Akýkoľvek systém matematických axióm, počnúc od určitej úrovne zložitosti, je buď vnútorne nekonzistentný alebo neúplný.
V roku 1900 sa v Paríži konala Svetová konferencia matematikov, na ktorej David Hilbert (1862–1943) vo forme abstraktov predstavil 23 najdôležitejších, podľa neho ním formulovaných problémov, ktoré mali riešiť teoretickí vedci. nadchádzajúceho dvadsiateho storočia. Číslo dva na jeho zozname bolo jedným z tých jednoduchých problémov, ktoré sa zdajú byť zrejmé, kým sa nezahĺbite do hĺbky. V modernom zmysle to bola otázka: stačí matematika sama o sebe? Druhá Hilbertova úloha sa zredukovala na potrebu striktne dokázať, že systém axióm – základných tvrdení braných v matematike ako základ bez dôkazu – je dokonalý a úplný, to znamená, že umožňuje matematický opis všetkého, čo existuje. Bolo potrebné dokázať, že je možné nastaviť taký systém axióm, aby po prvé boli vzájomne konzistentné a po druhé sa z nich dal vyvodiť záver o pravdivosti či nepravdivosti akéhokoľvek tvrdenia.
Vezmime si príklad zo školskej geometrie. V štandardnej euklidovskej planimetrii (geometria v rovine) možno bezpodmienečne dokázať, že výrok „súčet uhlov trojuholníka je 180°“ a výrok „súčet uhlov trojuholníka je 137° “ je nepravdivé. V podstate povedané, v euklidovskej geometrii je akékoľvek tvrdenie buď nepravdivé alebo pravdivé, a tretie nie je dané. A na začiatku dvadsiateho storočia matematici naivne verili, že rovnaká situácia by mala byť pozorovaná v akomkoľvek logicky konzistentnom systéme.
A potom v roku 1931 nejaký viedenský okuliarnatý matematik Kurt Godel vzal a zverejnil krátky článok, ktorý jednoducho prevrátil celý svet takzvanej „matematickej logiky“. Po dlhých a zložitých matematických a teoretických preambulách doslova stanovil nasledovné. Zoberme si akékoľvek tvrdenie typu: „Predpoklad č. 247 je v tomto systéme axióm logicky nepreukázateľný“ a nazvime ho „výrok A“. Gödel teda jednoducho dokázal nasledujúcu úžasnú vlastnosť akéhokoľvek systému axióm:
"Ak sa dá dokázať tvrdenie A, dá sa dokázať aj tvrdenie, ktoré nie je A."
Inými slovami, ak je možné preukázať platnosť tvrdenia "Predpoklad 247 nie je preukázateľný", potom je možné preukázať aj platnosť tvrdenia "Predpoklad 247 je preukázateľný". To znamená, ak sa vrátime k formulácii druhého Hilbertovho problému, ak je systém axióm úplný (to znamená, že akékoľvek tvrdenie v ňom možno dokázať), potom je nekonzistentný.
Jediným východiskom z tejto situácie je prijať neúplný systém axióm. To znamená, že sa musíme zmieriť s tým, že v kontexte akéhokoľvek logického systému budeme mať stále výroky „typu A“, ktoré sú zjavne pravdivé alebo nepravdivé – a ich pravdivosť môžeme posudzovať len mimo rámca axiomatiky, ktorú máme. prijali. Ak takéto tvrdenia neexistujú, potom je naša axiomatika rozporuplná a v jej rámci budú nevyhnutne existovať formulácie, ktoré možno dokázať aj vyvrátiť.
Takže formulácia prvej alebo slabej Gödelovej vety o neúplnosti je: "Akýkoľvek formálny systém axióm obsahuje nevyriešené predpoklady." Gödel však pri formulovaní a dokazovaní druhej alebo silnej Gödelovej vety o neúplnosti neskončil: „Logickú úplnosť (alebo neúplnosť) akéhokoľvek systému axióm nemožno dokázať v rámci tohto systému. Na jeho dokázanie alebo vyvrátenie sú potrebné ďalšie axiómy (posilnenie systému).
Bezpečnejšie by bolo myslieť si, že Godelove vety sú abstraktné a netýkajú sa nás, ale iba oblastí vznešenej matematickej logiky, no v skutočnosti sa ukázalo, že priamo súvisia so štruktúrou ľudského mozgu. Anglický matematik a fyzik Roger Penrose (nar. 1931) ukázal, že Gödelove vety sa dajú použiť na dokázanie základných rozdielov medzi ľudským mozgom a počítačom. Pointa jeho úvah je jednoduchá. Počítač funguje striktne logicky a nie je schopný určiť, či je výrok A pravdivý alebo nepravdivý, ak presahuje rámec axiomatiky a takéto výroky podľa Gödelovej vety nevyhnutne existujú. Človek, konfrontovaný s takýmto logicky nepreukázateľným a nevyvrátiteľným tvrdením A, je vždy schopný určiť jeho pravdivosť či nepravdivosť – na základe každodennej skúsenosti. Minimálne v tomto je ľudský mozog nadradený počítaču spútanému čistými logickými obvodmi. Ľudský mozog je schopný pochopiť celú hĺbku pravdy obsiahnutú v Gödelových teorémoch, ale počítač nikdy. Preto je ľudský mozog všetko, len nie počítač. Je schopný robiť rozhodnutia a Turingov test prejde.
Zaujímalo by ma, či Hilbert tušil, ako ďaleko nás jeho otázky zavedú?
Kurt GOEDEL
Kurt Godel, 1906-1978
Rakúsky, potom americký matematik. Narodil sa v Brünne (Brünn, teraz Brno, Česká republika). Vyštudoval Viedenskú univerzitu, kde zostal pedagógom na katedre matematiky (od roku 1930 - profesor). V roku 1931 publikoval vetu, ktorá neskôr dostala jeho meno. Ako čisto apolitický človek mimoriadne ťažko prežíval vraždu svojho priateľa a zamestnanca katedry nacistickým študentom a upadol do hlbokej depresie, ktorej recidívy ho prenasledovali až do konca života. V 30. rokoch emigroval do USA, no vrátil sa do rodného Rakúska a oženil sa. V roku 1940, na vrchole vojny, bol nútený utiecť do Ameriky pri tranzite cez ZSSR a Japonsko. Istý čas pôsobil v Princetonskom inštitúte pre pokročilé štúdium. Psychika vedca to bohužiaľ nevydržala a zomrel od hladu na psychiatrickej klinike, odmietajúc jesť, pretože bol presvedčený, že ho chceli otráviť.
| Komentáre: 0 |
Ako sa vyvíja vedecký model v prírodných vedách? Každodenná či vedecká skúsenosť sa hromadí, jej míľniky sú starostlivo formulované vo forme postulátov a tvoria základ modelu: súbor tvrdení akceptovaných každým, kto v rámci tohto modelu pracuje.
Anatolij Wasserman
V roku 1930 Kurt Gödel dokázal dve vety, ktoré preložené z matematického jazyka do ľudského jazyka znamenajú niečo také: Akýkoľvek systém axióm dostatočne bohatý na to, aby sa dal použiť na definovanie aritmetiky, bude buď neúplný alebo nekonzistentný. Neúplný systém znamená, že v systéme môže byť formulované tvrdenie, ktoré nemožno pomocou tohto systému dokázať ani vyvrátiť. Ale Boh je podľa definície najvyššou príčinou všetkých príčin. Matematicky to znamená, že zavedenie axiómy o Bohu robí celú našu axiómu kompletnou. Ak existuje Boh, potom akékoľvek tvrdenie môže byť dokázané alebo vyvrátené, odkazujúce tak či onak na Boha. Ale podľa Gödela je úplný systém axióm nevyhnutne protichodný. To znamená, že ak veríme, že Boh existuje, potom sme nútení dospieť k záveru, že v prírode sú možné rozpory. A keďže neexistujú žiadne rozpory, inak by sa z týchto rozporov zrútil celý náš svet, musíme dospieť k záveru, že existencia Boha je nezlučiteľná s existenciou prírody.
Sosinský A.B.
Gödelova veta je spolu s objavom relativity, kvantovej mechaniky a DNA všeobecne považovaná za najväčší vedecký úspech 20. storočia. prečo? Čo je jej podstatou? Aký je jeho význam? Alexej Bronislavovič Sosinský, matematik, profesor Nezávislej moskovskej univerzity, dôstojník Rádu akademických paliem Francúzskej republiky, laureát Ceny vlády RF v oblasti vzdelávania za rok 2012, tieto otázky odhaľuje vo svojej prednáške v rámci Projekt Verejné prednášky Polit.ru. Predovšetkým bolo podaných niekoľko rôznych jeho formulácií, boli popísané tri prístupy k jeho dôkazu (kolmogorovom, Chaitinom a samotným Gödelom) a vysvetlený jeho význam pre matematiku, fyziku, informatiku a filozofiu.
Uspensky V.A.
Prednáška je venovaná syntaktickej verzii Gödelovej vety o neúplnosti. Gödel sám dokázal syntaktickú verziu použitím silnejšieho predpokladu ako konzistentnosti, a to takzvanej omega-konzistencie.
Uspensky V.A.
Prednášky Letnej školy „Moderná matematika“, Dubna.
Godlova veta o neúplnosti
Uspensky V.A.
Možno je Gödelova veta o neúplnosti skutočne jedinečná. Jedinečný v tom, že sa naň odvolávajú, keď chcú dokázať „všetko na svete“ – od prítomnosti bohov až po absenciu rozumu. Vždy ma zaujímala „primárnejšia otázka“ – a kto z tých, ktorí sa odvolávajú na vetu o neúplnosti, ju vedel nielen sformulovať, ale aj dokázať? Tento článok publikujem z toho dôvodu, že predstavuje veľmi prístupnú formuláciu Gödelovej vety. Odporúčam vám, aby ste si najskôr prečítali článok Tullio Regge Kurt Gödel a jeho slávnu vetu
Záver o nemožnosti univerzálneho kritéria pravdy je priamym dôsledkom výsledku, ktorý Tarski získal spojením Gödelovej vety o nerozhodnuteľnosti s vlastnou teóriou pravdy, podľa ktorej ani pre relatívne úzku oblasť nemôže existovať univerzálne kritérium pravdy. teórie čísel, a teda pre akúkoľvek vedu využívajúcu aritmetiku. Prirodzene, tento výsledok platí a fortiori pre pojem pravdy v akejkoľvek nematematickej oblasti poznania, v ktorej sa široko používa aritmetika.
Karl Popper
Uspenskij Vladimir Andrejevič sa narodil 27. novembra 1930 v Moskve. Vyštudoval Fakultu mechaniky a matematiky Moskovskej štátnej univerzity (1952). Doktor fyzikálnych a matematických vied (1964). Profesor, vedúci Katedry matematickej logiky a teórie algoritmov Fakulty mechaniky a matematiky (1966). Prečíta kurzy prednášok "Úvod do matematickej logiky", "Vyčísliteľné funkcie", "Gödelova veta o úplnosti". Pripravených 25 kandidátov a 2 doktori vied
1. Vyjadrenie problému
Veta o neúplnosti, ktorej presnú formuláciu uvedieme na konci tejto kapitoly a možno neskôr (ak to čitateľa zaujíma) a dôkaz, uvádza približne toto: za určitých podmienok v akomkoľvek jazyku existujú pravdivé, ale nepreukázateľné tvrdenia.
Keď formulujeme vetu týmto spôsobom, takmer každé slovo vyžaduje nejaké vysvetlenie. Začneme preto vysvetlením významu slov, ktoré v tejto formulácii používame.
1.1. Jazyk
Nebudeme uvádzať najvšeobecnejšiu možnú definíciu jazyka, radšej sa obmedzíme na tie jazykové pojmy, ktoré budeme potrebovať neskôr. Existujú dva takéto pojmy: „abeceda jazyka“ a „súbor pravdivých výrokov jazyka“.
1.1.1. Abeceda
Abecedou rozumieme konečnú množinu elementárnych znakov (teda vecí, ktoré sa nedajú rozdeliť na jednotlivé časti). Tieto znaky sa nazývajú písmená abecedy. Slovom v abecede rozumieme konečný sled písmen. Napríklad bežné slová v angličtine (vrátane vlastných mien) sú slová 54-písmenovej abecedy (26 malých písmen, 26 veľkých písmen, pomlčka a apostrof). Ďalší príklad - prirodzené čísla v desiatkovom zápise sú slová 10-písmenovej abecedy, ktorých písmenami sú znaky: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Na označenie použijeme obyčajné veľké písmená. abecedy. Ak L je abeceda, potom L? bude označovať množinu všetkých slov abecedy L, - slová utvorené z jej písmen. Budeme predpokladať, že každý jazyk má svoju abecedu, takže všetky výrazy tohto jazyka (tj - názvy rôznych predmetov, výroky o týchto predmetoch atď.) sú slová tejto abecedy. Napríklad akákoľvek veta v anglickom jazyku, ako aj akýkoľvek text napísaný v angličtine, možno považovať za slovo rozšírenej 54-písmenovej abecedy, ktorá zahŕňa aj interpunkčné znamienka, medzeru medzi slovom, znak červenej čiary a možno aj iné užitočné postavy. Za predpokladu, že jazykové výrazy sú slová nejakej abecedy, vylúčime teda z úvahy „viacvrstvové“ výrazy ako ???f(x)dx. Toto obmedzenie však nie je príliš významné, keďže každý takýto výraz možno pomocou vhodných konvencií „roztiahnuť“ do lineárnej formy. Nejaká množina M obsiahnutá v L? sa nazýva množina slov abecedy L. Ak jednoducho povieme, že M je množina slov, tak máme na mysli, že ide o slovo nejakej abecedy. Vyššie uvedený jazykový predpoklad možno preformulovať takto: v akomkoľvek jazyku je ľubovoľná množina výrazov množinou slov.
1.1.2. Veľa pravdivých tvrdení
Predpokladáme, že nám je daná podmnožina T množiny L? (kde L je abeceda nejakého jazyka, o ktorom uvažujeme), ktorý sa nazýva množina „pravdivých tvrdení“ (alebo jednoducho „právd“). Ak prejdeme priamo k podmnožine T, vynecháme nasledujúce medzikroky uvažovania: po prvé, ktoré slová abecedy L sú dobre sformovanými výrazmi jazyka, to znamená, že majú určitý význam v našej interpretácii tohto jazyka (napr. , 2 + 3, x + 3, x=y, x=3, 2=3, 2=2 sú dobre vytvorené výrazy, zatiaľ čo výrazy ako +=x nie sú); po druhé, ktoré výrazy sú formule, t.j. môže závisieť od parametra (napr. x=3, x=y, 2=3, 2=2); po tretie, ktoré zo vzorcov sú uzavreté vzorce, t.j. príkazy, ktoré nezávisia od parametrov (napríklad 2=3, 2=2); a nakoniec, ktoré uzavreté vzorce sú pravdivé výroky (napríklad 2=2).
1.1.3. Základný jazykový pár
1.2. "nedokázateľné"
„Nepreukázateľné“ znamená nemať žiadne dôkazy.
1.3. Dôkaz
Napriek tomu, že pojem „dôkaz“ je azda jedným z najdôležitejších v matematike (Bourbakiovci začínajú svoju knihu „Základy matematiky“ slovami: „Od čias starých Grékov slovo „matematika“ znamenalo to isté ako „dôkaz““), nemá presnú definíciu. Vo všeobecnosti pojem dôkaz so všetkými jeho sémantickými vetvami patrí skôr do oblasti psychológie než do matematiky. Ale nech je to akokoľvek, dôkaz je jednoducho argument, ktorý sami považujeme za celkom presvedčivý, aby sme presvedčili všetkých ostatných.
Po zapísaní sa dôkaz stane slovom v nejakej abecede P, rovnako ako každý anglický text je slovom v abecede L, ktorej príklad bol uvedený vyššie. Množina všetkých dôkazov tvorí podmnožinu (a dosť veľkú podmnožinu) množiny P?. Nebudeme sa snažiť poskytnúť presnú definíciu tohto „naivného“ aj „absolútneho“ konceptu dôkazu, alebo – čo je ekvivalentné – definovať zodpovedajúcu podmnožinu P?. Namiesto toho budeme uvažovať o formálnej analógii tohto vágneho konceptu, pre ktorý budeme v nasledujúcom texte stále používať výraz „dôkaz“. Tento analóg má dve veľmi dôležité vlastnosti, ktoré ho odlišujú od intuitívneho konceptu (hoci intuitívna myšlienka dôkazu tieto vlastnosti do určitej miery stále odráža). V prvom rade predpokladáme, že existujú rôzne koncepty dôkazov, to znamená, že sú povolené rôzne podmnožiny dôkazov v P?, a ešte viac: v skutočnosti budeme predpokladať, že samotná abeceda dôkazov P sa môže meniť. . Ďalej požadujeme, aby pre každú takúto koncepciu dôkazu existovala účinná metóda, inými slovami, algoritmus, ktorý by nevyhnutne určil, či dané slovo abecedy P je alebo nie je dôkazom. Tiež predpokladáme, že existuje algoritmus, ktorý sa dá vždy použiť na určenie toho, ktoré tvrdenie daný dôkaz dokazuje. (V mnohých situáciách je tvrdenie, ktoré sa dokazuje, jednoducho posledným tvrdením v poradí krokov, ktoré tvoria dôkaz.)
Naše konečné znenie definície je teda nasledovné:
(1) Máme abecedu L (abeceda jazyka) a abecedu P (abeceda dôkazu).
(2) Dostali sme množinu P, ktorá je podmnožinou P? a ktorej prvky sa nazývajú „dôkazy“. V budúcnosti budeme predpokladať, že máme aj algoritmus, ktorý nám umožňuje určiť, či ľubovoľné slovo z abecedy P je prvkom množiny P, teda dôkazom, alebo nie.
(3) Máme tiež funkciu? (na zistenie toho, čo presne bolo dokázané), koho doménou je? spĺňa podmienku P???P?, a ktorého rozsah je v P?. Predpokladáme, že máme algoritmus, ktorý túto funkciu počíta (presný význam slov „algoritmus počíta funkciu“ je nasledujúci: hodnoty funkcií sa získavajú pomocou tohto algoritmu – súboru špeciálnych transformačných pravidiel). Povieme, že prvok p? P je dôkazom slova?(p) abecedy L.
Trojka<Р, Р, ?>, splnenie podmienok (1)-(3) sa nazýva deduktívny systém nad abecedou L.
Čitateľovi, ktorý je oboznámený so zvyčajným spôsobom definovania „dôkazu“ v termínoch „axióma“ a „pravidlo inferencie“, teraz vysvetlíme, ako možno túto metódu považovať za špeciálny prípad definície uvedenej v časti 1.3.2. To znamená, že dôkaz je zvyčajne definovaný ako postupnosť takýchto jazykových výrazov, z ktorých každý je buď axióma alebo predtým získaný z už existujúcich tvrdení pomocou jedného z pravidiel odvodzovania. Ak do abecedy nášho jazyka pridáme nové slovo *, potom môžeme takýto dôkaz napísať ako slovo zložené pomocou výslednej abecedy: sekvenciou výrazov sa stane slovo C1*C2*...*Cn. V tomto prípade funkcia, ktorá určuje, čo presne bolo dokázané, má svoju hodnotu v časti tohto slova bezprostredne nasledujúcej za posledným písmenom * v poradí. Algoritmus, ktorého existencia sa vyžaduje v časti 1.3.2. definície, možno ľahko skonštruovať, keď presne definujeme ktorýkoľvek z akceptovaných významov slov „axióm“ a „pravidlo vyvodzovania“.
1.4 Pokusy o presné formulovanie vety o neúplnosti
1.4.1. Prvý pokus
„Za určitých podmienok pre základnú dvojicu jazyka abecedy L a deduktívneho systému<Р, Р, ?>nad L vždy existuje slovo v T, ktoré nemá žiadny dôkaz. Táto možnosť stále vyzerá nejasne. Najmä by sme mohli ľahko prísť na toľko deduktívnych systémov, koľko sa nám páči, ktoré majú veľmi málo dokázateľných slov. ?) neexistujú žiadne slová vôbec by to malo dôkazy.
1.4.2. Druhý pokus
Existuje aj iný, prirodzenejší prístup. Predpokladajme, že je nám daný jazyk – v tom zmysle, že je nám daný základný pár tohto jazyka. Teraz budeme hľadať taký deduktívny systém nad L (intuitívne hľadáme dôkazovú techniku), ktorým by sme dokázali čo najviac slov z T, v limite všetky slová z T. Gödelovej vety opisujú situáciu, v ktorej takýto deduktívny systém (ktorým by bolo dokázateľné každé slovo v T) neexistuje. Preto by sme chceli sformulovať nasledujúce vyhlásenie:
"Za určitých podmienok týkajúcich sa základného páru neexistuje taký deduktívny systém, v ktorom by každé slovo z T malo dôkaz."
Takéto tvrdenie je však zjavne nepravdivé, pretože je potrebné vziať iba dedukčný systém, v ktorom P = L, P = P? a?(p) = p pre všetky p v P?; potom každé slovo od L? je triviálne dokázateľné. Preto musíme prijať určité obmedzenie, ktoré deduktívne systémy používame.
1.5. Dôslednosť
Bolo by celkom prirodzené vyžadovať, aby bolo možné dokázať len „pravdivé tvrdenia“, teda iba slová z T. Povieme, že dedukčný systém<Р, Р, ?>je konzistentný s ohľadom na základný pár if?(P)?T. Vo všetkých nasledujúcich úvahách nás budú zaujímať len takéto konzistentné deduktívne systémy. Ak dostaneme jazyk, potom by bolo mimoriadne lákavé nájsť taký konzistentný deduktívny systém, v ktorom by každé pravdivé tvrdenie malo dôkaz. Variant Gödelovej vety, ktorý nás zaujíma, presne hovorí, že za určitých podmienok vzhľadom na základnú dvojicu nie je možné nájsť takýto deduktívny systém.
1.6. úplnosť
Hovorí sa, že dedukčný systém<Р,Р,?>je úplný vzhľadom na základný pár za predpokladu, že?(P)?T. Potom má naša formulácia vety o neúplnosti nasledujúcu formu:
Za určitých podmienok týkajúcich sa základného páru takýto deduktívny systém neexistuje<Р,Р,?>nad L by to bolo úplné a relatívne konzistentné.
Bibliografia
Na prípravu tejto práce boli použité materiály zo stránky http://filosof.historic.ru.
09senAkýkoľvek systém matematických axióm, počnúc od určitej úrovne zložitosti, je buď vnútorne nekonzistentný alebo neúplný.
V roku 1900 sa v Paríži konala Svetová konferencia matematikov, kde David Gilbert(David Hilbert, 1862–1943) načrtol formou téz 23 najdôležitejších, podľa neho úloh, ktoré museli riešiť teoretici nadchádzajúceho dvadsiateho storočia. Číslo dva na jeho zozname bolo jedným z tých jednoduchých problémov, ktoré sa zdajú byť zrejmé, kým sa nezahĺbite do hĺbky. V modernom zmysle to bola otázka: stačí matematika sama o sebe? Druhá Hilbertova úloha sa zredukovala na potrebu striktne dokázať, že systém axióm – základných tvrdení braných v matematike ako základ bez dôkazu – je dokonalý a úplný, to znamená, že umožňuje matematický opis všetkého, čo existuje. Bolo potrebné dokázať, že je možné nastaviť taký systém axióm, aby po prvé boli vzájomne konzistentné a po druhé sa z nich dal vyvodiť záver o pravdivosti či nepravdivosti akéhokoľvek tvrdenia.
Vezmime si príklad zo školskej geometrie. V štandardnej euklidovskej planimetrii (geometria v rovine) možno bezpodmienečne dokázať, že výrok „súčet uhlov trojuholníka je 180°“ a výrok „súčet uhlov trojuholníka je 137° “ je nepravdivé. V podstate povedané, v euklidovskej geometrii je akékoľvek tvrdenie buď nepravdivé alebo pravdivé, a tretie nie je dané. A na začiatku dvadsiateho storočia matematici naivne verili, že rovnaká situácia by mala byť pozorovaná v akomkoľvek logicky konzistentnom systéme.
A potom v roku 1931 nejaký viedenský okuliarnatý matematik Kurt Gödel- vzal a zverejnil krátky článok, ktorý jednoducho prevrátil celý svet takzvanej "matematickej logiky". Po dlhých a zložitých matematických a teoretických preambulách doslova stanovil nasledovné. Zoberme si akékoľvek tvrdenie typu: „Predpoklad č. 247 je v tomto systéme axióm logicky nepreukázateľný“ a nazvime ho „výrok A“. Gödel teda jednoducho dokázal nasledujúcu úžasnú vlastnosť akéhokoľvek systému axióm:
"Ak sa dá dokázať tvrdenie A, dá sa dokázať aj tvrdenie, ktoré nie je A."
Inými slovami, ak je možné preukázať platnosť tvrdenia "Predpoklad 247 nie je preukázateľný", potom je možné preukázať aj platnosť tvrdenia "Predpoklad 247 je preukázateľný". To znamená, ak sa vrátime k formulácii druhého Hilbertovho problému, ak je systém axióm úplný (to znamená, že akékoľvek tvrdenie v ňom možno dokázať), potom je nekonzistentný.
Jediným východiskom z tejto situácie je prijať neúplný systém axióm. To znamená, že sa musíme zmieriť s tým, že v kontexte akéhokoľvek logického systému budeme mať stále tvrdenia „typu A“, ktoré sú zjavne pravdivé alebo nepravdivé, a ich pravdivosť môžeme posudzovať len mimo rámca axiomatiky, ktorú máme. prijali. Ak takéto tvrdenia neexistujú, potom je naša axiomatika rozporuplná a v jej rámci budú nevyhnutne existovať formulácie, ktoré možno dokázať aj vyvrátiť.
Takže formulácia prvej Gödelovej alebo slabej vety o neúplnosti je: „Akýkoľvek formálny systém axióm obsahuje nevyriešené predpoklady“. Gödel však pri formulovaní a dokazovaní druhej alebo silnej Gödelovej vety o neúplnosti neskončil: „Logickú úplnosť (alebo neúplnosť) akéhokoľvek systému axióm nemožno dokázať v rámci tohto systému. Na jej dokázanie alebo vyvrátenie sú potrebné ďalšie axiómy (posilnenie systému).
Bezpečnejšie by bolo myslieť si, že Godelove vety sú abstraktné a netýkajú sa nás, ale iba oblastí vznešenej matematickej logiky, no v skutočnosti sa ukázalo, že priamo súvisia so štruktúrou ľudského mozgu. Ukázal to anglický matematik a fyzik Roger Penrose (nar. 1931). Gödelove vety možno použiť na preukázanie existencie zásadných rozdielov medzi ľudským mozgom a počítačom. Pointa jeho úvah je jednoduchá. Počítač funguje striktne logicky a nie je schopný určiť, či je výrok A pravdivý alebo nepravdivý, ak presahuje rámec axiomatiky a takéto výroky podľa Gödelovej vety nevyhnutne existujú. Človek, konfrontovaný s takýmto logicky nepreukázateľným a nevyvrátiteľným tvrdením A, je vždy schopný určiť jeho pravdivosť či nepravdivosť – na základe každodennej skúsenosti. Minimálne v tomto je ľudský mozog nadradený počítaču spútanému čistými logickými obvodmi. Ľudský mozog je schopný pochopiť celú hĺbku pravdy obsiahnutú v Gödelových teorémoch, ale počítač nikdy. Preto je ľudský mozog všetko, len nie počítač. Je schopný robiť rozhodnutia a Turingov test prejde.
Godlove vety o neúplnosti
Godlove vety o neúplnosti
Godlove vety o neúplnosti- dve vety matematickej logiky o základných obmedzeniach formálnej aritmetiky a v dôsledku toho akejkoľvek dostatočne silnej teórie prvého poriadku.
Prvá veta hovorí, že ak je formálna aritmetika konzistentná, potom obsahuje nevyvrátiteľný a nevyvrátiteľný vzorec.
Druhá veta hovorí, že ak je formálna aritmetika konzistentná, potom je v nej nejaký vzorec neodvoditeľný, čo zmysluplne potvrdzuje konzistentnosť tejto teórie.
Prvá Gödelova veta o neúplnosti
Tvrdenie prvej Gödelovej vety o neúplnosti možno povedať takto:
Ak formálna aritmetika S je konzistentný, potom obsahuje uzavretý vzorec G tak, že ani G, ani jeho negácia ¬G nie sú odvoditeľné S .Pri dokazovaní vety Gödel zostrojil vzorec G výslovne sa niekedy nazýva Gödelova neriešiteľná formulka. V štandardnom výklade veta G tvrdí svoju vlastnú neodvoditeľnosť v S. Preto podľa Gödelovej vety, ak je teória S konzistentná, potom je tento vzorec skutočne nederivovateľný v S, a preto je v štandardnej interpretácii pravdivý. Teda pre prirodzené čísla vzorec G je pravda, ale nedá sa odvodiť v S.
Gödelov dôkaz možno vykonať aj pre akúkoľvek teóriu získanú zo S pridaním nových axióm, napríklad vzorca G ako axióma. Preto bude akákoľvek konzistentná teória, ktorá je rozšírením formálnej aritmetiky, neúplná.
Na dôkaz prvej vety o neúplnosti priradil Gödel každému symbolu, výrazu a postupnosti výrazov vo formálnej aritmetike špecifické číslo. Keďže formule a vety sú aritmetické vety a formálne odvodeniny viet sú postupnosti vzorcov, bolo možné hovoriť o vetách a dôkazoch z hľadiska prirodzených čísel. Nechaj napríklad Gödelov neriešiteľný vzorec G má číslo m, potom je ekvivalentné nasledujúcemu tvrdeniu v jazyku aritmetiky: „také prirodzené číslo neexistuje n, čo n existuje odvodené číslo vzorca s číslom m". Takéto porovnávanie vzorcov a prirodzených čísel sa nazýva aritmetizácia matematiky a prvýkrát ho uskutočnil Gödel. Táto myšlienka sa následne stala kľúčom k riešeniu mnohých dôležitých problémov matematickej logiky."
dôkazový náčrt
Opravme nejaký formálny systém PM, v ktorom môžu byť reprezentované elementárne matematické pojmy.
Výrazy formálneho systému sú zvonku konečné postupnosti primitívnych symbolov (premenné, logické konštanty a zátvorky alebo bodky) a nie je ťažké presne špecifikovať, ktoré postupnosti primitívnych symbolov sú formule a ktoré nie. Podobne z formálneho hľadiska dôkazy nie sú nič iné ako konečné postupnosti vzorcov (s prísne definovanými vlastnosťami). Pre matematickú úvahu nezáleží na tom, ktoré objekty brať ako primitívne symboly a my sa rozhodneme na tieto účely použiť prirodzené čísla. Podľa toho je vzorec konečnou postupnosťou prirodzených čísel, odvodenie vzorca je konečnou postupnosťou konečných postupností prirodzených čísel. Matematické pojmy (výroky) sa tak stávajú pojmami (výrokmi) o prirodzených číslach alebo ich postupnostiach, a preto môžu byť samy osebe vyjadrené v symbolike systému PM (aspoň čiastočne). Dá sa najmä ukázať, že pojmy „vzorec“, „derivácia“, „odvoditeľný vzorec“ sú v rámci systému PM definovateľné, to znamená, že je možné získať napríklad vzorec F(v) v PM s jednou voľnou premennou v(ktorého typ je číselná postupnosť) tak, že F(v), v intuitívnom výklade znamená: v- odvoditeľný vzorec. Teraz zostrojme nerozhodnuteľnú vetu systému PM, teda vetu A, pre ktoré ani jedno A, ani non-A nie je odvoditeľné, a to takto:
Vzorec v PM s presne jednou voľnou premennou, ktorej typ je prirodzené číslo (trieda tried), sa bude nazývať výrazová trieda. Usporiadajme nejakým spôsobom triedne výrazy do postupnosti, označme n-e cez R(n), a všimnite si, že pojem „trieda-výraz“, ako aj vzťah usporiadania R môžu byť definované v systéme PM. Nech α je ľubovoľný triedny výraz; cez [a; n] označujú vzorec, ktorý je vytvorený z triedneho výrazu α nahradením voľnej premennej symbolom prirodzeného čísla n. Ternárny vzťah X = [r;z] sa tiež ukázalo byť definovateľné v PM. Teraz definujeme triedu K prirodzené čísla takto:
n ∈ K≡ ¬Bew[ R(n);n] (*)(kde Bew X znamená: X- odvoditeľný vzorec). Keďže všetky pojmy vyskytujúce sa v tejto definícii môžu byť vyjadrené v PM, to isté platí pre tento pojem K, ktorý je z nich vybudovaný, čiže existuje taký triedny výraz Sže vzorec [ S;n], čo je intuitívne interpretované, znamená, že prirodzené číslo n patrí K. Ako triedny výraz, S identické s niektorými konkrétnymi R(q) v našom číslovaní, tzn
S = R(q)platí pre nejaké určité prirodzené číslo q. Ukážme teraz, že veta [ R(q);q] je v PM nerozhodnuteľný. Ak teda veta [ R(q);q] sa predpokladá, že je odvoditeľné, potom sa ukáže ako pravdivé, to znamená v súlade s tým, čo bolo povedané vyššie, q bude patriť K, teda podľa (*), ¬Bew[ R(q);q] bude spokojný, čo je v rozpore s naším predpokladom. Na druhej strane, ak negácia [ R(q);q] bolo odvoditeľné, potom ¬ n ∈ K, teda Bew[ R(q);q] bude pravda. V dôsledku toho [ R(q);q] spolu s jeho negáciou bude odvoditeľné, čo opäť nie je možné.
Polynomický tvar
Pre každú konzistentnú teóriu T dá sa určiť taká celočíselná hodnota parametra K, že rovnica (θ + 2 z − b 5) 2 + (u + tθ − l) 2 + (r + mθ − e) 2 + (n − q 16) 2 + ((g + eq 3 + lq 5 + (2(e − z A)(1+ g) 4 + λ b 5+λ b 5 q 4)q 4)(n 2 − n) + (q 3 − bl + l + θλ q 3 + (b 5 − 2)q 5)(n 2 − 1) − r) 2 + (p − 2ws 2 r 2 n 2) 2 + (p 2 k 2 − k 2 + 1 − τ 2) 2 + (4(c − ksn 2) 2 + η - k 2) 2 + (r + 1 + hp − h − k) 2 + (a − (wn 2 + 1)rsn 2) 2 + (2r+ 1 + φ − c) 2 + (bw + ca − 2c+ 4αγ − 5γ − d) 2 + ((a 2 − 1)c 2 + 1 − d 2) 2 + ((a 2 − 1)i 2 c 4 + 1 − f 2) 2 + (((a + f 2 (d 2 − a)) 2 − 1)(2r + 1 + jc) 2 + 1 − (d + of) 2) 2 + (((z + u + r) 2 + u) 2 + r − K) 2 = 0 nemá riešenia v nezáporných celých číslach, ale túto skutočnosť nemožno teoreticky dokázať T . Navyše, pre každú konzistentnú teóriu je množina hodnôt parametra K, ktoré majú túto vlastnosť, nekonečná a algoritmicky nevyčísliteľná.Druhá Gödelova veta o neúplnosti
Vo formálnej aritmetike S je možné zostaviť vzorec, ktorý je v štandardnej interpretácii pravdivý vtedy a len vtedy, ak je teória S konzistentná. Pre tento vzorec platí výrok druhej Gödelovej vety:
Ak formálna aritmetika S je konzistentný, potom obsahuje neodvoditeľný vzorec, ktorý obsahovo presadzuje konzistenciu S .Inými slovami, konzistentnosť formálnej aritmetiky nie je možné dokázať pomocou tejto teórie. Existujú však dôkazy o konzistentnosti formálnej aritmetiky pomocou prostriedkov, ktoré sú v nej nevyjadriteľné.
dôkazový náčrt
Najprv sa vytvorí vzorec Con, zmysluplne vyjadrujúce nemožnosť odvodenia akéhokoľvek vzorca v teórii S spolu s jeho negáciou. Potom je výrok prvej Gödelovej vety vyjadrený vzorcom Con ⊃ G, kde G- Gödelov neriešiteľný vzorec. Všetky argumenty na dôkaz prvej vety možno vyjadriť a vykonať pomocou S, to znamená, že v S je vzorec odvoditeľný Con ⊃ G. Ak je teda S odvoditeľné Con, potom v ňom odvodíme a G. Avšak podľa prvej Gödelovej vety, ak je S konzistentné, potom G v ňom nie je odvoditeľné. Preto, ak je S konzistentné, potom vzorec Con.
Poznámky
pozri tiež
Odkazy
- V. A. Uspensky Godlova veta o neúplnosti. - M.: Nauka, 1982. - 110 s. - (Populárne prednášky z matematiky).
- Akademik Yu.L. Ershov "Dôkazy v matematike", Program A. Gordona zo 16. júna 2003
- A. B. Sosinský Gödelova veta // letná škola "Moderná matematika". - Dubna: 2006.
- P. J. Cohen O základoch teórie množín // Pokroky v matematických vedách. - 1974. - T. 29. - č. 5 (179). - S. 169–176.
- M. Kordonského Koniec pravdy. - ISBN 5-946448-001-04
- V. A. Uspensky Gödelova veta o neúplnosti a štyri cesty, ktoré k nej vedú // letná škola "Moderná matematika". - Dubna: 2007.
- Zenkin A.A. Princíp zdieľania času a analýza jednej triedy kvázi konečných plauzibilných úvah (na príklade vety o nespočítateľnosti G. Kantora) // DAN. - 1997. - T. 356. - Č. 6. - S. 733-735.
- Chechulin V.L. O krátkej verzii dôkazu Gödelových viet // „Základné problémy matematiky a informačných vied“, materiály XXXIV. seminára matematickej školy na Ďalekom východe pomenovaného po akademikovi E.V. Zolotovej. - Chabarovsk, Rusko: 2009. - S. 60-61.
Nadácia Wikimedia. 2010.
Pozrite sa, čo sú „Gödelove vety o neúplnosti“ v iných slovníkoch:
Tento výraz má iné významy, pozri Gödelovu vetu. Gödelova veta o neúplnosti a druhá Gödelova veta [1] sú dve vety matematickej logiky o základných obmedzeniach formálnej aritmetiky a v dôsledku toho akékoľvek ... ... Wikipedia
Gödelove vety o neúplnosti sú dve vety matematickej logiky o neúplnosti formálnych systémov určitého druhu. Obsah 1 Prvá Gödelova veta o neúplnosti 2 Druhá Gödelova veta o neúplnosti ... Wikipedia
Tento výraz má iné významy, pozri Gödelovu vetu. Gödelova veta o úplnosti predikátového počtu je jednou zo základných teorém matematickej logiky: vytvára jednoznačný vzťah medzi logickou pravdou ... ... Wikipedia
Spoločný názov pre dve vety stanovené K. Gödelom. Prvý G. t. o n. tvrdí, že v každom konzistentnom formálnom systéme obsahujúcom minimum aritmetiky (znakov a obvyklých pravidiel narábania s nimi) existuje formálne nerozhodnuteľný ... ... Matematická encyklopédia
na tému: "GODELOVA TEOREMA"
Kurt Gödel
Kurt Gödel - najväčší špecialista na matematickú logiku - sa narodil 28. apríla 1906 v Brunne (dnes Brno, Česká republika). Vyštudoval Viedenskú univerzitu, kde obhájil dizertačnú prácu, v rokoch 1933–1938 bol odborným asistentom. Po anšluse emigroval do USA. V rokoch 1940 až 1963 Gödel pracoval v Princetonskom inštitúte pre pokročilé štúdium. Gödel je čestným doktorátom univerzít Yale a Harvard, členom Národnej akadémie vied USA a Americkej filozofickej spoločnosti.
V roku 1951 získal Kurt Gödel najvyššie vedecké ocenenie v USA, Einsteinovu cenu. V článku venovanom tejto udalosti ďalší z najväčších matematikov našej doby John von Neumann napísal: „Príspevok Kurta Gödela k modernej logike je skutočne monumentálny. Toto je viac ako len pamiatka. Ide o míľnik oddeľujúci dve epochy... Bez akéhokoľvek preháňania možno povedať, že Gödelovo dielo zásadne zmenilo samotný predmet logiky ako vedy.
Dokonca aj suchý zoznam Godelových úspechov v matematickej logike ukazuje, že ich autor v podstate položil základy pre celé sekcie tejto vedy: teóriu modelov (1930; tzv. teorém o úplnosti úzkeho predikátového počtu, ukazujúci, zhruba povedané, dostatok prostriedkov „formálnej logiky“ na dokázanie všetkých pravdivých viet vyjadrených v jej jazyku), konštruktívna logika (1932–1933; vedie k možnosti zredukovať niektoré triedy klasických logických viet na ich intuicionistické náprotivky, ktoré základ pre systematické používanie „ponorných operácií“, ktoré umožňujú takúto redukciu rôznych logických systémov na seba), formálna aritmetika (1932–1933; vedie k možnosti redukcie klasickej aritmetiky na intuicionistickú aritmetiku, čo v istom zmysle ukazuje konzistentnosť prvej vo vzťahu k druhej), teória algoritmov a rekurzívnych funkcií (1934; definícia pojmu všeobecnej rekurzívnej funkcie, ktorá zohrala rozhodujúci význam úlohu pri stanovení algoritmickej neriešiteľnosti mnohých dôležitých problémov v matematike na jednej strane. A pri realizácii logických a matematických úloh na elektronických počítačoch - na druhej strane, axiomatická teória množín (1938; dôkaz relatívnej konzistentnosti axiómy výberu a Cantorovej hypotézy kontinua z axióm teórie množín, ktorá znamenala začiatok r. séria dôležitých výsledkov o relatívnej konzistentnosti a nezávislosti princípov teórie množín).
Godlova veta o neúplnosti
Úvod
V roku 1931 sa v jednom z nemeckých vedeckých časopisov objavil pomerne malý článok s dosť desivým názvom „O formálne nerozhodnuteľných propozíciách Principia Mathematica a súvisiacich systémov“. Jej autorom bol dvadsaťpäťročný matematik z Viedenskej univerzity Kurt Gödel, ktorý neskôr pôsobil v Princetonskom inštitúte pre pokročilé štúdium. Táto práca zohrala rozhodujúcu úlohu v dejinách logiky a matematiky. V rozhodnutí Harvardskej univerzity udeliť Gödelovi čestný doktorát (1952) bol charakterizovaný ako jeden z najväčších úspechov modernej logiky.
V čase vydania však žiadny názov Gödelovho diela. Ani jeho obsah väčšine matematikov nič nehovoril. Principia Mathematica, spomenutá v názve, je monumentálnym trojzväzkovým pojednaním Alfreda North Whiteheada a Bertranda Russella o matematickej logike a základoch matematiky; znalosť traktátu nebola v žiadnom prípade nevyhnutnou podmienkou úspešnej práce vo väčšine odvetví matematiky. Záujem o problémy riešené v Gödelovej práci bol vždy záležitosťou veľmi úzkej skupiny vedcov. Argumenty uvádzané Gödelom vo svojich dôkazoch boli zároveň na svoju dobu také nezvyčajné. Že ich úplné pochopenie si vyžadovalo exkluzívnu znalosť predmetu a znalosť literatúry venovanej týmto veľmi špecifickým problémom.
Prvá veta o neúplnosti
Prvá Gödelova veta o neúplnosti sa zdá byť najvýznamnejším výsledkom v matematickej logike. Znie to takto:
Pre ľubovoľnú konzistentnú formálnu a vypočítateľnú teóriu, v ktorej sa dajú dokázať základné aritmetické výroky, možno skonštruovať pravdivý aritmetický výrok, ktorého pravdivosť nemožno dokázať v rámci teórie. Inými slovami, žiadna dokonale užitočná teória dostatočná na reprezentáciu aritmetiky nemôže byť konzistentná a úplná.
Slovo „teória“ tu znamená „nekonečnú množinu“ tvrdení, z ktorých niektoré sa považujú za pravdivé bez dôkazu (takéto tvrdenia sa nazývajú axiómy), zatiaľ čo iné (teorémy) možno z axióm odvodiť, a preto sa predpokladajú ( dokázal) byť pravdivý. Fráza „dokázateľný teoreticky“ znamená „odvodené z axióm a primitív teórie (konštantných symbolov abecedy) pomocou štandardnej (prvého rádu) logiky“. Teória je konzistentná (konzistentná), ak v nej nie je možné dokázať protichodné tvrdenie. Fráza „možno zostaviť“ znamená, že existuje nejaký mechanický postup (algoritmus), ktorý dokáže zostaviť vyhlásenie na základe axióm, primitív a logiky prvého poriadku. „Elementárna aritmetika“ je prítomnosť operácií sčítania a násobenia nad prirodzenými číslami. Výsledný pravdivý, ale nedokázateľný výrok sa pre danú teóriu často označuje ako „Gödelova postupnosť“, no v teórii existuje nekonečné množstvo iných tvrdení, ktoré majú rovnakú vlastnosť, že sú v rámci teórie nedokázateľné.
Predpoklad, že teória je vyčísliteľná, znamená, že je v princípe možné implementovať počítačový algoritmus (počítačový program), ktorý (ak je dovolené počítať ľubovoľne dlho, až do nekonečna) vypočíta zoznam všetkých teorémov teórie. V skutočnosti stačí vypočítať iba zoznam axióm a z takého zoznamu možno efektívne odvodiť všetky vety.
Prvá veta o neúplnosti bola v Gödelovom článku z roku 1931 nazvaná „Veta VI“. O formálne nerozhodnuteľných tvrdeniach v Principia Mathematica a príbuzných systémoch I. V pôvodnej Gödelovej nahrávke to znelo takto:
„Všeobecný záver o existencii nerozhodnuteľných návrhov je tento:
Veta VI .
Pre každú ω-konzistentnú rekurzívnu triedu k FORMULA existujú rekurzívne ZNAKY r také, že ani jedno (v Gen r), ani ¬( v Gen r)nepatria do Flg (k)(kde je v VOĽNÁ PREMENNÁ r ) ».
Označenie Flg pochádza od neho. Folgerungsmenge- súbor sekvencií, Gen pochádza od neho. Zovšeobecnenie- zovšeobecňovanie.
Zhruba povedané, Gödelov výrok G tvrdí: „pravda G sa nedá dokázať." Ak G by sa dalo dokázať v rámci teórie, potom by teória obsahovala vetu, ktorá si protirečí, a preto by teória bola nekonzistentná. Ale ak G nedokázateľné, potom je to pravda, a preto je teória neúplná (výrok G v ňom nemožno odvodiť).
Toto vysvetlenie je v bežnom prirodzenom jazyku, a preto nie je celkom matematicky presné. Aby Gödel poskytol presný dôkaz, očísloval výroky prirodzenými číslami. V tomto prípade do množiny výrokov patrí aj teória popisujúca čísla. Otázky o dokázateľnosti výrokov možno v tomto prípade reprezentovať vo forme otázok o vlastnostiach prirodzených čísel, ktoré musia byť vyčísliteľné, ak je teória úplná. V tomto zmysle Gödelov výrok hovorí, že neexistuje číslo s nejakou určitou vlastnosťou. Číslo s touto vlastnosťou bude dôkazom nekonzistentnosti teórie. Ak takéto číslo existuje, teória je v rozpore s pôvodným predpokladom nekonzistentná. Takže za predpokladu, že teória je konzistentná (ako naznačuje premisa vety), ukáže sa, že takéto číslo neexistuje a Gödelovo tvrdenie je pravdivé, ale v rámci teórie to nemožno dokázať (preto je teória neúplná) . Dôležitou koncepčnou poznámkou je, že je potrebné predpokladať, že teória je konzistentná, aby bolo možné vyhlásiť Gödelov výrok za pravdivý.
Druhá Gödelova veta o neúplnosti
Druhá Gödelova veta o neúplnosti znie takto:
Pre akúkoľvek formálne rekurzívne spočítateľnú (t. j. efektívne generovanú) teóriu T, vrátane základných aritmetických pravdivostných tvrdení a určitých formálnych tvrdení o dokázateľnosti, daná teória T obsahuje tvrdenie o jej konzistencii vtedy a len vtedy, ak je teória T nekonzistentná.
Inými slovami, konzistentnosť dostatočne bohatej teórie nie je možné dokázať pomocou tejto teórie. Môže sa však ukázať, že konzistentnosť jednej konkrétnej teórie možno stanoviť pomocou inej, silnejšej formálnej teórie. Potom však vyvstáva otázka konzistencie tejto druhej teórie atď.
Mnohí sa pokúšali použiť túto vetu, aby dokázali, že inteligentnú činnosť nemožno zredukovať na výpočty. Napríklad už v roku 1961 prišiel s podobným programom slávny logik John Lucas. Jeho úvahy sa ukázali ako dosť zraniteľné – úlohu však nastavil širšie. Roger Penrose má trochu iný prístup, ktorý je v knihe prezentovaný úplne, „od nuly“.
Diskusie
Dôsledky teorémov ovplyvňujú filozofiu matematiky, najmä tie formalizmy, ktoré na definovanie svojich princípov používajú formálnu logiku. Prvú vetu o neúplnosti možno preformulovať takto: je nemožné nájsť ucelený systém axióm, ktorý by bol schopný dokázať všetky matematické pravdy a ani jedna lož". Na druhej strane z hľadiska prísnej formálnosti toto preformulovanie nedáva veľký zmysel, pretože predpokladá, že pojmy „pravda“ a „nepravda“ budú definované v absolútnom zmysle, a nie v relatívnom zmysle. každý konkrétny systém.
