Metoda Gaussiană are o serie de dezavantaje: este imposibil să știm dacă sistemul este consistent sau nu până când nu au fost efectuate toate transformările necesare în metoda Gauss; metoda Gaussiană nu este potrivită pentru sistemele cu coeficienți de litere.

Luați în considerare alte metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare. Aceste metode folosesc conceptul de rang al unei matrice și reduc soluția oricărui sistem comun la soluția unui sistem căruia i se aplică regula lui Cramer.

Exemplul 1 Găsiți soluția generală a următorului sistem de ecuații liniare folosind sistemul fundamental de soluții al sistemului omogen redus și o soluție particulară a sistemului neomogen.

1. Facem o matrice Ași matricea augmentată a sistemului (1)

2. Explorați sistemul (1) pentru compatibilitate. Pentru a face acest lucru, găsim rândurile matricelor Ași https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Dacă se dovedește că , atunci sistemul (1) incompatibil. Dacă primim asta , atunci acest sistem este consistent și îl vom rezolva. (Studiul de consistență se bazează pe teorema Kronecker-Capelli).

A. Găsim rA.

A găsi rA, vom lua în considerare succesiv minori non-zero ale primului, al doilea, etc. ordine ale matricei Ași minorii din jurul lor.

M1=1≠0 (1 este luat din colțul din stânga sus al matricei DAR).

învecinat M1 al doilea rând și a doua coloană a acestei matrice. . Continuăm la graniță M1 a doua linie și a treia coloană..gif" width="37" height="20 src=">. Acum marginim minorul diferit de zero М2′ a doua comanda.

Avem: (pentru că primele două coloane sunt aceleași)

(deoarece a doua și a treia linie sunt proporționale).

Vedem asta rA=2, și este baza minoră a matricei A.

b. Găsim .

Suficient de bază minoră М2′ matrici A chenar cu o coloană de membri liberi și toate liniile (avem doar ultima linie).

. De aici rezultă că М3′′ rămâne baza minoră a matricei https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

pentru că М2′- baza minoră a matricei A sisteme (2) , atunci acest sistem este echivalent cu sistemul (3) , constând din primele două ecuații ale sistemului (2) (pentru М2′ se află în primele două rânduri ale matricei A).

(3)

Deoarece minorul de bază este https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

În acest sistem, două necunoscute gratuite ( x2 și x4 ). De aceea FSR sisteme (4) constă din două soluții. Pentru a le găsi, le atribuim necunoscute gratuite (4) valorile mai întâi x2=1 , x4=0 , și apoi - x2=0 , x4=1 .

La x2=1 , x4=0 primim:

.

Acest sistem are deja singurul lucru soluție (se poate găsi prin regula lui Cramer sau prin orice altă metodă). Scăzând prima ecuație din a doua ecuație, obținem:

Decizia ei va fi x1= -1 , x3=0 . Având în vedere valorile x2 și x4 , pe care am dat-o, obținem prima soluție fundamentală a sistemului (2) : .

Acum punem (4) x2=0 , x4=1 . Primim:

.

Rezolvăm acest sistem folosind teorema lui Cramer:

.

Obținem a doua soluție fundamentală a sistemului (2) : .

Soluții β1 , β2 si machiaza FSR sisteme (2) . Atunci soluția sa generală va fi

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Aici C1 , C2 sunt constante arbitrare.

4. Găsiți unul privat soluţie sistem eterogen(1) . Ca în paragraful 3 , în loc de sistem (1) luați în considerare sistemul echivalent (5) , constând din primele două ecuații ale sistemului (1) .

(5)

Transferăm necunoscutele gratuite în partea dreaptă x2și x4.

(6)

Să dăm necunoscute gratuite x2 și x4 valori arbitrare, de exemplu, x2=2 , x4=1 și conectați-le la (6) . Să luăm sistemul

Acest sistem are o soluție unică (deoarece determinantul său М2′0). Rezolvând-o (folosind teorema Cramer sau metoda Gauss), obținem x1=3 , x3=3 . Având în vedere valorile necunoscutelor libere x2 și x4 , primim soluție particulară a unui sistem neomogen(1)α1=(3,2,3,1).

5. Acum rămâne de scris soluţia generală α a unui sistem neomogen(1) : este egal cu suma decizie privată acest sistem şi soluţie generală a sistemului său omogen redus (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Acest lucru înseamnă: (7)

6. Examinare. Pentru a verifica dacă ați rezolvat corect sistemul (1) , avem nevoie de o soluție generală (7) înlocuire în (1) . Dacă fiecare ecuație devine o identitate ( C1 și C2 ar trebui distrus), atunci soluția este găsită corect.

Vom înlocui (7) de exemplu, numai în ultima ecuație a sistemului (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .

Se obține: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Unde -1=-1. Avem o identitate. Facem acest lucru cu toate celelalte ecuații ale sistemului (1) .

Cometariu. Verificarea este de obicei destul de greoaie. Vă putem recomanda următoarea „verificare parțială”: în soluția generală a sistemului (1) atribuiți unele valori constantelor arbitrare și înlocuiți soluția particulară rezultată numai în ecuațiile aruncate (adică în acele ecuații din (1) care nu sunt incluse în (5) ). Dacă obțineți identități, atunci cel mai probabil, soluția sistemului (1) găsit corect (dar o astfel de verificare nu oferă o garanție deplină a corectitudinii!). De exemplu, dacă în (7) a pune C2=- 1 , C1=1, atunci obținem: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Inlocuind in ultima ecuatie a sistemului (1), avem: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , adică –1=–1. Avem o identitate.

Exemplul 2 Găsiți o soluție generală a unui sistem de ecuații liniare (1) , exprimând principalele necunoscute sub aspectul celor libere.

Soluţie. Ca în exemplu 1, compune matrice Ași https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ale acestor matrici. Acum lăsăm doar acele ecuații ale sistemului (1) , ai căror coeficienți sunt incluși în acest minor de bază (adică avem primele două ecuații) și considerăm sistemul format din ele, care este echivalent cu sistemul (1).

Să transferăm necunoscutele libere în partea dreaptă a acestor ecuații.

sistem (9) rezolvăm prin metoda Gauss, considerând părțile potrivite drept membri liberi.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Opțiunea 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Opțiunea 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Opțiunea 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Opțiunea 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Sistem omogen de ecuații liniare pe un câmp

DEFINIȚIE. Sistemul fundamental de soluții ale sistemului de ecuații (1) este un sistem nevid liniar independent al soluțiilor sale, al cărui interval liniar coincide cu mulțimea tuturor soluțiilor sistemului (1).

Rețineți că un sistem omogen de ecuații liniare care are doar o soluție zero nu are un sistem fundamental de soluții.

PROPUNEREA 3.11. Oricare două sisteme fundamentale de soluții ale unui sistem omogen de ecuații liniare constau din același număr de soluții.

Dovada. Într-adevăr, oricare două sisteme fundamentale de soluții ale sistemului omogen de ecuații (1) sunt echivalente și liniar independente. Prin urmare, prin Propunerea 1.12, rangurile lor sunt egale. Prin urmare, numărul de soluții incluse într-un sistem fundamental este egal cu numărul de soluții incluse în orice alt sistem fundamental de soluții.

Dacă matricea principală A a sistemului omogen de ecuații (1) este zero, atunci orice vector din este o soluție a sistemului (1); în acest caz, orice colecție de vectori liniar independenți din este un sistem fundamental de soluții. Dacă rangul coloanei matricei A este , atunci sistemul (1) are o singură soluție - zero; prin urmare, în acest caz, sistemul de ecuații (1) nu are un sistem fundamental de soluții.

TEOREMA 3.12. Dacă rangul matricei principale a sistemului omogen de ecuații liniare (1) este mai mic decât numărul de variabile , atunci sistemul (1) are un sistem fundamental de soluții format din soluții.

Dovada. Dacă rangul matricei principale A a sistemului omogen (1) este egal cu zero sau , atunci s-a arătat mai sus că teorema este adevărată. Prin urmare, se presupune mai jos că Presupunând , vom presupune că primele coloane ale matricei A sunt liniar independente. În acest caz, matricea A este echivalentă pe rând cu matricea cu trepte reduse, iar sistemul (1) este echivalent cu următorul sistem de ecuații în trepte reduse:

Este ușor de verificat că orice sistem de valori ale variabilelor libere ale sistemului (2) corespunde uneia și unei singure soluții a sistemului (2) și, prin urmare, a sistemului (1). În special, numai soluția zero a sistemului (2) și a sistemului (1) corespunde sistemului de valori zero.

În sistemul (2), vom atribui o valoare egală cu 1 uneia dintre variabilele libere, iar celorlalte variabile valori zero. Ca rezultat, obținem soluții ale sistemului de ecuații (2), pe care le scriem ca șiruri ale următoarei matrice C:

Sistemul de rânduri al acestei matrice este liniar independent. Într-adevăr, pentru orice scalari din egalitate

urmează egalitatea

și deci egalitate

Să demonstrăm că intervalul liniar al sistemului de rânduri al matricei C coincide cu mulțimea tuturor soluțiilor sistemului (1).

Soluție arbitrară a sistemului (1). Apoi vectorul

este, de asemenea, o soluție pentru sistemul (1) și

Se numește un sistem de ecuații liniare în care toți termenii liberi sunt egali cu zero omogen :

Orice sistem omogen este întotdeauna consistent, din moment ce a fost întotdeauna zero (banal ) soluție. Se pune întrebarea în ce condiții un sistem omogen va avea o soluție nebanală.

Teorema 5.2.Un sistem omogen are o soluție netrivială dacă și numai dacă rangul matricei subiacente este mai mic decât numărul necunoscutelor sale.

Consecinţă. Un sistem omogen pătrat are o soluție netrivială dacă și numai dacă determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero.

Exemplul 5.6. Determinați valorile parametrului l pentru care sistemul are soluții netriviale și găsiți următoarele soluții:

Soluţie. Acest sistem va avea o soluție netrivială atunci când determinantul matricei principale este egal cu zero:

Astfel, sistemul este netrivial când l=3 sau l=2. Pentru l=3, rangul matricei principale a sistemului este 1. Apoi, lăsând o singură ecuație și presupunând că y=Ași z=b, primim x=b-a, adică

Pentru l=2, rangul matricei principale a sistemului este 2. Apoi, alegând ca minor de bază:

obținem un sistem simplificat

De aici aflăm că x=z/4, y=z/2. Presupunând z=4A, primim

Setul tuturor soluțiilor unui sistem omogen are o foarte importantă proprietate liniară : dacă X coloane 1 și X 2 - soluții ale sistemului omogen AX = 0, apoi orice combinație liniară a acestora A X 1+b X 2 va fi si solutia acestui sistem. Într-adevăr, pentru că TOPOR 1 = 0 și TOPOR 2 = 0 , apoi A(A X 1+b X 2) = a TOPOR 1+b TOPOR 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Datorită acestei proprietăți, dacă un sistem liniar are mai multe soluții, atunci vor exista infinite dintre aceste soluții.

Coloane liniar independente E 1 , E 2 , E k, care sunt soluții ale unui sistem omogen, se numește sistem fundamental de decizie sistem omogen de ecuații liniare dacă soluția generală a acestui sistem poate fi scrisă ca o combinație liniară a acestor coloane:

Dacă un sistem omogen are n variabile, iar rangul matricei principale a sistemului este egal cu r, apoi k = n-r.

Exemplul 5.7. Găsiți sistemul fundamental de soluții al următorului sistem de ecuații liniare:

Soluţie. Aflați rangul matricei principale a sistemului:

Astfel, mulțimea de soluții a acestui sistem de ecuații formează un subspațiu liniar de dimensiune n - r= 5 - 2 = 3. Alegem ca minor de bază

.

Apoi, lăsând doar ecuațiile de bază (restul va fi o combinație liniară a acestor ecuații) și variabilele de bază (transferăm restul, așa-numitele variabile libere în dreapta), obținem un sistem simplificat de ecuații:

Presupunând X 3 = A, X 4 = b, X 5 = c, găsim

, .

Presupunând A= 1, b=c= 0, obținem prima soluție de bază; presupunând b= 1, a = c= 0, obținem a doua soluție de bază; presupunând c= 1, a = b= 0, obținem a treia soluție de bază. Ca rezultat, sistemul fundamental normal de soluții ia forma

Folosind sistemul fundamental, soluția generală a sistemului omogen poate fi scrisă ca

X = aE 1 + fi 2 + cE 3 . A

Să notăm câteva proprietăți ale soluțiilor sistemului neomogen de ecuații liniare AX=Bși relația lor cu sistemul omogen de ecuații corespunzător AX = 0.

Soluție generală a unui sistem neomogeneste egală cu suma soluției generale a sistemului omogen corespunzător AX = 0 și a unei soluții particulare arbitrare a sistemului neomogen. Într-adevăr, să Y 0 este o soluție particulară arbitrară a unui sistem neomogen, adică AY 0 = B, și Y este soluția generală a unui sistem neomogen, adică. AY=B. Scăzând o egalitate din cealaltă, obținem
A(A-Y 0) = 0, adică A-Y 0 este soluția generală a sistemului omogen corespunzător TOPOR=0. Prin urmare, A-Y 0 = X, sau Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Fie ca un sistem neomogen să aibă forma AX = B 1 + B 2 . Atunci soluția generală a unui astfel de sistem poate fi scrisă ca X = X 1 + X 2 , unde AX 1 = B 1 și AX 2 = B 2. Această proprietate exprimă proprietatea universală a oricăror sisteme liniare în general (algebric, diferențial, funcțional etc.). În fizică, această proprietate se numește principiul suprapunerii, în inginerie electrică și radio - principiul suprapunerii. De exemplu, în teoria circuitelor electrice liniare, curentul din orice circuit poate fi obținut ca o sumă algebrică a curenților provocați de fiecare sursă de energie separat.

Un sistem omogen este întotdeauna consistent și are o soluție banală
. Pentru ca o soluție netrivială să existe, este necesar ca rangul matricei a fost mai mic decât numărul de necunoscute:

.

Sistem de decizie fundamental sistem omogen
numiți sistemul de soluții sub formă de vectori coloană
, care corespund temeiului canonic, i.e. bază în care constantele arbitrare
sunt setate alternativ egale cu unu, în timp ce restul sunt setate la zero.

Atunci soluția generală a sistemului omogen are forma:

Unde
sunt constante arbitrare. Cu alte cuvinte, soluția generală este o combinație liniară a sistemului fundamental de soluții.

Astfel, soluțiile de bază pot fi obținute din soluția generală dacă necunoscutelor libere li se dă alternativ valoarea unității, presupunând că toate celelalte sunt egale cu zero.

Exemplu. Să găsim o soluție la sistem

Acceptăm , apoi obținem soluția sub forma:

Să construim acum un sistem fundamental de soluții:

.

Soluția generală poate fi scrisă astfel:

Soluțiile unui sistem de ecuații liniare omogene au următoarele proprietăți:

Cu alte cuvinte, orice combinație liniară de soluții la un sistem omogen este din nou o soluție.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda Gauss

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare a fost de interes pentru matematicieni de câteva secole. Primele rezultate au fost obținute în secolul al XVIII-lea. În 1750, G. Kramer (1704–1752) și-a publicat lucrările despre determinanții matricilor pătrate și a propus un algoritm pentru găsirea matricei inverse. În 1809, Gauss a schițat o nouă metodă de soluție cunoscută sub numele de metoda eliminării.

Metoda Gauss, sau metoda eliminării succesive a necunoscutelor, constă în faptul că, cu ajutorul transformărilor elementare, sistemul de ecuații se reduce la un sistem echivalent de formă în trepte (sau triunghiulară). Astfel de sisteme vă permit să găsiți în mod constant toate necunoscutele într-o anumită ordine.

Să presupunem că în sistemul (1)
(ceea ce este întotdeauna posibil).

(1)

Înmulțind prima ecuație pe rând cu așa-numita numere potrivite

și adunând rezultatul înmulțirii cu ecuațiile corespunzătoare ale sistemului, obținem un sistem echivalent în care toate ecuațiile, cu excepția primei, nu vor avea necunoscute. X 1

(2)

Înmulțim acum a doua ecuație a sistemului (2) cu numere adecvate, presupunând că

,

iar adăugând-o la cele inferioare, eliminăm variabila a tuturor ecuațiilor, începând cu a treia.

Continuând acest proces, după
pașii primim:

(3)

Dacă cel puţin unul dintre numere
nu este egal cu zero, atunci egalitatea corespunzătoare este inconsecventă și sistemul (1) este inconsecvent. Dimpotrivă, pentru orice sistem de numere comun
sunt egale cu zero. Număr nu este altceva decât rangul matricei sistemului (1).

Se numește trecerea de la sistemul (1) la (3). în linie dreaptă Metoda Gaussiană și găsirea necunoscutelor din (3) - înapoi .

cometariu : Este mai convenabil să se efectueze transformări nu cu ecuațiile în sine, ci cu matricea extinsă a sistemului (1).

Exemplu. Să găsim o soluție la sistem

.

Să scriem matricea augmentată a sistemului:

.

Să adăugăm la liniile 2,3,4 primul, înmulțit cu (-2), (-3), respectiv (-2):

.

Să schimbăm rândurile 2 și 3, apoi în matricea rezultată adăugați rândul 2 la rândul 4, înmulțit cu :

.

Adaugă la linia 4 linia 3 înmulțită cu
:

.

Este evident că
, prin urmare sistemul este compatibil. Din sistemul de ecuații rezultat

găsim soluția prin substituție inversă:

,
,
,
.

Exemplul 2 Găsiți soluția de sistem:

.

Este evident că sistemul este inconsecvent, pentru că
, A
.

Avantajele metodei Gauss :

Mai puțin consumator de timp decât metoda lui Cramer.

Stabilește fără ambiguitate compatibilitatea sistemului și vă permite să găsiți o soluție.

Oferă capacitatea de a determina rangul oricăror matrici.

Lăsa M 0 este mulțimea soluțiilor sistemului omogen (4) de ecuații liniare.

Definiția 6.12. Vectori Cu 1 ,Cu 2 , …, cu p, care sunt soluții ale unui sistem omogen de ecuații liniare, se numesc set fundamental de soluții(abreviat FNR) dacă

1) vectori Cu 1 ,Cu 2 , …, cu p liniar independent (adică niciunul dintre ele nu poate fi exprimat în termenii celorlalți);

2) orice altă soluție a unui sistem omogen de ecuații liniare poate fi exprimată în termeni de soluții Cu 1 ,Cu 2 , …, cu p.

Rețineți că dacă Cu 1 ,Cu 2 , …, cu p este oarecare f.n.r., apoi prin expresie k 1× Cu 1 + k 2× Cu 2 + … + kp× cu p poate descrie întregul set M 0 soluții la sistemul (4), așa că se numește vedere generală a soluției sistemului (4).

Teorema 6.6. Orice sistem omogen nedefinit de ecuații liniare are un set fundamental de soluții.

Modul de a găsi setul fundamental de soluții este următorul:

Aflați soluția generală a unui sistem omogen de ecuații liniare;

Construi ( n – r) soluții parțiale ale acestui sistem, în timp ce valorile necunoscutelor libere trebuie să formeze o matrice de identitate;

Scrieți forma generală a soluției incluse în M 0 .

Exemplul 6.5. Găsiți setul fundamental de soluții ale următorului sistem:

Soluţie. Să găsim soluția generală a acestui sistem.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Acest sistem are cinci necunoscute ( n= 5), dintre care există două necunoscute principale ( r= 2), trei necunoscute libere ( n – r), adică setul fundamental de soluții conține trei vectori soluție. Să le construim. Avem X 1 și X 3 - principalele necunoscute, X 2 , X 4 , X 5 - necunoscute libere

Valorile necunoscutelor gratuite X 2 , X 4 , X 5 formează matricea de identitate E ordinul al treilea. Am acei vectori Cu 1 ,Cu 2 , Cu 3 forma f.n.r. acest sistem. Atunci setul de soluții al acestui sistem omogen va fi M 0 = {k 1× Cu 1 + k 2× Cu 2 + k 3× Cu 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Să aflăm acum condițiile de existență a soluțiilor nenule ale unui sistem omogen de ecuații liniare, cu alte cuvinte, condițiile de existență a unui set fundamental de soluții.

Un sistem omogen de ecuații liniare are soluții diferite de zero, adică este nedefinit dacă

1) rangul matricei principale a sistemului este mai mic decât numărul de necunoscute;

2) într-un sistem omogen de ecuații liniare, numărul de ecuații este mai mic decât numărul de necunoscute;

3) dacă într-un sistem omogen de ecuații liniare numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, iar determinantul matricei principale este egal cu zero (adică | A| = 0).

Exemplul 6.6. La ce valoare a parametrului A sistem omogen de ecuații liniare are soluții diferite de zero?

Soluţie. Să compunem matricea principală a acestui sistem și să găsim determinantul acestuia: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Determinantul acestei matrice este egal cu zero atunci când A = –4.

Răspuns: –4.

7. Aritmetica n-spațiu vectorial dimensional

Noțiuni de bază

În secțiunile anterioare, am întâlnit deja conceptul de mulțime de numere reale dispuse într-o anumită ordine. Aceasta este o matrice de rând (sau matrice de coloană) și o soluție a unui sistem de ecuații liniare cu n necunoscut. Aceste informații pot fi rezumate.

Definiție 7.1. n-vector aritmetic dimensional se numește un set ordonat de n numere reale.

Mijloace A= (a 1, a 2, …, a n), unde un iО R, i = 1, 2, …, n este vederea generală a vectorului. Număr n numit dimensiune vector, iar numerele a i l-am sunat coordonate.

De exemplu: A= (1, –8, 7, 4, ) este un vector cu cinci dimensiuni.

Toate gata n vectorii -dimensionali se notează de obicei ca R n.

Definiție 7.2. Doi vectori A= (a 1, a 2, …, a n) și b= (b 1 , b 2 , …, b n) de aceeași dimensiune egal dacă și numai dacă coordonatele lor respective sunt egale, adică a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definiție 7.3.sumă Două n-vectori dimensionali A= (a 1, a 2, …, a n) și b= (b 1 , b 2 , …, b n) se numește vector A + b= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n+b n).

Definiție 7.4. muncă numar real k pe vector A= (a 1, a 2, …, a n) se numește vector k× A = (k×a 1 , k×a 2 , …, k×a n)

Definiție 7.5. Vector despre= (0, 0, …, 0) se numește zero(sau vector nul).

Este ușor de verificat dacă acțiunile (operațiile) de adunare a vectorilor și de înmulțire a acestora cu un număr real au următoarele proprietăți: A, b, c Î R n, " k, lОR:

1) A + b = b + A;

2) A + (b+ c) = (A + b) + c;

3) A + despre = A;

4) A+ (–A) = despre;

5) 1× A = A, 1 О R;

6) k×( l× A) = l×( k× A) = (l× k)× A;

7) (k + l)× A = k× A + l× A;

8) k×( A + b) = k× A + k× b.

Definiție 7.6. Multe R n cu operatiile de adunare a vectorilor si inmultirea lor cu un numar real dat pe acesta se numeste spațiu vectorial aritmetic n-dimensional.