Урок и презентация на тему: "Решение простейших тригонометрических уравнений"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Что будем изучать:
1. Что такое тригонометрические уравнения?
3. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.
4. Однородные тригонометрические уравнения.
5. Примеры.
Что такое тригонометрические уравнения?
Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические уравнения в общем.
Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции.
Повторим вид решения простейших тригонометрических уравнений:
1)Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x) = a имеет решение:
X= ± arccos(a) + 2πk
2) Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x) = a имеет решение:
3) Если |а| > 1, то уравнение sin(x) = a и cos(x) = a не имеют решений 4) Уравнение tg(x)=a имеет решение: x=arctg(a)+ πk
5) Уравнение ctg(x)=a имеет решение: x=arcctg(a)+ πk
Для всех формул k- целое число
Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т(kx+m)=a, T- какая либо тригонометрическая функция.
Пример.Решить уравнения: а) sin(3x)= √3/2
Решение:
А) Обозначим 3x=t, тогда наше уравнение перепишем в виде:
Решение этого уравнения будет: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.
Из таблицы значений получаем: t=((-1)^n)×π/3+ πn.
Вернемся к нашей переменной: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,
Тогда x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3
Ответ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, где n-целое число. (-1)^n – минус один в степени n.
Ещё примеры тригонометрических уравнений.
Решить уравнения: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= √3Решение:
А) В этот раз перейдем непосредственно к вычислению корней уравнения сразу:
X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогда x/5= πk => x=5πk
Ответ: x=5πk, где k – целое число.
Б) Запишем в виде: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Мы знаем что: arctg(√3)= π/3
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
Ответ: x=2π/9 + πk/3, где k – целое число.
Решить уравнения: cos(4x)= √2/2. И найти все корни на отрезке .
Решение:
Решим в общем виде наше уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk
4x= ± π/4 + 2πk;
X= ± π/16+ πk/2;
Теперь давайте посмотрим какие корни попадут на наш отрезок. При k
При k=0, x= π/16, мы попали в заданный отрезок .
При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, опять попали.
При k=2, x= π/16+ π=17π/16, а тут вот уже не попали, а значит при больших k тоже заведомо не будем попадать.
Ответ: x= π/16, x= 9π/16
Два основных метода решения.
Мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения, но существуют и более сложные. Для их решения применяют метод ввода новой переменной и метод разложения на множители. Давайте рассмотрим примеры.Решим уравнение:
Решение:
Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной, обозначим: t=tg(x).
В результате замены получим: t 2 + 2t -1 = 0
Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3
Тогда tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение, найдем его корни.
X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Пример решения уравнения
Решить уравнений: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0
Решение:
Воспользуемся тождеством: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1
Наше уравнение примет вид:2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0
Введем замену t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0
Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2
Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.
Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней.
Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
Ответ: x= ±2π/3 + 2πk
Однородные тригонометрические уравнения.
Определение: Уравнение вида a sin(x)+b cos(x) называются однородными тригонометрическими уравнениями первой степени.Уравнения вида
однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.
Для решения однородного тригонометрического уравнения первой степени разделим его на cos(x):
Делить на косинус нельзя если он равен нулю, давайте убедимся что это не так:
Пусть cos(x)=0, тогда asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус одновременно не равны нулю, получили противоречие, поэтому можно смело делить на ноль.
Решить уравнение:
Пример: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0
Решение:
Вынесем общий множитель: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
Тогда нам надо решить два уравнения:
Cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0
Cos(x)=0 при x= π/2 + πk;
Рассмотрим уравнение cos(x)+sin(x)=0 Разделим наше уравнение на cos(x):
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk
Ответ: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk
Как решать однородные тригонометрические уравнения второй степени?
Ребята, придерживайтесь этих правил всегда!
1. Посмотреть чему равен коэффициент а, если а=0 то тогда наше уравнение примет вид cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример решения которого на предыдущем слайде
2. Если a≠0, то нужно поделить обе части уравнения на косинус в квадрате, получим:
Делаем замену переменной t=tg(x) получаем уравнение:
Решить пример №:3
Решить уравнение:Решение:
Разделим обе части уравнения на косинус квадрат:
Делаем замену переменной t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0
Найдем корни квадратного уравнения: t=-3 и t=1
Тогда: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk
Tg(x)=1 => x= π/4+ πk
Ответ: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk
Решить пример №:4
Решить уравнение:Решение:
Преобразуем наше выражение:
Решать такие уравнение мы умеем: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk
Ответ: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk
Решить пример №:5
Решить уравнение:Решение:
Преобразуем наше выражение:
Введем замену tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0
Решением нашего квадратного уравнения будут корни: t=-2 и t=1/2
Тогда получаем: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2
2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Ответ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Задачи для самостоятельного решения.
1) Решить уравнениеА) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 д) ctg(0.5x) = -1.7
2) Решить уравнения: sin(3x)= √3/2. И найти все корни на отрезке [π/2; π ].
3) Решить уравнение: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0
4) Решить уравнение: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0
5) Решить уравнение:3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0
6)Решить уравнение:cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
п.4 Решение тригонометрических уравнений
Объяснение данной темы дается на решении конкретных примеров.
4- примера на уравнения, алгебраические относительно одной из тригонометрических функций
2- примера на уравнения, решаемые понижением их порядка
2- примера на уравнения, решаемые с помощью преобразований тригонометрических формул
2- примера на однородные уравнения
В конце параграфа даются контрольные вопросы. Задачи для тренировки знаний помещены в конце главы. Упражнения даются по тематике. Например, на решение простейших уравнений отведено два номера, по 16 пунктов. Далее помещен материал для контрольной работы. Всего три варианта, по пять заданий, одно из которых на решение тригонометрического уравнения.
А.Н.Колмогоров. Алгебра и начала анализа для 10-11 класса. М, Просвещение, 2006г
Глава 1. Тригонометрические функции.
§3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств.
п.9 Решение простейших тригонометрических уравнений
п. 10 Решение простейших тригонометрических неравенств
п.11 Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений
Решение тригонометрических уравнений и неравенств иллюстрируются с помощью единичной окружности. Приводят несколько примеров с подробным решением. Упражнения для тренировки знаний делятся на две части. В первую часть входят задачи обязательного уровня, во вторую входят более сложные. Упражнения расположены после теоретического материала. Для знакомства с основными идеями решения предложенных задач приводятся множество примеров решения, выделенных значками разных цветов.
По п.9 всего предложено 15 задач, из них 8 задач обязательного уровня. В п.10 всего 13 упражнений. В п.11- 13 упражнений. В конце главы приводятся сведения из истории тригонометрии и дополнительные задачи на повторение.
Н.Я Виленкин. Алгебра и математический анализ 10 класс. Уч-к для углубленного изучения мат-ки. Мнемозина, 2005г.
Глава 6. Тригонометрические функции.
§5. Тригонометрические уравнения и неравенства.
Теоретический материал дается цельно, иногда разрывается на упражнения. Всего имеется 11 пунктов, из которых 10 обязательных и последний для необязательного прослушивания. Предполагается, что учитель будет давать урок в форме лекции.
20. Методика изучения показательной и логарифмической функции.
Значение, место и методика изучения показательной и логарифмической функций.
В природе существует такие процессы, которые не поддаются описанию с помощью алгебраических функций, но с достаточной точностью характеризуются трансцендентными функциями. Среди этих функций важное значение имеют показательная и логарифмическая функции. Показательная функция служит математической формой выражения обширная класса процессов, происходящих в реальной действительности и имеющих общее название процессов естественного роста или убывания величин, например: численности населения, скорости распада радиоактивных веществ, изменения атмосферного давления с высотой над уровнем моря, падения температуры охлаждаемых тел, скорости размножения бактерий, скорости движения тела в сопротивляющейся среде и т.д.
В раскрытии закономерностей этих процессов используется и логарифмическая функция.
Логические и дидактические соображения говорят о том, что изучение показательной и логарифмической функций с произвольным показателем.
В 9 классе в связи с повторением, а затем дальнейшим, а затем дальнейшим повторением и обобщением понятия степени последовательно формируются и понятие показательной функции на множестве действительных чисел. Этот процесс состоит в изучении свойств функции у=а^х на разлиnчных этапах расширения и обобщения понятия степени:
1. аεQ, хεN;
2. аεQ, а≠0, хεZ;
3. аεQ, а>0, хεQ;
4. аεR, а>0, хεR.
Сведения о понятии действительного числа, накопленные до 9 класса, недостаточны для строгого определения показательной и логарифмической функций и описание их свойств. Поэтому к показательной и логарифмической функциям, изучаемым в 9 классе на индуктивной и наглядной основе, приходится возвращаться в 11 классе, с тем чтобы завершить логически удовлетворительное изложение материала.
В 9 классе учащиеся впервые встречаются с функцией у=а^х, где хεN при изучении формулы n-го члена геометрической прогрессии: bn=b1 * q^n-1= b1/q *q^n.
Здесь следует рассмотреть частного вида последовательность q,q ^2,q ^3,…, q^n,…с формулой n-го члена bn= q^n (q>0) и в порядке упражнений построить графики функций при конкретно заданных q>1 и q<1 соответственно, отметив по графикам их свойства: возрастание (q>1), убывание (q<1), положительные значение функции на всей ее области определения при любых значениях q>0. Этой функцией можно дать название показательной, определенной на множестве N, но можно этого и не делать, если основной материал темы усваивается учащимся с затруднением.
Основная цель - познакомить учащихся с показательной, логарифмической функциями, их свойствами и графиком.
Какие методические подходы к изучению этих функций существуют в школьных учебниках? В чем их различие? Дается ли понятие обратной функции? И если дается, то когда?
|
Учебники «Алгебра и начала анализа» 10-11 кл. |
1.Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. |
2.А.Н.Колмогоров,А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др. |
3. Виленкин Н.Я. |
|
В каких классах |
Изучают в 10 классе |
Изучают в 11классе |
Изучают в 11 классе |
|
В каком главе и сколько часов дается. |
Глава1. Показательная функция (10ч) 1.Свойства показательной функции и ее график.(2Ч) 2.Показательные уравнения и неравенства Упражнения к главе 1 Глава2. Логарифмическая функция (14ч)
Логарифмы Свойства логарифмов Десятичные и натуральные логарифмы. Лог.функция и ее график.(2ч) Обратная функция |
Глава 4. Показательная и логарифмическая функции (36ч). § 9. Обобщение понятия степени 32.Корень n-й степени и его свойства 33. Иррациональные уравнения 34.Степень с рациональным показателем. § 10. Показательная и логарифмическая функция(18ч) 35.Показательная функция(2ч) 36. Решение показательных уравнений и неравенств 37. Логарифмы и их свойства 38. Логарифмическая функция(3ч) 39. Решение лог.ур-й и нер-в 40. Понятие об обратной функции |
Глава 8. Показательная, логарифмическая и степенная функции. (40ч) § 1. Показательная функция и ее свойства 1.Процессы ограниченного роста и убывания 2.Обобщения понятие степени 3Определение функции lnx, ее свойства и график 4.Логарифми- ческая функция и степень с любым показателем 5. Показательная функция, ее свойства и график |
|
Прежде чем вводить понятие показательной функции, рекомендуется повторить понятие степени с действительным показателем и ее свойства, а также свойства степенной функции. Свойства монотонности показательной функции обосновывается аналитически и иллюстрируются на графике. В дальнейшем основное внимание уделяется иллюстрации свойств функции по графику (чтение графика). Приводятся примеры применения показательной функции для описания различных физических процессов. |
Понятия корня n-й степени и степени с рациональным показателем являются обобщением понятий квадратного корня и степени с целым показателем. Следует обратить внимание учащихся, что рассматриваемые здесь свойства корней и степеней с рациональным показателем аналогичны тем свойствам, которыми обладают изученные ранее квадратные корни и степени с целыми показателями. Необходимо уделить достаточно времени отработке свойств степеней и формированию навыков тождественных преобразований. Понятие степени с иррациональным показателем вводится на наглядно-интуитивной основе. Этот материал играет вспомогательную роль и используется при введении показательной функции. Изучение свойств показательной, логарифмической функций построено в соответствии с принятой общей схемой исследования функций. При этом обзор свойств дается в зависимости от значений параметров. |
Здесь показательную функцию проходят после изучения логарифмической функции. Описывает процессы органического изменения. Производная и первообразная показательной функции. Число е. Натуральный логарифмы. (Вычисление пределов, связанных с числом е). радиоактивный распад. Затухающие колебания. |
|
|
Задачный материал |
На показательную функцию-12 задач. Из них 6 обязательных . На логарифмическую функцию-14 задач. Из них 10 обязательных. Одна задача сложный, 2 задачи трудные. |
На показательную функцию-15 задач. Из них 6 обязательных : 1. Постройте свойства функции и постройте ее график: 2. Найдите область значений функции: 3. Сравните числа: а) 2,5^-√2 и 1 4. Решите графически уравнения: а) 3^х=4-х На логарифмическую функцию-13 задач. Из них 6 обязательных Найдите область определения выражения: loqπ (10-5х); Сравните числа: а) loq2 3,8 и loq2 4,7; Перечислите основные свойства функции и постройте ее график: а) у=loq3 х; 4.Верно ли, что лог. функция: а) имеет экстремумы; б) Является нечетной; в) является периодической; г) является четной? |
На логарифмическую функцию-23 задач. Найдите область определения функций: а) loq1/3 (4х-8); Начертите график функции loq2 (х-4)+ loq2 (8-х); | loq3 (х-2)| Какая
из функций loq3
х, loq2
х – быстрее возрастает, когда х→+∞?
Какая из этих функций больше на
промежутке 0 На показательную функцию-8 задач. 1.Постройте на одном чертеже графики функций у=2^х и у=3^х при -1<х<1 в масштабе 1:5 см. 2.Как по графику функции у=с*а^х определить основание а и коэффициент с? 3.Вычислить предел Тригонометрия на вступительных экзаменах по математике в МГУ. Фалин Г.И.
М.: 2007. - 327 с. В сборнике собрано более 800 задач по тригонометрии, предлагавшихся на вступительных испытаниях по математике в МГУ им. М.В.Ломоносова (как основных, так и предварительных), а также задачи тестов и выпускных экзаменов подготовительного отделения МГУ. Задачи сгруппированы по типам, что позволяет составить представление о характере и сложности экзаменационных задач, а также основных методах их решения. Ко всем задачам даны ответы. Для наиболее характерных и сложных задач приведены подробные решения. Книга будет полезна абитуриентам при подготовке к вступительным экзаменам по математике в МГУ. Формат: djvu / zip Размер: 3 ,8 Мб / Download
файл
ОГЛАВЛЕНИЕ  
|
