Dnes sa zaoberáme Gaussovou metódou riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc. O tom, aké sú tieto systémy, si môžete prečítať v predchádzajúcom článku venovanom riešeniu rovnakého SLAE Cramerovou metódou. Gaussova metóda nevyžaduje žiadne špecifické znalosti, je potrebná len starostlivosť a dôslednosť. Napriek tomu, že z pohľadu matematiky na jej uplatnenie stačí školská príprava, zvládnutie tejto metódy spôsobuje žiakom často ťažkosti. V tomto článku sa ich pokúsime zredukovať na nič!

Gaussova metóda

M Gaussova metóda je najuniverzálnejšia metóda riešenia SLAE (s výnimkou veľmi veľkých systémov). Na rozdiel od vyššie diskutovaného je vhodný nielen pre systémy, ktoré majú jedinečné riešenie, ale aj pre systémy, ktoré majú nekonečné množstvo riešení. Tu sú tri možnosti.

1. Systém má jedinečné riešenie (determinant hlavnej matice systému sa nerovná nule);
2. Systém má nekonečné množstvo riešení;
3. Neexistujú žiadne riešenia, systém je nekonzistentný.

Takže máme systém (nech má jedno riešenie) a ideme ho riešiť pomocou Gaussovej metódy. Ako to funguje?

Gaussova metóda pozostáva z dvoch fáz – priamej a inverznej.

Priama Gaussova metóda

Najprv napíšeme rozšírenú maticu systému. Za týmto účelom pridáme do hlavnej matice stĺpec voľných členov.

Celá podstata Gaussovej metódy spočíva v redukcii tejto matice na stupňovitý (alebo, ako sa hovorí, trojuholníkový) tvar pomocou elementárnych transformácií. V tejto forme by pod (alebo nad) hlavnou uhlopriečkou matice mali byť iba nuly.

Čo sa dá urobiť:

1. Môžete zmeniť usporiadanie riadkov matice;
2. Ak sú v matici rovnaké (alebo proporcionálne) riadky, môžete vymazať všetky okrem jedného;
3. Reťazec môžete násobiť alebo deliť ľubovoľným číslom (okrem nuly);
4. Nulové riadky sú odstránené;
5. Do reťazca môžete pridať reťazec vynásobený nenulovým číslom.

Reverzná Gaussova metóda

Potom, čo takto transformujeme systém, jedna neznáma xn sa stane známym a je možné nájsť všetky zostávajúce neznáme v opačnom poradí, dosadením už známych x do rovníc systému až po prvé.

Keď je internet vždy po ruke, môžete vyriešiť sústavu rovníc pomocou Gaussovej metódy online . Jediné, čo musíte urobiť, je zadať kurz do online kalkulačky. Ale musíte uznať, že je oveľa príjemnejšie uvedomiť si, že príklad nevyriešil počítačový program, ale váš vlastný mozog.

Príklad riešenia sústavy rovníc pomocou Gaussovej metódy

A teraz - príklad, aby bolo všetko jasné a zrozumiteľné. Nech je daný systém lineárnych rovníc a je potrebné ho vyriešiť Gaussovou metódou:

Najprv napíšme rozšírenú maticu:

Teraz sa poďme pozrieť na premeny. Pamätajte, že potrebujeme dosiahnuť trojuholníkový tvar matice. Vynásobte 1. riadok číslom (3). Vynásobte 2. riadok (-1). Pridajme 2. riadok k 1. a získame:

Potom vynásobte 3. riadok číslom (-1). Pridajme 3. riadok k 2.:

Vynásobte 1. riadok číslom (6). Vynásobte 2. riadok číslom (13). Pridajme 2. riadok k 1.:

Voila - systém je uvedený do vhodnej formy. Zostáva nájsť neznáme:

Systém v tomto príklade má jedinečné riešenie. Riešením systémov s nekonečnou množinou riešení sa budeme venovať v samostatnom článku. Možno zo začiatku nebudete vedieť, kde začať s maticovými transformáciami, ale po vhodnom precvičení to dostanete do rúk a budete gaussovské SLAE cvakať ako orechy. A ak zrazu narazíte na SLAU, ktorý sa ukáže ako príliš tvrdý oriešok, kontaktujte našich autorov! môžete zanechať žiadosť v Korešpondencii. Spolu vyriešime akýkoľvek problém!

Gaussova metóda skvelé na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc (SLAE). V porovnaní s inými metódami má niekoľko výhod:

• po prvé, nie je potrebné vopred skúmať kompatibilitu systému rovníc;
• po druhé, Gaussovou metódou možno riešiť nielen SLAE, v ktorých sa počet rovníc zhoduje s počtom neznámych premenných a hlavná matica systému je nedegenerovaná, ale aj sústavy rovníc, v ktorých počet rovníc nie je nezhoduje sa s počtom neznámych premenných alebo sa determinant hlavnej matice rovná nule;
• po tretie, Gaussova metóda vedie k výsledku s relatívne malým počtom výpočtových operácií.

Krátky prehľad článku.

Najprv uvedieme potrebné definície a zavedieme nejakú notáciu.

Ďalej popíšeme algoritmus Gaussovej metódy pre najjednoduchší prípad, teda pre sústavy lineárnych algebraických rovníc, počet rovníc, v ktorých sa zhoduje s počtom neznámych premenných a determinant hlavnej matice sústavy nie je rovná nule. Pri riešení takýchto sústav rovníc je najzreteľnejšie viditeľná podstata Gaussovej metódy, ktorá spočíva v postupnej eliminácii neznámych premenných. Preto sa Gaussova metóda nazýva aj metóda postupného odstraňovania neznámych. Ukážme si podrobné riešenia niekoľkých príkladov.

Na záver uvažujeme o Gaussovom riešení systémov lineárnych algebraických rovníc, ktorých hlavná matica je buď pravouhlá alebo degenerovaná. Riešenie takýchto systémov má niektoré vlastnosti, ktoré si podrobne rozoberieme na príkladoch.

Navigácia na stránke.

Základné definície a zápis.

Uvažujme systém p lineárnych rovníc s n neznámymi (p sa môže rovnať n):

Kde sú neznáme premenné, sú čísla (reálne alebo komplexné), sú voľné členy.

Ak , potom sa nazýva sústava lineárnych algebraických rovníc homogénne, inak - heterogénne.

Nazýva sa množina hodnôt neznámych premenných, v ktorých sa všetky rovnice systému menia na identity rozhodnutie SLAU.

Ak existuje aspoň jedno riešenie systému lineárnych algebraických rovníc, potom sa nazýva kĺb, inak - nezlučiteľné.

Ak má SLAE jedinečné riešenie, potom sa nazýva istý. Ak existuje viac riešení, potom sa volá systém neistý.

Systém je vraj napísaný súradnicový formulár ak má formu
.

Tento systém v matricový formulár záznamov má tvar , kde - hlavná matica SLAE, - matica stĺpca neznámych premenných, - matica voľných členov.

Ak do matice A pridáme ako (n + 1)-tý stĺpec maticu-stĺpec voľných členov, tak dostaneme tzv. rozšírená matrica sústavy lineárnych rovníc. Rozšírená matica je zvyčajne označená písmenom T a stĺpec voľných členov je oddelený zvislou čiarou od ostatných stĺpcov, tj.

Štvorcová matica A sa nazýva degenerovať ak je jeho determinant nula. Ak , potom sa volá matica A nedegenerované.

Treba poznamenať nasledujúci bod.

Ak sa nasledujúce akcie vykonajú so systémom lineárnych algebraických rovníc

• vymeniť dve rovnice,
• vynásobte obe strany akejkoľvek rovnice ľubovoľným a nenulovým reálnym (alebo komplexným) číslom k,
• k obom častiam ktorejkoľvek rovnice pridajte zodpovedajúce časti druhej rovnice vynásobené ľubovoľným číslom k,

potom dostaneme ekvivalentný systém, ktorý má rovnaké riešenia (alebo, ako ten pôvodný, nemá žiadne riešenia).

Pre rozšírenú maticu systému lineárnych algebraických rovníc budú tieto akcie znamenať elementárne transformácie s riadkami:

• výmena dvoch strún
• násobenie všetkých prvkov ľubovoľného riadku matice T nenulovým číslom k ,
• pridanie k prvkom ľubovoľného riadku matice zodpovedajúcich prvkov iného riadku, vynásobené ľubovoľným číslom k .

Teraz môžeme pristúpiť k popisu Gaussovej metódy.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych a hlavná matica sústavy je nedegenerovaná, Gaussovou metódou.

Čo by sme robili v škole, keby sme dostali za úlohu nájsť riešenie sústavy rovníc .

Niektorí by tak urobili.

Všimnite si, že pridaním ľavej strany prvej rovnice k ľavej strane druhej rovnice a pravej strany k pravej strane sa môžete zbaviť neznámych premenných x 2 a x 3 a okamžite nájsť x 1:

Nájdenú hodnotu x 1 \u003d 1 dosadíme do prvej a tretej rovnice systému:

Ak obe časti tretej rovnice systému vynásobíme -1 a pripočítame ich k zodpovedajúcim častiam prvej rovnice, zbavíme sa neznámej premennej x 3 a môžeme nájsť x 2:

Získanú hodnotu x 2 \u003d 2 dosadíme do tretej rovnice a nájdeme zostávajúcu neznámu premennú x 3:

Iní by urobili inak.

Vyriešme prvú rovnicu sústavy vzhľadom na neznámu premennú x 1 a výsledný výraz dosadíme do druhej a tretej rovnice sústavy, aby sme z nich túto premennú vylúčili:

Teraz vyriešme druhú rovnicu systému vzhľadom na x 2 a získaný výsledok dosadíme do tretej rovnice, aby sme z nej vylúčili neznámu premennú x 2:

Z tretej rovnice systému je zrejmé, že x 3 = 3. Z druhej rovnice zistíme a z prvej rovnice dostaneme .

Známe riešenia, však?

Najzaujímavejšie tu je, že druhá metóda riešenia je v podstate metóda postupnej eliminácie neznámych, teda Gaussova metóda. Keď sme vyjadrili neznáme premenné (prvé x 1 , ďalšie x 2 ) a dosadili ich do zvyšku rovníc systému, tým sme ich vylúčili. Výnimku sme vykonávali až do momentu, keď posledná rovnica ostala len o jednej neznámej premennej. Proces postupnej eliminácie neznámych je tzv priama Gaussova metóda. Po dokončení pohybu vpred máme možnosť vypočítať neznámu premennú v poslednej rovnici. S jeho pomocou z predposlednej rovnice nájdeme ďalšiu neznámu premennú atď. Proces postupného hľadania neznámych premenných pri prechode od poslednej rovnice k prvej sa nazýva reverzná Gaussova metóda.

Je potrebné poznamenať, že keď vyjadríme x 1 ako x 2 a x 3 v prvej rovnici a potom dosadíme výsledný výraz do druhej a tretej rovnice, nasledujúce akcie vedú k rovnakému výsledku:

Takýto postup nám skutočne umožňuje vylúčiť neznámu premennú x 1 z druhej a tretej rovnice systému:

Nuansy s elimináciou neznámych premenných Gaussovou metódou vznikajú vtedy, keď rovnice systému neobsahujú nejaké premenné.

Napríklad v SLAU v prvej rovnici nie je neznáma premenná x 1 (inými slovami, koeficient pred ňou je nula). Preto nemôžeme vyriešiť prvú rovnicu systému vzhľadom na x 1, aby sme túto neznámu premennú vylúčili zo zvyšku rovníc. Východiskom z tejto situácie je výmena rovníc systému. Keďže uvažujeme o sústavách lineárnych rovníc, ktorých determinanty hlavných matíc sú odlišné od nuly, vždy existuje rovnica, v ktorej je prítomná premenná, ktorú potrebujeme, a túto rovnicu môžeme preusporiadať do polohy, ktorú potrebujeme. Pre náš príklad stačí prehodiť prvú a druhú rovnicu sústavy , potom môžete vyriešiť prvú rovnicu pre x 1 a vylúčiť ju zo zvyšku rovníc systému (hoci x 1 už v druhej rovnici chýba).

Dúfame, že pochopíte podstatu.

Poďme popísať Algoritmus Gaussovej metódy.

Potrebujeme vyriešiť sústavu n lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými tvaru , a nech je determinant jeho hlavnej matice nenulový.

Budeme predpokladať, že , pretože to môžeme vždy dosiahnuť preskupením rovníc systému. Neznámu premennú x 1 vylúčime zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou. Ak to chcete urobiť, pridajte prvú rovnicu vynásobenú k druhej rovnici systému, pridajte prvú vynásobenú k tretej rovnici a tak ďalej, pridajte prvú vynásobenú k n-tej rovnici. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde .

K rovnakému výsledku by sme dospeli, ak by sme x 1 vyjadrili pomocou iných neznámych premenných v prvej rovnici systému a výsledný výraz dosadili do všetkých ostatných rovníc. Premenná x 1 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc druhou.

Ďalej postupujeme podobne, ale len s časťou výsledného systému, ktorý je vyznačený na obrázku

Ak to chcete urobiť, pridajte druhý vynásobený k tretej rovnici systému, pridajte druhý vynásobený k štvrtej rovnici a tak ďalej, pridajte druhý vynásobený k n-tej rovnici. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde . Premenná x 2 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc treťou.

Ďalej pristúpime k eliminácii neznámeho x 3, pričom postupujeme podobne ako časť systému označená na obr.

Pokračujeme teda v priamom kurze Gaussovej metódy, kým systém nezíska formu

Od tohto momentu začíname opačný priebeh Gaussovej metódy: x n vypočítame z poslednej rovnice ako , pomocou získanej hodnoty x n zistíme x n-1 z predposlednej rovnice atď., Zistíme x 1 z prvej rovnica.

Analyzujme algoritmus na príklade.

Príklad.

Gaussova metóda.

Riešenie.

Koeficient a 11 je odlišný od nuly, pristúpme teda k priamemu priebehu Gaussovej metódy, teda k eliminácii neznámej premennej x 1 zo všetkých rovníc sústavy, okrem prvej. Ak to chcete urobiť, k ľavej a pravej časti druhej, tretej a štvrtej rovnice pridajte ľavú a pravú časť prvej rovnice, vynásobené , resp. a:

Neznáma premenná x 1 bola eliminovaná, prejdime k vylúčeniu x 2 . K ľavej a pravej časti tretej a štvrtej rovnice sústavy pridáme ľavú a pravú časť druhej rovnice, vynásobené a :

Aby sme dokončili dopredný priebeh Gaussovej metódy, musíme z poslednej rovnice systému vylúčiť neznámu premennú x 3. Pridajte k ľavej a pravej strane štvrtej rovnice, respektíve ľavú a pravú stranu tretej rovnice, vynásobte :

Môžete začať opačný priebeh Gaussovej metódy.

Z poslednej rovnice, ktorú máme ,
z tretej rovnice dostaneme,
z druhej
od prvého.

Pre kontrolu môžete získané hodnoty neznámych premenných dosadiť do pôvodného systému rovníc. Všetky rovnice sa menia na identity, čo znamená, že riešenie Gaussovou metódou bolo nájdené správne.

odpoveď:

A teraz uvedieme riešenie toho istého príkladu Gaussovou metódou v maticovom tvare.

Príklad.

Nájdite riešenie sústavy rovníc Gaussova metóda.

Riešenie.

Rozšírená matica systému má tvar . Nad každým stĺpcom sú napísané neznáme premenné, ktoré zodpovedajú prvkom matice.

Priamy priebeh Gaussovej metódy tu zahŕňa uvedenie rozšírenej matice systému do lichobežníkového tvaru pomocou elementárnych transformácií. Tento proces je podobný vylúčeniu neznámych premenných, ktoré sme urobili so systémom v súradnicovej forme. Teraz sa o tom presvedčíte.

Transformujme maticu tak, aby všetky prvky v prvom stĺpci, počnúc druhým, boli nulové. Ak to chcete urobiť, k prvkom druhého, tretieho a štvrtého riadku pridajte zodpovedajúce prvky prvého riadku vynásobené , a na príslušnom poradí:

Potom transformujeme výslednú maticu tak, že v druhom stĺpci sa všetky prvky, počnúc tretím, stanú nulovými. To by zodpovedalo vylúčeniu neznámej premennej x 2 . Za týmto účelom pridajte k prvkom tretieho a štvrtého riadku zodpovedajúce prvky prvého riadku matice, vynásobené a :

Zostáva vylúčiť neznámu premennú x 3 z poslednej rovnice systému. Aby sme to dosiahli, k prvkom posledného riadku výslednej matice pridáme zodpovedajúce prvky predposledného riadku, vynásobené :

Treba poznamenať, že táto matica zodpovedá systému lineárnych rovníc

ktorý bol získaný skôr po priamom ťahu.

Je čas obrátiť sa späť. V maticovom tvare zápisu pri reverznom priebehu Gaussovej metódy ide o takú transformáciu výslednej matice, aby matica označená na obr.

sa stal diagonálnym, to znamená, že nadobudol formu

kde sú nejaké čísla.

Tieto transformácie sú podobné ako pri Gaussovej metóde, ale nevykonávajú sa od prvého riadku po posledný, ale od posledného po prvý.

Pridajte k prvkom tretieho, druhého a prvého riadku zodpovedajúce prvky posledného riadku, vynásobené , ďalej a ďalej v tomto poradí:

Teraz pridajme k prvkom druhého a prvého riadku zodpovedajúce prvky tretieho riadku, vynásobené, resp.

V poslednom kroku spätného pohybu Gaussovej metódy pridáme zodpovedajúce prvky druhého radu, vynásobené , k prvkom prvého radu:

Výsledná matica zodpovedá sústave rovníc , z ktorej nájdeme neznáme premenné.

odpoveď:

POZNÁMKA.

Pri použití Gaussovej metódy na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc sa treba vyhnúť približným výpočtom, pretože to môže viesť k absolútne nesprávnym výsledkom. Odporúčame nezaokrúhľovať desatinné miesta. Je lepšie prejsť z desatinných zlomkov na bežné zlomky.

Príklad.

Riešte systém troch rovníc Gaussovou metódou .

Riešenie.

Všimnite si, že v tomto príklade majú neznáme premenné iné označenie (nie x 1 , x 2 , x 3 , ale x, y, z ). Prejdime k obyčajným zlomkom:

Odstráňte neznáme x z druhej a tretej rovnice systému:

Vo výslednom systéme nie je žiadna neznáma premenná y v druhej rovnici a y je prítomné v tretej rovnici, preto prehodíme druhú a tretiu rovnicu:

V tomto bode je priamy priebeh Gaussovej metódy ukončený (netreba vylučovať y z tretej rovnice, keďže táto neznáma premenná už neexistuje).

Poďme späť.

Z poslednej rovnice zistíme ,
od predposledného


z prvej rovnice, ktorú máme

odpoveď:

X = 10, y = 5, z = -20.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych, alebo je hlavná matica sústavy degenerovaná, Gaussovou metódou.

Systémy rovníc, ktorých hlavná matica je obdĺžniková alebo štvorcová degenerovaná, nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať jediné riešenie alebo môžu mať nekonečný počet riešení.

Teraz pochopíme, ako vám Gaussova metóda umožňuje stanoviť kompatibilitu alebo nekonzistenciu systému lineárnych rovníc a v prípade jej kompatibility určiť všetky riešenia (alebo jedno riešenie).

Proces eliminácie neznámych premenných v prípade takýchto SLAE zostáva v zásade rovnaký. Je však potrebné podrobne sa zaoberať niektorými situáciami, ktoré môžu nastať.

Prejdime k najdôležitejšiemu kroku.

Predpokladajme teda, že systém lineárnych algebraických rovníc po dokončení dopredného chodu Gaussovej metódy nadobudne tvar a žiadna z rovníc zredukovaná na (v tomto prípade by sme dospeli k záveru, že systém je nekonzistentný). Vzniká logická otázka: „Čo ďalej“?

Vypíšeme neznáme premenné, ktoré sú na prvom mieste všetkých rovníc výsledného systému:

V našom príklade sú to x 1 , x 4 a x 5 . V ľavých častiach rovníc sústavy necháme len tie členy, ktoré obsahujú vypísané neznáme premenné x 1, x 4 a x 5, zvyšné členy prenesieme na pravú stranu rovníc s opačným znamienkom:

Priraďme ľubovoľné hodnoty neznámym premenným, ktoré sú na pravej strane rovníc, kde - ľubovoľné čísla:

Potom sa čísla nachádzajú v správnych častiach všetkých rovníc našej SLAE a môžeme prejsť na opačný priebeh Gaussovej metódy.

Z poslednej rovnice sústavy máme , z predposlednej rovnice nájdeme , z prvej rovnice dostaneme

Riešením systému rovníc je množina hodnôt neznámych premenných

Dávať čísla rôzne hodnoty, dostaneme rôzne riešenia sústavy rovníc. To znamená, že náš systém rovníc má nekonečne veľa riešení.

odpoveď:

kde - ľubovoľné čísla.

Na konsolidáciu materiálu podrobne rozoberieme riešenia niekoľkých ďalších príkladov.

Príklad.

Vyriešte homogénny systém lineárnych algebraických rovníc Gaussova metóda.

Riešenie.

Vylúčme neznámu premennú x z druhej a tretej rovnice systému. Ak to chcete urobiť, pridajte do ľavej a pravej časti druhej rovnice, ľavú a pravú časť prvej rovnice, vynásobené číslom , a do ľavej a pravej časti tretej rovnice - ľavú a pravú časť rovnice prvá rovnica, vynásobená:

Teraz vylúčime y z tretej rovnice výsledného systému rovníc:

Výsledný SLAE je ekvivalentný systému .

Na ľavej strane rovníc systému necháme len členy obsahujúce neznáme premenné x a y a na pravú stranu prenesieme členy s neznámou premennou z:

Pokračujeme v zvažovaní systémov lineárnych rovníc. Táto lekcia je tretia na túto tému. Ak máte nejasnú predstavu o tom, čo je systém lineárnych rovníc vo všeobecnosti, cítite sa ako čajník, potom odporúčam začať so základmi na ďalšej stránke, je užitočné si lekciu preštudovať.

Gaussova metóda je jednoduchá! prečo? Slávnemu nemeckému matematikovi Johannovi Carlovi Friedrichovi Gaussovi sa počas svojho života dostalo uznania ako najväčšieho matematika všetkých čias, génia a dokonca aj prezývky „kráľ matematiky“. A všetko dômyselné, ako viete, je jednoduché! Mimochodom, do peňazí padajú nielen hlupáci, ale aj géniovia - Gaussov portrét sa chválil na bankovke 10 nemeckých mariek (ešte pred zavedením eura) a Gauss sa na Nemcov stále záhadne usmieva z obyčajných poštových známok.

Gaussova metóda je jednoduchá v tom, že na jej zvládnutie STAČÍ VEDOMOSTI ŽIAKA PIATÉHO ROČNÍKA. Musí vedieť sčítať a násobiť! Nie náhodou o metóde postupného odstraňovania neznámych často uvažujú učitelia na školských matematických voliteľných predmetoch. Je to paradox, ale najväčšie ťažkosti žiakom spôsobuje Gaussova metóda. Nič prekvapujúce - je to všetko o metodológii a pokúsim sa v prístupnej forme povedať o algoritme metódy.

Najprv trochu systematizujeme poznatky o sústavách lineárnych rovníc. Systém lineárnych rovníc môže:

1) Majte jedinečné riešenie. 2) Mať nekonečne veľa riešení. 3) Nemať žiadne riešenia (buď nezlučiteľné).

Gaussova metóda je najvýkonnejší a najuniverzálnejší nástroj na hľadanie riešenia akýkoľvek sústavy lineárnych rovníc. Ako si pamätáme Cramerovo pravidlo a maticová metóda sú nevhodné v prípadoch, keď má systém nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný. Metóda postupnej eliminácie neznámych tak či tak veď nás k odpovedi! V tejto lekcii sa budeme opäť zaoberať Gaussovou metódou pre prípad č. 1 (jediné riešenie systému), pre situácie bodov č. 2-3 je vyhradený článok. Podotýkam, že samotný algoritmus metódy funguje vo všetkých troch prípadoch rovnakým spôsobom.

Vráťme sa k najjednoduchšiemu systému z lekcie Ako vyriešiť sústavu lineárnych rovníc? a vyriešiť to pomocou Gaussovej metódy.

Prvým krokom je písanie rozšírený maticový systém: . Akým princípom sa koeficienty zaznamenávajú, to podľa mňa vidí každý. Vertikálna čiara vo vnútri matice nemá žiadny matematický význam - je to len prečiarknuté pre zjednodušenie dizajnu.

Odkaz : Odporúčam zapamätať si podmienky lineárna algebra. Systémová matica je matica zložená iba z koeficientov pre neznáme, v tomto príklade matica systému: . Rozšírená systémová matica je rovnaká matica systému plus stĺpec voľných členov, v tomto prípade: . Ktorúkoľvek z matíc možno pre stručnosť nazvať jednoducho maticou.

Po zapísaní rozšírenej matice systému je potrebné s ňou vykonať nejaké akcie, ktoré sa tiež nazývajú elementárne transformácie.

Existujú nasledujúce základné transformácie:

1) Struny matice môcť preusporiadať Miesta. Napríklad v uvažovanej matici môžete bezpečne zmeniť usporiadanie prvého a druhého riadku:

2) Ak sú (alebo sa objavili) proporcionálne (ako špeciálny prípad - identické) riadky v matici, potom nasleduje vymazať z matice, všetky tieto riadky okrem jedného. Zoberme si napríklad maticu . V tejto matici sú posledné tri riadky proporcionálne, takže stačí nechať len jeden z nich: .

3) Ak sa pri transformáciách objavil v matici nulový riadok, tak to tiež nasleduje vymazať. Nebudem kresliť, samozrejme, nulová čiara je čiara, v ktorej iba nuly.

4) Riadok matice môže byť násobiť (deliť) pre ľubovoľné číslo nenulové. Zoberme si napríklad maticu . Tu je vhodné rozdeliť prvý riadok -3 a vynásobiť druhý riadok 2: . Táto akcia je veľmi užitočná, pretože zjednodušuje ďalšie transformácie matice.

5) Táto transformácia spôsobuje najväčšie ťažkosti, ale v skutočnosti nie je nič zložité. Do riadku matice, môžete pridajte ďalší reťazec vynásobený číslom, odlišný od nuly. Zvážte našu maticu z praktického príkladu: . Najprv veľmi podrobne opíšem premenu. Vynásobte prvý riadok -2: , a k druhému riadku pridáme prvý riadok vynásobený -2: . Teraz môže byť prvý riadok rozdelený "späť" -2: . Ako vidíte, riadok, ktorý je PRIDANÝ LI – sa nezmenil. Je vždy riadok sa zmení, DO KTORÉHO SA PRIDÁ UT.

V praxi, samozrejme, nemaľujú tak podrobne, ale píšu kratšie: Ešte raz: do druhého riadku pridal prvý riadok vynásobený -2. Čiara sa zvyčajne násobí ústne alebo na návrhu, zatiaľ čo mentálny priebeh výpočtov je približne takýto:

„Prepíšem maticu a prepíšem prvý riadok: »

Najprv prvý stĺpec. Nižšie potrebujem dostať nulu. Jednotku vyššie preto vynásobím -2:, a prvú pripočítam k druhému riadku: 2 + (-2) = 0. Výsledok zapíšem do druhého riadku: »

"Teraz druhý stĺpec." Nad -1 krát -2: . Prvý pridám do druhého riadku: 1 + 2 = 3. Do druhého riadku zapíšem výsledok: »

"A tretí stĺpec." Nad -5 krát -2: . Prvý riadok pridám k druhému riadku: -7 + 10 = 3. Do druhého riadku zapíšem výsledok: »

Dobre si premyslite tento príklad a pochopte algoritmus sekvenčného výpočtu, ak tomu rozumiete, Gaussova metóda je prakticky „vo vrecku“. Ale, samozrejme, na tejto premene stále pracujeme.

Elementárne transformácie nemenia riešenie sústavy rovníc

! POZOR: považované za manipulácie nemožno použiť, ak vám ponúkne úlohu, kde sa matice dávajú „samo od seba“. Napríklad pri "klasickom" matice v žiadnom prípade by ste nemali niečo prestavovať vo vnútri matríc! Vráťme sa k nášmu systému. Je prakticky rozbitá na kúsky.

Napíšme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju zredukujeme na stupňovitý pohľad:

(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený -2. A znova: prečo násobíme prvý riadok -2? Aby sa naspodku dostala nula, čo znamená zbaviť sa jednej premennej v druhom riadku.

(2) Vydeľte druhý riadok 3.

Účel elementárnych transformácií – previesť maticu do stupňovitej formy: . Pri návrhu úlohy priamo nakreslia „rebrík“ jednoduchou ceruzkou a tiež zakrúžkujú čísla, ktoré sa nachádzajú na „schodoch“. Samotný pojem „odstupňovaný pohľad“ nie je úplne teoretický, vo vedeckej a náučnej literatúre sa často nazýva lichobežníkový pohľad alebo trojuholníkový pohľad.

V dôsledku elementárnych transformácií sme získali ekvivalent pôvodný systém rovníc:

Teraz je potrebné systém "odkrútiť" opačným smerom - zdola nahor, tento proces sa nazýva reverzná Gaussova metóda.

V spodnej rovnici už máme hotový výsledok: .

Zvážte prvú rovnicu systému a dosaďte do nej už známu hodnotu „y“:

Uvažujme o najbežnejšej situácii, keď je na riešenie sústavy troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi potrebná Gaussova metóda.

Príklad 1

Riešte sústavu rovníc pomocou Gaussovej metódy:

Napíšme rozšírenú maticu systému:

Teraz okamžite nakreslím výsledok, ku ktorému dôjdeme v priebehu riešenia: A opakujem, naším cieľom je dostať maticu do stupňovitej formy pomocou elementárnych transformácií. Kde začať konať?

Najprv sa pozrite na ľavé horné číslo: Mal by tu byť takmer vždy jednotka. Všeobecne povedané, bude vyhovovať aj -1 (a niekedy aj iné čísla), ale akosi sa už tradične stáva, že sa tam väčšinou umiestňuje jednotka. Ako organizovať jednotku? Pozeráme sa na prvý stĺpec – máme hotovú jednotku! Transformácia jedna: vymeňte prvý a tretí riadok:

Teraz zostane prvý riadok nezmenený až do konca riešenia. Teraz dobre.

Jednotka vľavo hore je usporiadaná. Teraz musíte získať nuly na týchto miestach:

Nuly sa získavajú práve pomocou „ťažkej“ transformácie. Najprv sa zaoberáme druhým riadkom (2, -1, 3, 13). Čo je potrebné urobiť, aby ste na prvej pozícii dostali nulu? Potreba k druhému riadku pridajte prvý riadok vynásobený -2. Mentálne alebo na koncepte vynásobíme prvý riadok -2: (-2, -4, 2, -18). A dôsledne vykonávame (opäť mentálne alebo na návrh) pridávanie, k druhému riadku pridáme prvý riadok, už vynásobený -2:

Výsledok je napísaný v druhom riadku:

Podobne sa zaoberáme tretím riadkom (3, 2, -5, -1). Ak chcete získať nulu na prvej pozícii, potrebujete k tretiemu riadku pridajte prvý riadok vynásobený -3. Mentálne alebo na koncepte vynásobíme prvý riadok -3: (-3, -6, 3, -27). A do tretieho riadku pridáme prvý riadok vynásobený -3:

Výsledok je napísaný v treťom riadku:

V praxi sa tieto činnosti zvyčajne vykonávajú ústne a zapisujú sa v jednom kroku:

Netreba počítať všetko naraz a v rovnakom čase. Poradie výpočtov a "vkladanie" výsledkov konzistentné a obyčajne takto: najprv prepíšeme prvý riadok, a potichu sa nafúkneme – DÔSLEDNE a POZORNE:
A mentálny priebeh samotných výpočtov som už zvážil vyššie.

V tomto príklade je to jednoduché, vydelíme druhý riadok -5 (keďže všetky čísla sú bezo zvyšku deliteľné 5). Zároveň vydelíme tretí riadok -2, pretože čím menšie číslo, tým jednoduchšie riešenie:

V záverečnej fáze elementárnych transformácií tu treba získať ešte jednu nulu:

Pre to do tretieho riadku pridáme druhý riadok, vynásobený -2:
Skúste túto akciu analyzovať sami - mentálne vynásobte druhý riadok -2 a vykonajte sčítanie.

Poslednou vykonanou akciou je účes výsledku, vydeľte tretí riadok 3.

V dôsledku elementárnych transformácií sa získal ekvivalentný počiatočný systém lineárnych rovníc: V pohode.

Teraz prichádza na rad opačný priebeh Gaussovej metódy. Rovnice sa „odvíjajú“ zdola nahor.

V tretej rovnici už máme hotový výsledok:

Pozrime sa na druhú rovnicu: . Význam „z“ je už známy, teda:

A na záver prvá rovnica: . "Y" a "Z" sú známe, záležitosť je malá:

Odpoveď:

Ako už bolo opakovane poznamenané, pre akýkoľvek systém rovníc je možné a potrebné skontrolovať nájdené riešenie, našťastie to nie je ťažké a rýchle.

Príklad 2

Toto je príklad na samoriešenie, ukážka dokončovania a odpoveď na konci hodiny.

Treba poznamenať, že váš postup sa nemusí zhodovať s mojím postupom, a to je vlastnosť Gaussovej metódy. Ale odpovede musia byť rovnaké!

Príklad 3

Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Pozeráme sa na ľavý horný "krok". Tam by sme mali mať jednotku. Problém je, že v prvom stĺpci nie sú vôbec žiadne, takže preskupením riadkov sa nič nevyrieši. V takýchto prípadoch musí byť jednotka organizovaná pomocou elementárnej transformácie. Zvyčajne sa to dá urobiť niekoľkými spôsobmi. Urobil som toto: (1) K prvému riadku pridáme druhý riadok, vynásobený -1. To znamená, že sme v duchu vynásobili druhý riadok -1 a vykonali sčítanie prvého a druhého riadku, pričom druhý riadok sa nezmenil.

Teraz vľavo hore „mínus jedna“, čo nám úplne vyhovuje. Kto chce získať +1, môže vykonať ďalšie gesto: vynásobiť prvý riadok -1 (zmeniť jeho znamienko).

(2) K druhému riadku bol pridaný prvý riadok vynásobený 5. Prvý riadok vynásobený 3 bol pridaný k tretiemu riadku.

(3) Prvý riadok bol vynásobený -1, v zásade je to pre krásu. Znak tretieho riadku bol tiež zmenený a presunutý na druhé miesto, čím sme na druhom „kroku“ mali želanú jednotku.

(4) Druhý riadok vynásobený 2 bol pridaný k tretiemu riadku.

(5) Tretí rad bol rozdelený 3.

Zlé znamenie, ktoré označuje chybu vo výpočte (menej často preklep), je „zlý“ spodný riadok. To znamená, že ak dostaneme niečo ako nižšie, a teda , potom možno s vysokou mierou pravdepodobnosti tvrdiť, že v priebehu elementárnych transformácií došlo k chybe.

Účtujeme spätný pohyb, pri návrhu príkladov sa často neprepisuje samotný systém a rovnice sa „preberajú priamo z danej matice“. Pripomínam vám, že spätný pohyb funguje zdola nahor. Áno, tu je darček:

Odpoveď: .

Príklad 4

Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Toto je príklad nezávislého riešenia, je o niečo komplikovanejší. Nevadí, ak je niekto zmätený. Úplné riešenie a ukážka návrhu na konci lekcie. Vaše riešenie sa môže líšiť od môjho.

V poslednej časti zvážime niektoré vlastnosti Gaussovho algoritmu. Prvou vlastnosťou je, že niekedy niektoré premenné chýbajú v rovniciach systému, napríklad: Ako správne napísať rozšírenú maticu systému? O tomto momente som už hovoril v lekcii. Cramerovo pravidlo. Maticová metóda. V rozšírenej matici systému umiestnime nuly na miesto chýbajúcich premenných: Mimochodom, toto je pomerne jednoduchý príklad, pretože v prvom stĺpci je už jedna nula a je potrebné vykonať menej elementárnych transformácií.

Druhá vlastnosť je toto. Vo všetkých uvažovaných príkladoch sme na „kroky“ umiestnili buď –1 alebo +1. Môžu byť aj iné čísla? V niektorých prípadoch môžu. Zvážte systém: .

Tu na ľavom hornom "kroku" máme dvojku. Všimli sme si však fakt, že všetky čísla v prvom stĺpci sú bezo zvyšku deliteľné dvomi – a ďalšími dvomi a šiestimi. A tá dvojka vľavo hore nám pristane! V prvom kroku musíte vykonať nasledujúce transformácie: pridajte prvý riadok vynásobený -1 k druhému riadku; k tretiemu riadku pridajte prvý riadok vynásobený -3. V prvom stĺpci teda dostaneme požadované nuly.

Alebo iný hypotetický príklad: . Tu sa nám hodí aj trojka na druhej „priečke“, keďže 12 (miesto, kde potrebujeme dostať nulu) je bezo zvyšku deliteľné 3. Je potrebné vykonať nasledujúcu transformáciu: do tretieho riadku pridajte druhý riadok vynásobený -4, v dôsledku čoho sa získa nula, ktorú potrebujeme.

Gaussova metóda je univerzálna, no má jednu zvláštnosť. Môžete sa s istotou naučiť, ako riešiť systémy inými metódami (Cramerova metóda, maticová metóda) doslova od začiatku - existuje veľmi rigidný algoritmus. Ale aby ste sa cítili istí v Gaussovej metóde, mali by ste si „naplniť ruku“ a vyriešiť aspoň 5-10 desať systémov. Preto môže na začiatku dôjsť k zmätku, chybám vo výpočtoch a nie je v tom nič neobvyklé alebo tragické.

Daždivé jesenné počasie za oknom .... Preto pre každého komplexnejší príklad na samostatné riešenie:

Príklad 5

Riešte sústavu 4 lineárnych rovníc so štyrmi neznámymi pomocou Gaussovej metódy.

Takáto úloha v praxi nie je taká zriedkavá. Myslím si, že aj čajník, ktorý si túto stránku podrobne preštudoval, rozumie algoritmu riešenia takéhoto systému intuitívne. V podstate to isté – len viac akcie.

V lekcii sa zvažujú prípady, keď systém nemá riešenia (nekonzistentné) alebo má nekonečne veľa riešení. Nekompatibilné systémy a systémy so spoločným riešením. Tam môžete opraviť uvažovaný algoritmus Gaussovej metódy.

Prajem vám úspech!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: Riešenie : Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju prenesme do stupňovitého tvaru.
Vykonané elementárne transformácie: (1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený -2. Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený -1. Pozor! Tu môže byť lákavé odčítať prvý od tretieho riadku, odčítanie dôrazne neodporúčam – riziko chyby sa značne zvyšuje. Len zložíme! (2) Znamienko druhého riadku bolo zmenené (vynásobené -1). Druhý a tretí riadok boli vymenené. Poznámka že na „stupňoch“ sme spokojní nielen s jedným, ale aj s -1, čo je ešte pohodlnejšie. (3) K tretiemu riadku pridajte druhý riadok vynásobený 5. (4) Znamienko druhého riadku bolo zmenené (vynásobené -1). Tretí riadok bol rozdelený 14.

Spätný pohyb:

Odpoveď : .

Príklad 4: Riešenie : Napíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju privedieme do stupňovitého tvaru:

Vykonané konverzie: (1) Druhý riadok bol pridaný k prvému riadku. Požadovaná jednotka je teda usporiadaná v ľavom hornom „kroku“. (2) K druhému riadku bol pridaný prvý riadok vynásobený číslom 7. Prvý riadok vynásobený číslom 6 bol pridaný k tretiemu riadku.

S druhým „krokom“ je všetko horšie , "kandidátmi" na ňu sú čísla 17 a 23 a potrebujeme buď jednotku alebo -1. Transformácie (3) a (4) budú zamerané na získanie požadovanej jednotky (3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený -1. (4) Tretí riadok, vynásobený -3, bol pridaný k druhému riadku. Potrebná vec v druhom kroku je prijatá . (5) K tretiemu riadku sa pridá druhý, vynásobený 6. (6) Druhý riadok bol vynásobený -1, tretí riadok bol vydelený -83.

Spätný pohyb:

Odpoveď :

Príklad 5: Riešenie : Zapíšme si maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

Vykonané konverzie: (1) Prvý a druhý riadok boli vymenené. (2) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený -2. Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený -2. Prvý riadok bol pridaný k štvrtému riadku, vynásobený -3. (3) K tretiemu riadku bol pridaný druhý riadok vynásobený 4. Druhý riadok vynásobený -1 bol pridaný k štvrtému riadku. (4) Znamienko druhého riadku bolo zmenené. Štvrtý riadok bol rozdelený 3 a umiestnený namiesto tretieho riadku. (5) Tretí riadok bol pridaný k štvrtému riadku, vynásobený -5.

Spätný pohyb:

Odpoveď :

Nech je daný systém lineárnych algebraických rovníc, ktorý je potrebné vyriešiť (nájdite také hodnoty neznámych хi, ktoré menia každú rovnicu systému na rovnosť).

Vieme, že systém lineárnych algebraických rovníc môže:

1) Nemať žiadne riešenia (buď nezlučiteľné).
2) Mať nekonečne veľa riešení.
3) Majte jedinečné riešenie.

Ako si pamätáme, Cramerovo pravidlo a maticová metóda sú nevhodné v prípadoch, keď má systém nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný. Gaussova metóda – najvýkonnejší a najuniverzálnejší nástroj na hľadanie riešení akéhokoľvek systému lineárnych rovníc, ktorý v každom prípade veď nás k odpovedi! Algoritmus metódy vo všetkých troch prípadoch funguje rovnako. Ak Cramerova a maticová metóda vyžadujú znalosť determinantov, potom aplikácia Gaussovej metódy vyžaduje znalosť iba aritmetických operácií, čo ju sprístupňuje aj žiakom základných škôl.

Rozšírené maticové transformácie ( toto je matica systému - matica zložená iba z koeficientov neznámych plus stĺpec voľných členov) sústavy lineárnych algebraických rovníc v Gaussovej metóde:

1) s troky matice môcť preusporiadať Miesta.

2) ak v matici sú (alebo sú) proporcionálne (ako špeciálny prípad - identické) riadky, tak z toho vyplýva vymazať z matice, všetky tieto riadky okrem jedného.

3) ak sa pri transformáciách objavil v matici nulový riadok, tak to tiež nasleduje vymazať.

4) riadok matice môže násobiť (deliť) na akékoľvek číslo iné ako nula.

5) do riadku matice, môžete pridajte ďalší reťazec vynásobený číslom, odlišný od nuly.

V Gaussovej metóde elementárne transformácie nemenia riešenie sústavy rovníc.

Gaussova metóda pozostáva z dvoch fáz:

1. "Priamy pohyb" - pomocou elementárnych transformácií priveďte rozšírenú maticu systému lineárnych algebraických rovníc do "trojuholníkového" stupňovitého tvaru: prvky rozšírenej matice umiestnené pod hlavnou uhlopriečkou sa rovnajú nule (pohyb zhora nadol ). Napríklad k tomuto druhu:

Ak to chcete urobiť, vykonajte nasledujúce kroky:

1) Uvažujme prvú rovnicu sústavy lineárnych algebraických rovníc a koeficient v x 1 sa rovná K. Druhá, tretia atď. rovnice transformujeme nasledovne: každú rovnicu (koeficienty pre neznáme, vrátane voľných členov) vydelíme koeficientom pre neznámu x 1, ktorý je v každej rovnici a vynásobíme K. Potom odčítame prvú od druhej rovnice ( koeficienty pre neznáme a voľné termíny). Dostaneme pri x 1 v druhej rovnici koeficient 0. Od tretej transformovanej rovnice odčítame prvú rovnicu, takže kým všetky rovnice okrem prvej, s neznámou x 1, nebudú mať koeficient 0.

2) Prejdite na ďalšiu rovnicu. Nech je to druhá rovnica a koeficient na x 2 sa rovná M. So všetkými „podriadenými“ rovnicami postupujeme tak, ako je popísané vyššie. Teda „pod“ neznámou x 2 vo všetkých rovniciach budú nuly.

3) Prejdeme k ďalšej rovnici a tak ďalej, kým nezostane posledný neznámy a transformovaný voľný člen.

1. "Spätným pohybom" Gaussovej metódy je získanie riešenia systému lineárnych algebraických rovníc (pohyb "zdola nahor"). Z poslednej „dolnej“ rovnice dostaneme jedno prvé riešenie – neznámu x n. Aby sme to dosiahli, riešime elementárnu rovnicu A * x n \u003d B. Vo vyššie uvedenom príklade x 3 \u003d 4. Nájdenú hodnotu dosadíme do „hornej“ nasledujúcej rovnice a vyriešime ju vzhľadom na ďalšiu neznámu. Napríklad x 2 - 4 \u003d 1, t.j. x 2 \u003d 5. A tak ďalej, kým nenájdeme všetky neznáme.

Príklad.

Systém lineárnych rovníc riešime Gaussovou metódou, ako radia niektorí autori:

Napíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju privedieme do stupňovitého tvaru:

Pozeráme sa na ľavý horný "krok". Tam by sme mali mať jednotku. Problém je, že v prvom stĺpci nie sú vôbec žiadne, takže preskupením riadkov sa nič nevyrieši. V takýchto prípadoch musí byť jednotka organizovaná pomocou elementárnej transformácie. Zvyčajne sa to dá urobiť niekoľkými spôsobmi. Urobme to takto:
1 krok . K prvému riadku pridáme druhý riadok, vynásobený -1. To znamená, že druhý riadok sme v duchu vynásobili -1 a vykonali sčítanie prvého a druhého riadku, pričom druhý riadok sa nezmenil.

Teraz vľavo hore „mínus jedna“, čo nám úplne vyhovuje. Kto chce získať +1, môže vykonať dodatočnú akciu: vynásobiť prvý riadok -1 (zmeniť jeho znamienko).

2 krok . Prvý riadok vynásobený 5 bol pridaný k druhému riadku.Prvý riadok vynásobený 3 bol pridaný k tretiemu riadku.

3 krok . Prvý riadok bol vynásobený -1, v zásade je to pre krásu. Znak tretieho riadku bol tiež zmenený a presunutý na druhé miesto, čím sme na druhom „kroku“ mali želanú jednotku.

4 krok . K tretiemu riadku pridajte druhý riadok vynásobený 2.

5 krok . Tretí riadok je delený 3.

Znak, ktorý označuje chybu vo výpočtoch (menej často preklep), je „zlý“ spodný riadok. To znamená, že ak dostaneme niečo ako (0 0 11 | 23) nižšie, a teda 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, potom s vysokou pravdepodobnosťou môžeme povedať, že chyba sa stala počas základnej transformácií.

Vykonávame spätný pohyb, pri návrhu príkladov sa často neprepisuje samotný systém a rovnice sa „preberajú priamo z danej matice“. Pripomínam vám, že spätný pohyb funguje „zdola nahor“. V tomto príklade sa dar ukázal:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, teda x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Odpoveď:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Vyriešme rovnaký systém pomocou navrhovaného algoritmu. Dostaneme

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Vydeľte druhú rovnicu 5 a tretiu 3. Dostaneme:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Vynásobte druhú a tretiu rovnicu 4, dostaneme:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Odčítaním prvej rovnice od druhej a tretej rovnice máme:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Vydeľte tretiu rovnicu číslom 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Vynásobte tretiu rovnicu číslom 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Odčítaním druhej rovnice od tretej rovnice dostaneme „stupňovitú“ rozšírenú maticu:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Keďže sa v procese výpočtov nahromadila chyba, dostaneme x 3 \u003d 0,96 alebo približne 1.

x 2 \u003d 3 a x 1 \u003d -1.

Pri takomto riešení sa nikdy nebudete vo výpočtoch zmiasť a aj napriek chybám vo výpočtoch dostanete výsledok.

Tento spôsob riešenia sústavy lineárnych algebraických rovníc je ľahko programovateľný a nezohľadňuje špecifické vlastnosti koeficientov pre neznáme, pretože v praxi (v ekonomických a technických výpočtoch) sa treba zaoberať neceločíselnými koeficientmi.

Prajem vám úspech! Uvidíme sa v triede! Tútor.

blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.

Už od začiatku 16. – 18. storočia sa matematici začali intenzívne zaoberať funkciami, vďaka ktorým sa toho v našich životoch toľko zmenilo. Počítačová technika bez týchto znalostí by jednoducho neexistovala. Na riešenie zložitých problémov, lineárnych rovníc a funkcií boli vytvorené rôzne koncepty, vety a techniky riešenia. Jednou z takýchto univerzálnych a racionálnych metód a techník na riešenie lineárnych rovníc a ich sústav bola Gaussova metóda. Matice, ich poradie, determinant - všetko sa dá vypočítať bez použitia zložitých operácií.

Čo je SLAU

V matematike existuje pojem SLAE – systém lineárnych algebraických rovníc. Čo predstavuje? Ide o množinu m rovníc s požadovanými n neznámymi, ktoré sa zvyčajne označujú ako x, y, z alebo x 1 , x 2 ... x n alebo iné symboly. Riešiť tento systém Gaussovou metódou znamená nájsť všetky neznáme. Ak má systém rovnaký počet neznámych a rovníc, potom sa nazýva systém n-tého rádu.

Najpopulárnejšie metódy riešenia SLAE

Vo vzdelávacích inštitúciách stredného vzdelávania sa študujú rôzne metódy riešenia takýchto systémov. Najčastejšie ide o jednoduché rovnice pozostávajúce z dvoch neznámych, takže akákoľvek existujúca metóda na nájdenie odpovede na ne nezaberie veľa času. Môže to byť ako substitučná metóda, keď sa z jednej rovnice odvodí ďalšia rovnica a dosadí sa do pôvodnej. Alebo výraz za výrazom odčítanie a sčítanie. Ale Gaussova metóda je považovaná za najjednoduchšiu a najuniverzálnejšiu. Umožňuje riešiť rovnice s ľubovoľným počtom neznámych. Prečo sa táto technika považuje za racionálnu? Všetko je jednoduché. Maticová metóda je dobrá, pretože nevyžaduje niekoľkokrát prepisovanie nepotrebných znakov vo forme neznámych, stačí robiť aritmetické operácie s koeficientmi - a dostanete spoľahlivý výsledok.

Kde sa SLAE používajú v praxi?

Riešením SLAE sú priesečníky priamok na grafoch funkcií. V našej high-tech počítačovej dobe ľudia, ktorí sú úzko zapojení do vývoja hier a iných programov, potrebujú vedieť, ako takéto systémy riešiť, čo predstavujú a ako kontrolovať správnosť výsledného výsledku. Programátori najčastejšie vyvíjajú špeciálne kalkulačky lineárnej algebry, vrátane systému lineárnych rovníc. Gaussova metóda umožňuje vypočítať všetky existujúce riešenia. Používajú sa aj iné zjednodušené vzorce a techniky.

Kritérium kompatibility SLAE

Takýto systém je možné vyriešiť len vtedy, ak je kompatibilný. Pre prehľadnosť uvádzame SLAE v tvare Ax=b. Má riešenie, ak sa rang(A) rovná rang(A,b). V tomto prípade (A,b) je matica rozšíreného tvaru, ktorú možno získať z matice A jej prepísaním voľnými členmi. Ukazuje sa, že riešenie lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy je celkom jednoduché.

Možno niektorý zápis nie je úplne jasný, preto je potrebné všetko zvážiť na príklade. Povedzme, že existuje systém: x+y=1; 2x-3y=6. Pozostáva len z dvoch rovníc, v ktorých sú 2 neznáme. Systém bude mať riešenie iba vtedy, ak sa hodnosť jeho matice rovná hodnosti rozšírenej matice. čo je hodnosť? Toto je počet nezávislých riadkov systému. V našom prípade je poradie matice 2. Matica A bude pozostávať z koeficientov umiestnených v blízkosti neznámych a koeficienty za znamienkom „=“ sa tiež zmestia do rozšírenej matice.

Prečo môže byť SLAE reprezentovaný v maticovej forme

Na základe kritéria kompatibility podľa osvedčenej Kronecker-Capelliho vety je možné sústavu lineárnych algebraických rovníc reprezentovať v maticovej forme. Pomocou metódy Gaussovej kaskády môžete vyriešiť maticu a získať jedinú spoľahlivú odpoveď pre celý systém. Ak sa hodnosť obyčajnej matice rovná hodnote jej rozšírenej matice, ale je menšia ako počet neznámych, potom má systém nekonečný počet odpovedí.

Maticové transformácie

Predtým, ako prejdeme k riešeniu matíc, je potrebné vedieť, aké akcie je možné vykonať s ich prvkami. Existuje niekoľko základných transformácií:

• Prepísaním systému do maticového tvaru a vykonaním jeho riešenia je možné vynásobiť všetky prvky radu rovnakým koeficientom.
• Aby bolo možné previesť maticu na kanonickú formu, je možné vymeniť dva paralelné riadky. Kanonická forma znamená, že všetky prvky matice, ktoré sa nachádzajú pozdĺž hlavnej uhlopriečky, sa stanú jednotkami a zvyšné sa stanú nulami.
• Zodpovedajúce prvky rovnobežných riadkov matice možno pridávať jeden k druhému.

Jordan-Gaussova metóda

Podstatou riešenia sústav lineárnych homogénnych a nehomogénnych rovníc Gaussovou metódou je postupné odstraňovanie neznámych. Povedzme, že máme systém dvoch rovníc, v ktorých sú dve neznáme. Ak ich chcete nájsť, musíte skontrolovať kompatibilitu systému. Gaussova rovnica sa rieši veľmi jednoducho. Koeficienty nachádzajúce sa blízko každej neznámej je potrebné zapísať do maticového tvaru. Ak chcete vyriešiť systém, musíte vypísať rozšírenú maticu. Ak jedna z rovníc obsahuje menší počet neznámych, potom treba namiesto chýbajúceho prvku vložiť "0". Na maticu sú aplikované všetky známe transformačné metódy: násobenie, delenie číslom, sčítanie zodpovedajúcich prvkov riadkov k sebe a iné. Ukazuje sa, že v každom riadku je potrebné ponechať jednu premennú s hodnotou "1", zvyšok by sa mal znížiť na nulu. Pre presnejšie pochopenie je potrebné zvážiť Gaussovu metódu s príkladmi.

Jednoduchý príklad riešenia systému 2x2

Na začiatok si zoberme jednoduchú sústavu algebraických rovníc, v ktorej budú 2 neznáme.

Prepíšme to do rozšírenej matice.

Na vyriešenie tohto systému lineárnych rovníc sú potrebné iba dve operácie. Potrebujeme uviesť maticu do kanonickej formy, aby boli jednotky pozdĺž hlavnej uhlopriečky. Takže preložením z maticového tvaru späť do systému dostaneme rovnice: 1x+0y=b1 a 0x+1y=b2, kde b1 a b2 sú odpovede získané v procese riešenia.

1. Prvý krok pri riešení rozšírenej matice bude nasledovný: prvý riadok je potrebné vynásobiť -7 a príslušné prvky pridať do druhého riadku, aby sme sa zbavili jednej neznámej v druhej rovnici.
2. Keďže riešenie rovníc Gaussovou metódou znamená uvedenie matice do kanonického tvaru, potom je potrebné urobiť rovnaké operácie s prvou rovnicou a odstrániť druhú premennú. Aby sme to urobili, odpočítame druhý riadok od prvého a získame potrebnú odpoveď - riešenie SLAE. Alebo, ako je znázornené na obrázku, vynásobíme druhý riadok koeficientom -1 a pripočítame prvky druhého riadku k prvému riadku. Toto je to isté.

Ako vidíte, náš systém je riešený Jordan-Gaussovou metódou. Prepíšeme ho do požadovaného tvaru: x=-5, y=7.

Príklad riešenia SLAE 3x3

Predpokladajme, že máme zložitejší systém lineárnych rovníc. Gaussova metóda umožňuje vypočítať odpoveď aj pre zdanlivo najprehľadnejší systém. Preto, aby sme sa hlbšie ponorili do metodiky výpočtu, môžeme prejsť na zložitejší príklad s tromi neznámymi.

Rovnako ako v predchádzajúcom príklade prepíšeme systém vo forme rozšírenej matice a začneme ju prenášať do kanonickej formy.

Na vyriešenie tohto systému budete musieť vykonať oveľa viac akcií ako v predchádzajúcom príklade.

1. Najprv musíte urobiť v prvom stĺpci jeden jediný prvok a zvyšok nuly. Ak to chcete urobiť, vynásobte prvú rovnicu -1 a pridajte k nej druhú rovnicu. Je dôležité si uvedomiť, že prvý riadok prepisujeme v jeho pôvodnej podobe a druhý - už v upravenej podobe.
2. Ďalej odstránime tú istú prvú neznámu z tretej rovnice. Aby sme to urobili, vynásobíme prvky prvého riadku -2 a pridáme ich do tretieho radu. Teraz sú prvý a druhý riadok prepísané do pôvodnej podoby a tretí - už so zmenami. Ako vidíte z výsledku, prvú sme dostali na začiatok hlavnej uhlopriečky matice a zvyšok sú nuly. Ešte pár akcií a systém rovníc Gaussovou metódou bude spoľahlivo vyriešený.
3. Teraz musíte vykonať operácie na iných prvkoch riadkov. Tretí a štvrtý krok je možné spojiť do jedného. Musíme vydeliť druhý a tretí riadok -1, aby sme sa zbavili negatívnych na diagonále. Tretí riadok sme už priviedli do požadovanej podoby.
4. Ďalej kanonizujeme druhý riadok. Aby sme to urobili, vynásobíme prvky tretieho riadku -3 a pridáme ich do druhého riadku matice. Z výsledku je vidieť, že aj druhý riadok je zmenšený do podoby, akú potrebujeme. Zostáva urobiť ešte niekoľko operácií a odstrániť koeficienty neznámych z prvého riadku.
5. Ak chcete vytvoriť 0 z druhého prvku riadku, musíte vynásobiť tretí riadok -3 a pridať ho k prvému riadku.
6. Ďalším rozhodujúcim krokom je pridanie potrebných prvkov druhého radu do prvého radu. Dostaneme teda kanonickú formu matice a podľa toho aj odpoveď.

Ako vidíte, riešenie rovníc Gaussovou metódou je celkom jednoduché.

Príklad riešenia sústavy rovníc 4x4

Niektoré zložitejšie sústavy rovníc je možné riešiť Gaussovou metódou pomocou počítačových programov. Do existujúcich prázdnych buniek je potrebné vložiť koeficienty pre neznáme a program krok za krokom vypočíta požadovaný výsledok s podrobným popisom každej akcie.

Pokyny krok za krokom na riešenie takéhoto príkladu sú popísané nižšie.

V prvom kroku sa do prázdnych buniek zadajú voľné koeficienty a čísla pre neznáme. Takto dostaneme rovnakú rozšírenú maticu, ktorú píšeme ručne.

A vykonajú sa všetky potrebné aritmetické operácie, aby sa rozšírená matica dostala do kanonickej formy. Je potrebné pochopiť, že odpoveďou na systém rovníc nie sú vždy celé čísla. Niekedy môže byť riešenie zo zlomkových čísel.

Kontrola správnosti riešenia

Jordan-Gaussova metóda umožňuje kontrolu správnosti výsledku. Aby ste zistili, či sú koeficienty vypočítané správne, stačí výsledok dosadiť do pôvodnej sústavy rovníc. Ľavá strana rovnice sa musí zhodovať s pravou stranou, ktorá je za znamienkom rovnosti. Ak sa odpovede nezhodujú, musíte prepočítať systém alebo skúsiť použiť inú metódu riešenia SLAE, ktorú poznáte, ako je substitúcia alebo odčítanie a sčítanie po členoch. Matematika je predsa veda, ktorá má obrovské množstvo rôznych metód riešenia. Ale pamätajte: výsledok by mal byť vždy rovnaký, bez ohľadu na to, aký spôsob riešenia ste použili.

Gaussova metóda: najčastejšie chyby pri riešení SLAE

Pri riešení lineárnych sústav rovníc najčastejšie dochádza k chybám, ako je nesprávny prenos koeficientov do maticového tvaru. Existujú systémy, v ktorých niektoré neznáme chýbajú v jednej z rovníc, potom sa pri prenose údajov do rozšírenej matice môžu stratiť. Výsledkom je, že pri riešení tohto systému nemusí výsledok zodpovedať skutočnému.

Ďalšou z hlavných chýb môže byť nesprávne vypísanie konečného výsledku. Musí byť jasné, že prvý koeficient bude zodpovedať prvému neznámemu zo systému, druhému - druhému atď.

Gaussova metóda podrobne popisuje riešenie lineárnych rovníc. Vďaka nemu je ľahké vykonať potrebné operácie a nájsť správny výsledok. Navyše ide o univerzálny nástroj na nájdenie spoľahlivej odpovede na rovnice akejkoľvek zložitosti. Možno práve preto sa tak často používa pri riešení SLAE.