La găsiți funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete trebuie să utilizați acest calculator. Exercitiul 1. Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue X are forma:
A găsi:
a) parametrul A ;
b) funcţia de distribuţie F(x) ;
c) probabilitatea de a lovi o variabilă aleatoare X în intervalul ;
d) așteptarea matematică MX și varianța DX .
Reprezentați grafic funcțiile f(x) și F(x) .

Sarcina 2. Aflați varianța variabilei aleatoare X dată de funcția integrală.

Sarcina 3. Găsiți așteptările matematice ale unei variabile aleatoare X având în vedere o funcție de distribuție.

Sarcina 4. Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare este dată astfel: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Aflați coeficientul A , funcția de distribuție F(x) , așteptarea și varianța matematică, precum și probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare în intervalul . Trasează graficele f(x) și F(x).

Sarcină. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue este dată după cum urmează:

Determinați parametrii a și b , găsiți expresia pentru densitatea de probabilitate f(x) , așteptarea și varianța matematică, precum și probabilitatea ca variabila aleatoare să ia o valoare în intervalul . Trasează graficele f(x) și F(x).

Să găsim funcția de densitate de distribuție ca o derivată a funcției de distribuție.

Știind că

găsiți parametrul a:


sau 3a=1, de unde a = 1/3
Găsim parametrul b din următoarele proprietăți:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 de unde b = -1/3
Prin urmare, funcția de distribuție este: F(x) = (x-1)/3

Valorea estimata.


Dispersia.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Găsiți probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare în interval
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Exemplul #1. Este dată densitatea distribuției de probabilitate f(x) a unei variabile aleatoare continue X. Necesar:

1. Determinați coeficientul A .
2. găsiți funcția de distribuție F(x) .
3. reprezentați schematic F(x) și f(x) .
4. găsiți așteptarea și varianța matematică a lui X .
5. găsiți probabilitatea ca X să ia o valoare din intervalul (2;3).

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Decizie:

Variabila aleatoare X este dată de densitatea distribuției f(x):

Găsiți parametrul A din condiția:



sau
14/3*A-1=0
Unde,
A = 3 / 14

Funcția de distribuție poate fi găsită prin formula.

Variabilă aleatorie se numește o variabilă care, în urma fiecărui test, ia o valoare necunoscută anterior, în funcție de cauze aleatorii. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule latine: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ După tipul lor, variabilele aleatoare pot fi discretși continuu.

Variabilă aleatoare discretă- aceasta este o astfel de variabilă aleatoare, ale cărei valori nu pot fi mai mult decât numărabile, adică fie finite, fie numărabile. Numărabilitatea înseamnă că pot fi enumerate valorile unei variabile aleatorii.

Exemplul 1 . Să dăm exemple de variabile aleatoare discrete:

a) numărul de lovituri pe țintă cu $n$ lovituri, aici valorile posibile sunt $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) numărul de steme care au căzut la aruncarea unei monede, aici valorile posibile sunt $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) numărul de nave care au ajuns la bord (un set numărabil de valori).

d) numărul de apeluri care sosesc la centrală (un set numărabil de valori).

1. Legea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete.

O variabilă aleatoare discretă $X$ poate lua valorile $x_1,\dots ,\ x_n$ cu probabilități $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Corespondența dintre aceste valori și probabilitățile lor se numește legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete. De regulă, această corespondență este specificată folosind un tabel, în primul rând al căruia sunt indicate valorile lui $x_1,\dots ,\ x_n$, iar în a doua linie probabilitățile corespunzătoare acestor valori sunt $ p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(matrice)$

Exemplul 2 . Fie variabila aleatoare $X$ numărul de puncte aruncate atunci când un zar este aruncat. O astfel de variabilă aleatorie $X$ poate lua următoarele valori $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Probabilitățile tuturor acestor valori sunt egale cu $1/6$. Apoi legea distribuției probabilităților pentru variabila aleatoare $X$:

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(matrice)$

cometariu. Deoarece evenimentele $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ formează un grup complet de evenimente în legea distribuției variabilei aleatoare discrete $X$, suma probabilităților trebuie să fie egală cu unu, adică $\sum( p_i)=1$.

2. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatorii specifică valoarea sa „centrală”. Pentru o variabilă aleatorie discretă, așteptarea matematică este calculată ca suma produselor valorilor $x_1,\dots ,\ x_n$ și a probabilităților $p_1,\dots ,\p_n$ corespunzătoare acestor valori, adică: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. În literatura engleză, se folosește o altă notație $E\left(X\right)$.

Proprietăți de așteptare$M\stânga(X\dreapta)$:

1. $M\left(X\right)$ este între cele mai mici și cele mai mari valori ale variabilei aleatoare $X$.
2. Așteptările matematice ale unei constante este egală cu constanta însăși, adică. $M\left(C\right)=C$.
3. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Exemplul 3 . Să găsim așteptările matematice ale variabilei aleatoare $X$ din exemplul $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\peste (6))+2\cdot ((1)\peste (6) )+3\cdot ((1)\peste (6))+4\cdot ((1)\peste (6))+5\cdot ((1)\peste (6))+6\cdot ((1 )\peste (6))=3.5.$$

Putem observa că $M\left(X\right)$ se află între cea mai mică ($1$) și cea mai mare ($6$) valori ale variabilei aleatoare $X$.

Exemplul 4 . Se știe că așteptarea matematică a variabilei aleatoare $X$ este egală cu $M\left(X\right)=2$. Găsiți așteptările matematice ale variabilei aleatoare $3X+5$.

Folosind proprietățile de mai sus, obținem $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Exemplul 5 . Se știe că așteptarea matematică a variabilei aleatoare $X$ este egală cu $M\left(X\right)=4$. Găsiți așteptările matematice ale variabilei aleatoare $2X-9$.

Folosind proprietățile de mai sus, obținem $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Dispersia unei variabile aleatoare discrete.

Valorile posibile ale variabilelor aleatoare cu așteptări matematice egale se pot împrăștia diferit în jurul valorilor lor medii. De exemplu, în două grupe de studenți, scorul mediu la examen la teoria probabilității s-a dovedit a fi 4, dar într-o grupă toți s-au dovedit a fi elevi buni, iar în celălalt grup, doar studenți C și studenți excelenți. Prin urmare, este nevoie de o astfel de caracteristică numerică a unei variabile aleatoare, care să arate răspândirea valorilor unei variabile aleatoare în jurul așteptărilor sale matematice. Această caracteristică este dispersia.

Dispersia unei variabile aleatoare discrete$X$ este:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

În literatura engleză, se folosește notația $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Foarte des, varianța $D\left(X\right)$ este calculată prin formula $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) stânga(X \dreapta)\dreapta))^2$.

Proprietăți de dispersie$D\stânga(X\dreapta)$:

1. Dispersia este întotdeauna mai mare sau egală cu zero, adică. $D\stanga(X\dreapta)\ge 0$.
2. Dispersia dintr-o constantă este egală cu zero, adică. $D\stanga(C\dreapta)=0$.
3. Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie, cu condiția ca acesta să fie pătrat, i.e. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\dreapta)$.
4. Varianța sumei variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora, i.e. $D\left(X+Y\right)=D\stanga(X\dreapta)+D\stanga(Y\dreapta)$.
5. Varianța diferenței variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora, i.e. $D\left(X-Y\right)=D\stanga(X\dreapta)+D\stanga(Y\dreapta)$.

Exemplul 6 . Să calculăm varianța variabilei aleatoare $X$ din exemplul $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\peste (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\peste (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\peste (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\peste (12))\aproximativ 2,92.$$

Exemplul 7 . Se știe că varianța variabilei aleatoare $X$ este egală cu $D\left(X\right)=2$. Găsiți varianța variabilei aleatoare $4X+1$.

Folosind proprietățile de mai sus, găsim $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ stânga(X\dreapta)=16\cdot 2=32$.

Exemplul 8 . Se știe că varianța lui $X$ este egală cu $D\left(X\right)=3$. Găsiți varianța variabilei aleatoare $3-2X$.

Folosind proprietățile de mai sus, găsim $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ stânga(X\dreapta)=4\cdot 3=12$.

4. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete.

Metoda de reprezentare a unei variabile aleatoare discrete sub forma unei serii de distribuție nu este singura și, cel mai important, nu este universală, deoarece o variabilă aleatoare continuă nu poate fi specificată folosind o serie de distribuție. Există o altă modalitate de a reprezenta o variabilă aleatoare - funcția de distribuție.

functie de distributie variabila aleatoare $X$ este funcția $F\left(x\right)$, care determină probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia o valoare mai mică decât o valoare fixă ​​$x$, adică $F\left(x\ dreapta)$ )=P\stanga(X< x\right)$

Proprietățile funcției de distribuție:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia valori din intervalul $\left(\alpha ;\\beta \right)$ este egală cu diferența dintre valorile funcției de distribuție la sfârșitul acestui interval : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - nedescrescătoare.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \dreapta)=1\ )$.

Exemplul 9 . Să găsim funcția de distribuție $F\left(x\right)$ pentru legea de distribuție a variabilei aleatoare discrete $X$ din exemplul $2$.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(matrice)$

Dacă $x\le 1$, atunci evident $F\left(x\right)=0$ (inclusiv $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Dacă 1 dolari< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Dacă 2 dolari< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Dacă 3 dolari< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Dacă 4 dolari< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Dacă 5 dolari< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Dacă $x > 6$, atunci $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\stanga(X=4\dreapta)+P\stanga(X=5\dreapta)+P\stanga(X=6\dreapta)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Deci $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ la\ x\le 1,\\
1/6, la \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ la\ 2< x\le 3,\\
1/2, la \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ la\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ la \ 4< x\le 5,\\
1,\ pentru \ x > 6.
\end(matrice)\dreapta.$

Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Variabile aleatoare”.

Sarcină 1 . Sunt 100 de bilete emise la loterie. S-a jucat o victorie de 50 USD. și zece câștiguri de 10 USD fiecare. Aflați legea distribuției valorii X - costul unui posibil câștig.

Decizie. Valori posibile ale lui X: x 1 = 0; X 2 = 10 și x 3 = 50. Deoarece există 89 de bilete „goale”, atunci p 1 = 0,89, probabilitatea de castig este de 10 c.u. (10 bilete) – p 2 = 0,10 și pentru un câștig de 50 c.u. –p 3 = 0,01. Prin urmare:

	0,89	0,10	0,01

Ușor de controlat: .

Sarcină 2. Probabilitatea ca cumpărătorul să se fi familiarizat în avans cu reclama produsului este de 0,6 (p = 0,6). Controlul selectiv al calității publicității este efectuat prin sondajul cumpărătorilor înaintea primului care a studiat reclama în prealabil. Faceți o serie de distribuție a numărului de cumpărători intervievați.

Decizie. După condiţia problemei p = 0,6. Din: q=1 -p = 0,4. Înlocuind aceste valori, obținem:și construiți o serie de distribuție:

pi		0,24

Sarcină 3. Un computer este format din trei elemente care funcționează independent: o unitate de sistem, un monitor și o tastatură. Cu o singură creștere bruscă a tensiunii, probabilitatea de defecțiune a fiecărui element este de 0,1. Pe baza distribuției Bernoulli, întocmește legea distribuției pentru numărul de elemente defectate în timpul unei supratensiuni în rețea.

Decizie. Considera distribuția Bernoulli(sau binom): probabilitatea ca în n teste, evenimentul A va apărea exact k o singura data: , sau:

	q n					p n

LA să revenim la sarcină.

Valori posibile ale lui X (număr de defecțiuni):

x 0 =0 - niciunul dintre elemente nu a eșuat;

x 1 =1 - defectarea unui element;

x 2 =2 - defectarea a două elemente;

x 3 =3 - defectarea tuturor elementelor.

Deoarece, prin condiție, p = 0,1, atunci q = 1 – p = 0,9. Folosind formula Bernoulli, obținem

, ,

, .

Controlul: .

Prin urmare, legea de distribuție dorită:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Sarcina 4. Produse 5000 de runde. Probabilitatea ca un cartuş să fie defect . Care este probabilitatea ca în întregul lot să fie exact 3 cartușe defecte?

Decizie. Aplicabil Distribuția Poisson: această distribuție este folosită pentru a determina probabilitatea ca, având în vedere un foarte mare

număr de încercări (încercări în masă), în fiecare dintre ele probabilitatea evenimentului A este foarte mică, evenimentul A va avea loc de k ori: , Unde .

Aici n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Găsim , apoi probabilitatea dorită: .

Sarcina 5. Când trageți înainte de prima lovitură cu probabilitatea de a lovi p = 0,6 pentru o lovitură, trebuie să găsiți probabilitatea ca lovitura să apară la a treia lovitură.

Decizie. Să aplicăm distribuția geometrică: să se facă încercări independente, în fiecare dintre ele evenimentul A are o probabilitate de apariție p (și de neapariție q = 1 - p). Încercările se încheie imediat ce apare evenimentul A.

În astfel de condiții, probabilitatea ca evenimentul A să se producă la testul k este determinată de formula: . Aici p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4;k \u003d 3. Prin urmare, .

Sarcina 6. Să fie dată legea distribuției unei variabile aleatoare X:

Găsiți așteptările matematice.

Decizie. .

Rețineți că sensul probabilistic al așteptării matematice este valoarea medie a unei variabile aleatoare.

Sarcina 7. Aflați varianța unei variabile aleatoare X cu următoarea lege de distribuție:

Decizie. Aici .

Legea distribuției pătratului lui X 2 :

X 2

Varianta necesară: .

Dispersia caracterizează gradul de abatere (împrăștiere) a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică.

Sarcina 8. Fie variabila aleatoare dată de distribuția:

			10m

Găsiți caracteristicile sale numerice.

Rezolvare: m, m 2 ,

M 2 , m.

Despre o variabilă aleatoare X, se poate spune fie - așteptarea sa matematică este de 6,4 m cu o varianță de 13,04 m 2 , sau - așteptarea sa matematică este de 6,4 m cu o abatere de m. A doua formulare este evident mai clară.

Sarcină 9. Valoare aleatoare X dat de funcția de distribuție:
.

Aflați probabilitatea ca, în urma testului, valoarea X să capete o valoare cuprinsă în interval .

Decizie. Probabilitatea ca X să ia o valoare dintr-un interval dat este egală cu incrementul funcției integrale în acest interval, i.e. . În cazul nostru și, prin urmare

.

Sarcină 10. Variabilă aleatoare discretă X dat de legea distributiei:

Găsiți funcția de distribuție F(x ) și construiește-i graficul.

Decizie. Deoarece funcţia de distribuţie

pentru , apoi

la ;

la ;

la ;

la ;

Grafic relevant:

Sarcina 11. Variabilă aleatoare continuă X dat de funcția de distribuție diferențială: .

Găsiți probabilitatea de a lovi X la interval

Decizie. Rețineți că acesta este un caz special al legii distribuției exponențiale.

Să folosim formula: .

Sarcină 12. Aflați caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare discrete X date de legea distribuției:

	–5
	X 2 : x2 . , Unde este funcția Laplace. Valorile acestei funcții sunt găsite folosind un tabel. În cazul nostru: . Conform tabelului găsim:, prin urmare:

4. Densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare continue

O variabilă aleatoare continuă poate fi specificată folosind funcția de distribuție F(X) . Acest mod de setare nu este singurul. O variabilă aleatoare continuă poate fi specificată și folosind o altă funcție numită densitate de distribuție sau densitate de probabilitate (uneori numită funcție diferențială).

Definiția 4.1: Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue X apelați funcția f (X) - derivata întâi a funcției de distribuție F(X) :

f ( X ) = F "( X ) .

Din această definiție rezultă că funcția de distribuție este antiderivată a densității de distribuție. Rețineți că pentru a descrie distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete, densitatea distribuției nu este aplicabilă.

Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare continuă într-un interval dat

Cunoscând densitatea distribuției, putem calcula probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia o valoare care aparține unui interval dat.

Teorema: Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X să ia valori aparținând intervalului (A, b), este egală cu o anumită integrală a densității de distribuție, luată în intervalul de laAinainte deb :

Dovada: Folosim raportul

P(A ≤ Xb) = F(b) – F(A).

Conform formulei Newton-Leibniz,

Prin urmare,

.

La fel de P(A ≤ X b)= P(A X b) , apoi ajungem în sfârșit

.

Din punct de vedere geometric, rezultatul poate fi interpretat astfel: probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia o valoare aparținând intervalului (A, b), este egală cu aria trapezului curbiliniu delimitată de axăBou, curba de distribuțief(X) și directX = AșiX = b.

Cometariu:În special, dacă f(X) este o funcție pară și capetele intervalului sunt simetrice față de origine, atunci

.

Exemplu. Având în vedere densitatea de probabilitate a unei variabile aleatorii X

Găsiți probabilitatea ca în urma testului X va lua valori aparținând intervalului (0,5; 1).

Decizie: Probabilitatea dorită

.

Găsirea funcției de distribuție dintr-o densitate de distribuție cunoscută

Cunoscând densitatea distribuției f(X) , putem găsi funcția de distribuție F(X) conform formulei

.

Într-adevăr, F(X) = P(X X) = P(-∞ X X) .

Prin urmare,

.

Prin urmare, cunoscând densitatea distribuției, puteți găsi funcția de distribuție. Desigur, din funcția de distribuție cunoscută, se poate găsi densitatea de distribuție, și anume:

f(X) = F"(X).

Exemplu. Găsiți funcția de distribuție pentru o densitate de distribuție dată:

Decizie: Să folosim formula

În cazul în care un X ≤ A, apoi f(X) = 0 , prin urmare, F(X) = 0 . În cazul în care un a , atunci f(x) = 1/(b-a),

prin urmare,

.

În cazul în care un X > b, apoi

.

Deci, funcția de distribuție dorită

Cometariu: Am obținut funcția de distribuție a unei variabile aleatoare distribuite uniform (vezi distribuția uniformă).

Proprietăți de densitate de distribuție

Proprietatea 1: Densitatea distribuției este o funcție nenegativă:

f ( X ) ≥ 0 .

Proprietatea 2: Integrala improprie a densității distribuției în intervalul de la -∞ la ∞ este egală cu unu:

.

Cometariu: Graficul densității de distribuție se numește curba de distributie.

Cometariu: Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue se mai numește și legea distribuției.

Exemplu. Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare are următoarea formă:

Găsiți parametrul constant A.

Decizie: Densitatea distribuției trebuie să îndeplinească condiția , deci cerem ca egalitatea

.

De aici
. Să găsim integrala nedefinită:

.

Calculăm integrala improprie:

Astfel, parametrul necesar

.

Sensul probabil al densității de distribuție

Lasa F(X) este funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X. Prin definiția densității de distribuție, f(X) = F"(X) , sau

Diferență F(X+∆х) -F(X) determină probabilitatea ca X va lua valoarea aparținând intervalului (X, X+∆х). Astfel, limita raportului probabilității ca o variabilă aleatoare continuă să ia o valoare aparținând intervalului (X, X+∆х), la lungimea acestui interval (la ∆х→0) este egală cu valoarea densității de distribuție în punct X.

Deci funcția f(X) determină densitatea distribuției de probabilitate pentru fiecare punct X. Din calculul diferenţial se ştie că incrementul unei funcţii este aproximativ egal cu diferenţialul funcţiei, adică.

La fel de F"(X) = f(X) și dx = ∆ X, apoi F(X+∆ X) - F(X) ≈ f(X)∆ X.

Sensul probabilistic al acestei egalități este următorul: probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia o valoare aparținând intervalului (X, X+∆ X) , este aproximativ egal cu produsul dintre densitatea de probabilitate în punctul x și lungimea intervalului ∆х.

Geometric, acest rezultat poate fi interpretat ca: probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia o valoare aparținând intervalului (X, X+∆ X), aproximativ egală cu aria unui dreptunghi cu baza ∆х și înălțimef(X).

5. Distribuții tipice ale variabilelor aleatoare discrete

5.1. distribuția Bernoulli

Definiția 5.1: Valoare aleatoare X, care ia două valori 1 și 0 cu probabilități („succes”) pși („eșec”) q, se numește Bernoulli:

, Unde k=0,1.

5.2. Distribuție binomială

Lasă-l să fie produs n încercări independente, în fiecare dintre ele un eveniment A poate sau nu să apară. Probabilitatea ca un eveniment să apară în toate încercările este constantă și egală cu p(de unde probabilitatea neapariției q = 1 - p).

Luați în considerare o variabilă aleatorie X– numărul de apariții ale evenimentului Aîn aceste teste. Valoare aleatoare X ia valori 0,1,2,… n cu probabilități calculate prin formula Bernoulli: , Unde k = 0,1,2,… n.

Definiția 5.2: Binom se numește distribuție de probabilitate determinată de formula Bernoulli.

Exemplu. Trei lovituri sunt trase în țintă, iar probabilitatea de a lovi fiecare lovitură este de 0,8. Considerăm o variabilă aleatoare X- numărul de lovituri pe țintă. Găsiți seria de distribuție.

Decizie: Valoare aleatoare X ia valori 0,1,2,3 cu probabilități calculate prin formula Bernoulli, unde n = 3, p = 0,8 (probabilitate de lovire), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (probabilitatea de a lipsi).

Astfel, seria de distribuție are următoarea formă:

Utilizați formula Bernoulli pentru valori mari n destul de dificil, prin urmare, pentru a calcula probabilitățile corespunzătoare, se folosește teorema locală Laplace, care permite să se găsească aproximativ probabilitatea ca un eveniment să se producă exact. k odata nîncercări dacă numărul de încercări este suficient de mare.

Teorema Laplace locală: Dacă probabilitate p producerea unui eveniment A
că evenimentul A va apărea în n teste exact k ori, aproximativ egale (cu cât mai precis, cu atât mai mult n) valoarea funcției
, Unde
, .

Nota 1: Tabelele care conțin valorile funcției
, sunt date în Anexa 1 și
. Funcţie este densitatea distribuției normale standard (vezi distribuția normală).

Exemplu: Găsiți probabilitatea ca evenimentul A vine exact 80 odata 400 încercări dacă probabilitatea de apariție a acestui eveniment în fiecare încercare este egală cu 0,2.

Decizie: După condiție n = 400, k = 80, p = 0,2 , q = 0,8 . Să calculăm valoarea determinată de datele problemei X:
. Conform tabelului din Anexa 1, constatăm
. Atunci probabilitatea dorită va fi:

Dacă doriți să calculați probabilitatea ca un eveniment A va apărea în n teste cel putin k 1 o dată și nu mai mult k 2 de ori, atunci trebuie să utilizați teorema integrală Laplace:

Teorema integrală a Laplace: Dacă probabilitate p producerea unui eveniment Aîn fiecare test este constant și diferit de zero și unu, apoi probabilitatea că evenimentul A va apărea în n teste de la k 1 inainte de k 2 ori, aproximativ egală cu integrala definită

, Unde
și
.

Cu alte cuvinte, probabilitatea ca un eveniment A va apărea în n teste de la k 1 inainte de k 2 ori, aproximativ egal cu

Unde
, și .

Observație 2: Funcţie
numită funcție Laplace (vezi distribuția normală). Tabelele care conțin valorile funcției , sunt date în Anexa 2 și
.

Exemplu: Găsiți probabilitatea ca printre 400 piesele selectate aleatoriu vor fi nebifate de la 70 la 100 de piese, dacă probabilitatea ca piesa să nu fi trecut controlul de control al calității este egală cu 0,2.

Decizie: După condiție n = 400, p = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Să calculăm limitele inferioare și superioare de integrare:

;
.

Astfel, avem:

Conform tabelului din Anexa 2, constatăm că
și
. Atunci probabilitatea necesară este:

Observație 3:Într-o serie de încercări independente (când n este mare, p este mic), formula Poisson este utilizată de exact k ori pentru a calcula probabilitatea ca un eveniment să apară (vezi distribuția Poisson).

5.3. Distribuția Poisson

Definiția 5.3: Se numește o variabilă aleatoare discretă pește, dacă legea sa de distribuție are următoarea formă:

, Unde
și
(valoare constantă).

Exemple de variabile aleatoare Poisson:

Numărul de apeluri către un post automat într-un interval de timp T.

Numărul de particule de descompunere a unei substanțe radioactive într-o perioadă de timp T.

Numărul de televizoare care intră în atelier într-o perioadă de timp T in marele oras .

Numărul de mașini care vor ajunge la linia de oprire a unei intersecții dintr-un oraș mare .

Nota 1: Tabelele speciale pentru calcularea acestor probabilități sunt date în Anexa 3.

Observație 2:Într-o serie de studii independente (când n Grozav, p mic) pentru a calcula probabilitatea ca un eveniment să se producă exact k odată ce se utilizează formula Poisson:
, Unde
, adică numărul mediu de apariţii ale evenimentelor rămâne constant.

Observație 3: Dacă există o variabilă aleatoare care este distribuită conform legii Poisson, atunci există în mod necesar o variabilă aleatoare care este distribuită conform legii exponențiale și invers (vezi distribuția exponențială).

Exemplu. Fabrica a trimis la bază 5000 produse de bună calitate. Probabilitatea ca produsul să fie deteriorat în timpul transportului este egală cu 0,0002 . Găsiți probabilitatea ca exact trei obiecte inutilizabile să ajungă la bază.

Decizie: După condiție n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Sa gasim λ: λ = np= 5000 0,0002 = 1.

Conform formulei Poisson, probabilitatea dorită este egală cu:

, unde variabilă aleatoare X- numarul de produse defecte.

5.4. Distribuția geometrică

Să se facă încercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea de apariție a unui eveniment DAR este egal cu p(0p

q = 1 - p. Încercările se încheie imediat ce apare evenimentul DAR. Astfel, dacă un eveniment DAR aparut in k--lea test, apoi în precedentul k – 1 Nu a apărut la teste.

Notează prin X variabilă aleatoare discretă - numărul de încercări care trebuie efectuate înainte de prima apariție a evenimentului DAR. Evident, valorile posibile X sunt numere naturale x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ...

Lasă-l pe primul k-1 eveniment de testare DAR nu a venit, dar k a aparut testul. Probabilitatea acestui „eveniment complex”, conform teoremei înmulțirii probabilităților evenimentelor independente, P (X = k) = q k -1 p.

Definiția 5.4: O variabilă aleatoare discretă are distribuție geometrică dacă legea sa de distribuție are următoarea formă:

P ( X = k ) = q k -1 p , Unde
.

Nota 1: Presupunând k = 1,2,… , obținem o progresie geometrică cu primul termen pși numitorul q (0q. Din acest motiv, distribuția se numește geometrică.

Observație 2: Rând
converge iar suma sa este egală cu unu. Într-adevăr, suma seriei este
.

Exemplu. Pistolul trage în țintă până la prima lovitură. Probabilitatea de a lovi ținta p = 0,6 . Găsiți probabilitatea ca lovitura să aibă loc la a treia lovitură.

Decizie: După condiție p = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Probabilitatea dorită este egală cu:

P (X = 3) = 0,4 2 0,6 = 0,096.

5.5. Distribuție hipergeometrică

Luați în considerare următoarea problemă. Lasă petrecerea afară N produse disponibile M standard (MN). alese aleatoriu din partid n produse (fiecare produs poate fi îndepărtat cu aceeași probabilitate), iar produsul selectat nu este returnat la lot înainte de selectarea următorului (prin urmare, formula Bernoulli nu este aplicabilă aici).

Notează prin X variabilă aleatoare - număr m produse standard printre n selectat. Apoi valorile posibile X va fi 0, 1, 2,…, min; Să le etichetăm și... pe valorile variabilei independente (Fonds), utilizați butonul ( capitol ...

Complex educațional și metodologic pentru disciplina „Atelier psihologic general”

Complex de instruire și metodologie

... metodic instrucțiuni pe efectuarea lucrărilor practice 5.1 metodic recomandări pe implementarea proiectelor de formare 5.2 metodic recomandări pe... sensibilitate), unidimensional si multidimensional... Aleatoriu componentă în mărimea... cu secțiune"Performanţă...

Complex educațional și metodologic în disciplina fizică (nume)

Complex de instruire și metodologie

... secțiuniîn manuale. Rezolvarea problemelor pe fiecare subiect. elaborare metodic instrucțiuni la munca de laborator pe ... Aleatoriuşi eroare de măsurare instrumentală 1.8 Subiectele lucrărilor de control şi metodic instrucțiuni pe... Particule în unidimensional gaura potentiala. ...

Orientări pentru lucrul de laborator în disciplina informatică

Instrucțiuni

... metodic instrucțiuni la LUCRĂRI DE LABORATOR pe ... magnitudinea, și cea mai mare sumă cantități... matrice Aleatoriu numere... 3,0 4,0 3,0 -2,5 14,3 16,2 18,0 1,0 a) unidimensional matrice b) matrice bidimensională Fig. 2– Fișierele... sunt descrise în secțiune implementare dupa...

Densitatea de distribuție probabilități X apelați funcția f(x) este derivata întâi a funcției de distribuție F(x):

Conceptul densității distribuției de probabilitate a unei variabile aleatorii X pentru o cantitate discretă nu este aplicabilă.

Probabilitate densitate f(x) se numeste functie de distributie diferentiala:

Proprietatea 1. Densitatea distribuției este o valoare nenegativă:

Proprietatea 2. Integrala improprie a densității distribuției în intervalul de la până la este egală cu unu:

Exemplul 1.25. Având în vedere funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X:

f(x).

Decizie: Densitatea distribuției este egală cu derivata întâi a funcției de distribuție:

1. Având în vedere funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X:

Găsiți densitatea distribuției.

2. Este dată funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X:

Găsiți densitatea distribuției f(x).

1.3. Caracteristicile numerice ale aleatoriei continue

cantități

Valorea estimata variabilă aleatoare continuă X, ale căror posibile valori aparțin întregii axe Oh, este determinată de egalitatea:

Se presupune că integrala converge absolut.

a,b), apoi:

f(x) este densitatea de distribuție a variabilei aleatoare.

Dispersia variabilă aleatoare continuă X, ale căror posibile valori aparțin întregii axe, este determinată de egalitatea:

Caz special. Dacă valorile variabilei aleatoare aparțin intervalului ( a,b), apoi:

Probabilitatea ca X va lua valori aparținând intervalului ( a,b), este determinată de egalitatea:

.

Exemplul 1.26. Variabilă aleatoare continuă X

Găsiți așteptările matematice, varianța și probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare Xîn intervalul (0; 0,7).

Decizie: Variabila aleatoare este distribuită pe intervalul (0,1). Să definim densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue X:

a) Aşteptări matematice :

b) Dispersia

în)

Sarcini pentru munca independenta:

1. Variabilă aleatoare X dat de funcția de distribuție:

M(x);

b) dispersie D(x);

Xîn intervalul (2,3).

2. Variabila aleatoare X

Aflați: a) așteptarea matematică M(x);

b) dispersie D(x);

c) determinați probabilitatea de a lovi o variabilă aleatoare Xîn intervalul (1; 1,5).

3. Valoare aleatoare X este dat de funcția de distribuție integrală:

Aflați: a) așteptarea matematică M(x);

b) dispersie D(x);

c) determinați probabilitatea de a lovi o variabilă aleatoare Xîn interval.

1.4. Legile distribuției unei variabile aleatoare continue

1.4.1. Distributie uniforma

Variabilă aleatoare continuă X are o distribuție uniformă pe intervalul [ a,b], dacă pe acest segment densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare este constantă, iar în exterior este egală cu zero, adică:

Orez. 4.

; ; .

Exemplul 1.27. Un autobuz de o anumită rută se deplasează uniform cu un interval de 5 minute. Aflați probabilitatea ca o variabilă aleatoare distribuită uniform X– timpul de așteptare pentru autobuz va fi mai mic de 3 minute.

Decizie: Valoare aleatoare X- uniform distribuit pe interval .

Probabilitate densitate: .

Pentru ca timpul de așteptare să nu depășească 3 minute, pasagerul trebuie să ajungă la stația de autobuz în termen de 2 până la 5 minute de la plecarea autobuzului anterior, adică. valoare aleatorie X trebuie să se încadreze în intervalul (2;5). Acea. probabilitatea dorită:

Sarcini pentru munca independenta:

1. a) aflaţi aşteptarea matematică a unei variabile aleatoare X distribuite uniform în intervalul (2; 8);

b) aflați varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare X, distribuite uniform în intervalul (2;8).

2. Minutele unui ceas electric sare la sfârșitul fiecărui minut. Găsiți probabilitatea ca, la un moment dat, ceasul să arate ora care diferă de ora reală cu cel mult 20 de secunde.

1.4.2. Distribuția exponențială (exponențială).

Variabilă aleatoare continuă X este distribuit exponențial dacă densitatea sa de probabilitate are forma:

unde este parametrul distribuției exponențiale.

Prin urmare

Orez. 5.

Caracteristici numerice:

Exemplul 1.28. Valoare aleatoare X- timpul de functionare al becului - are o distributie exponentiala. Determinați probabilitatea ca lampa să țină cel puțin 600 de ore dacă durata medie de viață a lămpii este de 400 de ore.

Decizie:În funcție de starea problemei, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X este egal cu 400 de ore, deci:

;

Probabilitatea dorită, unde

In cele din urma:

Sarcini pentru munca independenta:

1. Scrieți funcția de densitate și distribuție a legii exponențiale dacă parametrul .

2. Variabila aleatoare X

Aflați așteptările matematice și varianța unei mărimi X.

3. Valoare aleatoare X dat de funcția de distribuție a probabilității:

Aflați așteptările matematice și abaterea standard a unei variabile aleatoare.

1.4.3. Distributie normala

Normal se numește distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X, a cărei densitate are forma:

Unde A– așteptări matematice, – abatere standard X.

Probabilitatea ca X va lua o valoare aparținând intervalului:

, Unde

este funcția Laplace.

O distributie care are ; , adică cu o densitate de probabilitate numit standard.

Orez. 6.

Probabilitatea ca valoarea absolută a abaterii să fie mai mică decât un număr pozitiv:

.

În special, când a= 0 egalitatea este adevărată:

Exemplul 1.29. Valoare aleatoare X distribuite normal. Deviație standard . Aflați probabilitatea ca abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice în valoare absolută să fie mai mică de 0,3.

Decizie: .

Sarcini pentru munca independenta:

1. Scrieți densitatea de probabilitate a distribuției normale a unei variabile aleatoare X, știind că M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Așteptările matematice și abaterea standard a unei variabile aleatoare distribuite normal X sunt 20 și respectiv 5. Aflați probabilitatea ca în urma testului X va lua valoarea cuprinsă în intervalul (15;20).

3. Erorile de măsurare aleatoare sunt supuse legii normale cu abaterea standard mm și așteptările matematice a= 0. Aflați probabilitatea ca eroarea a cel puțin uneia dintre cele 3 măsurători independente să nu depășească 4 mm în valoare absolută.

4. O anumită substanță este cântărită fără erori sistematice. Erorile aleatorii de cântărire sunt supuse legii normale cu o abatere standard r. Aflați probabilitatea ca cântărirea să fie efectuată cu o eroare care să nu depășească 10 g în valoare absolută.