Tabuľka hodnôt goniometrických funkcií
Poznámka. Táto tabuľka hodnôt trigonometrických funkcií používa znamienko √ na vyjadrenie druhej odmocniny. Na označenie zlomku použite symbol "/".
pozri tiež užitočné materiály:
Pre určenie hodnoty goniometrickej funkcie, nájdite ho na priesečníku priamky označujúcej goniometrickú funkciu. Napríklad sínus 30 stupňov - hľadáme stĺpec s nadpisom sin (sínus) a nájdeme priesečník tohto stĺpca tabuľky s riadkom „30 stupňov“, na ich priesečníku čítame výsledok - jednu polovicu. Podobne nájdeme kosínus 60 stupne, sínus 60 stupňov (ešte raz, na priesečníku stĺpca sin a 60 stupňovej čiary nájdeme hodnotu sin 60 = √3/2) atď. Hodnoty sínusov, kosínusov a dotyčníc iných „populárnych“ uhlov sa nachádzajú rovnakým spôsobom.
Sínus pí, kosínus pí, tangens pí a ďalšie uhly v radiánoch
Nižšie uvedená tabuľka kosínusov, sínusov a dotyčníc je vhodná aj na nájdenie hodnoty goniometrických funkcií, ktorých argument je udáva sa v radiánoch. Na tento účel použite druhý stĺpec hodnôt uhla. Vďaka tomu môžete previesť hodnotu obľúbených uhlov zo stupňov na radiány. Napríklad nájdime v prvom riadku uhol 60 stupňov a pod ním odčítajme jeho hodnotu v radiánoch. 60 stupňov sa rovná π/3 radiánov.
Číslo pí jednoznačne vyjadruje závislosť obvodu od stupňovitej miery uhla. Pi radiány sa teda rovnajú 180 stupňom.
Akékoľvek číslo vyjadrené v pi (radiánoch) možno ľahko previesť na stupne nahradením pi (π) 180.
Príklady:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
teda sínus pi je rovnaký ako sínus 180 stupňov a rovná sa nule.
2. Kosínus pí.
cos π = cos 180 = -1
teda kosínus pí je rovnaký ako kosínus 180 stupňov a rovná sa mínus jedna.
3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
teda dotyčnica pi je rovnaká ako dotyčnica 180 stupňov a rovná sa nule.
Tabuľka hodnôt sínusu, kosínusu, dotyčnice pre uhly 0 - 360 stupňov (bežné hodnoty)
hodnota uhla α (stupne) |
hodnota uhla α (cez pi) |
hriech (sinus) |
cos (kosínus) |
tg (tangens) |
ctg (kotangens) |
sek (sekant) |
cosec (kosekant) |
0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Ak je v tabuľke hodnôt goniometrických funkcií namiesto funkčnej hodnoty uvedená pomlčka (tangens (tg) 90 stupňov, kotangens (ctg) 180 stupňov), potom pre danú hodnotu miery uhla je funkcia nemá konkrétnu hodnotu. Ak tam nie je pomlčka, bunka je prázdna, čo znamená, že sme ešte nezadali požadovanú hodnotu. Zaujíma nás, na aké dotazy k nám používatelia chodia a dopĺňame tabuľku o nové hodnoty, napriek tomu, že aktuálne údaje o hodnotách kosínusov, sínusov a dotyčníc najbežnejších hodnôt uhlov úplne postačujú na vyriešenie väčšiny problémy.
Tabuľka hodnôt goniometrických funkcií sin, cos, tg pre najobľúbenejšie uhly
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stupňov
(numerické hodnoty „podľa tabuliek Bradis“)
hodnota uhla α (stupne) | hodnota uhla α v radiánoch | hriech (sine) | cos (kosínus) | tg (tangens) | ctg (kotangens) |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | ||||
15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
45 |
0,7071 |
||||
0,7660 |
|||||
60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
7π/18 |
Tabuľky hodnôt sínusov (sin), kosínusov (cos), dotyčníc (tg), kotangens (ctg) sú mocným a užitočným nástrojom, ktorý pomáha riešiť mnohé problémy, teoretické aj aplikované. V tomto článku poskytneme tabuľku základných goniometrických funkcií (sínusy, kosínusy, dotyčnice a kotangens) pre uhly 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stupňov (0, π 6, π 3, π 2,... , 2 π radiánov). Zobrazia sa aj samostatné Bradisove tabuľky pre sínusy a kosínusy, dotyčnice a kotangens s vysvetlením, ako ich použiť na nájdenie hodnôt základných goniometrických funkcií.
Tabuľka základných goniometrických funkcií pre uhly 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stupňov
Na základe definícií sínus, kosínus, tangens a kotangens môžete nájsť hodnoty týchto funkcií pre uhly 0 a 90 stupňov
sin 0 = 0, cos 0 = 1, t g 0 = 0, nulový kotangens nie je definovaný,
sin 90° = 1, cos 90° = 0, c t g 90° = 0, dotyčnica deväťdesiatich stupňov nie je definovaná.
Hodnoty sínusov, kosínusov, dotyčníc a kotangens v priebehu geometrie sú definované ako pomer strán pravouhlého trojuholníka, ktorého uhly sú 30, 60 a 90 stupňov a tiež 45, 45 a 90 stupňov.
Definovanie goniometrických funkcií pre ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku
Sinus- pomer opačnej strany k prepone.
Kosínus- pomer priľahlej nohy k prepone.
Tangenta- pomer protiľahlej strany k priľahlej strane.
Kotangens- pomer priľahlej strany k protiľahlej strane.
V súlade s definíciami sa nachádzajú hodnoty funkcií:
sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , tg 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , t g 45 ° = 1 , c t g 4 = 1, sin 60° = 3 2, cos 45° = 1 2, tg 45° = 3, c tg 45° = 3 3.
Dajme si tieto hodnoty do tabuľky a nazvime ju tabuľkou základných hodnôt sínus, kosínus, tangens a kotangens.
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
hriech α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
čos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 |
t g a | 0 | 3 3 | 1 | 3 | neurčitý |
c t g α | neurčitý | 3 | 1 | 3 3 | 0 |
α, r a d i a n | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 |
Jednou z dôležitých vlastností goniometrických funkcií je periodicita. Na základe tejto vlastnosti je možné túto tabuľku rozšíriť pomocou redukčných vzorcov. Nižšie uvádzame rozšírenú tabuľku hodnôt hlavných goniometrických funkcií pre uhly 0, 30, 60, ... , 120, 135, 150, 180, ... , 360 stupňov (0, π 6, π 3 , π 2, ... , 2 π radiánov).
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 135 | 150 | 180 | 210 | 225 | 240 | 270 | 300 | 315 | 330 | 360 |
hriech α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 |
čos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
t g a | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 1 | - 3 3 | 0 | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 3 | - 1 | 0 | |
c t g α | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - |
α, r a d i a n | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 | 2 π 3 | 3 π 4 | 5 π 6 | π | 7 π 6 | 5 π 4 | 4 π 3 | 3 π 2 | 5 π 3 | 7 π 4 | 11 π 6 | 2π |
Periodicita sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu umožňuje rozšíriť túto tabuľku na ľubovoľne veľké hodnoty uhla. Hodnoty zozbierané v tabuľke sa najčastejšie používajú pri riešení problémov, preto sa odporúča zapamätať si ich.
Ako používať tabuľku základných hodnôt goniometrických funkcií
Princíp používania tabuľky hodnôt sínusov, kosínusov, dotyčníc a kotangens je na intuitívnej úrovni jasný. Priesečník riadku a stĺpca udáva hodnotu funkcie pre konkrétny uhol.
Príklad. Ako používať tabuľku sínusov, kosínusov, tangens a kotangens
Musíme zistiť, čomu sa rovná sin 7 π 6
V tabuľke nájdeme stĺpec, ktorého hodnota poslednej bunky je 7 π 6 radiánov – to isté ako 210 stupňov. Potom vyberieme termín tabuľky, v ktorej sú uvedené hodnoty sínusov. Na priesečníku riadku a stĺpca nájdeme požadovanú hodnotu:
sin 7 π 6 = - 1 2
Bradisove stoly
Bradisova tabuľka umožňuje vypočítať hodnotu sínusu, kosínusu, tangensu alebo kotangensu s presnosťou na 4 desatinné miesta bez použitia výpočtovej techniky. Ide o akúsi náhradu inžinierskej kalkulačky.
Odkaz
Vladimir Modestovič Bradis (1890 - 1975) - sovietsky učiteľ matematiky, od roku 1954 člen korešpondent Akadémie pedagogických vied ZSSR. Tabuľky štvorciferných logaritmov a prirodzených trigonometrických veličín vyvinuté Bradisom boli prvýkrát publikované v roku 1921.
Najprv uvádzame Bradisovu tabuľku pre sínusy a kosínusy. Umožňuje pomerne presne vypočítať približné hodnoty týchto funkcií pre uhly obsahujúce celý počet stupňov a minút. Stĺpec úplne vľavo v tabuľke predstavuje stupne a horný riadok predstavuje minúty. Upozorňujeme, že všetky hodnoty uhla tabuľky Bradis sú násobky šiestich minút.
Bradisov stôl pre sínusy a kosínusy
hriech | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | cos | 1" | 2" | 3" |
0.0000 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0.0000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89 °C | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0366 | 0384 | 0401 | 0419 | 0436 | 0454 | 0471 | 0488 | 0506 | 0523 | 87 °C | 3 | 6 | 9 |
3° | 0523 | 0541 | 0558 | 0576 | 0593 | 0610 | 0628 | 0645 | 0663 | 0680 | 0698 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0698 | 0715 | 0732 | 0750 | 0767 | 0785 | 0802 | 0819 | 0837 | 0854 | 0.0872 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0.0872 | 0889 | 0906 | 0924 | 0941 | 0958 | 0976 | 0993 | 1011 | 1028 | 1045 | 84 °C | 3 | 6 | 9 |
6° | 1045 | 1063 | 1080 | 1097 | 1115 | 1132 | 1149 | 1167 | 1184 | 1201 | 1219 | 83 °C | 3 | 6 | 9 |
7° | 1219 | 1236 | 1253 | 1271 | 1288 | 1305 | 1323 | 1340 | 1357 | 1374 | 1392 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1392 | 1409 | 1426 | 1444 | 1461 | 1478 | 1495 | 1513 | 1530 | 1547 | 1564 | 81 °C | 3 | 6 | 9 |
9° | 1564 | 1582 | 1599 | 1616 | 1633 | 1650 | 1668 | 1685 | 1702 | 1719 | 0.1736 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0.1736 | 1754 | 1771 | 1788 | 1805 | 1822 | 1840 | 1857 | 1874 | 1891 | 1908 | 79 °C | 3 | 6 | 9 |
11° | 1908 | 1925 | 1942 | 1959 | 1977 | 1994 | 2011 | 2028 | 2045 | 2062 | 2079 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2079 | 2096 | 2113 | 2130 | 2147 | 2164 | 2181 | 2198 | 2215 | 2233 | 2250 | 77 °C | 3 | 6 | 9 |
13° | 2250 | 2267 | 2284 | 2300 | 2317 | 2334 | 2351 | 2368 | 2385 | 2402 | 2419 | 76° | 3 | 6 | 8 |
14° | 2419 | 2436 | 2453 | 2470 | 2487 | 2504 | 2521 | 2538 | 2554 | 2571 | 0.2588 | 75° | 3 | 6 | 8 |
15° | 0.2588 | 2605 | 2622 | 2639 | 2656 | 2672 | 2689 | 2706 | 2723 | 2740 | 2756 | 74° | 3 | 6 | 8 |
16° | 2756 | 2773 | 2790 | 2807 | 2823 | 2840 | 2857 | 2874 | 2890 | 2907 | 2924 | 73° | 3 | 6 | 8 |
17° | 2924 | 2940 | 2957 | 2974 | 2990 | 3007 | 3024 | 3040 | 3057 | 3074 | 3090 | 72° | 3 | 6 | 8 |
18° | 3090 | 3107 | 3123 | 3140 | 3156 | 3173 | 3190 | 3206 | 3223 | 3239 | 3256 | 71 °C | 3 | 6 | 8 |
19° | 3256 | 3272 | 3289 | 3305 | 3322 | 3338 | 3355 | 3371 | 3387 | 3404 | 0.3420 | 70° | 3 | 5 | 8 |
20° | 0.3420 | 3437 | 3453 | 3469 | 3486 | 3502 | 3518 | 3535 | 3551 | 3567 | 3584 | 69° | 3 | 5 | 8 |
21° | 3584 | 3600 | 3616 | 3633 | 3649 | 3665 | 3681 | 3697 | 3714 | 3730 | 3746 | 68° | 3 | 5 | 8 |
22° | 3746 | 3762 | 3778 | 3795 | 3811 | 3827 | 3843 | 3859 | 3875 | 3891 | 3907 | 67° | 3 | 5 | 8 |
23° | 3907 | 3923 | 3939 | 3955 | 3971 | 3987 | 4003 | 4019 | 4035 | 4051 | 4067 | 66° | 3 | 5 | 8 |
24° | 4067 | 4083 | 4099 | 4115 | 4131 | 4147 | 4163 | 4179 | 4195 | 4210 | 0.4226 | 65° | 3 | 5 | 8 |
25° | 0.4226 | 4242 | 4258 | 4274 | 4289 | 4305 | 4321 | 4337 | 4352 | 4368 | 4384 | 64° | 3 | 5 | 8 |
26° | 4384 | 4399 | 4415 | 4431 | 4446 | 4462 | 4478 | 4493 | 4509 | 4524 | 4540 | 63° | 3 | 5 | 8 |
27° | 4540 | 4555 | 4571 | 4586 | 4602 | 4617 | 4633 | 4648 | 4664 | 4679 | 4695 | 62° | 3 | 5 | 8 |
28° | 4695 | 4710 | 4726 | 4741 | 4756 | 4772 | 4787 | 4802 | 4818 | 4833 | 4848 | 61° | 3 | 5 | 8 |
29° | 4848 | 4863 | 4879 | 4894 | 4909 | 4924 | 4939 | 4955 | 4970 | 4985 | 0.5000 | 60° | 3 | 5 | 8 |
30° | 0.5000 | 5015 | 5030 | 5045 | 5060 | 5075 | 5090 | 5105 | 5120 | 5135 | 5150 | 59° | 3 | 5 | 8 |
31° | 5150 | 5165 | 5180 | 5195 | 5210 | 5225 | 5240 | 5255 | 5270 | 5284 | 5299 | 58° | 2 | 5 | 7 |
32° | 5299 | 5314 | 5329 | 5344 | 5358 | 5373 | 5388 | 5402 | 5417 | 5432 | 5446 | 57° | 2 | 5 | 7 |
33° | 5446 | 5461 | 5476 | 5490 | 5505 | 5519 | 5534 | 5548 | 5563 | 5577 | 5592 | 56° | 2 | 5 | 7 |
34° | 5592 | 5606 | 5621 | 5635 | 5650 | 5664 | 5678 | 5693 | 5707 | 5721 | 0.5736 | 55° | 2 | 5 | 7 |
35° | 0.5736 | 5750 | 5764 | 5779 | 5793 | 5807 | 5821 | 5835 | 5850 | 5864 | 0.5878 | 54° | 2 | 5 | 7 |
36° | 5878 | 5892 | 5906 | 5920 | 5934 | 5948 | 5962 | 5976 | 5990 | 6004 | 6018 | 53° | 2 | 5 | 7 |
37° | 6018 | 6032 | 6046 | 6060 | 6074 | 6088 | 6101 | 6115 | 6129 | 6143 | 6157 | 52° | 2 | 5 | 7 |
38° | 6157 | 6170 | 6184 | 6198 | 6211 | 6225 | 6239 | 6252 | 6266 | 6280 | 6293 | 51° | 2 | 5 | 7 |
39° | 6293 | 6307 | 6320 | 6334 | 6347 | 6361 | 6374 | 6388 | 6401 | 6414 | 0.6428 | 50° | 2 | 4 | 7 |
40° | 0.6428 | 6441 | 6455 | 6468 | 6481 | 6494 | 6508 | 6521 | 6534 | 6547 | 6561 | 49° | 2 | 4 | 7 |
41° | 6561 | 6574 | 6587 | 6600 | 6613 | 6626 | 6639 | 6652 | 6665 | 6678 | 6691 | 48° | 2 | 4 | 7 |
42° | 6691 | 6704 | 6717 | 6730 | 6743 | 6756 | 6769 | 6782 | 6794 | 6807 | 6820 | 47° | 2 | 4 | 6 |
43° | 6820 | 6833 | 6845 | 6858 | 6871 | 6884 | 6896 | 8909 | 6921 | 6934 | 6947 | 46° | 2 | 4 | 6 |
44° | 6947 | 6959 | 6972 | 6984 | 6997 | 7009 | 7022 | 7034 | 7046 | 7059 | 0.7071 | 45° | 2 | 4 | 6 |
45° | 0.7071 | 7083 | 7096 | 7108 | 7120 | 7133 | 7145 | 7157 | 7169 | 7181 | 7193 | 44° | 2 | 4 | 6 |
46° | 7193 | 7206 | 7218 | 7230 | 7242 | 7254 | 7266 | 7278 | 7290 | 7302 | 7314 | 43° | 2 | 4 | 6 |
47° | 7314 | 7325 | 7337 | 7349 | 7361 | 7373 | 7385 | 7396 | 7408 | 7420 | 7431 | 42° | 2 | 4 | 6 |
48° | 7431 | 7443 | 7455 | 7466 | 7478 | 7490 | 7501 | 7513 | 7524 | 7536 | 7547 | 41° | 2 | 4 | 6 |
49° | 7547 | 7559 | 7570 | 7581 | 7593 | 7604 | 7615 | 7627 | 7638 | 7649 | 0.7660 | 40° | 2 | 4 | 6 |
50° | 0.7660 | 7672 | 7683 | 7694 | 7705 | 7716 | 7727 | 7738 | 7749 | 7760 | 7771 | 39° | 2 | 4 | 6 |
51° | 7771 | 7782 | 7793 | 7804 | 7815 | 7826 | 7837 | 7848 | 7859 | 7869 | 7880 | 38° | 2 | 4 | 5 |
52° | 7880 | 7891 | 7902 | 7912 | 7923 | 7934 | 7944 | 7955 | 7965 | 7976 | 7986 | 37° | 2 | 4 | 5 |
53° | 7986 | 7997 | 8007 | 8018 | 8028 | 8039 | 8049 | 8059 | 8070 | 8080 | 8090 | 36° | 2 | 3 | 5 |
54° | 8090 | 8100 | 8111 | 8121 | 8131 | 8141 | 8151 | 8161 | 8171 | 8181 | 0.8192 | 35° | 2 | 3 | 5 |
55° | 0.8192 | 8202 | 8211 | 8221 | 8231 | 8241 | 8251 | 8261 | 8271 | 8281 | 8290 | 34° | 2 | 3 | 5 |
56° | 8290 | 8300 | 8310 | 8320 | 8329 | 8339 | 8348 | 8358 | 8368 | 8377 | 8387 | 33° | 2 | 3 | 5 |
57° | 8387 | 8396 | 8406 | 8415 | 8425 | 8434 | 8443 | 8453 | 8462 | 8471 | 8480 | 32° | 2 | 3 | 5 |
58° | 8480 | 8490 | 8499 | 8508 | 8517 | 8526 | 8536 | 8545 | 8554 | 8563 | 8572 | 31° | 2 | 3 | 5 |
59° | 8572 | 8581 | 8590 | 8599 | 8607 | 8616 | 8625 | 8634 | 8643 | 8652 | 0.8660 | 30° | 1 | 3 | 4 |
60° | 0.8660 | 8669 | 8678 | 8686 | 8695 | 8704 | 8712 | 8721 | 8729 | 8738 | 8746 | 29° | 1 | 3 | 4 |
61° | 8746 | 8755 | 8763 | 8771 | 8780 | 8788 | 8796 | 8805 | 8813 | 8821 | 8829 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 8829 | 8838 | 8846 | 8854 | 8862 | 8870 | 8878 | 8886 | 8894 | 8902 | 8910 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 8910 | 8918 | 8926 | 8934 | 8942 | 8949 | 8957 | 8965 | 8973 | 8980 | 8988 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 8988 | 8996 | 9003 | 9011 | 9018 | 9026 | 9033 | 9041 | 9048 | 9056 | 0.9063 | 25° | 1 | 3 | 4 |
65° | 0.9063 | 9070 | 9078 | 9085 | 9092 | 9100 | 9107 | 9114 | 9121 | 9128 | 9135 | 24° | 1 | 2 | 4 |
66° | 9135 | 9143 | 9150 | 9157 | 9164 | 9171 | 9178 | 9184 | 9191 | 9198 | 9205 | 23° | 1 | 2 | 3 |
67° | 9205 | 9212 | 9219 | 9225 | 9232 | 9239 | 9245 | 9252 | 9259 | 9256 | 9272 | 22° | 1 | 2 | 3 |
68° | 9272 | 9278 | 9285 | 9291 | 9298 | 9304 | 9311 | 9317 | 9323 | 9330 | 9336 | 21° | 1 | 2 | 3 |
69° | 9336 | 9342 | 9348 | 9354 | 9361 | 9367 | 9373 | 9379 | 9383 | 9391 | 0.9397 | 20° | 1 | 2 | 3 |
70° | 9397 | 9403 | 9409 | 9415 | 9421 | 9426 | 9432 | 9438 | 9444 | 9449 | 0.9455 | 19° | 1 | 2 | 3 |
71 °C | 9455 | 9461 | 9466 | 9472 | 9478 | 9483 | 9489 | 9494 | 9500 | 9505 | 9511 | 18° | 1 | 2 | 3 |
72° | 9511 | 9516 | 9521 | 9527 | 9532 | 9537 | 9542 | 9548 | 9553 | 9558 | 9563 | 17° | 1 | 2 | 3 |
73° | 9563 | 9568 | 9573 | 9578 | 9583 | 9588 | 9593 | 9598 | 9603 | 9608 | 9613 | 16° | 1 | 2 | 2 |
74° | 9613 | 9617 | 9622 | 9627 | 9632 | 9636 | 9641 | 9646 | 9650 | 9655 | 0.9659 | 15° | 1 | 2 | 2 |
75° | 9659 | 9664 | 9668 | 9673 | 9677 | 9681 | 9686 | 9690 | 9694 | 9699 | 9703 | 14° | 1 | 1 | 2 |
76° | 9703 | 9707 | 9711 | 9715 | 9720 | 9724 | 9728 | 9732 | 9736 | 9740 | 9744 | 13° | 1 | 1 | 2 |
77 °C | 9744 | 9748 | 9751 | 9755 | 9759 | 9763 | 9767 | 9770 | 9774 | 9778 | 9781 | 12° | 1 | 1 | 2 |
78° | 9781 | 9785 | 9789 | 9792 | 9796 | 9799 | 9803 | 9806 | 9810 | 9813 | 9816 | 11° | 1 | 1 | 2 |
79 °C | 9816 | 9820 | 9823 | 9826 | 9829 | 9833 | 9836 | 9839 | 9842 | 9845 | 0.9848 | 10° | 1 | 1 | 2 |
80° | 0.9848 | 9851 | 9854 | 9857 | 9860 | 9863 | 9866 | 9869 | 9871 | 9874 | 9877 | 9° | 0 | 1 | 1 |
81 °C | 9877 | 9880 | 9882 | 9885 | 9888 | 9890 | 9893 | 9895 | 9898 | 9900 | 9903 | 8° | 0 | 1 | 1 |
82° | 9903 | 9905 | 9907 | 9910 | 9912 | 9914 | 9917 | 9919 | 9921 | 9923 | 9925 | 7° | 0 | 1 | 1 |
83 °C | 9925 | 9928 | 9930 | 9932 | 9934 | 9936 | 9938 | 9940 | 9942 | 9943 | 9945 | 6° | 0 | 1 | 1 |
84 °C | 9945 | 9947 | 9949 | 9951 | 9952 | 9954 | 9956 | 9957 | 9959 | 9960 | 9962 | 5° | 0 | 1 | 1 |
85° | 9962 | 9963 | 9965 | 9966 | 9968 | 9969 | 9971 | 9972 | 9973 | 9974 | 9976 | 4° | 0 | 0 | 1 |
86° | 9976 | 9977 | 9978 | 9979 | 9980 | 9981 | 9982 | 9983 | 9984 | 9985 | 9986 | 3° | 0 | 0 | 0 |
87 °C | 9986 | 9987 | 9988 | 9989 | 9990 | 9990 | 9991 | 9992 | 9993 | 9993 | 9994 | 2° | 0 | 0 | 0 |
88° | 9994 | 9995 | 9995 | 9996 | 9996 | 9997 | 9997 | 9997 | 9998 | 9998 | 0.9998 | 1° | 0 | 0 | 0 |
89 °C | 9998 | 9999 | 9999 | 9999 | 9999 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 0° | 0 | 0 | 0 |
90° | 1.0000 | ||||||||||||||
hriech | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | cos | 1" | 2" | 3" |
Na nájdenie hodnôt sínusov a kosínusov uhlov, ktoré nie sú uvedené v tabuľke, je potrebné použiť korekcie.
Teraz uvádzame Bradisovu tabuľku pre tangens a kotangens. Obsahuje hodnoty tangens uhlov od 0 do 76 stupňov a kotangens uhlov od 14 do 90 stupňov.
Bradisova tabuľka pre tangens a kotangens
tg | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | ctg | 1" | 2" | 3" |
0 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0,000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89 °C | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0367 | 0384 | 0402 | 0419 | 0437 | 0454 | 0472 | 0489 | 0507 | 0524 | 87 °C | 3 | 6 | 9 |
3° | 0524 | 0542 | 0559 | 0577 | 0594 | 0612 | 0629 | 0647 | 0664 | 0682 | 0699 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0699 | 0717 | 0734 | 0752 | 0769 | 0787 | 0805 | 0822 | 0840 | 0857 | 0,0875 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0,0875 | 0892 | 0910 | 0928 | 0945 | 0963 | 0981 | 0998 | 1016 | 1033 | 1051 | 84 °C | 3 | 6 | 9 |
6° | 1051 | 1069 | 1086 | 1104 | 1122 | 1139 | 1157 | 1175 | 1192 | 1210 | 1228 | 83 °C | 3 | 6 | 9 |
7° | 1228 | 1246 | 1263 | 1281 | 1299 | 1317 | 1334 | 1352 | 1370 | 1388 | 1405 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1405 | 1423 | 1441 | 1459 | 1477 | 1495 | 1512 | 1530 | 1548 | 1566 | 1584 | 81 °C | 3 | 6 | 9 |
9° | 1584 | 1602 | 1620 | 1638 | 1655 | 1673 | 1691 | 1709 | 1727 | 1745 | 0,1763 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0,1763 | 1781 | 1799 | 1817 | 1835 | 1853 | 1871 | 1890 | 1908 | 1926 | 1944 | 79 °C | 3 | 6 | 9 |
11° | 1944 | 1962 | 1980 | 1998 | 2016 | 2035 | 2053 | 2071 | 2089 | 2107 | 2126 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2126 | 2144 | 2162 | 2180 | 2199 | 2217 | 2235 | 2254 | 2272 | 2290 | 2309 | 77 °C | 3 | 6 | 9 |
13° | 2309 | 2327 | 2345 | 2364 | 2382 | 2401 | 2419 | 2438 | 2456 | 2475 | 2493 | 76° | 3 | 6 | 9 |
14° | 2493 | 2512 | 2530 | 2549 | 2568 | 2586 | 2605 | 2623 | 2642 | 2661 | 0,2679 | 75° | 3 | 6 | 9 |
15° | 0,2679 | 2698 | 2717 | 2736 | 2754 | 2773 | 2792 | 2811 | 2830 | 2849 | 2867 | 74° | 3 | 6 | 9 |
16° | 2867 | 2886 | 2905 | 2924 | 2943 | 2962 | 2981 | 3000 | 3019 | 3038 | 3057 | 73° | 3 | 6 | 9 |
17° | 3057 | 3076 | 3096 | 3115 | 3134 | 3153 | 3172 | 3191 | 3211 | 3230 | 3249 | 72° | 3 | 6 | 10 |
18° | 3249 | 3269 | 3288 | 3307 | 3327 | 3346 | 3365 | 3385 | 3404 | 3424 | 3443 | 71 °C | 3 | 6 | 10 |
19° | 3443 | 3463 | 3482 | 3502 | 3522 | 3541 | 3561 | 3581 | 3600 | 3620 | 0,3640 | 70° | 3 | 7 | 10 |
20° | 0,3640 | 3659 | 3679 | 3699 | 3719 | 3739 | 3759 | 3779 | 3799 | 3819 | 3839 | 69° | 3 | 7 | 10 |
21° | 3839 | 3859 | 3879 | 3899 | 3919 | 3939 | 3959 | 3979 | 4000 | 4020 | 4040 | 68° | 3 | 7 | 10 |
22° | 4040 | 4061 | 4081 | 4101 | 4122 | 4142 | 4163 | 4183 | 4204 | 4224 | 4245 | 67° | 3 | 7 | 10 |
23° | 4245 | 4265 | 4286 | 4307 | 4327 | 4348 | 4369 | 4390 | 4411 | 4431 | 4452 | 66° | 3 | 7 | 10 |
24° | 4452 | 4473 | 4494 | 4515 | 4536 | 4557 | 4578 | 4599 | 4621 | 4642 | 0,4663 | 65° | 4 | 7 | 11 |
25° | 0,4663 | 4684 | 4706 | 4727 | 4748 | 4770 | 4791 | 4813 | 4834 | 4856 | 4877 | 64° | 4 | 7 | 11 |
26° | 4877 | 4899 | 4921 | 4942 | 4964 | 4986 | 5008 | 5029 | 5051 | 5073 | 5095 | 63° | 4 | 7 | 11 |
27° | 5095 | 5117 | 5139 | 5161 | 5184 | 5206 | 5228 | 5250 | 5272 | 5295 | 5317 | 62° | 4 | 7 | 11 |
28° | 5317 | 5340 | 5362 | 5384 | 5407 | 5430 | 5452 | 5475 | 5498 | 5520 | 5543 | 61° | 4 | 8 | 11 |
29° | 5543 | 5566 | 5589 | 5612 | 5635 | 5658 | 5681 | 5704 | 5727 | 5750 | 0,5774 | 60° | 4 | 8 | 12 |
30° | 0,5774 | 5797 | 5820 | 5844 | 5867 | 5890 | 5914 | 5938 | 5961 | 5985 | 6009 | 59° | 4 | 8 | 12 |
31° | 6009 | 6032 | 6056 | 6080 | 6104 | 6128 | 6152 | 6176 | 6200 | 6224 | 6249 | 58° | 4 | 8 | 12 |
32° | 6249 | 6273 | 6297 | 6322 | 6346 | 6371 | 6395 | 6420 | 6445 | 6469 | 6494 | 57° | 4 | 8 | 12 |
33° | 6494 | 6519 | 6544 | 6569 | 6594 | 6619 | 6644 | 6669 | 6694 | 6720 | 6745 | 56° | 4 | 8 | 13 |
34° | 6745 | 6771 | 6796 | 6822 | 6847 | 6873 | 6899 | 6924 | 6950 | 6976 | 0,7002 | 55° | 4 | 9 | 13 |
35° | 0,7002 | 7028 | 7054 | 7080 | 7107 | 7133 | 7159 | 7186 | 7212 | 7239 | 7265 | 54° | 4 | 8 | 13 |
36° | 7265 | 7292 | 7319 | 7346 | 7373 | 7400 | 7427 | 7454 | 7481 | 7508 | 7536 | 53° | 5 | 9 | 14° |
37° | 7536 | 7563 | 7590 | 7618 | 7646 | 7673 | 7701 | 7729 | 7757 | 7785 | 7813 | 52° | 5 | 9 | 14 |
38° | 7813 | 7841 | 7869 | 7898 | 7926 | 7954 | 7983 | 8012 | 8040 | 8069 | 8098 | 51° | 5 | 9 | 14 |
39° | 8098 | 8127 | 8156 | 8185 | 8214 | 8243 | 8273 | 8302 | 8332 | 8361 | 0,8391 | 50° | 5 | 10 | 15 |
40° | 0,8391 | 8421 | 8451 | 8481 | 8511 | 8541 | 8571 | 8601 | 8632 | 8662 | 0,8693 | 49° | 5 | 10 | 15 |
41° | 8693 | 8724 | 8754 | 8785 | 8816 | 8847 | 8878 | 8910 | 8941 | 8972 | 9004 | 48° | 5 | 10 | 16 |
42° | 9004 | 9036 | 9067 | 9099 | 9131 | 9163 | 9195 | 9228 | 9260 | 9293 | 9325 | 47° | 6 | 11 | 16 |
43° | 9325 | 9358 | 9391 | 9424 | 9457 | 9490 | 9523 | 9556 | 9590 | 9623 | 0,9657 | 46° | 6 | 11 | 17 |
44° | 9657 | 9691 | 9725 | 9759 | 9793 | 9827 | 9861 | 9896 | 9930 | 9965 | 1,0000 | 45° | 6 | 11 | 17 |
45° | 1,0000 | 0035 | 0070 | 0105 | 0141 | 0176 | 0212 | 0247 | 0283 | 0319 | 0355 | 44° | 6 | 12 | 18 |
46° | 0355 | 0392 | 0428 | 0464 | 0501 | 0538 | 0575 | 0612 | 0649 | 0686 | 0724 | 43° | 6 | 12 | 18 |
47° | 0724 | 0761 | 0799 | 0837 | 0875 | 0913 | 0951 | 0990 | 1028 | 1067 | 1106 | 42° | 6 | 13 | 19 |
48° | 1106 | 1145 | 1184 | 1224 | 1263 | 1303 | 1343 | 1383 | 1423 | 1463 | 1504 | 41° | 7 | 13 | 20 |
49° | 1504 | 1544 | 1585 | 1626 | 1667 | 1708 | 1750 | 1792 | 1833 | 1875 | 1,1918 | 40° | 7 | 14 | 21 |
50° | 1,1918 | 1960 | 2002 | 2045 | 2088 | 2131 | 2174 | 2218 | 2261 | 2305 | 2349 | 39° | 7 | 14 | 22 |
51° | 2349 | 2393 | 2437 | 2482 | 2527 | 2572 | 2617 | 2662 | 2708 | 2753 | 2799 | 38° | 8 | 15 | 23 |
52° | 2799 | 2846 | 2892 | 2938 | 2985 | 3032 | 3079 | 3127 | 3175 | 3222 | 3270 | 37° | 8 | 16 | 24 |
53° | 3270 | 3319 | 3367 | 3416 | 3465 | 3514 | 3564 | 3613 | 3663 | 3713 | 3764 | 36° | 8 | 16 | 25 |
54° | 3764 | 3814 | 3865 | 3916 | 3968 | 4019 | 4071 | 4124 | 4176 | 4229 | 1,4281 | 35° | 9 | 17 | 26 |
55° | 1,4281 | 4335 | 4388 | 4442 | 4496 | 4550 | 4605 | 4659 | 4715 | 4770 | 4826 | 34° | 9 | 18 | 27 |
56° | 4826 | 4882 | 4938 | 4994 | 5051 | 5108 | 5166 | 5224 | 5282 | 5340 | 5399 | 33° | 10 | 19 | 29 |
57° | 5399 | 5458 | 5517 | 5577 | 5637 | 5697 | 5757 | 5818 | 5880 | 5941 | 6003 | 32° | 10 | 20 | 30 |
58° | 6003 | 6066 | 6128 | 6191 | 6255 | 6319 | 6383 | 6447 | 6512 | 6577 | 6643 | 31° | 11 | 21 | 32 |
59° | 6643 | 6709 | 6775 | 6842 | 6909 | 6977 | 7045 | 7113 | 7182 | 7251 | 1,7321 | 30° | 11 | 23 | 34 |
60° | 1,732 | 1,739 | 1,746 | 1,753 | 1,760 | 1,767 | 1,775 | 1,782 | 1,789 | 1,797 | 1,804 | 29° | 1 | 2 | 4 |
61° | 1,804 | 1,811 | 1,819 | 1,827 | 1,834 | 1,842 | 1,849 | 1,857 | 1,865 | 1,873 | 1,881 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 1,881 | 1,889 | 1,897 | 1,905 | 1,913 | 1,921 | 1,929 | 1,937 | 1,946 | 1,954 | 1,963 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 1,963 | 1,971 | 1,980 | 1,988 | 1,997 | 2,006 | 2,014 | 2,023 | 2,032 | 2,041 | 2,05 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 2,050 | 2,059 | 2,069 | 2,078 | 2,087 | 2,097 | 2,106 | 2,116 | 2,125 | 2,135 | 2,145 | 25° | 2 | 3 | 5 |
65° | 2,145 | 2,154 | 2,164 | 2,174 | 2,184 | 2,194 | 2,204 | 2,215 | 2,225 | 2,236 | 2,246 | 24° | 2 | 3 | 5 |
66° | 2,246 | 2,257 | 2,267 | 2,278 | 2,289 | 2,3 | 2,311 | 2,322 | 2,333 | 2,344 | 2,356 | 23° | 2 | 4 | 5 |
67° | 2,356 | 2,367 | 2,379 | 2,391 | 2,402 | 2,414 | 2,426 | 2,438 | 2,450 | 2,463 | 2,475 | 22° | 2 | 4 | 6 |
68° | 2,475 | 2,488 | 2,5 | 2,513 | 2,526 | 2,539 | 2,552 | 2,565 | 2,578 | 2,592 | 2,605 | 21° | 2 | 4 | 6 |
69° | 2,605 | 2,619 | 2,633 | 2,646 | 2,66 | 2,675 | 2,689 | 2,703 | 2,718 | 2,733 | 2,747 | 20° | 2 | 5 | 7 |
70° | 2,747 | 2,762 | 2,778 | 2,793 | 2,808 | 2,824 | 2,840 | 2,856 | 2,872 | 2,888 | 2,904 | 19° | 3 | 5 | 8 |
71 °C | 2,904 | 2,921 | 2,937 | 2,954 | 2,971 | 2,989 | 3,006 | 3,024 | 3,042 | 3,06 | 3,078 | 18° | 3 | 6 | 9 |
72° | 3,078 | 3,096 | 3,115 | 3,133 | 3,152 | 3,172 | 3,191 | 3,211 | 3,230 | 3,251 | 3,271 | 17° | 3 | 6 | 10 |
73° | 3,271 | 3,291 | 3,312 | 3,333 | 3,354 | 3,376 | 3 | 7 | 10 | ||||||
3,398 | 3,42 | 3,442 | 3,465 | 3,487 | 16° | 4 | 7 | 11 | |||||||
74° | 3,487 | 3,511 | 3,534 | 3,558 | 3,582 | 3,606 | 4 | 8 | 12 | ||||||
3,630 | 3,655 | 3,681 | 3,706 | 3,732 | 15° | 4 | 8 | 13 | |||||||
75° | 3,732 | 3,758 | 3,785 | 3,812 | 3,839 | 3,867 | 4 | 9 | 13 | ||||||
3,895 | 3,923 | 3,952 | 3,981 | 4,011 | 14° | 5 | 10 | 14 | |||||||
tg | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | ctg | 1" | 2" | 3" |
Ako používať tabuľky Bradis
Zvážte Bradisovu tabuľku pre sínusy a kosínusy. Všetko, čo súvisí s dutinami, je hore a vľavo. Ak potrebujeme kosínusy, pozrite sa na pravú stranu v spodnej časti tabuľky.
Ak chcete nájsť hodnoty sínusu uhla, musíte nájsť priesečník riadku obsahujúceho požadovaný počet stupňov v bunke úplne vľavo a stĺpca obsahujúceho požadovaný počet minút v hornej bunke.
Ak presná hodnota uhla nie je v tabuľke Bradis, pristupujeme ku korekciám. Opravy na jednu, dve a tri minúty sú uvedené v stĺpcoch tabuľky úplne vpravo. Aby sme našli hodnotu sínusu uhla, ktorý nie je v tabuľke, nájdeme hodnotu, ktorá je mu najbližšie. Potom pridáme alebo odčítame korekciu zodpovedajúcu rozdielu medzi uhlami.
Ak hľadáme sínus uhla, ktorý je väčší ako 90 stupňov, musíme najprv použiť redukčné vzorce a až potom Bradisovu tabuľku.
Príklad. Ako používať Bradisov stôl
Povedzme, že potrebujeme nájsť sínus uhla 17 ° 44 ". Pomocou tabuľky zistíme, čomu sa rovná sínus 17 ° 42 " a k jeho hodnote pridáme korekciu o dve minúty:
17°44" - 17°42" = 2" (nutná korekcia) sin 17°44" = 0. 3040 + 0. 0006 = 0. 3046
Princíp práce s kosínusmi, tangentami a kotangens je podobný. Je však dôležité pamätať na znamenie dodatkov.
Dôležité!
Pri výpočte hodnôt sínusov má korekcia kladné znamienko a pri výpočte kosínusov sa korekcia musí brať so záporným znamienkom.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Ako vidíte, tento kruh je zostrojený v karteziánskom súradnicovom systéme. Polomer kruhu sa rovná jednej, zatiaľ čo stred kruhu leží v počiatku súradníc, počiatočná poloha vektora polomeru je pevná pozdĺž kladného smeru osi (v našom príklade je to polomer).
Každý bod na kruhu zodpovedá dvom číslam: súradnici osi a súradnici osi. Aké sú tieto súradnicové čísla? A vo všeobecnosti, čo majú spoločné s danou témou? Aby sme to dosiahli, musíme si pamätať na uvažovaný pravouhlý trojuholník. Na obrázku vyššie môžete vidieť dva celé pravouhlé trojuholníky. Zvážte trojuholník. Je obdĺžnikový, pretože je kolmý na os.
Čomu sa rovná trojuholník? To je správne. Okrem toho vieme, že ide o polomer jednotkovej kružnice, čo znamená . Dosaďte túto hodnotu do nášho vzorca pre kosínus. Čo sa stane:
Čomu sa rovná trojuholník? No, samozrejme,! Do tohto vzorca nahraďte hodnotu polomeru a získajte:
Viete teda povedať, aké súradnice má bod patriaci do kruhu? No v žiadnom prípade? Čo ak si to uvedomujete a sú to len čísla? Akej súradnici zodpovedá? No, samozrejme, súradnice! A akej súradnici to zodpovedá? Presne tak, súradnice! Teda bodka.
Čo teda sú a čomu sa rovnajú? Správne, použime zodpovedajúce definície tangens a kotangens a získajme to, a.
Čo ak je uhol väčší? Napríklad ako na tomto obrázku:
Čo sa zmenilo v tomto príklade? Poďme na to. Aby sme to urobili, otočme sa znova na pravouhlý trojuholník. Uvažujme pravouhlý trojuholník: uhol (ako susediaci s uhlom). Aké sú hodnoty sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre uhol? Správne, dodržiavame zodpovedajúce definície goniometrických funkcií:
No, ako vidíte, hodnota sínusu uhla stále zodpovedá súradnici; hodnota kosínusu uhla - súradnice; a hodnoty tangens a kotangens k príslušným pomerom. Tieto vzťahy teda platia pre akúkoľvek rotáciu vektora polomeru.
Už bolo spomenuté, že počiatočná poloha vektora polomeru je pozdĺž kladného smeru osi. Doteraz sme tento vektor otáčali proti smeru hodinových ručičiek, ale čo sa stane, ak ho otočíme v smere hodinových ručičiek? Nič mimoriadne, získate aj uhol určitej hodnoty, ale iba negatívny. Pri otáčaní vektora polomeru proti smeru hodinových ručičiek teda dostaneme kladné uhly a pri otáčaní v smere hodinových ručičiek - negatívne.
Takže vieme, že celá otáčka vektora polomeru okolo kruhu je alebo. Je možné otočiť vektor polomeru na alebo na? No, samozrejme, že môžete! V prvom prípade teda vektor polomeru urobí jednu celú otáčku a zastaví sa v polohe resp.
V druhom prípade, to znamená, že vektor polomeru vykoná tri plné otáčky a zastaví sa v polohe resp.
Z vyššie uvedených príkladov teda môžeme vyvodiť záver, že uhly, ktoré sa líšia o alebo (kde je akékoľvek celé číslo), zodpovedajú rovnakej polohe vektora polomeru.
Obrázok nižšie ukazuje uhol. Rovnaký obrázok zodpovedá rohu atď. Tento zoznam môže pokračovať donekonečna. Všetky tieto uhly možno zapísať všeobecným vzorcom alebo (kde je akékoľvek celé číslo)
Teraz, keď poznáte definície základných goniometrických funkcií a pomocou jednotkového kruhu, skúste odpovedať, aké sú hodnoty:
Tu je kruh jednotiek, ktorý vám pomôže:
Máte ťažkosti? Potom poďme na to. Takže vieme, že:
Odtiaľ určíme súradnice bodov zodpovedajúcich určitým mieram uhla. No, začnime po poriadku: uhol v zodpovedá bodu so súradnicami, preto:
Neexistuje;
Ďalej, pri dodržaní rovnakej logiky, zistíme, že rohy v zodpovedajú bodom so súradnicami, resp. S týmto vedomím je ľahké určiť hodnoty goniometrických funkcií v zodpovedajúcich bodoch. Najprv si to vyskúšajte a potom skontrolujte odpovede.
Odpovede:
Neexistuje
Neexistuje
Neexistuje
Neexistuje
Môžeme teda zostaviť nasledujúcu tabuľku:
Nie je potrebné si pamätať všetky tieto hodnoty. Stačí si zapamätať zhodu medzi súradnicami bodov na jednotkovej kružnici a hodnotami trigonometrických funkcií:
Ale hodnoty goniometrických funkcií uhlov v a uvedené v tabuľke nižšie, treba pamätať:
Nezľaknite sa, teraz vám ukážeme jeden príklad pomerne jednoduché zapamätanie zodpovedajúcich hodnôt:
Na použitie tejto metódy je dôležité zapamätať si hodnoty sínusu pre všetky tri miery uhla (), ako aj hodnotu tangens uhla. Keď poznáte tieto hodnoty, je celkom jednoduché obnoviť celú tabuľku - hodnoty kosínusu sa prenášajú v súlade so šípkami, to znamená:
Keď to viete, môžete obnoviť hodnoty pre. Čitateľ „ “ sa bude zhodovať a menovateľ „ “ sa bude zhodovať. Hodnoty kotangens sa prenášajú v súlade so šípkami uvedenými na obrázku. Ak tomu rozumiete a pamätáte si diagram so šípkami, bude stačiť zapamätať si všetky hodnoty z tabuľky.
Súradnice bodu na kružnici
Je možné nájsť bod (jeho súradnice) na kružnici, poznať súradnice stredu kružnice, jej polomer a uhol natočenia?
No, samozrejme, že môžete! Poďme na to všeobecný vzorec na zistenie súradníc bodu.
Napríklad tu je kruh pred nami:
Máme dané, že bod je stredom kruhu. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením bodu o stupne.
Ako je zrejmé z obrázku, súradnica bodu zodpovedá dĺžke segmentu. Dĺžka segmentu zodpovedá súradnici stredu kruhu, to znamená, že je rovnaká. Dĺžka segmentu môže byť vyjadrená pomocou definície kosínusu:
Potom to máme pre súradnicu bodu.
Pomocou rovnakej logiky nájdeme hodnotu súradnice y pre bod. teda
Vo všeobecnosti sú teda súradnice bodov určené vzorcami:
Súradnice stredu kruhu,
Polomer kruhu,
Uhol natočenia polomeru vektora.
Ako vidíte, pre jednotkový kruh, ktorý uvažujeme, sú tieto vzorce výrazne znížené, pretože súradnice stredu sa rovnajú nule a polomer sa rovná jednej:
Vyskúšame si tieto vzorce precvičovaním hľadania bodov na kruhu?
1. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej rotáciou bodu ďalej.
2. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej otočením bodu ďalej.
3. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej otočením bodu ďalej.
4. Bod je stred kružnice. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením vektora počiatočného polomeru o.
5. Bod je stred kružnice. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením vektora počiatočného polomeru o.
Máte problém nájsť súradnice bodu na kruhu?
Vyriešte týchto päť príkladov (alebo sa zdokonalte v ich riešení) a naučíte sa ich nájsť!
1.
Môžete si to všimnúť. Vieme však, čo zodpovedá úplnej revolúcii východiskového bodu. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri otáčaní. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:
2. Jednotkový kruh je vycentrovaný v bode, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:
Môžete si to všimnúť. Vieme, čo zodpovedá dvom úplným otáčkam východiskového bodu. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri otáčaní. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:
Sínus a kosínus sú tabuľkové hodnoty. Pripomíname si ich význam a dostávame:
Požadovaný bod má teda súradnice.
3. Jednotkový kruh je vycentrovaný v bode, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:
Môžete si to všimnúť. Znázornime príslušný príklad na obrázku:
Polomer vytvára uhly rovnaké s osou as osou. Keď vieme, že tabuľkové hodnoty kosínusu a sínusu sú rovnaké, a keď sme určili, že kosínus tu má zápornú hodnotu a sínus má kladnú hodnotu, máme:
Takéto príklady sú podrobnejšie diskutované pri štúdiu vzorcov na zníženie goniometrických funkcií v téme.
Požadovaný bod má teda súradnice.
4.
Uhol natočenia polomeru vektora (podľa podmienky)
Na určenie zodpovedajúcich znamienok sínusu a kosínusu zostrojíme jednotkový kruh a uhol:
Ako vidíte, hodnota, to jest, je kladná a hodnota, teda záporná. Keď poznáme tabuľkové hodnoty zodpovedajúcich goniometrických funkcií, získame, že:
Nahraďte získané hodnoty do nášho vzorca a nájdime súradnice:
Požadovaný bod má teda súradnice.
5. Na vyriešenie tohto problému používame vzorce vo všeobecnom tvare, kde
Súradnice stredu kruhu (v našom príklade
Polomer kruhu (podľa podmienky)
Uhol natočenia polomeru vektora (podľa podmienky).
Nahraďte všetky hodnoty do vzorca a získame:
a - tabuľkové hodnoty. Zapamätáme si ich a dosadíme do vzorca:
Požadovaný bod má teda súradnice.
SÚHRN A ZÁKLADNÉ VZORCE
Sínus uhla je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.
Kosínus uhla je pomer priľahlého (blízkeho) ramena k prepone.
Tangenta uhla je pomer protiľahlej (vzdialenej) strany k susednej (blízkej) strane.
Kotangens uhla je pomer priľahlej (blízkej) strany k opačnej (vzdialenej) strane.
Nájdite uhol podľa sínusu
Máme teda možnosť vypočítať sínus ľubovoľného uhla od 0 do 90° e na dve desatinné miesta. Nie je potrebný hotový stôl; pre približné výpočty si ho môžeme vždy zostaviť sami, ak chceme.
Ale na vyriešenie goniometrických úloh musíte byť schopní urobiť opak – vypočítať uhly z daného sínusu. To je tiež jednoduché. Predpokladajme, že potrebujete nájsť uhol, ktorého sínus sa rovná 0,38. Pretože tento sínus je menší ako 0,5, požadovaný uhol je menší ako 30°. Ale je väčší ako 15°, keďže sin 15°, vieme, sa rovná 0,26. Aby sme našli tento uhol, ktorý leží medzi 15 a 30°, postupujeme tak, ako bolo vysvetlené vyššie:
Požadovaný uhol je teda približne 22,5°. Ďalší príklad: nájdite uhol, ktorého sínus je 0,62.
Požadovaný uhol je približne 38,6°.
Nakoniec tretí príklad: nájdite uhol, ktorého sínus je 0,91.
Pretože tento sínus leží medzi 0,71 a 1, požadovaný uhol leží medzi 45° a 90°. Na: obr. 91 slnko je sínus uhla L ak VA= 1. Vedieť slnko,ľahké nájsť sínus uhla IN:
Teraz nájdime uhol IN, ktorého sínus je 0,42; potom bude ľahké nájsť uhol A rovný 90° - IN.
Pretože 0,42 leží medzi 0,26 a 0,5, potom je uhol IN leží medzi 15° a 30°, je definovaný takto:
A preto uhol A = 90° - B = 90° - 25° = 65°.
Teraz sme plne vybavení na približné riešenie goniometrických problémov, keďže vieme nájsť sínusy z uhlov a uhly zo sínusov s presnosťou dostatočnou na účely poľa.
Stačí však na to samotný sínus? Nepotrebujeme zvyšok goniometrických funkcií – kosínus, tangens atď.? Teraz si na niekoľkých príkladoch ukážeme, že pre našu zjednodušenú trigonometriu si úplne vystačíme len so sínusom.
Príklady:
\(\sin(30^°)=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\sin\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\sin2=0,909…\)
Argument a zmysel
Sínus ostrého uhla
Sínus ostrého uhla možno určiť pomocou pravouhlého trojuholníka - rovná sa pomeru opačnej strany k prepone.
Príklad :
1) Nech je daný uhol a musíte určiť sínus tohto uhla.
2) Dotvorme ľubovoľný pravouhlý trojuholník na tomto uhle.
3) Po zmeraní požadovaných strán môžeme vypočítať \(sinA\).
Sínus čísla
Číselný kruh vám umožňuje určiť sínus ľubovoľného čísla, ale zvyčajne nájdete sínus čísel nejako súvisiaci s: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).
Napríklad pre číslo \(\frac(π)(6)\) - sínus sa bude rovnať \(0,5\). A pre číslo \(-\)\(\frac(3π)(4)\) sa bude rovnať \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (približne \ (-0,71\)).
Sínus pre ostatné čísla, s ktorými sa v praxi často stretávame, pozri.
Sínusová hodnota vždy leží v rozsahu od \(-1\) do \(1\). Navyše sa dá vypočítať pre absolútne akýkoľvek uhol a číslo.
Sínus ľubovoľného uhla
Vďaka jednotkovej kružnici je možné určiť goniometrické funkcie nielen ostrého uhla, ale aj tupého, záporného a dokonca väčšieho ako \(360°\) (plná otáčka). Ako to urobiť, je jednoduchšie raz vidieť ako \(100\) krát počuť, preto sa pozrite na obrázok.
Teraz vysvetlenie: musíme definovať \(sin∠KOA\) mierou stupňa v \(150°\). Kombinácia bodu O so stredom kruhu a stranou OK– s osou \(x\). Potom odložte \(150°\) proti smeru hodinových ručičiek. Potom ordináta bodu A nám ukáže \(\sin∠KOA\).
Ak nás zaujíma uhol s mierou stupňov, napríklad v \(-60°\) (uhol KOV), urobíme to isté, ale nastavíme \(60°\) v smere hodinových ručičiek.
A nakoniec, uhol je väčší ako \(360°\) (uhol CBS) - všetko je podobné hlúpemu, iba keď ideme v smere hodinových ručičiek o celú otáčku, ideme do druhého kruhu a „získame nedostatok stupňov“. Konkrétne v našom prípade je uhol \(405°\) vynesený ako \(360° + 45°\).
Je ľahké uhádnuť, že na vykreslenie uhla, napríklad v \(960°\), musíte urobiť dve otáčky (\(360°+360°+240°\)) a pre uhol v \(2640 °\) - celá sedem.
Ako by ste mohli nahradiť, sínus čísla aj sínus ľubovoľného uhla sú definované takmer identicky. Zmení sa iba spôsob nájdenia bodu na kruhu.
Vzťah k iným goniometrickým funkciám:
Funkcia \(y=\sinx\)
Ak vykreslíme uhly v radiánoch pozdĺž osi \(x\) a sínusové hodnoty zodpovedajúce týmto uhlom pozdĺž osi \(y\), dostaneme nasledujúci graf:
Tento graf sa nazýva sínusová vlna a má nasledujúce vlastnosti:
Oblasť definície je ľubovoľná hodnota x: \(D(\sinx)=R\)
- rozsah hodnôt – od \(-1\) do \(1\) vrátane: \(E(\sinx)=[-1;1]\)
- nepárne: \(\sin(-x)=-\sinx\)
- periodické s bodkou \(2π\): \(\sin(x+2π)=\sinx\)
- priesečníky so súradnicovými osami:
os x: \((πn;0)\), kde \(n ϵ Z\)
Os y: \((0;0)\)
- intervaly stálosti znamienka:
funkcia je kladná na intervaloch: \((2πn;π+2πn)\), kde \(n ϵ Z\)
funkcia je záporná na intervaloch: \((π+2πn;2π+2πn)\), kde \(n ϵ Z\)
- intervaly nárastu a poklesu:
funkcia rastie v intervaloch: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn)\ ), kde \(n ϵ Z\)
funkcia klesá v intervaloch: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\) , kde \(n ϵ Z\)
- maximá a minimá funkcie:
funkcia má maximálnu hodnotu \(y=1\) v bodoch \(x=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn\), kde \(n ϵ Z\)
funkcia má minimálnu hodnotu \(y=-1\) v bodoch \(x=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn\), kde \(n ϵ Z\) .