Cuvântul „corespondență” în rusă este folosit destul de des, înseamnă o relație între ceva, exprimând consistență, egalitate în orice privință (dicționarul explicativ al lui Ozhegov).

În viață, se aude des: „Acest manual corespunde acestui program, dar acest manual nu corespunde (dar poate corespunde unui alt program); acest măr corespunde celei mai înalte note, iar acesta este doar primul. Spunem că acest răspuns la examen corespunde notei „excelent”, aceasta – „bine”. Spunem că acestei persoane îi corespunde (în sensul de potrivire) haine de mărimea 46. În conformitate cu instrucțiunile, ar trebui să faceți acest lucru și nu altfel. Există o corespondență între numărul de zile însorite pe an și randamentul recoltei.

Dacă încerci să analizezi aceste exemple, vei observa că în toate cazurile vorbim de două clase de obiecte, iar între obiecte dintr-o clasă, după anumite reguli, se stabilește o oarecare legătură cu obiectele din altă clasă. De exemplu, în cazul îmbrăcămintei care se potrivesc de o anumită mărime, o clasă de obiecte este oamenii, iar cealaltă clasă de obiecte sunt niște numere naturale care joacă rolul de mărimi de îmbrăcăminte. Regula prin care se stabilește o corespondență poate fi stabilită, de exemplu, folosind un algoritm natural - încercarea unui anumit costum sau determinarea „cu ochi” a adecvării acestuia.

Vom lua în considerare corespondențe pentru care sunt bine definite clasele de obiecte între care se stabilește o corespondență și regula de stabilire a unei corespondențe. Numeroase exemple de astfel de corespondențe au fost studiate la școală. În primul rând, este, desigur, funcții. Orice funcție este un exemplu de potrivire. Într-adevăr, luați în considerare, de exemplu, funcția la = X+ 3. Dacă nu se spune în mod specific despre domeniul unei funcții, atunci se consideră că fiecare valoare numerică a argumentului X corespunde unei valori numerice la, care se gaseste dupa regula: to X trebuie să adăugați 3. În acest caz, corespondența se stabilește între mulțimi R și R numere reale.

Rețineți că stabilirea legăturilor între două seturi Xși Y asociată cu luarea în considerare a perechilor de obiecte formate din elemente ale mulţimii Xși elementele corespunzătoare ale mulțimii Y.

Definiție. Conformitateîntre seturi Xși Y se numește orice submulțime nevidă a produsului cartezian X ´ Y.

O multime de X numit zona de plecare potrivire, multe Y – zona de sosire conformitate.

Corespondențele dintre mulțimi sunt de obicei notate cu majuscule ale alfabetului latin, de exemplu, R, S, T. În cazul în care un R– oarecare corespondență între mulțimi Xși Y, apoi, conform definiției corespondenței, RÍ X´ Yși R≠ Æ. Odată ce corespondența dintre seturi Xși Y este orice subgrup al produsului cartezian X ´ Y, adică este un set de perechi ordonate, atunci modurile de specificare a corespondențelor sunt în esență aceleași cu modurile de specificare a mulțimilor. Deci corespondența Rîntre seturi Xși Y poti seta:

a) enumerarea tuturor perechilor de elemente ( X y) Î R;

b) o indicație a proprietății caracteristice că toate perechile ( X y) seturi Rși nicio pereche care nu este un element nu o posedă.

EXEMPLE.

1) Conformitate Rîntre seturi X= (20, 25) și Y= (4, 5, 6) este dat prin specificarea proprietății caracteristice: " X multiplu la»,
X Î X, la Î Y. Apoi setul R = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.

2) Conformitate Rîntre seturi X= (2, 4, 6, 8) și

Y= (1, 3, 5) este dat de mulțimea de perechi R = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.

În cazul în care un R– corespondenţa între două mulţimi numerice Xși Y, apoi, după ce am descris toate perechile de numere care sunt în conformitate R pe planul de coordonate, obținem o figură numită graficul corespondenței R. Dimpotrivă, orice submulțime de puncte ale planului de coordonate este considerat a fi un grafic al unei anumite corespondențe între mulțimi numerice Xși Y.

Graficul corespondenței

Pentru o reprezentare vizuală a corespondențelor dintre mulțimi finite, se folosesc grafice în plus față de grafic. (Din cuvântul grecesc „grapho” – scriu, compar: orar, telegraf).

Pentru a construi un grafic de corespondență între mulțimi Xși Y elementele fiecăruia dintre seturi sunt reprezentate ca puncte pe plan, după care sunt trase săgeți X Î X la la Î Y, dacă perechea ( X y) aparține acestei corespondențe. Se dovedește un desen format din puncte și săgeți.

EXEMPLU Conformitate Rîntre seturi X= (2, 3, 4, 5) și Y= (4, 9) este dat de enumerarea perechilor R = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.

În mod similar, putem scrie 4 R 4, 3R 9. Și în general, dacă un cuplu
(X y) Î R, atunci spunem că elementul X Î X element de potrivire la Î Yși notează xRy. Elementul 2 О X se numește preimaginea elementului
4 O Yîn concordanță Rși notat cu 4 R-1 2. În mod similar, puteți scrie 4 R -1 4, 9R -1 3.

Conceptul de conformitate. Metode de precizare a corespondențelor

Inițial, algebra a fost numită doctrina rezolvării ecuațiilor. De-a lungul multor secole de dezvoltare, algebra a devenit o știință care studiază operațiile și relațiile pe diferite mulțimi. Prin urmare, nu este o coincidență că deja în școala elementară, copiii se familiarizează cu concepte algebrice precum expresia (numerică și cu variabile), egalitatea numerică, inegalitatea numerică, ecuația. Ei studiază diverse proprietăți ale operațiilor aritmetice asupra numerelor care vă permit să efectuați calcule rațional. Și, bineînțeles, la cursul inițial de matematică, ei se familiarizează cu diverse dependențe, relații, dar pentru a le folosi pentru a dezvolta activitatea mentală a copiilor, profesorul trebuie să stăpânească câteva concepte generale ale algebrei moderne - conceptul de corespondență , relație, operație algebrică etc. În plus, prin stăpânirea limbajului matematic folosit în algebră, profesorul va putea înțelege mai bine esența modelării matematice a fenomenelor și proceselor reale.

Studiind lumea din jurul nostru, matematica ia în considerare nu numai obiectele sale, ci mai ales conexiunile dintre ele. Aceste conexiuni se numesc dependențe, corespondențe, relații, funcții. De exemplu, atunci când se calculează lungimile obiectelor, se stabilesc corespondențe între obiecte și numere, care sunt valorile lungimii acestora; la rezolvarea problemelor de miscare se stabileste o relatie intre distanta parcursa si timp, daca viteza de miscare este constanta.

Dependențe specifice, corespondențe, relații dintre obiecte în matematică au fost studiate încă de la începuturile acesteia. Dar întrebarea ce au în comun cele mai diverse corespondențe, care este esența oricărei corespondențe, a fost ridicată la sfârșitul secolului al XIX-lea - începutul secolului al XX-lea, iar răspunsul la aceasta a fost găsit în cadrul teoriei mulțimilor.

În cursul inițial de matematică sunt studiate diverse relații între elementele uneia, două sau mai multor mulțimi. Prin urmare, profesorul trebuie să înțeleagă esența acestora, ceea ce îl va ajuta să asigure unitatea în metodologia de studiu a acestor relații.

Să luăm în considerare trei exemple de corespondențe studiate în cursul inițial de matematică.

În primul caz, stabilim o corespondență între expresiile date și valorile lor numerice. În al doilea, aflăm ce număr corespunde fiecăreia dintre aceste cifre, caracterizându-i zona. În al treilea, căutăm un număr care este o soluție a ecuației.

Ce au în comun aceste corespondențe?

Vedem că în toate cazurile avem două seturi: în primul, acesta este un set de trei expresii numerice și un set de N numere naturale (valorile acestor expresii îi aparțin), în al doilea, acesta este un set de trei forme geometrice și un set de N numere naturale; în al treilea, este o mulțime de trei ecuații și o mulțime de N numere naturale.

Efectuând sarcinile propuse, stabilim o relație (corespondență) între elementele acestor mulțimi. Poate fi vizualizat folosind grafice (Fig. 1).

Puteți specifica aceste potriviri listând toate perechile de elemente care se află într-o anumită potrivire:

I. ((la 1, 4), (la 3, 20));

II. ((F1, 4), (F2, 10), (F3, 10));

III. ((y 1, 4), (y 2, 11), (y 3, 4)).

Mulțimile rezultate arată că orice corespondență între două mulțimi X și Y poate fi considerată ca set de perechi ordonate formate din elementele lor. Și întrucât perechile ordonate sunt elemente ale unui produs cartezian, ajungem la următoarea definiție a conceptului general de corespondență.

Definiție. O corespondență între elementele unei mulțimi X și Y este orice submulțime a produsului cartezian al acestor mulțimi.

Corespondențele sunt de obicei notate cu literele P, S, T, R etc. Dacă S este o corespondență între elementele mulțimilor X și Y, atunci, conform definiției, S X x Y.

Să aflăm acum cum sunt specificate corespondențele dintre două mulțimi. Deoarece corespondența este o submulțime, ea poate fi specificată ca orice set, adică fie prin enumerarea tuturor perechilor de elemente care se află într-o corespondență dată, fie prin specificarea unei proprietăți caracteristice a elementelor acestei submulțimi. Deci, corespondența dintre mulțimile X = (1, 2, 4, 6) și Y = (3, 5) poate fi specificată:

1) folosind o propoziție cu două variabile: a< b при условии, что а X, b Y;

2) enumerarea perechilor de numere aparținând unei submulțimi a produsului cartezian XxY: ((1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)). Această metodă de atribuire include, de asemenea, atribuirea corespondenței folosind un grafic (Fig. 2) și un grafic (Fig. 3)

Orez. 2 Fig. 3

Adesea, atunci când studiem corespondențele dintre elementele mulțimilor X și Y, trebuie să luăm în considerare corespondența, care este opusul acesteia. Să, de exemplu,

S - corespondența „mai mult cu 2” între elementele mulțimilor

X \u003d (4,5,8, 10) și Y \u003d (2,3,6). Atunci S=((4, 2), (5,3), (8, 6)) și graficul său va fi același ca în Figura 4a.

Inversul acestuia este potrivirea mai mică de 2. Se consideră între elementele mulţimilor Y şi X, iar pentru a o vizualiza este suficientă inversarea direcţiei săgeţilor de pe graficul relaţiei S (Fig. 4b). Dacă corespondența „mai mică decât 2” este notată cu S -1, atunci S -1 = ((2.4), (3.5), (6.8)).

Să fim de acord să scriem propoziția „elementul x este în concordanță cu elementul y” după cum urmează: xSy. Înregistrarea xSy poate fi considerată ca o generalizare a înregistrărilor corespondențelor specifice: x = 2y; x > 3y + 1 etc.

Să folosim notația introdusă pentru a defini noțiunea de corespondență inversă celei date.

Definiție. Fie S o corespondență între elementele mulțimilor X și Y. O corespondență S -1 între elementele mulțimilor Y și X se numește inversă dată dacă yS -x dacă și numai dacă xSy .

Corespondențele S și S -1 se numesc reciproc inverse. Să aflăm caracteristicile graficelor lor.

Să reprezentăm grafic corespondența S = ((4, 2), (5, 3), (8, 6)) (Fig. 5a). Când construim un grafic de corespondență S -1 = ((2, 4), (3, 5), (6, 8)) trebuie să alegem prima componentă din mulțimea Y ​​= (2, 3, 6), iar a doua - din mulțimea X = (4, 5, 8, 10). Ca rezultat, diagrama de potrivire S-1 se va potrivi cu diagrama de potrivire S. Pentru a distinge între diagramele de potrivire S și S-1,

a fost de acord să considere prima componentă a perechii de corespondență S-1 ca abscisă, iar a doua ca ordonată. De exemplu, dacă (5, 3) S, atunci (3, 5) S -1 . Punctele cu coordonatele (5, 3) și (3, 5), iar în cazul general (x, y) și (y, x) sunt simetrice față de bisectoarea primului și al treilea unghi de coordonate. Prin urmare, graficele corespondențelor reciproc inverse S și S -1 sunt simetrice față de bisectoarea unghiurilor de coordonate 1 și 3.

Pentru a construi un grafic de corespondență S -1, este suficient să desenați puncte pe planul de coordonate care sunt simetrice cu punctele graficului S față de bisectoarea primului și al treilea unghi de coordonate.

Opțiunea 1

№

O corespondență între mulțimile X și Y este orice _________________________________ ________________________________________________________________ Х x Y .

№2. În figuri, corespondențele dintre mulțimi sunt date folosind grafice. Specificați un grafic de potrivire în care domeniul de aplicare al definiției potrivirii nu se potrivește cu setul de trimitere al potrivirii.

№

1
) grafic, 2) grafic, 3) enumerarea perechilor, 4) proprietate caracteristică

A
) b) A< b

№4. Care figură arată graficele de corespondență inversă?

A
) b) c) d)

№5. Între mulțimile M = (A, B, C, D, D) și N = (1, 2, 3, 4, 5) există o corespondență Q: „element m merge în alfabetul rus sub număr n ". Vă rugăm să indicați afirmațiile corecte:

seturi M și N sunt echivalente.

Sfera de aplicare a corespondenței Q coincide cu setul său de valori.

№6. (Sarcina practică). Între seturile A \u003d (1, 2, 3, 4, 5) și B \u003d (2, 4, 6, 8,10) există o corespondență T: " A mai mici b pe 2"

Enumerați perechile de T

Precizați corespondența T -1 , inversă celei date, enumerați perechile acesteia

Grafice T și T -1 Grafice de corespondență în același sistem de coordonate

Test pe tema „Corespondențele între seturi”

Opțiunea 2

№1. Introduceți cuvintele care lipsesc în propoziție:

Corespondența dintre mulțimile X și Y este mulțimea lui ______________________________, a cărei prima componentă este _____________________ cu mulțimea X, iar a doua este ___________________.

№2. În figuri, corespondențele dintre mulțimi sunt date folosind grafice. Specificați un grafic de potrivire în care setul de valori de potrivire este același cu setul de sosire a potrivirii.

№3. Potriviți numele metodei de potrivire cu imaginea acesteia.

1
), enumerarea perechilor 2) proprietate caracteristică, 3) graf, 4) graf

a) b) A< b c) Р = ((2;3), (5;6), (4;5)) d)

№4. Care figură arată un grafic de corespondență unu-la-unu?

A
) b) c) d)

№5. Între mulțimile A = ( 1, 2, 3, 4, ) și B = ( 2, 4, 6, 8, 9) există o corespondență Q : " A mai mici b de 3 ori." Vă rugăm să indicați afirmațiile corecte:

Corespondența este unu-la-unu.

Conformitate" b Mai mult A de 3 ori" este inversul acesteia.

Sfera lui Q nu coincide cu setul său de origine.

№6. (Sarcina practică). Între mulțimile M = (1, 2, 3, 4, 5) și N = (1, 2, 4, 6, 8, 10) există o corespondență T: m 2 = n

Enumerați perechile de T.

Enumerați perechile de corespondență T -1, invers celei date, construiți graficul acesteia.

Trasează corespondențele T și T -1 în același sistem de coordonate.

Test pe tema „Corespondențele între seturi”

Tabel de răspunsuri.

1 opțiune.

Opțiunea 2.

Subset; Produsul cartezian al multimilor

Perechi ordonate; aparține; setați Y

1d, 2a, 3c, 4b

1c, 2b, 3d, 4a

a, b

b,c

Criteriu de evaluare:

№1 - 2 puncte

№2 - 1 punct

№3 - 1 punct

№4 - 1 punct

№5 - 3 puncte

№6 - 4 puncte

Total 12 puncte.

Marcaje:

12-11 puncte - 5

10 - 9 puncte - 4

8 - 6 puncte - 3

Mai puțin de 6 puncte - 2

Opțiunea 1

№1. Introduceți cuvintele care lipsesc în propoziție:

O relație pe o mulțime X este orice _________________________________ _________________________________________________________________ X x X.

№2. Pe mulțimea A = (1, 2, 3, 4, 5, 6) sunt date diferite relații:

Specificați coloanele:

№

relație de echivalență.

relație de ordine

relaţia de paralelism pe mulţimea dreptelor planului

№

A
) b) c) d)

№5. Comparați relațiile date pe setul de case și proprietățile acestora:

„au același număr de etaje”

"sa am mai multe apartamente"

„fi construit cu 2 ani mai devreme”

reflexivitate

Simetrie

Antisimetrie

Tranzitivitatea

№X nu mai vechi la” definit pe platoul copiilor. Este această relație o relație de ordine?

Olga 7 ani

Nikolay 8 ani

Valentin 9 ani

Anatoly 8 ani

Svetlana 7 ani

Petru 7 ani

Test pe tema „Relații între seturi”

Opțiunea 2

№1. Introduceți cuvintele care lipsesc în propoziție:

O relație pe o mulțime X este o mulțime de ______________________________, ambele componente ale cărora sunt _____________________ la mulțimea X.

№2. Pe mulțime ( 2, 3, 5, 7, 9) sunt date diferite relații:

Specificați coloanele:

№
3. Conform graficului, determinați care dintre relații sunt:

relație de ordine

relația „mai mică sau egală cu” pe mulțimea N

№4. Care figură arată graficul relației dintre mulțimi?

A
) b) c) d)

№5. Comparați relațiile definite pe mulțimea elevilor clasei și proprietățile acestora:

"locuind pe aceeasi strada"

"sa fi cu 1 an mai mare"

"locuieste mai aproape de scoala"

reflexivitate

Simetrie

Antisimetrie

Tranzitivitatea

№6. (Sarcina practică). Trasează graficul relației " X are acelasi gen ca la” definit pe platoul copiilor. Este această relație o relație de echivalență?

Olga

Nicolae

Valentine

Anatoly

Svetlana

Petru

Test pe tema „Relații între seturi”

Tabel de răspunsuri.

1 opțiune.

Opțiunea 2.

Subset; Produsul cartezian al unei mulțimi (pătratul cartezian)

Perechi ordonate; aparține; set X

1a, 2a, 3a,b, 4b, 5a, 6b, 7b

1b, c, 2c, 3b, 4c, 5b, 6c, 7c

1a, 2b, 3a, d

1a, c, 2c

a – 1, 2, 4; b - 3, 4; în 3

a – 1, 2, 4; b – 3, c – 3, 4

Criteriu de evaluare:

№1 - 2 puncte

№2 - 7 puncte

№3 - 3 puncte

№4 - 1 punct

№5 - 3 puncte

№6 - 2 puncte

Total 18 puncte.

Marcaje:

18-17 puncte - 5

16 - 13 puncte - 4

12 - 9 puncte - 3

Mai puțin de 9 puncte - 2

1. Rangul matricei

3
5
2
4

2. Adunarea algebrică a unui element

A 23 = 12
A 23 \u003d -34
A 23 = 34
A 23 \u003d -12

3. Produsul matricelor

- dreapta

4. Dacă toate elementele unui rând dintr-o matrice dreptunghiulară A de dimensiunea n x m sunt înmulțite cu două, atunci rangul matricei A ...
va crește cu 2
Nu se va schimba
se va dubla

5. Raportul corect

- dreapta

6. Valoarea determinantului

2
4
5
3

7. Dispunerea reciprocă a dreptelor 4x - 2y - 6 = 0 și 8x - 4y - 2 = 0 pe plan - linii ...
sunt paralele
se intersectează
perpendicular
Meci

8. Fie x și y soluția sistemului

4
7
5
6

9. Dintre ecuațiile de mai jos, indicați ecuația elipsei

10. Fie linia dreaptă dată de ecuația normală x sinα + y sinα - p = 0. Afirmația corectă
Dacă OA este o perpendiculară restabilită de la origine la o linie dreaptă, atunci α este unghiul format de perpendiculara OA cu axa Ox
Dacă OA este o perpendiculară restaurată de la origine la o linie dreaptă, atunci α este lungimea acestei perpendiculare
p este valoarea segmentului tăiat de o linie dreaptă pe axa x
α este unghiul de înclinare al dreptei față de direcția pozitivă a axei Ox

11. Dat un sistem liniar

sistemul are un număr infinit de soluții
sistemul nu are solutii
sistemul are o soluție unică
nimic nu se poate spune despre prezența soluțiilor (sistemul poate avea sau nu soluții)

5x - 3y - 7 = 0
3x + y - 7 = 0
4x - 2y - 6 = 0
6x - y - 11 = 0

13. Aflați produsul scalar al vectorilor