Transformarea cosinusului direct și invers. Transformată Fourier Integrală Fourier Forma complexă a integralei Transformată Fourier Transformări cosinus și sinusuri Spectre de amplitudine și fază Proprietăți de aplicare

I. Transformate Fourier.

Definiția 1. Funcţie

numit transformata Fourier funcții .

Integrala aici este înțeleasă în sensul valorii principale

și se crede că există.

Dacă este o funcție absolut integrabilă pe ℝ, atunci, deoarece pentru , transformata Fourier (1) are sens pentru orice astfel de funcție, iar integrala (1) converge absolut și uniform față de întreaga linie ℝ.

Definiția 2. În cazul în care un este transformata Fourier a funcției
, apoi integrala asociată

Înțeles în sensul sensului principal, se numește Integrala de Fourier a funcției .

Exemplul 1 Găsiți transformata Fourier a unei funcții

Funcția dată este absolut integrabilă pe , într-adevăr,

Definiția 3.Înțeles în sensul valorii principale a integralelor

Numit corespunzător cosinus-și funcții de transformare Fourier sinus .

Presupunând , , , obținem, parțial, relația deja familiară nouă din seria Fourier

După cum se poate vedea din relațiile (3), (4),

Formulele (5), (6) arată că transformările Fourier sunt complet definite pe întreaga linie dacă sunt cunoscute numai pentru valorile nenegative ale argumentului.

Exemplul 2 Aflați transformata Fourier cosinus - și sinus - a unei funcții

După cum se arată în exemplul 1, funcția dată este absolut integrabilă pe .

Să-i găsim cosinusul - transformata Fourier după formula (3):

În mod similar, nu este dificil să găsiți transformata sinus - Fourier a funcției f(X) prin formula (4):

Folosind exemplele 1 și 2, este ușor de verificat prin înlocuirea directă că pentru f(X) relația (5) este satisfăcută.

Dacă funcția este cu valoare reală, atunci formulele (5), (6) în acest caz implică

Deoarece în acest caz și sunt funcții reale pe R, ceea ce este evident din definițiile lor (3), (4). Cu toate acestea, egalitatea (7) sub condiția se obţine şi direct din definiţia (1) a transformării Fourier, dacă ţinem cont că semnul de conjugare poate fi plasat sub semnul integral. Ultima observație ne permite să concluzionăm că orice funcție satisface egalitatea

De asemenea, este util să rețineți că dacă este o funcție reală și uniformă, adică, , apoi

if este o funcție reală și impară, adică , apoi

Și dacă este o funcție pur imaginară, i.e. . , apoi

Rețineți că dacă este o funcție cu valoare reală, atunci integrala Fourier poate fi scrisă și sub forma

Unde

Exemplul 3
(presupunând )

întrucât cunoaştem valoarea integralei Dirichlet

Funcția considerată în exemplu nu este absolut integrabilă și transformata sa Fourier are discontinuități. Faptul că transformata Fourier a funcțiilor absolut integrabile nu are discontinuități este arătat de următoarele

Lema 1. Dacă funcţia integrabil local și integrabil absolut pe , apoi

A) transformata sa Fourier definit pentru orice valoare

Amintiți-vă că dacă este o funcție reală sau cu valori complexe definită pe o mulțime deschisă, apoi functia numit integrabil local pe, dacă este cazul punct are o vecinătate în care funcția este integrabilă. În special, dacă , condiția de integrabilitate locală a funcției este evident echivalentă cu faptul că pentru orice segment.

Exemplul 4 Găsiți transformata Fourier a funcției :

Diferențiând ultima integrală față de parametru și apoi integrând pe părți, constatăm că

Mijloace, , unde este o constantă, pe care, folosind integrala Euler-Poisson, o găsim din relație

Deci, am constatat că , și, în același timp, am arătat că , și .

Definiția 4. Ei spun că funcția , definită într-o vecinătate perforată a punctului , satisface condiţiile Dini la punctul dacă

a) ambele limite unilaterale există în punct

b) ambele integrale

absolut de acord.

Convergența absolută a integralei înseamnă convergența absolută a integralei cel puțin pentru o anumită valoare a .

Condiții suficiente pentru reprezentabilitatea unei funcții printr-o integrală Fourier.

Teorema 1.Dacă este absolut integrabil pe și local funcție continuă pe bucăți satisface la punct Condițiile Dini, apoi integrala lui Fourier converge în acest punct și către valoare

egal cu jumătate din suma limitelor din stânga și din dreapta ale valorilor funcției în acest moment.

Consecința 1.Dacă funcţia continuă, are în fiecare punct derivate unilaterale finite și absolut integrabile pe , apoi apare ca cu integrala lui Fourier

Unde Transformată Fourier a unei funcții .

Reprezentarea unei funcții prin integrala Fourier poate fi rescrisă astfel:

Cometariu. Condițiile asupra funcției formulate în Teorema 1 și Corolarul 1 sunt suficiente, dar nu necesare pentru posibilitatea unei astfel de reprezentări.

Exemplul 5 Reprezentați funcția ca o integrală Fourier dacă

Această funcție este impară și continuă pe ℝ, cu excepția punctelor , , .

Datorită ciudățeniei și realității funcției, avem:

iar din egalităţile (5) şi (10) rezultă că

În punctele de continuitate ale funcției avem:

Dar funcția este ciudată, deci

întrucât integrala se calculează în sensul valorii principale.

Funcția este uniformă, deci

dacă , . Pentru , egalitatea

Presupunând că de aici găsim

Dacă punem ultima expresie pentru , atunci

Presupunând aici, găsim

Dacă o funcție cu valoare reală este continuă pe bucăți pe orice segment al dreptei reale, absolut integrabilă și are derivate unilaterale finite în fiecare punct, atunci în punctele de continuitate ale funcției este reprezentată ca integrală Fourier

iar la punctele de discontinuitate ale funcției, partea stângă a egalității (1) trebuie înlocuită cu

Dacă o funcție continuă absolut integrabilă în fiecare punct are derivate unilaterale finite în fiecare punct, atunci în cazul în care această funcție este pară, egalitatea

iar în cazul în care este o funcție impară, egalitatea

Exemplul 5'. Reprezentați funcția ca o integrală Fourier dacă:

Deoarece este o funcție par continuă, atunci, folosind formulele (13.2), (13.2’), avem

Notăm prin simbol integrala înțeleasă în sensul valorii principale

Consecința 2.Pentru orice functie îndeplinind condițiile Corolarului 1, există toate transformările , , , și există egalități

Având în vedere aceste relații, transformarea (14) este adesea numită transformata Fourier inversași în schimb scrieți , iar egalitățile (15) în sine sunt numite Formula de inversare a transformatei Fourier.

Exemplul 6 Lasă și

Rețineți că dacă , apoi pentru orice funcție

Să luăm o funcție acum. Apoi

Dacă luăm o funcție care este o continuare impară a funcției , pe toată axa numerică, atunci

Folosind teorema 1, obținem asta

Toate integralele aici sunt înțelese în sensul valorii principale,

Separând părțile reale și imaginare din ultimele două integrale, găsim integralele Laplace

Definiție . Funcţie

va fi numită transformată Fourier normalizată.

Definiție . Dacă este transformata Fourier normalizată a funcției, atunci integrala asociată

Vom numi integrala Fourier normalizată a funcției.

Vom lua în considerare transformata Fourier normalizată (16).

Pentru comoditate, introducem următoarea notație:

(acestea. ).

În comparație cu notația anterioară, aceasta este doar o renormalizare: Prin urmare, în special, relațiile (15) ne permit să concluzionam că

sau, într-o notație mai scurtă,

Definiția 5. Operatorul va fi numit transformată Fourier normalizată, iar operatorul va fi numit transformată Fourier normalizată inversă.

În lema 1, sa observat că transformata Fourier a oricărei funcții absolut integrabile pe o funcție tinde spre zero la infinit. Următoarele două afirmații afirmă că, la fel ca și coeficienții Fourier, transformata Fourier tinde să se zero cu cât mai repede, cu atât funcția de la care este luată este mai netedă (în prima afirmație); un fapt reciproc cu acesta va fi că, cu cât funcția de la care este luată transformata Fourier tinde mai repede la zero, cu atât transformarea sa Fourier este mai netedă (a doua afirmație).

Afirmația 1(despre legătura dintre netezimea unei funcții și rata de scădere a transformării sale Fourier). În cazul în care un și toate caracteristicile absolut integrabil pe , apoi:

A) pentru orice

Afirmația 2(despre relația dintre rata de dezintegrare a unei funcții și netezimea transformării sale Fourier). Dacă o funcție integrabilă local : este de așa natură încât funcția absolut integrabil A , apoi:

A) Transformată Fourier a unei funcții aparține clasei

b) exista o inegalitate

Prezentăm principalele proprietăți hardware ale transformării Fourier.

Lema 2. Să existe o transformată Fourier pentru funcțiile și (respectiv, transformata Fourier inversă), apoi, indiferent de numere și , există o transformată Fourier (respectiv, transformata Fourier inversă) și pentru funcție , și

(respectiv).

Această proprietate se numește liniaritatea transformării Fourier (respectiv, transformarea Fourier inversă).

Consecinţă. .

Lema 3. Transformarea Fourier, precum și transformarea inversă, este o transformare unu-la-unu pe mulțimea de funcții continue absolut integrabile pe întreaga axă, având derivate unilaterale în fiecare punct.

Aceasta înseamnă că dacă și sunt două funcții de tipul specificat și dacă (respectiv, dacă ), apoi pe toată axa.

Din afirmația Lemei 1, putem obține următoarea lemă.

Lema 4. Dacă succesiunea funcţiilor absolut integrabile şi o funcţie absolut integrabilă sunt astfel încât

apoi succesiunea uniform pe toata axa converge catre functia .

Să studiem acum transformata Fourier a convoluțiilor a două funcții. Pentru comoditate, modificăm definiția convoluției prin adăugarea unui factor suplimentar

Teorema 2. Fie funcțiile și să fie mărginite, continue și absolut integrabile pe axa reală, atunci

acestea. transformata Fourier a convoluției a două funcții este egală cu produsul transformatelor Fourier ale acestor funcții.

Să alcătuim un tabel rezumativ nr. 1 al proprietăților transformării Fourier normalizate, util în rezolvarea problemelor de mai jos.

Tabelul 1

Funcţie	Transformată Fourier normalizată

Folosind proprietățile 1-4 și 6, obținem

Exemplul 7 Găsiți transformata Fourier normalizată a unei funcții

Exemplul 4 a arătat că

de parca

Conform proprietății 3, avem:

În mod similar, puteți compila tabelul nr. 2 pentru transformarea Fourier inversă normalizată:

Tabelul numărul 2

Funcţie	Transformată Fourier inversă normalizată

Ca și înainte, folosind proprietățile 1-4 și 6, obținem asta

Exemplul 8 Aflați transformata Fourier inversă normalizată a unei funcții

După cum urmează din exemplul 6

Când avem:

Reprezentarea funcției în formă

utilizați proprietatea 6 când

Opțiuni pentru sarcini pentru decontare și lucrări grafice

1. Aflați transformata sinus - Fourier a unei funcții

2. Aflați sinusul - transformata Fourier a unei funcții

3. Găsiți cosinus - transformata Fourier a unei funcții

4. Găsiți cosinus - transformata Fourier a unei funcții

5. Aflați sinusul - transformata Fourier a unei funcții

6.Găsiți cosinus - transformata Fourier a unei funcții

7. Aflați sinusul - transformata Fourier a funcției

8. Găsiți cosinus - transformata Fourier a unei funcții

9. Găsiți cosinus - transformata Fourier a unei funcții

10. Aflați transformata sinus - Fourier a unei funcții

11. Aflați transformata sinus - Fourier a unei funcții

12. Găsiți transformarea sinus - funcție

13. Găsiți transformarea sinus - funcție

14. Găsiți transformarea cosinus - funcție

15. Găsiți transformarea cosinus - funcție

16. Aflați transformata Fourier a unei funcții dacă:

17. Aflați transformata Fourier a unei funcții dacă:

18. Aflați transformata Fourier a unei funcții dacă:

19. Aflați transformata Fourier a unei funcții dacă:

20. Aflați transformata Fourier a unei funcții dacă:

21. Aflați transformata Fourier a unei funcții dacă:

22. Aflați transformata Fourier inversă normalizată a unei funcții

folosind formula

24. Aflați transformata Fourier inversă normalizată a unei funcții

folosind formula

26. Aflați transformata Fourier inversă normalizată a unei funcții

folosind formula

28. Aflați transformata Fourier inversă normalizată a unei funcții

folosind formula

30. Aflați transformata Fourier inversă normalizată a unei funcții

folosind formula

23. Aflați transformata Fourier inversă normalizată a unei funcții

folosind formula

25. Aflați transformata Fourier inversă normalizată a unei funcții

folosind formula

27. Aflați transformata Fourier inversă normalizată a unei funcții

folosind formula

29. Aflați transformata Fourier inversă normalizată a unei funcții

folosind formula

31. Aflați transformata Fourier inversă normalizată a unei funcții

folosind formula

32. Reprezentați o funcție ca o integrală Fourier

33. Reprezentați o funcție ca o integrală Fourier

34. Reprezentați o funcție ca o integrală Fourier

35. Reprezentați o funcție ca o integrală Fourier

36. Reprezentați o funcție ca o integrală Fourier

37. Reprezentați o funcție ca o integrală Fourier

38. Reprezentați o funcție ca o integrală Fourier

39. Reprezentați o funcție ca o integrală Fourier

40. Reprezentați o funcție ca o integrală Fourier

41. Reprezentați o funcție ca o integrală Fourier

42. Reprezentați o funcție ca o integrală Fourier

43. Reprezentați funcția ca o integrală Fourier, extinzând-o într-un mod ciudat la interval dacă:

44. Reprezentați funcția ca o integrală Fourier, continuând-o într-un mod ciudat până la intervalul if.

Unul dintre instrumentele puternice pentru studiul problemelor de fizică matematică este metoda transformărilor integrale. Fie definită funcția f(x) pe intervalul (a, 6), finit sau infinit. Transformarea integrală a funcției f(x) este funcția în care K(x, w) este o funcție fixă pentru o transformare dată, numită nucleu de transformare (se presupune că integrala (*) există în sensul său propriu sau impropriu ). §unu. Integrală Fourier Orice funcție f(x), care pe segmentul [-f, I] satisface condițiile de expansiune într-o serie Fourier, poate fi reprezentată pe acest segment printr-o serie trigonometrică Coeficienții a*, și 6n ai seriei (1 ) sunt determinate de formula Euler-Fourier: Transformată Fourier Integrală Fourier Forma integrală complexă Transformată Fourier Transformate cosinus și sinus Spectre de amplitudine și fază Proprietăți de aplicare Seria din partea dreaptă a ecuației (1) poate fi scrisă într-o formă diferită. În acest scop, introducem în el din formulele (2) valorile coeficienților a» și op, scădem sub semnele integralelor cos ^ x și sin x (ceea ce este posibil, deoarece variabila de integrare este m) O) și folosiți formula pentru cosinusul diferenței. Vom avea Dacă funcția /(x) a fost definită inițial pe intervalul axei numerice mai mare decât intervalul [-1,1] (de exemplu, pe întreaga axă), atunci extinderea (3) va reproduce valorile a acestei funcții numai pe intervalul [-1, 1] și continuă pe toată axa reală ca funcție periodică cu o perioadă de 21 (Fig. 1). Prin urmare, dacă funcția f(x) (în general vorbind, neperiodic) este definită pe întreaga axă reală, în formula (3) se poate încerca să treacă la limită ca I + oo. În acest caz, este firesc să fie îndeplinite următoarele condiții: 1. f(x) satisface condițiile de expansiune într-o serie Fourier pe orice segment finit al axei Ox\ 2. funcția f(x) este absolut integrabil pe toată axa reală.Dacă condiția 2 este îndeplinită, primul termen din partea dreaptă a egalității (3) tinde spre zero ca I -* + oo. Într-adevăr, să încercăm să stabilim la ce va merge suma din partea dreaptă a lui (3) în limită ca I + oo. Să presupunem că Atunci suma din partea dreaptă a lui (3) va lua forma Datorită convergenței absolute a integralei, această sumă pentru I mare diferă puțin de o expresie care seamănă cu suma integrală pentru funcția lui variabila £ compilată pentru intervalul (0, + oo) de modificare. Prin urmare, este firesc să ne așteptăm ca pentru , suma (5) să treacă la integrala С Pe de altă parte, pentru fix) rezultă din formula (3). ) că obținem și egalitatea Condiția suficientă pentru validitatea formulei (7) se exprimă prin următoarea teoremă. Teorema 1. Dacă funcția f(x) este absolut integrabilă pe toată axa reală și, împreună cu derivata ei, are un număr finit de puncte de discontinuitate de primul fel pe orice segment [a, 6], atunci de felul al treilea a funcției /(x), valoarea integralei din partea dreaptă a lui (7) este egală cu formula (7) se numește formula integrală Fourier, iar integrala din partea dreaptă se numește integrală Fourier. Dacă folosim formula pentru ziua cosinusului diferenței, atunci formula (7) poate fi scrisă ca Funcțiile a(t), b(t) sunt analoge ai coeficienților Fourier corespunzători an și bn ai unui 2n-periodic. funcția, dar acestea din urmă sunt definite pentru valorile discrete ale lui n, în timp ce a(0 > HO sunt definite pentru valorile continue ale lui G(-oo, +oo). Forma complexă a integralei Fourier, evident o funcție impară de Dar apoi Pe de altă parte, integrala este o funcție pară a variabilei astfel încât. Prin urmare, formula integrală Fourier poate fi scrisă după cum urmează: Să înmulțim egalitatea cu unitatea imaginară i și să adăugăm la egalitatea (10). Aceasta este forma complexă a integralei Fourier. Aici, integrarea exterioară peste t este înțeleasă în sensul valorii principale Cauchy: § 2. Transformată Fourier Transformate Fourier cosinus și sinus Fie funcția f(x) este netedă pe bucăți pe orice segment finit al axei x și absolut integrabil pe toată axa. Definiție. Funcția de care, în virtutea formulei Euler, vom avea se numește transformată Fourier a funcției f(r) (funcția spectrală). Aceasta este transformarea integrală a funcției / (r) pe intervalul (-oo, + oo) cu un nucleu Folosind formula integrală Fourier, obținem Aceasta este așa-numita transformată Fourier inversă, care dă tranziția de la F (t) la / (x). Uneori transformata Fourier directă este dată astfel: Atunci transformarea Fourier inversă este determinată de formula Transformarea Fourier a funcției f(x) este definită și astfel: TRANSFORMA FOURIER Integrala Fourier Forma complexă a integralei transformate Fourier Cosinus și sinus a transformării Amplitudinea și spectrele de fază Proprietăți de aplicare Apoi, la rândul său, În acest caz, poziția factorului ^ este destul de arbitrară: poate introduce fie formula (1"), fie formula (2"). Exemplul 1. Găsiți transformata Fourier a funcției -4 Avem Această egalitate permite diferențierea față de £ sub semnul integral (integrala obținută după diferențiere converge uniform când ( aparține oricărui segment finit): integrând pe părți, vom avea obţinem de unde (C este constanta integrării). Fixând £ = 0 în (4), găsim С = F(0). În virtutea (3) avem Se știe că În special, căci) obținem că Să considerăm funcția 4. Pentru spectrele oyu ale funcției F(t), obținem Prin urmare (Fig. 2). Condiția de integrabilitate absolută a funcției f(x) pe întreaga axă reală este foarte strictă. Exclude, de exemplu, astfel de funcții elementare ca f(x) = e1, pentru care transformata Fourier (în forma clasică considerată aici) nu există. Numai acele funcții au o transformată Fourier care tind să ajungă la zero suficient de rapid pentru |x| -+ +oo (ca în exemplele 1 și 2). 2.1. Transformate Fourier cosinus și sinus Folosind formula cosinusului, diferența, rescriem formula integrală Fourier în următoarea formă: Fie f(x) o funcție pară. Atunci, astfel încât din egalitatea (5) avem În cazul imparului f(x), obținem în mod similar Dacă f(x) este dat numai pe (0, -foo), atunci formula (6) se extinde f(x) la întreaga axă Ox într-un mod par, iar formula (7) - impar. (7) Definiție. Funcția se numește transformată Fourier cosinus a funcției f(x). Din (6) rezultă că pentru o funcție pară f(x) Aceasta înseamnă că f(x), la rândul său, este o transformată cosinus pentru Fc(t). Cu alte cuvinte, funcțiile / și Fc sunt transformări cosinus reciproce. Definiție. Funcția se numește transformată Fourier sinus a funcției f(x). Din (7) obținem că pentru o funcție impară f(x), adică, f și Fs sunt transformări sinusoidale reciproce. Exemplul 3 (impuls în unghi drept). Fie f(t) o funcție pară definită după cum urmează: (Fig. 3). Să folosim rezultatul obținut pentru a calcula integrala În virtutea formulei (9), avem Fig.3 0 0 În punctul t = 0, funcția f(t) este continuă și egală cu unu. Prin urmare, din (12") obținem 2.2. Spectrele de amplitudine și fază ale integralei Fourier Fie f(x) o funcție periodică cu o perioadă de 2m și extinsă într-o serie Fourier. Această egalitate poate fi scrisă pe măsură ce ajungem la concepte ale spectrelor de amplitudine și fază ale unei funcții periodice Pentru o funcție neperiodică f(x) dată pe (-oo, +oo), în anumite condiții, se dovedește a fi posibil să o reprezinte prin integrala Fourier, care extinde această funcție pe toate frecvențele (extinderea în spectrul de frecvență continuu Definiție Funcția spectrală, sau densitatea spectrală a integralei Fourier, este o expresie (transformata Fourier directă a funcției f se numește spectru de amplitudine, iar funcția Ф " ) = -argSfc) - spectrul de fază al funcției / ("). Spectrul de amplitudine A(t) servește ca măsură a contribuției frecvenței t la funcția /(x). Exemplul 4. Aflați spectrele de amplitudine și fază ale funcției 4 Aflați funcția spectrală De aici Graficele acestor funcții sunt prezentate în fig. 4. §3. Proprietăți transformate Fourier 1. Linearitate. Dacă și G(0 sunt transformările Fourier ale funcțiilor f(x) și respectiv g(x), atunci pentru orice constantă a și p transformata Fourier a funcției a f(x) + p g(x) va fi funcția a Folosind proprietatea de liniaritate a integralei, avem Astfel, transformata Fourier este un operator liniar.Notând-o vom scrie.Dacă F(t) este transformata Fourier a unei funcții f(x) absolut integrabilă pe întregul real axa, atunci F(t) este mărginită pentru toate. Fie funcția f(x) absolut integrabilă pe întreaga axă - transformata Fourier a funcției f (x). Atunci 3 "flts J. Fie f (x) o funcție, a cărei toleranță este transformata Fourier, L este numărul de proprietăți. Funcția fh (x) \u003d f (z-h) se numește deplasarea fundului f(x).Folosind definiția transformării Fourier , arătați că Problemă. Fie o funcție f(z) să aibă o transformată Fourier F(0> h este un număr real. Arătați că 3. Transformată Fourier și oereză de diferențiere. Fie o funcție absolut integrabilă f (x) are o derivată f " (x), care este, de asemenea, absolut integrabil pe întreaga axă Oh, deci /(n) tinde spre zero ca |x| -» +oo. Presupunând că f „(x) este o funcție netedă, scriem Integrarea prin părți, avem termenul în afara integralei dispare (deoarece, și obținem Astfel, diferențierea funcției / (x) corespunde înmulțirii lui Fourier. imagine ^ P /] prin factor Dacă funcția f (x) are derivate netede absolut intetable până la ordinul m inclusiv și toate, ca și funcția f(x) în sine, tind spre zero și apoi, integrându-se pe părți de numărul necesar de ori, obținem transformata Fourier este foarte utilă tocmai pentru că înlocuiește operația de diferențiere cu operația de înmulțire cu o valoare și prin urmare simplifică problema integrării anumitor tipuri de ecuații diferențiale. Deoarece transformata Fourier a unei funcția integrabilă f^k\x) este o funcție mărginită a (proprietatea 2), din relația (2) se obține următoarea estimare pentru: Transformată Fourier Integrală Fourier Forma integrală complexă Transformată Fourier Transformate cosinus și sinus Spectre de amplitudine și fază Proprietăți de aplicare Din această evaluare cu urmează: cu cât funcția f(x) are derivate absolut integrabile, cu atât transformata sa Fourier tinde mai rapid la zero la. Cometariu. Condiția este destul de firească, deoarece teoria obișnuită a integralelor Fourier se ocupă de procese care, într-un sens sau altul, au început și sfârșit, dar nu continuă la nesfârșit cu aproximativ aceeași intensitate. 4. Relația dintre rata de dezintegrare a funcției f(x) pentru |z| -» -f oo și netezimea transformării sale Fourm. Să presupunem că nu numai /(x), ci și produsul său xf(x) este o funcție absolut integrabilă pe toată axa x. Atunci transformata Fourier) va fi o funcție diferențiabilă. Într-adevăr, diferențierea formală față de parametrul £ al integrandului conduce la o integrală care este absolut și uniform convergentă față de parametru. Dacă, împreună cu funcția f(x), funcțiile sunt absolut integrabile pe toată axa Ox, atunci procesul de diferențiere poate fi continuat. Obtinem ca functia are derivate de pana la ordinul m inclusiv, si Astfel, cu cat functia f(x) scade mai repede, cu atat functia devine mai neteda Teorema 2 (despre burghiu). Fie transformatele Fourier ale funcțiilor /,(x), respectiv f2(x). Apoi integrala dublă din partea dreaptă converge absolut. Să punem x. Atunci vom avea sau, schimbând ordinea integrării, Funcția se numește convoluția funcțiilor și se notează cu simbolul Formula (1) se poate scrie acum astfel: Din aceasta se poate observa că transformata Fourier a convoluției a funcțiilor f\(x) și f2(x) este egal cu înmulțit cu y/2x produsul transformărilor Fourier ale funcțiilor pliabile, Observație. Este uşor de stabilit următoarele proprietăţi ale convoluţiei: 1) liniaritate: 2) comutativitate: §4. Aplicații ale transformării Fourier 1. Fie Р(^) un operator diferențial liniar de ordinul m cu coeficienți constanți.y(x) are o transformată Fourier y (O. iar funcția f(x) are o transformată /(t) Aplicând transformata Fourier la ecuația (1), obținem în loc de o ecuație algebrică diferențială pe axa de unde, astfel încât în mod formal unde simbolul denotă transformata Fourier inversă Principala limitare a aplicabilității acestei metode este legată de următoarele fapt: Soluția unei ecuații diferențiale obișnuite cu coeficienți constanți conține funcții de forma< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

Care s-au săturat deja. Și simt că a venit momentul în care este timpul să extragem noi conserve din rezervele strategice ale teoriei. Este posibil să extinzi funcția într-o serie într-un alt mod? De exemplu, pentru a exprima un segment de dreaptă în termeni de sinusuri și cosinusuri? Pare incredibil, dar funcții atât de îndepărtate se pretează
"reuniune". Pe lângă gradele familiare în teorie și practică, există și alte abordări pentru extinderea unei funcții într-o serie.

În această lecție, ne vom familiariza cu seria Fourier trigonometrică, vom aborda problema convergenței și a sumei sale și, desigur, vom analiza numeroase exemple pentru extinderea funcțiilor într-o serie Fourier. Am vrut sincer să numesc articolul „Seria Fourier pentru manechin”, dar ar fi viclean, deoarece rezolvarea problemelor va necesita cunoașterea altor secțiuni de analiză matematică și ceva experiență practică. Prin urmare, preambulul va semăna cu pregătirea astronauților =)

În primul rând, studiul materialelor paginii ar trebui abordat într-o formă excelentă. Somnoros, odihnit si treaz. Fără emoții puternice despre laba ruptă a unui hamster și gânduri obsesive despre greutățile vieții peștilor de acvariu. Seria Fourier nu este dificilă din punct de vedere al înțelegerii, cu toate acestea, sarcinile practice necesită pur și simplu o concentrare sporită a atenției - în mod ideal, ar trebui să abandonați complet stimulii externi. Situația este agravată de faptul că nu există o modalitate ușoară de a verifica soluția și răspunsul. Astfel, dacă sănătatea ta este sub medie, atunci este mai bine să faci ceva mai simplu. Adevăr.

În al doilea rând, înainte de a zbura în spațiu, este necesar să se studieze panoul de instrumente al navei spațiale. Să începem cu valorile funcțiilor pe care trebuie să faceți clic pe mașină:

Pentru orice valoare naturală:

unu) . Și, de fapt, sinusoidul „clipește” axa x prin fiecare „pi”:
. În cazul valorilor negative ale argumentului, rezultatul, desigur, va fi același: .

2). Dar nu toată lumea știa asta. Cosinusul „pi en” este echivalentul unei „lumini intermitente”:

Un argument negativ nu schimbă cazul: .

Poate suficient.

Și în al treilea rând, dragi corp de cosmonauți, trebuie să fiți capabil să... integra.
În special, sigur aduce o funcție sub semn diferențial, integra pe părțiși fii în relații bune cu formula Newton-Leibniz. Să începem exercițiile importante înainte de zbor. Nu recomand să o săriți peste el, astfel încât mai târziu să nu vă aplatizați în gravitate zero:

Exemplul 1

Calculați integrale definite

unde ia valori naturale.

Decizie: integrarea se realizează peste variabila „x” iar în această etapă variabila discretă „en” este considerată constantă. În toate integralele aduceți funcția sub semnul diferenţialului:

O versiune scurtă a soluției, la care ar fi bine să trageți, arată astfel:

A se obisnui cu:

Cele patru puncte rămase sunt singure. Încercați să tratați sarcina cu conștiință și aranjați integralele într-un mod scurt. Exemple de soluții la sfârșitul lecției.

După un exercițiu de CALITATE, ne îmbrăcăm costume spațiale
și pregătiți-vă să începeți!

Expansiunea unei funcții într-o serie Fourier pe interval

Să considerăm o funcție care definit cel puțin pe interval (și, eventual, pe un interval mai mare). Dacă această funcție este integrabilă pe segmentul , atunci poate fi extinsă într-un trigonometric Seria Fourier:
, unde sunt așa-zișii Coeficienții Fourier.

În acest caz, numărul este apelat perioada de descompunere, iar numărul este descompunerea timpului de înjumătățire.

Evident, în cazul general, seria Fourier este formată din sinusuri și cosinus:

Într-adevăr, să o scriem în detaliu:

Termenul zero al seriei este de obicei scris ca .

Coeficienții Fourier se calculează folosind următoarele formule:

Înțeleg perfect că termenii noi sunt încă obscuși pentru începătorii să studieze subiectul: perioada de descompunere, jumătate de ciclu, Coeficienții Fourierși altele.Nu intrați în panică, nu este comparabil cu entuziasmul dinaintea unei plimbări în spațiu. Să ne dăm seama totul în cel mai apropiat exemplu, înainte de a executa ceea ce este logic să punem întrebări practice stringente:

Ce trebuie să faci în următoarele sarcini?

Extindeți funcția într-o serie Fourier. În plus, este adesea necesar să desenați un grafic al unei funcții, un grafic al sumei unei serii, o sumă parțială și, în cazul fanteziilor profesorale sofisticate, să faceți altceva.

Cum se extinde o funcție într-o serie Fourier?

În esență, trebuie să găsești Coeficienții Fourier, adică compuneți și calculați trei integrale definite.

Vă rugăm să copiați în caiet forma generală a seriei Fourier și cele trei formule de lucru. Sunt foarte bucuros că unii dintre vizitatorii site-ului au un vis din copilărie de a deveni astronaut care se împlinește chiar în fața ochilor mei =)

Exemplul 2

Extindeți funcția într-o serie Fourier pe intervalul . Construiți un grafic, un grafic al sumei unei serii și a unei sume parțiale.

Decizie: prima parte a sarcinii este de a extinde funcția într-o serie Fourier.

Începutul este standard, asigurați-vă că notați:

În această problemă , perioada de expansiune , jumătate de perioadă .

Extindem funcția într-o serie Fourier pe intervalul:

Folosind formulele adecvate, găsim Coeficienții Fourier. Acum trebuie să compunem și să calculăm trei integrale definite. Pentru comoditate, voi numerota punctele:

1) Prima integrală este cea mai simplă, cu toate acestea, necesită deja un ochi și un ochi:

2) Folosim a doua formulă:

Această integrală este bine cunoscută și o ia pe bucată:

Când este găsit folosit metoda de a aduce o functie sub semn diferential.

În sarcina luată în considerare, este mai convenabil să se utilizeze imediat formula de integrare pe părți într-o integrală definită :

Câteva note tehnice. În primul rând, după aplicarea formulei întreaga expresie trebuie cuprinsă între paranteze mari, deoarece există o constantă în fața integralei originale. Să nu-l pierdem! Parantezele pot fi deschise la orice pas, am făcut-o chiar la ultima tură. În prima „piesă” arătăm o acuratețe extremă în înlocuire, după cum puteți vedea, constanta nu mai este, iar limitele integrării sunt înlocuite în produs. Această acțiune este marcată cu paranteze drepte. Ei bine, integrala celei de-a doua „piese” a formulei vă este bine cunoscută din sarcina de antrenament ;-)

Și cel mai important - concentrarea supremă a atenției!

3) Căutăm al treilea coeficient Fourier:

Se obține o relativă a integralei anterioare, care este de asemenea integrat prin piese:

Această instanță este puțin mai complicată, voi comenta pașii următori pas cu pas:

(1) Întreaga expresie este cuprinsă între paranteze mari.. Nu am vrut să par plictisitoare, pierd constanta prea des.

(2) În acest caz, am extins imediat acele paranteze mari. Atentie speciala ne dedicăm primei „piese”: constanta fumează pe margine și nu participă la substituirea limitelor de integrare ( și ) în produs . Având în vedere dezordinea înregistrării, este din nou recomandabil să evidențiezi această acțiune între paranteze drepte. Cu a doua „piesă” totul este mai simplu: aici fracția a apărut după deschiderea parantezelor mari, iar constanta - ca urmare a integrării integralei familiare ;-)

(3) Între paranteze pătrate, efectuăm transformări, iar în integrala dreaptă, înlocuim limitele integrării.

(4) Scoatem „fulgerul” din parantezele pătrate: , după care deschidem parantezele interioare: .

(5) Anulăm 1 și -1 din paranteze și facem simplificări finale.

În cele din urmă, am găsit toți cei trei coeficienți Fourier:

Înlocuiți-le în formulă :

Nu uitați să împărțiți în jumătate. La ultimul pas, constanta ("minus doi"), care nu depinde de "en", este scoasă din sumă.

Astfel, am obținut expansiunea funcției într-o serie Fourier pe intervalul:

Să studiem problema convergenței seriei Fourier. Voi explica în special teoria Teorema lui Dirichlet, literalmente „pe degete”, așa că dacă aveți nevoie de formulări stricte, vă rugăm să consultați un manual despre calcul (de exemplu, al 2-lea volum din Bohan; sau al 3-lea volum din Fichtenholtz, dar este mai dificil în el).

În a doua parte a sarcinii, este necesar să desenați un grafic, un grafic cu sumă în serie și un grafic cu sumă parțială.

Graficul funcției este cel obișnuit linie dreaptă pe plan, care este desenat cu o linie punctată neagră:

Ne ocupăm de suma seriei. După cum știți, seriile funcționale converg către funcții. În cazul nostru, seria Fourier construită pentru orice valoare a lui "x" converge către funcția prezentată în roșu. Această funcție este supusă pauze de primul felîn puncte, dar și definite în ele (puncte roșii în desen)

Prin urmare: . Este ușor de observat că diferă semnificativ de funcția originală, motiv pentru care în notație se folosește o tildă în loc de semnul egal.

Să studiem un algoritm prin care este convenabil să construim suma unei serii.

Pe intervalul central, seria Fourier converge către funcția în sine (segmentul roșu central coincide cu linia punctată neagră a funcției liniare).

Acum să vorbim puțin despre natura expansiunii trigonometrice considerate. Seria Fourier include doar funcții periodice (constante, sinusuri și cosinus), deci suma seriei este și o funcție periodică.

Ce înseamnă acest lucru în exemplul nostru particular? Și asta înseamnă că suma seriei –neapărat periodic iar segmentul roșu al intervalului trebuie repetat la infinit la stânga și la dreapta.

Cred că acum sensul expresiei „perioada de descompunere” a devenit în sfârșit clar. Mai simplu spus, de fiecare dată când situația se repetă din nou și din nou.

În practică, este de obicei suficient să descrii trei perioade de descompunere, așa cum se face în desen. Ei bine, și mai multe „cioturi” ale perioadelor învecinate - pentru a face clar că graficul continuă.

De un interes deosebit sunt puncte de discontinuitate de primul fel. În astfel de puncte, seria Fourier converge către valori izolate, care sunt situate exact în mijlocul „săritului” de discontinuitate (puncte roșii în desen). Cum să găsiți ordonata acestor puncte? Mai întâi, să găsim ordonata „etajului superior”: pentru aceasta, calculăm valoarea funcției în punctul cel mai din dreapta al perioadei de expansiune centrală: . Pentru a calcula ordonata „etajului inferior”, cel mai simplu mod este să luați valoarea cea mai din stânga a aceleiași perioade: . Ordonata valorii medii este media aritmetică a sumei „de sus și de jos”: . Frumos este faptul că atunci când construiești un desen, vei vedea imediat dacă mijlocul este calculat corect sau incorect.

Să construim o sumă parțială a seriei și, în același timp, să repetăm sensul termenului „convergență”. Motivul este cunoscut din lecția despre suma seriei numerice. Să descriem bogăția noastră în detaliu:

Pentru a face o sumă parțială, trebuie să scrieți zero + încă doi termeni ai seriei. adica

În desen, graficul funcției este afișat în verde și, după cum puteți vedea, se înfășoară destul de strâns în jurul sumei totale. Dacă luăm în considerare o sumă parțială a cinci termeni ai seriei, atunci graficul acestei funcții va aproxima liniile roșii și mai precis, dacă există o sută de termeni, atunci „șarpele verde” se va contopi complet cu segmentele roșii, etc. Astfel, seria Fourier converge către suma sa.

Este interesant de observat că orice sumă parțială este functie continua, dar suma totală a seriei este încă discontinuă.

În practică, nu este neobișnuit să construiești un grafic cu sumă parțială. Cum să o facă? În cazul nostru, este necesar să luăm în considerare funcția pe segment, să calculați valorile acesteia la capetele segmentului și în punctele intermediare (cu cât luați în considerare mai multe puncte, cu atât graficul va fi mai precis). Apoi ar trebui să marcați aceste puncte pe desen și să desenați cu atenție un grafic al perioadei, apoi să îl „replicați” în intervale adiacente. Cum altfel? La urma urmei, aproximarea este și o funcție periodică ... ... graficul său îmi amintește cumva de un ritm cardiac uniform pe afișajul unui dispozitiv medical.

Desigur, nu este foarte convenabil să efectuați construcția, deoarece trebuie să fiți extrem de atenți, menținând o precizie de nu mai puțin de jumătate de milimetru. Cu toate acestea, voi mulțumi cititorii care sunt în dezacord cu desenul - într-o sarcină „adevărată”, este departe de a fi întotdeauna necesar să efectuați un desen, undeva în 50% din cazuri este necesară extinderea funcției într-o serie Fourier și asta este aceasta.

După finalizarea desenului, finalizam sarcina:

Răspuns:

În multe sarcini, funcția are de suferit ruptura de primul fel chiar în perioada de descompunere:

Exemplul 3

Extindeți într-o serie Fourier funcția dată pe intervalul . Desenați un grafic al funcției și al sumei totale a seriei.

Funcția propusă este dată pe bucăți (și, atenție, doar pe segment) si indura ruptura de primul fel la punctul . Este posibil să se calculeze coeficienții Fourier? Nici o problema. Ambele părți din stânga și dreapta ale funcției sunt integrabile pe intervalele lor, astfel încât integralele din fiecare dintre cele trei formule ar trebui reprezentate ca suma a două integrale. Să vedem, de exemplu, cum se face acest lucru pentru un coeficient zero:

A doua integrală s-a dovedit a fi egală cu zero, ceea ce a redus munca, dar nu este întotdeauna cazul.

Alți doi coeficienți Fourier sunt scrieți în mod similar.

Cum se afișează suma unei serii? Pe intervalul din stânga desenăm un segment de linie dreaptă, iar pe interval - un segment de linie dreaptă (evidențiați secțiunea axei cu aldine-aldine). Adică, pe intervalul de expansiune, suma seriei coincide cu funcția peste tot, cu excepția a trei puncte „rele”. În punctul de discontinuitate al funcției, seria Fourier converge către o valoare izolată, care se află exact în mijlocul „saltului” discontinuității. Nu este greu să-l vezi oral: limită stânga:, limită dreapta: și, evident, ordonata punctului mijlociu este 0,5.

Datorită periodicității sumei, imaginea trebuie „înmulțită” în perioade învecinate, în special, să descrie același lucru pe intervale și . În acest caz, în puncte, seria Fourier converge către valorile mediane.

De fapt, nu este nimic nou aici.

Încercați să rezolvați singur această problemă. O mostră aproximativă de design fin și desen la sfârșitul lecției.

Extinderea unei funcții într-o serie Fourier pe o perioadă arbitrară

Pentru o perioadă de expansiune arbitrară, în care „el” este orice număr pozitiv, formulele pentru seria Fourier și coeficienții Fourier diferă într-un argument sinus și cosinus ușor complicat:

Dacă , atunci obținem formulele pentru intervalul cu care am început.

Algoritmul și principiile pentru rezolvarea problemei sunt complet păstrate, dar complexitatea tehnică a calculelor crește:

Exemplul 4

Extindeți funcția într-o serie Fourier și trasați suma.

Decizie: de fapt, un analog al Exemplului nr. 3 cu ruptura de primul fel la punctul . În această problemă , perioada de expansiune , jumătate de perioadă . Funcția este definită numai pe jumătate de interval, dar acest lucru nu schimbă lucrurile - este important ca ambele părți ale funcției să fie integrabile.

Să extindem funcția într-o serie Fourier:

Deoarece funcția este discontinuă la origine, fiecare coeficient Fourier ar trebui în mod evident scris ca suma a două integrale:

1) Voi scrie prima integrală cât mai detaliată posibil:

2) Privește cu atenție suprafața lunii:

A doua integrală ia în părți:

La ce ar trebui să fii atent după ce deschidem continuarea soluției cu un asterisc?

În primul rând, nu pierdem prima integrală , unde executăm imediat aducând sub semnul diferenţialului. În al doilea rând, nu uita de constanta nefericita dinaintea parantezelor mari și nu te confunda cu semne la utilizarea formulei . Parantezele mari, la urma urmei, este mai convenabil să se deschidă imediat în pasul următor.

Restul este o chestiune de tehnică, doar o experiență insuficientă în rezolvarea integralelor poate provoca dificultăți.

Da, nu în zadar s-au indignat colegii eminenti ai matematicianului francez Fourier - cum a îndrăznit el să descompună funcțiile în serii trigonometrice?! =) Apropo, probabil că toată lumea este interesată de sensul practic al sarcinii în cauză. Fourier însuși a lucrat la un model matematic de conducție a căldurii și, ulterior, seria numită după el a început să fie folosită pentru a studia multe procese periodice, care aparent sunt invizibile în lumea exterioară. Acum, apropo, m-am surprins gândindu-mă că nu întâmplător am comparat graficul celui de-al doilea exemplu cu un ritm cardiac periodic. Cei interesați se pot familiariza cu aplicația practică Transformate Fourier din surse terțe. ... Deși este mai bine să nu o faci - va fi amintit ca Prima dragoste =)

3) Având în vedere verigile slabe menționate în mod repetat, ne ocupăm de al treilea coeficient:

Integrarea pe părți:

Înlocuim coeficienții Fourier găsiți în formulă , fără a uita să împărțiți coeficientul zero la jumătate:

Să reprezentăm suma seriei. Să repetăm pe scurt procedura: pe interval construim o linie, iar pe interval - o linie. Cu o valoare zero a „x”, punem un punct în mijlocul „sariturii” decalajului și „replicam” graficul pentru perioadele învecinate:

La „joncțiunile” perioadelor, suma va fi, de asemenea, egală cu punctele de mijloc ale „sariturii” decalajului.

Gata. Vă reamintesc că funcția în sine este definită condiționat doar pe jumătate de interval și, evident, coincide cu suma seriei pe intervale

Răspuns:

Uneori, o funcție dată pe bucăți este, de asemenea, continuă în perioada de expansiune. Cel mai simplu exemplu: . Decizie (Vezi Bohan volumul 2) este la fel ca în cele două exemple precedente: în ciuda continuitatea functieiîn punctul , fiecare coeficient Fourier este exprimat ca suma a două integrale.

În intervalul de despărțire puncte de discontinuitate de primul felși/sau punctele de „joncțiune” ale graficului pot fi mai multe (două, trei și, în general, oricare final Cantitate). Dacă o funcție este integrabilă în fiecare parte, atunci este și extensibilă într-o serie Fourier. Dar din experiența practică, nu-mi amintesc o astfel de cutie. Cu toate acestea, există sarcini mai dificile decât doar luate în considerare, iar la sfârșitul articolului pentru toată lumea există legături către seria Fourier de complexitate crescută.

Între timp, să ne relaxăm, lăsându-ne pe spate în scaunele noastre și contemplând întinderile nesfârșite de stele:

Exemplul 5

Extindeți funcția într-o serie Fourier pe interval și trasați suma seriei.

În această sarcină, funcția continuu asupra semiintervalului de descompunere, ceea ce simplifică soluția. Totul este foarte asemănător cu Exemplul nr. 2. Nu există nicio scăpare din nava spațială - trebuie să te hotărăști =) O mostră de design aproximativă la sfârșitul lecției, programul este atașat.

Extinderea seriei Fourier a funcțiilor pare și impare

Cu funcțiile pare și impare, procesul de rezolvare a problemei este simplificat considerabil. Si de aceea. Să revenim la expansiunea funcției într-o serie Fourier pe o perioadă de „doi pi” și perioada arbitrară „două ale” .

Să presupunem că funcția noastră este pară. Termenul general al seriei, după cum puteți vedea, conține cosinusuri pare și sinusuri impare. Și dacă descompunem o funcție PAR, atunci de ce avem nevoie de sinusuri impare?! Să resetăm coeficientul inutil: .

Prin urmare, o funcție pară se extinde într-o serie Fourier numai în cosinus:

În măsura în care integrale ale funcțiilor pare peste un segment de integrare simetrică față de zero poate fi dublată, atunci restul coeficienților Fourier sunt și ei simplificați.

Pentru interval:

Pentru un interval arbitrar:

Exemplele de manuale care se găsesc în aproape orice manual de calcul includ expansiuni ale funcțiilor pare . În plus, s-au întâlnit în mod repetat în cabinetul meu personal:

Exemplul 6

Dată o funcție. Necesar:

1) extindeți funcția într-o serie Fourier cu perioada , unde este un număr pozitiv arbitrar;

2) notează expansiunea pe interval, construiește o funcție și grafică suma totală a seriei.

Decizie: în primul paragraf, se propune rezolvarea problemei într-un mod general, iar acest lucru este foarte convenabil! Va fi nevoie - doar înlocuiți-vă valoarea.

1) În această problemă, perioada de expansiune, jumătate de perioadă. În cursul acțiunilor ulterioare, în special în timpul integrării, „el” este considerat o constantă

Funcția este pară, ceea ce înseamnă că se extinde într-o serie Fourier numai în cosinus: .

Coeficienții Fourier sunt căutați prin formule . Acordați atenție avantajelor lor absolute. În primul rând, integrarea se realizează pe segmentul pozitiv al expansiunii, ceea ce înseamnă că scăpăm în siguranță de modul , luând în considerare doar „x” din două piese. Și, în al doilea rând, integrarea este simplificată considerabil.