Лекция 9.

Аналитическая геометрия в пространстве.

Общее уравнение плоскости.

Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:

Ax + By + Cz + D = 0,

где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

Возможны следующие частные случаи:

А = 0 – плоскость параллельна оси Ох

В = 0 – плоскость параллельна оси Оу

С = 0 – плоскость параллельна оси Оz

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz

В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz

А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу

С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz

А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу

А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz

В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz

Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

Рассмотрим точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) в декартовой системе координат.

Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М 1 , М 2 , М 3 необходимо, чтобы векторы
были компланарны т.е. их смешанное произведение:

(
) = 0

Таким образом,

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

Уравнение плоскости проходящей через две точки параллельно вектору.

Пусть заданы точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2) и вектор
.

Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М 1 и М 2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору .

Векторы
и вектор
должны быть компланарны, т.е.

(
) = 0

Уравнение плоскости:

Уравнение плоскости проходящей через точку параллельно двум векторам.

Пусть заданы два вектора
и
, коллинеарные плоскости и точка М 1 (х 1 , у 1 , z 1). Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы
должны быть компланарны.

Уравнение плоскости:

Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярной вектору.

Теорема. Если в пространстве задана точка М 0 (х 0 , у 0 , z 0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 перпендикулярно вектору нормали (A, B, C) имеет вид:

A (x – x 0 ) + B (y – y 0 ) + C (z – z 0 ) = 0.

Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор . Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору
. Тогда скалярное произведение

= 0

Таким образом, получаем уравнение плоскости

Теорема доказана.

Уравнение плоскости в отрезках.

Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на -D

,

заменив
, получим уравнение плоскости в отрезках:

Числа a, b, c отрезки отсекаемые плоскостью при пересечении соответственно осей х, у, z декартовой прямоугольной системы координат.

Уравнение плоскости в векторной форме.

где

- радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),

Единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.

,  и  - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.

p – длина этого перпендикуляра.

В координатах это уравнение имеет вид:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Параметрическое уравнение плоскости

Пусть в пространстве задана точка М 0 (х 0 , у 0 , z 0) и два неколлинеарных вектора

(p 1 , p 2 , p 3) и (q 1 , q 2 , q 3). Пусть М(х, у, z) текущая точка плоскости. Так как векторы инеколлинеарны, то они на плоскости составляют базис, по которому разложим вектор
=t+s, где t,s – параметры. Поместим произвольно на плоскость декартову прямоугольную систему координат так, что бы оси Ох и Оу лежали в плоскости. Из центра О проведем в точки М 0 и M радиусы векторы и. Тогда
=-и

=+t+s .

Это параметрическое уравнение плоскости в векторной форме, а в скалярной форме

x=x 0 +p 1 t + q 1 s

y=y 0 +p 2 t + q 2 s

z=z 0 +p 3 t + q 3 s

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от произвольной точки М 0 (х 0 , у 0 , z 0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:

Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Пример . Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки

P(2; 0; -1) и Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.

Вектор нормали к плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0
параллелен искомой плоскости.

Получаем:

Пример . Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и

В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.

Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости (A, B, C). Вектор
(1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали(1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то

Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 112 + 71 - 24 + D = 0; D = -21.

Итак, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

Пример . Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

Находим координаты вектора нормали
= (4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости имеет вид: 4x – 3y + 12z + D = 0. Для нахождения коэффициента D подставим в уравнение координаты точки Р:

16 + 9 + 144 + D = 0

Итак, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0

Пример . Даны координаты вершин пирамиды

А 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1), A 4 (1; 2; 5).

Найти длину ребра А 1 А 2 .

Найти угол между ребрами А 1 А 2 и А 1 А 4 .

Найти угол между ребром А 1 А 4 и гранью А 1 А 2 А 3 .

Сначала найдем вектор нормали к грани А 1 А 2 А 3 -как векторное произведение векторов
и
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Найдем угол между вектором нормали и вектором
.

-4 – 4 = -8.

Искомый угол  между вектором и плоскостью будет равен  = 90 0 - .

Найти площадь грани А 1 А 2 А 3 .

Найти объем пирамиды.

Найти уравнение плоскости А 1 А 2 А 3 .

Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

Уравнение поверхности в пространстве

Определение. Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.

Общее уравнение плоскости

Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:

Ax + By + Cz + D = 0,

где А, В, С - координаты вектора

вектор нормали к плоскости. Возможны следующие частные случаи:

А = 0 - плоскость параллельна оси Ох

В = 0 - плоскость параллельна оси Оу

С = 0 - плоскость параллельна оси Оz

D = 0 - плоскость проходит через начало координат

А = В = 0 - плоскость параллельна плоскости хОу

А = С = 0 - плоскость параллельна плоскости хОz

В = С = 0 - плоскость параллельна плоскости yOz

А = D = 0 - плоскость проходит через ось Ох

В = D = 0 - плоскость проходит через ось Оу

С = D = 0 - плоскость проходит через ось Oz

А = В = D = 0 - плоскость совпадает с плоскостью хОу

А = С = D = 0 - плоскость совпадает с плоскостью xOz

В = С = D = 0 - плоскость совпадает с плоскостью yOz

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат. Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы были компланарны.

Таким образом,

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости

Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор.

Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору.

Векторы и вектор должны быть компланарны, т.е.

Уравнение плоскости:

Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости

Пусть заданы два вектора и, коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы должны быть компланарны. Уравнение плоскости:

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали

Теорема. Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали (A, B, C) имеет вид:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.

Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор. Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору. Тогда скалярное произведение

Таким образом, получаем уравнение плоскости

Теорема доказана.

Общее уравнение прямой называется полным , если все его коэффициенты не равны 0. в противном случае уравнение называется неполным .

D=0 Ax+Ву+Сz=0 – плоскость, проходящая через начало координат.

Остальные случаи определяются положением нормального вектора n={ А;В;С}.

А=0 Ву+Сz+D=0 – уравнениеплоскости, параллельной оси Ох. (Т.к. нормальный вектор n={ 0;В;С} перпендикулярен оси Ох).

В=0 Ах+ Сz+D=0 - уравнениеплоскости, параллельной оси Оу. (Т.к. нормальный вектор n={ А;0;С} перпендикулярен оси Оy).

С=0 Ах+Ву +D=0 - уравнениеплоскости, параллельной оси О z . (Т.к. нормальный вектор n={ А;B;0} перпендикулярен оси Оz).

А=В=0 Сz+D=0 – z=-D/C – уравнение плоскости, параллельной плоскости Оху (т.к. эта плоскость параллельна осям Ох и Оу).

А=С=0 Ву+D=0 - у=-D/В- уравнение плоскости, параллельной плоскости Охz (т.к. эта плоскость параллельна осям Ох и Оz).

В=С=0 Ах+D=0 – x=-D/A- уравнение плоскости, параллельной плоскости Оуz (т.к. эта плоскость параллельна осям Оу и Оz).

A=D=0 By+Cz=0 - уравнение плоскости, проходящей через ось Ох.

B=D=0 Ax+Cz=0 - уравнение плоскости, проходящей через ось Оy.

A=B=D=0 Cz=0 (z=0) – координатная плоскость Оху. (т.к. эта плоскость параллельна Оху и проходит через начало координат).

А=С=D=0 By=0 (y=0) – координатная плоскость Охz. (т.к. эта плоскость параллельна Охz и проходит через начало координат).

B=C=D=0 Ax=0 (x=0) – координатная плоскость Оуz. (т.к. эта плоскость параллельна Оуz и проходит через начало координат).

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Выведем уравнение плоскости, проходящей через 3 различные точки М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1), М 2 (х 2 ;у 2 ;z 2), М 3 (х 3 ;у 3 ;z 3), не лежащие на одной прямой. Тогда векторы М 1 М 2 =(х 2 -х 1 ;у 2 -у 1 ;z 2 -z 1) и М 1 М 3 =(х 3 -х 1 ;у 3 -у 1 ;z 3 -z 1) не коллинеарны. Поэтому точка М(х,у,z) лежит в одной плоскости с точками М 1 , М 2 и М 3 тогда и только тогда, когда векторы М 1 М 2 , М 1 М 3 и М 1 М =(х-х 1 ;у-у 1 ;z-z 1) - компланарны, т.е. , когда их смешанное произведение равно 0

(М 1 М· М 1 М 2 · М 1 М 3 =0) , т.е.

(4) Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.

(Разложив определитель по 1-й строке и упростив получим общее уравнение плоскости: Ах+Ву+Сz+D=0).

Т.о. три точки однозначно определяют плоскость.

Уравнение плоскости в отрезках на осях.

Плоскость Π пересекает оси координат в точках М 1 (а;0;0), М 2 (0;b;0), M 3 (0;0;c).

М(х;у;z)- переменная точка плоскости.

М 1 М =(х-а;у;z)

М 1 М 2 =(0-а;b;0) определяют данную плоскость

М 1 М 3 =(-a;0;c)

Т.е. М 1 М· М 1 М 2 · М 1 М 3 =0

Разложим по 1-й строке: (х-а)bc-y(-ac)+zab=xbc-abc+yac+zab=0

Разделим равенство на abc≠0. Получим:

(5) уравнение плоскости в отрезках на осях.

Уравнение (5) можно получить из общего уравнения плоскости, предполагая, что D≠0, разделим на D

Обозначив –D/A=a, -D/B=b, -C/D=c – получим уравнение 4.

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Угол φ между двумя плоскостями α 1 и α 2 измеряется плоским углом между 2 лучами, перпендикулярными прямой, по которой эти плоскости пересекаются. Любые две пересекающиеся плоскости образуют два угла, в сумме равных . Достаточно определить один из этих углов.

Пусть плоскости заданы общими уравнениями:

 1 : A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0

 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 =0

Рассмотрим ПДСК {O,i ,j ,k } в пространстве R 3 . Пусть  – некоторая плоскость и вектор  N перпендикулярен . Зафиксируем на плоскости  произвольную точку М 0 и возьмем текущую точку М пространства.. Обозначим `r =
и`r 0 =
. Тогда
=`r – `r 0 , а точка М тогда и только тогда, когда векторы ` N и
ортогональны. Последнее возможно, когда

N .
= 0, т.е.N . (`r – `r 0) = 0, (9)

это уравнение называется векторным уравнением плоскости. Вектор ` N называют нормальным вектором плоскости.

Если ` N =(А , В , С ), М 0 (х 0 , у 0 , z 0) , М(х , у , z ) , то уравнение (9) примет вид

А(х – х 0) + В(у – у 0) + С(z – z 0) = 0, (10).

Это уравнение называют уравнением плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Как известно, через три точки можно провести единственную плоскость. Пусть М 1 (х 1 , у 1 , z 1), М 3 (х 2 , у 2 , z 2), М 3 (х 3 , у 3 , z 3). Найдем уравнение этой плоскости. Согласно векторному уравнению (9), чтобы записать это уравнение, необходимо знать точку плоскости и нормальный вектор. Точка у нас есть (например М 1). А в качестве нормального вектора подойдет любой вектор, перпендикулярный этой плоскости. Известно, что векторное произведение двух векторов перпендикулярно плоскости, в которой лежат эти векторы. Следовательно, векторное произведение векторов
и
можно взять в качестве нормального вектора плоскости :

` N =


Тогда уравнение плоскости  в векторной форме имеет вид

. (

) =
.
.
= 0.

(заметим, что получили условие компланарности векторов
,
,
).

Через координаты точек М 1 , М 2 , М 3 и М это уравнение запишется так

, (11)

и называется уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки М 1 (х 1 , у 1 , z 1), М 2 (х 2 , у 2 , z 2), М 3 (х 3 , у 3 , z 3).

Рассмотрим вновь уравнение (9), преобразуем его:

Ах + Ву + Cz +(–Ах 0 – Ву 0 – Cz 0) = 0 ,

Ах + Ву + Cz +D = 0, где D = (–Ах 0 – Ву 0 – Cz 0) .

Уравнение

Ах + Ву + Cz +D = 0, (12)

называется общим уравнением плоскости. Здесь векторN = (A , B , C ) – нормальный вектор плоскости (т.е. вектор, перпендикулярный плоскости). Справедлива теорема:

Теорема 4.2.

В пространстве R 3 всякая плоскость может быть описана линейным относительно переменных x y , z уравнением и наоборот, любое уравнение первой степени определяет некоторую плоскость.

Изучим расположение плоскости относительно системы координат по ее общему уравнению Ах + Ву + Cz +D = 0 .

Если коэффициент D = 0, то координаты точки О(0, 0, 0) удовлетворяют уравнению Ах + Ву + Cz = 0, значит, эта точка лежит на плоскости, т.е. плоскость с уравнением Ах + Ву + Cz = 0 проходит через начало координат.

Если в общем уравнении плоскости отсутствует одна из переменных (соответствующий коэффициент равен нулю), то плоскость параллельна одноименной оси координат. Например, уравнение Ах + Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси ОУ. Действительно, вектор нормали имеет координаты ` N = (А, 0, С) и легко проверить, что ` N j . Но если плоскость и вектор перпендикулярны одному и тому же вектору, то они параллельны. Плоскость с уравнением Ву + Cz = 0, в таком случае, проходит через ось ОХ (т.е. эта ось лежит на плоскости)

Отсутствие двух переменных в уравнении плоскости означает, что плоскость параллельна соответствующей координатной плоскости, например, уравнение вида Ах + D = 0 определяет плоскость, параллельную плоскости УОZ. Вектор нормали имеет координаты ` N = (А, 0, 0), он коллинеарен вектору i , и,следовательно, плоскость перпендикулярна вектору i , или параллельна плоскости УОZ.

Уравнения координатных плоскостей имеют вид: пл. ХОУ: z = 0, пл. XOZ: y = 0, пл. YOZ: x = 0.

Действительно, плоскость ХОУ проходит через начало координат (D = 0) и вектор k =(0, 0, 1) – ее нормальный вектор. Аналогично плоскости ХОZ и УОZ проходят через начало координат(D = 0) и векторы j =(0, 1, 0) и i = (1,0,0) – их нормали соответственно.

Если D0, то преобразуем общее уравнение так

Ах + Ву +Сz = –D ,
,
.

Обозначив здесь
,
,
, получим уравнение
, (13)

которое называется уравнением плоскости в отрезках на осях . Здесь а , b , c – величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат (рис.). Это уравнение удобно использовать для построения плоскости в системе координат. Нетрудно убедиться, что точки (а , 0, 0), (0. b , 0), (0, 0, с ) лежат на плоскости. Прямые, проходящие через эти точки, называются следами плоскости на координатных плоскостях.

Например, построим плоскость

2х – 3у + 4z –12 = 0.

Приведем это уравнение к виду (13), получим

Для построения плоскости в системе координат, отметим на оси ОХ точку (6, 0, 0), на оси ОУ точку (0, -4, 0), на оси ОZ – (0, 0, 3), соединим их отрезками прямы (следы плоскости). Полученный треугольник есть часть искомой плоскости, заключенная между осями координат.

Таким образом, чтобы найти уравнение плоскости , достаточно знать

Либо нормальный вектор этой плоскости и любую ее точку (уравнение (10));

Либо три точки, лежащие на плоскости (уравнение (11)).

Взаимное расположение плоскостей в пространстве удобно изучать с помощью соответствующих им векторов. Если  – плоскость с нормальным вектором N, то

.

Вывод формулы аналогичен тому, как это было проделано для прямой на плоскости. Провести его самостоятельно.

Можно задавать разными способами (одной точкой и вектором, двумя точками и вектором, тремя точками и др.). Именно с учетом этого уравнение плоскости может иметь различные виды. Также при соблюдении определенных условий плоскости могут быть параллельными, перпендикулярными, пересекающимися и т.д. Об этом и поговорим в данной статье. Мы научимся составлять общее уравнение плоскости и не только.

Нормальный вид уравнения

Допустим, есть пространство R 3 , которое имеет прямоугольную координатную систему XYZ. Зададим вектор α, который будет выпущен из начальной точки О. Через конец вектора α проведем плоскость П, которая будет ему перпендикулярна.

Обозначим на П произвольную точку Q=(х,у,z). Радиус-вектор точки Q подпишем буквой р. При этом длина вектора α равняется р=IαI и Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Это единичный вектор, который направлен в сторону, как и вектор α. α, β и γ - это углы, которые образуются между вектором Ʋ и положительными направлениями осей пространства х, у, z соответственно. Проекция какой-либо точки QϵП на вектор Ʋ является постоянной величиной, которая равна р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Указанное уравнение имеет смысл, когда р=0. Единственное, плоскость П в этом случае будет пересекать точку О (α=0), которая является началом координат, и единичный вектор Ʋ, выпущенный из точки О, будет перпендикулярен к П, несмотря на его направление, что означает, что вектор Ʋ определяется с точностью до знака. Предыдущее уравнение является уравнением нашей плоскости П, выраженным в векторной форме. А вот в координатах его вид будет таким:

Р здесь больше или равно 0. Мы нашли уравнение плоскости в пространстве в нормальном виде.

Общее уравнение

Если уравнение в координатах умножим на любое число, которое не равно нулю, получим уравнение, эквивалентное данному, определяющее ту самую плоскость. Оно будет иметь такой вид:

Здесь А, В, С - это числа, одновременно отличные от нуля. Это уравнение именуется как уравнение плоскости общего вида.

Уравнения плоскостей. Частные случаи

Уравнение в общем виде может видоизменяться при наличии дополнительных условий. Рассмотрим некоторые из них.

Предположим, что коэффициент А равен 0. Это означает, что данная плоскость параллельна заданной оси Ох. В этом случае вид уравнения изменится: Ву+Cz+D=0.

Аналогично вид уравнения будет изменяться и при следующих условиях:

• Во-первых, если В=0, то уравнение изменится на Ах+Cz+D=0, что будет свидетельствовать о параллельности к оси Оу.
• Во-вторых, если С=0, то уравнение преобразуется в Ах+Ву+D=0, что будет говорить о параллельности к заданной оси Oz.
• В-третьих, если D=0, уравнение будет выглядеть как Ах+Ву+Cz=0, что будет означать, что плоскость пересекает О (начало координат).
• В-четвертых, если A=B=0, то уравнение изменится на Cz+D=0, что будет доказывать параллельность к Oxy.
• В-пятых, если B=C=0, то уравнение станет Ах+D=0, а это означает, что плоскость к Oyz параллельна.
• В-шестых, если A=C=0, то уравнение приобретет вид Ву+D=0, то есть будет сообщать о параллельности к Oxz.

Вид уравнения в отрезках

В случае когда числа А, В, С, D отличны от нуля, вид уравнения (0) может быть следующим:

х/а + у/b + z/с = 1,

в котором а = -D/А, b = -D/В, с = -D/С.

Получаем в итоге Стоит отметить, что данная плоскость будет пересекать ось Ох в точке с координатами (а,0,0), Оу - (0,b,0), а Oz - (0,0,с).

С учетом уравнения х/а + у/b + z/с = 1 нетрудно визуально представить размещение плоскости относительно заданной координатной системы.

Координаты нормального вектора

Нормальный вектор n к плоскости П имеет координаты, которые являются коэффициентами общего уравнения данной плоскости, то есть n (А,В,С).

Для того чтобы определить координаты нормали n, достаточно знать общее уравнение заданной плоскости.

При использовании уравнения в отрезках, которое имеет вид х/а + у/b + z/с = 1, как и при использовании общего уравнения, можно записать координаты любого нормального вектора заданной плоскости: (1/а + 1/b + 1/с).

Стоит отметить, что нормальный вектор помогает решить разнообразные задачи. К самым распространенным относятся задачи, заключающиеся в доказательстве перпендикулярности или параллельности плоскостей, задачи по нахождению углов между плоскостями или углов между плоскостями и прямыми.

Вид уравнения плоскости согласно координатам точки и нормального вектора

Ненулевой вектор n, перпендикулярный заданной плоскости, называют нормальным (нормалью) для заданной плоскости.

Предположим, что в координатном пространстве (прямоугольной координатной системе) Oxyz заданы:

• точка Мₒ с координатами (хₒ,уₒ,zₒ);
• нулевой вектор n=А*i+В*j+С*k.

Нужно составить уравнение плоскости, которая будет проходить через точку Мₒ перпендикулярно нормали n.

В пространстве выберем любую произвольную точку и обозначим ее М (х у,z). Пускай радиус-вектор всякой точки М (х,у,z) будет r=х*i+у*j+z*k, а радиус-вектор точки Мₒ (хₒ,уₒ,zₒ) - rₒ=хₒ*i+уₒ*j+zₒ*k. Точка М будет принадлежать заданной плоскости, если вектор МₒМ будет перпендикулярен вектору n. Запишем условие ортогональности при помощи скалярного произведения:

[МₒМ, n] = 0.

Поскольку МₒМ = r-rₒ, векторное уравнение плоскости выглядеть будет так:

Данное уравнение может иметь и другую форму. Для этого используются свойства скалярного произведения, а преобразовывается левая сторона уравнения. = - . Если обозначить как с, то получится следующее уравнение: - с = 0 или = с, которое выражает постоянство проекций на нормальный вектор радиус-векторов заданных точек, которые принадлежат плоскости.

Теперь можно получить координатный вид записи векторного уравнения нашей плоскости = 0. Поскольку r-rₒ = (х-хₒ)*i + (у-уₒ)*j + (z-zₒ)*k, а n = А*i+В*j+С*k, мы имеем:

Выходит, у нас образовывается уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормали n:

А*(х- хₒ)+В*(у- уₒ)С*(z-zₒ)=0.

Вид уравнения плоскости согласно координатам двух точек и вектора, коллинеарного плоскости

Зададим две произвольные точки М′ (х′,у′,z′) и М″ (х″,у″,z″), а также вектор а (а′,а″,а‴).

Теперь мы сможем составить уравнение заданной плоскости, которая будет проходить через имеющиеся точки М′ и М″, а также всякую точку М с координатами (х,у,z) параллельно заданному вектору а.

При этом векторы М′М={х-х′;у-у′;z-z′} и М″М={х″-х′;у″-у′;z″-z′} должны быть компланарными с вектором а=(а′,а″,а‴), а это значит, что (М′М, М″М, а)=0.

Итак, наше уравнение плоскости в пространстве будет выглядеть так:

Вид уравнения плоскости, пересекающей три точки

Допустим, у нас есть три точки: (х′,у′,z′), (х″,у″,z″), (х‴,у‴,z‴), которые не принадлежат одной прямой. Необходимо написать уравнение плоскости, проходящей через заданные три точки. Теория геометрии утверждает, что такого рода плоскость действительно существует, вот только она единственная и неповторимая. Поскольку эта плоскость пересекает точку (х′,у′,z′), вид ее уравнения будет следующим:

Здесь А, В, С отличные от нуля одновременно. Также заданная плоскость пересекает еще две точки: (х″,у″,z″) и (х‴,у‴,z‴). В связи с этим должны выполняться такого рода условия:

Сейчас мы можем составить однородную систему с неизвестными u, v, w:

В нашем случае х,у или z выступает произвольной точкой, которая удовлетворяет уравнение (1). Учитывая уравнение (1) и систему из уравнений (2) и (3), системе уравнений, указанной на рисунке выше, удовлетворяет вектор N (А,В,С), который является нетривиальным. Именно потому определитель данной системы равняется нулю.

Уравнение (1), которое у нас получилось, это и есть уравнение плоскости. Через 3 точки она точно проходит, и это легко проверить. Для этого нужно разложить наш определитель по элементам, находящимся в первой строке. Из существующих свойств определителя вытекает, что наша плоскость одновременно пересекает три изначально заданные точки (х′,у′,z′), (х″,у″,z″), (х‴,у‴,z‴). То есть мы решили поставленную перед нами задачу.

Двухгранный угол между плоскостями

Двухгранный угол представляет собой пространственную геометрическую фигуру, образованную двумя полуплоскостями, которые исходят из одной прямой. Иными словами, это часть пространства, которая ограничивается данными полуплоскостями.

Допустим, у нас имеются две плоскости со следующими уравнениями:

Нам известно, что векторы N=(А,В,С) и N¹=(А¹,В¹,С¹) перпендикулярны согласно заданным плоскостям. В связи с этим угол φ меж векторами N и N¹ равняется углу (двухгранному), который находится между этими плоскостями. Скалярное произведение имеет вид:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

именно потому

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(АА¹+ВВ¹+СС¹)/((√(А²+В²+С²))*(√(А¹)²+(В¹)²+(С¹)²)).

Достаточно учесть, что 0≤φ≤π.

На самом деле две плоскости, которые пересекаются, образуют два угла (двухгранных): φ 1 и φ 2 . Сумма их равна π (φ 1 + φ 2 = π). Что касается их косинусов, то их абсолютные величины равны, но различаются они знаками, то есть cos φ 1 =-cos φ 2 . Если в уравнении (0) заменить А, В и С на числа -А, -В и -С соответственно, то уравнение, которое мы получим, будет определять эту же плоскость, единственное, угол φ в уравнении cos φ= NN 1 /|N||N 1 | будет заменен на π-φ.

Уравнение перпендикулярной плоскости

Перпендикулярными называются плоскости, между которыми угол равен 90 градусов. Используя материал, изложенный выше, мы можем найти уравнение плоскости, перпендикулярной другой. Допустим, у нас имеются две плоскости: Ах+Ву+Cz+D=0 и А¹х+В¹у+С¹z+D=0. Мы можем утверждать, что перпендикулярными они будут, если cosφ=0. Это значит, что NN¹=АА¹+ВВ¹+СС¹=0.

Уравнение параллельной плоскости

Параллельными называются две плоскости, которые не содержат общих точек.

Условие (их уравнения те же, что и в предыдущем пункте) заключается в том, что векторы N и N¹, которые к ним перпендикулярны, коллинеарные. А это значит, что выполняются следующие условия пропорциональности:

А/А¹=В/В¹=С/С¹.

Если условия пропорциональности являются расширенными - А/А¹=В/В¹=С/С¹=DD¹,

это свидетельствует о том, что данные плоскости совпадают. А это значит, что уравнения Ах+Ву+Cz+D=0 и А¹х+В¹у+С¹z+D¹=0 описывают одну плоскость.

Расстояние до плоскости от точки

Допустим, у нас есть плоскость П, которая задана уравнением (0). Необходимо найти до нее расстояние от точки с координатами (хₒ,уₒ,zₒ)=Qₒ. Чтобы это сделать, нужно привести уравнение плоскости П в нормальный вид:

(ρ,v)=р (р≥0).

В данном случае ρ (х,у,z) является радиус-вектором нашей точки Q, расположенной на П, р - это длина перпендикуляра П, который был выпущен из нулевой точки, v - это единичный вектор, который расположен в направлении а.

Разница ρ-ρº радиус-вектора какой-нибудь точки Q=(х,у,z), принадлежащий П, а также радиус-вектора заданной точки Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) является таким вектором, абсолютная величина проекции которого на v равняется расстоянию d, которое нужно найти от Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) до П:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, но

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Вот и получается,

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Таким образом, мы найдем абсолютное значение полученного выражения, то есть искомое d.

Используя язык параметров, получаем очевидное:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Если заданная точка Q 0 находится по другую сторону от плоскости П, как и начало координат, то между вектором ρ-ρ 0 и v находится следовательно:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

В случае когда точка Q 0 совместно с началом координат располагается по одну и ту же сторону от П, то создаваемый угол острый, то есть:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

В итоге получается, что в первом случае (ρ 0 ,v)>р, во втором (ρ 0 ,v)<р.

Касательная плоскость и ее уравнение

Касающаяся плоскость к поверхности в точке касания Мº - это плоскость, содержащая все возможные касательные к кривым, проведенным через эту точку на поверхности.

При таком виде уравнения поверхности F(х,у,z)=0 уравнение касательной плоскости в касательной точке Мº(хº,уº,zº) будет выглядеть так:

F х (хº,уº,zº)(х- хº)+ F х (хº, уº, zº)(у- уº)+ F х (хº, уº,zº)(z-zº)=0.

Если задать поверхность в явной форме z=f (х,у), то касательная плоскость будет описана уравнением:

z-zº =f(хº, уº)(х- хº)+f(хº, уº)(у- уº).

Пересечение двух плоскостей

В расположена система координат (прямоугольная) Oxyz, даны две плоскости П′ и П″, которые пересекаются и не совпадают. Поскольку любая плоскость, находящаяся в прямоугольной координатной системе, определяется общим уравнением, будем полагать, что П′ и П″ задаются уравнениями А′х+В′у+С′z+D′=0 и А″х+В″у+С″z+D″=0. В таком случае имеем нормаль n′ (А′,В′,С′) плоскости П′ и нормаль n″ (А″,В″,С″) плоскости П″. Поскольку наши плоскости не параллельны и не совпадают, то эти векторы являются не коллинеарными. Используя язык математики, мы данное условие можем записать так: n′≠ n″ ↔ (А′,В′,С′) ≠ (λ*А″,λ*В″,λ*С″), λϵR. Пускай прямая, которая лежит на пересечении П′ и П″, будет обозначаться буквой а, в этом случае а = П′ ∩ П″.

а - это прямая, состоящая из множества всех точек (общих) плоскостей П′ и П″. Это значит, что координаты любой точки, принадлежащей прямой а, должны одновременно удовлетворять уравнения А′х+В′у+С′z+D′=0 и А″х+В″у+С″z+D″=0. Значит, координаты точки будут частным решением следующей системы уравнений:

В итоге получается, что решение (общее) этой системы уравнений будет определять координаты каждой из точек прямой, которая будет выступать точкой пересечения П′ и П″, и определять прямую а в координатной системе Oxyz (прямоугольной) в пространстве.