Myslím, že by sme mali začať históriou takého slávneho matematického nástroja, akým sú diferenciálne rovnice. Ako všetky diferenciálne a integrálne počty, aj tieto rovnice vynašiel Newton koncom 17. storočia. Tento svoj objav považoval za taký dôležitý, že dokonca zašifroval správu, ktorá sa dnes dá preložiť asi takto: „Všetky zákony prírody sú opísané diferenciálnymi rovnicami“. Môže sa to zdať prehnané, ale je to tak. Týmito rovnicami možno opísať akýkoľvek zákon fyziky, chémie, biológie.

K rozvoju a vytvoreniu teórie diferenciálnych rovníc obrovským spôsobom prispeli matematici Euler a Lagrange. Už v 18. storočí objavili a rozvinuli to, čo dnes študujú na vyšších univerzitných kurzoch.

Nový míľnik v štúdiu diferenciálnych rovníc sa začal vďaka Henrimu Poincarému. Vytvoril „kvalitatívnu teóriu diferenciálnych rovníc“, ktorá v kombinácii s teóriou funkcií komplexnej premennej významne prispela k základu topológie - vedy o priestore a jeho vlastnostiach.

Čo sú diferenciálne rovnice?

Veľa ľudí sa bojí jednej frázy.V tomto článku si však podrobne načrtneme celú podstatu tohto veľmi užitočného matematického aparátu, ktorý v skutočnosti nie je taký zložitý, ako sa z názvu zdá. Aby ste mohli začať hovoriť o diferenciálnych rovniciach prvého rádu, mali by ste sa najprv oboznámiť so základnými pojmami, ktoré sú s touto definíciou neodmysliteľne spojené. A začneme s diferenciálom.

Diferenciál

Mnoho ľudí tento pojem pozná už zo školy. Poďme sa na to však pozrieť bližšie. Predstavte si graf funkcie. Môžeme ho zväčšiť do takej miery, že ktorýkoľvek jeho segment bude mať podobu priamky. Zoberme si na ňom dva body, ktoré sú nekonečne blízko seba. Rozdiel medzi ich súradnicami (x alebo y) bude nekonečne malý. Nazýva sa diferenciál a označuje sa znamienkami dy (diferenciál y) a dx (diferenciál x). Je veľmi dôležité pochopiť, že diferenciál nie je konečná veličina, a to je jeho význam a hlavná funkcia.

Teraz musíme zvážiť ďalší prvok, ktorý nám bude užitočný pri vysvetľovaní pojmu diferenciálnej rovnice. Toto je derivát.

Derivát

Tento pojem sme asi všetci počuli v škole. Derivácia je rýchlosť, ktorou sa funkcia zvyšuje alebo znižuje. Z tejto definície sa však mnohé stáva nejasným. Skúsme vysvetliť deriváciu cez diferenciály. Vráťme sa k nekonečne malému segmentu funkcie s dvoma bodmi, ktoré sú od seba v minimálnej vzdialenosti. Ale aj na túto vzdialenosť sa funkcia dokáže o niečo zmeniť. A na opísanie tejto zmeny prišli s deriváciou, ktorú možno inak zapísať ako pomer diferenciálov: f(x)"=df/dx.

Teraz stojí za to zvážiť základné vlastnosti derivátu. Sú len tri z nich:

1. Derivát súčtu alebo rozdielu môže byť reprezentovaný ako súčet alebo rozdiel derivátov: (a+b)"=a"+b" a (a-b)"=a"-b".
2. Druhá vlastnosť súvisí s násobením. Derivácia súčinu je súčtom súčinov jednej funkcie a derivácie druhej: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Deriváciu rozdielu možno zapísať ako nasledujúcu rovnosť: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Všetky tieto vlastnosti sa nám budú hodiť pri hľadaní riešení diferenciálnych rovníc prvého rádu.

Existujú aj parciálne deriváty. Povedzme, že máme funkciu z, ktorá závisí od premenných x a y. Na výpočet parciálnej derivácie tejto funkcie, povedzme, vzhľadom na x, musíme vziať premennú y ako konštantu a jednoducho ju derivovať.

Integrálne

Ďalší dôležitý pojem je integrálny. V skutočnosti ide o presný opak derivátu. Existuje niekoľko typov integrálov, ale na vyriešenie najjednoduchších diferenciálnych rovníc potrebujeme tie najtriviálnejšie

Povedzme teda, že máme určitú závislosť f na x. Zoberieme z neho integrál a dostaneme funkciu F(x) (často nazývanú primitíva), ktorej derivácia sa rovná pôvodnej funkcii. Teda F(x)"=f(x). Z toho tiež vyplýva, že integrál derivácie sa rovná pôvodnej funkcii.

Pri riešení diferenciálnych rovníc je veľmi dôležité pochopiť význam a funkciu integrálu, pretože ich budete musieť brať veľmi často, aby ste našli riešenie.

Rovnice sa líšia v závislosti od ich povahy. V ďalšej časti sa pozrieme na typy diferenciálnych rovníc prvého rádu a potom sa naučíme, ako ich riešiť.

Triedy diferenciálnych rovníc

"Diffurs" sú rozdelené podľa poradia derivátov, ktoré sú v nich zahrnuté. Existuje teda prvé, druhé, tretie a ďalšie poradie. Môžu byť tiež rozdelené do niekoľkých tried: obyčajné a parciálne deriváty.

V tomto článku sa pozrieme na obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu. V nasledujúcich častiach si rozoberieme aj príklady a spôsoby ich riešenia. Budeme brať do úvahy iba ODR, pretože ide o najbežnejšie typy rovníc. Bežné sa delia na poddruhy: s oddeliteľnými premennými, homogénne a heterogénne. Ďalej sa dozviete, ako sa navzájom líšia a naučíte sa ich riešiť.

Navyše sa tieto rovnice dajú kombinovať tak, že sa dostaneme k sústave diferenciálnych rovníc prvého rádu. Budeme tiež uvažovať o takýchto systémoch a naučíme sa ich riešiť.

Prečo zvažujeme iba prvú objednávku? Pretože treba začať niečím jednoduchým a opísať všetko, čo súvisí s diferenciálnymi rovnicami, v jednom článku je jednoducho nemožné.

Oddeliteľné rovnice

Toto sú možno najjednoduchšie diferenciálne rovnice prvého poriadku. Patria sem príklady, ktoré možno zapísať takto: y"=f(x)*f(y). Na vyriešenie tejto rovnice potrebujeme vzorec na vyjadrenie derivácie ako pomeru diferenciálov: y"=dy/dx. Pomocou nej dostaneme nasledujúcu rovnicu: dy/dx=f(x)*f(y). Teraz môžeme prejsť k metóde riešenia štandardných príkladov: premenné rozdelíme na časti, čiže všetko s premennou y presunieme do časti, kde sa nachádza dy, a to isté urobíme s premennou x. Získame rovnicu v tvare: dy/f(y)=f(x)dx, ktorú riešime zobratím integrálov z oboch strán. Nezabudnite na konštantu, ktorú je potrebné nastaviť po zobratí integrálu.

Riešenie akéhokoľvek „rozdielu“ je funkciou závislosti x na y (v našom prípade) alebo, ak je prítomná číselná podmienka, potom odpoveďou vo forme čísla. Pozrime sa na celý proces riešenia na konkrétnom príklade:

Presuňme premenné rôznymi smermi:

Teraz si vezmime integrály. Všetky nájdete v špeciálnej tabuľke integrálov. A dostaneme:

ln(y) = -2*cos(x) + C

V prípade potreby môžeme vyjadriť „y“ ako funkciu „x“. Teraz môžeme povedať, že naša diferenciálna rovnica je vyriešená, ak podmienka nie je špecifikovaná. Podmienka môže byť špecifikovaná napríklad y(n/2)=e. Potom jednoducho dosadíme hodnoty týchto premenných do riešenia a nájdeme hodnotu konštanty. V našom príklade je to 1.

Homogénne diferenciálne rovnice prvého rádu

Teraz prejdime k zložitejšej časti. Homogénne diferenciálne rovnice prvého rádu je možné zapísať vo všeobecnom tvare takto: y"=z(x,y). Treba poznamenať, že pravostranná funkcia dvoch premenných je homogénna a nemožno ju rozdeliť na dve závislosti : z na x az na y. Kontrola , či je rovnica homogénna alebo nie je celkom jednoduchá: urobíme náhradu x=k*x a y=k*y Teraz zrušíme všetky k. Ak sú všetky tieto písmená zrušené , potom je rovnica homogénna a pokojne ju môžete začať riešiť Pri pohľade dopredu si povedzme: princíp riešenia týchto príkladov je tiež veľmi jednoduchý.

Musíme urobiť náhradu: y=t(x)*x, kde t je určitá funkcia, ktorá tiež závisí od x. Potom môžeme vyjadriť deriváciu: y"=t"(x)*x+t. Dosadením tohto všetkého do našej pôvodnej rovnice a jej zjednodušením dostaneme príklad s oddeliteľnými premennými t a x. Vyriešime to a dostaneme závislosť t(x). Keď sme to dostali, jednoducho dosadíme y=t(x)*x do našej predchádzajúcej náhrady. Potom dostaneme závislosť y od x.

Aby to bolo jasnejšie, pozrime sa na príklad: x*y"=y-x*e y/x .

Pri kontrole s výmenou sa všetko zníži. To znamená, že rovnica je skutočne homogénna. Teraz urobíme ďalšiu náhradu, o ktorej sme hovorili: y=t(x)*x a y"=t"(x)*x+t(x). Po zjednodušení dostaneme nasledujúcu rovnicu: t"(x)*x=-e t. Výsledný príklad vyriešime s oddelenými premennými a dostaneme: e -t =ln(C*x). Stačí nahradiť t s y/x (napokon, ak y =t*x, tak t=y/x), a dostaneme odpoveď: e -y/x =ln(x*C).

Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu

Je čas pozrieť sa na ďalšiu širokú tému. Budeme analyzovať nehomogénne diferenciálne rovnice prvého rádu. Čím sa líšia od predchádzajúcich dvoch? Poďme na to. Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu vo všeobecnom tvare možno zapísať takto: y" + g(x)*y=z(x). Je potrebné objasniť, že z(x) a g(x) môžu byť konštantné veličiny.

A teraz príklad: y" - y*x=x 2 .

Existujú dve riešenia a my sa pozrieme na obe v poradí. Prvým je metóda variácie ľubovoľných konštánt.

Aby ste rovnicu vyriešili týmto spôsobom, musíte najprv prirovnať pravú stranu k nule a vyriešiť výslednú rovnicu, ktorá po prenose častí bude mať tvar:

ln|y|=x2/2 + C;

y=ex2/2*yC=C1*ex2/2.

Teraz potrebujeme nahradiť konštantu C 1 funkciou v(x), ktorú musíme nájsť.

Nahradíme derivát:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2.

A nahraďte tieto výrazy do pôvodnej rovnice:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Môžete vidieť, že na ľavej strane sa rušia dva termíny. Ak sa to v niektorom príklade nestalo, urobili ste niečo zle. Pokračujme:

v"*e x2/2 = x 2.

Teraz riešime obvyklú rovnicu, v ktorej musíme oddeliť premenné:

dv/dx=x2/ex2/2;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Na extrahovanie integrálu tu budeme musieť použiť integráciu po častiach. To však nie je témou nášho článku. Ak máte záujem, môžete sa naučiť, ako takéto akcie vykonávať sami. Nie je to ťažké a pri dostatočnej zručnosti a starostlivosti to nezaberie veľa času.

Prejdime k druhej metóde riešenia nehomogénnych rovníc: Bernoulliho metóda. Ktorý prístup je rýchlejší a jednoduchší, je na vás, aby ste sa rozhodli.

Takže pri riešení rovnice pomocou tejto metódy musíme vykonať substitúciu: y=k*n. Tu k a n sú niektoré funkcie závislé od x. Potom bude derivácia vyzerať takto: y"=k"*n+k*n" Obe zámeny dosadíme do rovnice:

k"*n+k*n"+x*k*n=x2.

Zoskupenie:

k"*n+k*(n"+x*n)=x2.

Teraz musíme prirovnať k nule to, čo je v zátvorkách. Ak teraz skombinujeme dve výsledné rovnice, dostaneme systém diferenciálnych rovníc prvého rádu, ktorý je potrebné vyriešiť:

Prvú rovnosť riešime ako obyčajnú rovnicu. Ak to chcete urobiť, musíte oddeliť premenné:

Zoberieme integrál a dostaneme: ln(n)=x 2 /2. Potom, ak vyjadríme n:

Teraz dosadíme výslednú rovnosť do druhej rovnice systému:

k"*e x2/2 = x 2.

A transformáciou dostaneme rovnakú rovnosť ako v prvej metóde:

dk=x2/ex2/2.

O ďalších krokoch tiež nebudeme diskutovať. Stojí za to povedať, že prvé riešenie diferenciálnych rovníc prvého rádu spôsobuje značné ťažkosti. Keď sa však do témy ponoríte hlbšie, začne to vychádzať čoraz lepšie.

Kde sa používajú diferenciálne rovnice?

Diferenciálne rovnice sa vo fyzike používajú veľmi aktívne, pretože takmer všetky základné zákony sú napísané v diferenciálnej forme a vzorce, ktoré vidíme, sú riešeniami týchto rovníc. V chémii sa používajú z rovnakého dôvodu: s ich pomocou sa odvodzujú základné zákony. V biológii sa diferenciálne rovnice používajú na modelovanie správania systémov, ako je predátor a korisť. Môžu byť tiež použité na vytvorenie reprodukčných modelov, povedzme, kolónie mikroorganizmov.

Ako vám môžu diferenciálne rovnice pomôcť v živote?

Odpoveď na túto otázku je jednoduchá: vôbec nie. Ak nie ste vedec alebo inžinier, je nepravdepodobné, že by pre vás boli užitočné. Pre všeobecný vývoj však nebude na škodu vedieť, čo je diferenciálna rovnica a ako sa rieši. A potom otázka syna alebo dcéry znie: „Čo je to diferenciálna rovnica? nebude ťa zmiasť. No, ak ste vedec alebo inžinier, potom sami chápete dôležitosť tejto témy v akejkoľvek vede. Najdôležitejšie však je, že teraz vyvstáva otázka „ako vyriešiť diferenciálnu rovnicu prvého rádu? vždy môžeš dať odpoveď. Súhlaste, je vždy pekné, keď rozumiete niečomu, čo sa ľudia dokonca boja pochopiť.

Hlavné problémy pri štúdiu

Hlavným problémom v pochopení tejto témy je slabá zručnosť v integrácii a diferenciácii funkcií. Ak nie ste dobrí v deriváciách a integráloch, potom sa pravdepodobne oplatí viac študovať, ovládať rôzne metódy integrácie a diferenciácie a až potom začať študovať látku, ktorá bola popísaná v článku.

Niektorí ľudia sú prekvapení, keď sa dozvedia, že dx sa dá preniesť, pretože predtým (v škole) sa uvádzalo, že zlomok dy/dx je nedeliteľný. Tu si treba prečítať literatúru o derivácii a pochopiť, že ide o pomer nekonečne malých veličín, s ktorými sa dá pri riešení rovníc manipulovať.

Mnoho ľudí si hneď neuvedomuje, že riešenie diferenciálnych rovníc prvého rádu je často funkcia alebo integrál, ktorý nemožno vziať, a táto mylná predstava im dáva veľa problémov.

Čo ešte môžete študovať pre lepšie pochopenie?

Ďalšie ponorenie sa do sveta diferenciálneho počtu je najlepšie začať so špecializovanými učebnicami, napríklad o matematickej analýze pre študentov nematematických odborov. Potom môžete prejsť na odbornejšiu literatúru.

Stojí za to povedať, že okrem diferenciálnych rovníc existujú aj integrálne rovnice, takže sa vždy budete mať o čo snažiť a čo študovať.

Záver

Dúfame, že po prečítaní tohto článku máte predstavu o tom, čo sú diferenciálne rovnice a ako ich správne vyriešiť.

V každom prípade sa nám matematika v živote nejakým spôsobom bude hodiť. Rozvíja logiku a pozornosť, bez ktorej je každý človek bez rúk.

Pozrime sa na príklady riešenia lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu pomocou Bernoulliho metódy.

1) y'=3x-y/x

Prepíšme rovnicu v štandardnom tvare: y’+y/x=3x. Tu p(x)=1/x, q(x)=3x.

1) Zavedme náhradu y=uv, kde u=u(x) a v=v(x) sú niektoré nové funkcie x. Preto y’=(uv)’=u’v+v’u. Výsledné výrazy pre y a y’ dosadíme do podmienky: u’v+v’u+uv/x=3x.

2) Zoskupme pojmy obsahujúce v: v+v’u=3x. (I) Teraz požadujeme, aby sa výraz v zátvorkách rovnal nule: u’+u/x=0. Získali sme novú diferenciálnu rovnicu so separovateľnými premennými pre u a x. Dosadíme u’=du/dx a oddelíme premenné: du/dx= - u/x. Obe strany rovnice vynásobíme dx a vydelíme u≠0. Dospeli sme k rovnici s oddelenými premennými: du/u= - dx/x. Poďme to integrovať:

Keďže pri hľadaní u C sa rovná nule, dostaneme, že ln│u│=-ln│x│, použijeme vlastnosť logaritmu: ln│u│= ln│1/x│teda u=1/x .

3) V rovnici (I) dosadíme =0 a u=1/x. Máme: v'/x=3x. Obe strany výslednej rovnice vynásobíme x≠0: v’=3x². Môžete si predstaviť v’=dv/dx a rozdeliť premenné: dv/dx=3x², odtiaľto vynásobením oboch strán dx dostaneme dv=3x²dx, integrovať:

tu už C neignorujeme a dospejeme k v=x³+C. (Alebo môžete jednoducho integrovať obe strany rovnosti: v’=3x²

a okamžite dostanete odpoveď v=x³+C).

4) Keďže y=uv, dosadením nájdených výrazov za u a v dostaneme: y=(x³+C)/x. Ak odpoveď transformujeme, dostaneme: y=x²+C/x.

Odpoveď: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Lineárna rovnica v štandardnom tvare. p(x)=1, q(x)=cosx.

1) y=uv, y’=u’v+v’u. Nahraďte podmienku:

u'v+v'u+uv=cosx. Termíny zoskupujeme s v: v+v’u=cosx. (II)

2) Teraz požadujeme, aby bola splnená podmienka u’+u=0. Získali sme rovnicu so separovateľnými premennými u a x. Keďže u’=du/dx, potom du/dx+u=0, odkiaľ du/dx=-u. Obe strany vynásobíme dx a vydelíme u≠0: du/u=-dx. Integrujme rovnicu:

3) V rovnici (II) dosadíme =0 a

Integrujme obe strany rovnice:

Tento integrál sa nachádza pomocou vzorca integrácie podľa častí:

4) y=uv, nahraďte nájdené výrazy za u a v:

Pozrime sa na ďalšiu zaujímavú úlohu.

3) Nájdite riešenie rovnice (x+y)y’=1, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku y(-1)=0.

Ak uvažujeme y ako funkciu x, potom rovnicu nemožno napísať v štandardnom tvare y’+p(x)y=q(x). Ale ak uvažujeme x ako funkciu y, potom ak vezmeme do úvahy skutočnosť, že y'=1/x', dostaneme: (x+y) 1/x'=1, odkiaľ x'=x+y, teraz túto rovnicu prepíšeme do tvaru x'-x=y. (III)

Získali sme lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu v tvare x’+p(y)=q(y). Tu p(y)=-1, q(y)=y. Všetky úvahy sú úplne podobné. Pozrime sa na ne.

1) Náhrada x=uv, kde u=u(y), v=v(y). Preto x’=u’v+v’u. Nahradiť v (III): u’v+v’u-uv=y.

2) Zoskupte výrazy pomocou v: v+v’u=y. (IV) Vyžadujeme, aby sa výraz v zátvorkách rovnal nule: u’-u=0. A toto je rovnica s oddeliteľnými premennými. Nezabudnite, že druhou premennou je y, nie x. Berúc do úvahy skutočnosť, že u’=du/dy, oddeľme premenné: du/dy=u. Obe strany rovnice vynásobíme dy a vydelíme u: du/u=dy. Teraz integrujme:

3) V (IV) dosadíme =0 a

Tento integrál možno nájsť aj pomocou vzorca integrácie podľa častí

Nahradíme, pomocou vzorca integrácie podľa častí dostaneme:

4) Pretože x=uv, nahradením nájdených výrazov za funkcie u a v dostaneme:

5) Vo všeobecnom riešení rovnice

dosadíme počiatočné podmienky y(-1)=0 (to znamená x=-1, y=0):

Preto partikulárne riešenie x=-y-1. Po vyjadrení y až x sa dostaneme ku konečnej odpovedi: y=-x-1.

Odpoveď: y=-x-1.

Samotestovacie úlohy:

1) y'-y=x. Tu p(x)=-1, q(x)=x.

1) Zadajte náhradu y=uv, y’=u’v+v’u. Dosaďte do podmienky: u’v+v’u=x+uv, u’v+v’u- uv=x.

2) Zoskupte výrazy pomocou v: v+v’u=x (*).

Požadujeme, aby sa výraz v zátvorkách rovnal nule: u’- u=0yu Z tejto podmienky nájdeme u: du/dx=u, du/u=dx. Poďme integrovať:

3) V rovnosti (*) dosadíme =0 a

Integrál budeme hľadať na pravej strane rovnice pomocou vzorca integrácie podľa častí: u=x, du=x’dx=dx.

Odtiaľ to máme

4) Keďže y-uv, nahraďme:

2) Obe strany rovnice delíme x: y’-(2/x)y=x. Tu p(x)=-2/x, q(x)=x.

1) Náhrada y=uv, y’=u’v+v’u. Dosaďte do podmienky: xu’v+xv’u-2uv=x².

2) Zoskupte výrazy pomocou v: v+xv’u=x² (**). Teraz požadujeme, aby bola splnená podmienka xu’-2u=0. Preto x·du/dx=2u, du/u=2dx/x. Poďme sa integrovať.

V tejto téme si povieme o spôsoboch riešenia lineárnych nehomogénnych diferenciálnych rovníc tvaru y " = P (x) · y = Q (x). Začnime s metódou variácie ľubovoľnej konštanty a ukážeme si, ako ju použiť metóda na vyriešenie Cauchyho problému. Pokračujme tým, že zvážime metódu, ktorá predpokladá reprezentáciu ľubovoľnej konštanty y ako súčin dvoch funkcií u (x) a v (x).V tejto časti uvádzame veľké množstvo problémov na túto tému s podrobným rozborom riešenia.

V prípade, že vám pojmy a pojmy použité pri analýze témy nie sú známe, odporúčame vám pozrieť si časť „Základné pojmy a definície teórie diferenciálnych rovníc“.

Variačná metóda pre ľubovoľnú konštantu na riešenie LPDE prvého rádu

Pre stručnosť budeme lineárnu nehomogénnu diferenciálnu rovnicu označovať skratkou LNDE a lineárnu homogénnu diferenciálnu rovnicu (LODE).

LNDE tvaru y " = P (x) y = Q (x) zodpovedá LDE tvaru y " = P (x) y = 0 , pričom Q(x)=0. Ak sa pozriete na diferenciálnu rovnicu y " = P (x) y = 0, je jasné, že máme do činenia s rovnicou so separovateľnými premennými. Môžeme ju integrovať: y " = P (x) y = 0 ⇔ d y y = - P (x) d x , y ≠ 0 ∫ d y y = - ∫ P (x) d x ⇔ ln y + C 1 = - ∫ P (x) d x ⇔ ln y = ln C - ∫ P (x) d x , l = - C 1 , C ≠ 0 ⇔ e ln y = e ln C - ∫ P (x) d x ⇔ y = C e - ∫ P (x) d x

Môžeme tvrdiť, že aj hodnota premennej y = 0 je riešením, keďže s touto hodnotou premennej sa rovnica y " = P (x) y = 0 stáva identitou. Tento prípad zodpovedá riešeniu y = C e - ∫ P (x ) d x na hodnote C=0.

Ukazuje sa, že y = C e - ∫ P (x) d x je všeobecné riešenie LODE, kde S– ľubovoľná konštanta.

y = C · e - ∫ P (x) d x je riešenie LOD y " = P (x) · y = 0 .

Aby sme našli všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice y " = P (x) y = Q (x), budeme C považovať nie za konštantu, ale za funkciu argumentu x. V skutočnosti budeme brať y = C (x) e - ∫ P (x) d x všeobecným riešením LNDE.

Dosadme y = C (x) e - ∫ P (x) d x do diferenciálnej rovnice y " = P (x) y = Q (x). Stáva sa identitou:

y " = P (x) y = Q (x) C x e - ∫ P (x) d x + P (x) C (x) e - ∫ P (x) d x = Q (x)

Teraz prejdime k pravidlu diferenciácie produktov. Dostaneme:

C " (x) e - ∫ P (x) d x + C (x) e - ∫ P (x) d x + P (x) C (x) e - ∫ P (x) d x = Q ( x)

Derivácia komplexnej funkcie e - ∫ P (x) d x " sa rovná e - ∫ P (x) d x · - ∫ P (x) d x " .

Teraz si pripomeňme vlastnosti neurčitého integrálu. Dostaneme:

e - ∫ P (x) d x · - ∫ P (x) d x " = - e - ∫ P (x) d x · P (x)

Teraz urobme prechod:

C " (x) e - ∫ P (x) d x + C (x) e - ∫ P (x) d x " + P (x) C (x) e - ∫ P (x) d x = Q (x) C " (x) e - ∫ P (x) d x - P (x) C (x) e - ∫ P (x) d x + P (x) C (x) e - ∫ P (x) d x = Q (x ) C " (x) e - ∫ P (x) d x = Q (x)

Tak sme sa dostali k najjednoduchšej diferenciálnej rovnici prvého rádu. Pri riešení tejto rovnice definujeme funkciu C(x). To nám umožní napísať riešenie do pôvodného LPDE prvého rádu takto:

y = C (x) e - ∫ P (x) d x

Zhrnúť

Metóda zmeny ľubovoľnej konštanty pri riešení LPDE zahŕňa tri fázy:

• nájdenie všeobecného riešenia zodpovedajúcej LOD y " + P (x) · y = 0 v tvare y = C · e - ∫ P (x) d x ;
• variáciu ľubovoľnej konštanty C, ktorá spočíva v jej nahradení funkciou C(x);
• dosadením funkcie y = C (x) e - ∫ P (x) d x do pôvodnej diferenciálnej rovnice, z ktorej môžeme vypočítať C(x) a napíšte odpoveď.

Teraz poďme použiť tento algoritmus na vyriešenie problému.

Príklad 1

Nájdite riešenie Cauchyho úlohy y " - 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 , y (1) = 3 .

Riešenie

Potrebujeme nájsť konkrétne riešenie pre LNDDE y" - 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 s počiatočnou podmienkou y (1) = 3.

V našom príklade P(x) = - 2 x 1 + x 2 a Q(x)=x2+1. Začnime hľadaním všeobecného riešenia LOD. Potom použijeme metódu variácie ľubovoľnej konštanty a určíme všeobecné riešenie LPDE. To nám umožní nájsť požadované konkrétne riešenie.

Všeobecné riešenie zodpovedajúcej LOD y " - 2 x y 1 + x 2 = 0 bude rodina funkcií y = C · (x 2 + 1), kde C je ľubovoľná konštanta.

Zmeníme ľubovoľnú konštantu y = C (x) · (x 2 + 1) a dosadíme túto funkciu do pôvodnej rovnice:
y " - 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 C x · (x 2 + 1 " - 2 x · C (x) · (x 2 + 1) 1 + x 2 = 1 + x 2 C " ( x) · (x 2 + 1) + C (x) · 2 x - 2 x · C (x) = 1 + x 2 C " (x) = 1,

odkiaľ C (x) = ∫ d x = x + C 1 , kde C 1– ľubovoľná konštanta.

To znamená, že y = C (x) · (x 2 + 1) = (x + C 1) · (x 2 + 1) je všeobecným riešením nehomogénnej rovnice.

Teraz začnime hľadať konkrétne riešenie, ktoré bude spĺňať počiatočnú podmienku y (1) = 3.

Pretože y = (x + C 1) · (x 2 + 1) , potom y (1) = (1 + C 1) · (1 2 + 1) = 2 · (1 + C 1) . Ak prejdeme na počiatočnú podmienku, dostaneme rovnicu 2 · (1 + C 1) = 3, odkiaľ C 1 = 1 2. Preto požadované riešenie Cauchyho úlohy má tvar y = x + 1 2 · (x 2 + 1)

Teraz zvážte inú metódu riešenia lineárnych nehomogénnych diferenciálnych rovníc y " + P (x) · y = Q (x) .

Ďalší spôsob riešenia LPDE prvého rádu

Neznámu funkciu môžeme reprezentovať ako súčin y = u ⋅ v, kde u a v– argumentačné funkcie X.

Túto funkciu môžeme nahradiť LNDE prvého rádu. Máme:

y " + P (x) y = Q (x) (u v) " + P (x) u v = Q (x) u " v + u v " + P (x) u v = Q (x) u " v + u (v " + P (x) v) = Q (x)

Ak nájdeme také v, že ide o nenulové parciálne riešenie diferenciálnej rovnice v " + P (x) v = 0, potom u možno určiť zo separovateľnej rovnice u " · v = Q (x) .

Zoberme si tento algoritmus riešenia pomocou predchádzajúceho príkladu. To nám umožní sústrediť sa na to hlavné bez toho, aby sme boli rozptyľovaní menšími detailmi.

Príklad 2

Nájdite všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice y" - 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 .

Riešenie

Nech y = u ⋅ v, potom
y " - 2 x y x 2 + 1 = x 2 + 1 ⇔ (u v) - 2 x u v x 2 + 1 = x 2 + 1 u " v + u v " - 2 x u v x 2 + 1 = x 2 + 1 u " v + u v " - 2 x v x 2 + 1 = x 2 + 1

Toto nájdeme v, iný ako nula, takže výraz v zátvorkách bude nula. Inými slovami, nájdeme konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice v" - 2 x · v x 2 + 1 = 0.
v " - 2 x · v x 2 + 1 = 0 ⇔ d v d x = 2 x · v x 2 + 1 ⇒ d v v = 2 x d x x 2 + 1 ⇔ d v v = d (x 2 + 1) x 2 + 1 ∫ d v d = ⇒ x 2 + 1) x 2 + 1 ln v + C 1 = ln (x 2 + 1) + C 2

Zoberme si konkrétne riešenie v = x 2 + 1, ktoré zodpovedá C 2 – C 1 = 0.

Pre toto konkrétne riešenie máme
u " v + u v " - 2 x v x 2 + 1 = x 2 + 1 ⇔ u " (x 2 + 1) + u 0 = x 2 + 1 ⇔ u " = 1 ⇔ u = x +C

Preto všeobecné riešenie pôvodnej lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice je y = u v = (x + C) (x 2 + 1)

Odpovede sú v oboch prípadoch rovnaké. To znamená, že oba spôsoby riešenia, ktoré sme v článku predstavili, sú ekvivalentné. Je len na vás, ktorý z nich použijete na vyriešenie problému.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Prvý rád, ktorý má štandardný tvar $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$, kde $P\left(x\right)$ je spojité funkciu, sa nazýva lineárny homogénny. Názov "lineárny" sa vysvetľuje tým, že neznáma funkcia $y$ a jej prvá derivát$y"$ sú zahrnuté do rovnice lineárne, teda do prvého stupňa. Názov "homogénny" sa vysvetľuje tým, že na pravej strane rovnice je nula.

Takáto diferenciálna rovnica môže byť vyriešená metódou separácie premenných. Uveďme to v štandardnom tvare metódy: $y"=-P\left(x\right)\cdot y$, kde $f_(1) \left(x\right)=-P\left(x\ vpravo)$ a $f_(2)\vľavo(y\vpravo)=y$.

Vypočítajme integrál $I_(1) =\int f_(1) \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $.

Vypočítajme integrál $I_(2) =\int \frac(dy)(f_(2) \left(y\right)) =\int \frac(dy)(y) =\ln \left|y\right |$ .

Všeobecné riešenie napíšeme v tvare $\ln \left|y\right|+\int P\left(x\right)\cdot dx =\ln \left|C_(1) \right|$, kde $ \ln \left |C_(1) \right|$ je ľubovoľná konštanta prijatá vo forme vhodnej pre ďalšie transformácie.

Vykonajte transformácie:

\[\ln \left|y\right|-\ln \left|C_(1) \right|=-\int P\left(x\right)\cdot dx ; \ln \frac(\left|y\right|)(\left|C_(1) \right|) =-\int P\left(x\right)\cdot dx .\]

Pomocou definície logaritmu dostaneme: $\left|y\right|=\left|C_(1) \right|\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ . Táto rovnosť je zas ekvivalentná rovnosti $y=\pm C_(1) \cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Nahradením ľubovoľnej konštanty $C=\pm C_(1) $ získame všeobecné riešenie lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Po vyriešení rovnice $f_(2) \left(y\right)=y=0$ nájdeme špeciálne riešenia. Bežnou kontrolou sa presvedčíme, že funkcia $y=0$ je špeciálnym riešením tejto diferenciálnej rovnice.

Rovnaké riešenie však možno získať zo všeobecného riešenia $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $, pričom doň vložíte $C=0$.

Takže konečný výsledok je: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Všeobecnú metódu riešenia lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice prvého rádu možno znázorniť ako nasledujúci algoritmus:

1. Na vyriešenie tejto rovnice musí byť najprv prezentovaná v štandardnom tvare metódy $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$. Ak sa to nedosiahlo, potom je potrebné túto diferenciálnu rovnicu vyriešiť pomocou iná metóda.
2. Vypočítame integrál $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $.
3. Všeobecné riešenie zapíšeme v tvare $y=C\cdot e^(-I) $ a v prípade potreby vykonáme zjednodušujúce transformácie.

Problém 1

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice $y"+3\cdot x^(2) \cdot y=0$.

Máme lineárnu homogénnu rovnicu prvého rádu v štandardnom tvare, pre ktorú $P\left(x\right)=3\cdot x^(2) $.

Vypočítame integrál $I=\int 3\cdot x^(2) \cdot dx =x^(3) $.

Všeobecné riešenie má tvar: $y=C\cdot e^(-x^(3) ) $.

Lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice prvého rádu

Definícia

Diferenciálna rovnica prvého rádu, ktorá môže byť reprezentovaná v štandardnom tvare $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, kde $P\left(x\right)$ a $ Q\left(x\right)$ - známe spojité funkcie, sa nazýva lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica. Názov "nehomogénna" sa vysvetľuje tým, že pravá strana diferenciálnej rovnice je nenulová.

Riešenie jednej zložitej lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice možno zredukovať na riešenie dvoch jednoduchších diferenciálnych rovníc. Aby ste to dosiahli, požadovaná funkcia $y$ by mala byť nahradená súčinom dvoch pomocných funkcií $u$ a $v$, to znamená, že vložte $y=u\cdot v$.

Akceptovanú náhradu rozlišujeme: $\frac(dy)(dx) =\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) $. Výsledný výraz dosadíme do tejto diferenciálnej rovnice: $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot u\cdot v= Q\ left(x\right)$ alebo $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \left[\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v\ vpravo] =Q\vľavo(x\vpravo)$.

Všimnite si, že ak je akceptované $y=u\cdot v$, potom jednu z pomocných funkcií je možné zvoliť ľubovoľne ako súčasť produktu $u\cdot v$. Zvoľme pomocnú funkciu $v$ tak, aby výraz v hranatých zátvorkách bol nulový. Na to stačí vyriešiť diferenciálnu rovnicu $\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v=0$ pre funkciu $v$ a zvoliť pre ňu najjednoduchšie konkrétne riešenie $v=v\left(x \right)$, nenulové. Táto diferenciálna rovnica je lineárna homogénna a rieši sa metódou diskutovanou vyššie.

Výsledné riešenie $v=v\left(x\right)$ dosadíme do tejto diferenciálnej rovnice, berúc do úvahy skutočnosť, že teraz sa výraz v hranatých zátvorkách rovná nule a získame ďalšiu diferenciálnu rovnicu, ale teraz s ohľadom na na pomocnú funkciu $u$: $\ frac(du)(dx) \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. Táto diferenciálna rovnica môže byť reprezentovaná ako $\frac(du)(dx) =\frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) $, po čom je zrejmé, že umožňuje okamžité integrácia. Pre túto diferenciálnu rovnicu je potrebné nájsť všeobecné riešenie v tvare $u=u\left(x,\; C\right)$.

Teraz môžeme nájsť všeobecné riešenie tejto lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice prvého rádu v tvare $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.

Všeobecná metóda riešenia lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice prvého rádu môže byť reprezentovaná nasledujúcim algoritmom:

1. Na vyriešenie tejto rovnice musí byť najprv reprezentovaná v štandardnom tvare metódy $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$. Ak to nebolo dosiahnuté, potom túto diferenciálnu rovnicu treba riešiť inou metódou.
2. Vypočítame integrál $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx $, konkrétne riešenie zapíšeme v tvare $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $, vykonajte zjednodušujúce transformácie a vyberte najjednoduchšiu nenulovú možnosť pre $v\left(x\right)$.
3. Vypočítame integrál $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $, za ktorý napíšeme výraz v tvare $u \left(x, C\right)=I_(2) +C$.
4. Všeobecné riešenie tejto lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice zapíšeme v tvare $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ a v prípade potreby vykonáme zjednodušujúce transformácie.

Problém 2

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice $y"-\frac(y)(x) =3\cdot x$.

Máme lineárnu nehomogénnu rovnicu prvého rádu v štandardnom tvare, pre ktorú $P\left(x\right)=-\frac(1)(x) $ a $Q\left(x\right)=3\cdot x $.

Vypočítame integrál $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac(1)(x) \cdot dx=-\ln \left|x\right| $.

Konkrétne riešenie zapíšeme v tvare $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ a vykonáme zjednodušujúce transformácie: $v\left(x\right)=e^(\ln \left |x\ vpravo|) $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\vľavo(x\vpravo)=\vľavo|x\vpravo|$. Pre $v\left(x\right)$ zvolíme najjednoduchšiu nenulovú možnosť: $v\left(x\right)=x$.

Vypočítame integrál $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx =\int \frac(3\cdot x)(x ) \ cdot dx=3\cdot x $.

Napíšeme výraz $u\left(x,C\right)=I_(2) +C=3\cdot x+C$.

Všeobecné riešenie tejto lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice nakoniec zapíšeme v tvare $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, teda $y=\left( 3\cdot x+C \vpravo)\cdot x$.