Rozbaliť modul výrazu:

Sekcia 2. Základné vlastnosti.

Ďalší dôležitý fakt: modul nie je nikdy záporný. Bez ohľadu na to, aké číslo vezmeme - dokonca aj pozitívne, dokonca aj negatívne - jeho modul sa vždy ukáže ako kladný (alebo v extrémnych prípadoch nula). Preto sa modul často nazýva absolútna hodnota čísla.

Okrem toho, ak spojíme definíciu modulu pre kladné a záporné číslo, dostaneme globálnu definíciu modulu pre všetky čísla. Konkrétne: modul čísla sa rovná tomuto číslu samotnému, ak je číslo kladné (alebo nule), alebo sa rovná opačnému číslu, ak je záporné. Môžete to napísať ako vzorec:

Existuje aj modul nula, ale vždy sa rovná nule. Nula je tiež jediné číslo, ktoré nemá opak.

Ak teda vezmeme do úvahy funkciu $y=\left| x \right|$ a skúste nakresliť jeho graf, dostanete také „daw“:

Príklad riešenia grafu modulu a rovnice

Z tohto obrázku môžete okamžite vidieť, že $\left| -m \vpravo|=\vľavo| m \right|$ a graf modulu nikdy neklesne pod os x. Ale to nie je všetko: červená čiara označuje priamku $y=a$, ktorá s kladným znakom $a$ dáva dva korene naraz: $((x)_(1))$ a $((x) _(2)) $, ale o tom si povieme neskôr. :)

Okrem čisto algebraickej definície existuje aj geometrická. Povedzme, že na číselnej osi sú dva body: $((x)_(1))$ a $((x)_(2))$. V tomto prípade výraz $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ je len vzdialenosť medzi určenými bodmi. Alebo, ak chcete, dĺžka segmentu spájajúceho tieto body:

Z tejto definície tiež vyplýva, že modul je vždy nezáporný. Ale dosť už definícií a teórie – prejdime k reálnym rovniciam. :)

Základný vzorec

Dobre, vyriešili sme definíciu. Ale to to vôbec neuľahčilo. Ako vyriešiť rovnice obsahujúce práve tento modul?

Pokojne, len pokojne. Začnime tými najjednoduchšími vecami. Zvážte niečo takéto:

\[\left| x\vpravo|=3\]

Takže modul $x$ je 3. Čomu by sa $x$ mohlo rovnať? No, súdiac podľa definície, sme celkom spokojní s $x=3$. naozaj:

\[\left| 3\vpravo|=3\]

Existujú aj iné čísla? Zdá sa, že Cap naznačuje, že existuje. Napríklad $x=-3$ je tiež $\left| -3 \vpravo|=3$, t.j. je splnená požadovaná rovnosť.

Takže možno ak budeme hľadať a premýšľať, nájdeme ďalšie čísla? Ale povedzme si na rovinu: už neexistujú žiadne čísla. Rovnica $\left| x \right|=3$ má iba dva korene: $x=3$ a $x=-3$.

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme. Nech namiesto premennej $x$ pod znamienkom modulu visí funkcia $f\left(x \right)$ a napravo namiesto trojky dáme ľubovoľné číslo $a$. Dostaneme rovnicu:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]

Ako to teda môžeme vyriešiť? Dovoľte mi pripomenúť: $f\left(x \right)$ je ľubovoľná funkcia, $a$ je ľubovoľné číslo. Tie. Vôbec nič! Napríklad:

\[\left| 2x+1 \vpravo|=5\]

\[\left| 10x-5 \right|=-65\]

Venujme pozornosť druhej rovnici. Okamžite o ňom môžete povedať: nemá korene. prečo? Všetko je správne: pretože to vyžaduje, aby sa modul rovnal zápornému číslu, čo sa nikdy nestane, pretože už vieme, že modul je vždy kladné číslo alebo v extrémnych prípadoch nula.

Ale s prvou rovnicou je všetko zábavnejšie. Sú dve možnosti: buď je pod znamienkom modulu kladný výraz a potom $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, alebo tento výraz je stále záporný, a potom $\left| 2x+1 \vpravo|=-\vľavo(2x+1 \vpravo)=-2x-1$. V prvom prípade bude naša rovnica prepísaná takto:

\[\left| 2x+1 \vpravo|=5\Šípka doprava 2x+1=5\]

A zrazu sa ukáže, že submodulárny výraz $2x+1$ je skutočne kladný – rovná sa číslu 5. To znamená môžeme túto rovnicu bezpečne vyriešiť - výsledný koreň bude súčasťou odpovede:

Tí, ktorí sú obzvlášť nedôverčiví, môžu skúsiť dosadiť nájdený koreň do pôvodnej rovnice a uistiť sa, že pod modulom je naozaj kladné číslo.

Teraz sa pozrime na prípad negatívneho submodulárneho výrazu:

\[\left\( \začiatok(zarovnanie)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(zarovnanie) \vpravo.\Šípka doprava -2x-1=5 \Šípka doprava 2x+1=-5\]

Ojoj! Opäť je všetko jasné: predpokladali sme, že $2x+1 \lt 0$, a ako výsledok sme dostali, že $2x+1=-5$ – tento výraz je skutočne menší ako nula. Vyriešime výslednú rovnicu, pričom už s istotou vieme, že nájdený koreň nám bude vyhovovať:

Celkovo sme opäť dostali dve odpovede: $x=2$ a $x=3$. Áno, množstvo výpočtov sa ukázalo byť o niečo väčšie ako vo veľmi jednoduchej rovnici $\left| x \right|=3$, ale nič zásadne sa nezmenilo. Takže možno existuje nejaký univerzálny algoritmus?

Áno, takýto algoritmus existuje. A teraz to analyzujeme.

Zbavenie sa znamienka modulu

Dajme nám rovnicu $\left| f\left(x \right) \right|=a$ a $a\ge 0$ (inak, ako už vieme, neexistujú žiadne korene). Potom sa môžete zbaviť znamienka modulu pomocou nasledujúceho pravidla:

\[\left| f\vľavo(x \vpravo) \vpravo|=a\Šípka vpravo f\vľavo(x \vpravo)=\pm a\]

Naša rovnica s modulom sa teda rozdelí na dve, ale bez modulu. To je celá technológia! Skúsme vyriešiť pár rovníc. Začnime týmto

\[\left| 5x+4 \vpravo|=10\Šípka doprava 5x+4=\pm 10\]

Uvažujme zvlášť, keď je vpravo desať plus, a zvlášť, keď je mínus. Máme:

\[\začiatok(zarovnanie)& 5x+4=10\šípka doprava 5x=6\šípka doprava x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\šípka doprava 5x=-14\šípka doprava x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\end(zarovnať)\]

To je všetko! Máme dva korene: $x=1,2$ a $x=-2,8$. Celé riešenie trvalo doslova dva riadky.

Ok, žiadna otázka, pozrime sa na niečo trochu vážnejšie:

\[\left| 7-5x\vpravo|=13\]

Opäť otvoríme modul plus a mínus:

\[\začiatok(zarovnanie)& 7-5x=13\šípka doprava -5x=6\šípka doprava x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Šípka doprava -5x=-20\Šípka doprava x=4. \\\end(zarovnať)\]

Znova pár riadkov - a odpoveď je pripravená! Ako som povedal, na moduloch nie je nič zložité. Stačí si zapamätať niekoľko pravidiel. Preto ideme ďalej a začíname so skutočne zložitejšími úlohami.

Prípad premennej na pravej strane

Teraz zvážte túto rovnicu:

\[\left| 3x-2 \vpravo|=2x\]

Táto rovnica sa zásadne líši od všetkých predchádzajúcich. Ako? A to, že napravo od znamienka rovnosti je výraz $2x$ - a nemôžeme vopred vedieť, či je kladný alebo záporný.

Čo robiť v tomto prípade? Najprv to musíme raz a navždy pochopiť ak sa ukáže, že pravá strana rovnice je záporná, potom rovnica nebude mať žiadne korene- už vieme, že modul sa nemôže rovnať zápornému číslu.

A po druhé, ak je pravá časť stále kladná (alebo rovná nule), môžete konať presne rovnakým spôsobom ako predtým: jednoducho otvorte modul oddelene so znamienkom plus a oddelene so znamienkom mínus.

Sformulujeme teda pravidlo pre ľubovoľné funkcie $f\left(x \right)$ a $g\left(x \right)$ :

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\rightarrow \left\( \začiatok(zarovnanie)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(zarovnať) \right.\]

Vo vzťahu k našej rovnici dostaneme:

\[\left| 3x-2 \vpravo|=2x\Šípka doprava \vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

No s požiadavkou $2x\ge 0$ sa nejako vyrovnáme. Nakoniec môžeme hlúpo dosadiť korene, ktoré dostaneme z prvej rovnice a skontrolovať, či nerovnosť platí alebo nie.

Poďme teda vyriešiť samotnú rovnicu:

\[\začiatok(zarovnanie)& 3x-2=2\šípka doprava 3x=4\šípka doprava x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Šípka doprava 3x=0\Šípka doprava x=0. \\\end(zarovnať)\]

Ktorý z týchto dvoch koreňov spĺňa požiadavku $2x\ge 0$? Áno obaja! Odpoveďou teda budú dve čísla: $x=(4)/(3)\;$ a $x=0$. To je riešenie. :)

Mám podozrenie, že niektorí študenti sa už začínajú nudiť? No, pozrime sa na ešte zložitejšiu rovnicu:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \vpravo|=x-((x)^(3))\]

Hoci to vyzerá zle, v skutočnosti je to všetko rovnaká rovnica v tvare „modul sa rovná funkcii“:

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

A rieši sa to úplne rovnakým spôsobom:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \vpravo|=x-((x)^(3))\šípka doprava \vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(zarovnať) \vpravo.\]

Nerovnosťou sa budeme zaoberať neskôr – je akosi príliš zlá (v skutočnosti je to jednoduché, ale nevyriešime to). Zatiaľ je lepšie zaoberať sa výslednými rovnicami. Zoberme si prvý prípad - je to vtedy, keď je modul rozšírený o znamienko plus:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Nie je na škodu, že musíte všetko pozbierať zľava, priniesť podobné a uvidíte, čo sa stane. A toto sa stane:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(zarovnať)\]

Vylúčením spoločného faktora $((x)^(2))$ zo zátvorky dostaneme veľmi jednoduchú rovnicu:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Tu sme využili dôležitú vlastnosť súčinu, kvôli ktorej sme faktorizovali pôvodný polynóm: súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule.

Teraz sa poďme zaoberať druhou rovnicou presne rovnakým spôsobom, ktorý sa získa rozšírením modulu so znamienkom mínus:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\end(zarovnať)\]

Opäť to isté: súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Máme:

\[\left[ \začiatok(zarovnanie)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Máme tri korene: $x=0$, $x=1,5$ a $x=(2)/(3)\;$. Čo bude súčasťou konečnej odpovede z tohto súboru? Aby ste to dosiahli, nezabudnite, že máme ďalšie obmedzenie vo forme nerovnosti:

Ako zohľadniť túto požiadavku? Nahraďte nájdené korene a skontrolujte, či nerovnosť platí pre tieto $x$ alebo nie. Máme:

\[\začiatok(zarovnanie)& x=0\šípka doprava x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\šípka doprava x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\šípka doprava x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(zarovnať)\]

Odmocnina $x=1,5$ nám teda nevyhovuje. A ako odpoveď pôjdu len dva korene:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Ako vidíte, ani v tomto prípade nebolo nič zložité - rovnice s modulmi sa vždy riešia pomocou algoritmu. Musíte len dobre rozumieť polynómom a nerovniciam. Preto prejdeme k zložitejším úlohám - už tu nebude jeden, ale dva moduly.

Rovnice s dvoma modulmi

Doteraz sme študovali len tie najjednoduchšie rovnice – bol jeden modul a niečo iné. Toto „niečo iné“ sme poslali do inej časti nerovnosti, preč od modulu, aby sa nakoniec všetko zredukovalo na rovnicu v tvare $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ alebo ešte jednoduchšie $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Ale škôlke je koniec – je čas pouvažovať o niečom vážnejšom. Začnime takto:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Toto je rovnica tvaru „modul sa rovná modulu“. Zásadne dôležitým bodom je absencia ďalších pojmov a faktorov: iba jeden modul vľavo, ďalší modul vpravo - a nič viac.

Niekto si teraz pomyslí, že takéto rovnice sa riešia ťažšie ako to, čo sme študovali doteraz. Ale nie: tieto rovnice sa riešia ešte jednoduchšie. Tu je vzorec:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\vľavo(x \vpravo) \vpravo|\Šípka vpravo f\vľavo(x \vpravo)=\pm g\vľavo(x \vpravo)\]

Všetky! Jednoducho prirovnáme submodulárne výrazy tak, že pred jeden z nich umiestnime znamienko plus alebo mínus. A potom vyriešime výsledné dve rovnice - a korene sú pripravené! Žiadne ďalšie obmedzenia, žiadne nerovnosti atď. Všetko je veľmi jednoduché.

Skúsme vyriešiť tento problém:

\[\left| 2x+3 \vpravo|=\vľavo| 2x-7 \vpravo|\]

Základný Watson! Rozšírenie modulov:

\[\left| 2x+3 \vpravo|=\vľavo| 2x-7 \vpravo|\Šípka doprava 2x+3=\pm \vľavo(2x-7 \vpravo)\]

Uvažujme každý prípad osobitne:

\[\začiatok(zarovnanie)& 2x+3=2x-7\šípka doprava 3=-7\šípka doprava \emptyset ; \\& 2x+3=-\vľavo(2x-7 \vpravo)\šípka doprava 2x+3=-2x+7. \\\end(zarovnať)\]

Prvá rovnica nemá korene. Pretože kedy je $ 3=-7 $? V akých hodnotách $ x $? „Čo je do pekla $ x $? Si ukameňovaný? Vôbec tam nie sú žiadne $x$,“ hovoríte. A budeš mať pravdu. Získali sme rovnosť, ktorá nezávisí od premennej $x$ a zároveň samotná rovnosť je nesprávna. Preto tam nie sú žiadne korene. :)

S druhou rovnicou je všetko o niečo zaujímavejšie, ale tiež veľmi, veľmi jednoduché:

Ako vidíte, všetko bolo vyriešené doslova v niekoľkých riadkoch - nič iné sme od lineárnej rovnice neočakávali. :)

Výsledkom je, že konečná odpoveď je: $x=1$.

Tak ako? ťažké? Samozrejme, že nie. Skúsme niečo iné:

\[\left| x-1 \vpravo|=\vľavo| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

Opäť máme rovnicu v tvare $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Preto ho okamžite prepíšeme a odhalíme znamienko modulu:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Možno sa teraz niekto opýta: „Hej, aký nezmysel? Prečo sa „plus-mínus“ zobrazuje na pravom výraze a nie naľavo? Upokoj sa, teraz ti všetko vysvetlím. Naozaj, v dobrom zmysle sme mali prepísať našu rovnicu takto:

Potom musíte otvoriť zátvorky, presunúť všetky výrazy na jednu stranu znamienka rovnosti (keďže rovnica bude samozrejme v oboch prípadoch štvorcová) a potom nájsť korene. Ale musíte uznať, že keď sa pred tromi členmi objaví „plus-mínus“ (najmä keď jeden z týchto výrazov je kvadratický výraz), vyzerá to akosi komplikovanejšie ako situácia, keď sa „plus-mínus“ objaví len pred dvoma výrazmi.

Nič nám však nebráni prepísať pôvodnú rovnicu takto:

\[\left| x-1 \vpravo|=\vľavo| ((x)^(2))-3x+2 \vpravo|\Šípka vpravo \vľavo| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \vpravo|\]

Čo sa stalo? Nič zvláštne: len si vymenili ľavú a pravú stranu. Maličkosť, ktorá nám v konečnom dôsledku trochu uľahčí život. :)

Vo všeobecnosti riešime túto rovnicu, berúc do úvahy možnosti s plusom a mínusom:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\vľavo(x-1 \vpravo)\Šípka doprava ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(zarovnať)\]

Prvá rovnica má korene $x=3$ a $x=1$. Druhý je vo všeobecnosti presný štvorec:

\[((x)^(2))-2x+1=((\vľavo(x-1 \vpravo))^(2))\]

Preto má iba jeden koreň: $x=1$. Ale tento koreň sme už získali skôr. Do konečnej odpovede teda vstúpia iba dve čísla:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Misia ukončená! Môžete si vziať koláč z police a zjesť ho. Sú 2, váš priemer. :)

Dôležitá poznámka. Prítomnosť identických koreňov pre rôzne varianty rozšírenia modulu znamená, že pôvodné polynómy sú faktorizované a medzi týmito faktormi sa určite nájde jeden spoločný. naozaj:

\[\začiatok(zarovnanie)& \left| x-1 \vpravo|=\vľavo| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \vľavo| x-1 \vpravo|=\vľavo| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(zarovnať)\]

Jedna z vlastností modulu: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (t.j. modul súčinu sa rovná súčinu modulov), takže pôvodnú rovnicu možno prepísať takto:

\[\left| x-1 \vpravo|=\vľavo| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \vpravo|\]

Ako vidíte, skutočne máme spoločný faktor. Teraz, ak zhromaždíte všetky moduly na jednej strane, môžete tento faktor vyňať z držiaka:

\[\začiatok(zarovnanie)& \left| x-1 \vpravo|=\vľavo| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \vpravo|; \\& \vľavo| x-1 \vpravo|-\vľavo| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \vpravo|=0; \\& \vľavo| x-1 \vpravo|\cdot \vľavo(1-\vľavo| x-2 \vpravo| \vpravo)=0. \\\end(zarovnať)\]

Teraz si pamätajte, že súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule:

\[\left[ \begin(zarovnať)& \left| x-1 \vpravo|=0, \\& \ľavo| x-2 \vpravo|=1. \\\end(zarovnať) \vpravo.\]

Pôvodná rovnica s dvoma modulmi sa teda zredukovala na dve najjednoduchšie rovnice, o ktorých sme hovorili na samom začiatku hodiny. Takéto rovnice sa dajú vyriešiť doslova v niekoľkých riadkoch. :)

Táto poznámka sa môže zdať zbytočne zložitá a v praxi nepoužiteľná. V skutočnosti sa však môžete stretnúť s oveľa zložitejšími problémami, ako sú tie, na ktoré sa pozeráme dnes. V nich možno moduly kombinovať s polynómami, aritmetickými koreňmi, logaritmami atď. A v takýchto situáciách môže byť možnosť znížiť celkový stupeň rovnice vyňatím niečoho zo zátvoriek veľmi, veľmi užitočná. :)

Teraz by som sa rád pozrel na ďalšiu rovnicu, ktorá sa na prvý pohľad môže zdať šialená. Veľa študentov sa na tom zasekne, dokonca aj tí, ktorí si myslia, že modulom dobre rozumejú.

Táto rovnica je však ešte jednoduchšie vyriešiť ako to, na čo sme sa pozreli predtým. A ak pochopíte prečo, získate ďalší trik na rýchle riešenie rovníc s modulmi.

Takže rovnica je:

\[\left| x-((x)^(3)) \vpravo|+\vľavo| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Nie, toto nie je preklep: je to plus medzi modulmi. A musíme zistiť, koľko $ x $ je súčet dvoch modulov rovný nule. :)

Aký je problém? Problém je však v tom, že každý modul je kladné číslo alebo v extrémnych prípadoch nula. Čo sa stane, ak sčítate dve kladné čísla? Očividne opäť kladné číslo:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

Posledný riadok vám môže poskytnúť predstavu: súčet modulov je nula iba vtedy, ak je každý modul nula:

\[\left| x-((x)^(3)) \vpravo|+\vľavo| ((x)^(2))+x-2 \vpravo|=0\šípka vpravo \vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& \ľavo| x-((x)^(3)) \vpravo|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(zarovnať) \right.\]

A kedy je modul rovný nule? Iba v jednom prípade - keď sa submodulárny výraz rovná nule:

\[((x)^(2))+x-2=0\šípka doprava \vľavo(x+2 \vpravo)\vľavo(x-1 \vpravo)=0\šípka doprava \vľavo[ ​​\začiatok(zarovnanie)& x=-2 \\& x=1 \\\koniec (zarovnať) \vpravo.\]

Máme teda tri body, v ktorých je prvý modul vynulovaný: 0, 1 a -1; ako aj dva body, v ktorých sa vynuluje druhý modul: −2 a 1. Potrebujeme však, aby sa oba moduly vynulovali súčasne, takže spomedzi nájdených čísel treba vybrať tie, ktoré sú zahrnuté v oboch súboroch. Je zrejmé, že existuje len jedno takéto číslo: $x=1$ – toto bude konečná odpoveď.

metóda štiepenia

No, už sme prebrali veľa problémov a naučili sa veľa techník. Myslíš, že je to tak? Ale nie! Teraz sa pozrieme na finálnu techniku ​​– a zároveň tú najdôležitejšiu. Budeme hovoriť o deliacich rovniciach s modulom. O čom sa bude diskutovať? Vráťme sa trochu späť a pozrime sa na nejakú jednoduchú rovnicu. Napríklad toto:

\[\left| 3x-5 \vpravo|=5-3x\]

V princípe už vieme, ako takúto rovnicu vyriešiť, pretože ide o štandardný $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Skúsme sa však na túto rovnicu pozrieť z trochu iného uhla. Presnejšie, zvážte výraz pod znamienkom modulu. Dovoľte mi pripomenúť, že modul akéhokoľvek čísla sa môže rovnať samotnému číslu alebo môže byť opačný k tomuto číslu:

\[\left| a \right|=\left\( \začiatok(zarovnanie)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(zarovnanie) \right.\]

V skutočnosti je táto nejednoznačnosť celým problémom: keďže sa číslo pod modulom mení (závisí od premennej), nie je nám jasné, či je kladné alebo záporné.

Čo ak však na začiatku požadujete, aby toto číslo bolo kladné? Požadujme napríklad $3x-5 \gt 0$ – v tomto prípade zaručene dostaneme kladné číslo pod znamienkom modulu a tohto modulu sa môžeme úplne zbaviť:

Naša rovnica sa teda zmení na lineárnu, ktorú možno ľahko vyriešiť:

Pravda, všetky tieto úvahy majú zmysel len pod podmienkou $3x-5 \gt 0$ - túto požiadavku sme sami zaviedli, aby sme modul jednoznačne odhalili. Preto nahraďme nájdené $x=\frac(5)(3)$ do tejto podmienky a skontrolujme:

Ukazuje sa, že pre zadanú hodnotu $ x $ naša požiadavka nie je splnená, pretože výraz sa ukázal byť rovný nule a my potrebujeme, aby bol striktne väčší ako nula. Smutné. :(

Ale to je v poriadku! Veď je tu ešte jedna možnosť $3x-5 \lt 0$. Navyše: existuje aj prípad $3x-5=0$ - aj to je potrebné zvážiť, inak bude riešenie neúplné. Takže zvážte prípad $3x-5 \lt 0$:

Je zrejmé, že modul sa otvorí so znamienkom mínus. Potom však nastane zvláštna situácia: vľavo aj vpravo v pôvodnej rovnici bude trčať rovnaký výraz:

Zaujímalo by ma, koľko $x$ sa bude výraz $5-3x$ rovnať výrazu $5-3x$? Aj kapitán Obviousness by sa z takýchto rovníc zadúsil slinami, ale vieme: táto rovnica je identita, t.j. platí pre akúkoľvek hodnotu premennej!

To znamená, že nám bude vyhovovať ľubovoľný $x$. Máme však obmedzenie:

Inými slovami, odpoveďou nebude jedno číslo, ale celý interval:

Nakoniec je potrebné zvážiť ešte jeden prípad: $3x-5=0$. Všetko je tu jednoduché: pod modulom bude nula a nulový modul sa tiež rovná nule (to vyplýva priamo z definície):

Ale potom pôvodná rovnica $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ sa prepíše takto:

Tento koreň sme už získali vyššie, keď sme zvažovali prípad $3x-5 \gt 0$. Okrem toho je tento koreň riešením rovnice $3x-5=0$ - toto je obmedzenie, ktoré sme sami zaviedli pri resetovaní modulu. :)

Okrem intervalu sa teda uspokojíme aj s číslom ležiacim na samom konci tohto intervalu:

Celková konečná odpoveď: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ V odpovedi na pomerne jednoduchú (v podstate lineárnu) rovnicu s modulom nie je veľmi bežné vidieť takéto svinstvo, No, zvyknite si na to: problém modulu spočíva v tom, že odpovede v takýchto rovniciach sa môžu ukázať ako úplne nepredvídateľné.

Niečo iné je oveľa dôležitejšie: práve sme analyzovali univerzálny algoritmus na riešenie rovnice s modulom! A tento algoritmus pozostáva z nasledujúcich krokov:

1. Vyrovnajte každý modul v rovnici nule. Dostaneme niekoľko rovníc;
2. Vyriešte všetky tieto rovnice a označte korene na číselnej osi. V dôsledku toho bude priamka rozdelená na niekoľko intervalov, z ktorých každý bude jedinečne odhalený;
3. Vyriešte pôvodnú rovnicu pre každý interval a skombinujte svoje odpovede.

To je všetko! Zostáva len jedna otázka: čo robiť s koreňmi získanými v kroku 1? Povedzme, že máme dva korene: $x=1$ a $x=5$. Rozdelia číselný rad na 3 časti:

Aké sú teda intervaly? Je jasné, že sú tri:

1. Úplne vľavo: $x \lt 1$ — samotná jednotka nie je zahrnutá v intervale;
2. Centrálne: $1\le x \lt 5$ - tu je jeden zahrnutý do intervalu, ale päť nie je zahrnutých;
3. Úplne vpravo: $x\ge 5$ - päť je zahrnutých iba tu!

Myslím, že ste už pochopili vzorec. Každý interval zahŕňa ľavý koniec a nezahŕňa pravý.

Na prvý pohľad sa takýto vstup môže zdať nepohodlný, nelogický a vo všeobecnosti nejaký bláznivý. Ale verte mi: po troche cviku zistíte, že tento prístup je najspoľahlivejší a neprekáža pri jednoznačnom otváraní modulov. Je lepšie použiť takúto schému, ako zakaždým premýšľať: dať ľavý / pravý koniec aktuálnemu intervalu alebo ho „hodiť“ do nasledujúceho.

Tým sa lekcia končí. Stiahnite si úlohy na samostatné vyriešenie, precvičte, porovnajte s odpoveďami - a uvidíme sa v ďalšej lekcii, ktorá bude venovaná nerovnostiam s modulmi. :)

Inštrukcia

Ak je modul reprezentovaný ako spojitá funkcia, potom hodnota jeho argumentu môže byť kladná alebo záporná: |x| = x, x > 0; |x| = - x, x

Modul je nula a modul akéhokoľvek kladného čísla je . Ak je argument záporný, po otvorení zátvoriek sa jeho znamienko zmení z mínus na plus. Na základe toho vyplýva záver, že moduly protikladov sú rovnaké: |-x| = |x| = x.

Modul komplexného čísla sa zistí podľa vzorca: |a| = √b ² + c ² a |a + b| ≤ |a| + |b|. Ak argument obsahuje kladné číslo ako násobiteľ, potom ho možno vyňať zo znamienka zátvorky, napríklad: |4*b| = 4*|b|.

Ak je argument prezentovaný ako komplexné číslo, potom pre zjednodušenie výpočtov je povolené poradie členov výrazu uzavretých v pravouhlých zátvorkách: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, pretože (2-3) je menšie ako nula.

Umocnený argument je súčasne pod znamienkom odmocniny rovnakého rádu - rieši sa pomocou: √a² = |a| = ±a.

Ak máte úlohu, v ktorej nie je špecifikovaná podmienka rozšírenia modulových zátvoriek, nie je potrebné sa ich zbaviť - to bude konečný výsledok. A ak ich potrebujete otvoriť, musíte uviesť znamienko ±. Napríklad musíte nájsť hodnotu výrazu √(2 * (4-b))². Jeho riešenie vyzerá takto: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Keďže znak výrazu 4-b nie je známy, treba ho ponechať v zátvorke. Ak pridáte ďalšiu podmienku, napríklad |4-b| >

Modul nuly sa rovná nule a modul akéhokoľvek kladného čísla sa rovná samému sebe. Ak je argument záporný, po otvorení zátvoriek sa jeho znamienko zmení z mínus na plus. Na základe toho vyplýva záver, že moduly opačných čísel sú rovnaké: |-x| = |x| = x.

Modul komplexného čísla sa zistí podľa vzorca: |a| = √b ² + c ² a |a + b| ≤ |a| + |b|. Ak argument obsahuje kladné celé číslo ako faktor, potom ho možno vyňať zo znamienka zátvorky, napríklad: |4*b| = 4*|b|.

Modul nemôže byť záporný, takže akékoľvek záporné číslo sa prevedie na kladné: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Ak je argument uvedený vo forme komplexného čísla, potom je pre uľahčenie výpočtov povolené zmeniť poradie výrazov vo výraze uzavretých v pravouhlých zátvorkách: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, pretože (2-3) je menšie ako nula.

Ak máte úlohu, v ktorej nie je špecifikovaná podmienka rozšírenia modulových zátvoriek, nie je potrebné sa ich zbaviť - to bude konečný výsledok. A ak ich potrebujete otvoriť, musíte uviesť znamienko ±. Napríklad musíte nájsť hodnotu výrazu √(2 * (4-b))². Jeho riešenie vyzerá takto: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Keďže znak výrazu 4-b nie je známy, treba ho ponechať v zátvorke. Ak pridáte ďalšiu podmienku, napríklad |4-b| > 0, potom bude výsledok 2 * |4-b| = 2*(4-b). Neznámy prvok môže byť tiež nastavený na konkrétne číslo, čo by sa malo brať do úvahy, pretože ovplyvní znamienko výrazu.

Tento článok je venovaný technikám riešenia rôznych rovníc a nerovníc obsahujúcich
premenná pod znamienkom modulu.

Ak na skúške narazíte na rovnicu alebo nerovnosť s modulom, môžete to vyriešiť pomocou
bez toho, aby ste poznali nejaké špeciálne metódy a používali len definíciu modulu. Je to pravda,
Môže to trvať hodinu a pol drahocenného času na skúšku.

Preto vám chceme povedať o technikách, ktoré zjednodušujú riešenie takýchto problémov.

V prvom rade si to pripomeňme

Pozrime sa na rôzne typy rovnice s modulom. (K nerovnostiam prejdeme neskôr.)

Modul vľavo, číslo vpravo

Toto je najjednoduchší prípad. Poďme vyriešiť rovnicu

Existujú iba dve čísla, ktorých moduly sa rovnajú štyrom. Sú to 4 a -4. Preto rovnica
je ekvivalentná kombinácii dvoch jednoduchých:

Druhá rovnica nemá riešenia. Riešenia prvého: x = 0 a x = 5.

Odpoveď: 0; 5.

Variabilné pod modulom aj vonkajším modulom

Tu musíme modul podľa definície rozšíriť. . . alebo myslite!

Rovnica sa delí na dva prípady v závislosti od znamienka výrazu pod modulom.
Inými slovami, je to ekvivalent kombinácie dvoch systémov:

Riešenie prvého systému: . Druhý systém nemá riešenia.
odpoveď: 1.

Prvý prípad: x ≥ 3. Odstráňte modul:

Číslo, ktoré je záporné, nespĺňa podmienku x ≥ 3, a preto nie je koreňom pôvodnej rovnice.

Poďme zistiť, či číslo spĺňa túto podmienku. Za týmto účelom zostavíme rozdiel a určíme jeho znamienko:

To znamená, že je väčšia ako tri, a preto je koreňom pôvodnej rovnice

Druhý prípad: x< 3. Снимаем модуль:

číslo . väčší ako , a preto nespĺňa podmienku x< 3. Проверим :

Znamená, . je koreň pôvodnej rovnice.

Odstránenie modulu podľa definície? Je desivé čo i len pomyslieť, pretože diskriminant nie je dokonalý štvorec. Využime radšej nasledujúcu úvahu: rovnicu tvaru |A| = B je ekvivalentné kombinácii dvoch systémov:

To isté, ale trochu inak:

Inými slovami, riešime dve rovnice, A = B a A = −B, a potom vyberieme korene, ktoré spĺňajú podmienku B ≥ 0.

Začnime. Najprv vyriešime prvú rovnicu:

Potom vyriešime druhú rovnicu:

Teraz v každom prípade skontrolujeme znamienko pravej strany:

Preto len a sú vhodné.

Kvadratické rovnice s náhradou |x| = t

Poďme vyriešiť rovnicu:

Pretože je vhodné vykonať náhradu |x| = t. Dostaneme:

Odpoveď: ±1.

Modul rovný modulu

Hovoríme o rovniciach tvaru |A| = |B|. Toto je dar osudu. Žiadne zverejnenie modulu podľa definície! Je to jednoduché:

Uvažujme napríklad rovnicu: . Je ekvivalentná nasledujúcej množine:

Zostáva vyriešiť každú z rovníc množiny a zapísať odpoveď.

Dva alebo viac modulov

Poďme vyriešiť rovnicu:

Netrápme sa s každým modulom zvlášť a otvorme ho podľa definície – možností bude priveľa. Existuje racionálnejší spôsob - intervalová metóda.

Modulové výrazy zanikajú v bodoch x = 1, x = 2 a x = 3. Tieto body rozdeľujú číselnú os na štyri intervaly (intervaly). Označme tieto body na číselnej osi a umiestnime znamienka pre každý z výrazov pod moduly na výsledné intervaly. (Poradie znakov sa zhoduje s poradím zodpovedajúcich modulov v rovnici.)

Preto musíme zvážiť štyri prípady - keď x je v každom z intervalov.

Prípad 1: x ≥ 3. Všetky moduly sú odstránené „s plusom“:

Výsledná hodnota x = 5 spĺňa podmienku x ≥ 3 a je teda koreňom pôvodnej rovnice.

Prípad 2: 2 ≤ x ≤ 3. Posledný modul je teraz odstránený „s mínusom“:

Vhodná je aj výsledná hodnota x - patrí do uvažovaného intervalu.

Prípad 3: 1 ≤ x ≤ 2. Druhý a tretí modul sa odstránia „s mínusom“:

Získali sme správnu číselnú rovnosť pre ľubovoľné x z uvažovaného intervalu, slúžia ako riešenia tejto rovnice.

Prípad 4: x ≤ 1 ≤ 1. Druhý a tretí modul sa odstránia „s mínusom“:

Nič nové. Už vieme, že x = 1 je riešenie.

Odpoveď: ∪ (5).

Modul v module

Poďme vyriešiť rovnicu:

Začneme otvorením interného modulu.

1) x ≤ 3. Dostaneme:

Výraz pod modulom zmizne pri . Tento bod patrí k uvažovaným
medzi. Preto musíme analyzovať dva podprípady.

1.1) V tomto prípade dostaneme:

Táto hodnota x nie je vhodná, pretože nepatrí do uvažovaného intervalu.

1.2). potom:

Táto hodnota x tiež nie je dobrá.

Takže pre x ≤ 3 neexistujú žiadne riešenia. Prejdime k druhému prípadu.

2) x ≥ 3. Máme:

Tu máme šťastie: výraz x + 2 je v uvažovanom intervale kladný! Preto už nebudú existovať žiadne podprípady: modul sa odstráni „s plusom“:

Táto hodnota x je v uvažovanom intervale a je teda koreňom pôvodnej rovnice.

Takto sa riešia všetky problémy tohto typu – vnorené moduly otvárame jeden po druhom, počnúc vnútorným.