Cel mai important concept din teoria spațiilor liniare este dependența liniară a vectorilor. Înainte de a defini acest concept, să ne uităm la câteva exemple.

Exemple. 1. Având în vedere următorul sistem de trei vectori din spațiul Tk:

Este ușor să vezi și asta

2. Să luăm acum un alt sistem de vectori din

Este greu de văzut o relație similară cu egalitatea (1) pentru acest sistem de vectori. Cu toate acestea, este ușor să verifici asta

Coeficienții 4, -7,5 ai relației (2) se pot găsi astfel. Să le notăm ca necunoscute, vom rezolva ecuația vectorială:

După efectuarea operațiilor indicate de înmulțire și adunare și trecere la egalitatea componentelor vectoriale din (2), obținem un sistem omogen de ecuații liniare în raport cu

O soluție pentru acest sistem este:

3. Luați în considerare sistemul de vectori:

Egalitate

conduce la un sistem de ecuații care are o soluție unică - zero. (Verifică!) Astfel, din egalitatea (3) rezultă,

care Cu alte cuvinte, egalitatea (3) este satisfăcută numai pentru

Sistemele vectoriale din exemplele 1-2 sunt dependente liniar, sistemul din exemplul 3 este liniar independent.

Definiția 3. Se spune că un sistem de vectori dintr-un spațiu liniar peste un câmp este dependent liniar dacă nu există toate numerele câmpului R egale cu zero astfel încât

Dacă pentru vectori egalitatea are loc numai la atunci sistemul de vectori se numește liniar independent.

Rețineți că proprietatea dependenței și independenței liniare este o proprietate a unui sistem de vectori. Cu toate acestea, aceleași adjective sunt utilizate pe scară largă în literatură atunci când sunt aplicate direct vectorilor înșiși și spun, cu libertate de exprimare, „un sistem de vectori liniar independenți” și chiar „vectorii sunt independenți liniar”.

Dacă există un singur vector a în sistem, atunci pentru proprietatea 6 (§ 2) rezultă din Rezultă că sistemul format dintr-un vector diferit de zero este liniar independent. Dimpotrivă, orice sistem de vectori care conține vectorul zero 0 este dependent liniar. De exemplu, dacă atunci

Dacă sistemul de doi vectori este dependent liniar, atunci egalitatea este valabilă pentru (sau . Atunci

adică vectorii sunt proporționali. Reversul este de asemenea adevărat, deoarece rezultă din. Prin urmare, un sistem de doi vectori este dependent liniar dacă și numai dacă vectorii sunt proporționali.

Vectorii proporționali din se află pe aceeași linie dreaptă; în legătură cu aceasta și în cazul general, vectorii proporționali sunt uneori numiți coliniari.

Remarcăm câteva proprietăți ale dependenței liniare a vectorilor.

Proprietatea 1. Un sistem de vectori care conține un subsistem dependent liniar este dependent liniar.

Fie un subsistem dependent liniar

Atunci nu există toate numerele zero astfel încât

Adăugând vectorii rămași ai sistemului dat cu coeficienți zero în partea stângă a acestei egalități, obținem cel necesar.

Din proprietatea 1 rezultă că orice subsistem al unui sistem de vectori liniar independent este liniar independent.

Proprietatea 2. Dacă sistemul de vectori

este liniar independent, iar sistemul de vectori

este dependent liniar, atunci vectorul este exprimat liniar în termenii vectorilor sistemului (4).

Deoarece sistemul de vectori (5) este dependent liniar, nu există toate numerele egale cu zero astfel încât

Dacă atunci și atunci se vor număra coeficienți nenuli, care ar însemna o dependență liniară a sistemului (4). Prin urmare, și

Proprietatea 3. Sistem ordonat de vectori nenuli

este dependent liniar dacă și numai dacă un vector este o combinație liniară a vectorilor anteriori.

Fie ca sistemul să fie dependent liniar. Deoarece vectorul este liniar independent. Se notează cu cel mai mic număr natural de care sistemul este dependent liniar. (Acest lucru există: în cazul extrem, dacă sistemele sunt liniar independente, atunci nu există toate numerele egale cu zero astfel încât egalitatea

Dacă atunci coeficienți non-zero ar fi printre și egalitatea s-ar menține

ceea ce ar însemna o dependență liniară a sistemului, dar aceasta ar contrazice alegerea numărului.Deci și deci

În schimb, din egalitate (7) proprietatea 1 implică o dependență liniară a sistemului

Proprietatea 3 implică cu ușurință că un sistem de vectori este dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este exprimat liniar în termenii celorlalți. În acest sens, ei spun că conceptul de dependență liniară este echivalent cu conceptul de expresibilitate liniară.

Proprietatea 4. Dacă vectorul x este exprimat liniar în termeni de vectori ai sistemului

iar vectorul este exprimat liniar în termenii vectorilor rămași ai sistemului (8), atunci vectorul este de asemenea exprimat liniar în termenii acestor vectori ai sistemului (8).

Într-adevăr,

Acum putem demonstra una dintre cele mai importante teoreme despre dependența liniară a vectorilor.

Teorema 1. Dacă fiecare vector al unui sistem liniar independent

este o combinație liniară de vectori

cu alte cuvinte, într-un sistem liniar independent de vectori care sunt combinații liniare de vectori, numărul de vectori nu poate fi mai mare de

Dovada. primul pas. Să construim un sistem

Prin presupunere, fiecare vector al sistemului (9), în special, vectorul este exprimat liniar în termeni de vectori (10) și, prin urmare, sistemul (11) este dependent liniar. Prin proprietatea 3 din sistemul (11), un vector unde este exprimat liniar în termeni de vectori anteriori și, prin urmare, și în termeni de vectori ai sistemului

obţinut din (11) prin ştergerea vectorului De aici, prin proprietatea 4, avem: fiecare vector al sistemului (9) este exprimat liniar în termenii vectorilor sistemului (12).

al 2-lea pas. Aplicând același raționament ca în pas la sisteme de vectori

și (12) și ținând cont de faptul că sistemul de vectori este liniar independent, obținem un sistem de vectori

prin care toți vectorii sistemului (9) sunt exprimați liniar.

Dacă presupunem că continuând acest proces, vom epuiza toți vectorii prin pași și vom obține sistemul

astfel încât fiecare vector al sistemului (9), în special, este exprimat liniar în termeni de vectori ai sistemului (14). Atunci sistemul (9) se dovedește a fi liniar dependent, ceea ce contrazice condiția. Rămâne să accept asta

Să luăm acum în considerare ce înseamnă dependența liniară a vectorilor în spații diferite.

1. Spațiu Dacă un sistem de doi vectori este dependent liniar, atunci sau adică, vectorii sunt coliniari. Este adevărat și invers. Un sistem de trei vectori spațiali este dependent liniar dacă și numai dacă se află în același plan. (Demonstrați!) Sistemul de patru vectori spațiali este întotdeauna dependent liniar. Într-adevăr, dacă orice subsistem al sistemului nostru este dependent liniar, atunci întregul sistem este dependent liniar. Dacă, totuși, niciun subsistem propriu-zis nu este dependent liniar, atunci, conform celui precedent, aceasta înseamnă că nu există trei vectori ai sistemului nostru care se află pe același plan. Apoi, din considerente geometrice rezultă că există numere reale astfel încât paralelipipedul cu vectori de muchie va avea o diagonală, adică în egalitate.

Să trecem la descrierea proprietăților spațiilor liniare. În primul rând, ele includ relațiile dintre elementele sale.

Combinație liniară elemente peste câmpul numerelor reale R numit element

Definiție. O mulțime de elemente se numește liniar independentă, dacă din egalitate

rezultă în mod necesar că ,. Este clar că orice parte a elementelor din este, de asemenea, independentă liniar. Dacă cel puțin unul dintre, atunci mulțimea se numește dependentă liniar.

ExempluIII.6. Să fie dată o mulțime de vectori. Dacă unul dintre vectori este, de exemplu, atunci un astfel de sistem de vectori este dependent liniar. Într-adevăr, fie mulțimea,, …,,, …, să fie liniar independentă, atunci din egalitate rezultă că.

Adăugând la această mulțime vectorul înmulțit cu, mai avem egalitatea

Prin urmare, mulțimea de vectori, precum și orice alte elemente care conțin un element zero, este întotdeauna dependentă liniar ▼.

Cometariu. Dacă mulțimea de vectori este goală, atunci este liniar independentă. Într-adevăr, dacă nu există indici, atunci este imposibil să alegeți numerele corespunzătoare diferite de zero pentru ele, astfel încât suma formei (III.2) să fie egală cu 0. O astfel de interpretare a independenței liniare poate fi luată ca o dovadă, mai ales că un astfel de rezultat concordă bine cu teoria 11.

În legătură cu cele de mai sus, definiția independenței liniare poate fi formulată astfel: un set de elemente este liniar independent dacă și nu există un indice pentru care. În special, acest set poate fi și gol.

ExempluIII.7. Oricare doi vectori de alunecare sunt dependenți liniar. Amintiți-vă că vectorii de alunecare sunt vectori care se află pe o singură linie dreaptă. Luând un vector unitar, puteți obține orice alt vector înmulțind cu numărul real corespunzător, adică sau. Prin urmare, deja doi vectori din spațiul unidimensional sunt dependenți liniar.

ExempluIII.8. Se consideră spațiul polinoamelor, unde ,,,. Să scriem

Presupunând ,,, obținem, identic în t

adică mulţimea este dependentă liniar. Rețineți că orice mulțime finită de forma , este liniar independentă. Pentru dovadă, luați în considerare cazul, apoi din egalitate

în cazul presupunerii dependenței sale liniare, ar urma că nu există toate numerele egale cu zero  1 ,  2 ,  3 , care este identică pentru orice (III.3), dar aceasta contrazice teorema fundamentală a algebrei: orice polinom n-gradul nu are mai mult de n rădăcini adevărate. În cazul nostru, această ecuație are doar două rădăcini, și nu un număr infinit dintre ele. Avem o contradicție.

§ 2. Combinaţii liniare. bazele

Lasa . Vom spune că acolo combinație liniară elemente .

TeoremaIII.1 (principal). Mulțimea elementelor diferite de zero este dependentă liniar dacă și numai dacă un element este o combinație liniară a elementelor precedente.

Dovada. Nevoie. Să presupunem că elementele ,, …, sunt dependente liniar și să fie primul număr natural pentru care elementele ,, …, sunt dependente liniar, atunci

căci nu toate egale cu zero și neapărat (altfel ar fi acest coeficient, ceea ce ar contrazice cele afirmate). Prin urmare, avem o combinație liniară

Adecvarea este evident deoarece fiecare mulțime care conține o mulțime dependentă liniar este ea însăși dependentă liniar ▼.

Definiție. Baza (sistemul de coordonate) a unui spațiu liniar L se numeste multime A elemente liniar independente, astfel încât fiecare element din L este o combinație liniară de elemente din A, 11.

Vom lua în considerare spațiile liniare finite-dimensionale ,.

ExempluIII.9. Luați în considerare un spațiu vectorial tridimensional. Luați vectori unitari,,. Ele formează baza pentru

Să arătăm că vectorii sunt independenți liniar. Într-adevăr, avem

sau . De aici, conform regulilor de înmulțire a unui vector cu un număr și de adunare de vectori (Exemplul III.2), obținem

Prin urmare, ,,▼.

Fie un vector spațial arbitrar; apoi, pe baza axiomelor spațiale liniare, obținem

Raționament similar este valabil pentru un spațiu cu o bază, . Din teorema principală rezultă că într-un spațiu liniar de dimensiuni finite arbitrare L orice element poate fi reprezentat ca o combinație liniară a elementelor sale de bază,, ...,, i.e.

În plus, o astfel de descompunere este unică. Într-adevăr, să avem

apoi după scădere obținem

Prin urmare, datorită independenței elementelor,

Adică ▼.

TeoremaIII.2 (în plus față de bază). Fie un spațiu liniar de dimensiuni finite și un set de elemente liniar independente. Dacă nu formează o bază, atunci este posibil să găsiți astfel de elemente,, ...,, în care setul de elemente formează o bază. Adică, fiecare set liniar independent de elemente ale unui spațiu liniar poate fi completat la o bază.

Dovada. Deoarece spațiul este finit-dimensional, el are o bază constând, de exemplu, din n elemente, să fie acestea elemente. Luați în considerare un set de elemente.

Să aplicăm teorema principală. În ordinea elementelor, luați în considerare mulțimea A. Este evident dependentă liniar, deoarece oricare dintre elemente este o combinație liniară,,. Deoarece elementele,, ..., sunt liniar independente, apoi adăugându-i elemente secvențial până când apare primul element, de exemplu, astfel încât să fie o combinație liniară a vectorilor anteriori ai acestei mulțimi, adică. Scoaterea acestui element din set A, primim . Continuăm această procedură până când acest set conține n elemente liniar independente, printre care toate elementele ,, …, și n-m din elemente. Setul rezultat va fi baza ▼.

ExempluIII.10. Demonstrați că vectorii , și formează o mulțime dependentă liniar și oricare trei dintre ei sunt independenți liniar.

Să arătăm că nu există toate numerele zero pentru care

Într-adevăr, pentru , avem

Dependența liniară este dovedită. Să arătăm că un triplu de vectori, de exemplu ,,, formează o bază. Să facem o egalitate

Efectuând acțiuni cu vectori, obținem

Echivalând coordonatele corespunzătoare în părțile din dreapta și din stânga ultimei egalități, obținem sistemul de ecuații ,,, rezolvând, obținem.

Un raționament similar este valabil pentru triplele rămase ale vectorilor ,, sau ,,.

TeoremaIII.3 (pe dimensiunea spațiului). Toate bazele unui spațiu liniar cu dimensiuni finite L constau din acelasi numar de elemente de baza.

Dovada. Să fie date două seturi, unde;,. Fiecăruia îi atribuim una dintre cele două proprietăți care determină baza: 1) prin elementele mulțimii A orice elemente din L, 2) elemente ale multimii B reprezintă o mulțime liniar independentă, dar nu neapărat pe toate. L. Vom presupune că elementele Ași B ordonat.

Luați în considerare setul Ași se aplică elementelor sale m ori metoda din teorema principală. Din moment ce elementele din B sunt liniar independente, atunci obținem, ca mai înainte, o mulțime liniar dependentă

Într-adevăr, dacă , atunci am obține o mulțime liniar independentă și restul n elemente de set B s-ar exprima liniar prin ele, ceea ce este imposibil, ceea ce înseamnă . Dar nici acest lucru nu poate fi, deoarece prin construcție mulțimea (III.4) are proprietatea bazei mulțimii A. Pentru că spațiul L finit-dimensional, atunci numai , adică două baze diferite ale spațiului L constau din același număr de elemente ▼.

Consecinţă.În orice n-spațiu liniar dimensional () puteți găsi infinit de baze.

Dovada rezultă din regula înmulțirii elementelor unui spațiu liniar (vector) cu un număr.

Definiție. Dimensiunea unui spațiu liniar L este numărul de elemente care alcătuiesc baza acestuia.

Din definiție rezultă că mulțimea goală de elemente - un spațiu liniar trivial - are dimensiunea 0, ceea ce, așa cum trebuie menționat, justifică terminologia dependenței liniare și ne permite să afirmăm: n-spațiul dimensional are dimensiune n, .

Astfel, însumând cele spuse, obținem că fiecare set de n+1 articol n-spațiul liniar dimensional este liniar dependent; set de n elementele unui spațiu liniar este o bază dacă și numai dacă este liniar independent (sau fiecare element al spațiului este o combinație liniară de elemente ale bazei sale); în orice spațiu liniar, numărul de baze este infinit.

ExempluIII.11 (teorema Kronecker–Cappelli).

Să avem un sistem de ecuații algebrice liniare

Unde A – matricea coeficienților sistemului,  matricea extinsă a coeficienților sistemului

Unde , (III.6)

această notație este echivalentă cu sistemul de ecuații (III.5).

TeoremaIII.4 (Kronecker - Capelli). Sistemul de ecuații algebrice liniare (III.5) este consistent dacă și numai dacă rangul matricei A este egal cu rangul matricei , adică.

Dovada.Nevoie. Fie sistemul (III.5) consistent, atunci are o soluție: ,,. Considerând (III.6), , dar în acest caz există o combinație liniară de vectori,, …,. Prin urmare, prin mulțimea vectorilor,,, ..., se poate exprima orice vector din. Înseamnă că.

Adecvarea. Lasa . Alegem orice bază din ,, …,, apoi se exprimă liniar prin bază (poate fi atât toți vectorii, cât și partea lor) și astfel, prin toți vectorii,. Aceasta înseamnă că sistemul de ecuații este consistent ▼.

Considera n-spaţiu liniar dimensional L. Fiecare vector poate fi reprezentat ca o combinație liniară, unde mulțimea constă din vectori de bază. Rescriem combinația liniară în formă și stabilim o corespondență unu-la-unu între elemente și coordonatele lor

Aceasta înseamnă că între n-spațiu vectorial liniar dimensional al vectorilor peste n-câmpul dimensional al numerelor reale a stabilit o corespondență unu-la-unu.

Definiție. Două spații liniare și peste același câmp scalar izomorfă dacă este posibil să se stabilească o corespondenţă unu-la-unu între elementele lor f, astfel încât

adică un izomorfism este înțeles ca o corespondență unu-la-unu care păstrează toate relațiile liniare. Este clar că spațiile izomorfe au aceeași dimensiune.

Din exemplul și definiția izomorfismului rezultă că din punctul de vedere al studierii problemelor de liniaritate, spațiile izomorfe sunt aceleași, prin urmare, formal. în loc den-spaţiu liniar dimensionalLdeasupra câmpului, doar câmpul poate fi studiat.

Sarcina 1. Aflați dacă sistemul de vectori este liniar independent. Sistemul de vectori va fi definit de matricea sistemului, ale cărei coloane constau din coordonatele vectorilor.

Decizie. Fie combinația liniară egală cu zero. După ce am scris această egalitate în coordonate, obținem următorul sistem de ecuații:

Un astfel de sistem de ecuații se numește triunghiular. Are o singură soluție. Prin urmare, vectorii sunt liniar independenți.

Sarcina 2. Aflați dacă sistemul de vectori este liniar independent.

Decizie. Vectorii sunt independenți liniar (vezi problema 1). Să demonstrăm că vectorul este o combinație liniară de vectori. Coeficienții de expansiune în vectori sunt determinați din sistemul de ecuații

Acest sistem, ca și unul triunghiular, are o soluție unică.

Prin urmare, sistemul de vectori este dependent liniar.

cometariu. Sunt numite matrici precum în problema 1 triunghiular , iar în problema 2 – triunghiular treptat . Problema dependenței liniare a unui sistem de vectori este ușor de rezolvat dacă matricea compusă din coordonatele acestor vectori este triunghiulară în trepte. Dacă matricea nu are o formă specială, atunci folosind transformări elementare de șiruri , păstrând relațiile liniare între stâlpi, poate fi redusă la o formă triunghiulară în trepte.

Transformări elementare de șiruri matricele (EPS) se numesc următoarele operații pe matrice:

1) permutarea liniilor;

2) înmulțirea unui șir cu un număr diferit de zero;

3) adăugarea la șir a unui alt șir, înmulțit cu un număr arbitrar.

Sarcina 3. Găsiți subsistemul maxim liniar independent și calculați rangul sistemului de vectori

Decizie. Să reducem matricea sistemului cu ajutorul EPS la o formă triunghiulară în trepte. Pentru a explica procedura, linia cu numărul matricei de transformat va fi notată cu simbolul . Coloana de după săgeată arată acțiunile care trebuie efectuate pe rândurile matricei convertite pentru a obține rândurile noii matrice.

Evident, primele două coloane ale matricei rezultate sunt liniar independente, a treia coloană este combinația lor liniară, iar a patra nu depinde de primele două. Vectorii sunt numiți de bază. Ele formează subsistemul maxim independent liniar al sistemului, iar rangul sistemului este trei.

Baza, coordonatele

Sarcina 4. Găsiți baza și coordonatele vectorilor din această bază pe mulțimea de vectori geometrici ale căror coordonate îndeplinesc condiția .

Decizie. Mulțimea este un plan care trece prin origine. O bază arbitrară pe plan constă din doi vectori necoliniari. Coordonatele vectorilor din baza selectată sunt determinate prin rezolvarea sistemului corespunzător de ecuații liniare.

Există o altă modalitate de a rezolva această problemă, când puteți găsi baza după coordonate.

Coordonatele spațiale nu sunt coordonate pe plan, deoarece sunt legate prin relație, adică nu sunt independente. Variabilele independente și (se numesc libere) determină în mod unic vectorul pe plan și, prin urmare, pot fi alese ca coordonate în . Apoi, baza constă din vectori care se află în și corespunzând unor seturi de variabile libere și , adică .

Sarcina 5. Găsiți baza și coordonatele vectorilor din această bază pe mulțimea tuturor vectorilor din spațiu, ale căror coordonate impare sunt egale între ele.

Decizie. Alegem, ca și în problema anterioară, coordonatele în spațiu.

Deoarece , variabilele libere determină în mod unic vectorul din și, prin urmare, sunt coordonate. Baza corespunzătoare este formată din vectori.

Sarcina 6. Găsiți baza și coordonatele vectorilor din această bază pe mulțimea tuturor matricelor de forma , unde sunt numere arbitrare.

Decizie. Fiecare matrice din poate fi reprezentată în mod unic ca:

Această relație este expansiunea vectorului din termenii unei baze cu coordonate.

Sarcina 7. Aflați dimensiunea și baza intervalului liniar al unui sistem de vectori

Decizie. Folosind EPS, transformăm matricea din coordonatele vectorilor sistemului într-o formă triunghiulară în trepte.

Coloanele ultimei matrice sunt liniar independente, iar coloanele sunt exprimate liniar prin ele. Prin urmare, vectorii formează o bază , și .

cometariu. Baza în este aleasă ambiguu. De exemplu, vectorii formează și o bază.

Fie un câmp de scalari și F să fie mulțimea sa de bază. Fie - -spațiu aritmetic dimensional peste - sistem arbitrar de vectori spațiali

DEFINIȚIE. O combinație liniară a unui sistem de vectori este o sumă de forma unde . Scalarii se numesc coeficienții combinației liniare. O combinație liniară se numește netrivială dacă cel puțin unul dintre coeficienții săi este diferit de zero. O combinație liniară se numește trivială dacă toți coeficienții ei sunt egali cu zero.

DEFINIȚIE. Mulțimea tuturor combinațiilor liniare de vectori ai unui sistem se numește intervalul liniar al acestui sistem și se notează cu . Intervalul liniar al unui sistem gol este considerat a fi o mulțime constând dintr-un vector zero.

Deci, prin definiție,

Este ușor de observat că intervalul liniar al acestui sistem de vectori este închis sub operațiunile de adunare a vectorilor, scăderea vectorilor și înmulțirea vectorilor cu scalari.

DEFINIȚIE. Un sistem de vectori se numește liniar independent dacă, pentru orice scalari, egalități decurg din egalitate. Sistem vectorial gol

considerate a fi liniar independente.

Cu alte cuvinte, un sistem finit de vectori este liniar independent dacă și numai dacă orice combinație liniară netrivială de vectori din sistem nu este egală cu un vector zero.

DEFINIȚIE. Se spune că un sistem de vectori este dependent liniar dacă există scalari care nu sunt toți egali cu zero, astfel încât

Cu alte cuvinte, un sistem finit de vectori se numește dependent liniar dacă există o combinație liniară netrivială a vectorilor sistemului egală cu vectorul zero.

Sistem vectorial

se numeste sistemul de vectori unitari ai spatiului vectorial.Acest sistem de vectori este liniar independent. Într-adevăr, pentru orice scalari egalitatea implică egalitate și, prin urmare, egalitățile

Luați în considerare proprietățile dependenței liniare și ale independenței unui sistem de vectori.

PROPRIETATE 1.1. Sistemul de vectori care conțin vectorul zero este dependent liniar.

Dovada. Dacă în sistemul de vectori unul dintre vectori, de exemplu, vectorul este zero, atunci combinația liniară a vectorilor sistemului, a căror toți coeficienții sunt zero, cu excepția coeficientului la, este egală cu vectorul zero. Prin urmare, un astfel de sistem de vectori este dependent liniar.

PROPRIETATE 1.2. Un sistem de vectori este dependent liniar dacă oricare dintre subsistemele sale este dependent liniar.

Dovada. Fie un subsistem dependent liniar al sistemului și cel puțin unul dintre coeficienți să fie diferit de zero. Atunci, în consecință, sistemul de vectori este dependent liniar.

CONSECINŢĂ. Orice subsistem al unui sistem liniar independent este liniar independent.

PROPRIETATE 1.3. Sistem vectorial

în care este dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectori este o combinație liniară a vectorilor anteriori.

Dovada. Fie sistemul (1) dependent liniar și Atunci există scalari nu toți egali cu zero, astfel încât

Notăm cu k cel mai mare dintre numerele care îndeplinesc condiția.Atunci egalitatea (2) se poate scrie ca

Rețineți că pentru altfel, prin urmare, din moment ce . Din (3) urmează egalitatea

Să presupunem acum că vectorul este o combinație liniară a vectorilor care îl precedă, adică atunci, adică subsistemul sistemului (1) este dependent liniar. Prin urmare, prin proprietatea 1.2, sistemul original (1) este, de asemenea, dependent liniar.

PROPRIETATE 1.4. Dacă sistemul de vectori este liniar independent, iar sistemul de vectori

este dependent liniar, atunci vectorul v este exprimat liniar în termeni de vectori

și într-un mod unic.

Dovada. Prin presupunere, sistemul (2) este dependent liniar, adică există scalari nu toți egali cu zero, astfel încât

Mai mult, din moment ce la care contrazice independența liniară a sistemului (1). Din (3) urmează egalitatea

În virtutea independenței liniare a sistemului (1), aceasta implică faptul că

PROPRIETATE 1.5. Dacă

Dovada. Condiția înseamnă că există scalari astfel încât

Condiția înseamnă că există scalari astfel încât

În virtutea (1) și (2) obținem

TEOREMA 1.2. În cazul în care un

atunci sistemul de vectori este dependent liniar. Dovada (realizată prin inducție pe ).

Sistemul de vectori se numește dependent liniar, dacă există astfel de numere , dintre care cel puțin unul este diferit de zero, că egalitatea https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Dacă această egalitate este valabilă numai dacă toți , atunci sistemul de vectori este numit liniar independent.

Teorema. Sistemul de vectori va dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a celorlalți.

Exemplul 1 Polinomul este o combinație liniară de polinoame https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinoamele constituie un sistem liniar independent, deoarece polinomul https ://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Exemplul 2 Sistemul matricial , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> este liniar independent, deoarece combinația liniară este egală cu matrice zero numai atunci când https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> dependent liniar.

Decizie.

Compuneți o combinație liniară a acestor vectori https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" înălțime =" 22">.

Echivalând coordonatele cu același nume ale vectorilor egali, obținem https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

În sfârșit, obținem

Sistemul are o soluție trivială unică, astfel încât combinația liniară a acestor vectori este zero numai dacă toți coeficienții sunt zero. Prin urmare, acest sistem de vectori este liniar independent.

Exemplul 4 Vectorii sunt liniar independenți. Care vor fi sistemele de vectori

Decizie.

A). Compuneți o combinație liniară și egalați-o cu zero

Folosind proprietățile operațiilor cu vectori într-un spațiu liniar, rescriem ultima egalitate în formă

Deoarece vectorii sunt independenți liniar, coeficienții pentru trebuie să fie egali cu zero, adică gif" width="12" height="23 src=">

Sistemul de ecuații rezultat are o soluție trivială unică.

De la egalitate (*) executat doar la https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – liniar independent;

b). Compuneți egalitatea https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Aplicând un raționament similar, obținem

Rezolvând sistemul de ecuații prin metoda Gauss, obținem

Ultimul sistem are un număr infinit de soluții https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Astfel, există o non- set zero de coeficienți pentru care egalitatea (**) . Prin urmare, sistemul de vectori este dependent liniar.

Exemplul 5 Sistemul vectorial este liniar independent, iar sistemul vectorial este dependent liniar..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

În egalitate (***) . Într-adevăr, pentru , sistemul ar fi dependent liniar.

Din relatie (***) obținem sau Denotăm .

Sarcini pentru rezolvare independentă (în sala de clasă)

1. Un sistem care conține un vector zero este dependent liniar.

2. Sistem vectorial unic A, este dependent liniar dacă și numai dacă, a=0.

3. Un sistem format din doi vectori este dependent liniar dacă și numai dacă vectorii sunt proporționali (adică unul dintre ei se obține din celălalt prin înmulțirea cu un număr).

4. Dacă un vector este adăugat la un sistem liniar dependent, atunci se obține un sistem liniar dependent.

5. Dacă un vector este îndepărtat dintr-un sistem liniar independent, atunci sistemul de vectori rezultat este liniar independent.

6. Dacă sistemul S liniar independent, dar devine liniar dependent atunci când se adaugă un vector b, apoi vectorul b exprimată liniar în termeni de vectori ai sistemului S.

c). Sistemul de matrice , , în spațiul matricelor de ordinul doi.

10. Fie sistemul de vectori A,b,c spațiul vectorial este liniar independent. Demonstrați independența liniară a următoarelor sisteme de vectori:

A).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– număr arbitrar

c).a+b, a+c, b+c.

11. Lasa A,b,c sunt trei vectori în plan care pot fi folosiți pentru a forma un triunghi. Vor fi acești vectori dependenți liniar?

12. Dați doi vectori a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Mai ridicați doi vectori 4D a3 șia4 astfel încât sistemul a1,a2,a3,a4 a fost liniar independent .