Teorema locală de Moivre-Laplace. 0 și 1, atunci probabilitatea P t p ca, că evenimentul A va avea loc de m ori în n încercări independente pentru un număr suficient de mare n, este aproximativ egal cu

- funcția gaussianăși

Cu cât este mai mare și mai precisă formula aproximativă (2.7), numită prin formula locală Moivre-Laplace. Probabilități aproximative R TPU date de formula locală (2.7) sunt folosite în practică ca exacte pentru pru de ordinul a două sau mai multe zeci, adică dat fiind pru > 20.

Pentru a simplifica calculele asociate cu utilizarea formulei (2.7), a fost întocmit un tabel de valori ale funcției /(x) (Tabelul I, prezentat în anexe). Când folosiți acest tabel, este necesar să aveți în vedere proprietățile evidente ale funcției f(x) (2.8).

• 1. Funcţie/(X) este chiar, adică /(-x) = /(x).
• 2. Funcţie/(X) - monoton în scădere pentru valori pozitive X, iar la x -> co /(x) -» 0.
• (În practică, putem presupune că chiar și pentru x > 4 /(x) « 0.)

[> Exemplul 2.5. În unele zone, din 100 de familii, 80 au frigidere. Aflați probabilitatea ca din 400 de familii 300 să aibă frigidere.

Decizie. Probabilitatea ca o familie să aibă un frigider este p = 80/100 = 0,8. La fel de P= 100 este suficient de mare (condiția pru= = 100 0,8(1-0,8) = 64 > 20 satisfăcut), apoi aplicăm formula locală Moivre-Laplace.

În primul rând, definim prin formula (2.9)

Apoi prin formula (2.7)

(valoarea /(2,50) a fost găsită din Tabelul I din anexe). Valoarea destul de mică a probabilității /300.400 nu ar trebui să fie pusă la îndoială, deoarece în afară de eveniment

„exact 300 de familii din 400 au frigidere” Mai sunt posibile 400 de evenimente: „0 din 400”, „1 din 400”,..., „400 din 400” cu propriile probabilități. Împreună, aceste evenimente formează un grup complet, ceea ce înseamnă că suma probabilităților lor este egală cu unu. ?

Fie că, în condițiile Exemplului 2.5, este necesar să se găsească probabilitatea ca de la 300 la 360 de familii (inclusiv) să aibă frigidere. În acest caz, conform teoremei de adunare, probabilitatea evenimentului dorit

În principiu, fiecare termen poate fi calculat folosind formula locală Moivre-Laplace, dar un număr mare de termeni face ca calculul să fie foarte greoi. În astfel de cazuri, se utilizează următoarea teoremă.

Teorema integrală a lui Moivre - Laplace. Dacă probabilitatea p apariţiei evenimentului A în fiecare încercare este constantă şi diferită de 0 și 1, atunci probabilitatea de, că numărul m al apariției evenimentului A în n încercări independente se află între a și b (inclusiv), pentru un număr suficient de mare n este aproximativ egal cu

- funcţie(sau integrală de probabilități) Laplace",

(Demonstrația teoremei este dată în secțiunea 6.5.)

Formula (2.10) se numește Formula integrală Moivre-Laplace. Cu atât mai mult P, cu atât formula este mai exactă. Când starea pru >> 20 formula integrală (2.10), precum și cea locală, dă, de regulă, o eroare în calculul probabilităților care este satisfăcătoare pentru practică.

Funcția Φ(dg) este tabelată (vezi Tabelul II din anexe). Pentru a utiliza acest tabel, trebuie să cunoașteți proprietățile funcției Ф(х).

1. Funcţie f(x) ciudat, acestea. F(-x) = -F(x).

? Să schimbăm variabila? = -G. Apoi (k =

= -(12. Limitele de integrare pentru variabila 2 vor fi 0 și X. obține

întrucât valoarea integralei definite nu depinde de desemnarea variabilei de integrare. ?

2. Funcția Ф(х) este monoton crescătoare, iar pentru x ->+co f(.g) -> 1 (în practică, putem presupune că deja la x > 4 φ(x)~ 1).

Deoarece derivata integralei față de limita superioară variabilă este egală cu integrandul la valoarea limitei superioare, r.s.

, și este întotdeauna pozitivă, atunci Ф(х) crește monoton

de-a lungul întregii drepte numerice.

Facem o schimbare de variabilă, atunci limitele integrării nu se schimbă și

(deoarece integrala unei funcții pare

Dat fiind (integrala lui Euler - Poisson), primim

?

O Exemplul 2.6. Folosind datele din Exemplul 2.5, calculați probabilitatea ca de la 300 la 360 de familii (inclusiv) din 400 să aibă frigidere.

Decizie. Aplicăm teorema integrală a lui Moivre - Laplace (relatii cu publicul= 64 > 20). În primul rând, definim prin formulele (2.12)

Acum, conform formulei (2.10), luând în considerare proprietățile lui Ф(.т), obținem

(conform Tabelului II din anexe?

Considerăm o consecință a teoremei integrale a lui Moivre - Laplace. Consecinţă. Dacă probabilitatea p apariţiei evenimentului A în fiecare încercare este constantă şi diferită de 0 și I, apoi pentru un număr suficient de mare n de încercări independente, probabilitatea ca:

A) numărul m de apariţii ale evenimentului A diferă de produsul pr cu cel mult e > 0 (în valoare absolută), acestea.

b) frecvența evenimentului t/n A se află în interiorul de la a la r ( inclusiv- cu respect, adică

în) frecvența evenimentului A diferă de probabilitatea sa p cu cel mult A > 0 (în valoare absolută), adică

A) Inegalitate |/?7-7?/?| este echivalent cu o dublă inegalitate pr-e Prin urmare, prin formula integrală (2.10)

• b) Inegalitatea și este echivalentă cu inegalitatea iar la a = pași b= /?r. Înlocuirea în formulele (2.10), (2.12) a cantităților Ași b expresii obținute, obținem formulele demonstrabile (2.14) și (2.15).
• c) Inegalitatea mjn-p este echivalent cu inegalitatea t-pr Înlocuirea în formula (2.13) r = Ap, obţinem formula (2.16) de demonstrat. ?

[> Exemplul 2.7. Folosind datele din Exemplul 2.5, calculați probabilitatea ca 280 până la 360 de familii din 400 să aibă frigidere.

Decizie. Calculați probabilitatea Р 400 (280 t pr \u003d 320. Apoi, conform formulei (2.13)

[> Exemplul 2.8. Potrivit statisticilor, în medie, 87% dintre nou-născuți trăiesc până la 50 de ani.

• 1. Aflați probabilitatea ca din 1000 de nou-născuți proporția (frecvența) celor care au supraviețuit până la 50 de ani să: a) să fie în intervalul de la 0,9 la 0,95; b) va diferi de probabilitatea acestui eveniment cu cel mult 0,04 (dar în valoare absolută).
• 2. La ce număr de nou-născuți cu o fiabilitate de 0,95 se va încadra proporția celor care au supraviețuit până la 50 de ani în limitele de la 0,86 la 0,88?

Decizie. 1a) Probabilitate R că un nou-născut va trăi până la 50 de ani este 0,87. La fel de P= 1000 mare (condiție prd=1000 0,87 0,13 = 113,1 > 20 satisfăcut), atunci folosim corolarul teoremei integrale a lui Moivre - Laplace. În primul rând, definim prin formule (2.15)

Acum conform formulei (2.14)

1, b) Prin formula (2.16)

Pentru că inegalitatea este echivalent cu inegalitatea

rezultatul obținut înseamnă că este practic cert că de la 0,83 la 0,91 din numărul de nou-născuți din 1000 vor trăi până la 50 de ani. ?

2. După condiție sau

Conform formulei (2.16) la A = 0,01

Conform tabelului II aplicații F(G) = 0,95 la G = 1,96, prin urmare,

Unde

acestea. stare (*) poate fi garantată cu o creștere semnificativă a numărului de nou-născuți considerați până la P = 4345. ?

• Dovada teoremei este dată în secțiunea 6.5. Sensul probabilistic al mărimilor pr, prs( este stabilit în paragraful 4.1 (vezi nota de la p. 130).
• Sensul probabilistic al valorii pf/n este stabilit în paragraful 4.1.

presiunea direct sub suprafața convexă a lichidului este mai mare decât presiunea sub suprafața plană a lichidului, iar presiunea sub suprafața concavă a lichidului este mai mică decât presiunea sub suprafața plană.

Calculul presiunii sub suprafața sferică a unui lichid

Este un strat subțire de apă, care are două suprafețe de delimitare: interioară și externă. Razele de curbură ale acestor suprafețe pot fi considerate aceleași, deoarece grosimea filmului este de mii de ori mai mică decât raza bulei. Apa din acest strat se scurge treptat, stratul devine mai subțire și în cele din urmă se rupe. Deci bulele nu plutesc pe apă foarte mult timp: de la fracțiuni de secundă la zece secunde. Trebuie remarcat faptul că, pe măsură ce filmul de apă devine mai subțire, dimensiunea bulelor practic nu se schimbă.

Să calculăm excesul de presiune într-o astfel de bula. Pentru simplitate, luați în considerare o emisferă cu un singur strat de raza r, situată pe o suprafață orizontală, vom presupune și că în afară nu există aer. Filmul este ținut pe suprafața umbrită din cauza umezirii (Fig. 2.3). În acest caz, de-a lungul limitei de contact cu suprafața, o forță de tensiune superficială egală cu

unde este coeficientul tensiunii superficiale a lichidului,

Lungimea interfeței film-suprafață este egală cu .

Adică avem:

.

Această forță care acționează asupra peliculei și prin ea asupra aerului este îndreptată perpendicular pe suprafață (vezi Fig. 2.3). Deci presiunea aerului la suprafață și, prin urmare, în interiorul bulei poate fi calculată după cum urmează:

Unde F este forța de tensiune superficială egală cu,

S - suprafata: .

Înlocuind valoarea forței F și a ariei S în formula de calcul a presiunii, obținem:

și, în sfârșit.

În exemplul nostru cu o bula de aer la suprafața apei, filmul este dublu și, prin urmare, presiunea în exces este de .

Figura 2.4 prezintă exemple de suprafețe sferice cu un singur strat care se pot forma pe suprafața unui lichid. Deasupra lichidului este un gaz care are presiune.

Capilaritate (din latină capillaris - păr), efect capilar - un fenomen fizic constând în capacitatea lichidelor de a schimba nivelul în tuburi, canale înguste de formă arbitrară, corpuri poroase. Creșterea lichidului are loc atunci când canalele sunt umezite cu lichide, de exemplu, apă în tuburi de sticlă, nisip, sol etc. Scăderea lichidului are loc în tuburi și canale care nu sunt umezite cu lichid, de exemplu, mercur într-un tub de sticlă.

Pe baza capilarității, se bazează activitatea vitală a animalelor și plantelor, tehnologiile chimice și fenomenele cotidiene (de exemplu, ridicarea kerosenului de-a lungul fitilului într-o lampă cu kerosen, ștergerea mâinilor cu un prosop). Capilaritatea solului este determinată de viteza cu care apa crește în sol și depinde de dimensiunea golurilor dintre particulele de sol.

Formula Laplace

Luați în considerare o peliculă lichidă subțire a cărei grosime poate fi neglijată. În efortul de a minimiza energia sa liberă, filmul creează o diferență de presiune din diferite părți. Așa se explică existența bulelor de săpun: filmul este comprimat până când presiunea din interiorul bulei depășește presiunea atmosferică cu valoarea presiunii suplimentare a peliculei. Presiunea suplimentară într-un punct de pe suprafață depinde de curbura medie în acel punct și este dată de formula Laplace:

Aici R 1,2 sunt razele curburelor principale într-un punct. Au același semn dacă centrele de curbură corespunzătoare se află pe aceeași parte a planului tangent în punctul respectiv și au un semn diferit dacă se află pe partea opusă. De exemplu, pentru o sferă, centrele de curbură din orice punct de pe suprafață coincid cu centrul sferei, deci

Pentru cazul suprafeței unui cilindru circular cu raza R, avem

Se știe că suprafața lichidului de lângă pereții vasului este curbată. Suprafața liberă a unui lichid curbat lângă pereții vasului se numește menisc.(Fig. 145).

Luați în considerare o peliculă lichidă subțire a cărei grosime poate fi neglijată. În efortul de a minimiza energia sa liberă, filmul creează o diferență de presiune din diferite părți. Datorită acțiunii forțelor de tensiune superficială în picăturile de lichid și în interiorul bulelor de săpun, presiune suplimentară(filmul se comprimă până când presiunea din interiorul bulei nu depășește presiunea atmosferică cu valoarea presiunii suplimentare a peliculei).

Orez. 146.

Luați în considerare suprafața unui lichid care se sprijină pe un contur plat (Fig. 146, A). Dacă suprafața lichidului nu este plană, atunci tendința acestuia de a se contracta va duce la apariția presiunii, suplimentară față de cea experimentată de un lichid cu suprafață plană. În cazul unei suprafețe convexe, această presiune suplimentară este pozitivă (Fig. 146, b), în cazul unei suprafețe concave - negativ (Fig. 146, în). În acest din urmă caz, stratul de suprafață, căutând să se contracte, întinde lichidul.

Mărimea presiunii suplimentare, evident, ar trebui să crească odată cu creșterea coeficientului de tensiune superficială și a curburii suprafeței.

Orez. 147.

Să calculăm presiunea suplimentară pentru suprafața sferică a lichidului. Pentru a face acest lucru, să tăiem mental o picătură sferică de lichid cu un plan diametral în două emisfere (Fig. 147). Datorită tensiunii superficiale, ambele emisfere sunt atrase una de cealaltă cu o forță egală cu:

.

Această forță presează ambele emisfere una pe cealaltă de-a lungul suprafeței și, prin urmare, provoacă o presiune suplimentară:

Curbura unei suprafețe sferice este aceeași peste tot și este determinată de raza sferei. Evident, cu cât este mai mică, cu atât curbura suprafeței sferice este mai mare.

Excesul de presiune din interiorul balonului de săpun este de două ori mai mare, deoarece filmul are două suprafețe:

Presiunea suplimentară determină o modificare a nivelului lichidului în tuburile înguste (capilare), drept urmare, uneori este numită presiunea capilară.

Curbura unei suprafețe arbitrare este de obicei caracterizată de așa-numita curbură medie, care poate fi diferită pentru diferite puncte de pe suprafață.

Valoarea dă curbura sferei. În geometrie, se demonstrează că jumătatea sumei razelor de curbură reciproce pentru orice pereche de secțiuni normale reciproc perpendiculare are aceeași valoare:

. (1)

Această valoare este curbura medie a suprafeței într-un punct dat. În această formulă, razele sunt mărimi algebrice. Dacă centrul de curbură al unei secțiuni normale se află sub o suprafață dată, raza de curbură corespunzătoare este pozitivă; dacă centrul de curbură se află deasupra suprafeţei, raza de curbură este negativă (Fig. 148).

Orez. 148.

Astfel, o suprafață neplană poate avea o curbură medie egală cu zero. Pentru a face acest lucru, este necesar ca razele de curbură să fie aceleași ca mărime și opuse ca semn.

De exemplu, pentru o sferă, centrele de curbură în orice punct de pe suprafață coincid cu centrul sferei și, prin urmare, . Pentru cazul suprafeței unui cilindru circular de rază, avem: , și .

Se poate dovedi că pentru o suprafață de orice formă relația este adevărată:

Înlocuind expresia (1) în formula (2), obținem formula pentru presiune suplimentară sub o suprafață arbitrară, numită Formula Laplace(Fig. 148):

. (3)

Razele și în formula (3) sunt mărimi algebrice. Dacă centrul de curbură al unei secțiuni normale se află sub o suprafață dată, raza de curbură corespunzătoare este pozitivă; dacă centrul de curbură se află deasupra suprafeței, raza de curbură este negativă.

Exemplu. Dacă există o bulă de gaz în lichid, atunci suprafața bulei, încercând să se micșoreze, va exercita o presiune suplimentară asupra gazului. . Să găsim raza unei bule în apă la care presiunea suplimentară este 1 ATM. .Coeficientul tensiunii superficiale a apei la egal . Prin urmare, pentru următoarea valoare se obține: .

Pentru suficient de mare, formula Bernoulli oferă calcule greoaie. Prin urmare, în astfel de cazuri, se utilizează teorema locală Laplace.

Teorema(teorema Laplace locală). Dacă probabilitatea p de apariție a evenimentului A în fiecare încercare este constantă și diferită de 0 și 1, atunci probabilitatea
faptul că evenimentul A va apărea de exact de k ori în n încercări independente este aproximativ egal cu valoarea funcției:

,

.

Există tabele care conțin valorile funcției
, pentru valorile pozitive ale lui x.

Rețineți că funcția
chiar.

Deci, probabilitatea ca evenimentul A să apară exact de k ori în n încercări este aproximativ egală cu

, Unde
.

Exemplu. Pe câmpul experimental au fost semănate 1500 de semințe. Găsiți probabilitatea ca răsadurile să producă 1200 de semințe dacă probabilitatea ca o sămânță să germineze este de 0,9.

Decizie.

Teorema integrală a Laplace

Probabilitatea ca în n încercări independente evenimentul A să apară de cel puțin k1 ori și de cel mult k2 ori este calculată prin teorema integrală a lui Laplace.

Teorema(Teorema integrală Laplace). Dacă probabilitatea p de apariție a evenimentului a în fiecare încercare este constantă și diferită de 0 și 1, atunci probabilitatea ca evenimentul A în n încercări să apară de cel puțin k 1 ori și de cel mult k 2 ori este aproximativ egală cu valoarea a unei anumite integrale:

.

Funcţie
se numește funcția integrală Laplace, este impară și valoarea ei se găsește în tabelul pentru valorile pozitive ale lui x.

Exemplu.În laborator, dintr-un lot de semințe cu o rată de germinare de 90%, au fost semănate 600 de semințe, care au încolțit, nu mai puțin de 520 și nu mai mult de 570.

Decizie.

Formula Poisson

Fie efectuate n încercări independente, probabilitatea de apariție a evenimentului A în fiecare încercare este constantă și egală cu p. După cum am spus deja, probabilitatea apariției evenimentului A în n încercări independente exact de k ori poate fi găsită folosind formula Bernoulli. Pentru n suficient de mare se folosește teorema locală Laplace. Cu toate acestea, această formulă este nepotrivită atunci când probabilitatea ca un eveniment să apară în fiecare încercare este mică sau apropiată de 1. Și când p=0 sau p=1, nu este deloc aplicabilă. În astfel de cazuri, se folosește teorema Poisson.

Teorema(teorema lui Poisson). Dacă probabilitatea p de apariție a evenimentului A în fiecare încercare este constantă și apropiată de 0 sau 1, iar numărul de încercări este suficient de mare, atunci probabilitatea ca în n încercări independente evenimentul A să apară exact de k ori este găsită de: formulă:

.

Exemplu. Manuscrisul dactilografiat de 1.000 de pagini conține 1.000 de greșeli de tipar. Găsiți probabilitatea ca o pagină selectată aleatoriu să conțină cel puțin o greșeală de tipărire.

Decizie.

Întrebări pentru autotestare

Formulați definiția clasică a probabilității unui eveniment.

Formulați teoreme de adunare și înmulțire a probabilităților.

Definiți un grup complet de evenimente.

Scrieți formula pentru probabilitatea totală.

Scrieți formula Bayes.

Scrieți formula lui Bernoulli.

Scrieți formula lui Poisson.

Scrieți formula locală Laplace.

Scrieți formula integrală a lui Laplace.

Tema 13. Variabile aleatoare și caracteristicile sale numerice

Literatură: ,,,,,.

Unul dintre conceptele de bază în teoria probabilității este conceptul de variabilă aleatorie. Deci, se obișnuiește să se apeleze o variabilă care își ia valorile în funcție de caz. Există două tipuri de variabile aleatoare: discrete și continue. Variabilele aleatoare sunt de obicei notate X,Y,Z.

O variabilă aleatoare X se numește continuă (discretă) dacă poate lua doar un număr finit sau numărabil de valori. O variabilă aleatoare discretă X este definită dacă sunt date toate valorile ei posibile x 1 , x 2 , x 3 ,...x n (al căror număr poate fi finit sau infinit) și probabilitățile corespunzătoare p 1 , p 2 , p 3 ,… p n.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X este de obicei dată de tabelul:

Prima linie conține valorile posibile ale variabilei aleatoare X, iar a doua linie conține probabilitățile acestor valori. Suma probabilităților cu care variabila aleatoare X își ia toate valorile este egală cu unu, adică

p 1 + p 2 + p 3 + ... + p n \u003d 1.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X poate fi reprezentată grafic. Pentru a face acest lucru, punctele M 1 (x 1, p 1), M 2 (x 2, p 2), M 3 (x 3, p 3), ... M n (x n, p n) sunt construite într-un dreptunghi. sistem de coordonate și conectați-le direct cu segmente. Figura rezultată se numește poligonul de distribuție al variabilei aleatoare X.

Exemplu. Valoarea discretă X este dată de următoarea lege de distribuție:

Este necesar să se calculeze: a) așteptarea matematică M(X), b) varianța D(X), c) abaterea standard σ.

Decizie . a) Așteptarea matematică a lui M(X), o variabilă aleatoare discretă X este suma produselor în perechi a tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare și a probabilităților corespunzătoare ale acestor valori posibile. Dacă o variabilă aleatoare discretă X este dată folosind tabelul (1), atunci așteptarea matematică M(X) este calculată prin formula

М(Х)=х 1 ∙р 1 +х 2 ∙р 2 +х 3 ∙р 3 +…+х n ∙p n . (2)

Așteptarea matematică M(X) se mai numește și valoarea medie a variabilei aleatoare X. Aplicând (2), obținem:

М(Х)=48∙0.2+53∙0.4+57∙0.3 +61∙0.1=54.

b) Dacă M(X) este așteptarea unei variabile aleatoare X, atunci diferența X-M(X) se numește deviere variabila aleatoare X din valoarea medie. Această diferență caracterizează împrăștierea unei variabile aleatorii.

dispersie(împrăștierea) unei variabile aleatoare discrete X este așteptarea matematică (valoarea medie) a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică. Astfel, prin definiție, avem:

D(X)=M2. (3)

Calculăm toate valorile posibile ale pătratului abaterii.

2 =(48-54) 2 =36

2 =(53-54) 2 =1

2 =(57-54) 2 =9

2 =(61-54) 2 =49

Pentru a calcula varianța D(X), compunem legea de distribuție a abaterii la pătrat și apoi aplicăm formula (2).

D(X)= 36∙0,2+1∙0,4+9∙0,3 +49∙0,1=15,2.

Trebuie remarcat faptul că următoarea proprietate este adesea folosită pentru a calcula varianța: varianța D(X) este egală cu diferența dintre așteptarea matematică a pătratului variabilei aleatoare X și pătratul așteptării sale matematice, adică

D(X)-M(X2)-2. (4)

Pentru a calcula varianța folosind formula (4), compunem legea de distribuție a variabilei aleatoare X 2:

Acum să găsim așteptarea matematică M(X 2).

М(Х 2)= (48) 2 ∙0.2+(53) 2 ∙0.4+(57) 2 ∙0.3 +(61) 2 ∙0.1=

460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.

Aplicând (4), obținem:

D(X)=2931,2-(54) 2=2931,2-2916=15,2.

După cum puteți vedea, avem același rezultat.

c) Dimensiunea varianței este egală cu pătratul dimensiunii variabilei aleatoare. Prin urmare, pentru a caracteriza dispersia valorilor posibile ale unei variabile aleatorii în jurul valorii sale medii, este mai convenabil să se ia în considerare o valoare care este egală cu valoarea aritmetică a rădăcinii pătrate a varianței, adică
. Această valoare se numește abaterea standard a variabilei aleatoare X și se notează cu σ. Prin urmare

σ=
. (5)

Aplicând (5), avem: σ=
.

Exemplu. Variabila aleatoare X este distribuită conform legii normale. Aşteptări matematice М(Х)=5; varianța D(X)=0,64. Aflați probabilitatea ca, în urma testului, X să ia o valoare în intervalul (4; 7).

Decizie.Se știe că dacă o variabilă aleatoare X este dată de o funcție diferențială f(x), atunci probabilitatea ca X să ia o valoare aparținând intervalului (α,β) se calculează prin formula

. (1)

Dacă valoarea X este distribuită conform legii normale, atunci funcția diferențială

,

Unde A=M(X) și σ=
. În acest caz, obținem din (1)

. (2)

Formula (2) poate fi transformată folosind funcția Laplace.

Să facem o înlocuire. Lasa
. Apoi
sau dx=σ∙ dt.

Prin urmare
, unde t 1 și t 2 sunt limitele corespunzătoare pentru variabila t.

Reducand cu σ, avem

Din substituția de intrare
urmează că
și
.

Prin urmare,

(3)

După starea problemei, avem: a=5; σ=
=0,8; α=4; β=7. Înlocuind aceste date în (3), obținem:

=F(2,5)-F(-1,25)=

\u003d F (2,5) + F (1,25) \u003d 0,4938 + 0,3944 \u003d 0,8882.

Exemplu. Se crede că abaterea lungimii pieselor fabricate de la standard este o variabilă aleatorie distribuită conform legii normale. Lungime standard (așteptare) a = 40 cm, abaterea standard σ = 0,4 cm.Găsiți probabilitatea ca abaterea lungimii de la standard să nu fie mai mare de 0,6 cm în valoare absolută.

Decizie.Dacă X este lungimea piesei, atunci în funcție de starea problemei, această valoare ar trebui să fie în intervalul (a-δ, a + δ), unde a=40 și δ=0,6.

Punând în formula (3) α= a-δ și β= a+δ, obținem

. (4)

Înlocuind datele disponibile în (4), obținem:

Prin urmare, probabilitatea ca lungimea pieselor fabricate să fie în intervalul de la 39,4 la 40,6 cm este de 0,8664.

Exemplu. Diametrul pieselor fabricate de uzină este o variabilă aleatorie distribuită conform legii normale. Diametru standard Lungime a=2,5 cm, abaterea standard σ=0,01. În ce limite se poate garanta practic lungimea diametrului acestei piese, dacă un eveniment cu probabilitatea de 0,9973 este luat drept unul de încredere?

Decizie. După starea problemei, avem:

a=2,5; σ=0,01; .

Aplicând formula (4), obținem egalitatea:

sau
.

Conform tabelului 2, constatăm că funcția Laplace are o astfel de valoare la x=3. Prin urmare,
; de unde σ=0,03.

Astfel, se poate garanta că lungimea diametrului va varia între 2,47 și 2,53 cm.

Luați în considerare suprafața unui lichid care se sprijină pe un contur plat. Dacă suprafața lichidului nu este plană, atunci tendința acestuia de a se contracta va duce la apariția presiunii, suplimentară față de cea experimentată de un lichid cu suprafață plană. În cazul unei suprafețe convexe, această presiune suplimentară este pozitivă; în cazul unei suprafețe concave, este negativă. În acest din urmă caz, stratul de suprafață, căutând să se contracte, întinde lichidul. Lucrează ca profesor la cursul de management al înregistrărilor de resurse umane Moscova.

Mărimea presiunii suplimentare, evident, ar trebui să crească odată cu creșterea coeficientului de tensiune superficială α și a curburii suprafeței. Să calculăm presiunea suplimentară pentru suprafața sferică a lichidului. Pentru a face acest lucru, tăiem o picătură de lichid sferică printr-un plan diametral în două emisfere (Fig. 5).

Secțiune transversală a unei picături lichide sferice.

Datorită tensiunii superficiale, ambele emisfere sunt atrase una de cealaltă cu o forță egală cu:

Această forță presează ambele emisfere una pe cealaltă de-a lungul suprafeței S=πR2 și, prin urmare, provoacă o presiune suplimentară:

∆p=F/S=(2πRα)/ πR2=2α/R (4)

Curbura unei suprafețe sferice este aceeași peste tot și este determinată de raza sferei R. Evident, cu cât R este mai mic, cu atât curbura suprafeței sferice este mai mare. Curbura unei suprafețe arbitrare este de obicei caracterizată de așa-numita curbură medie, care poate fi diferită pentru diferite puncte de pe suprafață.

Curbura medie se determină prin curbura secțiunilor normale. Secțiunea normală a unei suprafețe la un anumit punct este linia de intersecție a acestei suprafețe cu un plan care trece prin normala la suprafața în punctul luat în considerare. Pentru o sferă, orice secțiune normală este un cerc cu raza R (R este raza sferei). Valoarea H=1/R dă curbura sferei. În cazul general, diferite secțiuni trasate prin același punct au curburi diferite. În geometrie, se demonstrează că jumătatea razelor de curbură reciproce

H=0,5(1/R1+1/R2) (5)

pentru orice pereche de secțiuni normale reciproc perpendiculare are aceeași valoare. Această valoare este curbura medie a suprafeței într-un punct dat.

Razele R1 și R2 din formula (5) sunt mărimi algebrice. Dacă centrul de curbură al unei secțiuni normale este sub suprafața dată, raza de curbură corespunzătoare este pozitivă, dacă centrul de curbură se află deasupra suprafeței, raza de curbură este negativă.

Pentru sfera R1=R2=R, deci conform (5) H=1/R. Înlocuind 1/R prin H în (4), obținem asta

Laplace a demonstrat că formula (6) este valabilă pentru o suprafață de orice formă, dacă prin H înțelegem curbura medie a suprafeței în acest punct, sub care se determină presiunea suplimentară. Înlocuind expresia (5) pentru curbura medie în (6), obținem formula pentru presiunea suplimentară sub o suprafață arbitrară:

∆p=α(1/R1+1/R2) (7)

Se numește formula Laplace.

Presiunea suplimentară (7) determină o modificare a nivelului lichidului din capilar, drept urmare uneori se numește presiune capilară.

Existenta unghiului de contact duce la curbura suprafetei lichide in apropierea peretilor vasului. Într-un capilar sau într-un spațiu îngust între doi pereți, întreaga suprafață este curbată. Dacă lichidul udă pereții, suprafața are formă concavă, dacă nu se udă, este convexă (Fig. 4). Astfel de suprafețe curbate lichide se numesc menisci.

Dacă capilarul este scufundat cu un capăt într-un lichid turnat într-un vas larg, atunci sub suprafața curbată a capilarului presiunea va diferi de presiunea de-a lungul suprafeței plane din vasul larg cu valoarea ∆p definită de formula (7). ). Ca urmare, atunci când capilarul este umezit, nivelul lichidului din acesta va fi mai mare decât în ​​vas, iar atunci când nu este umezit, acesta va fi mai scăzut.