) cu 9 cu semnele drepte.

Matematicianul englez William Brounker (1620-1684), folosind fracția continuă, a obținut următoarele rezultate pentru calcularea \(\frac(\pi)(4)\):

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) ) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

Această metodă de calcul a aproximării numărului \(\frac(4)(\pi)\) necesită destul de multe calcule pentru a obține chiar și o mică aproximare.

Valorile obținute ca urmare a înlocuirii sunt fie mai mari, fie mai mici decât numărul \(\pi\), și de fiecare dată sunt mai aproape de valoarea adevărată, dar pentru a obține valoarea 3,141592 va fi necesar să se efectueze destul de mare. calculele.

Un alt matematician englez John Machin (1686-1751) în 1706, pentru a calcula numărul \(\pi\) cu 100 de zecimale, a folosit formula derivată de Leibniz în 1673 și a aplicat-o după cum urmează:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) - arctg\frac(1)(239) \]

Seria converge rapid și cu ajutorul ei puteți calcula numărul \(\pi \) cu mare precizie. Aceste tipuri de formule au fost folosite pentru a stabili mai multe recorduri în timpul erei computerelor.

În secolul al XVII-lea odată cu începutul perioadei de matematică cu valori variabile, a început o nouă etapă în calculul lui \(\pi\). Matematicianul german Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) în 1673 a găsit o descompunere a numărului \(\pi\), în general poate fi scris ca următoarea serie infinită:

\[ \pi = 1 — 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) — \frac(1)(7) + \frac(1)(9) — \frac(1) (11) + \cdots) \]

Seria se obține prin înlocuirea x = 1 în \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) — \cdots\)

Leonhard Euler dezvoltă ideea lui Leibniz în lucrările sale despre utilizarea serii pentru arctan x în calcularea numărului \(\pi\). Tratatul „De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi” (Despre diverse metode de exprimare la pătrarea cercului prin numere aproximative), scris în 1738, discută metode de îmbunătățire a calculelor folosind formula lui Leibniz.

Euler scrie că seria pentru arctangente va converge mai repede dacă argumentul tinde spre zero. Pentru \(x = 1\), convergența seriei este foarte lentă: pentru a calcula cu o precizie de 100 de cifre este necesar să adăugați \(10^(50)\) termeni ai seriei. Puteți accelera calculele prin scăderea valorii argumentului. Dacă luăm \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), atunci obținem seria

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 — \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) — \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

Potrivit lui Euler, dacă luăm 210 termeni din această serie, vom obține 100 de cifre corecte ale numărului. Seria rezultată este incomodă deoarece este necesar să se cunoască o valoare destul de exactă a numărului irațional \(\sqrt(3)\). Euler a folosit, de asemenea, în calculele sale expansiuni ale arctangentelor în suma arctangentelor argumentelor mai mici:

\[unde x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Nu au fost publicate toate formulele de calcul \(\pi\) pe care le folosea Euler în caietele sale. În lucrările și caietele publicate, el a luat în considerare 3 serii diferite pentru calcularea arctangentei și, de asemenea, a făcut multe afirmații cu privire la numărul de termeni sumabili necesari pentru a obține o valoare aproximativă a \(\pi\) cu o precizie dată.

În anii următori, perfecționările valorii numărului \(\pi\) au avut loc din ce în ce mai repede. De exemplu, în 1794, Georg Vega (1754-1802) a identificat deja 140 de semne, dintre care doar 136 s-au dovedit a fi corecte.

Perioada de calcul

Secolul XX a fost marcat de o etapă complet nouă în calculul numărului \(\pi\). Matematicianul indian Srinivasa Ramanujan (1887-1920) a descoperit multe formule noi pentru \(\pi\). În 1910, a obținut o formulă pentru calcularea \(\pi\) prin expansiunea arctangentă într-o serie Taylor:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

La k=100, se obține o precizie de 600 de cifre corecte ale numărului \(\pi\).

Apariția computerelor a făcut posibilă creșterea semnificativă a preciziei valorilor obținute într-un timp mai scurt. În 1949, în doar 70 de ore, folosind ENIAC, un grup de oameni de știință condus de John von Neumann (1903-1957) a obținut 2037 de zecimale pentru numărul \(\pi\). În 1987, David și Gregory Chudnovsky au obținut o formulă cu care au reușit să stabilească mai multe recorduri în calcularea \(\pi\):

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k) ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Fiecare membru al seriei oferă 14 cifre. În 1989 s-au obţinut 1.011.196.691 zecimale. Această formulă este potrivită pentru calcularea \(\pi\) pe computerele personale. În prezent, frații sunt profesori la Institutul Politehnic al Universității din New York.

O dezvoltare recentă importantă a fost descoperirea formulei în 1997 de către Simon Plouffe. Vă permite să extrageți orice cifră hexazecimală a numărului \(\pi\) fără a le calcula pe cele precedente. Formula se numește „Formula Bailey-Borwain-Plouffe” în onoarea autorilor articolului în care formula a fost publicată pentru prima dată. Arata cam asa:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) — \frac(2)(8k+4) ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

În 2006, Simon, folosind PSLQ, a venit cu câteva formule frumoase pentru calcularea \(\pi\). De exemplu,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) — 1) — \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

unde \(q = e^(\pi)\). În 2009, oamenii de știință japonezi, folosind supercomputerul T2K Tsukuba System, au obținut numărul \(\pi\) cu 2.576.980.377.524 de zecimale. Calculele au durat 73 de ore și 36 de minute. Computerul a fost echipat cu 640 de procesoare AMD Opteron quad-core, care au oferit performanțe de 95 de trilioane de operațiuni pe secundă.

Următoarea realizare în calcularea \(\pi\) îi aparține programatorului francez Fabrice Bellard, care la sfârșitul anului 2009, pe computerul său personal pe care rulează Fedora 10, a stabilit un record calculând 2.699.999.990.000 de zecimale ale numărului \(\pi\). ). În ultimii 14 ani, acesta este primul record mondial care a fost stabilit fără utilizarea unui supercomputer. Pentru performanțe înalte, Fabrice a folosit formula fraților Chudnovsky. În total, calculul a durat 131 de zile (103 zile de calcule și 13 zile de verificare a rezultatului). Realizarea lui Bellar a arătat că astfel de calcule nu necesită un supercomputer.

Doar șase luni mai târziu, recordul lui Francois a fost doborât de inginerii Alexander Yi și Singer Kondo. Pentru a stabili un record de 5 trilioane zecimale de \(\pi\), a fost folosit și un computer personal, dar cu caracteristici mai impresionante: două procesoare Intel Xeon X5680 la 3,33 GHz, 96 GB RAM, 38 TB memorie pe disc și sistemul de operare Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Pentru calcule, Alexander și Singer au folosit formula fraților Chudnovsky. Procesul de calcul a durat 90 de zile și 22 TB de spațiu pe disc. În 2011, au stabilit un alt record calculând 10 trilioane de zecimale pentru numărul \(\pi\). Calculele au avut loc pe același computer pe care a fost stabilit recordul lor anterior și au durat în total 371 de zile. La sfârșitul anului 2013, Alexander și Singerou au îmbunătățit recordul la 12,1 trilioane de cifre ale numărului \(\pi\), ceea ce le-a luat doar 94 de zile pentru a calcula. Această îmbunătățire a performanței este obținută prin optimizarea performanței software, creșterea numărului de nuclee de procesor și îmbunătățirea semnificativă a toleranței la erori software.

Recordul actual este cel al lui Alexander Yee și al cântărețului Kondo, care este de 12,1 trilioane de zecimale \(\pi\).

Astfel, ne-am uitat la metode de calculare a numărului \(\pi\) utilizate în antichitate, metode analitice și, de asemenea, ne-am uitat la metodele și înregistrările moderne pentru calcularea numărului \(\pi\) pe computere.

Lista surselor

1. Jukov A.V. Numărul omniprezent Pi - M.: Editura LKI, 2007 - 216 p.
2. F.Rudio. Pe cuadratura cercului, cu aplicarea unui istoric al problemei întocmit de F. Rudio. / Rudio F. – M.: ONTI NKTP URSS, 1936. – 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. – Springer, 2001. – 270p.
4. Shukhman, E.V. Calculul aproximativ al lui Pi folosind seria pentru arctan x în lucrările publicate și nepublicate ale lui Leonhard Euler / E.V. Şukhman. — Istoria științei și tehnologiei, 2008 – Nr. 4. – P. 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 – Vol.9 – 222-236p.
6. Shumikhin, S. Numărul Pi. O istorie de 4000 de ani / S. Shumikhin, A. Shumikhina. - M.: Eksmo, 2011. - 192 p.
7. Borwein, J.M. Ramanujan și numărul Pi. / Borwein, J.M., Borwein P.B. În lumea științei. 1988 – nr. 4. – pp. 58-66.
8. Alex Yee. Lumea numerelor. Mod de acces: numberworld.org

Ți-a plăcut?

Spune