Základné pojmy

V rámci problematiky merania uhlov sa v tejto časti budeme zaoberať niekoľkými pojmami súvisiacimi s počiatočnými geometrickými informáciami:

• roh;
• rozvinutý a nerozvinutý uhol;
• stupeň, minúta a sekunda;
• miera stupňa uhla;
• pravý, ostrý a tupý uhol.

Uhol je geometrický útvar, ktorý pozostáva z bodu (vrcholu) a dvoch lúčov (strany), ktoré z neho vychádzajú. Uhol sa nazýva rozvinutý, ak oba lúče ležia na rovnakej priamke.

Vďaka mierke uhla je možné merať uhly. Meranie uhlov sa vykonáva podobne ako pri meraní segmentov. Rovnako ako pri meraní segmentov, aj pri meraní uhlov sa používa špeciálna jednotka merania. Najčastejšie ide o titul.

Definícia 1

Stupeň je merná jednotka. V geometrii predstavuje uhol, s ktorým sa porovnávajú ostatné uhly. Stupeň sa rovná $\frac(1)(180)$ z priameho uhla.

Teraz môžeme definovať mieru uhla.

Definícia 2

Miera stupňa uhla je kladné číslo, ktoré udáva, koľkokrát je stupeň umiestnený v danom uhle.

Na meranie uhlov sa používa uhlomer.

Príklad zápisu miery: $\uhol ABC = 150^(\circ)$. Na obrázku tento záznam znamená nasledovné:

Ústne hovoria toto: "Uhol ABC je 150 stupňov."

Niektoré časti stupňa majú svoje špeciálne názvy. Minúta je $\frac(1)(60)$ časť stupňa, označená znakom $"$. Sekunda je $\frac(1)(60)$ časť minúty, označená $" "$. Príklad zápisu uhla v 75 stupňoch, 45 minútach a 28 sekundách: $75^(\circ)45"28""$.

Tie uhly, ktorých miery sú rovnaké, sa nazývajú rovnaké. Podľa toho možno uhly porovnať tak, že jeden uhol je menší ako druhý alebo jeden uhol je väčší ako druhý.

Definícia natočeného uhla bola uvedená vyššie. Pomocou pojmu miera stupňa môžeme popísať rozdiel medzi rozvinutým a nerozvinutým uhlom. Obrátený uhol je vždy $180^(\circ)$. Nerozvinutý uhol je akýkoľvek uhol menší ako $180^(\circ)$.

Existujú pravé, ostré a tupé uhly. Pravý uhol sa rovná $90^(\circ)$, ostrý uhol je menší ako $90^(\circ)$, tupý uhol je väčší ako $90^(\circ)$ a menší ako $180^(\circ) $.

Obrázok 4. Pravý, ostrý a tupý uhol. Author24 - online výmena študentských prác

V každodennom živote existujú príklady potreby a dôležitosti schopnosti merať uhly a porozumieť stupňom. Meranie uhlov je potrebné v rôznych štúdiách, vrátane astronómie pri určovaní polohy nebeských telies.

Skúste si na precvičenie nakresliť rôznymi spôsobmi aspoň tri rozložené uhly a jeden rozložený, zmerajte uhly pomocou uhlomeru a tieto výsledky si zapíšte. Môžete nastaviť náhodné čísla a precvičiť si presnosť kreslenia uhlov pomocou uhlomeru a ich delenia pomocou osy (osia je lúč vychádzajúci z vrcholu daného uhla a deliaci uhol na polovicu).

Vzorové problémy

Príklad 1

Úloha. Je tam nákres:

Lúče $DE$ a $DF$ sú osy zodpovedajúcich uhlov $ADB$ a $BDC$. Musíte nájsť uhol $ADC$, ak $\uhol EDF = 75^(\circ)$.

Riešenie. Keďže uhol $EDF$ obsahuje polovicu každého uhla $ADB$ a $BDC$, môžeme dospieť k záveru, že $EDF$ je presne polovica samotného uhla $ADC$. Získame jednoduché výpočty: $\uhol ADC=75\cdot 2=150^(\circ)$.

Odpoveď: $150^(\circ)$.

Uveďme ďalší zaujímavý príklad.

Príklad 2

Úloha. Je uvedený nákres.

Uhol $ABC$ je správny. Uhly $ABE$, $EBD$ a $DBC$ sú rovnaké. Musíte nájsť uhol, ktorý tvoria osy $ABE$ a $DBC$.

Riešenie. Keďže $ABC$ je pravý uhol, znamená to, že sa rovná $90^(\circ)$. Uhol $\uhol EBD=90/3=30^(\circ)$. Keďže uhly $ABE$, $EBD$ a $DBC$ sú rovnaké, každý z nich sa bude rovnať $30^(\circ)$. Osa ktoréhokoľvek z týchto uhlov rozdelí ktorýkoľvek z týchto uhlov na dva uhly rovné $15^(\circ)$. Keďže dve polovice uhlov $ABE$ a $DBC$ patria do požadovaného uhla, môžeme povedať, že požadovaný uhol sa rovná $30+15+15=60^(\circ)$.

Odpoveď. 60 $^(\circ)$

V tomto článku sme sa plne venovali problematike mierky uhla a spôsobu merania uhlov.

Ako nájsť mieru uhla?

Pre mnohých ľudí v škole je geometria skutočným testom. Jedným zo základných geometrických tvarov je uhol. Tento pojem znamená dva lúče, ktoré vychádzajú z toho istého bodu. Na meranie hodnoty (veľkosti) uhla sa používajú stupne alebo radiány. Ako nájsť mieru uhla sa dozviete v našom článku.

Typy uhlov

Povedzme, že máme uhol pohľadu. Ak ho roztiahneme do priamky, jeho hodnota sa bude rovnať 180 stupňom. Takýto uhol sa nazýva otočený uhol a 1/180 jeho časti sa považuje za jeden stupeň.

Okrem priameho uhla existujú aj ostré (menej ako 90 stupňov), tupé (viac ako 90 stupňov) a pravé uhly (rovnajúce sa 90 stupňov). Tieto výrazy sa používajú na charakterizáciu miery uhla.

Meranie uhla

Uhol sa meria pomocou uhlomeru. Ide o špeciálne zariadenie, na ktorom je už polkruh rozdelený na 180 častí. Položte uhlomer na roh tak, aby sa jedna zo strán rohu zhodovala so spodnou časťou uhlomeru. Druhý lúč musí pretínať oblúk uhlomeru. Ak sa tak nestane, odstráňte uhlomer a pomocou pravítka predĺžte lúč. Ak sa uhol „otvorí“ napravo od vrcholu, jeho hodnota sa odčíta na hornej stupnici, ak doľava - na spodnej.

V sústave SI je zvykom merať veľkosť uhla v radiánoch, a nie v stupňoch. Do rozloženého uhla sa zmestí len 3,14 radiánu, takže táto hodnota je nepohodlná a v praxi sa takmer vôbec nepoužíva. Preto musíte vedieť, ako previesť radiány na stupne. Existuje na to vzorec:

• Stupne = radiány/π x 180

Napríklad uhol je 1,6 radiánu. Previesť na stupne: 1,6/3,14 * 180 = 92

Vlastnosti rohov

Teraz viete, ako merať a prepočítať stupne uhlov. Na riešenie problémov však potrebujete poznať aj vlastnosti uhlov. K dnešnému dňu boli sformulované tieto axiómy:

• Akýkoľvek uhol môže byť vyjadrený v stupňoch väčších ako nula. Veľkosť natočeného uhla je 360.
• Ak sa uhol skladá z niekoľkých uhlov, potom sa jeho miera stupňov rovná súčtu všetkých uhlov.
• V danej polrovine je možné z akéhokoľvek lúča zostrojiť uhol danej hodnoty, menší ako 180 stupňov, a len jeden.
• Hodnoty rovnakých uhlov sú rovnaké.
• Ak chcete pridať dva uhly, musíte pridať ich hodnoty.

Pochopenie týchto pravidiel a vedieť, ako merať uhly, je kľúčom k úspešnému učeniu geometrie.

Uhol je útvar, ktorý sa skladá z bodu - vrcholu uhla a dvoch rôznych polpriamok vychádzajúcich z tohto bodu - strán uhla (obr. 14). Ak sú strany uhla komplementárne polpriamky, potom sa uhol nazýva rozvinutý uhol.

Uhol je označený buď označením jeho vrcholu, alebo označením jeho strán, alebo označením troch bodov: vrcholu a dvoch bodov na stranách uhla. Slovo „uhol“ sa niekedy nahrádza

Symbol uhla na obrázku 14 možno označiť tromi spôsobmi:

Lúč c prechádza medzi stranami uhla, ak vychádza z jeho vrcholu a pretína nejaký segment s koncami na stranách uhla.

Na obrázku 15 prechádza lúč c medzi stranami uhla, keď pretína segment

V prípade priameho uhla každý lúč vychádzajúci z jeho vrcholu a odlišný od jeho strán prechádza medzi stranami uhla.

Uhly sa merajú v stupňoch. Ak vezmete rovný uhol a rozdelíte ho na 180 rovnakých uhlov, miera každého z týchto uhlov sa nazýva stupeň.

Základné vlastnosti merania uhla sú vyjadrené v nasledujúcej axióme:

Každý uhol má určitý stupeň väčší ako nula. Uhol otočenia je 180°. Miera stupňov uhla sa rovná súčtu mier stupňov uhlov, na ktoré je rozdelený ľubovoľným lúčom prechádzajúcim medzi jeho stranami.

To znamená, že ak lúč c prechádza medzi stranami uhla, potom sa uhol rovná súčtu uhlov

Stupňová miera uhla sa zistí pomocou uhlomeru.

Uhol rovný 90° sa nazýva pravý uhol. Uhol menší ako 90° sa nazýva ostrý uhol. Uhol väčší ako 90° a menší ako 180° sa nazýva tupý.

Formulujme hlavnú vlastnosť odloženia rohov.

Z ľubovoľnej polpriamky môžete do danej polroviny umiestniť uhol s danou mierou stupňov menší ako 180° a iba jeden.

Zvážte polpriamku a. Predĺžme ju za začiatočný bod A. Výsledná priamka rozdelí rovinu na dve polroviny. Obrázok 16 ukazuje, ako pomocou uhlomeru nakresliť uhol s danou mierou 60° od polpriamky k hornej polrovine.

T. 1. 2. Ak sa dva uhly z danej polpriamky dajú do jednej polroviny, potom strana menšieho uhla, odlišná od danej polpriamky, prechádza medzi stranami väčšieho uhla.

Nech sú uhly odložené z danej polpriamky a do jednej polroviny a nech je uhol menší ako uhol . Veta 1. 2 hovorí, že lúč prechádza medzi stranami uhla (obr. 17).

Osa uhla je lúč, ktorý vychádza z jeho vrcholu, prechádza medzi stranami a delí uhol na polovicu. Na obrázku 18 je lúč osou uhla

V geometrii existuje pojem rovinného uhla. Rovinný uhol je časť roviny ohraničená dvoma rôznymi lúčmi vychádzajúcimi z jedného bodu. Tieto lúče sa nazývajú strany uhla. Existujú dva rovinné uhly s danými stranami. Nazývajú sa dodatočné. Na obrázku 19 je jeden z rovinných uhlov so stranami a a vytieňovaný.

Prednáška: Veľkosť uhla, miera uhla, súlad medzi veľkosťou uhla a dĺžkou oblúka kruhu

Meranie uhla je veľkosť, o ktorú sa lúč odchýli od svojej pôvodnej polohy.

Mieru uhla možno merať v dvoch veličinách: stupňoch a radiánoch, odtiaľ názov jednotiek - miera stupňa a radiánu uhla.

Miera stupňa uhla

Miera stupňov umožňuje odhadnúť, koľko stupňov, minút alebo sekúnd je umiestnených v určitom uhle.

Uhly v stupňoch sú vypočítané z hľadiska, že plné otočenie lúča je 360°. Pol otáčky o 180° je rovný uhol, štvrtina - 90° je pravý uhol atď.

Radiánová miera uhla

Teraz poďme zistiť, aká je radiánová miera uhla. Ako vieme z fyziky, existujú ďalšie jednotky. Napríklad na meranie teploty je hlavnou jednotkou Kelvin a doplnkovou jednotkou je Celzia. Na meranie dĺžky používame metre, ale Briti používajú stopy. Tento zoznam pokračuje ďalej a ďalej. Ide o to, aby ste pochopili, že okrem mierky uhla existuje aj miera radiánov, ktorá má tiež právo na existenciu.

Na určenie radiánovej miery uhla sa používa kruh. Predpokladá sa, že radiánová miera je dĺžka oblúka kružnice opísanej stredovým uhlom.

Pripomeňme si, že stredový uhol je uhol, ktorého vrchol je v strede kruhu a lúče spočívajú na nejakom oblúku.

Takže uhol 1 rad má mieru stupňa 57,3°. Radiánová miera uhla je opísaná buď prirodzenými číslami alebo pomocou čísla π ≈ 3.14.

Pre geometriu je vhodnejšie použiť mieru uhla, ale pre trigonometriu používajú radiánovú mieru.

Matematika, geometria – tieto vedy, ako aj väčšina iných exaktných vied, sú pre mnohých mimoriadne ťažké. Ľudia ťažko chápu vzorce a podivnú terminológiu. Čo sa skrýva pod týmto zvláštnym pojmom?

Definícia

Na začiatok musíte jednoducho zvážiť mieru uhla. K tomu pomôže obraz lúča a priamky. Najprv musíte nakresliť napríklad vodorovnú priamku. Potom sa lúč nakreslí z jeho prvého bodu, nie rovnobežného s priamkou. Medzi priamkou a lúčom sa teda objaví určitá vzdialenosť, malý uhol. Miera uhla je veľkosť práve tejto rotácie lúča.

Tento pojem označuje určitú digitálnu hodnotu, ktorá bude väčšia ako nula. Vyjadruje sa v stupňoch, ako aj jeho zložky, teda minúty a sekundy. Počet stupňov, ktoré zapadajú do uhla medzi lúčom a priamkou, bude mierou stupňov.

Vlastnosti rohov

• Absolútne každý uhol bude mať určitý stupeň.
• Ak je plne nasadený, číslo bude 180 stupňov.
• Na nájdenie mierky stupňov sa berie do úvahy súčet všetkých uhlov zlomených lúčom.
• Pomocou ľubovoľného lúča môžete vytvoriť polrovinu, v ktorej môžete skutočne vytvoriť uhol. Bude mať mieru stupňov, ktorých hodnota bude menšia ako 180 a môže existovať iba jeden takýto uhol.

Ako zistiť mieru uhla?

Minimálna miera stupňa je spravidla 1 stupeň, čo je 1/180 natočeného uhla. Niekedy však nemôžete získať takú jasnú postavu. V týchto prípadoch sa používajú sekundy a minúty.

Po nájdení je možné hodnotu previesť na stupne, čím sa získa zlomok stupňa. Niekedy sa používajú zlomkové čísla, napríklad 80,7 stupňa.

Je tiež dôležité pamätať na kľúčové množstvá. Pravý uhol bude vždy 90 stupňov. Ak je miera väčšia, potom sa bude považovať za tupú, a ak je menšia, potom za ostrú.