V 7. aj 8. ročníku sme často riešili rovnice graficky. Všimli ste si, že takmer vo všetkých týchto príkladoch mali rovnice „dobré“ korene? Boli to celé čísla, ktoré sa dali ľahko nájsť pomocou grafov, najmä na kockovanom papieri. Ale nie je to tak vždy, zatiaľ sme vybrali len „dobré“ príklady.
Zvážte dve rovnice: = 2 - x a = 4 - x. Prvá rovnica má jeden koreň x \u003d 1, pretože grafy funkcií y \u003d a y \u003d 2 - x sa pretínajú v jednom bode A (1; 1) (obr. 112). V druhom prípade sa grafy funkcií - fs a y \u003d 4 - x tiež pretínajú v jednom bode B (obr. 113), ale so "zlými" súradnicami. Pomocou nákresu môžeme konštatovať, že úsečka bodu B je približne rovná 2,5. V takýchto prípadoch nehovoria o presnom, ale o približnom riešení rovnice a píšu takto:
Aj preto sa matematici rozhodli zaviesť pojem približná hodnota reálneho čísla. Existuje aj druhý dôvod a možno ešte dôležitejší: Čo je skutočné číslo? Toto je nekonečné desatinné číslo. Je však nepohodlné robiť výpočty s nekonečnými desatinnými zlomkami, preto sa v praxi používajú približné hodnoty reálnych čísel. Napríklad pre číslo používajú približnú rovnosť 3,141 alebo 3,142. Prvá sa nazýva približná hodnota (alebo aproximácia) čísla n z hľadiska nedostatku s presnosťou 0,001; druhá sa nazýva približná hodnota (aproximácia) čísla k prebytku s presnosťou 0,001. Je možné použiť presnejšie aproximácie: napr.
3,1415 - aproximácia nedostatkom s presnosťou 0,0001; 3,1416 je aproximácia prebytku s presnosťou 0,0001. Môžete urobiť menej presné aproximácie, povedzme, s presnosťou 0,01: 3,14 pre nedostatok, 3,15 pre prebytok.
Približné znamienko rovnosti » ste používali na matematike 5.-6. ročníka a pravdepodobne aj na fyzike a my sme ho používali už skôr, napríklad v § 27.
Príklad 1 Nájdite približné hodnoty pre nedostatok a prebytok s presnosťou 0,01 pre čísla:
Riešenie,
a) Vieme, že = 2,236 . 2,24 je aproximácia prebytku s presnosťou 0,01.
b) 2 + = 2,000... + 2,236... = 4,236... . 2 + 4,23 je teda aproximácia z hľadiska nedostatku s presnosťou 0,01; 2 + 4,24 je aproximácia prebytku s presnosťou 0,01.
c) Máme 0,31818... (pozri § 26). Teda 0,31 je aproximácia nedostatku s presnosťou 0,01; 0,32 je aproximácia prebytku s presnosťou 0,01.
Aproximácia nedostatkom a aproximácia prebytkom sa niekedy nazýva zaokrúhlenie čísla.
Definícia.
Chyba aproximácie (absolútna chyba) je modul rozdielu medzi presnou hodnotou x a jej približnou hodnotou a: chyba aproximácie je | x - a |.
Napríklad chyba približnej rovnosti je vyjadrená ako, resp.
Vynára sa čisto praktická otázka: ktorá aproximácia je lepšia, pokiaľ ide o nedostatok alebo prebytok, t. j. v ktorom prípade je chyba menšia? To samozrejme závisí od konkrétneho čísla, pre ktoré sa aproximácie robia. Pri zaokrúhľovaní kladných čísel sa zvyčajne používajú tieto pravidlá:
vidly:
Aplikujme toto pravidlo na všetky čísla uvedené v tejto časti; Vyberme pre uvažované čísla tie aproximácie, pri ktorých sa chyba ukáže ako najmenšia.
1) = 3,141592... . S presnosťou 0,001 máme 3,142; tu je prvá vyradená číslica 5 (na štvrtom mieste za desatinnou čiarkou), takže sme zobrali prebytočnú aproximáciu.
S presnosťou na 0,0001 máme 3,1416 – a tu sme zobrali prebytočnú aproximáciu, pretože prvá vyradená číslica (na piatom mieste za desatinnou čiarkou) je 9. Ale s presnosťou 0,01 musíme vziať aproximáciu nedostatku : 3.14.
2) = 2,236... . S presnosťou 0,01 máme 2,24
(nadmerná aproximácia). ¦
3) 2 + = 4,236... . S presnosťou 0,01 máme 2 + 4,24 (nadmerná aproximácia).
4) = 0,31818... . S presnosťou 0,001 máme 0,318 (aproximácia nedostatkom).
Pozrime sa na posledný príklad podrobnejšie. Zoberme si zväčšený fragment súradnicovej čiary (obr. 114).
Bod patrí do segmentu , čo znamená, že jeho vzdialenosti od koncov segmentu nepresahujú dĺžku segmentu. Bodové vzdialenosti od koncov
segmenty sú rovnaké 
segment je 0,001. znamená, 
A 
Takže v oboch prípadoch (pre aproximáciu čísla nedostatkom aj pre aproximáciu prekročením) chyba nepresiahne 0,001.
Doteraz sme hovorili: aproximácie s presnosťou na 0,01, do 0,001 atď. Teraz môžeme očistiť používanie terminológie.
Ak a je približná hodnota čísla x a , mo hovorí, že chyba aproximácie nepresahuje h alebo že číslo x sa rovná číslu a c
až h.
Prečo je dôležité vedieť nájsť približné hodnoty čísel? Faktom je, že je prakticky nemožné operovať s nekonečnými desatinnými zlomkami a používať ich na meranie veličín. V praxi sa v mnohých prípadoch namiesto presných hodnôt berú aproximácie s vopred stanovenou presnosťou (chybou). Táto myšlienka je zakotvená aj v kalkulačkách, na ktorých displejoch sa zobrazuje konečný desatinný zlomok, teda aproximácia čísla zobrazeného na obrazovke (až na zriedkavé výnimky, kedy je zobrazené číslo konečný desatinný zlomok, ktorý sa zmestí na obrazovka).
| 1. | 2. | 3. | |||
| 4. | 5. | 6. | |||
| 7. | 8. | 9. | |||
| 10. | 11. | 12. | |||
| 13. | 14. | 15. | |||
| 16. | 17. | 18. | |||
| 19. |  | 20. | 21. | ||
| 22. | 23. | 24. | |||
| 25. | 26. | 27. | |||
| 28. | 29. | 30. |
Úloha 6.12.
Rozviňte vo Fourierovom rade periodickú funkciu f(x) s periódou, danou na intervale .
| 1. | f(x)=. | 2. | f(x)= |
| 3. | f(x)= | 4. | f(x)= |
| 5. | f(x)= | 6. | f(x)= |
| 7. | f(x)= | 8. | f(x)= |
| 9. | f(x)= | 10. | f(x)= |
| 11. | f(x)= | 12. | f(x)= |
| 13. | f(x)= | 14. | f(x)= |
| 15. | f(x)= | 16. | f(x)= |
| 17. | f(x)= | 18. | f(x)= |
| 19. | f(x)= | 20. | f(x)= |
| 21. | f(x)= | 22. | f(x)= |
| 23. | f(x)= | 24. | f(x)= |
| 25. | f(x)= | 26. | f(x)= |
| 27. | f(x)= | 28. | f(x)= |
| 29. | f(x)= | 30. | f(x)= |
Úloha 6.13.
Rozšírte funkciu f (x) danú na intervale (0; π) do Fourierovho radu a pokračujte v ňom (predlžujte ho) párnym a nepárnym spôsobom. Nakreslite grafy pre každé pokračovanie.
| 1. | f(x) = e x | 2. | f(x)=x2 | 3. | f(x)=x2 |
| 4. | f(x) = ch x | 5. | f (x) \u003d e - x | 6. | f (x) = (x - 1) 2 |
| 7. | f(x) = 3 – x / 2 | 8. | f(x) = sh2x | 9. | f(x) = e2x |
| 10. | f (x) = (x - 2) 2 | 11. | f(x)=4x/3 | 12. | f(x) = chx/2 |
| 13. | f (x) = e 4 x | 14. | f(x)=(x+1)2 | 15. | f(x) = 5 – x |
| 16. | f(x) = sh 3 x | 17. | f (x) \u003d e - x / 4 | 18. | f (x) = (2 x - 1) 2 |
| 19. | f(x)=6x/4 | 20. | f (x) = ch 4 x | 21. | f (x) \u003d e - 3 x |
| 22. | f (x) = x 2 + 1 | 23. | f(x) = 7 - x / 7 | 24. | f(x) = sh x /5 |
| 25. | f (x) \u003d e – 2 x / 3 | 26. | f (x) = (x - π) 2 | 27. | f(x) = 10 – x |
| 28. | f(x) = ch x / π | 29. | f (x) = e4 x / 3 | 30. | f (x) = (x - 5) 2 |
Úloha 6.14.
Rozviňte vo Fourierovom rade v zadanom intervale periodickú funkciu f (x) s bodkou .
| 1. | 2. | ||
| 3. | 4. | ||
| 5. |  | 6. | |
| 7. |  | 8. | |
| 9. |  | ||
 | |||
 |  |
||
 | |||
 | |||
 | |||
 | |||
 | |||
 | |||
 |  |
||
 |
Úloha 6.15.
Pomocou rozšírenia funkcie f (x) vo Fourierovom rade v zadanom intervale nájdite súčet tohto číselného radu.
| 1. |  | |
| 2. | ||
| 3. |  | |
| 4. | ||
| 5. |  | |
| 6. |  | |
| 7. | ||
| 8. |  |  |
| 9. | ||
 | ||
| 11. | ||
| 12. |  | |
| 13. |  | |
| 14. |  | |
| 15. | ||
| 16. |  | |
| 17. |  | |
| 18. |  | |
| 19. |  | |
| 20. |  | |
| 21. |  | |
| 22. |  | |
| 23. |  | |
| 24. |  | |
| 25. |  | |
| 26. | ||
| 27. |  | |
| 28. |  | |
| 29. |  | |
| 30. |  |
Kontrolná práca číslo 7.
"Teória pravdepodobnosti"
Úloha 7.1.
1. Každý z dvoch tímov po 5 športovcov vykoná žrebovanie na pridelenie čísel. Títo dvaja bratia sú v rôznych tímoch. Nájdite pravdepodobnosť, že bratia dostanú: a) číslo 4; b) rovnaké číslo.
2. Zariadenie obsahuje dva identické nezávisle fungujúce bloky s pravdepodobnosťou bezporuchovej prevádzky 0,8. Nájdite pravdepodobnosť, že nasledujúce bude fungovať bez poruchy: a) iba jeden blok; b) aspoň jeden blok.
3. Základňa poslala tovar do dvoch predajní. Pravdepodobnosť včasného doručenia každému z nich je 0,8. Nájdite pravdepodobnosť, že tovar bude doručený včas: a) iba jeden obchod; b) aspoň jeden obchod.
4. Plánovaná loď môže meškať z dvoch nezávislých dôvodov: zlé počasie a porucha zariadenia. Pravdepodobnosť zlého počasia je 0,3, pravdepodobnosť zlyhania 0,4. Nájdite pravdepodobnosť, že loď bude meškať: a) len kvôli zlému počasiu; b) z akéhokoľvek dôvodu.
5. Podmienky duelu stanovujú 2 výstrely každého z duelantov v poradí až do prvého zásahu. Pravdepodobnosť ich zásahu jednou ranou je 0,2 a 0,3. Nájdite pravdepodobnosť, že prvý duelant: a) zasiahne súpera druhým výstrelom; b) zasiahnuť súpera.
6. Pravdepodobnosť strelenia gólu útočníkmi jednou strelou na bránu je 0,3. Nájdite pravdepodobnosť, že po dvoch úderoch padne: a) iba jeden gól; b) aspoň jeden gól.
7. Pravdepodobnosť včasnej detekcie riadenej strely radarovou stanicou (RLS) je 0,8. V službe sú dva radary. Nájdite pravdepodobnosť, že raketa bude detekovaná: a) iba jedným radarom; b) aspoň jeden radar.
8. Číslo auta obsahuje štyri číslice. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet číslic čísla idúceho auta: a) je rovný dvom; b) najviac dva.
9. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne pomenované dvojciferné číslo: a) je deliteľné 3; b) má súčet číslic rovný 1.
10. V krabici je päť bielych a dve červené gule. Nájdite pravdepodobnosť, že dve náhodne vytiahnuté loptičky budú: a) rovnakej farby; b) biela.
11. Dvaja ľudia nezávisle od seba nastupujú do osemvozňovej električky. Nájdite pravdepodobnosť ich stretnutia.
12. Raketa nesie dve viacnásobné hlavice, ktoré zasiahnu cieľ nezávisle od seba s pravdepodobnosťou 0,8 a 0,7. Nájdite pravdepodobnosť, že cieľ zasiahne: a) iba jedna hlavica; b) aspoň jedna hlavica.
13. V krabici je päť bielych a tri čierne gule. Nájdite pravdepodobnosť, že dve náhodne vytiahnuté loptičky budú: a) rôznej farby; b) čierna.
14. Nájdite pravdepodobnosť, že sa narodili dvaja okoloidúci: a) v jednom mesiaci; b) v lete.
15. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet číslic náhodne vybraného dvojciferného čísla: a) sa rovná piatim; b) menej ako päť.
16. Nájdite pravdepodobnosť, že súčin číslic náhodne vybraného dvojciferného čísla: a) sa rovná trom; b) menej ako tri.
17. Pravdepodobnosť úlovku rýb pri hryzení pre rybárov je 0,2 a 0,3. Každý mal jedno sústo. Nájdite pravdepodobnosť, že ich celkový úlovok bude: a) jedna ryba; b) aspoň jedna ryba.
18. Telefónne číslo obsahuje 6 číslic. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet číslic náhodne vybraného čísla: a) sa rovná 2; b) menej ako 2.
19. Nájdite pravdepodobnosť, že slovo „výborný“ napíšete po ôsmich náhodných stlačeniach písacieho stroja. Klávesnica obsahuje 40 kláves.
20. Dvaja šachisti hrajú zápas na dve hry. Pravdepodobnosť výhry v každej hre prvým z nich je 0,6. Aká je pravdepodobnosť, že vyhrá: a) iba jednu hru; 2) aspoň jednu hru.
21. Dvaja strelci vystrelili po jednej rane na terč s pravdepodobnosťou p 1 = 0,6, p 2 = 0,7. Nájdite pravdepodobnosť: a) iba jedného zásahu; b) aspoň jeden zásah.
22. Pravdepodobnosť prekonania latky pre dvoch skokanov je p 1 = 0,8, p 2 = 0,7, resp. Nájdite pravdepodobnosť, že: a) iba jeden z nich naberie výšku; b) aspoň jeden z nich naberie výšku.
23. Číslo auta pozostáva zo štyroch číslic. Nájdite pravdepodobnosť, že číslo idúceho auta obsahuje: a) tri päťky za sebou; b) tri päťky.
24. Na požiarisko boli vyslané dve družstvá, ktoré je možné včas uhasiť s pravdepodobnosťou p 1 = 0,9, p 2 = 0,8. Aká je pravdepodobnosť uhasenia požiaru, ak na to: a) stačí jeden príkaz; b) oba príkazy sú potrebné.
25. Dve lietadlá vypália jednu strelu na cieľ s pravdepodobnosťou zasiahnutia p 1 =0,8, p 2 =0,9. Nájdite pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa: a) dvoma raketami; b) iba jedna strela.
26. Zariadenie pozostáva z troch samostatne fungujúcich blokov A, B, C s pravdepodobnosťou bezporuchovej prevádzky P(A)=0,9, P(B)=0,8, P(C)=0,7. Nájdite pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky zariadenia, ak to vyžaduje fungovanie jednotky A a aspoň jednej z jednotiek B, C.
27. Pravdepodobnosť plnenia mesačného plánu dvoma dielňami podniku sa rovnajú p 1 =0,9, p 2 =0,7. Za predpokladu, že obchody fungujú nezávisle od seba, nájdite pravdepodobnosť, že: a) iba jeden obchod splní plán; b) aspoň jeden workshop splní plán.
28. Časť elektrického obvodu pozostáva zo sériovo zapojených prvkov A, B s pravdepodobnosťou poruchy p 1 \u003d 0,1, p 2 \u003d 0,2. Prvok B sa duplikuje pomocou prvku C, ktorý je k nemu paralelne pripojený (p 3 \u003d 0,2). Nájdite pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky úseku: a) pri absencii prvku C; b) ak je k dispozícii.
29. Dve delá vystrelia jeden projektil na cieľ s pravdepodobnosťou zasiahnutia p 1 = 0,6, p 2 = 0,7. Nájdite pravdepodobnosť, že cieľ zasiahne: a) iba jeden projektil; b) aspoň jeden projektil.
30. Choroby A, B majú rovnaké symptómy ako u pacienta. Pravdepodobnosti chorôb sú P(A) = 0,3, P(B) = 0,5. Za predpokladu, že osoba môže získať choroby nezávisle od seba, nájdite pravdepodobnosť, že pacient je chorý na: a) iba jednu z chorôb; b) aspoň jedna choroba.
Úloha 7.2.
1. 70% rovnakého typu žehličiek na predaj sa vyrába v podniku A, 30% - v podniku B. Podiel vád v podniku A je 5%, v podniku B - 2%. a) Nájdite pravdepodobnosť nákupu chybnej žehličky; b) zakúpená žehlička sa ukázala ako chybná. Aká je pravdepodobnosť, že ho vyrába závod A?
2. V urne sú 2 biele a 3 čierne gule. Jeden z nich sa náhodne vyberie a odloží. Potom sa vytiahne druhá guľa. a) Nájdite pravdepodobnosť, že je biely; b) vytiahnutá druhá guľa je biela. Aká je pravdepodobnosť, že prvá guľa bola čierna?
3. Zariadenie je doplnené o jednotku vyrobenú v továrňach 1 (dodáva 60 % jednotiek), 2 (dodáva 40 % jednotiek). Podiel zmetkov na prevádzke 1 je 0,05, na prevádzke 2 - 0,07. a) Nájdite pravdepodobnosť, že zariadenie je chybné; b) zariadenie sa ukázalo ako chybné. Nájdite pravdepodobnosť, že vinníkom je rastlina 1.
4. Pri montáži ložísk sa používajú guľôčky, z ktorých 30 % dodáva dielňa 1 a 70 % dielňa 2. Miera odmietnutia v dielňach je 0,1 a 0,05. a) Nájdite pravdepodobnosť chybného ložiska; b) ukázalo sa, že ložisko je chybné. Nájdite pravdepodobnosť, že obchod 1 je vinníkom.
5. Dve urny obsahujú 2 biele a 3 čierne gule. Lopta sa náhodne prenesie z prvej do druhej, potom sa loptička vyberie z druhej. a) Nájdite pravdepodobnosť, že je biely; b) extrahovaná guľa je biela. Aká je pravdepodobnosť, že došlo k výmene čiernej gule?
6. Každá z dvoch dielní vyrába 50 % rovnakého typu televízorov, ktoré sa predávajú. Obchod 1 vyrába 5 % chybných televízorov, obchod 2 – 7 %. a) Nájdite pravdepodobnosť nákupu chybného televízora; b) zistiť pravdepodobnosť, že zakúpený televízor vyrobila dielňa 1, ak sa ukáže, že je chybný.
7. Klíčivosť (pravdepodobnosť klíčenia) semien získaných na šľachtiteľskej stanici 1 je 0,9, na stanici 2 - 0,8. Do predaja ide rovnaké množstvo semien z oboch staníc. a) Nájdite klíčivosť zakúpených semien; b) Náhodne vybrané semeno pri zasiatí nevyklíčilo. Aká je pravdepodobnosť jej pestovania na stanici 1?
8. Dve dielne dodávajú rovnaký počet skrutiek na montáž. Podiel odmietnutia v prvom obchode je 0,1, v druhom - 0,2. a) Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne vybratá skrutka na montáž je chybná; b) skrutka sa ukázala ako chybná. Aká je pravdepodobnosť, že to vyrobil obchod 2?
9. Latentné obdobie ochorenia môže byť dlhé v 30 % prípadov a krátke v 70 % prípadov. Pravdepodobnosť zotavenia je 0,9 pre dlhé obdobia a 0,6 pre krátke obdobia. a) Nájdite pravdepodobnosť uzdravenia náhodne vybraného pacienta; b) nájsť pravdepodobnosť, že latentné obdobie bolo dlhé, ak by sa pacient zotavil.
10. Podľa štatistík medzi teľatami, ktoré ochorejú počas roka, ochorie 20 % v teplom období a 80 % v chladnom období. Pravdepodobnosť zotavenia teľaťa, ktoré ochorelo v teplom období, je 0,9, v chladnom období - 0,8. a) Nájdite pravdepodobnosť uzdravenia náhodne vybraného pacienta; b) zistiť pravdepodobnosť, že teľa ochorelo počas teplého obdobia, ak sa uzdravilo.
11. Jednotka je doplnená odporom z jednej z troch tovární, ktoré zabezpečujú 60%, 30% a 20% dodávky. Percento nepodarkov medzi rezistormi je 0,3 v závode 1, 0,2 - v závode 2, 0,1 - v závode 3. A) Nájdite pravdepodobnosť defektnosti vyrobenej jednotky; b) nájdite pravdepodobnosť, že chybná jednotka je vybavená továrenským odporom 1.
12. V krízovom štádiu môže choroba prejsť s rovnakou pravdepodobnosťou do prechodnej (C) a spomalenej (B) formy. Pravdepodobnosť uzdravenia je 0,95 pre formu C a 0,8 pre formu B. a) Nájdite pravdepodobnosť uzdravenia náhodne vybraného pacienta; b) zistiť pravdepodobnosť, že choroba prešla do formy C, ak sa pacient uzdravil.
13. V prípade tohto ochorenia sa rovnako často nachádzajú formy A a B, ktoré určujú jeho ďalší priebeh. V prípade A sa pacient zotaví do mesiaca s pravdepodobnosťou 0,8, v prípade B - s pravdepodobnosťou 0,6. a) Nájdite pravdepodobnosť zotavenia za mesiac pre náhodne vybraného pacienta; b) nájdite pravdepodobnosť priebehu ochorenia vo forme A, ak sa pacient uzdravil do mesiaca.
14. Pravdepodobnosť splnenia plánu plavidlom s vlečnými sieťami pri včasnom príchode tankovacej cisterny je 0,8, pri predčasnom príchode - 0,4. Cisterna príde v 90% prípadov načas. a) Nájdite pravdepodobnosť, že plavidlo s vlečnými sieťami splní plán; b) vypočítať pravdepodobnosť včasného doplnenia paliva, ak je známe, že plavidlo s vlečnou sieťou splnilo plán.
15. Leto môže byť suché 20% času, príliš vlhké 30% času a normálne zvyšok času. Pravdepodobnosť dozrievania plodín je 0,7, 0,6 a 0,9. a) Nájdite pravdepodobnosť dozretia plodín v náhodne vybranom roku; b) nájdite pravdepodobnosť, že leto bolo suché, ak bola úroda zrelá.
16. V tejto oblasti sa nachádzajú len choroby A a B, ktorých príznaky sú navonok nerozoznateľné. Medzi pacientmi A sa vyskytuje v 30% prípadov, B - v 70%. Pravdepodobnosť uzdravenia z chorôb je 0,6 a 0,3. a) nájsť pravdepodobnosť, že sa náhodne vybraný pacient uzdraví; b) Aká je pravdepodobnosť, že uzdravená osoba mala ochorenie A?
17. Objekt môže byť uvedený do prevádzky včas s plánovanou dodávkou zariadenia s pravdepodobnosťou 0,9, s dodávkou s oneskorením - s pravdepodobnosťou 0,6. V priemere boli plánované dodávky dodržané v 80% objednávok, dodávky s oneskorením - v 20%. a) Aká je pravdepodobnosť doručenia predmetu včas? b) zistiť pravdepodobnosť včasného doručenia, ak je známe, že predmet bol doručený včas.
18. Jadrová reakcia môže generovať častice typu A v 70 % prípadov a typu B v 30 % prípadov. Častice A sú detegované prístrojom s pravdepodobnosťou 0,8, častice B - s pravdepodobnosťou 1. a) Nájdite pravdepodobnosť detekcie častice v nadchádzajúcom experimente; b) Zariadenie zaznamenalo výskyt častice. Aká je pravdepodobnosť, že ide o typ B?
19. Medzi tými, ktorí sa narodili v prvej polovici roka, priemerná hmotnosť presahuje 60% novorodencov, v druhej polovici roka - 30%. Za predpokladu, že pôrodnosť v oboch polrokoch je rovnaká, nájdite: a) pravdepodobnosť nadváhy u náhodne vybraného dieťaťa; b) pravdepodobnosť, že sa narodí dieťa v prvom polroku, ak má nadváhu.
20. Elektrón emitovaný katódou môže byť "rýchly" s pravdepodobnosťou 0,7 a "pomalý" - s pravdepodobnosťou 0,3. Pravdepodobnosť, že "rýchle" elektróny zasiahnu cieľ je 0,9, "pomalé" - 0,4. Nájdite pravdepodobnosť, že: a) elektrón zasiahne cieľ; b) elektrón bol „pomalý“, ak dosiahol cieľ.
21. Líška naháňajúca sivého zajaca ho predbehne v 30% prípadov, biely zajac - v 20% prípadov. Oba druhy zajacov sa vyskytujú v lese s rovnakou frekvenciou. a) Aká je pravdepodobnosť, že líška dobehne náhodne stretnutého zajaca; b) nájdite pravdepodobnosť, že predbehnutý zajac bol sivý.
22. Pravdepodobnosť meškania lietadla za nepriaznivých podmienok (zlé počasie, technické dôvody) je 0,6 a za priaznivých podmienok - 0,1. Nepriaznivé podmienky boli pozorované v 20% letov, priaznivé - v 80%. Nájdite pravdepodobnosť, že: a) lietadlo bude meškať pri ďalšom lete; b) meškanie bolo sprevádzané nepriaznivými podmienkami.
23. Výrobky rovnakého typu sa predávajú zo závodov 1 a 2 a dodávajú 60 % a 40 % výrobkov. Podiel výplátkov v prevádzke 1 je 0,05, v prevádzke 2 - 0,07. Zistite pravdepodobnosť, že: a) zakúpený produkt bude chybný; b) chybný výrobok bol vyrobený v závode 2.
24. Dve šarže obsahujú rovnaký počet dielov rovnakého typu a majú podiel zamietnutia (pravdepodobnosť chybných dielov) rovný 0,1 a 0,2. Náhodne sa vyberie jedna z dávok, z ktorej sa diel odoberie. a) Nájdite pravdepodobnosť, že je chybný; b) Nájdite pravdepodobnosť, že diel, ktorý sa ukázal ako chybný, patril do prvej šarže.
25. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa bombardérom za jasného počasia je 0,9, za zlého počasia - 0,7. Jasné počasie 1. júna bolo pozorované v 60% prípadov, zlé počasie - v 40%. Nájdite pravdepodobnosť, že 1. júna: a) bude zasiahnutý cieľ; b) počasie bolo jasné, ak je známe, že bol zasiahnutý cieľ.
26. Dvaja šachisti A a B hrajú jednu partiu. Pravdepodobnosť výhry A, ak má biele figúrky, je 0,7, ak má čierne figúrky - 0,4. Farba figúrok sa určí pred hrou žrebovaním. Nájdite pravdepodobnosť, že: a) vyhrá šachista A; b) A hral čiernymi figúrkami, ak je známe, že vyhral.
27. Pravdepodobnosť včasného príchodu plavidla v prípade bezporuchovej prevádzky motora je 0,8 a v prípade jeho poruchy - 0,1. Motor predtým fungoval bezchybne na 90 % plavieb plavidla. Nájdite pravdepodobnosť, že: a) loď nebude meškať na ďalšej plavbe; b) poruchy motora, ak je známe, že loď mešká.
28. Zariadenie je možné prevádzkovať v 30% prípadov v sťažených podmienkach, kde zlyhá s pravdepodobnosťou 0,3 av 70% prípadov - v priaznivých podmienkach, kde zlyhá s pravdepodobnosťou 0,1. Nájdite pravdepodobnosť, že: a) zariadenie zlyhá; b) chybné zariadenie bolo prevádzkované v nepriaznivých podmienkach.
29. Z urny obsahujúcej 3 biele a 2 čierne gule sa postupne vyberú 2 gule. Farba prvého z nich nie je známa. Nájdite pravdepodobnosť, že: a) druhá guľa bude biela; b) prvá guľa bola čierna, ak druhá bola biela.
30. Dve dielne dodávajú rovnaký typ jednotiek na montáž výrobku. Prvý z nich dodáva 60% všetkých uzlov, druhý - 40%. Pravdepodobnosť, že uzol bude chybný, je 0,2 pre obchod 1 a 0,3 pre obchod 2. Nájdite pravdepodobnosť, že: a) náhodne vybraný uzol bude chybný; b) chybná zostava pochádza z dielne 1.
Úloha 7.3.
Zostavte distribučný rad, distribučnú funkciu a jej graf, nájdite matematické očakávanie a rozptyl náhodnej premennej X - počet výskytov náhodnej udalosti A v sérii nezávislých testov uvedených nižšie.
1. Mincou sa hodí 4-krát. A - strata erbu jedným hodom, Р(А)=0,5.
2. Strelec strieľa na cieľ 3 krát. A - zásah jednou ranou, P(A)=0,6.
3. Rybár nahodí svoj vlasec trikrát. A - uhryznutie jedným hodom, P (A) \u003d 0,3.
4. Z urny obsahujúcej 2 biele a 3 čierne guličky sa náhodne vyžrebuje loptička (ak je biela, tak prišla A), ktorá sa potom vráti do urny. Zážitok sa opakuje 3x.
5. Vysievajú sa 3 tekvicové semienka. Klíčivosť (pravdepodobnosť klíčenia A jedného semena) je P(A)=0,8.
6. Elementárna častica môže byť zaregistrovaná zariadením (udalosť A) s pravdepodobnosťou P(A)=0,7. Tri častice striedavo lietajú pred zariadením.
7. A - udalosť, ktorá nastane, keď je prvá číslica čísla protiidúceho auta nula. Striedavo prechádzajú dve autá.
8. A - porucha elektrického zariadenia automobilu počas roka, P (A) \u003d 0,3. Uvažuje sa o troch vozidlách.
9. A - podujatie spočívajúce v prekonaní svetového rekordu športovcom, Р(А)=0,2. Súťaže sa zúčastňujú traja športovci.
10. Pištoľ vystrelí tri projektily na cieľ. A - zásah projektilom, P(A)=0,8.
11. Kniha náhodne vybratá z police sa môže ukázať ako učebnica (udalosť A) s pravdepodobnosťou P(A)=0,4. Vyhľadajú sa tri knihy.
12. Pozitron pri narodení môže nadobudnúť pravú (udalosť A) alebo ľavú orientáciu rotácie, Р(А)=0,6. Uvažujú sa 3 pozitróny.
13. Prítomnosť modrej hliny naznačuje možnosť ložiska diamantu (udalosť A) s pravdepodobnosťou P(A)=0,4. Modrá hlina sa nachádza v troch oblastiach.
14. Počas obdobia kvitnutia môže byť rastlina opelená (udalosť A) s pravdepodobnosťou P(A)=0,8. Uvažujú sa 4 rastliny.
15. Rybár môže chytiť rybu pri uhryznutí (udalosť A) s pravdepodobnosťou P(A)=0,4. Rybár mal tri uhryznutia.
16. Pri jadrovej reakcii môže vzniknúť rezonančná častica (udalosť A) s pravdepodobnosťou P(A)=0,2. Zvažujú sa tri reakcie.
17. Sadenica umiestnená v zemi môže byť prijatá (udalosť A) s pravdepodobnosťou P(A)=0,7. Boli vysadené tri sadenice.
18. Generátor elektrárne môže počas roka zlyhať (udalosť A) s pravdepodobnosťou P(A)=0,2. Zvažuje sa trojročné obdobie prevádzky generátora.
19. Počas dňa môže mlieko v hrnci skysnúť (udalosť A) s pravdepodobnosťou P(A)=0,4. Zvažuje sa prípad troch hrncov.
20. Na fotografii urobenej v oblačnej komore je častica registrovaná v experimente (udalosť A) s pravdepodobnosťou P(A)=0,5. Boli uskutočnené 4 experimenty.
21. A - výskyt párneho počtu bodov pri hode kockou. Kocka sa hodí 4-krát.
22. Tri delá strieľajú na svoje ciele, A - strela zasiahne cieľ, P(A)=0,7.
23. Pri uhryznutí môže rybár vytiahnuť rybu (udalosť A) s pravdepodobnosťou P(A)=0,6. Uhryznutie sa vyskytlo u 4 rybárov.
24. Odraz rotora elektromotora vedie k jeho poruche s pravdepodobnosťou P (A) = 0,8. Do úvahy prichádzajú tri motory rovnakého typu.
25. Pri výrobe dielu sa môže ukázať, že je chybný (udalosť A) s pravdepodobnosťou P(A)=0,2. Boli vyrobené tri kusy.
26. Stroj pracuje bezchybne rok (udalosť A) s pravdepodobnosťou P(A)=0,8. V dielni sú 4 stroje.
27. A - výskyt nepárneho počtu bodov pri hode kockou. Kocka sa hodí 4-krát.
28. Vlak môže prísť podľa plánu (udalosť A) s pravdepodobnosťou P(A)=0,9. Uvažuje sa o troch letoch.
29. Pri písaní stránky textu sa operátor pomýli (udalosť A) v priemere v 30 % prípadov. Článok obsahuje 4 strany textu.
30. Prieskumné lietadlo môže detekovať cieľ (udalosť A) s pravdepodobnosťou P(A)=0,8. Na lokalizáciu cieľa boli vyslané tri lietadlá.
Úloha 7.4.
Vzhľadom na distribučnú funkciu F(x) náhodnej premennej RV X nájdite hustotu rozdelenia a vyneste ju do grafu. Vypočítajte pravdepodobnosť P( a≤X≤ b) dosiahnutie hodnoty CB v danom intervale, matematické očakávanie a rozptyl.
1. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Úloha 7.5.
Nájdite pravdepodobnosť pádu do daného intervalu [ a,b] hodnoty normálne rozloženej náhodnej premennej X ak je známe jeho matematické očakávanie M[X] a rozptyl D[X].
| Var. | M[X] | D[X] | b | |
| -2 | ||||
| -1 | ||||
| -1 | ||||
| -8 | -9 | |||
| -2 | ||||
| -1 | ||||
Walter A. Aue / flickr.com
Americkí fyzici spresnili dimenziu časopriestoru porovnaním vzdialenosti od zdroja, vypočítanej z útlmu gravitačných vĺn a červeného posunu elektromagnetického žiarenia. Vedci vykonali takéto výpočty pre udalosť GW170817 a zistili, že rozmer nášho časopriestoru sa približne rovná D≈ 4,0 ± 0,1. Okrem toho stanovili spodnú hranicu životnosti gravitónu, ktorá bola asi 450 miliónov rokov. Predtlač článku je k dispozícii na arXiv.org.
Aktualizované: V júli 2018 bol článokpublikovaný v časopise Journal of Cosmology and Astroparticle Physics.
Všeobecná relativita a Štandardný model sú postavené na predpoklade, že žijeme v štvorrozmernom časopriestore. Presnejšie, v (3 + 1)-rozmernom: 3 priestorové dimenzie a jedna časová. Na druhej strane vedci majú tendenciu pochybovať o najzákladnejších tvrdeniach. Možno sa rozmer nášho časopriestoru nerovná presne štyrom, ale len veľmi blízko tejto hodnote? Skutočne existujú teórie, v ktorých je náš časopriestor vložený do priestorov vyššej dimenzie. Preto, vo všeobecnosti, štvorrozmernosť nášho sveta musí byť dokázaná a nie samozrejmá.
Skupina fyzikov vedená Davidom Spergelom stanovila presné limity rozmeru nášho časopriestoru analýzou - takmer súčasne - gravitačných a elektromagnetických vĺn, ktoré prišli na Zem, vyžarované počas zlúčenia dvoch neutrónových hviezd. Na jednej strane možno z elektromagnetickej zložky určiť vzdialenosť k zdroju vlny. Na druhej strane sa dá vypočítať z útlmu gravitačných vĺn. Je zrejmé, že obe tieto vzdialenosti sa musia zhodovať, čo ukladá obmedzenia na rozdiel medzi rýchlosťou rozpadu a rýchlosťou predpovedanou všeobecnou teóriou relativity. Stojí za zmienku, že ďalšia chyba vo vzdialenosti určenej od červeného posunu je spôsobená skutočnosťou, že hodnoty Hubbleovej konštanty, merané z rýchlosti recesie galaxií a z fluktuácií žiarenia kozmického pozadia, sú spolu. V tomto článku vedci pre každý prípad vykonali výpočty pre obe hodnoty, ale chyba experimentálnych údajov stále prevážila tento rozdiel.
Vo všeobecnej teórii relativity intenzita gravitačných vĺn klesá nepriamo úmerne s prvou mocninou vzdialenosti od zdroja: h ~ 1/r. Avšak v teóriách s viacerými rozmermi je tento zákon upravený a tlmenie nastáva rýchlejšie: h ~ 1/rγ , kde γ = ( D− 2)/2 a D- počet meraní. Ukazuje sa, že energia vlny akoby „unikala“ do ďalších dimenzií. Pri výpočte „elektromagnetickej“ a „gravitačnej“ vzdialenosti od neutrónových hviezd fyzici určili, že stupeň závislosti γ ≈ 1,00 ± 0,03, teda rozmer nášho priestoru D≈ 4,0 ± 0,1.
Rozdelenie pravdepodobnosti, v ktorom žijeme D-rozmerný priestor. Čiary rôznych farieb zodpovedajú rôznym hodnotám Hubbleovej konštanty použitej vo výpočtoch
Na druhej strane v inom type alternatívnych teórií je gravitácia tienená - na malé vzdialenosti sa správa rovnako ako v štvorrozmernej teórii a na veľké vzdialenosti sa podobá D-rozmerný. Vzhľadom na obmedzenia udalosti GW170817 fyzici určili minimálny polomer tienenia pre takéto teórie na približne dvadsať megaparsekov. V tomto prípade sa skutočný zdroj vĺn nachádza v galaxii NGC 4993 vo vzdialenosti asi štyridsať megaparsekov.
Nakoniec môže dôjsť k dodatočnému zoslabeniu gravitačných vĺn v dôsledku skutočnosti, že gravitóny sú nestabilné častice a počas cesty od zdroja k detektoru sa rozpadajú. Na základe tohto predpokladu fyzici vypočítali spodnú hranicu životnosti gravitónu. Ukázalo sa, že to nemôže byť menej ako 4,5×10 8 rokov.
Simultánna registrácia gravitačnej a elektromagnetickej zložky mala veľký vplyv na alternatívne teórie gravitácie. Napríklad koncom decembra minulého roku v Fyzické prehľadové listy Zároveň vyšli naraz štyri články venované udalosti GW170817 a obmedzeniam rôznych kvantových teórií gravitácie. Okrem toho je táto udalosť veľmi prísnym obmedzením rýchlosti gravitácie - teraz sa pomer rýchlosti gravitácie k rýchlosti svetla môže líšiť od jednoty nie viac ako 3×10 −15.
Dmitrij Trunin
9. septembra 2007 vyhral jazdec Logan Gomez preteky Chicagoland 100 šampionátu IRL Indy Pro Series. Druhého víťaza porazil o 0,0005 sekundy, čím vytvoril rekord v hustote cieľov vo svetovom motoršporte. Aké zariadenie dokáže merať čas s takou presnosťou?
Na vlne majáka V moderných pretekoch je meranie času úplne automatické. Každé auto je vybavené rádiovým majákom, ktorý vysiela rádiové vlny na jedinečnej frekvencii. Antény, umiestnené na presne vymedzených miestach na trati, zachytia jej signál a podľa frekvencie určujú, ktoré konkrétne auto prešlo. Antény sú usporiadané po dvoch: meraním času potrebného na prejdenie vzdialenosti od jednej antény k druhej počítač určí rýchlosť auta. Na dráhe môže byť umiestnených až 20 antén. Na riadenie rýchlosti v boxovej uličke sa používajú špeciálne antény. Informácie z rádiových prijímačov sa posielajú do časovacieho centra, kde viac ako 20 inžinierov nepretržite monitoruje činnosť počítačov. Pre každý prípad je systém merania času zálohovaný dvojicou infračervených fotobuniek inštalovaných v cieli.
Tim Skorenko
Práve v sérii Indycar sú požiadavky na časovanie najprísnejšie. Žiadny iný šampionát sa nemôže pochváliť meraním času s presnosťou na desaťtisíciny sekundy. Drvivý počet sérií je obmedzený na 0,001 s, čo najčastejšie s rezervou stačí, no dochádza k incidentom: napríklad na kvalifikácii Grand Prix Európy 1997 v triede Formuly 1 sa až trom pilotom podarilo predviesť čas, ktorý zodpovedá až tisícine sekundy, - 1.21.072. Pole position nakoniec pripadol Jacquesovi Villeneuvovi, ktorý dokončil svoje najrýchlejšie kolo pred ostatnými.
Vo Formule 1 sa presnosť načasovania časom výrazne menila. Na prvom šampionáte v roku 1950 stačilo 0,1 s na plné zúčtovanie do cieľa pilotov. Do poradia šampionátu sa nezapočítavali ani jedny preteky, v ktorých by bol rozdiel medzi pilotmi menší ako sekunda. Presnosť na 0,1 sa datuje od úplne prvej Veľkej ceny v histórii motoristických pretekov – Veľkej ceny Francúzska v roku 1906, kde čas víťaza Ferenca Szysa na Renaulte bol 12 hodín 14 minút a 7,4 sekundy (nie ako krátky čas). a ľahké dnešné preteky, však?). Na väčšine pretekov pred prvou svetovou vojnou presnosť vôbec nepresiahla 1 s.
V moderných pretekoch je meranie času plne automatické. Každé auto je vybavené rádiovým majákom, ktorý vysiela rádiové vlny na jedinečnej frekvencii. Antény, umiestnené na presne vymedzených miestach na trati, zachytia jej signál a podľa frekvencie určujú, ktoré konkrétne auto prešlo. Antény sú usporiadané po dvoch: meraním času potrebného na prejdenie vzdialenosti od jednej antény k druhej počítač určí rýchlosť auta. Na dráhe môže byť umiestnených až 20 antén. Na riadenie rýchlosti v boxovej uličke sa používajú špeciálne antény. Informácie z rádiových prijímačov sa posielajú do časovacieho centra, kde viac ako 20 inžinierov nepretržite monitoruje činnosť počítačov. Pre každý prípad je systém merania času zálohovaný dvojicou infračervených fotobuniek inštalovaných v cieli.
V Amerike boli časomerači oveľa pokrokovejší. Povojnové preteky radu AAA (neskôr CART) si najčastejšie vyžadovali presnosť merania do 0,01. Bolo to spôsobené predovšetkým konfiguráciou tratí a množstvom oválov, kde sú medzery medzi jazdcami extrémne malé. Neuveriteľná presnosť načasovania moderného IRL je spôsobená rovnakým faktorom: zo sedemnástich etáp šampionátu 2010 sa osem koná na ováloch.
Incidenty a zlyhania
Závodné meranie času je neoddeliteľne späté s poprednými svetovými výrobcami hodiniek a elektroniky: TAG Heuer, Tissot, Omega, Longines... Takmer všetci sú tak či onak zastúpení v rôznych športoch ako oficiálni časomerači. Chyby a nepresnosti v meraní času sú dnes prakticky vylúčené. Od roku 1992 dodnes sa spomínaná 97. VC Európy stala jedinou chronometrickou kuriozitou Formuly 1 a aj takéto incidenty sú v IRL úplne nemožné.
Dnes sú rozvodové systémy Indycar a NASCAR považované za jedny z najlepších na svete. Každá trať je vybavená tak, že európski organizátori môžu len závidieť. Skóre je 0,0001 sekundy (pre Indycar) a živí diváci môžu kedykoľvek získať informácie o rýchlosti každého auta na trati, čase jeho kola a ktoromkoľvek sektore kruhu, medzerách v pelatóne s presnosťou na sektor atď. vo všeobecnosti maximálne informácie. V pretekoch, kde sa hrá polovica sezóny na ováloch, je načasovanie to najdôležitejšie. O víťazovi často rozhoduje fotofiniš.
Napodiv, pojem „oficiálny časomerač“ sa objavil pomerne nedávno. Práve Tissot dnes „vedie“ svetový šampionát motocyklových pretekov a žiadna iná spoločnosť nemá právo zasahovať. Ešte pred 30 rokmi mali jednotlivé preteky svojich časomierov, „vyzbrojených“ výstrojom, ktoré si organizátori mohli zakúpiť.
Pred druhou svetovou vojnou sa takmer všetky pretekárske série a triedy merali manuálne: pri trati stáli špeciálne vyškolení ľudia so stopkami. Zaznamenali čas kola nasledujúceho auta a zaznamenali údaje. Došlo však aj k prelomom. V roku 1911 na prvých pretekoch 500 v Indianapolise inžinier Charlie Warner navrhol a implementoval vôbec prvý poloautomatický systém časovania. Pozdĺž štartovej a cieľovej čiary bol tenký drôt mierne natiahnutý a mierne zdvihnutý nad tehlový plášť. Každý stroj pritlačil drôt k zemi, čím zvýšil jeho napätie. Na drôte bola pripevnená pečať kladiva, ktorá po potiahnutí vložila atramentovú značku na pomaly sa plaziacu pásku s delením. Presnosť merania dosiahla 0,01 s! Počty áut oproti každému bodu boli manuálne nastavené časomeračom. Systém sa neujal zo smiešneho dôvodu: v polovici pretekov pretrhlo auto pretekárovi Herbovi Littleovi drôt. Pri ťahaní nového (predbiehanie pred rútiacimi sa autami) prešlo minimálne 20 kôl, počas ktorých sa meralo približne. Víťazstvo v pretekoch získal Ray Harrown na Marmone, no ďalší slávny pretekár Ralph Mulford si bol až do smrti istý, že práve on vyhral vôbec prvý Indy 500.
Rozkvet úspešného používania poloautomatických systémov spadá do 30. rokov minulého storočia. Indy 500 potom používal chronografy Stewart-Warner alebo obrovské chronografy Loughborough-Hayes.
V prvých rokoch série NASCAR bolo načasovanie hrozné. Na niektorých pretekoch sedel v cieli muž s papierom a ceruzkou a zaznamenával: taký a taký ide prvý, taký a taký – druhý. Pravda, týkalo sa to len štrkových a blatových tratí. Na autodrómoch to bolo lepšie. Najmä na pretekoch v Elhart Lake "1951 bol použitý chronograf Streeter-Amet. Zariadenie sekvenčne vytlačilo (v desatinách sekundy) na papierovú pásku čas každého okoloidúceho auta, prácu osoby spočívalo v písaní čísel áut oproti každému číslu.
Plne automatický systém merania času bol prvýkrát použitý v pretekoch majstrovstiev USAC na okruhu v Ontáriu v roku 1970. Každé vozidlo bolo vybavené vysielačom, ktorý vysielal vlny na svojej vlastnej jedinečnej frekvencii. Na štartovej a cieľovej čiare bola nainštalovaná anténa, zachytávajúca frekvenciu kmitov každého vysielača – zvyšok práce vykonal počítač.
Profesionálny časomerač David McKinney, ktorý v 60. rokoch pôsobil na rôznych pretekoch v Austrálii a na Novom Zélande, nám poskytol zaujímavú informáciu: „Ak najkvalifikovanejší časomerač s najlepším časomeračom dokáže presne ‚chytiť‘ desatinu sekundy, potom je len šťastie." všetky manuálne merania, ktoré kedy boli vykonané v pretekoch, možno bezpečne považovať za približné.
"Formula 1"
V Európe sa automatické systémy objavili oveľa neskôr ako v Amerike. V medzinárodných seriáloch, ako je Formula 1, vládol zmätok a kolísanie. Až do konca 70-tych rokov 20. storočia merali čas na rôznych veľkých cenách úplne iní ľudia s použitím rôznych zariadení a metód. Vo voľných pretekoch úlohu časomeračov plnili najčastejšie manželky jazdcov. Napríklad Norma Hill, manželka dvojnásobného majstra sveta Grahama Hilla, chodila so svojím manželom na každú veľkú cenu a osobne merala jeho časy na kolo, pričom dvakrát kontrolovala prácu traťových komisárov.
V polovici 70. rokov, unavený neustálym zmätkom a chybami, začal tím Ferrari nosiť na Grand Prix svoje vlastné vysoko presné vybavenie zakúpené v Amerike. Jeden z mechanikov večného rivala Ferrari, tímu Lotus, sa spýtal svojho šéfa Colina Chapmana: "Prečo neurobíme to isté?" "Naozaj si myslíš, že vďaka tomu budú naše autá rýchlejšie?" odpovedal Chapman. Táto odpoveď veľmi presne charakterizuje európsky postoj k presnosti merania času v tých rokoch. Koncom 70. rokov však takmer všetky veľké tímy podpísali zmluvy s výrobcami hodiniek a nosili so sebou vlastné systémy časovania. Po jednom z pretekov magazín Autosport napísal: "Tímy zverejňujú v oficiálnych správach tak presné časy, že oficiálne čísla organizátorov Grand Prix vyzerajú, ako keby boli vyrobené pomocou hodín Mickey Mouse!"
Kvôli chybám v načasovaní pravidelne vznikali nádherné incidenty. Napríklad počas upršanej Veľkej ceny Kanady v roku 1973 prvýkrát priviezli na trať safety car. Časomieri boli zmätení, pomiešali sa s kolotočmi a nesprávne spočítali čas pred a po tempom aute. Vďaka tomu Emerson Fittipaldi z Lotusu, Jackie Oliver z Shadow a Peter Revson z McLarenu vytrvalo oslavovali víťazstvo. Víťazstvo získal ten druhý - po niekoľkých hodinách hašterenia.
Nemenej zaujímavý príbeh sa stal na Veľkej cene Švédska v roku 1975. Marcový jazdec Vittorio Brambilla nebol v pelatóne ani zďaleka najrýchlejší, no bol to práve on, kto v týchto pretekoch získal pole position. Bolo to spôsobené tým, že sa marcový dizajnér Robin Hurd zakrádal tesne pred fotobunkou rekordéra pol sekundy predtým, ako Brambilla preťal cieľovú čiaru. Nejakým zázrakom to nikto nevidel a zariadenie zaznamenávalo čas peši Hurda a už vôbec nie pretekára.
Triumf technológie
Dnešné preteky sú triumfom špičkových technológií. Napríklad séria NASCAR bola takmer posledná, ktorá prešla na moderné metódy merania času, pričom sa v maximálnej možnej miere držala tradícií. Ale dnes sú časovacie systémy NASCAR považované za jedny z najlepších na svete. Tissot, oficiálna časomiera zámorskej série posledné štyri roky, vybavil každú trať tak, ako jej európski organizátori môžu len závidieť. V pretekoch, kde 34 z 36 kôl v sezóne sú ovály, je načasovanie mimoriadne dôležité.
Nemenej seriózne systémy sa používajú aj vo svetovom šampionáte motocyklových pretekov (Tissot je aj jeho časomerač). Na rozdiel od NASCAR nevyžaduje sofistikované sledovacie systémy na určenie toho, kto je vpredu: motocyklisti nie sú v takom tesnom pelatóne. Ale keďže trate MotoGP majú tradičnú európsku konfiguráciu a nie ovály, je tu aj dosť ťažkostí. Nastavenie časových škrtov na určitých miestach na trase si vyžaduje dôkladné premyslenie (ovály sú jednoducho geometricky rozdelené na 4-8 častí).
Dnešná počítačová technológia prakticky eliminuje možnosť chyby načasovania pri automobilových alebo motocyklových pretekoch. Organizátori Grand Prix už dávno našli na svojich hlavách úplne iné problémy - bezpečnosť, ekológia atď. A časomiery pracujú na seba a fungujú. Dá sa povedať, že je to ako hodinky.
Nech sa vyžaduje nájsť až (s nevýhodou). Zostavme výpočty takto:
Najprv nájdeme približný koreň do 1 iba z celého čísla 2. Dostaneme 1 (a zvyšok je 1). Číslo 1 napíšeme na koreň a za ním dáme čiarku. Teraz nájdeme počet desatín. Aby sme to urobili, pridáme čísla 3 a 5 k zvyšku 1, napravo od čiarky a pokračujeme v extrakcii, ako keby sme extrahovali koreň z celého čísla 235. Výsledné číslo 5 zapíšeme do koreňa v miesto desatiny. Nepotrebujeme zvyšné číslice koreňového čísla (104). To, že výsledné číslo 1,5 bude skutočne približnou odmocninou až , je zrejmé z nasledujúceho; ak by sme našli najväčšiu odmocninu celého čísla z 235 s presnosťou na 1, potom by sme dostali 15, čo znamená
Vydelením každého z týchto čísel číslom 100 dostaneme:
(Od pridania čísla 0,00104 by sa dvojité znamienko ≤ malo samozrejme zmeniť na znamienko<, а знак >zostáva (od 0,00104< 0,01).)
Nech je potrebné nájsť, až do aproximácie, s nevýhodou. Nájdite celé číslo, potom - počet desatín, potom počet stotín. Druhá odmocnina z celého čísla bude 15 celých čísel. Na získanie desatiny, ako sme videli, je potrebné pridať ďalšie dve číslice k zvyšku 23 napravo od desatinnej čiarky:
V našom príklade tieto čísla vôbec neexistujú; dajte na ich miesto nuly. Pripočítaním ich k zvyšku a pokračovaním akcie, ako keby sme hľadali koreň celého čísla 24800, nájdeme desatinnú číslicu 7. Zostáva nájsť desatinnú číslicu. Aby sme to urobili, pridáme k zvyšku 151 ďalšie dve nuly a pokračujeme v extrakcii, ako keby sme našli koreň celého čísla 2480000. Dostaneme 15,74. To, že toto číslo je skutočne približnou odmocninou z 248, až do mínusu, je zrejmé z nasledujúceho. Ak by sme našli najväčšiu druhú odmocninu z celého čísla 2480000, dostali by sme 1574, čo znamená
Vydelením každého z týchto čísel číslom 10000 (1002) dostaneme:
15,74 2 ≤ 248; 15,75 2 > 248.
To znamená, že 15,74 je ten desatinný zlomok, ktorý sme nazvali približný koreň s nevýhodou do 248.
Pravidlo. Ak chcete extrahovať z daného celého čísla alebo z daného desatinného zlomku približný odmocninec s nevýhodou s presnosťou do, do, do atď., najprv nájdite približný odmocninec s nevýhodou s presnosťou 1, pričom koreň z celého čísla (ak tam nie je, napíšte do koreňa 0 celých čísel).
Potom nájdite počet desatín. Za týmto účelom sa k zvyšku pridajú dve číslice podriadeného čísla napravo od desatinnej čiarky (ak nie sú žiadne, zvyšku sa pripíšu dve nuly) a extrakcia pokračuje rovnakým spôsobom ako doteraz. vykonané pri extrakcii koreňa z celého čísla. Výsledný údaj je napísaný v koreni namiesto desatiny.
Potom nájdite počet stotín. K tomu sa zvyšku opäť pripisujú dve postavy, stojace napravo od práve zbúraných atď.
Teda pri extrakcii odmocniny celého čísla s desatinným zlomkom číslo musí byť rozdelené na dve číslice, počínajúc čiarkou, vľavo (v celočíselnej časti čísla), ako aj vpravo (v zlomkovej časti).
Príklady.
V poslednom príklade sme zlomok previedli na desatinné miesto tak, že sme vypočítali osem desatinných miest, aby sme vytvorili štyri plochy potrebné na nájdenie štyroch desatinných miest koreňa.
