Všeobecná formulácia: Tok vektora intenzity elektrického poľa cez ľubovoľne zvolený uzavretý povrch je úmerný elektrickému náboju obsiahnutému vo vnútri tohto povrchu.

V systéme SGSE:

V sústave SI:

je tok vektora intenzity elektrického poľa cez uzavretý povrch.

- celkový náboj obsiahnutý v objeme, ktorý obmedzuje povrch.

- elektrická konštanta.

Tento výraz predstavuje Gaussovu vetu v integrálnom tvare.

V diferenciálnej forme Gaussova veta zodpovedá jednej z Maxwellových rovníc a je vyjadrená takto

v sústave SI:

,

v systéme SGSE:

Tu je objemová hustota náboja (v prípade prítomnosti média celková hustota voľných a viazaných nábojov) a je operátor nabla.

Pre Gaussovu vetu platí princíp superpozície, to znamená, že tok vektora intenzity povrchom nezávisí od rozloženia náboja vo vnútri povrchu.

Fyzikálnym základom Gaussovej vety je Coulombov zákon alebo, inými slovami, Gaussova veta je integrálnou formuláciou Coulombovho zákona.

Gaussova veta pre elektrickú indukciu (elektrický posun).

Pre pole v hmote možno Gaussovu elektrostatickú vetu napísať inak – cez tok vektora elektrického posunutia (elektrická indukcia). V tomto prípade je formulácia vety nasledovná: tok vektora elektrického posunu cez uzavretý povrch je úmerný voľnému elektrickému náboju obsiahnutému vo vnútri tohto povrchu:

Ak vezmeme do úvahy vetu o sile poľa v látke, potom ako náboj Q je potrebné vziať súčet voľného náboja umiestneného vo vnútri povrchu a polarizačného (indukovaného, ​​viazaného) náboja dielektrika:

,

Kde ,
je polarizačný vektor dielektrika.

Gaussova veta pre magnetickú indukciu

Tok vektora magnetickej indukcie cez akýkoľvek uzavretý povrch je nulový:

.

To je ekvivalentné skutočnosti, že v prírode neexistujú žiadne „magnetické náboje“ (monopoly), ktoré by vytvárali magnetické pole, rovnako ako elektrické náboje vytvárajú elektrické pole. Inými slovami, Gaussova veta pre magnetickú indukciu ukazuje, že magnetické pole je vírové.

Aplikácia Gaussovej vety

Na výpočet elektromagnetických polí sa používajú tieto veličiny:

Objemová hustota náboja (pozri vyššie).

Hustota povrchového náboja

kde dS je nekonečne malý povrch.

Lineárna hustota náboja

kde dl je dĺžka nekonečne malého segmentu.

Uvažujme pole vytvorené nekonečnou rovnomerne nabitou rovinou. Nech je hustota povrchového náboja roviny rovnaká a rovná sa σ. Predstavme si valec s tvoriacimi priamkami kolmými na rovinu a podstavou ΔS umiestnenou symetricky k rovine. Kvôli symetrii. Tok vektora napätia sa rovná . Aplikovaním Gaussovej vety dostaneme:

,

z ktorých

v systéme SSSE

Je dôležité poznamenať, že napriek svojej univerzálnosti a všeobecnosti má Gaussova veta v integrálnej forme relatívne obmedzené uplatnenie kvôli nepríjemnostiam s výpočtom integrálu. V prípade symetrického problému sa však jeho riešenie stáva oveľa jednoduchším ako použitie princípu superpozície.

Hlavnou aplikovanou úlohou elektrostatiky je výpočet elektrických polí vytvorených v rôznych zariadeniach a zariadeniach. Vo všeobecnosti sa tento problém rieši pomocou Coulombovho zákona a princípu superpozície. Táto úloha sa však stáva veľmi komplikovanou pri zvažovaní veľkého počtu bodových alebo priestorovo rozložených nábojov. Ešte väčšie ťažkosti vznikajú, keď sú v priestore dielektrika alebo vodiče, keď vplyvom vonkajšieho poľa E 0 dochádza k redistribúcii mikroskopických nábojov, čím vzniká vlastné dodatočné pole E. Preto na praktické vyriešenie týchto problémov sú vhodné pomocné metódy a techniky. ktoré využívajú zložitý matematický aparát. Budeme uvažovať o najjednoduchšej metóde založenej na aplikácii Ostrogradského–Gaussovej vety. Na sformulovanie tejto vety zavedieme niekoľko nových pojmov:

A) hustota náboja

Ak je nabité telo veľké, musíte poznať rozloženie nábojov vo vnútri tela.

Objemová hustota náboja– merané nábojom na jednotku objemu:

Hustota povrchového náboja– merané nábojom na jednotku povrchu telesa (keď je náboj rozložený po povrchu):

Lineárna hustota náboja(distribúcia náboja pozdĺž vodiča):

b) vektor elektrostatickej indukcie

Vektor elektrostatickej indukcie (elektrický vektor posunutia) je vektorová veličina charakterizujúca elektrické pole.

Vektor rovná súčinu vektora na absolútnej dielektrickej konštante média v danom bode:

Skontrolujeme rozmer D v jednotkách SI:

, pretože
,

potom sa rozmery D a E nezhodujú a ich číselné hodnoty sú tiež odlišné.

Z definície z toho vyplýva, že pre vektorové pole platí rovnaký princíp superpozície ako pre pole :

Lúka graficky znázornené indukčnými čiarami, rovnako ako pole . Indukčné čiary sú nakreslené tak, aby sa dotyčnica v každom bode zhodovala so smerom a počet riadkov sa rovná číselnej hodnote D na danom mieste.

Aby sme pochopili význam úvodu Pozrime sa na príklad.

	ε> 1	Na hranici dutiny s dielektrikom sa koncentrujú súvisiace záporné náboje a Pole sa zníži faktorom a hustota sa prudko zníži.
Pre rovnaký prípad: D = Eεε 0	, potom: riadky pokračovať nepretržite. Čiary začať s bezplatnými poplatkami (at na ľubovoľnom - viazanom alebo voľnom) a na hranici dielektrika zostáva ich hustota nezmenená. Teda– spojitosť indukčných čiar značne uľahčuje výpočet a poznajúc súvislosť s môžete nájsť vektor .

V) vektorový tok elektrostatickej indukcie

Zvážte povrch S v elektrickom poli a vyberte smer normály

1. Ak je pole rovnomerné, potom počet siločiar cez plochu S:

2. Ak je pole nerovnomerné, potom je plocha rozdelená na infinitezimálne prvky dS, ktoré sa považujú za ploché a pole okolo nich je rovnomerné. Preto je tok cez povrchový prvok: dN = D n dS,

a celkový prietok cez akýkoľvek povrch je:

(6)

Indukčný tok N je skalárna veličina; v závislosti od  môže byť > 0 resp< 0, или = 0.

Uvažujme, ako sa mení hodnota vektora E na rozhraní dvoch prostredí, napríklad vzduchu (ε 1) a vody (ε = 81). Intenzita poľa vo vode sa náhle zníži o faktor 81. Toto správanie vektora E vytvára určité nepríjemnosti pri výpočte polí v rôznych prostrediach. Aby sa predišlo tejto nepríjemnosti, zavádza sa nový vektor D– vektor indukcie alebo elektrického posunu poľa. Vektorové spojenie D A E vyzerá ako

D = ε ε 0 E.

Je zrejmé, že pre pole bodového náboja bude elektrický posun rovný

Je ľahké vidieť, že elektrický posun sa meria v C/m2, nezávisí od vlastností a je graficky znázornený čiarami podobnými ťahovým čiaram.

Smer siločiar charakterizuje smer poľa v priestore (samozrejme neexistujú, sú zavedené pre názornosť) alebo smer vektora intenzity poľa. Pomocou čiar intenzity môžete charakterizovať nielen smer, ale aj veľkosť intenzity poľa. Na tento účel bolo dohodnuté ich vykonávanie s určitou hustotou, takže počet ťahových čiar prepichujúcich jednotkový povrch kolmo na ťahové čiary bol úmerný vektorovému modulu. E(obr. 78). Potom počet čiar prenikajúcich elementárnou oblasťou dS, normálna ku ktorej n zviera s vektorom uhol α E, sa rovná E dScos α = E n dS,

kde E n je vektorová zložka E v normálnom smere n. Hodnota dФ E = E n dS = E d S volal tok vektora napätia cez miesto d S(d S= dS n).

Pre ľubovoľnú uzavretú plochu S vektorový tok E cez tento povrch je rovnaký

Podobný výraz má tok vektora elektrického posunu Ф D

.

Ostrogradského-Gaussova veta

Táto veta nám umožňuje určiť tok vektorov E a D z ľubovoľného počtu nábojov. Zoberme si bodový náboj Q a definujme tok vektora E cez guľovú plochu s polomerom r, v strede ktorej sa nachádza.

Pre guľovú plochu α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 a

Ф E = E · 4 πr 2 .

Dosadením výrazu za E dostaneme

Z každého bodového náboja teda vzniká tok vektora F E E rovná Q/ε0. Zovšeobecnením tohto záveru na všeobecný prípad ľubovoľného počtu bodových nábojov dávame formuláciu vety: celkový tok vektora E cez uzavretú plochu ľubovoľného tvaru sa číselne rovná algebraickému súčtu elektrických nábojov obsiahnutých vo vnútri tejto plochy, delené ε 0, t.j.

Pre vektorový tok elektrického posunu D môžete získať podobný vzorec

tok indukčného vektora cez uzavretý povrch sa rovná algebraickému súčtu elektrických nábojov pokrytých týmto povrchom.

Ak vezmeme uzavretý povrch, ktorý neobjíma náboj, potom každý riadok E A D prekročí tento povrch dvakrát - na vstupe a výstupe, takže celkový tok sa ukáže ako nulový. Tu je potrebné vziať do úvahy algebraický súčet riadkov vstupujúcich a vychádzajúcich.

Aplikácia Ostrogradského-Gaussovej vety na výpočet elektrických polí vytvorených rovinami, guľami a valcami

Guľový povrch s polomerom R nesie náboj Q, rovnomerne rozložený po povrchu s povrchovou hustotou σ

Zoberme si bod A mimo gule vo vzdialenosti r od stredu a v duchu nakreslíme guľu s polomerom r symetricky nabitú (obr. 79). Jeho plocha je S = 4 πr 2. Tok vektora E bude rovný

Podľa Ostrogradského-Gaussovej vety
, teda,
ak vezmeme do úvahy, že Q = σ 4 πr 2, dostaneme

Pre body umiestnené na povrchu gule (R = r)

D Pre body nachádzajúce sa vo vnútri dutej gule (vo vnútri gule nie je žiadny náboj), E = 0.

2 . Dutá valcová plocha s polomerom R a dĺžkou l nabitý konštantnou hustotou povrchového náboja
(Obr. 80). Nakreslíme koaxiálnu valcovú plochu s polomerom r > R.

Vektor toku E cez tento povrch

Podľa Gaussovej vety

Vyrovnaním pravých strán vyššie uvedených rovníc dostaneme

.

Ak je daná lineárna hustota náboja valca (alebo tenkého vlákna).
To

3. Pole nekonečných rovín s hustotou povrchového náboja σ (obr. 81).

Uvažujme pole vytvorené nekonečnou rovinou. Z úvah o symetrii vyplýva, že intenzita v ktoromkoľvek bode poľa má smer kolmý na rovinu.

V symetrických bodoch E bude mať rovnakú veľkosť a opačný smer.

Zostrojme mentálne povrch valca so základňou ΔS. Potom bude cez každú základňu valca vychádzať prúd

FE = EAS a celkový prietok cez valcový povrch sa bude rovnať FE = 2EAS.

Vo vnútri povrchu je náboj Q = σ · ΔS. Podľa Gaussovej vety to musí byť pravda

kde

Získaný výsledok nezávisí od výšky zvoleného valca. Intenzita poľa E v akejkoľvek vzdialenosti je teda rovnaká.

Pre dve rôzne nabité roviny s rovnakou hustotou povrchového náboja σ je podľa princípu superpozície mimo priestoru medzi rovinami intenzita poľa nula E = 0 a v priestore medzi rovinami
(Obr. 82a). Ak sú roviny nabité podobnými nábojmi s rovnakou hustotou povrchového náboja, pozorujeme opačný obraz (obr. 82b). V priestore medzi rovinami E = 0 a v priestore mimo rovín
.

Cieľ hodiny: Ostrogradského – Gaussovu vetu stanovili ruský matematik a mechanik Michail Vasiljevič Ostrogradskij vo forme všeobecnej matematickej vety a nemecký matematik Carl Friedrich Gauss. Táto veta sa dá použiť pri štúdiu fyziky na špecializovanej úrovni, pretože umožňuje racionálnejšie výpočty elektrických polí.

Elektrický indukčný vektor

Na odvodenie Ostrogradského-Gaussovej vety je potrebné zaviesť také dôležité pomocné pojmy, ako je vektor elektrickej indukcie a tok tohto vektora F.

Je známe, že elektrostatické pole sa často zobrazuje pomocou siločiar. Predpokladajme, že určíme napätie v bode ležiacom na rozhraní dvoch médií: vzduchu (=1) a vody (=81). V tomto bode, pri prechode zo vzduchu do vody, intenzita elektrického poľa podľa vzorca sa zníži 81-krát. Ak zanedbáme vodivosť vody, potom sa počet siločiar zníži o rovnaký faktor. Pri riešení rôznych problémov výpočtových polí vznikajú v dôsledku diskontinuity vektora napätia na rozhraní medzi médiami a na dielektrikách určité nepríjemnosti. Aby sa im zabránilo, zavádza sa nový vektor, ktorý sa nazýva vektor elektrickej indukcie:

Vektor elektrickej indukcie sa rovná súčinu vektora a elektrickej konštanty a dielektrickej konštanty prostredia v danom bode.

Je zrejmé, že pri prechode cez hranicu dvoch dielektrík sa počet elektrických indukčných čiar pre pole bodového náboja (1) nemení.

V sústave SI sa vektor elektrickej indukcie meria v coulombách na meter štvorcový (C/m2). Výraz (1) ukazuje, že číselná hodnota vektora nezávisí od vlastností média. Vektorové pole je graficky znázornené podobne ako pole intenzity (napríklad bodový náboj pozri obr. 1). Pre vektorové pole platí princíp superpozície:

Elektrický indukčný tok

Vektor elektrickej indukcie charakterizuje elektrické pole v každom bode priestoru. Môžete zaviesť ďalšie množstvo, ktoré závisí od hodnôt vektora nie v jednom bode, ale vo všetkých bodoch povrchu ohraničeného plochým uzavretým obrysom.

Za týmto účelom uvažujme plochý uzavretý vodič (obvod) s povrchom S, umiestnený v rovnomernom elektrickom poli. Normála k rovine vodiča zviera uhol so smerom vektora elektrickej indukcie (obr. 2).

Tok elektrickej indukcie povrchom S je veličina rovnajúca sa súčinu modulu indukčného vektora plochou S a kosínusu uhla medzi vektorom a normálou:

Odvodenie Ostrogradského-Gaussovej vety

Táto veta nám umožňuje nájsť tok vektora elektrickej indukcie cez uzavretý povrch, vo vnútri ktorého sú elektrické náboje.

Nech je najprv jeden bodový náboj q umiestnený v strede gule s ľubovoľným polomerom r 1 (obr. 3). Potom ; . Vypočítajme celkový tok indukcie prechádzajúci celým povrchom tejto gule: ; (). Ak vezmeme guľu s polomerom , potom aj Ф = q. Ak nakreslíme guľu, ktorá nepokryje náboj q, potom celkový tok Ф = 0 (keďže každá čiara vstúpi na povrch a inokedy ho opustí).

Teda Ф = q, ak je náboj umiestnený vo vnútri uzavretého povrchu a Ф = 0, ak je náboj umiestnený mimo uzavretého povrchu. Prietok Ф nezávisí od tvaru povrchu. Je tiež nezávislý od usporiadania nábojov v rámci povrchu. To znamená, že získaný výsledok platí nielen pre jeden náboj, ale aj pre ľubovoľný počet ľubovoľne umiestnených nábojov, ak pod q rozumieme iba algebraický súčet všetkých nábojov nachádzajúcich sa vo vnútri povrchu.

Gaussova veta: tok elektrickej indukcie akýmkoľvek uzavretým povrchom sa rovná algebraickému súčtu všetkých nábojov nachádzajúcich sa vo vnútri povrchu: .

Zo vzorca je zrejmé, že rozmer elektrického toku je rovnaký ako rozmer elektrického náboja. Preto je jednotkou elektrického indukčného toku coulomb (C).

Poznámka: ak je pole nerovnomerné a povrch, cez ktorý sa určuje tok, nie je rovina, potom tento povrch možno rozdeliť na nekonečne malé prvky ds a každý prvok možno považovať za plochý a pole v jeho blízkosti je rovnomerné. Preto pre akékoľvek elektrické pole je tok vektora elektrickej indukcie cez povrchový prvok: dФ=. V dôsledku integrácie sa celkový tok cez uzavretý povrch S v akomkoľvek nehomogénnom elektrickom poli rovná: , kde q je algebraický súčet všetkých nábojov obklopených uzavretou plochou S. Vyjadrime poslednú rovnicu z hľadiska intenzity elektrického poľa (pre vákuum): .

Toto je jedna z Maxwellových základných rovníc pre elektromagnetické pole, napísaná v integrálnej forme. Ukazuje, že zdrojom časovo konštantného elektrického poľa sú stacionárne elektrické náboje.

Aplikácia Gaussovej vety

Oblasť kontinuálne distribuovaných poplatkov

Poďme teraz určiť intenzitu poľa pre niekoľko prípadov pomocou Ostrogradského-Gaussovej vety.

1. Elektrické pole rovnomerne nabitej guľovej plochy.

Guľa s polomerom R. Nech je náboj +q rovnomerne rozložený po guľovej ploche s polomerom R. Rozloženie náboja po povrchu je charakterizované hustotou povrchového náboja (obr. 4). Hustota povrchového náboja je pomer náboja k ploche povrchu, na ktorej je distribuovaný. . V SI.

Poďme určiť intenzitu poľa:

a) mimo guľového povrchu,
b) vo vnútri guľového povrchu.

a) Vezmite bod A, ktorý sa nachádza vo vzdialenosti r>R od stredu nabitej guľovej plochy. V duchu cez ňu nakreslíme guľovú plochu S polomeru r, ktorá má spoločný stred s nabitou guľovou plochou. Z úvah o symetrii je zrejmé, že siločiary sú radiálne čiary kolmé na plochu S a rovnomerne prenikajú touto plochou, t.j. napätie vo všetkých bodoch tohto povrchu má konštantnú veľkosť. Aplikujme Ostrogradského-Gaussovu vetu na túto guľovú plochu S polomeru r. Preto je celkový tok guľou N = E? S; N=E. Na druhej strane . Prirovnávame: . Preto: pre r>R.

Teda: napätie vytvorené rovnomerne nabitou guľovou plochou mimo nej je rovnaké, ako keby bol celý náboj v jej strede (obr. 5).

b) Nájdite intenzitu poľa v bodoch ležiacich vo vnútri nabitej guľovej plochy. Zoberme si bod B vo vzdialenosti od stredu gule . Potom E = 0 pri r

2. Intenzita poľa rovnomerne nabitej nekonečnej roviny

Uvažujme elektrické pole vytvorené nekonečnou rovinou, nabitou konštantou hustoty vo všetkých bodoch roviny. Z dôvodov symetrie môžeme predpokladať, že ťahové čiary sú kolmé na rovinu a smerujú z nej oboma smermi (obr. 6).

Vyberme si bod A ležiaci napravo od roviny a vypočítajme v tomto bode pomocou Ostrogradského-Gaussovej vety. Ako uzavretú plochu volíme valcovú plochu tak, že bočná plocha valca je rovnobežná so siločiarami a jeho základňa je rovnobežná s rovinou a základňa prechádza bodom A (obr. 7). Vypočítajme tok napätia cez uvažovanú valcovú plochu. Tok bočným povrchom je 0, pretože ťahové čiary sú rovnobežné s bočným povrchom. Potom celkový prietok pozostáva z prietokov a prechádzajúcich základňami valca a . Oba tieto toky sú kladné =+; =; =; ==; N=2.

– rez rovinou ležiaci vo vnútri zvolenej valcovej plochy. Náboj vo vnútri tohto povrchu je q.

Potom ; – možno brať ako bodový náboj) s bodom A. Na nájdenie celkového poľa je potrebné geometricky sčítať všetky polia vytvorené každým prvkom: ; .

Gaussova veta pre elektrickú indukciu (elektrický posun)[

Pre pole v dielektrickom prostredí možno Gaussovu elektrostatickú vetu napísať aj iným spôsobom (alternatívnym spôsobom) - tokom vektora elektrického posunutia (elektrická indukcia). V tomto prípade je formulácia vety nasledovná: tok vektora elektrického posunu cez uzavretý povrch je úmerný voľnému elektrickému náboju obsiahnutému vo vnútri tohto povrchu:

V diferenciálnej forme:

Gaussova veta pre magnetickú indukciu

Tok vektora magnetickej indukcie cez akýkoľvek uzavretý povrch je nulový:

alebo v diferenciálnej forme

To je ekvivalentné skutočnosti, že v prírode neexistujú žiadne „magnetické náboje“ (monopoly), ktoré by vytvárali magnetické pole, tak ako elektrické náboje vytvárajú elektrické pole. Inými slovami, Gaussova veta pre magnetickú indukciu ukazuje, že magnetické pole je (úplne) vír.

Gaussova veta pre Newtonovu gravitáciu

Pre intenzitu poľa newtonovskej gravitácie (gravitačné zrýchlenie) sa Gaussova veta prakticky zhoduje s teorémom v elektrostatike, s výnimkou iba konštánt (avšak stále závislých od ľubovoľného výberu sústavy jednotiek) a hlavne znamienka:

Kde g- sila gravitačného poľa, M- gravitačný náboj (t.j. hmotnosť) vo vnútri povrchu S, ρ - hustota hmoty, G- Newtonova konštanta.

Vodiče v elektrickom poli. Pole vo vnútri vodiča a na jeho povrchu.

Vodiče sú telesá, cez ktoré môžu prechádzať elektrické náboje z nabitého telesa na nenabité. Schopnosť vodičov prenášať elektrické náboje cez seba sa vysvetľuje prítomnosťou voľných nosičov náboja v nich. Vodiče - kovové telesá v pevnom a kvapalnom skupenstve, kvapalné roztoky elektrolytov. Voľné náboje vodiča zavedené do elektrického poľa sa pod jeho vplyvom začnú pohybovať. Prerozdelenie nábojov spôsobuje zmenu elektrického poľa. Keď sa intenzita elektrického poľa vo vodiči zníži na nulu, elektróny sa prestanú pohybovať. Jav oddeľovania odlišných nábojov vo vodiči umiestnenom v elektrickom poli sa nazýva elektrostatická indukcia. Vo vnútri vodiča nie je žiadne elektrické pole. Používa sa na elektrostatickú ochranu - ochranu pomocou kovových vodičov pred elektrickým poľom. Povrch vodivého telesa akéhokoľvek tvaru v elektrickom poli je ekvipotenciálny povrch.

Kondenzátory

Na získanie zariadení, ktoré by pri nízkom potenciáli voči médiu akumulovali (kondenzovali) na sebe citeľné náboje, využívajú skutočnosť, že elektrická kapacita vodiča sa zvyšuje, keď sa k nemu približujú ostatné telesá. Vplyvom poľa vytvoreného nabitými vodičmi sa totiž na tele, ktoré je k nemu privedené, objavia indukované (na vodiči) alebo súvisiace (na dielektriku) náboje (obr. 15.5). Náboje s opačným znamienkom ako náboj vodiča q sa nachádzajú bližšie k vodiču ako náboje s rovnakým názvom s q, a preto majú veľký vplyv na jeho potenciál.

Preto, keď sa akékoľvek teleso priblíži k nabitému vodiču, intenzita poľa sa zníži a následne sa zníži potenciál vodiča. Podľa rovnice to znamená zvýšenie kapacity vodiča.

Kondenzátor pozostáva z dvoch vodičov (dosiek) (obr. 15.6), oddelených dielektrickou vrstvou. Keď sa na vodič aplikuje určitý potenciálny rozdiel, jeho dosky sú nabité rovnakými nábojmi opačného znamienka. Elektrická kapacita kondenzátora sa chápe ako fyzikálna veličina, ktorá je úmerná náboju q a je nepriamo úmerná potenciálnemu rozdielu medzi doskami

Poďme určiť kapacitu plochého kondenzátora.

Ak je plocha dosky S a náboj na nej je q, potom intenzita poľa medzi doskami

Na druhej strane potenciálny rozdiel medzi doskami pochádza z

Energia sústavy bodových nábojov, nabitého vodiča a kondenzátora.

Každý systém nábojov má určitú potenciálnu interakčnú energiu, ktorá sa rovná práci vynaloženej na vytvorenie tohto systému. Energia sústavy bodových poplatkov q 1 , q 2 , q 3 ,… q N je definovaný nasledovne:

Kde φ 1 – potenciál elektrického poľa vytvoreného všetkými nábojmi okrem q 1 v mieste, kde sa nachádza náboj q 1 atď. Ak sa zmení konfigurácia systému poplatkov, zmení sa aj energia systému. Ak chcete zmeniť konfiguráciu systému, je potrebné vykonať prácu.

Potenciálna energia systému bodových nábojov sa dá vypočítať aj iným spôsobom. Potenciálna energia dvoch bodových nábojov q 1 , q 2 vo vzájomnej vzdialenosti je rovnaká. Ak existuje niekoľko nábojov, potom možno potenciálnu energiu tohto systému nábojov definovať ako súčet potenciálnych energií všetkých párov nábojov, ktoré možno pre tento systém zložiť. Takže pre systém troch kladných nábojov je energia systému rovná

Elektrické pole bodového náboja q 0 vo vzdialenosti od nej v prostredí s dielektrickou konštantou ε (Pozri obrázok 3.1.3). Obrázok 3.1.3	; Potenciál je skalárny, jeho znamienko závisí od znamienka náboja vytvárajúceho pole.
Obrázok 3.1.4. Elektrické pole rovnomerne nabitej gule s polomerom v bode C vo vzdialenosti od jej povrchu (obrázok 3.1.4). Elektrické pole gule je podobné poľu bodového náboja, ktorý sa rovná náboju gule q sf a sústredil sa v jeho strede. Vzdialenosť k bodu, kde sa určuje napätie, je ( R+a)	Mimo rozsahu: ; Potenciál vo vnútri gule je konštantný a rovnaký , a napätie vo vnútri gule je nulové
Elektrické pole rovnomerne nabitej nekonečnej roviny s povrchovou hustotou σ (Pozri obrázok 3.1.5). Obrázok 3.1.5.	Volá sa pole, ktorého sila je vo všetkých bodoch rovnaká homogénne. Hustota povrchu σ - náboj na jednotku povrchu (kde je náboj a plocha roviny). Rozmer hustoty povrchového náboja.
Elektrické pole plochého kondenzátora s nábojmi na doskách rovnakej veľkosti, ale opačného znamienka (pozri obrázok 3.1.6). Obrázok 3.1.6	Napätie medzi doskami kondenzátora s paralelnými doskami mimo kondenzátora E=0. Potenciálny rozdiel u medzi platňami (doskami) kondenzátora: , kde d– vzdialenosť medzi doskami, – dielektrickú konštantu dielektrika umiestneného medzi doskami kondenzátora. Hustota povrchového náboja na doskách kondenzátora sa rovná pomeru množstva náboja na ňom k ploche dosky:.

Energia nabitého osamoteného vodiča a kondenzátora

Ak má izolovaný vodič náboj q, potom je okolo neho elektrické pole, ktorého potenciál na povrchu vodiča je rovný , a kapacita je C. Zvýšme náboj o hodnotu dq. Pri prenose náboja dq z nekonečna sa musí vykonať práca rovná . Ale potenciál elektrostatického poľa daného vodiča v nekonečne je nulový. Potom

Pri prenose náboja dq z vodiča do nekonečna rovnakú prácu vykonajú sily elektrostatického poľa. V dôsledku toho, keď sa náboj vodiča zvýši o hodnotu dq, zvýši sa potenciálna energia poľa, t.j.

Integráciou tohto výrazu nájdeme potenciálnu energiu elektrostatického poľa nabitého vodiča, keď sa jeho náboj zvýši z nuly na q:

Aplikovaním vzťahu môžeme získať nasledujúce výrazy pre potenciálnu energiu W:

Pre nabitý kondenzátor sa preto potenciálny rozdiel (napätie) rovná pomeru celkovej energie jeho elektrostatického poľa: