Постановка задачи

Задание подразумевает знакомство пользователя с основными понятиями численных методов, такими как определитель и обратная матрица , и различными способами их вычислений. В данном теоретическом отчете простым и доступным языком сначала вводятся основные понятия и определения, на основании которых проводится дальнейшее исследование. Пользователь может не иметь специальных знаний в области численных методов и линейной алгебры , но с легкостью сможет воспользоваться результатами данной работы. Для наглядности приведена программа вычисления определителя матрицы несколькими методами, написанная на языке программирования C++. Программа используется как лабораторный стенд для создания иллюстраций к отчету. А также проводится исследование методов для решения систем линейных алгебраических уравнений . Доказывается бесполезность вычисления обратной матрицы, поэтому в работе приводится более оптимальные способы решения уравнений не вычисляя ее. Рассказывается почему существует такое количество различных методов вычисления определителей и обратных матриц и разбираются их недостатки. Также рассматриваются погрешности при вычислении определителя и оценивается достигнутая точность. Помимо русских терминов в работе используются и их английские эквиваленты для понимания, под какими названиями искать численные процедуры в библиотеках и что означают их параметры.

Основные определения и простейшие свойства

Определитель

Введем определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным , то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка , нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка . Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.

Определитель квадратной матрицы будем обозначать или det .

Определение 1. Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число .

Определителем квадратной матрицы порядка , называется число

где - определитель матрицы порядка , полученной из матрицы вычеркиванием первой строки и столбца с номером .

Для наглядности запишем, как можно вычислить определитель матрицы четвертого порядка:

Замечание. Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам, которые будут рассмотрены позже и которые требуют меньше вычислительной работы.

Замечание. В определении 1 было бы точнее сказать, что определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядка и принимающая значения в множестве чисел.

Замечание. В литературе вместо термина "определитель" используется также термин "детерминант", имеющий тот же самый смысл. От слова "детерминант" и появилось обозначение det .

Рассмотрим некоторые свойства определителей, которые сформулируем в виде утверждений.

Утверждение 1. При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть .

Утверждение 2. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть .

Утверждение 3. Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.

Утверждение 4. Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

В дальнейшем нам потребуется складывать строки и умножать строку на число. Эти действия над строками (столбцами) мы будем выполнять так же, как действия над матрицами-строками (матрицами-столбцами), то есть поэлементно. Результатом будет служить строка (столбец), как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк (столбцов) и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк (столбцов), то есть суммах с числовыми коэффициентами.

Утверждение 5. Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число.

Утверждение 6. Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

Утверждение 7. Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.

Утверждение 8. Пусть в матрице i-ая строка имеет вид . Тогда , где матрица получается из матрицы заменой i-ой строки на строку , а матрица - заменой i-ой строки на строку .

Утверждение 9. Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.

Утверждение 10. Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.

Определение 2. Алгебраическим дополнением к элементу матрицы называется число, равное , где - определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Алгебраическое дополнение к элементу матрицы обозначается .

Пример. Пусть . Тогда

Замечание. Используя алгебраические дополнения, определение 1 определителя можно записать так:

Утверждение 11. Разложение определителя по произвольной строке.

Для определителя матрицы справедлива формула

Пример. Вычислите .

Решение. Воспользуемся разложением по третьей строке, так выгоднее, поскольку в третьей строке два числа из трех - нули. Получим

Утверждение 12. Для квадратной матрицы порядка при выполнено соотношение .

Утверждение 13. Все свойства определителя, сформулированные для строк (утверждения 1 - 11), справедливы и для столбцов, в частности, справедливо разложение определителя по j-ому столбцу и равенство при .

Утверждение 14. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

Следствие. Определитель единичной матрицы равен единице, .

Вывод. Перечисленные выше свойства позволяют находить определители матриц достаточно высоких порядков при сравнительно небольшом объеме вычислений. Алгоритм вычислений следующий.

Алгоритм создания нулей в столбце. Пусть требуется вычислить определитель порядка . Если , то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не нуль. В результате определитель , будет равен определителю новой матрицы с противоположным знаком. Если же первый элемент каждой строки равен нулю, то матрица имеет нулевой столбец и по утверждениям 1, 13 ее определитель равен нулю.

Итак, считаем, что уже в исходной матрице . Первую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число . Тогда первый элемент второй строки будет равен .

Остальные элементы новой второй строки обозначим , . Определитель новой матрицы по утверждению 9 равен . Первую строку умножим на число и прибавим к третьей. Первый элемент новой третьей строки будет равен

Остальные элементы новой третьей строки обозначим , . Определитель новой матрицы по утверждению 9 равен .

Процесс получения нулей вместо первых элементов строк продолжим дальше. Наконец, первую строку умножим на число и прибавим к последней строке. В результате получается матрица, обозначим ее , которая имеет вид

причем . Для вычисления определителя матрицы используем разложение по первому столбцу

Так как , то

В правой части стоит определитель матрицы порядка . К нему применим тот же алгоритм, и вычисление определителя матрицы сведется к вычислению определителя матрицы порядка . Процесс повторяем до тех пор, пока не дойдем до определителя второго порядка, который вычисляется по определению.

Если матрица не обладает какими-то специфическими свойствами, то заметно уменьшить объем вычислений по сравнению с предложенным алгоритмом не удается. Еще одна хорошая сторона этого алгоритма - по нему легко составить программу для компьютера для вычисления определителей матриц больших порядков. В стандартных программах вычисления определителей используется этот алгоритм с не принципиальными изменениями, связанными с минимизацией влияния ошибок округления и погрешностей входных данных при вычислениях компьютера.

Пример. Вычислите определитель матрицы .

Решение. Первую строку оставляем без изменения. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число :

Определитель не меняется. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число :

Определитель не меняется. К четвертой строке прибавляем первую, умноженную на число :

Определитель не меняется. В результате получаем

По тому же алгоритму считаем определитель матрицы порядка 3, стоящий справа. Первую строку оставляем без изменений, ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число :

К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число :

В результате получаем

Ответ. .

Замечание. Хотя при вычислениях использовались дроби, результат оказался целым числом. Действительно, используя свойства определителей и то, что исходные числа - целые, операций с дробями можно было бы избежать. Но в инженерной практике числа крайне редко бывают целыми. Поэтому, как правило, элементы определителя будут десятичными дробями и применять какие-то ухищрения для упрощения вычислений нецелесообразно.

Обратная матрица

Определение 3. Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .

Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено).

Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то .

Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.

Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.

Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.

Определение 4. Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей , если , и невырожденной или неособенной матрицей , если .

Утверждение. Если обратная матрица существует, то она единственна.

Утверждение. Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и (1) где - алгебраические дополнения к элементам .

Теорема. Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица - невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (1).

Замечание. Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца , а второй - номер строки , в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.

Пример. .

Решение. Находим определитель

Так как , то матрица - невырожденная, и обратная для нее существует. Находим алгебраические дополнения:

Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй - строке: (2)

Полученная матрица (2) и служит ответом к задаче.

Замечание. В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так:
(3)

Однако запись (2) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (2) предпочтительнее, если элементы матриц - целые числа. И наоборот, если элементы матрицы - десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя впереди.

Замечание. При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.

Пример. Найдите обратную матрицу для матрицы .

Решение. - существует.

Ответ: .

Вывод. Нахождение обратной матрицы по формуле (1) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.

Вычисление определителя и обратной матрицы с помощью метода Гаусса

Метод Гаусса можно использовать для нахождения определителя и обратной матрицы .

Именно, определитель матрицы равен det .

Обратная матрица находится решением систем линейных уравнений методом исключения Гаусса:

Где есть j-тый столбец единичной матрицы , - искомый вектор.

Полученные векторы решений - образуют, очевидно, столбцов матрицы , поскольку .

Формулы для определителя

1. Если матрица невырожденная, то и (произведение ведущих элементов).

Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.

Определение 14.9 Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей , если , и невырожденной или неособенной матрицей , если .

Предложение 14.21 Если обратная матрица существует, то она единственна.

Доказательство . Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда

Следовательно, .

Правило Крамера .

Пусть матричное уравнение AX = B

Где ; – определитель, полученный из определителя D заменой i -го столбца столбцом свободных членов матрицы B :

Доказательство теоремы разобъем на три части:

1.Решение системы (1) существует и является единственным.

2.Равенства (2) являются следствием матричного уравнения (1).

3.Равенства (2) влекут за собой матричное уравнение (1).

Так как , то существует и при том единственная, обратная матрица .
Умножая обе части матричного уравнения (1) слева на , получаем решение этого уравнения:

Единственность обратной матрицы доказывает первую часть теоремы.

Перейдем к доказательству взаимно-однознаяного соответствия между формулами (1) и (2).

Используя формулу (4), получим выражение для i -го элемента. Для этого нужно умножить i -ую строку матрицы

на столбец B .

Учитывая, что i -ая строка присоединенной матрицы составлена из алгебраических дополнений , получаем следующий результат:

Вывод формул Крамера завершен. Покажем теперь, что выражения

Изменим порядок суммирования в правой части полученного выражения:

где – дельта символ Кронекера.

Учитывая, что дельта символ снимает суммирование по одному из индексов, получаем требуемый результат:

Комплексные числа : Идея – определение новых объектов с помощью известных. Вещественные числа расположены на прямой. При переходе на плоскость получаем комплексные числа. Определение : Комплексным числом называется пара вещественных чисел z = (a,b). Число a = Re z называется вещественной частью, а b = Im z мнимой частью комплексного числа z .

Операции над комплексными числами: Комплексные числа z1 z2 равны Z1 = z2 ⇔ Re z1 = Re z2 & Im z1 = Im z2. Сложение: Z=z1+z2. ⇔Re z=Re z1+Re z2 & Im z1+ Im z2. Число (0,0) обозначается через 0. Это нейтральный элемент. Проверяется, что сложение комплексных чисел обладает свойствами аналогичными свойствам сложения вещественных чисел. (1. Z1+ z2 = z2 + z1 – коммутативность; 2. Z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 – ассоциативность; 3. Z1 + 0 = z1 - существование нуля (нейтрального элемента) ;4. z + (−z) = 0 - существование противоположного элемента). Умножение : z= z1 z2⇔Re z=Re z1 Re z2-Im z1 Im z2 & Im z1=Im z1 Re z2+Im z2 Re z1. Комплексное число z лежит на вещественной оси, если Imz = 0 . Результаты операций над такими числами совпадают с результатами операций над обычными вещественными числами. Умножение комплексных чисел обладает свойствами замкнутости, коммутативности и ассоциативности. Число (1,0) обозначается через 1. Оно является нейтральным элементом по умножению.Если a∈ R, z ∈C , то Re(az) = aRe z, Im(az) = a Imz . Определение Число (0,1) обозначается через i и называется мнимой единицей. В этих обозначениях получаем запись комплексного числа в алгебраической форме: z = a + ib, a,b∈ R. i=-1. (a,b)=(a,0)+(0,b) ;(a,0)+b(0,1)=a+ib=z; (a1+ib)(a2+ib2)=a1a2+i(a1b2+1-a2b1)-b1b2; (a+ib)(1+0i)=a+ib; z(a,b), z(0+i0)=0; z!=0; a 2 +b 2 >0 (a+ib)(a-ib/a 2 +b 2)=1.Число называется сопряженным к z, если Re =Re z ; Im =- Im z.

= + ; = ; z =(a+ib)(a-ib)=a 2 +b 2 Модулем числа z называется вещественное число| z |= . Справедлива формула| z| 2 = z Из определения следует, что z ≠ 0⇔| z|≠ 0. z -1 = /|z| 2 (1)

Тригонометрическая форма комплексного числа: a=r cos(t); b=r sin(t). Z=a+ib=r(cos(t)+isin(t)) (2) t-аргумент комплексного числа. Z1=z2 =>|z1|=|z2|

arg(z1)-arg(z2)=2пk.

Z1=r1(cos(t1)+isin(t1), Z2=r2(cos(t2)+isin(t2)), Z3=z1 z2=T1T2(cos(t1+t2)+isin(t1+t2)(1)

Arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2) (2)

Z!=0 z -1 = /|z| 2 =1/r(cos(-t)+i(sin(-t)) Z=r(cos(t)+istn(t))

R(cos(t)-isin(t))

Определение: Корнем степени n из единицы называются решения уравнения z n =1Предложение. Имеется n различных корней степени n из единицы. Они записываются в виде z = cos(2 π k / n) + isin(2 π k / n), k = 0,..., n −1 .Теорема. В множестве комплексных чисел уравнение всегда имеет n решений.Z=r(cos(t)+isin(t)); z n =r n (cos(nt)+isin(nt))=1(cos(0)+isin(0))=>z n =1 .Z-целые числа. K пренадлежит Z. k=2=E 2 =E n-1 E n ; E n =1; E n+p =E p . Таким образом доказано, что решениями уравнения являются вершины правильного n-угольника, причем одна из вершин совпадает с 1.

Корень n-ой степени из z 0 . Z k =Z 0 ; Z 0 =0=>Z=0; Z 0 !=0;Z=r(cos(t)-isin(t)); Z 0 =r 0 (cos(t0)+isin(t0)); r0!=0; Z n =r n (cos(nt)+isin(nt))

r n =r 0, nt-t 0 =2пk; r= ; t=(2пk+t0)/n; z= (cos((2пk+t0)/n)+isin((2пk+t0)/n)= (cos t0/n+isin t0/n)(cos(2пk/n)+isin(2пk/n))=Z 1 E k ; z=z 1 E k ; Z 1 n =z 0, k=0, n=1

Матрицы. Определение: Матрицей размера m × n называется прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов, элементы которой являются вещественными или комплексными числами. Элементы матрицы имеют двойные индексы.

Если m = n , то это квадратная матрица порядка m , а элементы с одинаковыми индексами образуют главную диагональ матрицы.

Операции над матрицами: Определение: Две матрицы A,B называются

равными, если их размеры совпадают и A = B,1≤ i ≤ m,1≤ j ≤ n

Сложение. Рассматриваются матрицы одного размера. Определение :C = A + B ⇔ C = A + B, ∀i, j Предложение . Сложение матриц коммутативно, ассоциативно, существует нейтральный элемент и для каждой матрицы существует противоположный элемент.

Нейтральным элементом является нулевая матрица, все элементы которой равны 0. Она обозначается через Θ.

Умножение. Матрица A размера m × n обозначается через Amn. Определение: С mk =A mn B nk ó

C= Заметим, что в общем случае умножение не является коммутативным. Замкнутость справедлива для квадратной матрицы фиксированного размера. Пусть даны три матрицы Amn , Bnk , Ckr . Тогда (AB)C = A(BC). Если произведение 3 матриц существует, то оно является ассоциативным.

Символ Кронекера δij . Он равен 1, если индексы совпадают, и 0 иначе. Определение. Единичной матрицей I n называется квадратная матрица порядка n , для которой выполнены равенства n I n [ i | j] = δ ij Предложение. Справедливы равенства I m A mn =A mn I n =A mn

Сложение и умножение матриц связанно законами дистрибутивности. A(B+C)=AB+AC; (A+B)C=AC+BC;(A(B+C)= = = +

Транспонирование матрицы. Транспонированная матрица - это матрица, полученная из исходной путем замены строк на столбцы.

(A+B) Т =А Т +В Т

(АВ) Т =В Т А Т;(AB) Т =(AB)= = (В Т А Т)

Умножение матрицы на число. Произведение числа а на матрицу A mn называется новая матрица B=aA

1*A=A;a(A+B)=aA+aB;(a+b)A=aA+bA;

A(BC)=(aB)C=B(aC); (ab)A=a(bA)=b(aA)

Линейным пространством (L) над полем F называется множество векторов L={α,β..}

1.α+β=β+α(коммутативность) 2.α+(β+γ)= (α+β)+γ, (ab)α=a(bα)(ассоциативность) 3.α+θ=α, α∙1=α(существование нейтрального) 4.α+(-α)=θ (существование противоположного)

a(α+β)=aα+aβ, (a+b)α=aα+bα. Док-во {|(a+b)α|=|a+b||α|, |aα|=|a||α|,|bα|=|b||α|, a и b>0, |a+b|=a+b,|a|=a,|b|=b.} aα+(-a)α=θ, (a+0)α=aα

Примером линейного пространства является множество матриц фиксированного размера с операциями сложения и умножения на число.

Система линейных векторов называется линейно зависимой , если 1.a 1 ,a 2 ..a n ≠0 2. a 1 α 1 ,a 2 α 2 ..a n α n =θ Если система не является линейно зависимой, то она линейно независима. Рассмотрим 1. n=1 α 1 завис. a 1 ≠0, a 1 α 1 =θ, a 1 -1 (a 1 α 1)= a 1 -1∙ θ=θ, (a 1 -1 a 1)α 1 =1∙α 1 =α 1 ; 2. n=2 α 1 ,α 2 завис. a 1 ≠0 ,a 1 α 1 +a 2 α 2 =θ ,α 1 = -a 1 -1 a 2 α 2 =b 2 α 2; 3.n≥2 α 1 ..α n завис. a 1 ≠0, α 1 =Σ k =2 n b k α k , 1α 1 - Σ k =2 n b k α k =θ, (1,b 2 ..b n)≠0

Предложение : Система векторов, содержащая более чем 1 вектор линейно зависима ттогда какой-то вектор системы есть линейная комбинация остальных.

Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима. Док-во: {α 1 ..α n завис. Система: α 1 ..α n ;α n +1 ..α m , a 1 α 1 +..+a n α n +0α n +1 +..+0α m =θ, a 1 ..a n ,0..0≠0.} Если система содержит нул.вектор, то она линейно зависима. Теорема о линейных пространствах : {Пусть даны 2 системы векторов α 1 ..α m , β 1 ..β n . Система векторов α выражается через β, если каждый вектор α есть линейная комбинация β α i = Σ k =1 n a ik β k , (α) { (β), (β) { (γ)→ (α) { (γ)} Теорема: Даны 2 системы векторов, при этом α независимая и, (α) { (β)→m≤n Докажем, α 1 ..α m +1 β 1 ..β m (α) { (β)→(α)завис. {Докажем методом индукции. m=1: α 1 =a 11 β 1 , α 2 =a 21 β 1 . a 11 =0→ α 1 =θ. a 11 α 2 – a 21 α 1 = a 11 a 21 β 1 - a 21 a 11 β 1 =θ. α 1 = a 11 β 1 +.. a 1 n -1 β n -1 .. α n = a n 1 β 1 +.. a nn -1 β n -1 Если все коэффициенты =0 a 11 =a 12 =..=a 1 n -1 =0→ α 1 =θ→ вся система линейно зависима. a 1 n -1 ≠0 α 2 ′= α 2 –с 2 α 1 =b 21 β 1 +..+b 2 n -2 β n -2 , c 2 =a 2 n -1 / a 1 n -1 , α 3 ′= α 3 –с 3 α 1 .. α n ′= α n –с n α 1 . По пред. индукции сущ-ет ненулевой набор чисел d 2 ..d n: d 2 α 2 ′+d 3 α 3 ′+.. d n α n ′=θ , d 2 (α 2 –с 2 α 1)+d 3 (α 3 –с 3 α 1)+.. d n (α n –с n α 1)=θ , (α) { (β), m>n →(α)завис. если (α) независ. →m≤n}

МЛНП -макс.лин.незвавис.подсистемы. Пусть дана система векторов α 1 ..α n некоторой подсис. α i 1 ..α in называется МЛНП, если 1. α 1 ..α n независ.2. α i 1 ..α ir , α ij завис. Каждый вектор системы есть линейная комбинация векторов МЛНП. { α i 1 ..α ir , α ij завис. a i 1 α i 1 +.. a ir α ir +a ij α ij =θ

a i 1 ..a ir , a ij ≠0 если a ij =0 → a i 1 α i 1 +.. a ir α ir =θ a i 1 ..a ir =0 противоречие a ij ≠0 α ij = a ij -1 (-a i 1 α i 1 -.. a ir α ir) (α 1 ..α n) { (α i 1 ..α ir)

Следствие : Любые 2 МЛНП из одной системы векторов содержат одинаковое число векторов (α i 1 ..α ir) { (α j 1 ..α jk) , (α j 1 ..α jk) { (α i 1 ..α ir) k≤r, r≤k →r=k Число векторов МЛНП называется рангом исходной системы. В случае линейного пространства(система векторов состоит из всех векторов пространства) МЛНП мб конечна или бесконечна. Рассматриваем конечный случай. Число векторов(ранг)- размерность линейного пространства. МЛНП-база. Пространство направленных отрезков. Два неколлинеарных вектора составляют базу в пространстве векторов на плоскости. α 3 = α 1 ′+ α 2 ′=a 1 α 1 + a 2 α 2 . 3 вектора линейно зависимые α 3 =a 1 α 1 + a 2 α 2 . Компланарность- 3 вектора параллельны одной плоскости α 4 = α 4 ′+ α 5 ′ , α 4 ′=a 1 α 1 + a 2 α 2 , α 5 ′= a 3 α 3 , α 4 = a 1 α 1 + a 2 α 2 + a 3 α 3 . Пространство строк длины n . α= Предложение: Пространство строк длины n имеет размерность n. { ξ 1 =<1…0> ξ 2 =<0,1…0> .. ξ n =<0…1> ,a 1 ξ 1 + a 2 ξ 2 +.. a n ξ n =θ=<0,..0> → a 1 =a 2 =..a n =0 (линейная независимость) β= β= b 1 ξ 1 + b 2 ξ 2 +.. b n ξ n →пространство строк длины n имеет размерность и n.

Ранг матрицы.

Две системы векторов α и β называются эквивалентными, если каждый вектор

α{ β(выражается) и β{ α.

Предложение. Ранги эквивалентных систем совпадают.

α i 1 , α i 2 ,…, α ir – МЛНП α , β i 1 , β i 2 ,…, β ik – МЛНП β , α i 1 , α i 2 ,…, α ir < β < β i 1 , β i 2 ,…, β ik → r<=k

Поменяв местами α и β местами → r>=k >>> Значит, r=k.

Определение. Пусть дана матрица A=

α i =

Рангом матрицы А называется ранг системы векторов α1, α2,…, αm, составленных из это матрицы >>rank(A)-ранг

Из определения очевидно, что при перестановке столбцов ранг не меняется. Покажем, что при перестановке столбцов ранг так же не меняется.

А’=

α’i=

Линейно зависимы:

b 1 α 1 + b 2 α 2 +…+ b m α m =θ, b 1 а 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0, b 1 α’ 1 + b 2 α’ 2 +…+ b m α’ m , b 1 а 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0

Равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е. , где i 0 – фиксировано.
Выражение (*) называют разложением определителя D по элементам строки с номером i 0 .

Назначение сервиса . Данный сервис предназначен для нахождения определителя матрицы в онлайн режиме с оформлением всего хода решения в формате Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Инструкция . Выберите размерность матрицы, нажмите Далее.

Размерность матрицы 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вычислить определитель можно будет двумя способами: по определению и разложением по строке или столбцу . Если требуется найти определитель созданием нулей в одной из строк или столбцов, то можно использовать этот калькулятор .

Алгоритм нахождения определителя

1. Для матриц порядка n=2 определитель вычисляется по формуле: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Для матриц порядка n=3 определитель вычисляется через алгебраические дополнения или методом Саррюса .
3. Матрица, имеющая размерность больше трех, раскладывается на алгебраические дополнения, для которых вычисляются свои определители (миноры). Например, определитель матрицы 4 порядка находится через разложение по строкам или столбцам (см. пример).

Для вычисления определителя, содержащего в матрице функции, применяются стандартные методы. Например, вычислить определитель матрицы 3 порядка:

Используем прием разложения по первой строке.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Методы вычислений определителей

Нахождение определителя через алгебраические дополнения является распространенным методом. Его упрощенным вариантом является вычисление определителя правилом Саррюса . Однако при большой размерности матрицы, используют следующие методы:

1. вычисление определителя методом понижения порядка
2. вычисление определителя методом Гаусса (через приведение матрицы к треугольному виду).

В Excel для расчета определителя используется функция =МОПРЕД(диапазон ячеек) .

Прикладное использование определителей

Вычисляют определители, как правило, для конкретной системы, заданной в виде квадратной матрицы. Рассмотрим некоторые виды задач на нахождение определителя матрицы . Иногда требуется найти неизвестный параметр a , при котором определитель равнялся бы нулю. Для этого необходимо составить уравнение определителя (например, по правилу треугольников ) и, приравняв его к 0 , вычислить параметр a .
разложение по столбцам (по первому столбцу):
Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец.
Найдем определитель для этого минора. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6 .

Определим минор для (2,1): для этого вычеркиваем из матрицы вторую строку и первый столбец.

Найдем определитель для этого минора. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4 . Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
Найдем определитель для этого минора. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Главный определитель равен: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Найдем определитель, использовав разложение по строкам (по первой строке):
Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец.

Найдем определитель для этого минора. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6 . Минор для (1,2): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 2-й столбец. Вычислим определитель для этого минора. ∆ 1,2 = (3 (-2)-1 1) = -7 . И чтобы найти минор для (1,3) вычеркиваем из матрицы первую строку и третий столбец. Найдем определитель для этого минора. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Находим главный определитель: ∆ = (1 (-6)-0 (-7)+(-2 4)) = -14

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a ij и b i (i =1,…,m ; b =1,…,n ) – некоторые известные числа, а x 1 ,…,x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы .

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b 1 ,…,b m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c 1 ,…,c n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c 1 ,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1 ,…,x n .

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной . В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной .

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A ∙X=B .

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением .

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A : . Поскольку A -1 A = E и E ∙X = X , то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B .

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных . Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B .

Примеры. Решить системы уравнений.

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы .

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство . Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A 11 элемента a 11 , 2-ое уравнение – на A 21 и 3-е – на A 31 :

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

МЕТОД ГАУССА

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x 1 . Для этого второе уравнение разделим на а 21 и умножим на –а 11 , а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а 31 и умножим на –а 11 , а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x 2 . Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x 3 , затем из 2-го уравнения x 2 и, наконец, из 1-го – x 1 .

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

1. перестановка строк или столбцов;
2. умножение строки на число, отличное от нуля;
3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

2.Если │А│=0, то матрица А вырожденная и обратной матрицы А -1 не существует.

Если определитель матрицы А не равен нулю, то обратная матрица существует.

3. Находим А T , транспонированную к А.

4. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу. 5. Вычисляем обратную матрицу по формуле: 6. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы, исходя из её определения А -1 ∙А = А ∙А -1 = Е.

· №28

· В матрице размера m x n вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно выделить квадратные подматрицы k-го порядка, где k≤min(m; n). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А.

· Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

· Ранг матрицы А обозначается rang A или r(A).

· Из определения следует:

· 1) ранг матрицы размера m x n не превосходит меньшего из её размеров, т.е. r(A) ≤ min (m; n).

· 2) r(A)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А=0.

· 3) Для квадратной матрицы n-го порядка r(A) = n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.

· В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются элементарные преобразования, сохраняющие ранг матрицы:

· 1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).

· 2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

· 3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

· 4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

· 5) Транспонирование матрицы.

· Теорема. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

№31

— Пусть число уравнений системы (1) равно числу переменных, т.е. m=n. Тогда матрица системы является квадратной, а её определитель Δ=│А│называется определителем системы.

— Предположим, что │А│не равен нулю, тогда существует обратная матрица А -1 .

— Умножая слева обе части матричного равенства на обратную матрицу А -1 получим:

— А -1 (АХ)= А -1 В.

Решением системы уравнений методом обратной матрицы будет матрица-столбец:

Х= А -1 В.

(А -1 А)Х =ЕХ =Х

— Теорема Крамера. Пусть Δ – определитель матрицы системы А, а Δ j – определитель матрицы, полученный из матрицы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда если Δ не равен нулю, то система имеет единственное решение, определённое по формулам Крамера:

где j=1..n.

№33

—
Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида.

— Рассмотрим матрицу:

— эта матрица называется расширенной матрицей системы (1), так как в нее кроме матрицы системы А, дополнительно включен столбец свободных членов.

№26

— N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде Х=(х 1 ,х 2 ,…х n) , где х i – i-я компонента вектора Х.

— Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. Х=У, если x i =y i , i=1…n.

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие приведённым выше свойствам, называется векторным пространством.

— Векторное пространство R, называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые n+1 векторов уже являются зависимыми. Число n называется размерностью векторного пространство R и обозначается dim(R).

№29

Линейные операторы

— Определение. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору x пространства ставится в соответствие единственный вектор y пространства

то говорят: что задан оператор (преобразование, отображение) A(x), действующий из в и

записывают y=A(x).

— Оператор называется линейным, если для любого вектора x и y пространства

и любого числа λ выполняются следующие соотношения:

№37

— Пустъ А – множество, состоящее из конечного числа элементов a 1 , a 2, a 3 …a n . Из различных элементов множества А можно образовывать группы. Если в каждую группу входит одно и то же число элементов m (m из n), то говорят, что они образуют соединения из n элементов пo m в каждом. Различают три вида соединений: размещения, сочетания и перестановки.

— Соединения, в каждое из которых входят все n элементов множества А и которые, следовательно, отличаются друг от друга только порядком элементов называются перестановками из n элементов. Число таких перестановок обозначается символом Р n .

№35

Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности событий.

Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим.

Рассмотрим испытание, в результате которого может произойти событие A. Каждый исход, при котором осуществляется событие A, называется благоприятным событию A.

Вероятностью события A (обозначают P(A)) называется отношение числа исходов, благоприятных событию A (обозначают k), к числу всех исходов испытания – N т.е. P(A)= k/ N.

— Из классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

— Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

— Вероятность достоверного события равна единице.

— Вероятность невозможного события равна нулю

№39, 40

— Теорема сложения. Если А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) +Р(В)