Problema 1

Rezolvați un sistem de ecuații liniare în două moduri: folosind formulele lui Cramer și metoda lui Gauss

1) rezolvați sistemul neomogen de ecuații algebrice liniare Ax = B folosind metoda Cramer

Determinantul sistemului D nu este egal cu zero. Să găsim determinanții auxiliari D 1, D 2, D 3, dacă nu sunt egali cu zero, atunci nu există soluții, dacă sunt egale, atunci există un număr infinit de soluții

Un sistem de 3 ecuații liniare cu 3 necunoscute, al căror determinant este diferit de zero, este întotdeauna consistent și are o soluție unică, calculată prin formulele:

Răspuns: avem soluția:

2) rezolvați sistemul neomogen de ecuații algebrice liniare Ax = B folosind metoda Gauss

Să creăm o matrice extinsă a sistemului

Să luăm prima linie ca ghid, iar elementul a 11 = 1 ca ghid. Folosind linia de ghidare obținem zerouri în prima coloană.

corespunde mulţimii de soluţii ale sistemului de ecuaţii liniare

Răspuns: avem soluția:

Problema 2

Având în vedere coordonatele vârfurilor triunghiului ABC

Găsi:

1) lungimea laturii AB;

4) ecuația AE mediană;

Construiți triunghiul dat și toate liniile din sistemul de coordonate.

A(1; -1), B(4; 3). C(5; 1).

1) Distanța dintre punctele A( x 1; la 1) și B( x 2; la 2) este determinată de formula

folosind care găsim lungimea laturii AB;

2) ecuațiile laturilor AB și BC și coeficienții lor unghiulari;

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date ale planului A( x 1; la 1) și B( x 2; la 2) are forma

Înlocuind coordonatele punctelor A și B în (2), obținem ecuația laturii AB:

Găsim coeficientul unghiului k AB al dreptei AB transformând ecuația rezultată în forma unei ecuații a unei drepte cu un coeficient unghiular y =kx - b.

, adică de unde

În mod similar, obținem ecuația dreptei BC și găsim coeficientul unghiular al acesteia.

Înlocuind coordonatele punctelor B și C în (2), obținem ecuația pentru latura BC:

Găsim coeficientul unghiului k al BC al dreptei BC transformând ecuația rezultată în forma ecuației unei drepte cu coeficient unghiular y =kx - b.

, acesta este

3) unghiul intern la vârful B în radiani cu o precizie de 0,01

Pentru a găsi unghiul intern al triunghiului nostru, folosim formula:

Rețineți că procedura de calcul a diferenței dintre coeficienții unghiulari din numărătorul acestei fracții depinde de poziția relativă a dreptelor AB și BC.

Înlocuind valorile calculate anterior ale lui k BC și k AB în (3), găsim:

Acum, folosind tabelele cu un microcalculator de inginerie, obținem B » 1,11 rad.

4) ecuația AE mediană;

Pentru a compila ecuația mediei AE, găsim mai întâi coordonatele punctului E, care se află în mijlocul segmentului BC.

Înlocuind coordonatele punctelor A și E în ecuația (2), obținem ecuația mediană:

5) ecuația și lungimea înălțimii CD;

Pentru a compila ecuația pentru înălțimea CD, folosim ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M( x 0 ; y 0)cu o pantă dată k, care are forma

iar condiția de perpendicularitate a dreptelor AB și CD, care se exprimă prin relația k AB k CD = -1, de unde k CD = -1/k AB = - 3/4

Înlocuind în (4) în loc de k valoarea k C D = -3/4, iar în loc de X 0 , y 0 coordonatele corespunzătoare ale punctului C, obținem ecuația pentru înălțimea CD

Pentru a calcula lungimea înălțimii CD, folosim formula pentru găsirea distanței d de la un punct dat M( x 0 ; y 0) la o dreaptă dată cu ecuația Ax+ By + C = 0, care are forma:

Înlocuind în schimb în (5). x 0 ; y 0 coordonatele punctului C, iar în loc de A, B, C coeficienții ecuației dreptei AB, obținem

6) ecuația unei drepte care trece prin punctul E paralel cu latura AB și punctul M de intersecție a acesteia cu înălțimea CD;

Deoarece linia dreaptă dorită EF este paralelă cu dreapta AB, atunci k EF = k AB = 4/3. Înlocuind în schimb în ecuația (4). x 0 ; y 0 coordonatele punctului E și în loc de k valoarea k EF obținem ecuația dreptei EF."

Pentru a găsi coordonatele punctului M, rezolvăm împreună ecuațiile dreptelor EF și CD.

Astfel, M(5,48, 0,64).

7) ecuația unui cerc cu centrul în punctul E care trece prin vârful B

Deoarece cercul are un centru în punctul E(4,5; 2) și trece prin vârful B(4; 3), atunci raza lui

Ecuația canonică a unui cerc cu raza R cu centrul în punctul M 0 ( x 0 ; y 0) are forma

Triunghiul ABC, înălțimea CD, mediana AE, linia dreaptă EF, punctul M și un cerc construit în sistemul de coordonate x0y din Fig. 1.

Problema 3

Întocmește o ecuație a unei drepte, pentru fiecare punct a cărui distanță până la punctul A (2; 5) este egală cu distanța până la dreapta y = 1. Trasează curba rezultată în sistemul de coordonate

Soluţie

Fie M ( X, y) - punctul curent al curbei dorite. Să aruncăm perpendiculara MB din punctul M la dreapta y = 1 (Fig. 2). Apoi B(x; 1). Din moment ce MA = MB, atunci

Compunem principalul determinant pentru sistem

si calculeaza-l.

Apoi compunem determinanți suplimentari

si calculeaza-le.

Conform regulii lui Cramer, soluția sistemului se găsește folosind formulele

;
;
,Dacă

1)

Să calculăm:

Folosind formulele lui Cramer găsim:

Răspuns: (1; 2; 3)

2)

Să calculăm:

Deoarece principalul determinant
, iar cel puțin unul suplimentar nu este egal cu zero (în cazul nostru
), atunci sistemul nu are soluție.

3)

Să calculăm:

Deoarece toți determinanții sunt egali cu zero, sistemul are un număr infinit de soluții, care pot fi găsite după cum urmează:

Rezolvați singur sistemele:

A)
b)

Răspuns: a) (1; 2; 5) b) ;;

Lecția practică nr. 3 pe tema:

Produsul scalar al doi vectori și aplicarea acestuia

1. Dacă este dat
Și
, atunci găsim produsul scalar folosind formula:

∙

2.Dacă, atunci produsul scalar al acestor doi vectori se găsește prin formula

1. Dați doi vectori
Și

Găsim produsul lor scalar după cum urmează:

.

2. Sunt dați doi vectori:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

Produsul scalar se găsește astfel:

3.
,

3.1 Găsirea muncii unei forțe constante pe o secțiune dreaptă a drumului

1) Sub influența unei forțe de 15 N, corpul s-a deplasat în linie dreaptă 2 metri. Unghiul dintre forță și direcția de mișcare =60 0. Calculați munca efectuată de o forță pentru a deplasa un corp.

Dat:

Soluţie:

2) Având în vedere:

Soluţie:

3) Un corp s-a deplasat din punctul M(1; 2; 3) în punctul N(5; 4; 6) sub influența unei forțe de 60 N. Unghiul dintre direcția forței și vectorul deplasare =45 0. Calculați munca efectuată de această forță.

Soluție: găsiți vectorul deplasare

Găsirea modulului vectorului deplasare:

Conform formulei
gaseste o slujba:

3.2 Determinarea ortogonalității a doi vectori

Doi vectori sunt ortogonali dacă
, acesta este

deoarece

1)

– nu ortogonală

2)

– ortogonală

3) Să se determine la ce  vectorii
Și
reciproc ortogonale.

Deoarece
, Acea
, Mijloace

Decideți singuri:

A)

. Găsiți produsul lor scalar.

b) Calculaţi câtă muncă produce forţa
, dacă punctul de aplicare a acestuia, deplasându-se rectiliniu, s-a deplasat din punctul M (5; -6; 1) în punctul N (1; -2; 3)

c) Să se determine dacă vectorii sunt ortogonali
Și

Răspunsuri: a) 1 b) 16 c) da

3.3.Găsirea unghiului dintre vectori

1)

. Găsi .

Găsim

înlocuiți în formula:

.

1). Sunt date vârfurile triunghiului A(3; 2; –3), B(5; 1; –1), C(1; –2; 1). Aflați unghiul la vârful A.

Să o punem în formula:

Decideți singuri:

Sunt date vârfurile triunghiului A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0). Determinați unghiul interior la vârful A.

Raspuns: 90 o

Lecția practică nr. 4 pe tema:

PRODUS VECTOR DIN DOI VECTORI ŞI APLICAREA SA.

Formula pentru găsirea produsului încrucișat a doi vectori:

	se pare ca

1) Aflați modulul produsului vectorial:

Să compunem un determinant și să-l calculăm (folosind regula lui Sarrus sau teorema despre extinderea determinantului în elementele primului rând).

1a metodă: după regula lui Sarrus

Metoda 2: extindeți determinantul în elementele primului rând.

2) Aflați modulul produsului vectorial:

4.1. CALCULUL AREEI UNUI PARALELOGRAM CONSTRUIT PE DOI VECTORI.

1) Calculați aria unui paralelogram construit pe vectori

2). Găsiți produsul vectorial și modulul acestuia

4.2. CALCULUL AREEI UNUI TRIUNGHI

Exemplu: sunt date vârfurile triunghiului A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1). Calculați aria triunghiului.

Mai întâi, să găsim coordonatele a doi vectori care emană de la același vârf.

Să găsim produsul lor vectorial

4.3. DETERMINAREA COLINEARITATII A DOI VECTORI

Dacă vectorul
Și
sunt coliniare, atunci

, adică coordonatele vectorilor trebuie să fie proporționale.

a) Vectori dați::
,
.

Ele sunt coliniare deoarece
Și

după reducerea fiecărei fracții obținem raportul

b) Vectori dați:

.

Ele nu sunt coliniare deoarece
sau

Decideți singuri:

a) La ce valori m și n ale vectorului
coliniar?

Răspuns:
;

b) Aflați produsul vectorial și modulul acestuia
,
.

Răspuns:
,
.

Lecția practică nr. 5 pe tema:

LINIE DREPTĂ PE UN AVION

Problema nr. 1. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctul A(-2; 3) paralel cu dreapta

1. Aflați panta dreptei
.

este ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular și o ordonată inițială (
). De aceea
.

2. Deoarece dreptele MN și AC sunt paralele, coeficienții lor unghiulari sunt egali, adică.
.

3. Pentru a găsi ecuația dreptei AC, folosim ecuația unei drepte care trece printr-un punct cu un coeficient unghiular dat:

. În această formulă în schimb Și înlocuiți coordonatele punctului A(-2; 3), în schimb Să înlocuim – 3. Ca rezultat al înlocuirii obținem:

Răspuns:

Sarcina nr. 2. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctul K(1; –2) paralel cu dreapta.

1. Să găsim panta dreptei.

Aceasta este ecuația generală a unei linii, care în formă generală este dată de formula. Comparând ecuațiile, constatăm că A = 2, B = –3. Panta dreptei date de ecuație se află prin formula
. Înlocuind A = 2 și B = –3 în această formulă, obținem panta dreptei MN. Asa de,
.

2. Deoarece dreptele MN și KS sunt paralele, coeficienții lor unghiulari sunt egali:
.

3. Pentru a găsi ecuația dreptei KS, folosim formula pentru ecuația dreptei care trece printr-un punct cu un coeficient unghiular dat
. În această formulă în schimb Și să substituim coordonatele punctului K(–2; 3), în loc de

Problema nr. 3. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul K(–1; –3) perpendicular pe dreaptă.

1. este o ecuație generală a unei drepte, care în formă generală este dată de formula.

și aflăm că A = 3, B = 4.

Panta dreptei date de ecuație se găsește prin formula:
. Înlocuind A = 3 și B = 4 în această formulă, obținem panta dreptei MN:
.

2. Deoarece dreptele MN și KD sunt perpendiculare, coeficienții lor unghiulari sunt invers proporționali și opus în semn:

.

3. Pentru a găsi ecuația dreptei KD, folosim formula pentru ecuația dreptei care trece prin punctul cu un coeficient unghiular dat

. În această formulă în schimb Și înlocuiți coordonatele punctului K(–1;–3), în schimb hai sa inlocuim Ca rezultat al înlocuirii obținem:

Decideți singuri:

1. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul K(–4; 1) paralel cu dreapta
.

Răspuns:
.

2. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul K(5; –2) paralel cu dreapta
.

3. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul K(–2, –6) perpendicular pe dreapta
.

4. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul K(7; –2) perpendicular pe dreapta
.

Răspuns:
.

5. Aflați ecuația perpendicularei căzute din punctul K(–6; 7) la dreapta
.

2.3.1. Definiție.

Să fie date ecuații liniare:

A 1 X + b 1 y + c 1 z = d 1 , (2.3.1)

A 2 X + b 2 y + c 2 z = d 2 , (2.3.2)

A 3 X + b 3 y + c 3 z = d 3 . (2.3.3)

Dacă este necesar să se găsească o soluție generală a ecuațiilor (2.3.1) ¾ (2.3.3), atunci ei spun că formează sistem . Sistemul format din ecuațiile (2.3.1) ¾ (2.3.3) se notează după cum urmează:

Soluția generală a ecuațiilor care alcătuiesc sistemul se numește soluție de sistem . Rezolvați sistemul (2.3.4) ¾ aceasta înseamnă fie găsirea mulțimii tuturor soluțiilor sale, fie demonstrarea că nu există.

Ca și în cazurile anterioare, mai jos vom găsi condiții în care sistemul (2.3.4) are o soluție unică, are mai multe soluții și nu are nicio soluție.

2.3.2. Definiție. Să fie dat sistemul (2.3.4) de ecuații liniare. Matrici

sunt numite în consecință ( de bază )matrice Și matrice extinsă sisteme.

2.3.3. Definițiile sistemelor echivalente de forma (2.3.4), precum și transformările elementare de tipul I și al II-lea, sunt introduse în același mod ca și pentru sistemele de două ecuații cu două și trei necunoscute.

Transformare elementară Al treilea tip de sistem (2.3.4) se numește schimbul a două ecuații ale acestui sistem. Similar cu cazurile anterioare ale sistemelor cu 2 ecuații cu transformări elementare ale sistemului se obţine sistemul,echivalent cu aceasta.

2.3.4. Exercițiu. Rezolvarea sistemelor de ecuații:

Soluţie. A)

(1) Am schimbat prima și a doua ecuație a sistemului (transformare de tip 3).

(2) Prima ecuație înmulțită cu 4 a fost scăzută din a doua, iar prima ecuație înmulțită cu 6 a fost scăzută din a treia (transformare de tip 2); astfel, necunoscutul a fost exclus din a doua și a treia ecuație X .

(3) A doua ecuație, înmulțită cu 14, a fost scăzută din a treia; necunoscutul a fost exclus din a treia y .

(4) Din ultima ecuație găsim z = 1, înlocuind care în al doilea, găsim y = 0. În final, înlocuind y = 0 și z = 1 în prima ecuație, găsim X = -2.ñ

(1) Am schimbat prima și a doua ecuație a sistemului.

(2) Prima ecuație înmulțită cu 4 a fost scăzută din a doua, iar prima ecuație înmulțită cu 6 a fost scăzută din a treia.

(3) A doua și a treia ecuație au coincis. Pe unul dintre ele îl excludem din sistem (sau, cu alte cuvinte, dacă îl scădem pe al doilea din a treia ecuație, atunci a treia ecuație se transformă în identitatea 0 = 0; este exclusă din sistem. Presupunem z = A .

(4) Înlocuitor z = A în a doua și prima ecuație.

(5) Înlocuirea y = 12 - 12A în prima ecuație, găsim X .

c) Dacă prima ecuație este împărțită la 4, iar a treia ¾ la 6, atunci ajungem la un sistem echivalent

care este echivalent cu ecuația X - 2y - z = -3. Soluțiile acestei ecuații sunt cunoscute (vezi Exemplul 2.2.3 b))

Ultima egalitate din sistemul rezultat este contradictorie. Prin urmare, sistemul nu are soluții.

Transformările (1) și (2) ¾ sunt exact aceleași cu transformările corespunzătoare ale sistemului b))

(3) Scădeți a doua din ultima ecuație.

Răspuns: a) (-2; 0; 1);

b) (21 - 23 A ; 12 - 12A ; A ), A Î R;

c) ((-3 + 2 A + b ; A ; b )|A , b Î R};

d) Sistemul nu are soluții.

2.3.5. Din exemplele anterioare rezultă că sistem cu trei necunoscute, ca un sistem cu două necunoscute, poate avea o singură soluție, un număr infinit de soluții și neavând o singură soluție. Mai jos vom analiza toate cazurile posibile. Dar mai întâi introducem o notație.

Fie D notează determinantul matricei sistemului:

Fie D 1 determinantul obținut din D prin înlocuirea primei coloane cu o coloană de termeni liberi:

În mod similar, să punem

D 2 = și D 3 = .

2.3.6. Teorema. Dacă D¹0, apoi sistemul(2.3.4)are o soluție unică

, , . (2.3.5)

Se numesc formulele (2.3.5). formule = = 0 pentru toți i ¹ j și cel puțin unul dintre determinanți , , nu este egal cu zero, atunci sistemul nu are soluții.

4) Dacă = = = = = = 0 pentru toți i ¹ j , atunci sistemul are un număr infinit de soluții, in functie de doi parametri.

LECȚIA PRACTICĂ Nr. 7

SOLUȚIA UNUI SISTEM DE 3 ECUATII LINEARE

CU TREI VARIABILE

Ţintă:

Dezvoltați capacitatea de a transforma matrice;

Dezvoltați abilitățile de rezolvare a sistemelor3 ecuații liniare în trei variabile folosind metoda lui Cramer;

Consolidarea cunoștințelor despre proprietățile determinanților de ordinul 2 și 3;

Suport material și tehnic: instructiuni pentru efectuarea lucrarii;

Perioada de graţie: 2 ore academice;

Progresul lecției:

Studiază informații teoretice scurte;

Finalizați sarcini;

Trageți o concluzie asupra lucrării;

Pregătiți o apărare a lucrării dvs. la întrebările de testare.

Scurte informații teoretice:

O matrice este o masă pătrată sau dreptunghiulară, plin cu numere. Aceste numere sunt numite elemente de matrice.

Elemente de matrice, situat orizontal, formează rândurile matricei. Elemente de matrice, dispuse vertical, formează coloanele matricei.

Liniile sunt numerotate de la stânga la dreapta, începând de la număr1, coloanele sunt numerotate de sus în jos, începând de la număr1.

MatriceA , avândm linii şin coloane, numită matricemărimeam pen si este desemnatA m∙n . ElementA eu j matriciA = { A ij } stă la intersecției - oh linii șij- a coloana.

Diagonala principală a unei matrice pătrate este diagonala care duce din colțul din stânga sus al matricei către colțul din dreapta jos.Diagonala laterală a unei matrice pătrate este diagonala care duce de la colțul din stânga jos al matricei la colțul din dreapta sus.

Două matrici sunt considerate egale dacă au aceeași dimensiune și elementele corespunzătoare sunt egale.

Fiecare matrice poate fi înmulțită cu orice număr și dacăk – numărul, atuncik ∙ A ={ k ∙ A ij }.

Matrici de aceeași dimensiuneA m∙n ȘiB m∙n poate fi pliat șiA m∙n + B m∙n = { A ij + b i j }.

Operația de adăugare a matricei are proprietățiA + B = B + A , A +( B + C ) = ( A + B ) + C .

Exemplul 1. După efectuarea operațiilor pe matrice, găsiți matricea C= 2A - B, unde, .

Soluţie.

Să calculăm matricea 2A de dimensiunea 3x3:

Să calculăm matricea C = 2A - În dimensiunea 3x3:

C = 2 A - B .

Determinant al unei matrice de ordinul trei este numărul definit de egalitate:

.

Acest număr reprezintă o sumă algebrică formată din șase termeni. Fiecare termen conține exact un element din fiecare rând și fiecare coloană a matricei. Fiecare termen este format din produsul a trei factori.

Fig.1.1. Fig.1.2.

Semnele cu care termenii determinantului sunt incluși în formula de găsire a determinantului de ordinul trei pot fi determinate folosind schema dată, care se numește regula triunghiurilor sau regula lui Sarrus. Primii trei termeni sunt luați cu semnul plus și sunt determinați din figura (1.1.), iar următorii trei termeni sunt luați cu semnul minus și sunt determinați din figura (1.2).

Exemplul 2. Calculați determinantul de ordinul trei folosind regula lui Sarrus:

Soluţie:

Exemplul 3. Calculați determinantul de ordinul trei folosind metoda expansiunii asupra elementelor din primul rând:

Soluţie:

Folosim formula:

3 -2 +2 = 3(-5 + 16) – 2(1+32) + 2(2 +20) = 33 – 66 + 44 = 11.

Să luăm în considerare principalele proprietăți ale determinanților:

Un determinant cu un rând (coloană) zero este egal cu zero.

Dacă înmulțiți orice rând (orice coloană) a unei matrice cu orice număr, atunci determinantul matricei va fi înmulțit cu acest număr.

Determinantul nu se schimbă atunci când matricea este transpusă.

Determinantul își schimbă semnul atunci când oricare două rânduri (coloane) ale matricei sunt rearanjate.

Determinantul unei matrice cu două rânduri (coloane) identice este egal cu zero.

Determinantul nu se schimbă dacă la orice rând se adaugă orice alt rând, înmulțit cu orice număr. O afirmație similară este valabilă pentru coloane.

Proprietățile matricelor și determinanților sunt utilizate pe scară largă atunci când se rezolvă un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute:

,

unde x 1 , X 2 , X 3 sunt variabile și 11 , A 12 ,…, A 33 - coeficienţi numerici. Trebuie amintit că, atunci când rezolvați un sistem, este posibil unul dintre cele trei răspunsuri posibile:

1) sistemul are o soluție unică – (x 1 ; X 2 ; X 3 );

2) sistemul are infinit de soluții (nedefinite);

3) sistemul nu are soluții (incoerente).

Luați în considerare rezolvarea unui sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscutemetoda lui Cramer, carevă permite să găsițisingura soluție a sistemului, bazată pe capacitatea de a calcula determinanți de ordinul trei:

Exemplul 3. Găsiți o soluție la un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute folosind formulele lui Cramer:

Soluţie. Găsiți determinanți de ordinul trei folosindRegula lui Sarrus sau extinderea prin elemente din primul rând:

Găsim soluția sistemului folosind formulele:

Răspuns: (- 152; 270; -254)

Sarcini pentru realizarea independentă:

eu. Găsiți matricea de transformare.

II. Calculați determinantIIIOrdin.

III. Rezolvați sistemul folosind metoda lui Cramer.

Opțiunea 1.

1. C = A +3 B , Dacă, . 2..

Opțiunea 2.

1. C =2 A - B ,Dacă, . 2..

Opțiunea 3.

1. C = 3 A + B , Dacă, . 2. .

Opțiunea 4.

1. C = A - 4 B , Dacă, . 2..

Opțiunea 5.

1. C = 4 A - B , Dacă, . 2..

Opțiunea 6.

1. C = A +2 B , Dacă, . 2..

Opțiunea 7.

1. C =2 A + B , Dacă, . 2..

Opțiunea 8.

1. C =3 A - B , Dacă, . 2..

Opțiunea 9.

1. C = A - 3 B , Dacă, . 2..

Opțiunea 10.

1. C = A - 2 B , Dacă, . 2..

Opțiunea 11.

1. C = A +4 B , Dacă, . 2..

Opțiunea 12.

1. C =4 A + B , Dacă, . 2..

Opțiunea 13.

1. C = A +3 B , Dacă, . 2..

Opțiunea 14.

1. C =2 A - B , Dacă, . 2..

Opțiunea 15.

1. C =3 A + B , Dacă, . 2..

Întrebări pentru autocontrol:

Ce este o matrice?

Reguli pentru calcularea determinanților de ordinul trei?

Scrieți formulele lui Cramer pentru rezolvarea unui sistem de trei ecuații liniare cu trei variabile.

Sistemele de ecuații sunt utilizate pe scară largă în sectorul economic pentru modelarea matematică a diferitelor procese. De exemplu, la rezolvarea problemelor de management și planificare a producției, rute logistice (problema de transport) sau amplasarea echipamentelor.

Sistemele de ecuații sunt utilizate nu numai în matematică, ci și în fizică, chimie și biologie, atunci când se rezolvă probleme de găsire a mărimii populației.

Un sistem de ecuații liniare este două sau mai multe ecuații cu mai multe variabile pentru care este necesar să se găsească o soluție comună. O astfel de succesiune de numere pentru care toate ecuațiile devin egalități adevărate sau dovedesc că șirul nu există.

Ecuație liniară

Ecuațiile de forma ax+by=c se numesc liniare. Denumirile x, y sunt necunoscutele a căror valoare trebuie găsită, b, a sunt coeficienții variabilelor, c este termenul liber al ecuației.
Rezolvarea unei ecuații prin reprezentarea ei va arăta ca o dreaptă, toate punctele care sunt soluții ale polinomului.

Tipuri de sisteme de ecuații liniare

Cele mai simple exemple sunt considerate a fi sisteme de ecuații liniare cu două variabile X și Y.

F1(x, y) = 0 și F2(x, y) = 0, unde F1,2 sunt funcții și (x, y) sunt variabile de funcție.

Rezolvarea sistemului de ecuații - aceasta înseamnă găsirea valorilor (x, y) la care sistemul se transformă într-o egalitate adevărată sau stabilirea faptului că valorile adecvate ale lui x și y nu există.

O pereche de valori (x, y), scrisă ca coordonatele unui punct, se numește soluție a unui sistem de ecuații liniare.

Dacă sistemele au o soluție comună sau nu există nicio soluție, ele se numesc echivalente.

Sistemele omogene de ecuații liniare sunt sisteme a căror latură dreaptă este egală cu zero. Dacă partea dreaptă după semnul egal are o valoare sau este exprimată printr-o funcție, un astfel de sistem este eterogen.

Numărul de variabile poate fi mult mai mare de două, atunci ar trebui să vorbim despre un exemplu de sistem de ecuații liniare cu trei sau mai multe variabile.

Când se confruntă cu sisteme, școlarii presupun că numărul de ecuații trebuie să coincidă în mod necesar cu numărul de necunoscute, dar nu este cazul. Numărul de ecuații din sistem nu depinde de variabile; pot fi oricâte dintre ele se dorește.

Metode simple și complexe de rezolvare a sistemelor de ecuații

Nu există o metodă analitică generală pentru rezolvarea unor astfel de sisteme; toate metodele se bazează pe soluții numerice. Cursul de matematică școlar descrie în detaliu metode precum permutarea, adunarea algebrică, substituția, precum și metodele grafice și matriceale, rezolvarea prin metoda Gauss.

Sarcina principală atunci când predați metode de soluție este de a învăța cum să analizați corect sistemul și să găsiți algoritmul optim de soluție pentru fiecare exemplu. Principalul lucru nu este să memorezi un sistem de reguli și acțiuni pentru fiecare metodă, ci să înțelegi principiile utilizării unei anumite metode.

Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare din programa de învățământ general de clasa a VII-a este destul de simplă și explicată în detaliu. În orice manual de matematică, acestei secțiuni i se acordă suficientă atenție. Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare folosind metoda Gauss și Cramer este studiată mai detaliat în primii ani de învățământ superior.

Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției

Acțiunile metodei substituției au ca scop exprimarea valorii unei variabile în termenii celei de-a doua. Expresia este substituită în ecuația rămasă, apoi este redusă la o formă cu o variabilă. Acțiunea se repetă în funcție de numărul de necunoscute din sistem

Să dăm o soluție unui exemplu de sistem de ecuații liniare din clasa 7 folosind metoda substituției:

După cum se poate observa din exemplu, variabila x a fost exprimată prin F(X) = 7 + Y. Expresia rezultată, substituită în ecuația a 2-a a sistemului în locul lui X, a ajutat la obținerea unei variabile Y în a doua ecuație. . Rezolvarea acestui exemplu este ușoară și vă permite să obțineți valoarea Y. Ultimul pas este verificarea valorilor obținute.

Nu este întotdeauna posibil să se rezolve un exemplu de sistem de ecuații liniare prin substituție. Ecuațiile pot fi complexe și exprimarea variabilei în termenii celei de-a doua necunoscute va fi prea greoaie pentru calcule ulterioare. Când există mai mult de 3 necunoscute în sistem, rezolvarea prin înlocuire este, de asemenea, inadecvată.

Rezolvarea unui exemplu de sistem de ecuații liniare neomogene:

Rezolvare folosind adunarea algebrică

Când se caută soluții pentru sisteme folosind metoda adunării, ecuațiile sunt adăugate termen cu termen și înmulțite cu diverse numere. Scopul final al operațiilor matematice este o ecuație într-o variabilă.

Aplicarea acestei metode necesită practică și observație. Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda adunării atunci când există 3 sau mai multe variabile nu este ușoară. Adunarea algebrică este convenabilă de utilizat atunci când ecuațiile conțin fracții și zecimale.

Algoritm de rezolvare:

1. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un anumit număr. Ca rezultat al operației aritmetice, unul dintre coeficienții variabilei ar trebui să devină egal cu 1.
2. Adăugați expresia rezultată termen cu termen și găsiți una dintre necunoscute.
3. Înlocuiți valoarea rezultată în a doua ecuație a sistemului pentru a găsi variabila rămasă.

Metoda de rezolvare prin introducerea unei noi variabile

O nouă variabilă poate fi introdusă dacă sistemul necesită găsirea unei soluții pentru nu mai mult de două ecuații; numărul de necunoscute ar trebui, de asemenea, să nu fie mai mare de două.

Metoda este folosită pentru a simplifica una dintre ecuații prin introducerea unei noi variabile. Noua ecuație este rezolvată pentru necunoscuta introdusă, iar valoarea rezultată este folosită pentru a determina variabila inițială.

Exemplul arată că prin introducerea unei noi variabile t, a fost posibilă reducerea primei ecuații a sistemului la un trinom pătratic standard. Puteți rezolva un polinom găsind discriminantul.

Este necesar să se afle valoarea discriminantului folosind formula binecunoscută: D = b2 - 4*a*c, unde D este discriminantul dorit, b, a, c sunt factorii polinomului. În exemplul dat, a=1, b=16, c=39, deci D=100. Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci există două soluții: t = -b±√D / 2*a, dacă discriminantul este mai mic decât zero, atunci există o soluție: x = -b / 2*a.

Soluția pentru sistemele rezultate se găsește prin metoda adunării.

Metoda vizuală de rezolvare a sistemelor

Potrivit pentru sisteme cu 3 ecuații. Metoda constă în construirea graficelor fiecărei ecuații incluse în sistem pe axa de coordonate. Coordonatele punctelor de intersecție ale curbelor vor fi soluția generală a sistemului.

Metoda grafică are o serie de nuanțe. Să ne uităm la câteva exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare într-un mod vizual.

După cum se poate observa din exemplu, pentru fiecare linie s-au construit două puncte, valorile variabilei x au fost alese în mod arbitrar: 0 și 3. Pe baza valorilor lui x, s-au găsit valorile pentru y: 3 și 0. Punctele cu coordonatele (0, 3) și (3, 0) au fost marcate pe grafic și legate printr-o linie.

Pașii trebuie repetați pentru a doua ecuație. Punctul de intersecție al dreptelor este soluția sistemului.

Următorul exemplu necesită găsirea unei soluții grafice pentru un sistem de ecuații liniare: 0,5x-y+2=0 și 0,5x-y-1=0.

După cum se poate observa din exemplu, sistemul nu are soluție, deoarece graficele sunt paralele și nu se intersectează pe toată lungimea lor.

Sistemele din exemplele 2 și 3 sunt similare, dar atunci când sunt construite devine evident că soluțiile lor sunt diferite. Trebuie amintit că nu este întotdeauna posibil să spunem dacă un sistem are o soluție sau nu; este întotdeauna necesar să construiți un grafic.

Matricea și varietățile sale

Matricele sunt folosite pentru a scrie concis un sistem de ecuații liniare. O matrice este un tip special de tabel plin cu numere. n*m are n - rânduri și m - coloane.

O matrice este pătrată atunci când numărul de coloane și rânduri este egal. Un vector-matrice este o matrice de o coloană cu un număr infinit posibil de rânduri. O matrice cu unități de-a lungul uneia dintre diagonale și alte elemente zero se numește identitate.

O matrice inversă este o matrice atunci când este înmulțită cu care cea originală se transformă într-o matrice unitară; o astfel de matrice există doar pentru cea pătrată originală.

Reguli pentru transformarea unui sistem de ecuații într-o matrice

În raport cu sistemele de ecuații, coeficienții și termenii liberi ai ecuațiilor sunt scrise ca numere matriceale; o ecuație este un rând al matricei.

Se spune că un rând de matrice este diferit de zero dacă cel puțin un element al rândului nu este zero. Prin urmare, dacă în oricare dintre ecuații numărul de variabile diferă, atunci este necesar să introduceți zero în locul necunoscutului lipsă.

Coloanele matricei trebuie să corespundă strict variabilelor. Aceasta înseamnă că coeficienții variabilei x pot fi scriși doar într-o coloană, de exemplu prima, coeficientul necunoscutului y - doar în a doua.

La înmulțirea unei matrice, toate elementele matricei sunt înmulțite secvenţial cu un număr.

Opțiuni pentru găsirea matricei inverse

Formula pentru găsirea matricei inverse este destul de simplă: K -1 = 1 / |K|, unde K -1 este matricea inversă și |K| este determinantul matricei. |K| nu trebuie să fie egal cu zero, atunci sistemul are o soluție.

Determinantul este ușor de calculat pentru o matrice de două câte două; trebuie doar să înmulțiți elementele diagonale între ele. Pentru opțiunea „trei cu trei”, există o formulă |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Puteți folosi formula sau vă puteți aminti că trebuie să luați câte un element din fiecare rând și fiecare coloană, astfel încât numărul de coloane și rânduri de elemente să nu se repete în lucrare.

Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare folosind metoda matricei

Metoda matriceală de găsire a unei soluții vă permite să reduceți intrările greoaie atunci când rezolvați sisteme cu un număr mare de variabile și ecuații.

În exemplu, a nm sunt coeficienții ecuațiilor, matricea este un vector x n sunt variabile, iar b n sunt termeni liberi.

Rezolvarea sistemelor folosind metoda Gauss

În matematica superioară, metoda Gauss este studiată împreună cu metoda Cramer, iar procesul de găsire a soluțiilor sistemelor se numește metoda soluției Gauss-Cramer. Aceste metode sunt folosite pentru a găsi variabile ale sistemelor cu un număr mare de ecuații liniare.

Metoda Gauss este foarte asemănătoare cu soluțiile prin substituție și adunare algebrică, dar este mai sistematică. În cursul școlar, soluția prin metoda Gauss este utilizată pentru sistemele cu 3 și 4 ecuații. Scopul metodei este de a reduce sistemul la forma unui trapez inversat. Prin intermediul transformărilor și substituțiilor algebrice, valoarea unei variabile se găsește într-una din ecuațiile sistemului. A doua ecuație este o expresie cu 2 necunoscute, în timp ce 3 și 4 sunt, respectiv, cu 3 și 4 variabile.

După aducerea sistemului la forma descrisă, soluția ulterioară este redusă la înlocuirea secvențială a variabilelor cunoscute în ecuațiile sistemului.

În manualele școlare pentru clasa a 7-a, un exemplu de soluție prin metoda Gauss este descris după cum urmează:

După cum se poate observa din exemplu, la pasul (3) s-au obținut două ecuații: 3x 3 -2x 4 =11 și 3x 3 +2x 4 =7. Rezolvarea oricăreia dintre ecuații vă va permite să aflați una dintre variabilele x n.

Teorema 5, care este menționată în text, afirmă că dacă una dintre ecuațiile sistemului este înlocuită cu una echivalentă, atunci și sistemul rezultat va fi echivalent cu cel original.

Metoda Gaussiană este greu de înțeles de elevii de gimnaziu, dar este una dintre cele mai interesante modalități de a dezvolta ingeniozitatea copiilor înscriși la programe de învățare avansată la orele de matematică și fizică.

Pentru ușurința înregistrării, calculele se fac de obicei după cum urmează:

Coeficienții ecuațiilor și termenilor liberi se scriu sub forma unei matrice, unde fiecare rând al matricei corespunde uneia dintre ecuațiile sistemului. separă partea stângă a ecuației de dreapta. Numerele romane indică numerele de ecuații din sistem.

Mai întâi notează matricea cu care se lucrează, apoi toate acțiunile efectuate cu unul dintre rânduri. Matricea rezultată se scrie după semnul „săgeată” și se continuă operațiile algebrice necesare până la obținerea rezultatului.

Rezultatul ar trebui să fie o matrice în care una dintre diagonale este egală cu 1 și toți ceilalți coeficienți sunt egali cu zero, adică matricea este redusă la o formă unitară. Nu trebuie să uităm să facem calcule cu numere de ambele părți ale ecuației.

Această metodă de înregistrare este mai puțin greoaie și vă permite să nu fiți distras prin enumerarea numeroaselor necunoscute.

Utilizarea gratuită a oricărei metode de soluție va necesita îngrijire și ceva experiență. Nu toate metodele sunt de natură aplicată. Unele metode de găsire a soluțiilor sunt mai de preferat într-un anumit domeniu al activității umane, în timp ce altele există în scopuri educaționale.