Rovnica dotyčnice v 2 bodoch. Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie – Znalostný hypermarket

Téme „Uhlový koeficient dotyčnice ako dotyčnica uhla sklonu“ je v certifikačnej skúške zadaných niekoľko úloh. V závislosti od ich stavu môže byť absolvent požiadaný o poskytnutie úplnej alebo krátkej odpovede. Pri príprave na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky by si mal študent určite zopakovať úlohy, ktoré vyžadujú výpočet sklonu dotyčnice.

Pomôže vám v tom vzdelávací portál Shkolkovo. Naši špecialisti pripravili a prezentovali teoretický a praktický materiál čo najdostupnejším spôsobom. Po oboznámení sa s ním budú absolventi akejkoľvek úrovne vzdelania schopní úspešne riešiť problémy súvisiace s deriváciami, v ktorých je potrebné nájsť tangens tangensového uhla.

Základné momenty

Na nájdenie správneho a racionálneho riešenia takýchto úloh v Jednotnej štátnej skúške je potrebné zapamätať si základnú definíciu: derivácia predstavuje rýchlosť zmeny funkcie; rovná sa dotyčnici dotyčnicového uhla nakresleného ku grafu funkcie v určitom bode. Rovnako dôležité je dokončiť výkres. Umožní vám nájsť správne riešenie problémov USE na derivácii, v ktorej musíte vypočítať tangens tangensového uhla. Pre prehľadnosť je najlepšie vykresliť graf na rovine OXY.

Ak ste sa už oboznámili so základným materiálom na tému derivácií a ste pripravení začať riešiť problémy s výpočtom dotyčnice uhla dotyčnice, podobne ako úlohy Jednotnej štátnej skúšky, môžete to urobiť online. Ku každej úlohe, napríklad úlohám na tému „Vzťah derivácie s rýchlosťou a zrýchlením telesa“, sme zapísali správnu odpoveď a algoritmus riešenia. Študenti si zároveň môžu precvičiť vykonávanie úloh rôznej úrovne zložitosti. V prípade potreby je možné cvičenie uložiť do časti „Obľúbené“, aby ste neskôr mohli prediskutovať riešenie s učiteľom.

Článok poskytuje podrobné vysvetlenie definícií, geometrický význam derivátu s grafickými zápismi. Rovnica dotyčnice bude uvažovaná s príkladmi, nájde sa rovnica dotyčnice ku krivkám 2. rádu.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definícia 1

Uhol sklonu priamky y = k x + b sa nazýva uhol α, ktorý sa meria od kladného smeru osi x k priamke y = k x + b v kladnom smere.

Na obrázku je smer x označený zelenou šípkou a zeleným oblúkom a uhol sklonu červeným oblúkom. Modrá čiara označuje priamku.

Definícia 2

Sklon priamky y = k x + b sa nazýva číselný koeficient k.

Uhlový koeficient sa rovná dotyčnici priamky, inými slovami k = t g α.

Uhol sklonu priamky sa rovná 0 iba vtedy, ak je rovnobežná s x a sklon je rovný nule, pretože dotyčnica nuly sa rovná 0. To znamená, že tvar rovnice bude y = b.
Ak je uhol sklonu priamky y = k x + b ostrý, potom sú splnené podmienky 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 a v grafe je nárast.
Ak α = π 2, potom je umiestnenie priamky kolmé na x. Rovnosť je určená x = c, pričom hodnota c je reálne číslo.
Ak je uhol sklonu priamky y = k x + b tupý, potom zodpovedá podmienkam π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Definícia 3

Sekanta je priamka, ktorá prechádza cez 2 body funkcie f (x). Inými slovami, sečna je priamka, ktorá prechádza cez ľubovoľné dva body na grafe danej funkcie.

Obrázok ukazuje, že A B je sečna a f (x) je čierna krivka, α je červený oblúk označujúci uhol sklonu sečny.

Keď sa uhlový koeficient priamky rovná dotyčnici uhla sklonu, je zrejmé, že dotyčnicu pravouhlého trojuholníka A B C možno nájsť pomerom protiľahlej strany k susednej.

Definícia 4

Dostaneme vzorec na nájdenie sekantu formulára:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, kde úsečky bodov A a B sú hodnoty x A, x B a f (x A), f (x B) sú funkcie hodnôt v týchto bodoch.

Je zrejmé, že uhlový koeficient sečnice sa určuje pomocou rovnosti k = f (x B) - f (x A) x B - x A alebo k = f (x A) - f (x B) x A - x B , pričom rovnicu treba zapísať ako y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) resp.
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B).

Secant rozdeľuje graf vizuálne na 3 časti: naľavo od bodu A, od A do B, napravo od B. Obrázok nižšie ukazuje, že existujú tri sečeny, ktoré sa považujú za zhodné, to znamená, že sú nastavené pomocou podobná rovnica.

Podľa definície je jasné, že priamka a jej sečna sa v tomto prípade zhodujú.

Secant môže pretínať graf danej funkcie viackrát. Ak pre sečnicu existuje rovnica v tvare y = 0, potom je počet priesečníkov so sínusoidou nekonečný.

Definícia 5

Tangenta ku grafu funkcie f (x) v bode x 0 ; f (x 0) je priamka prechádzajúca daným bodom x 0; f (x 0), s prítomnosťou segmentu, ktorý má veľa hodnôt x blízkych x 0.

Príklad 1

Pozrime sa bližšie na príklad nižšie. Potom je jasné, že priamku definovanú funkciou y = x + 1 považujeme za dotyčnicu k y = 2 x v bode so súradnicami (1; 2). Pre prehľadnosť je potrebné zvážiť grafy s hodnotami blízkymi (1; 2). Funkcia y = 2 x je znázornená čiernou farbou, modrá čiara je dotyčnica a červená bodka je priesečník.

Je zrejmé, že y = 2 x sa spája s čiarou y = x + 1.

Na určenie dotyčnice by sme mali zvážiť správanie dotyčnice A B, keď sa bod B nekonečne približuje k bodu A. Pre prehľadnosť uvádzame nákres.

Sečna A B označená modrou čiarou smeruje k polohe samotnej dotyčnice a uhol sklonu sečny α sa začne približovať k uhlu sklonu samotnej dotyčnice α x.

Definícia 6

Dotyčnica ku grafu funkcie y = f (x) v bode A sa považuje za limitnú polohu sečny A B, keďže B smeruje k A, teda k B → A.

Teraz prejdime k uvažovaniu o geometrickom význame derivácie funkcie v bode.

Prejdime k uvažovaniu sečnice A B pre funkciu f (x), kde A a B so súradnicami x 0, f (x 0) a x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) a ∆ x je označené ako prírastok argumentu . Teraz bude mať funkcia tvar ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Pre názornosť uveďme príklad kresby.

Uvažujme výsledný pravouhlý trojuholník A B C. Na riešenie použijeme definíciu dotyčnice, to znamená, že získame vzťah ∆ y ∆ x = t g α . Z definície dotyčnice vyplýva, že lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Podľa pravidla o derivácii v bode máme, že derivácia f (x) v bode x 0 sa nazýva limita pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, kde ∆ x → 0 , potom to označíme ako f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Z toho vyplýva, že f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, kde k x je označená ako sklon dotyčnice.

To znamená, že zistíme, že f ' (x) môže existovať v bode x 0 a podobne ako dotyčnica k danému grafu funkcie v bode dotyku rovnajúcemu sa x 0, f 0 (x 0), kde hodnota sklon dotyčnice v bode sa rovná derivácii v bode x 0 . Potom dostaneme, že k x = f " (x 0) .

Geometrický význam derivácie funkcie v bode je, že dáva koncept existencie dotyčnice ku grafu v rovnakom bode.

Na napísanie rovnice akejkoľvek priamky na rovine je potrebné mať uhlový koeficient s bodom, ktorým prechádza. Jeho zápis sa berie ako x 0 v priesečníku.

Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie y = f (x) v bode x 0, f 0 (x 0) má tvar y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

To znamená, že konečná hodnota derivácie f "(x 0) môže určiť polohu dotyčnice, teda vertikálne, za predpokladu, že lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ a lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ alebo vôbec neprítomnosť za podmienky lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Umiestnenie dotyčnice závisí od hodnoty jej uhlového koeficientu k x = f "(x 0). Keď je rovnobežná s osou x, dostaneme, že k k = 0, keď je rovnobežná s o y - k x = ∞, a tvar rovnica dotyčnice x = x 0 rastie s k x > 0, klesá ako k x< 0 .

Príklad 2

Zostavte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 v bode so súradnicami (1; 3) a určte uhol sklonu.

Riešenie

Podľa podmienky máme, že funkcia je definovaná pre všetky reálne čísla. Zistíme, že bod so súradnicami určenými podmienkou (1; 3) je bod dotyku, potom x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Je potrebné nájsť deriváciu v bode s hodnotou - 1. Chápeme to

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Hodnota f' (x) v bode dotyčnice je sklon dotyčnice, ktorý sa rovná dotyčnici sklonu.

Potom k x = t g α x = y" (x 0) = 3 3

Z toho vyplýva, že α x = a r c t g 3 3 = π 6

odpoveď: dotyčnica má tvar

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Pre názornosť uvádzame príklad v grafickom znázornení.

Čierna farba je použitá pre graf pôvodnej funkcie, modrá farba je obraz dotyčnice a červená bodka je dotykový bod. Obrázok vpravo ukazuje zväčšený pohľad.

Príklad 3

Určte existenciu dotyčnice ku grafu danej funkcie
y = 3 · x - 1 5 + 1 v bode so súradnicami (1 ; 1) . Napíšte rovnicu a určte uhol sklonu.

Riešenie

Podmienkou máme, že definičný obor danej funkcie sa považuje za množinu všetkých reálnych čísel.

Prejdime k hľadaniu derivátu

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ak x 0 = 1, potom f' (x) nie je definované, ale limity sú zapísané ako lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ a lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , čo znamená existencia vertikálnej dotyčnice v bode (1; 1).

odpoveď: rovnica bude mať tvar x = 1, kde uhol sklonu bude rovný π 2.

Pre názornosť si to znázornime graficky.

Príklad 4

Nájdite body na grafe funkcie y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, kde

Neexistuje žiadna dotyčnica;
Dotyčnica je rovnobežná s x;
Dotyčnica je rovnobežná s priamkou y = 8 5 x + 4.

Riešenie

Je potrebné venovať pozornosť rozsahu definície. Podmienkou máme, že funkcia je definovaná na množine všetkých reálnych čísel. Rozšírime modul a riešime sústavu s intervalmi x ∈ - ∞ ; 2 a [-2; + ∞). Chápeme to

y = - 115 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [ - 2; + ∞)

Je potrebné odlíšiť funkciu. To máme

y" = -115 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y" = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [ - 2; + ∞)

Keď x = − 2, potom derivácia neexistuje, pretože jednostranné limity nie sú v tomto bode rovnaké:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Vypočítame hodnotu funkcie v bode x = - 2, kde to dostaneme

y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, teda dotyčnica v bode ( - 2; - 2) nebude existovať.
Dotyčnica je rovnobežná s x, keď je sklon nula. Potom k x = t g α x = f "(x 0). To znamená, že je potrebné nájsť hodnoty takéhoto x, keď ho derivácia funkcie zmení na nulu. To znamená hodnoty f " (x) budú dotykové body, kde dotyčnica je rovnobežná s x .

Keď x ∈ - ∞ ; - 2, potom - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 a pre x ∈ (- 2; + ∞) dostaneme 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; +∞

Vypočítajte zodpovedajúce funkčné hodnoty

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 r 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Preto - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 sa považujú za požadované body grafu funkcie.

Pozrime sa na grafické znázornenie riešenia.

Čierna čiara je graf funkcie, červené bodky sú dotykové body.

Keď sú čiary rovnobežné, uhlové koeficienty sú rovnaké. Potom je potrebné hľadať body na grafe funkcie, kde sa sklon bude rovnať hodnote 8 5. Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť rovnicu v tvare y "(x) = 8 5. Potom, ak x ∈ - ∞; - 2, dostaneme, že - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, a ak x ∈ ( - 2; + ∞), potom 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Prvá rovnica nemá korene, pretože diskriminant je menší ako nula. Poďme si to zapísať

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Ďalšia rovnica má teda dva skutočné korene

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; +∞

Prejdime k hľadaniu hodnôt funkcie. Chápeme to

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Body s hodnotami - 1; 4 15, 5; 8 3 sú body, v ktorých sú dotyčnice rovnobežné s priamkou y = 8 5 x + 4.

odpoveď:čierna čiara – graf funkcie, červená čiara – graf y = 8 5 x + 4, modrá čiara – dotyčnice v bodoch - 1; 4 15, 5; 8 3.

Pre dané funkcie môže existovať nekonečný počet dotyčníc.

Príklad 5

Napíšte rovnice všetkých dostupných dotyčníc funkcie y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, ktoré sú umiestnené kolmo na priamku y = - 2 x + 1 2.

Riešenie

Na zostavenie rovnice dotyčnice je potrebné nájsť koeficient a súradnice dotyčnicového bodu na základe podmienky kolmosti priamok. Definícia je nasledovná: súčin uhlových koeficientov, ktoré sú kolmé na priamky, sa rovná - 1, to znamená, že sa zapíše ako k x · k ⊥ = - 1. Z podmienky máme, že uhlový koeficient je umiestnený kolmo na priamku a rovná sa k ⊥ = - 2, potom k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Teraz musíte nájsť súradnice dotykových bodov. Musíte nájsť x a potom jeho hodnotu pre danú funkciu. Všimnite si, že z geometrického významu derivácie v bode
x 0 dostaneme, že k x = y "(x 0). Z tejto rovnosti nájdeme hodnoty x pre body dotyku.

Chápeme to

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - hriech 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 hriech 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 hriech 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 hriech 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ hriech 3 2 x 0 - π 4 = - 19

Táto trigonometrická rovnica sa použije na výpočet súradníc dotyčnicových bodov.

3 2 x 0 - π 4 = a rc sin - 1 9 + 2 πk alebo 3 2 x 0 - π 4 = π - a rc sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a rc sin 1 9 + 2 πk alebo 3 2 x 0 - π 4 = π + a rc sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk alebo x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z je množina celých čísel.

bolo nájdených x styčných bodov. Teraz musíte prejsť k hľadaniu hodnôt y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - hriech 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 alebo y 0 = 3 - 1 - hriech 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 alebo y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 alebo y 0 = - 4 5 + 1 3

Z toho dostaneme, že 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 sú dotykové body.

odpoveď: potrebné rovnice budú napísané ako

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Pre vizuálnu reprezentáciu zvážte funkciu a dotyčnicu na súradnicovej čiare.

Obrázok ukazuje, že funkcia sa nachádza na intervale [-10; 10 ], kde čierna čiara je graf funkcie, modré čiary sú dotyčnice, ktoré sú umiestnené kolmo na danú čiaru v tvare y = - 2 x + 1 2. Červené bodky sú dotykové body.

Kanonické rovnice kriviek 2. rádu nie sú jednohodnotové funkcie. Tangentové rovnice pre nich sú zostavené podľa známych schém.

Tangenta ku kruhu

Definovať kružnicu so stredom v bode x c e n t e r ; y c e n t e r a polomer R, použite vzorec x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Túto rovnosť možno zapísať ako spojenie dvoch funkcií:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Prvá funkcia je umiestnená hore a druhá dole, ako je znázornené na obrázku.

Zostaviť rovnicu kružnice v bode x 0; y 0 , ktorý sa nachádza v hornom alebo dolnom polkruhu, by ste mali nájsť rovnicu grafu funkcie v tvare y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r alebo y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r v označenom bode.

Keď v bodoch x c e n t e r ; y c e n t e r + R a x c e n t e r; y c e n t e r - R dotyčnice môžu byť dané rovnicami y = y c e n t e r + R a y = y c e n t e r - R a v bodoch x c e n t e r + R; y c e n t e r a
x c e n t e r - R; y c e n t e r bude rovnobežné s o y, potom dostaneme rovnice tvaru x = x c e n t e r + R a x = x c e n t e r - R .

Tangenta k elipse

Keď má elipsa stred v x c e n t e r ; y c e n t e r s poloosami a a b, potom ho možno špecifikovať pomocou rovnice x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Elipsu a kružnicu môžeme označiť spojením dvoch funkcií, a to hornej a dolnej polovice elipsy. Potom to dostaneme

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ak sú dotyčnice umiestnené vo vrcholoch elipsy, potom sú rovnobežné okolo x alebo okolo y. Nižšie, kvôli prehľadnosti, zvážte obrázok.

Príklad 6

Napíšte rovnicu dotyčnice k elipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 v bodoch s hodnotami x rovnými x = 2.

Riešenie

Je potrebné nájsť dotykové body, ktoré zodpovedajú hodnote x = 2. Dosadíme do existujúcej rovnice elipsy a nájdeme ju

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Potom 2; 5 3 2 + 5 a 2; - 5 3 2 + 5 sú dotykové body, ktoré patria hornej a dolnej polovici elipsy.

Prejdime k hľadaniu a riešeniu rovnice elipsy vzhľadom na y. Chápeme to

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 r - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Je zrejmé, že horná polovica elipsy je špecifikovaná pomocou funkcie tvaru y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 a spodná polovica elipsy y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Aplikujme štandardný algoritmus na vytvorenie rovnice pre dotyčnicu ku grafu funkcie v bode. Napíšeme, že rovnica pre prvú dotyčnicu v bode 2; 5 3 2 + 5 bude vyzerať

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y" (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Zistíme, že rovnica druhej dotyčnice s hodnotou v bode
2; - 5 3 2 + 5 má formu

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y" (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Graficky sú dotyčnice označené takto:

Tangenta k hyperbole

Keď má hyperbola stred v x c e n t e r ; y c e n t e r a vrcholy x c e n t e r + α ; y c e n t e r a x c e n t e r - a; y c e n t e r , nastáva nerovnosť x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, ak s vrcholmi x c e n t e r ; y c e n t e r + b a x c e n t e r; y c e n t e r - b , potom sa špecifikuje pomocou nerovnosti x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = -1 .

Hyperbola môže byť reprezentovaná ako dve kombinované funkcie formulára

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r alebo y = b a e e 2 c e 2 c e 2 c e 2 x - x e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

V prvom prípade platí, že dotyčnice sú rovnobežné s y a v druhom sú rovnobežné s x.

Z toho vyplýva, že na nájdenie rovnice dotyčnice k hyperbole je potrebné zistiť, ku ktorej funkcii dotykový bod patrí. Aby sme to určili, je potrebné dosadiť do rovníc a skontrolovať identitu.

Príklad 7

Napíšte rovnicu pre dotyčnicu k hyperbole x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 v bode 7; - 3 3 - 3 .

Riešenie

Je potrebné transformovať záznam riešenia pre nájdenie hyperboly pomocou 2 funkcií. Chápeme to

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 a y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Je potrebné identifikovať, do ktorej funkcie daný bod so súradnicami 7 patrí; - 3 3 - 3 .

Je zrejmé, že na kontrolu prvej funkcie je potrebné y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, potom bod nepatrí do grafu, keďže neplatí rovnosť.

Pre druhú funkciu platí, že y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, čo znamená, že bod patrí do daného grafu. Odtiaľ by ste mali nájsť svah.

Chápeme to

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

odpoveď: tangensová rovnica môže byť reprezentovaná ako

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Je to jasne znázornené takto:

Tangenta k parabole

Ak chcete vytvoriť rovnicu pre dotyčnicu k parabole y = a x 2 + b x + c v bode x 0, y (x 0), musíte použiť štandardný algoritmus, potom bude mať rovnica tvar y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0). Takáto dotyčnica vo vrchole je rovnobežná s x.

Mali by ste definovať parabolu x = a y 2 + b y + c ako spojenie dvoch funkcií. Preto musíme vyriešiť rovnicu pre y. Chápeme to

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Graficky znázornené ako:

Ak chcete zistiť, či bod x 0, y (x 0) patrí funkcii, postupujte jemne podľa štandardného algoritmu. Takáto dotyčnica bude rovnobežná s oy vzhľadom na parabolu.

Príklad 8

Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu x - 2 y 2 - 5 y + 3, keď máme dotyčnicový uhol 150°.

Riešenie

Riešenie začneme reprezentáciou paraboly ako dvoch funkcií. Chápeme to

2 r 2 - 5 r + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 r = 5 - 49 - 8 x - 4

Hodnota sklonu sa rovná hodnote derivácie v bode x 0 tejto funkcie a rovná sa dotyčnici uhla sklonu.

Dostaneme:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150° = - 1 3

Odtiaľ určíme hodnotu x pre body dotyku.

Prvá funkcia bude napísaná ako

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Je zrejmé, že neexistujú žiadne skutočné korene, pretože sme dostali zápornú hodnotu. Dospeli sme k záveru, že pre takúto funkciu neexistuje dotyčnica s uhlom 150°.

Druhá funkcia bude napísaná ako

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Máme, že styčné body sú 23 4 ; - 5 + 3 4 .

odpoveď: dotyčnica má tvar

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Poďme si to graficky znázorniť takto:

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Typ práce: 7

Podmienka

Priamka y=3x+2 je dotyčnicou ku grafu funkcie y=-12x^2+bx-10. Nájdite b za predpokladu, že úsečka dotykového bodu je menšia ako nula.

Ukážte riešenie

Riešenie

Nech x_0 je úsečka bodu na grafe funkcie y=-12x^2+bx-10, ktorým prechádza dotyčnica k tomuto grafu.

Hodnota derivácie v bode x_0 sa rovná sklonu dotyčnice, teda y"(x_0)=-24x_0+b=3. Na druhej strane bod dotyku patrí súčasne do oboch grafu funkcie a dotyčnice, teda -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Získame sústavu rovníc \begin(prípady) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Vyriešením tohto systému dostaneme x_0^2=1, čo znamená buď x_0=-1 alebo x_0=1. Podľa podmienky úsečky sú dotykové body menšie ako nula, takže x_0=-1, potom b=3+24x_0=-21.

Odpoveď

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácií. Tangenta ku grafu funkcie

Podmienka

Priamka y=-3x+4 je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie y=-x^2+5x-7. Nájdite úsečku dotykového bodu.

Ukážte riešenie

Riešenie

Uhlový koeficient priamky ku grafu funkcie y=-x^2+5x-7 v ľubovoľnom bode x_0 sa rovná y"(x_0). Ale y"=-2x+5, čo znamená y" (x_0)=-2x_0+5. Uhlový koeficient úsečky y=-3x+4 zadaný v podmienke sa rovná -3. Rovnobežné čiary majú rovnaké koeficienty sklonu. Preto nájdeme hodnotu x_0 takú, že =- 2x_0 +5=-3.

Dostaneme: x_0 = 4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácií. Tangenta ku grafu funkcie

Podmienka

Ukážte riešenie

Riešenie

Z obrázku určíme, že dotyčnica prechádza bodmi A(-6; 2) a B(-1; 1). Označme C(-6; 1) priesečník priamok x=-6 a y=1 a \alpha uhol ABC (na obrázku vidíte, že je ostrý). Potom priamka AB zviera uhol \pi -\alpha s kladným smerom osi Ox, ktorá je tupá.

Ako je známe, tg(\pi -\alpha) bude hodnota derivácie funkcie f(x) v bode x_0. Všimni si tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Odtiaľ pomocou redukčných vzorcov dostaneme: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácií. Tangenta ku grafu funkcie

Podmienka

Priamka y=-2x-4 je dotyčnicou ku grafu funkcie y=16x^2+bx+12. Nájdite b za predpokladu, že úsečka dotykového bodu je väčšia ako nula.

Ukážte riešenie

Riešenie

Nech x_0 je úsečka bodu na grafe funkcie y=16x^2+bx+12, cez ktorý

je dotyčnicou tohto grafu.

Hodnota derivácie v bode x_0 sa rovná sklonu dotyčnice, teda y"(x_0)=32x_0+b=-2. Na druhej strane bod dotyku patrí súčasne do oboch grafov funkcie a dotyčnice, teda 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Získame sústavu rovníc \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cases)

Vyriešením systému dostaneme x_0^2=1, čo znamená buď x_0=-1 alebo x_0=1. Podľa podmienky úsečky sú dotykové body väčšie ako nula, takže x_0=1, potom b=-2-32x_0=-34.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácií. Tangenta ku grafu funkcie

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x), definovanej na intervale (-2; 8). Určte počet bodov, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s priamkou y=6.

Ukážte riešenie

Riešenie

Priamka y=6 je rovnobežná s osou Ox. Preto nájdeme body, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s osou Ox. Na tomto grafe sú takéto body extrémnymi bodmi (maximálne alebo minimálne body). Ako vidíte, existujú 4 extrémne body.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácií. Tangenta ku grafu funkcie

Podmienka

Priamka y=4x-6 je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie y=x^2-4x+9. Nájdite úsečku dotykového bodu.

Ukážte riešenie

Riešenie

Sklon dotyčnice ku grafu funkcie y=x^2-4x+9 v ľubovoľnom bode x_0 sa rovná y"(x_0). Ale y"=2x-4, čo znamená y"(x_0)= 2x_0-4. Sklon dotyčnice y =4x-7, zadaný v podmienke, je rovný 4. Rovnobežné čiary majú rovnaké uhlové koeficienty. Preto nájdeme hodnotu x_0 takú, že 2x_0-4 = 4. získať: x_0 = 4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácií. Tangenta ku grafu funkcie

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) a dotyčnica k nej v bode s osou x_0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x_0.

Ukážte riešenie

Riešenie

Z obrázku určíme, že dotyčnica prechádza bodmi A(1; 1) a B(5; 4). Označme C(5; 1) priesečník priamok x=5 a y=1 a \alpha uhol BAC (na obrázku vidíte, že je ostrý). Potom priamka AB zviera uhol \alpha s kladným smerom osi Ox.

Tangenta je priamka prechádzajúca bodom krivky a zhodujúca sa s ním v tomto bode až do prvého rádu (obr. 1).

Ďalšia definícia: toto je hraničná poloha sečnice v Δ X→0.

Vysvetlenie: Vezmite priamku pretínajúcu krivku v dvoch bodoch: A A b(pozri obrázok). Toto je sekta. Budeme ním otáčať v smere hodinových ručičiek, kým nenájde iba jeden spoločný bod s krivkou. To nám dá tangentu.

Presná definícia dotyčnice:

Tangenta ku grafu funkcie f, v bode rozlíšiteľné XO, je priamka prechádzajúca bodom ( XO; f(XO)) a má sklon f′( XO).

Svah má priamku tvaru y =kx +b. Koeficient k a je sklon túto priamku.

Uhlový koeficient sa rovná dotyčnici ostrého uhla, ktorý zviera táto priamka s osou x:

k = tan α

Tu uhol α je uhol medzi priamkou y =kx +b a kladný (to znamená proti smeru hodinových ručičiek) smer osi x. To sa nazýva uhol sklonu priamky(obr. 1 a 2).

Ak je uhol sklonu rovný y =kx +b akútna, potom je sklon kladné číslo. Graf je rastúci (obr. 1).

Ak je uhol sklonu rovný y =kx +b je tupý, potom je sklon záporné číslo. Graf je klesajúci (obr. 2).

Ak je priamka rovnobežná s osou x, potom je uhol sklonu priamky nulový. V tomto prípade je sklon priamky tiež nulový (keďže dotyčnica nuly je nula). Rovnica priamky bude vyzerať ako y = b (obr. 3).

Ak je uhol sklonu priamky 90º (π/2), to znamená, že je kolmá na os x, potom je priamka daná rovnosťou x =c, Kde c– nejaké reálne číslo (obr. 4).

Rovnica dotyčnice ku grafu funkcier = f(X) v bode XO:

Príklad: Nájdite rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f(X) = X 3 – 2X 2 + 1 v bode s osou 2.

Riešenie .

Postupujeme podľa algoritmu.

1) Dotykový bod XO sa rovná 2. Vypočítajte f(XO):

f(XO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Nájdite f′( X). Aby sme to dosiahli, použijeme diferenciačné vzorce uvedené v predchádzajúcej časti. Podľa týchto vzorcov, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. znamená:

f′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Teraz použite výslednú hodnotu f′( X), vypočítať f′( XO):

f′( XO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Takže máme všetky potrebné údaje: XO = 2, f(XO) = 1, f ′( XO) = 4. Dosaďte tieto čísla do rovnice dotyčnice a nájdite konečné riešenie:

y = f(XO) + f′( XO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Odpoveď: y = 4x – 7.

V tomto článku analyzujeme všetky typy problémov, ktoré treba nájsť

Spomeňme si geometrický význam derivácie: ak je ku grafu funkcie v bode nakreslená dotyčnica, potom koeficient sklonu dotyčnice (rovnajúci sa dotyčnici uhla medzi dotyčnicou a kladným smerom osi) sa rovná derivácii funkcie. v bode.

Zoberme si ľubovoľný bod na dotyčnici so súradnicami:

A zvážte pravouhlý trojuholník:

V tomto trojuholníku

Odtiaľ

Toto je rovnica dotyčnice nakreslená ku grafu funkcie v bode.

Na napísanie rovnice dotyčnice nám stačí poznať rovnicu funkcie a bod, v ktorom je dotyčnica nakreslená. Potom môžeme nájsť a .

Existujú tri hlavné typy problémov tangenciálnych rovníc.

1. Daný kontaktný bod

2. Je daný koeficient sklonu dotyčnice, teda hodnota derivácie funkcie v bode.

3. Dané sú súradnice bodu, cez ktorý je dotyčnica vedená, ale ktorý nie je dotykovým bodom.

Pozrime sa na každý typ úlohy.

1. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode .

b) Nájdite hodnotu derivátu v bode . Najprv nájdime deriváciu funkcie

Nájdené hodnoty dosadíme do tangentovej rovnice:

Otvorme zátvorky na pravej strane rovnice. Dostaneme:

odpoveď: .

2. Nájdite úsečku bodov, v ktorých sa funkcie dotýkajú grafu rovnobežne s osou x.

Ak je dotyčnica rovnobežná s osou x, uhol medzi dotyčnicou a kladným smerom osi je nulový, preto je dotyčnica uhla dotyčnice nula. To znamená, že hodnota derivácie funkcie v bodoch dotyku je nula.

a) Nájdite deriváciu funkcie .

b) Prirovnajme deriváciu k nule a nájdime hodnoty, v ktorých je dotyčnica rovnobežná s osou:

Prirovnaním každého faktora k nule dostaneme:

Odpoveď: 0;3;5

3. Napíšte rovnice pre dotyčnice ku grafu funkcie , paralelný rovno .

Dotyčnica je rovnobežná s priamkou. Sklon tejto čiary je -1. Keďže dotyčnica je rovnobežná s touto priamkou, sklon dotyčnice je tiež -1. Teda poznáme sklon dotyčnice, a tým, derivačná hodnota v bode dotyku.

Toto je druhý typ problému na nájdenie tangentovej rovnice.

Dostaneme teda funkciu a hodnotu derivácie v bode dotyku.

a) Nájdite body, v ktorých sa derivácia funkcie rovná -1.

Najprv nájdime derivačnú rovnicu.

Prirovnajme deriváciu k číslu -1.

Nájdite hodnotu funkcie v bode.

(podľa podmienok)

b) Nájdite rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode .

Nájdite hodnotu funkcie v bode.

(podľa stavu).

Dosadme tieto hodnoty do tangentovej rovnice:

odpoveď:

4. Napíšte rovnicu dotyčnice ku krivke , prechod cez bod

Najprv skontrolujme, či je bod dotykovým bodom. Ak je bod dotykovým bodom, potom patrí do grafu funkcie a jeho súradnice musia spĺňať rovnicu funkcie. Dosadíme súradnice bodu do rovnice funkcie.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} nie je styčným bodom.

Toto je posledný typ problému na nájdenie tangentovej rovnice. Prvá vec musíme nájsť úsečku dotykového bodu.

Poďme nájsť hodnotu.

Nech je styčným bodom. Bod patrí dotyčnici ku grafu funkcie. Ak dosadíme súradnice tohto bodu do rovnice dotyčnice, dostaneme správnu rovnosť: