Printre diferitele expresii care sunt luate în considerare în algebră, sumele de monomii ocupă un loc important. Iată exemple de astfel de expresii:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Suma monomiilor se numește polinom. Termenii dintr-un polinom sunt numiți membri ai polinomului. Mononoamele sunt denumite și polinoame, considerând un monom ca un polinom format dintr-un membru.

De exemplu, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
poate fi simplificat.

Reprezentăm toți termenii ca monomii ale formei standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Dăm termeni similari în polinomul rezultat:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatul este un polinom, toți membrii căruia sunt monomii ale formei standard, iar printre ele nu există altele similare. Astfel de polinoame se numesc polinoame de formă standard.

In spate gradul polinom forma standard ia cea mai mare dintre puterile membrilor săi. Deci, binomul \(12a^2b - 7b \) are al treilea grad, iar trinomul \(2b^2 -7b + 6 \) are al doilea.

De obicei, termenii polinoamelor de formă standard care conțin o variabilă sunt aranjați în ordinea descrescătoare a exponenților săi. De exemplu:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Suma mai multor polinoame poate fi convertită (simplificată) într-o formă standard de polinom.

Uneori, membrii unui polinom trebuie împărțiți în grupuri, încadrând fiecare grup între paranteze. Deoarece parantezele sunt opusul parantezelor, este ușor de formulat reguli de deschidere a parantezelor:

Dacă semnul + este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii încadrați între paranteze se scriu cu aceleași semne.

Dacă un semn „-” este plasat în fața parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu semne opuse.

Transformarea (simplificarea) a produsului dintre un monom și un polinom

Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, se poate transforma (simplifica) produsul dintre un monom și un polinom într-un polinom. De exemplu:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produsul unui monom și al unui polinom este identic egal cu suma produselor acestui monom și a fiecăruia dintre termenii polinomului.

Acest rezultat este de obicei formulat ca o regulă.

Pentru a înmulți un monom cu un polinom, trebuie să înmulțim acest monom cu fiecare dintre termenii polinomului.

Am folosit în mod repetat această regulă pentru înmulțirea cu o sumă.

Produsul polinoamelor. Transformarea (simplificarea) produsului a două polinoame

În general, produsul a două polinoame este identic egal cu suma produsului fiecărui termen al unui polinom și al fiecărui termen al celuilalt.

Utilizați de obicei următoarea regulă.

Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt și să adăugați produsele rezultate.

Formule de înmulțire prescurtate. Sumă, diferență și pătrate diferențe

Unele expresii din transformările algebrice trebuie tratate mai des decât altele. Poate că cele mai comune expresii sunt \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) și \(a^2 - b^2 \), adică pătratul sumei, pătratul diferenței și pătratul diferenței. Ați observat că numele acestor expresii par a fi incomplete, deci, de exemplu, \((a + b)^2 \) este, desigur, nu doar pătratul sumei, ci pătratul sumei lui a și b. Cu toate acestea, pătratul sumei lui a și b nu este atât de comun, de regulă, în loc de literele a și b, conține expresii diverse, uneori destul de complexe.

Expresiile \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sunt ușor de convertit (simplificat) în polinoame de forma standard, de fapt, ați întâlnit deja o astfel de sarcină atunci când înmulțiți polinoame :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Identitățile rezultate sunt utile de reținut și aplicate fără calcule intermediare. Formulări verbale scurte ajută acest lucru.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - pătratul sumei este egal cu suma pătratelor și a produsului dublu.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - pătratul diferenței este suma pătratelor fără a dubla produsul.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - diferența de pătrate este egală cu produsul dintre diferență și suma.

Aceste trei identități permit transformărilor să înlocuiască părțile din stânga cu cele din dreapta și invers - părțile din dreapta cu cele din stânga. Cel mai dificil lucru în acest caz este să vedeți expresiile corespunzătoare și să înțelegeți ce variabilele a și b sunt înlocuite în ele. Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate.

În această lecție, vom aminti principalele definiții ale acestui subiect și vom lua în considerare câteva sarcini tipice, și anume, aducerea unui polinom într-o formă standard și calcularea unei valori numerice pentru valori variabile date. Vom rezolva câteva exemple în care se va aplica reducerea la forma standard pentru a rezolva diferite tipuri de probleme.

Subiect:Polinomiale. Operații aritmetice pe monomii

Lecţie:Reducerea unui polinom la o formă standard. Sarcini tipice

Amintiți-vă definiția de bază: un polinom este suma monomiilor. Fiecare monom care face parte dintr-un polinom ca termen este numit membru al său. De exemplu:

Binom;

polinom;

Binom;

Deoarece polinomul este format din monomii, de aici urmează prima acțiune cu polinomul - trebuie să aduceți toate monomiile la forma standard. Amintiți-vă că pentru aceasta trebuie să înmulțiți toți factorii numerici - obțineți un coeficient numeric și înmulțiți puterile corespunzătoare - obțineți partea de literă. În plus, să acordăm atenție teoremei despre produsul puterilor: la înmulțirea puterilor, exponenții acestora se adună.

Luați în considerare o operație importantă - aducerea unui polinom într-o formă standard. Exemplu:

Comentariu: pentru a aduce polinomul la forma standard, trebuie să aduceți la forma standard toate monomiile care fac parte din acesta, după aceea, dacă există monomii similare - și acestea sunt monomii cu aceeași parte de literă - efectuați acțiuni cu ei.

Deci, am luat în considerare prima problemă tipică - aducerea unui polinom într-o formă standard.

Următoarea sarcină tipică este calcularea unei valori specifice a unui polinom pentru valori numerice date ale variabilelor incluse în acesta. Să continuăm să luăm în considerare exemplul anterior și să setăm valorile variabilelor:

Comentariu: Amintiți-vă că unu în orice putere naturală este egal cu unu, iar zero în orice putere naturală este egal cu zero, în plus, ne amintim că atunci când înmulțim orice număr cu zero, obținem zero.

Luați în considerare o serie de exemple de operații tipice de aducere a unui polinom într-o formă standard și de calculare a valorii acestuia:

Exemplul 1 - aduceți la forma standard:

Comentariu: prima acțiune - aducem monomiile la forma standard, trebuie să aduceți primul, al doilea și al șaselea; a doua acțiune - dăm membri similari, adică efectuăm asupra lor operațiile aritmetice date: adăugăm primul la a cincea, a doua la a treia, rescriem restul fără modificări, deoarece nu au altele asemănătoare.

Exemplul 2 - calculați valoarea polinomului din exemplul 1 având în vedere valorile variabilelor:

Comentariu: atunci când calculați, trebuie amintit că o unitate în orice grad natural este o unitate, dacă este dificil să calculați puteri de doi, puteți utiliza tabelul de putere.

Exemplul 3 - în loc de asterisc, puneți un astfel de monom, astfel încât rezultatul să nu conțină o variabilă:

Comentariu: indiferent de sarcină, prima acțiune este întotdeauna aceeași - pentru a aduce polinomul la forma standard. În exemplul nostru, această acțiune se reduce la casting ca membri. După aceea, ar trebui să citiți cu atenție starea din nou și să vă gândiți cum putem scăpa de monom. este evident că pentru aceasta trebuie să-i adăugați același monom, dar cu semnul opus -. apoi înlocuim asteriscul cu acest monom și ne asigurăm că decizia noastră este corectă.

Un polinom este o sumă de monomii. Dacă toți termenii polinomului sunt scriși în forma standard (vezi articolul 51) și se efectuează reducerea termenilor similari, atunci se va obține un polinom din forma standard.

Orice expresie întreagă poate fi transformată într-un polinom de forma standard - acesta este scopul transformărilor (simplificarilor) expresiilor întregi.

Luați în considerare exemple în care întreaga expresie trebuie redusă la forma standard a unui polinom.

Decizie. În primul rând, aducem termenii polinomului la forma standard. Obținem După reducerea termenilor similari, obținem un polinom de forma standard

Decizie. Dacă există un semn plus în fața parantezelor, atunci parantezele pot fi omise, păstrând semnele tuturor termenilor încadrați între paranteze. Folosind această regulă pentru deschiderea parantezelor, obținem:

Decizie. Dacă există un „minus” ziak în fața parantezelor, atunci parantezele pot fi omise prin schimbarea semnelor tuturor termenilor încadrați între paranteze. Folosind această regulă de evadare a parantezei, obținem:

Decizie. Produsul unui monom și unui polinom, conform legii de distribuție, este egal cu suma produselor acestui monom și a fiecărui membru al polinomului. Primim

Decizie. Noi avem

Decizie. Noi avem

Rămâne de dat termeni similari (sunt subliniați). Primim:

53. Formule pentru înmulțirea prescurtată.

În unele cazuri, reducerea întregii expresii la forma standard a unui polinom se realizează folosind identitățile:

Aceste identități sunt numite formule de înmulțire abreviate,

Să luăm în considerare exemple în care este necesar să convertim o expresie dată în myogle de formă standard.

Exemplul 1. .

Decizie. Folosind formula (1), obținem:

Exemplul 2. .

Decizie.

Exemplul 3. .

Decizie. Folosind formula (3), obținem:

Exemplul 4

Decizie. Folosind formula (4), obținem:

54. Factorizarea polinoamelor.

Uneori puteți converti un polinom într-un produs al mai multor factori - polinoame sau subtermeni. O astfel de transformare de identitate se numește factorizarea unui polinom. În acest caz, se spune că polinomul este divizibil cu fiecare dintre acești factori.

Luați în considerare câteva moduri de factorizare a polinoamelor,

1) Scoaterea factorului comun din paranteză. Această transformare este o consecință directă a legii distributive (pentru claritate, trebuie doar să rescrieți această lege „de la dreapta la stânga”):

Exemplul 1. Factorizarea unui polinom

Decizie. .

De obicei, când se scoate factorul comun din paranteze, fiecare variabilă inclusă în toți membrii polinomului este scoasă cu cel mai mic exponent pe care îl are în acest polinom. Dacă toți coeficienții polinomului sunt numere întregi, atunci cel mai mare divizor comun modulo al tuturor coeficienților polinomului este luat ca coeficient al factorului comun.

2) Utilizarea formulelor de înmulțire abreviate. Formulele (1) - (7) de la punctul 53, citindu-se „de la dreapta la stânga, în multe cazuri se dovedesc a fi utile pentru factorizarea polinoamelor.

Exemplul 2. Factorizați .

Decizie. Noi avem . Aplicând formula (1) (diferența de pătrate), obținem . Punerea în aplicare

acum formulele (4) și (5) (suma de cuburi, diferența de cuburi), obținem:

Exemplul 3. .

Decizie. Să scoatem mai întâi factorul comun din paranteză. Pentru aceasta, găsim cel mai mare divizor comun al coeficienților 4, 16, 16 și cei mai mici exponenți cu care variabilele a și b sunt incluse în monomiile care alcătuiesc acest polinom. Primim:

3) Metoda grupării. Se bazează pe faptul că legile comutative și asociative ale adunării vă permit să grupați termenii unui polinom în diferite moduri. Uneori, o astfel de grupare este posibilă ca, după încadrarea factorilor comuni din fiecare grupă, unul și același polinom să rămână între paranteze, care la rândul său, ca factor comun, poate fi încadrat în paranteze. Luați în considerare exemple de factorizare a unui polinom.

Exemplul 4. .

Decizie. Să-l grupăm astfel:

În primul grup scoatem factorul comun din a doua grupă - factorul comun 5. Acum obținem polinomul ca factor comun pe care îl scoatem din paranteză: Astfel, obținem:

Exemplul 5

Decizie. .

Exemplul 6

Decizie. Aici, nicio grupare nu va duce la apariția aceluiași polinom în toate grupurile. În astfel de cazuri, uneori se dovedește a fi util să se reprezinte orice termen al polinomului ca o sumă și apoi să încerce din nou să aplici metoda de grupare. În exemplul nostru, este recomandabil să reprezentăm ca o sumă pe care o obținem

Exemplul 7

Decizie. Adunăm și scădem monomiul, obținem

55. Polinoame într-o variabilă.

Polinomul, unde a, b sunt numere variabile, se numește polinom de gradul I; un polinom în care a, b, c sunt numere variabile, se numește polinom de gradul doi sau trinom pătrat; un polinom unde a, b, c, d sunt numere, o variabilă se numește polinom de gradul al treilea.

În general, dacă o este o variabilă, atunci un polinom

se numește gradul lshomogeneal (față de x); , m-termeni ai polinomului, coeficienți, termenul conducător al polinomului și este coeficientul termenului principal, termenul liber al polinomului. De obicei, polinomul este scris în puteri descrescătoare ale variabilei, adică gradele variabilei scad treptat, în special, termenul senior este pe primul loc, iar termenul liber este pe ultimul. Gradul unui polinom este gradul termenului conducător.

De exemplu, un polinom de gradul cinci în care termenul principal, 1, este termenul liber al polinomului.

Rădăcina unui polinom este valoarea la care polinomul dispare. De exemplu, numărul 2 este rădăcina polinomului deoarece

Am spus că au loc atât polinoame standard, cât și nestandard. În același loc, am observat că orice polinom la forma standard. În acest articol, vom afla mai întâi ce semnificație are această expresie. În continuare, listăm pașii care vă permit să convertiți orice polinom într-o formă standard. În cele din urmă, luați în considerare soluții la exemplele tipice. Vom descrie soluțiile în detaliu pentru a face față tuturor nuanțelor care apar la aducerea polinoamelor la forma standard.

Navigare în pagină.

Ce înseamnă a aduce un polinom la forma standard?

Mai întâi trebuie să înțelegeți clar ce se înțelege prin aducerea unui polinom într-o formă standard. Să ne ocupăm de asta.

Polinoamele, ca orice alte expresii, pot fi supuse unor transformări identice. Ca urmare a unor astfel de transformări, se obțin expresii care sunt identic egale cu expresia originală. Deci efectuarea anumitor transformări cu polinoame de formă nestandard ne permite să trecem la polinoame care sunt identic egale cu acestea, dar deja scrise într-o formă standard. O astfel de tranziție se numește reducerea polinomului la forma standard.

Asa de, aduce polinomul la forma standard- aceasta inseamna inlocuirea polinomului original cu un polinom de forma standard identic cu acesta, obtinut din cel original prin efectuarea de transformari identice.

Cum se aduce un polinom la forma standard?

Să ne gândim la ce transformări ne vor ajuta să aducem polinomul la o formă standard. Vom pleca de la definirea unui polinom de forma standard.

Prin definiție, fiecare termen al unui polinom de formă standard este un monom de formă standard, iar un polinom de formă standard nu conține astfel de termeni. La rândul lor, polinoamele scrise într-o altă formă decât forma standard pot consta din monomii într-o formă nestandard și pot conține termeni similari. Acest lucru duce logic la următoarea regulă. cum se transformă un polinom în formă standard:

• mai întâi trebuie să aduceți la forma standard monomiile care alcătuiesc polinomul original,
• iar apoi efectuează reducerea termenilor similari.

Ca urmare, se va obține un polinom de formă standard, deoarece toți membrii săi vor fi scrisi în formă standard și nu va conține astfel de membri.

Exemple, soluții

Luați în considerare exemple de aducere a polinoamelor la forma standard. La rezolvare vom urma pasii dictati de regula din paragraful anterior.

Aici observăm că uneori toți termenii unui polinom se scriu în formă standard deodată, caz în care este suficient să aducem termeni similari. Uneori, după reducerea termenilor unui polinom la forma standard, nu există membri similari, prin urmare, etapa de reducere a unor astfel de membri în acest caz este omisă. În general, trebuie să le faci pe amândouă.

Exemplu.

Exprimați polinoame în formă standard: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5și .

Decizie.

Toți membrii polinomului 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 sunt scrieți în forma standard, nu are astfel de termeni, prin urmare, acest polinom este deja prezentat în forma standard.

Să trecem la următorul polinom 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5. Forma sa nu este standard, așa cum demonstrează termenii 2·a 3 ·0.6 și −b·a·b 4 ·b 5 de formă nestandard. Să o reprezentăm în forma standard.

În prima etapă de aducere a polinomului original la forma standard, trebuie să reprezentăm toți membrii acestuia în forma standard. Prin urmare, reducem monomul 2 a 3 0.6 la forma standard, avem 2 a 3 0.6=1.2 a 3 , după care monomiul −b a b 4 b 5 , avem −b a b 4 b 5 = −a b 1+4+5 = −a b 10. Prin urmare, . În polinomul rezultat, toți termenii sunt scriși în formă standard; în plus, este evident că nu are astfel de termeni. Prin urmare, aceasta completează reducerea polinomului original la forma standard.

Rămâne de reprezentat în forma standard ultimul polinoame dat. După aducerea tuturor membrilor săi la formularul standard, acesta va fi scris ca . Are membri asemănători, așa că trebuie să distribuiți membri similari:

Deci polinomul original a luat forma standard −x y+1 .

Răspuns:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – deja în forma standard, 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 =0,8+1,2 a 3 −a b 10, .

Adesea, aducerea unui polinom într-o formă standard este doar un pas intermediar în a răspunde la întrebarea problemei. De exemplu, găsirea gradului unui polinom implică reprezentarea lui preliminară într-o formă standard.

Exemplu.

Aduceți polinom la forma standard, indicați gradul acesteia și aranjați termenii în puteri descrescătoare ale variabilei.

Decizie.

În primul rând, aducem toți termenii polinomului la forma standard: .

Acum oferim membri similari:

Așa că am adus polinomul original la forma standard, acest lucru ne permite să determinăm gradul polinomului, care este egal cu cel mai mare grad al monomiilor incluse în acesta. Evident este 5.

Rămâne de aranjat termenii polinomului în puteri descrescătoare ale variabilelor. Pentru a face acest lucru, este necesar doar să rearanjați termenii din polinomul rezultat al formei standard, ținând cont de cerință. Termenul z 5 are gradul cel mai înalt, gradele termenilor , −0,5·z 2 și 11 sunt egale cu 3 , 2 și respectiv 0 . Prin urmare, un polinom cu termeni aranjați în puteri descrescătoare ale variabilei va avea forma .

Răspuns:

Gradul polinomului este 5, iar după aranjarea termenilor săi în puteri descrescătoare ale variabilei ia forma .

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 7 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M. : Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 7-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XVII-a, add. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a 10-a: manual. pentru invatamantul general instituții: de bază și de profil. niveluri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 2010.- 368 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

SZLP- o problemă de programare liniară de forma ax ≥ b sau ax ≤ b . unde a este matricea coeficienților, b este vectorul constrângerii.
Modelul matematic al ZLP se numește standard, dacă constrângerile din acesta sunt prezentate sub formă de inegalități liniare, iar funcția obiectiv este minimizată sau maximizată.

Atribuirea serviciului. Calculatorul online este conceput pentru a converti QZLP în SZLP prin conversia matricei a în cea de identitate. Există două formulare standard disponibile:

1. Prima formă standard ax ≥ b , F(X) → min.
2. A doua formă standard ax ≤ b , F(X) → max.

Instruire. Selectați numărul de variabile și numărul de rânduri (numărul de restricții). Soluția rezultată este salvată într-un fișier Word.

Cum se aduce o problemă de programare liniară canonică la forma standard
Convertiți în formă canonică

Exemplu. Este dată principala problemă a programării liniare. Folosind transformări elementare ale matricei de coeficienți ai sistemului de constrângeri, aduceți problema într-o formă standard și rezolvați-o folosind o metodă geometrică sau demonstrați că nu are un plan optim.

Matricea extinsă a sistemului de constrângeri-egalități ale acestei probleme:

1 6 -1 -1 -1 2 5 -12 -1 2 0 -4 3 -1 -2 0 -1 -7

Să reducem sistemul la matricea identitară prin metoda transformărilor iordaniene.
1. Alegem x 1 ca variabilă de bază.
Element permisiv RE=1.
Linia corespunzătoare variabilei x 1 se obține prin împărțirea tuturor elementelor dreptei x 1 la elementul de rezoluție RE=1

În celulele rămase ale coloanei x 1 scriem zerouri.

Pentru a face acest lucru, selectați patru numere din planul vechi, care sunt situate la vârfurile dreptunghiului și includ întotdeauna elementul de activare al RE.
NE \u003d SE - (A * B) / RE
STE - element din planul vechi, RE - element de rezoluție (1), A și B - elemente din planul vechi, formând un dreptunghi cu elemente de STE și RE.

1: 1	6: 1	-1: 1	-1: 1	-1: 1	2: 1
5-(1 5):1	-12-(6 5):1	-1-(-1 5):1	2-(-1 5):1	0-(-1 5):1	-4-(2 5):1
3-(1 3):1	-1-(6 3):1	-2-(-1 3):1	0-(-1 3):1	-1-(-1 3):1	-7-(2 3):1

2. Alegem x 2 ca variabilă de bază.
Element permisiv RE=-42.
Linia corespunzătoare variabilei x 2 se obține prin împărțirea tuturor elementelor dreptei x 2 la elementul de rezoluție RE=-42
În locul elementului de activare, obținem 1.
În celulele rămase ale coloanei x 2 scriem zerouri.
Toate celelalte elemente sunt determinate de regula dreptunghiului.
Să prezentăm calculul fiecărui element sub forma unui tabel:

1-(0 6):-42	6-(-42 6):-42	-1-(4 6):-42	-1-(7 6):-42	-1-(5 6):-42	2-(-14 6):-42
0: -42	-42: -42	4: -42	7: -42	5: -42	-14: -42
0-(0 -19):-42	-19-(-42 -19):-42	1-(4 -19):-42	3-(7 -19):-42	2-(5 -19):-42	-13-(-14 -19):-42

Obținem o nouă matrice:

1	0	-3 / 7	0	-2 / 7	0
0	1	-2 / 21	-1 / 6	-5 / 42	1 / 3
0	0	-17 / 21	-1 / 6	-11 / 42	-20 / 3

3. Alegem x 3 ca variabilă de bază.
Element permisiv RE= -17/21.
Linia corespunzătoare variabilei x 3 se obține prin împărțirea tuturor elementelor dreptei x 3 la elementul de rezoluție RE= -17 / 21
În locul elementului de activare, obținem 1.
În celulele rămase ale coloanei x 3 scriem zerouri.
Toate celelalte elemente sunt determinate de regula dreptunghiului.
Să prezentăm calculul fiecărui element sub forma unui tabel:

1-(0 -3 / 7): -17 / 21	0-(0 -3 / 7): -17 / 21	-3 / 7 -(-17 / 21 -3 / 7): -17 / 21	0-(-1 / 6 -3 / 7): -17 / 21	-2 / 7 -(-11 / 42 -3 / 7): -17 / 21	0-(-6 2 / 3 -3 / 7): -17 / 21
0-(0 -2 / 21): -17 / 21	1-(0 -2 / 21): -17 / 21	-2 / 21 -(-17 / 21 -2 / 21): -17 / 21	-1 / 6 -(-1 / 6 -2 / 21): -17 / 21	-5 / 42 -(-11 / 42 -2 / 21): -17 / 21	1 / 3 -(-6 2 / 3 -2 / 21): -17 / 21
0: -17 / 21	0: -17 / 21	-17 / 21: -17 / 21	-1 / 6: -17 / 21	-11 / 42: -17 / 21	-6 2 / 3: -17 / 21

Obținem o nouă matrice:

1	0	0	3 / 34	-5 / 34	60 / 17
0	1	0	-5 / 34	-3 / 34	19 / 17
0	0	1	7 / 34	11 / 34	140 / 17

Deoarece sistemul are o matrice de identitate, luăm X = (1,2,3) ca variabile de bază.
Ecuațiile corespunzătoare sunt:
x 1 + 3 / 34 x 4 - 5 / 34 x 5 = 3 9 / 17
x 2 - 5 / 34 x 4 - 3 / 34 x 5 = 1 2 / 17
x 3 + 7 / 34 x 4 + 11 / 34 x 5 = 8 4 / 17
Exprimăm variabilele de bază în termeni de restul:
x 1 = - 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17
x 2 = 5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17
x 3 \u003d - 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17
Înlocuiți-le în funcția obiectiv:
F(X) = - 3(- 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17) + 13(5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17) + (- 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17) - 2x 4
sau

Sistemul de inegalități:
- 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17 ≥ 0
5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17 ≥ 0
- 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17 ≥ 0
Aducem sistemul de inegalități în următoarea formă:
3 / 34 x 4 - 5 / 34 x 5 ≤ 3 9 / 17
- 5 / 34 x 4 - 3 / 34 x 5 ≤ 1 2 / 17
7 / 34 x 4 + 11 / 34 x 5 ≤ 8 4 / 17
F(X) = - 1 / 34 x 4 + 13 / 34 x 5 +12 3 / 17 → max
Să simplificăm sistemul.
3x 1 - 5x 2 ≤ 120
- 5x 1 - 3x 2 ≤ 38
7x1 + 11x2 ≤ 280
F(X) = - x 1 + 13x 2 +414 → max