Aslamazov L.G. Kruhový pohyb // Kvant. - 1972. - č. 9. - S. 51-57.

Po osobitnej dohode s redakčnou radou a redakciou časopisu "Kvant"

Na opis pohybu v kruhu spolu s lineárnou rýchlosťou sa zavádza pojem uhlová rýchlosť. Ak sa bod pohybuje po kružnici v čase Δ t opisuje oblúk, ktorého uhlová miera je Δφ, potom uhlová rýchlosť.

Uhlová rýchlosť ω súvisí s lineárnou rýchlosťou υ vzťahom υ = ω r, kde r- polomer kružnice, po ktorej sa bod pohybuje (obr. 1). Koncept uhlovej rýchlosti je obzvlášť vhodný na opis rotácie tuhého telesa okolo osi. Aj keď lineárne rýchlosti bodov umiestnených v rôznych vzdialenostiach od osi nebudú rovnaké, ich uhlové rýchlosti budú rovnaké a môžeme hovoriť o uhlovej rýchlosti otáčania telesa ako celku.

Úloha 1. Polomer disku r roluje bez skĺznutia na vodorovnej rovine. Rýchlosť stredu disku je konštantná a rovná sa υ p. S akou uhlovou rýchlosťou sa disk v tomto prípade otáča?

Každý bod disku sa zúčastňuje dvoch pohybov – translačného s rýchlosťou υ n spolu so stredom disku a rotačného pohybu okolo stredu s určitou uhlovou rýchlosťou ω.

Na nájdenie ω využívame absenciu sklzu, to znamená skutočnosť, že v každom okamihu je rýchlosť bodu disku v kontakte s rovinou nulová. To znamená, že k veci ALE(obr. 2) rýchlosť translačného pohybu υ p je veľkosťou a opačným smerom rovnaká ako lineárna rýchlosť rotačného pohybu υ vr = ω· r. Odtiaľ sa okamžite dostaneme.

Úloha 2. Nájdite rýchlostné body AT, OD a D ten istý disk (obr. 3).

Najprv zvážte bod AT. Lineárna rýchlosť jeho rotačného pohybu smeruje vertikálne nahor a rovná sa , teda veľkosťou rovnú rýchlosti translačného pohybu, ktorý však smeruje horizontálne. Pri vektorovom sčítaní týchto dvoch rýchlostí zistíme, že výsledná rýchlosť je υ B má rovnakú veľkosť a zviera s horizontom uhol 45°. Na mieste OD rotačné a translačné rýchlosti sú smerované rovnakým smerom. Výsledná rýchlosť υ C rovná 2υ n a smeruje horizontálne. Podobne sa zistí rýchlosť bodu D(Pozri obr. 3).

Dokonca aj v prípade, keď sa rýchlosť bodu pohybujúceho sa po kružnici nemení na veľkosti, bod má určité zrýchlenie, pretože sa mení smer vektora rýchlosti. Toto zrýchlenie sa nazýva dostredivý. Smeruje do stredu kruhu a rovná sa ( R je polomer kružnice, ω a υ sú uhlové a lineárne rýchlosti bodu).

Ak sa rýchlosť bodu pohybujúceho sa po kružnici mení nielen v smere, ale aj vo veľkosti, potom spolu s dostredivým zrýchlením vzniká aj tzv. tangenciálny zrýchlenie. Smeruje tangenciálne ku kružnici a rovná sa pomeru (Δυ je zmena rýchlosti v čase Δ t).

Úloha 3. Nájdite zrýchlenie bodov ALE, AT, OD a D polomer disku r rolovanie bez skĺznutia po vodorovnej rovine. Rýchlosť stredu disku je konštantná a rovná sa υ p (obr. 3).

V súradnicovom systéme spojenom so stredom disku sa disk otáča uhlovou rýchlosťou ω a rovina sa pohybuje dopredu rýchlosťou υ p. Medzi diskom a rovinou teda nedochádza k preklzávaniu. Rýchlosť translačného pohybu υ p sa nemení, preto je uhlová rýchlosť otáčania disku konštantná a body disku majú len dostredivé zrýchlenie smerujúce do stredu disku. Keďže sa súradnicový systém pohybuje bez zrýchlenia (s konštantnou rýchlosťou υ p), potom v pevnom súradnicovom systéme budú zrýchlenia bodov disku rovnaké.

Prejdime teraz k problémom o dynamike rotačného pohybu. Uvažujme najskôr o najjednoduchšom prípade, keď pohyb po kružnici prebieha konštantnou rýchlosťou. Keďže zrýchlenie telesa smeruje do stredu, potom musí do stredu smerovať aj vektorový súčet všetkých síl pôsobiacich na teleso a podľa druhého Newtonovho zákona.

Treba mať na pamäti, že pravá strana tejto rovnice zahŕňa iba skutočné sily pôsobiace na dané teleso z iných telies. Nie dostredivá sila nevzniká pri pohybe v kruhu. Tento výraz sa používa jednoducho na označenie výslednice síl pôsobiacich na teleso pohybujúce sa v kruhu. Čo sa týka odstredivá sila, potom vzniká až pri popise pohybu po kružnici v neinerciálnej (rotačnej) súradnicovej sústave. Vôbec tu nepoužijeme pojem dostredivá a odstredivá sila.

Úloha 4. Určte najmenší polomer zakrivenia vozovky, ktorý môže auto prejsť rýchlosťou υ = 70 km/h a koeficient trenia pneumatík na vozovke k =0,3.

R = m g, sila reakcie na ceste N a trecia sila F tr medzi pneumatikami auta a vozovkou. sily R a N nasmerované vertikálne a rovnakej veľkosti: P = N. Trecia sila, ktorá zabraňuje šmyku vozidla ("šmyk"), smeruje do stredu zákruty a udeľuje dostredivé zrýchlenie: . Maximálna hodnota trecej sily F tr max = k· N = k· m g, preto minimálnu hodnotu polomeru kružnice, po ktorej sa ešte možno pohybovať rýchlosťou υ, určíme z rovnice . Odtiaľto (m).

Cestná reakčná sila N keď sa auto pohybuje v kruhu, neprechádza cez ťažisko auta. Je to spôsobené tým, že jeho moment vzhľadom na ťažisko musí kompenzovať trecí moment, ktorý má tendenciu auto prevrátiť. Veľkosť trecej sily je tým väčšia, čím väčšia je rýchlosť auta. Pri určitej rýchlosti moment trecej sily prevýši moment reakčnej sily a auto sa prevráti.

Úloha 5. Akou rýchlosťou sa auto pohybuje po oblúku kruhu s polomerom R= 130 m, môže sa prevrátiť? Ťažisko vozidla je vo výške h= 1 m nad vozovkou, rozchod vozidla l= 1,5 m (obr. 4).

V čase prevrátenia auta ako reakčná sila vozovky N a sila trenia F mp sú pripevnené k "vonkajšiemu" kolesu. Keď sa auto pohybuje po kruhu rýchlosťou υ, pôsobí naň trecia sila. Táto sila vytvára moment okolo ťažiska vozidla. Maximálny moment reakčnej sily vozovky N = m g vzhľadom na ťažisko je (v momente prevrátenia prechádza reakčná sila cez vonkajšie koleso). Prirovnaním týchto momentov nájdeme rovnicu pre maximálnu rýchlosť, pri ktorej sa auto ešte neprevráti:

Odkiaľ ≈ 30 m/s ≈ 110 km/h.

Na to, aby sa auto pohybovalo takouto rýchlosťou, je potrebný koeficient trenia (viď predchádzajúci problém).

Podobná situácia nastáva pri otáčaní motorky alebo bicykla. Trecia sila, ktorá vytvára dostredivé zrýchlenie, má moment okolo ťažiska, ktorý má tendenciu prevrátiť motocykel. Preto, aby tento moment kompenzoval momentom reakčnej sily vozovky, motorkár sa nakloní k zákrute (obr. 5).

Úloha 6. Motocyklista ide po vodorovnej ceste rýchlosťou υ = 70 km/h, pričom zatáča s polomerom R\u003d 100 m. V akom uhle α k horizontu by sa mal nakloniť, aby nespadol?

Sila trenia medzi motocyklom a vozovkou, ktorá udeľuje motocyklistovi dostredivé zrýchlenie. Cestná reakčná sila N = m g. Podmienka rovnosti momentov trecej sily a reakčnej sily vzhľadom na ťažisko dáva rovnicu: F tp l sinα = N· l cos α, kde l- vzdialenosť OA od ťažiska po stopu motocykla (pozri obr. 5).

Nahradením hodnôt F tp a N, nájsť niečo resp . Všimnite si, že výslednica síl N a F tp pri tomto uhle sklonu motocykla prechádza ťažiskom, čo zabezpečuje, že celkový moment síl je rovný nule N a F tp .

Aby sa zvýšila rýchlosť pohybu po zaoblení cesty, úsek cesty na odbočke je naklonený. Zároveň sa na tvorbe dostredivého zrýchlenia podieľa okrem trecej sily aj reakčná sila vozovky.

Úloha 7. Akou maximálnou rýchlosťou υ sa môže auto pohybovať po naklonenej trati s uhlom sklonu α s polomerom zakrivenia R a koeficient trenia pneumatík na vozovke k?

Na auto pôsobí gravitačná sila m g, reakčná sila N, smerujúce kolmo na rovinu koľaje, a trecia sila F tp smerované pozdĺž dráhy (obr. 6).

Keďže nás v tomto prípade nezaujímajú momenty síl pôsobiacich na auto, nakreslili sme všetky sily pôsobiace na ťažisko auta. Vektorový súčet všetkých síl musí smerovať do stredu kružnice, po ktorej sa vozidlo pohybuje, a musí mu udeliť dostredivé zrýchlenie. Preto súčet priemetov síl v smere do stredu (horizontálny smer) je , tj.

Súčet priemetov všetkých síl vo vertikálnom smere je nulový:

N cos α - m g – F tp sinα = 0.

Dosadením do týchto rovníc maximálnu možnú hodnotu trecej sily F tp = k N a bez sily N, nájdite maximálnu rýchlosť , s ktorým sa po takejto dráhe ešte dá pohybovať. Tento výraz je vždy väčší ako hodnota zodpovedajúca vodorovnej ceste.

Keď sme sa zaoberali dynamikou rotácie, prejdime k problémom pre rotačný pohyb vo vertikálnej rovine.

Úloha 8. hromadné auto m= 1,5 t sa pohybuje rýchlosťou υ = 70 km/h po ceste znázornenej na obrázku 7. Úseky ciest AB a slnko možno považovať za oblúky kružníc s polomerom R= 200 m sa navzájom dotýkajú v jednom bode AT. Určte tlakovú silu auta na vozovku v bodoch ALE a OD. Ako sa zmení tlaková sila, keď auto prejde bodom AT?

Na mieste ALE na auto pôsobí gravitácia R = m g a sila reakcie na ceste N A. Vektorový súčet týchto síl musí smerovať do stredu kružnice, teda zvisle nadol, a vytvárať dostredivé zrýchlenie: , odkiaľ (H). Tlaková sila auta na vozovku má rovnakú veľkosť a opačný smer ako reakčná sila. Na mieste OD vektorový súčet síl smeruje kolmo nahor: a (H). Teda v bode ALE sila tlaku je menšia ako sila gravitácie a v bode OD- viac.

Na mieste AT auto sa pohybuje z konvexného úseku cesty do konkávneho (alebo naopak). Pri jazde na konvexnom úseku musí projekcia gravitácie v smere do stredu prekročiť reakčnú silu vozovky Pozn 1, a . Pri jazde na konkávnom úseku vozovky naopak reakčná sila vozovky N B 2 prekonáva projekciu gravitácie: .

Z týchto rovníc získame, že pri prechode bodom AT tlaková sila auta na vozovku sa náhle zmení o hodnotu ≈ 6·10 3 N. Samozrejme, takéto rázové zaťaženia pôsobia deštruktívne tak na auto, ako aj na vozovku. Preto sa cesty a mosty vždy snažia, aby sa ich zakrivenie plynulo menilo.

Keď sa auto pohybuje po kružnici konštantnou rýchlosťou, súčet priemetov všetkých síl na smer dotyčnice ku kružnici sa musí rovnať nule. V našom prípade je tangenciálna zložka gravitácie vyvážená silou trenia medzi kolesami auta a vozovkou.

Veľkosť trecej sily je riadená krútiacim momentom aplikovaným na kolesá motorom. Tento moment má tendenciu spôsobiť preklzávanie kolies vzhľadom na vozovku. Preto vzniká trecia sila, ktorá zabraňuje skĺznutiu a je úmerná pôsobiacemu momentu. Maximálna hodnota trecej sily je k N, kde k je koeficient trenia medzi pneumatikami auta a vozovkou, N- sila tlaku na vozovku. Pri pohybe auta nadol hrá trecia sila úlohu brzdnej sily a pri pohybe nahor naopak úlohu ťažnej sily.

Úloha 9. Hmotnosť vozidla m= 0,5 t, pohybujúce sa rýchlosťou υ = 200 km/h, vytvára „slepú slučku“ o polomere R= 100 m (obr. 8). Určte tlakovú silu auta na vozovku v hornej časti slučky ALE; v bode AT, ktorého polomerový vektor zviera s vertikálou uhol α = 30°; v bode OD kde rýchlosť auta smeruje vertikálne. Je možné, aby sa auto pohybovalo po slučke takouto konštantnou rýchlosťou s koeficientom trenia pneumatík na vozovke? k = 0,5?

V hornej časti slučky sila gravitácie a reakčná sila vozovky N A smerované kolmo nadol. Súčet týchto síl vytvára dostredivé zrýchlenie: . Preto N.

Tlaková sila auta na vozovku má rovnakú veľkosť a opačný smer ako sila N A.

Na mieste AT dostredivé zrýchlenie je vytvorené súčtom reakčnej sily a projekcie gravitácie v smere do stredu: . Odtiaľ N.

Je ľahké to vidieť NB > N A; so zväčšujúcim sa uhlom α sa zvyšuje reakčná sila vozovky.

Na mieste OD reakčná sila H; dostredivé zrýchlenie v tomto bode vytvára iba reakčná sila a gravitácia smeruje tangenciálne. Pri pohybe pozdĺž spodnej časti slučky reakčná sila tiež prekročí maximálnu hodnotu H reakčná sila má v bode D. Význam je teda minimálna hodnota reakčnej sily.

Rýchlosť auta bude konštantná, ak tangenciálna zložka gravitácie neprekročí maximálnu treciu silu k N vo všetkých bodoch slučky. Táto podmienka je určite splnená, ak je minimálna hodnota presahuje maximálnu hodnotu tangenciálnej zložky sily závažia. V našom prípade sa táto maximálna hodnota rovná m g(dosiahne sa v bode OD), a podmienka je splnená pre k= 0,5, υ = 200 km/h, R= 100 m.

V našom prípade je teda možný pohyb auta po „mŕtvej slučke“ konštantnou rýchlosťou.

Zvážte teraz pohyb auta po „mŕtvej slučke“ s vypnutým motorom. Ako už bolo uvedené, zvyčajne moment trecej sily pôsobí proti momentu, ktorý na kolesá pôsobí motor. Keď sa auto pohybuje s vypnutým motorom, tento moment chýba a trecia sila medzi kolesami auta a vozovkou môže byť zanedbaná.

Rýchlosť auta už nebude konštantná – tangenciálna zložka gravitácie spomaľuje alebo zrýchľuje pohyb auta po „mŕtvej slučke“. Zmení sa aj dostredivé zrýchlenie. Vzniká, ako obvykle, výslednou reakčnou silou vozovky a projekciou gravitácie smerom do stredu slučky.

Úloha 10. Aká je minimálna rýchlosť, ktorú by malo mať auto v spodnej časti slučky D(pozri obr. 8), aby ste to urobili s vypnutým motorom? Aká bude tlaková sila auta na vozovku v bode AT? Polomer slučky R= 100 m, hmotnosť vozidla m= 0,5 t.

Pozrime sa, aká je minimálna rýchlosť, ktorú môže mať auto v hornej časti slučky ALE stále sa pohybovať v kruhu?

Dostredivé zrýchlenie v tomto bode na vozovke je vytvorené súčtom gravitačnej sily a reakčnej sily vozovky. . Čím nižšia je rýchlosť auta, tým nižšia je reakčná sila. N A. S hodnotou táto sila zmizne. Pri nižšej rýchlosti gravitácia prekročí hodnotu potrebnú na vytvorenie dostredivého zrýchlenia a auto sa zdvihne z cesty. Pri rýchlosti mizne reakčná sila cesty iba v hornej časti slučky. Rýchlosť auta v iných úsekoch slučky bude skutočne väčšia a ako je ľahké vidieť z riešenia predchádzajúceho problému, reakčná sila cesty bude tiež väčšia ako v bode ALE. Preto, ak má auto v hornej časti slučky rýchlosť , potom slučku nikde neopustí.

Teraz určíme, akú rýchlosť má mať auto v spodnej časti slučky D do hornej časti slučky ALE jeho rýchlosť. Ak chcete zistiť rýchlosť υ D môžete použiť zákon zachovania energie, ako keby sa auto pohybovalo iba pod vplyvom gravitácie. Faktom je, že reakčná sila cesty je v každom okamihu nasmerovaná kolmo na pohyb auta, a preto je jeho práca nulová (pripomeňme, že práca Δ A = F·Δ s cos α, kde α je uhol medzi silou F a smer pohybu Δ s). Treciu silu medzi kolesami auta a vozovkou pri jazde s vypnutým motorom možno zanedbať. Preto sa súčet potenciálnej a kinetickej energie auta pri jazde s vypnutým motorom nemení.

Porovnajme hodnoty energie automobilu v bodoch ALE a D. V tomto prípade budeme výšku počítať od úrovne bodu D, to znamená, že potenciálna energia auta v tomto bode sa bude považovať za nulovú. Potom dostaneme

Tu sa nahradí hodnota pre požadovanú rýchlosť υ D, zistíme: ≈ 70 m/s ≈ 260 km/h.

Ak auto vstúpi do slučky touto rýchlosťou, bude ju môcť dokončiť aj s vypnutým motorom.

Poďme teraz určiť, akou silou bude auto tlačiť na cestu v bode AT. Rýchlosť vozidla v bode AT opäť je ľahké nájsť zo zákona zachovania energie:

Nahradením hodnoty tu zistíme, že rýchlosť .

Pomocou riešenia predchádzajúcej úlohy pre danú rýchlosť nájdeme tlakovú silu v bode B:

Podobne môžete nájsť tlakovú silu v ktoromkoľvek inom bode „mŕtvej slučky“.

Cvičenia

1. Nájdite uhlovú rýchlosť umelej družice Zeme rotujúcej po kruhovej dráhe s periódou otáčania T= 88 min. Nájdite lineárnu rýchlosť tohto satelitu, ak je známe, že jeho dráha sa nachádza vo vzdialenosti R= 200 km od povrchu Zeme.

2. Polomer disku R umiestnené medzi dvoma rovnobežnými tyčami. Koľajnice sa pohybujú rýchlosťou υ 1 a υ 2. Určte uhlovú rýchlosť disku a rýchlosť jeho stredu. Nedochádza k pošmyknutiu.

3. Disk sa kotúľa po vodorovnom povrchu bez šmýkania. Ukážte, že konce vektorov rýchlosti bodov vertikálneho priemeru sú na rovnakej priamke.

4. Lietadlo sa pohybuje po kružnici konštantnou horizontálnou rýchlosťou υ = 700 km/h. Definujte polomer R tento kruh, ak je telo lietadla naklonené pod uhlom α = 5°.

5. Hromadné zaťaženie m\u003d 100 g, zavesené na nite dĺžky l= 1 m, rotuje rovnomerne v kruhu vo vodorovnej rovine. Nájdite periódu otáčania záťaže, ak sa pri jej otáčaní závit vychýli vertikálne o uhol α = 30°. Určite aj napätie nite.

6. Automobil sa pohybuje rýchlosťou υ = 80 km/h po vnútornom povrchu zvislého valca o polomere R= 10 m v horizontálnom kruhu. Pri akom minimálnom koeficiente trenia medzi pneumatikami auta a povrchom valca je to možné?

7. Hromadné zaťaženie m zavesené na neroztiahnuteľnej nite, ktorej maximálne možné napätie je 1,5 m g. Pod akým maximálnym uhlom α sa môže niť odkloniť od zvislice, aby sa niť pri ďalšom pohybe bremena nepretrhla? Aké bude napätie nite v momente, keď niť zviera s vertikálou uhol α/2?

Odpovede

I. Uhlová rýchlosť umelej družice Zeme ≈ 0,071 rad/s. Lineárna rýchlosť satelitu υ = ω· R. kde R je polomer obežnej dráhy. Nahrádzanie tu R = R 3 + h, kde R 3 ≈ 6400 km, nájdeme υ ≈ 467 km/s.

2. Tu sú možné dva prípady (obr. 1). Ak je uhlová rýchlosť disku ω a rýchlosť jeho stredu je υ, potom sa rýchlosti bodov v kontakte s koľajnicami budú rovnať

v prípade a) υ 1 = υ + ω R, υ 2 = υ - ω R;

v prípade b) υ 1 = υ + ω R, υ 2 = ω R – υ.

(Pre istotu sme predpokladali, že υ 1 > υ 2). Pri riešení týchto systémov zistíme:

a)

b)

3. Rýchlosť akéhokoľvek bodu M ležiace na segmente OV(pozri obr. 2) sa zistí podľa vzorca υ M = υ + ω· rM, kde rM- vzdialenosť od bodu M do stredu disku O. Za akýkoľvek bod N patriace do segmentu OA, máme: υ N = υ – ω· rN, kde r N- vzdialenosť od bodu N do centra. Označte ρ vzdialenosť od ktoréhokoľvek bodu priemeru VA k veci ALE kontakt disku s rovinou. Potom je zrejmé, že rM = ρ – R a r N = R – ρ = –(ρ – R). kde R je polomer disku. Preto je rýchlosť ľubovoľného bodu na priemere VA sa zistí podľa vzorca: υ ρ = υ + ω (ρ – R). Keďže sa disk odvaľuje bez preklzovania, potom pre rýchlosť υ ρ dostaneme υ ρ = ω · ρ. Z toho vyplýva, že konce vektorov rýchlosti sú na priamke vychádzajúcej z bodu ALE a sklonená k priemeru VA pod uhlom úmerným uhlovej rýchlosti otáčania disku ω.

Dokázané tvrdenie nám umožňuje dospieť k záveru, že komplexný pohyb bodov umiestnených na priemere VA, možno v každom danom momente považovať za jednoduchú rotáciu okolo pevného bodu ALE s uhlovou rýchlosťou ω rovnajúcou sa uhlovej rýchlosti rotácie okolo stredu disku. V každom okamihu sú rýchlosti týchto bodov nasmerované kolmo na priemer VA, a majú rovnakú veľkosť ako súčin ω a vzdialenosť k bodu ALE.

Ukazuje sa, že toto tvrdenie platí pre akýkoľvek bod na disku. Navyše je to všeobecné pravidlo. Pri akomkoľvek pohybe tuhého telesa v každom okamihu existuje os, okolo ktorej sa teleso jednoducho otáča - okamžitá os otáčania.

4. Na rovinu pôsobí (pozri obr. 3) gravitácia R = m g a zdvíhacia sila N, smerujúce kolmo na rovinu krídel (keďže lietadlo sa pohybuje konštantnou rýchlosťou, ťažná sila a odpor vzduchu sa navzájom vyrovnávajú). Výsledná sila R

6. Na auto pôsobí (obr. 5) gravitácia R = m g, reakčná sila zo strany valca N a trecia sila F tp . Keďže sa auto pohybuje v horizontálnom kruhu, sily R a F tp vyrovnať sa navzájom, a sila N vytvára dostredivé zrýchlenie. Maximálna hodnota trecej sily súvisí s reakčnou silou N pomer: F tp = k N. Výsledkom je systém rovníc: , z ktorej sa zistí minimálna hodnota koeficientu trenia

7. Náklad sa bude pohybovať v kruhu s polomerom l(obr. 6). Dostredivé zrýchlenie zaťaženia (υ - rýchlosť zaťaženia) je vytvorené rozdielom hodnôt napínacej sily nite T a gravitačné projekcie m g smer závitu: . Preto , kde β je uhol, ktorý zviera závit s vertikálou. Keď zaťaženie klesá, jeho rýchlosť sa zvýši a uhol β sa zníži. Napätie nite bude maximálne pri uhle β = 0 (v momente, keď je niť zvislá): . Maximálnu rýchlosť záťaže υ 0 zistíme z uhla α, o ktorý je závit vychýlený, zo zákona zachovania energie:

Pomocou tohto pomeru pre maximálnu hodnotu napätia nite získame vzorec: T max = m g(3 – 2 cos α). Podľa zadania T m ax = 2 m g. Porovnaním týchto výrazov nájdeme cos α = 0,5, a teda α = 60°.

Poďme teraz určiť napätie vlákna pri . Rýchlosť zaťaženia v tomto okamihu je tiež zistená zo zákona zachovania energie:

Dosadením hodnoty υ 1 do vzorca pre ťahovú silu zistíme:

Problémy s riešeniami a odpoveďami na cvičenia

Koleso s hmotnosťou M a polomerom r sa odvaľuje bez kĺzania po rovnej vodorovnej koľajnici. Určte hlavný vektor a hlavný moment zotrvačných síl okolo osi prechádzajúcej ťažiskom kolesa kolmo na rovinu pohybu. Považujte koleso za pevný homogénny disk. Ťažisko sa pohybuje podľa zákona xC=at2/2, kde a je konštantná kladná hodnota Určte hlavný vektor a hlavný moment zotrvačných síl pohyblivého kolesa 2 planétového mechanizmu voči osi prechádzajúcej jeho ťažisko kolmé na rovinu pohybu. Kľuka OC sa otáča konštantnou uhlovou rýchlosťou. Hmotnosť kolesa 2 je rovná M. Polomery kolies sú r Koniec A homogénnej tenkej tyče AB dĺžky 2l a hmotnosti M sa pohybuje po vodorovnom vedení pomocou dorazu E konštantnou rýchlosťou v. , a tyč vždy spočíva na uhle D. Určte hlavný vektor a hlavný moment síl zotrvačnosti tyče voči osi prechádzajúcej ťažiskom C tyče kolmo na rovinu pohybu v závislosti od uhla φ. k predchádzajúcej úlohe určte dynamický tlak ND tyče pod uhlom D. Na experimentálne určenie spomalenia trolejbusu sa používa kvapalinový akcelerometer pozostávajúci zo zakrivenej trubice naplnenej olejom a umiestnenej vo vertikálnej rovine. Určte mieru spomalenia trolejbusu pri brzdení, ak zároveň hladina kvapaliny na konci rúrky umiestnenej v smere pohybu stúpa na h2 a na opačnom konci klesá na h1. α1=α2=45°, h1=25 mm, h2=75 mm S akým zrýchlením sa má pohybovať hranol po vodorovnej rovine, ktorej bočná plocha zviera s horizontom uhol α, aby náklad ležiaci na boku čelo sa nepohybuje vzhľadom na hranol? štúdium účinku rýchlo sa striedajúcich ťahových a tlakových síl na kovovú tyč (únavový test), skúšobná tyč A je pripevnená na hornom konci k posúvaču B kľukového mechanizmu BCO a na spodnom konci je zavesené závažie o hmotnosti M. Nájdite silovú ťahovú tyč v prípade, keď sa kľuka OC otáča okolo osi O konštantnou uhlovou rýchlosťou Určte podperné reakcie axiálneho ložiska A a ložiska B ložiska. rotačný žeriav pri zdvíhaní bremena E o hmotnosti 3 tony so zrýchlením (1/3)g. Hmotnosť žeriavu je 2 tony a jeho ťažisko je v bode C. Hmotnosť vozíka D je 0,5 t. Žeriav a vozík sú nehybné Určite podperné reakcie axiálneho ložiska A a ložiska B rotačný žeriav uvažovaný v predchádzajúcom probléme, keď sa vozík bez zaťaženia E pohybuje doľava so zrýchlením 0,5g. Ťažisko vozíka je na úrovni podpery B. Nákladné auto s hmotnosťou 7 ton vchádza na trajekt, priviazaný k brehu dvoma paralelnými lanami, rýchlosťou 12 km/h; brzdy zastavia vozík na 3 m.Za predpokladu, že trecia sila kolies na palube trajektu je konštantná, určte napnutie lán. Ignorujte hmotnosť a zrýchlenie trajektu Auto s hmotnosťou M sa pohybuje v priamom smere so zrýchlením w. Určte vertikálny tlak predných a zadných kolies automobilu, ak je jeho ťažisko C vo výške h od povrchu zeme. Vzdialenosti prednej a zadnej nápravy automobilu od vertikály prechádzajúcej cez ťažisko sú rovné a a b. Ignorujte hmotnosti kolies. Ako by sa malo auto pohybovať, aby boli tlaky na predné a zadné kolesá rovnaké? S akým zrýchlením w klesá zaťaženie hmotnosti M1, čím sa zvyšuje zaťaženie hmotnosti M2 pomocou reťazového kladkostroja znázorneného na obrázku? Aká je podmienka rovnomerného pohybu bremena M1? Ignorujte hmotnosti blokov a kábla Hladký klin s hmotnosťou M as uhlom 2α na vrchole tlačí dve dosky s hmotnosťou M1, každú ležiacu na hladkom vodorovnom stole. Napíšte pohybové rovnice klinu a platní a určte prítlačnú silu klinu na každú z platní Závažie A s hmotnosťou M1 pri páde uvedie do pohybu závažie B s hmotnosťou M2 pomocou vrhanej neroztiahnuteľnej nite. cez pevný blok C. Určte tlakovú silu stola D na podlahu, ak jeho hmotnosť je M3. Ignorujte hmotnosť vlákna Záťaž A hmotnosti M1, klesajúca po naklonenej rovine D, zvierajúca s horizontom uhol α, uvedie do pohybu záťaž B s hmotnosťou M2 pomocou neroztiahnuteľného vlákna prehodeného cez pevný blok C . Určte vodorovnú zložku tlaku naklonenej roviny D na podlahový výstupok E. Hmotnosť závitu ignorujte Homogénna tyč hmotnosti M a dĺžky l sa otáča konštantnou uhlovou rýchlosťou ω okolo pevnej vertikálnej osi kolmej na tyč. a prechádza cez jej koniec. Určte ťahovú silu v priereze tyče vo vzdialenosti a od osi otáčania Homogénna obdĺžniková doska s hmotnosťou M sa rovnomerne otáča okolo zvislej osi uhlovou rýchlosťou ω. Určte silu, ktorá trhá platňu v smere kolmom na os otáčania v reze prechádzajúcom osou otáčania Rovnomerný kruhový kotúč s polomerom R a hmotnosťou M sa otáča konštantnou uhlovou rýchlosťou ω okolo svojho vertikálneho priemeru. Určte silu, ktorá trhá kotúč pozdĺž priemeru Tenká homogénna tyč priamočiara dĺžky l a hmotnosti M rotuje konštantnou uhlovou rýchlosťou ω okolo pevného bodu O (guľový kĺb), pričom opisuje kužeľovú plochu s osou OA a vrcholom v bode O . Vypočítajte uhol odchýlky tyče od zvislého smeru, ako aj hodnotu N tlaku tyče na záves O. V odstredivom tachometri sú dve tenké rovnomerné priame tyče dĺžky a a b pevne spojené v bode a. pravý uhol, ktorého vrchol O je otočne spojený so zvislým hriadeľom; hriadeľ sa otáča konštantnou uhlovou rýchlosťou ω. Nájdite vzťah medzi ω a uhlom vychýlenia, ktorý tvorí smer tyče dĺžky a a vertikála Tenká rovnomerná priama tyč AB je otočne spojená so zvislým hriadeľom v bode O. Hriadeľ sa otáča konštantnou rýchlosťou ω. Určte uhol odchýlky φ tyče od vertikály, ak OA=a a OB=b. vzdialenosti ložísk od kolesa sú medzi sebou rovnaké. Nájdite tlakové sily na ložiská, keď hriadeľ dosiahne 1200 ot./min. Zotrvačník má rovinu symetrie kolmú na os otáčania. Homogénny kruhový kotúč s hmotnosťou M sa otáča rovnomerne s uhlovou rýchlosťou ω okolo pevnej osi umiestnenej v rovine kotúča a vzdialenej od svojho ťažiska C vo vzdialenosti OC=a. Určte sily dynamického nápravového tlaku na axiálne ložisko A a ložisko B, ak OB=OA. Os x a y sú vždy spojené s kotúčom Predchádzajúcu úlohu riešte za predpokladu, že v prítomnosti odporových síl uhlová rýchlosť kotúča klesá podľa zákona ω=ω0-ε0t, kde ω0 a ε0 sú kladné konštanty dve zaťaženia C a D pomocou dvoch tyčí OC=OD=r kolmých na os AB a navyše navzájom kolmých. Určte sily dynamického tlaku osi AB na axiálne ložisko A a ložisko B. Závažia C a D uvažujte ako hmotné body hmotnosti M každého. Ignorujte hmotnosti tyčí. V počiatočnom momente bol systém v pokoji. S tyčami sú pevne spojené osi x a y. Tyč AB dĺžky 2l, na koncoch ktorej sú závažia rovnakej hmotnosti M, sa otáča rovnomerne s uhlovou rýchlosťou ω okolo zvislej osi Oz prechádzajúcej stredom O dĺžka tyče. Vzdialenosť bodu O od ložiska C je a, od axiálneho ložiska D je b. Uhol medzi tyčou AB a osou Oz má konštantnú hodnotu α. Pri zanedbaní hmotnosti tyče a rozmerov závaží určte priemet tlakových síl na ložisko C a axiálne ložisko D v momente, keď je tyč v rovine Oyz Ha konce osi AB sú umiestnené. na dvoch identických kľukách AC a BD s dĺžkou l a hmotnosťou každej M1, vzájomne zaklinenými pod uhlom 180°. Náprava AB s dĺžkou 2a a hmotnosťou M2 sa otáča konštantnou uhlovou rýchlosťou ω v ložiskách E a F symetricky rozmiestnených vo vzdialenosti 2b od seba. Určte tlakové sily NE a NF na ložiská, keď AC kľuka smeruje zvisle nahor. Hmota každej kľuky sa považuje za rovnomerne rozloženú pozdĺž jej osi.K vodorovnému hriadeľu AB, otáčajúcemu sa konštantnou uhlovou rýchlosťou ω, sú pripevnené dve rovnaké tyče dĺžky l, ktoré sú na ňu kolmé, ležiace vo vzájomne kolmých rovinách. Na koncoch tyčí sú guličky D a E s hmotnosťou m každá. Určte sily dynamického tlaku hriadeľa na podpery A a B. Uvažujme gule ako hmotné body; Ignorujte hmotnosti tyčí Dve tyče sú pevne pripevnené k zvislému hriadeľu AB otáčajúcemu sa konštantnou uhlovou rýchlosťou ω. Tyč OE zviera uhol φ s hriadeľom, tyč OD je kolmá na rovinu obsahujúcu hriadeľ AB a tyč OE. Dané rozmery: OE=OD=l, AB=2a. Na koncoch tyčí sú pripevnené dve guľôčky E a D s hmotnosťou m. Určte dynamické tlakové sily hriadeľa na podperách A a B. Uvažujte gule D a E ako bodové hmoty; neberte do úvahy hmotnosti tyčí Pomocou podmienky úlohy 34.1 určte dynamické tlakové sily kľukového hriadeľa na ložiská K a L. Hriadeľ sa otáča rovnomerne s uhlovou rýchlosťou ω Homogénna tyč KL, pripevnená v strede pod uhlom α k vertikálnej osi AB, rotuje rovnomerne zrýchlene okolo tejto osi s uhlovým zrýchlením ε. Určte sily dynamického tlaku osi AB na axiálne ložisko A a ložisko B, ak: M je hmotnosť tyče, 2l je jej dĺžka, OA=OB=h/2; OK=OL=l. V počiatočnom momente bol systém v pokoji Homogénna obdĺžniková doska OABD s hmotnosťou M so stranami a a b, pripevnená stranou OA k hriadeľu OE, rotuje konštantnou uhlovou rýchlosťou ω. Vzdialenosť medzi podperami OE=2a. Vypočítajte bočné sily dynamického tlaku hriadeľa na podpery O a E. Priamy homogénny okrúhly valec hmotnosti M, dĺžky 2l a polomeru r sa otáča konštantnou uhlovou rýchlosťou okolo zvislej osi Oz prechádzajúcej ťažiskom O. valca; uhol medzi osou valca Oζ a osou Oz si zachováva konštantnú hodnotu α. Vzdialenosť H1H2 medzi axiálnym ložiskom a ložiskom sa rovná h. Určte bočné tlakové sily na ne Vypočítajte tlakové sily v ložiskách A a B pri otáčaní okolo osi AB homogénneho tenkého kruhového kotúča CD parnej turbíny za predpokladu, že os AB prechádza stredom O kotúča, ale v dôsledku k nesprávnemu vystruženiu puzdra zviera s kolmicou na rovinu disku uhol AOE =α=0,02 rad. Dané: hmotnosť disku je 3,27 kg, jeho polomer je 20 cm, uhlová rýchlosť zodpovedá 30 000 ot./min., vzdialenosť AO=50 cm, OB=30 cm; os AB sa považuje za absolútne tuhú a sin 2α=2α. V dôsledku nepresnej montáže kruhového kotúča parnej turbíny rovina kotúča zviera s osou AB uhol α a ťažisko C kotúča neleží na tejto osi. Excentricita OC=a. Nájdite bočné sily dynamického tlaku na ložiská A a B, ak je hmotnosť disku M, jeho polomer je R a AO=OB=h; uhlová rýchlosť disku je konštantná

Nájdite lineárnu rýchlosť Zeme v počas svojho orbitálneho pohybu. Priemerný polomer zemskej obežnej dráhy R\u003d 1,5 10 8 km.

Odpoveď a riešenie

v≈ 30 km/s.

v = 2πR/(365 24 60 60).

Vrtuľa lietadla s polomerom 1,5 m sa pri pristávaní otáča s frekvenciou 2000 min -1, pristávacia rýchlosť lietadla voči Zemi je 162 km/h. Určte rýchlosť bodu na konci vrtule. Aká je trajektória tohto bodu?

Odpoveď a riešenie

v≈ 317 m/s. Bod na konci vrtule opisuje špirálu so stúpaním h≈ 1,35 m.

Vrtuľa lietadla sa otáča frekvenciou:

λ = 2000/60 s-1 = 33,33 s-1.

Lineárna rýchlosť bodu na konci vrtule:

v lín = 2 πRλ≈ 314 m/s.

Rýchlosť pristátia lietadla v= 45 m/s.

Výsledná rýchlosť bodu na konci vrtule sa rovná súčtu vektorov lineárnej rýchlosti pri otáčaní vrtule a rýchlosti lietadla pri pristávaní:

v rez = ≈ 317 m/s.

Krok špirálovej trajektórie sa rovná:

h = v/λ ≈ 1,35 m.

Polomer disku R sa valí bez preklzovania konštantnou rýchlosťou v. Nájdite lokus bodov na disku, ktoré majú momentálne rýchlosť v.

Odpoveď

Lokus bodov na disku, ktoré majú rýchlosť v v súčasnosti je polomer oblúka R, ktorej stred leží v mieste dotyku kotúča s rovinou, t.j. v okamžitom strede otáčania.

Valcový polomer valca R umiestnené medzi dvoma rovnobežnými tyčami. Reiki sa pohybuje jedným smerom s rýchlosťami v 1 a v 2 .

Určte uhlovú rýchlosť otáčania valca a rýchlosť jeho stredu, ak nedochádza k preklzávaniu. Vyriešte úlohu pre prípad, keď sú rýchlosti koľajníc nasmerované rôznymi smermi.

Odpoveď

; .

Valí sa po vodorovnej rovine bez kĺzania konštantnou rýchlosťou v s polomerom obruče R. Aké sú rýchlosti a zrýchlenia rôznych bodov obruče vzhľadom na Zem? Vyjadrite rýchlosť ako funkciu uhla medzi vertikálou a priamkou nakreslenou medzi bodom dotyku obruče s rovinou a daným bodom obruče.

Odpoveď

v A = 2 v C cos α . Zrýchlenie bodov ráfika obsahuje iba dostredivú zložku rovnajúcu sa a c = v 2 /R.

Auto sa pohybuje rýchlosťou v= 60 km/h. S akou frekvenciou n jeho kolesá sa otáčajú, ak sa odvaľujú po diaľnici bez šmyku, a vonkajší priemer pneumatík kolies je d= 60 cm? Nájdite dostredivé zrýchlenie a tss vonkajšia vrstva gumy na pneumatikách jeho kolies.

Odpoveď

n≈ 8,84 s-1; a c ≈ 926 m/s 2.

Tenkostenný valec je umiestnený na vodorovnej rovine a otáča sa rýchlosťou v 0 okolo svojej osi. Aká bude rýchlosť pohybu osi valca, keď sa kĺzanie valca vzhľadom na rovinu zastaví?

Odpoveď

v = v 0 /2.

Funguje výslednica všetkých síl pôsobiacich na teleso pohybujúce sa rovnomerne v kruhu?

Odpoveď

Zaťaženie hmoty m môže kĺzať bez trenia po vodorovnej tyči otáčajúcej sa okolo zvislej osi prechádzajúcej jedným z jej koncov. Záťaž je s týmto koncom tyče spojená pružinou, ktorej koeficient pružnosti je k. Pri akej uhlovej rýchlosti ω Natiahne sa pružina na 50 % svojej pôvodnej dĺžky?

Odpoveď

Dvojbodové hmotnosti m 1 a m 2 sú pripevnené k závitu a sú na úplne hladkom stole. Vzdialenosti od nich k pevnému koncu závitu sú l 1 a l 2 resp.

Systém sa otáča v horizontálnej rovine okolo osi prechádzajúcej cez pevný koniec uhlovou rýchlosťou ω . Nájdite napínacie sily častí závitu T 1 a T 2 .

Odpoveď

T 1 = (m 1 l 1 +m 2 l 2)ω 2 ; T 2 = m 2 ω 2 l 2 .

Muž sedí na okraji okrúhlej horizontálnej plošiny s polomerom R\u003d 4 m. S akou frekvenciou n plošina sa musí otáčať okolo zvislej osi, aby sa na nej človek nemohol udržať s koeficientom trenia k=0,27?

Odpoveď

n= 6,75 min-1.

telesnej hmotnosti m umiestnené na vodorovnom disku vo vzdialenosti r od osi. Disk sa začne otáčať pomalou rýchlosťou. Zostrojte graf závislosti zložky trecej sily v radiálnom smere, pôsobiacej na teleso, od uhlovej rýchlosti otáčania kotúča. Pri akej hodnote uhlovej rýchlosti disku sa teleso začne kĺzať?

Odpoveď

Hromadný kameň m=0,5 kg, viazané na dĺžku lana l=50 cm, otáča sa vo vertikálnej rovine. Napätie v lane, keď kameň prechádza najnižším bodom kruhu T\u003d 44 N. Do akej výšky h Zdvihne sa kameň nad najnižším bodom kruhu, ak sa lano prereže, pričom jeho rýchlosť smeruje kolmo nahor?

Odpoveď

h≈ 2 m.

Športovec posiela kladivo (jadro na kábli) do diaľky l\u003d 70 m pozdĺž trajektórie, ktorá poskytuje maximálny dosah hodu. Aká sila T ovplyvňuje ruky športovca v čase hodu? Hmotnosť kladiva m= 5 kg. Zvážte, že športovec zrýchľuje kladivo a otáča ho vo vertikálnej rovine okolo kruhu s polomerom R\u003d 1,5 m. Odpor vzduchu sa neberie do úvahy.

Odpoveď

T≈ 2205 N.

Hmotnosť vozidla M\u003d 3 * 10 3 kg sa pohybuje konštantnou rýchlosťou v\u003d 36 km / h: a) pozdĺž vodorovného mosta; b) pozdĺž konvexného mostíka; c) po konkávnom moste. Polomer zakrivenia mosta v posledných dvoch prípadoch R\u003d 60 m. Akou silou auto tlačí na most (v posledných dvoch prípadoch) v okamihu, keď čiara spájajúca stred zakrivenia mosta s autom zviera uhol α = 10° s vertikálou?

Odpoveď

a) F 1 ~ 29400 N; b) F 2 ≈ 24 000 N; v) F 3 ≈ 34 000 N.

Na konvexnom mostíku, ktorého polomer zakrivenia R= 90 m, s rýchlosťou v= 54 km/h auto hmotnosti m\u003d 2 t. V bode mosta, smer, do ktorého zo stredu zakrivenia mosta zviera uhol so smerom k vrcholu mosta α , auto tlačí silou F= 14 400 N. Určte uhol α .

Odpoveď

α ≈ 8,5º.

Guľová hmota m= 100 g zavesených na nite dĺžky l\u003d 1 m. Lopta sa roztočila tak, že sa začala pohybovať v kruhu v horizontálnej rovine. V tomto prípade uhol, ktorý zviera závit s vertikálou, α = 60°. Určte celkovú prácu vykonanú pri roztočení lopty.

Odpoveď

A≈ 1,23 J.

Aká je maximálna rýchlosť, ktorou môže ísť auto v zákrute s polomerom zakrivenia? R\u003d 150 m, aby sa „nešmýkal“, ak je koeficient trenia klzných pneumatík na ceste k = 0,42?

Odpoveď

v≈ 89 km/h.

1. Aký by mal byť maximálny koeficient klzného trenia k medzi pneumatiky auta a asfalt, aby auto mohlo prejsť polomerom zaoblenia R= 200 m pri rýchlosti v= 100 km/h?

2. Auto s pohonom všetkých kolies, ktoré sa rozbieha, rovnomerne naberá rýchlosť a pohybuje sa po vodorovnom úseku cesty, čo je oblúk kruhu α = polomer 30° R= 100 m Akou maximálnou rýchlosťou môže auto prejsť na rovný úsek trate? Koeficient trenia kolesa o zem k = 0,3.

Odpoveď

1. k ≈ 0,4.

2. v≈ 14,5 m/s.

Vlak sa pohybuje po oblúku s polomerom R= 800 m s rýchlosťou v= 12 km/h. Určte, o koľko musí byť vonkajšia koľajnica vyššia ako vnútorná koľajnica, aby na kolesá nepôsobila žiadna bočná sila. Vodorovná vzdialenosť medzi koľajnicami sa rovná d= 1,5 m.

Odpoveď

∆h≈ 7,65 cm.

Motocyklista jazdí po vodorovnej ceste rýchlosťou 72 km/h, pričom robí zákrutu s polomerom zakrivenia 100 m.

Odpoveď

1. Aká je maximálna rýchlosť v motocyklista môže jazdiť po vodorovnej rovine, opísať oblúk s polomerom R= 90 m ak koeficient klzného trenia k = 0,4?

2. Pod akým uhlom φ mala by sa odchyľovať od zvislého smeru?

3. Aká bude maximálna rýchlosť motorkára, ak jazdí po naklonenej trati s uhlom sklonu α = 30° s rovnakým polomerom zakrivenia a koeficientom trenia?

4. Aký má byť uhol sklonu trate α 0, aby rýchlosť motocyklistu mohla byť ľubovoľne veľká?

Odpoveď

1. v≈ 18,8 m/s. 2. φ ≈ 21,8°. 3. v max ≈ 33,5 m/s. štyri. α 0 = arctg(1/ k).

Lietadlo sa otáča a pohybuje sa po oblúku kruhu konštantnou rýchlosťou v= 360 km/h. Definujte polomer R tento kruh, ak je telo lietadla otočené okolo smeru letu pod uhlom α = 10°.

Odpoveď

R≈ 5780 m.

Na odbočke cesty s polomerom R= 100 m sa auto pohybuje rovnomerne. Ťažisko vozidla je vo výške h= 1 m, rozchod vozidla a= 1,5 m. Určte rýchlosť v pri ktorej sa môže vozidlo prevrátiť. V priečnom smere sa auto nešmýka.

Odpoveď

v≈ 26,1 m/s.

Vodič jazdiaci na aute zrazu zbadal pred sebou plot kolmo na smer jeho pohybu. Čo je výhodnejšie urobiť, aby ste predišli nehode: spomaliť alebo odbočiť na stranu?

Odpoveď

Spomaľ.

Vo vozni vlaku, ktorý sa rovnomerne pohybuje po zakrivenej trati rýchlosťou v= 12 km/h, náklad sa odváži na pružinových váhach. Hmotnosť nákladu m= 5 kg, a polomer zakrivenia dráhy R\u003d 200 m. Určite hodnotu vyváženia pružiny (sila napnutia pružiny T).

Odpoveď

T≈ 51 N.

Nájdite silu F jednotka separačný krém (hustota ρ c \u003d 0,93 g / cm 3) z odstredeného mlieka ( ρ m \u003d 1,03 g / cm 3) na jednotku objemu, ak dôjde k separácii: a) v stacionárnej nádobe; b) v odstredivom separátore rotujúcom s frekvenciou 6000 min-1, ak je kvapalina vo vzdialenosti r= 10 cm od osi otáčania.

Odpoveď

a) F jednotka ≈ 980 N/m3;

b) F jednotka ≈ 3,94 105 N/m3;

Lietadlo robí "mŕtvu slučku" s polomerom R= 100 m a pohybuje sa po ňom rýchlosťou v= 280 km/h. Akou silou F telesná hmotnosť pilota M= 80 kg bude vyvíjať tlak na sedadlo lietadla v hornej a dolnej časti slučky?

Odpoveď

F v ≈ 4030 N, F n ≈ 5630 N.

Určite ťažnú silu T lano obrie schody, ak je hmotnosť človeka M\u003d 70 kg a lano počas otáčania zviera so stĺpikom uhol α \u003d 45 °. S akou uhlovou rýchlosťou sa budú obrie kroky otáčať, ak je dĺžka zavesenia l= 5 m?

Odpoveď

T≈ 990 N; ω ≈ 1,68 rad/s.

Nájsť obdobie T rotácia kyvadla vykonávajúceho kruhové pohyby v horizontálnej rovine. Dĺžka závitu l. Uhol tvorený závitom s vertikálou, α .

Odpoveď

.

Závažie zavesené na závite sa otáča vo vodorovnej rovine tak, že vzdialenosť od bodu zavesenia k rovine, v ktorej sa otáča, je h. Nájdite frekvenciu a rotáciu záťaže za predpokladu, že je konštantná.

Odpoveď

Výsledok nezávisí od dĺžky zavesenia.

Lustrová hmota m= 100 kg zavesené zo stropu na kovovej reťazi, ktorej dĺžka l= 5 m. Určte výšku h, čím sa dá luster vychýliť, aby sa reťaz pri následných švihoch nepretrhla? Je známe, že pri napínacej sile dochádza k pretrhnutiu reťaze T> 1960 N.

Odpoveď

h≈ 2,5 m.

Guľová hmota m zavesené na neroztiahnuteľnom vlákne. Aký je minimálny uhol α min, je potrebné vychýliť guľôčku tak, aby sa pri ďalšom pohybe niť pretrhla, ak je maximálna možná napínacia sila nite 1,5 mg?

Odpoveď

α min ≈ 41,4°.

Kyvadlo sa vychýli do vodorovnej polohy a uvoľní sa. Pod akým uhlom α pri vertikále bude napínacia sila nite rovná sile gravitácie pôsobiacej na kyvadlo? Kyvadlo sa považuje za matematické.

Odpoveď

α = arccos(⅓).

Zaťaženie hmoty m, viazaný na neroztiahnuteľnú niť, sa otáča vo vertikálnej rovine. Nájdite maximálny rozdiel v napínacích silách nite.

Odpoveď

Gymnastka „krúti slnkom“ na hrazde. Hmotnosť gymnastky m. Za predpokladu, že všetka jeho hmotnosť je sústredená v ťažisku a rýchlosť v hornom bode je nulová, určte silu pôsobiacu na ruky gymnasta v dolnom bode.

Odpoveď

Jedno závažie je zavesené na neroztiahnuteľnom vlákne dĺžky l, a druhý - na pevnej beztiažovej tyči rovnakej dĺžky. Aké minimálne rýchlosti musia byť dané týmto závažiam, aby sa otáčali vo vertikálnej rovine?

Odpoveď

Pre vlákno v min = ; pre rod v min = .

Guľová hmota M zavesený na niti. V napnutom stave bola niť umiestnená vodorovne a gulička bola uvoľnená. Odvoďte závislosť napätia nite T z rohu α , ktorý v súčasnosti tvorí vlákno s horizontálnym smerom. Skontrolujte odvodený vzorec vyriešením úlohy pre prípad, keď guľa prechádza rovnovážnou polohou, s α = 90°.

Odpoveď

T = 3mg hriech α ; T = 3mg.

Matematická dĺžka kyvadla l a hmotnosti M odvedený do kúta φ 0 z rovnovážnej polohy a povedal mu počiatočnú rýchlosť v 0 smeruje kolmo na závit smerom nahor. Nájdite napätie v strune kyvadla T v závislosti od uhla φ vertikálne závity.

Odpoveď

.

Závažie zavesené na nite sa odoberie nabok tak, aby niť zaujala vodorovnú polohu, a uvoľní sa. Aký uhol s vertikálou α zviera nápoj v momente, keď je vertikálna zložka rýchlosti závažia najväčšia?

Odpoveď

Identické elastické guličky s hmotou m, zavesené na vláknach rovnakej dĺžky ako jeden háčik, sú odklonené v rôznych smeroch od vertikály o uhol α a pustiť. Loptičky narážajú a odrážajú sa od seba. Aká je sila F, pôsobiace na háčik: a) v krajných polohách závitov; b) v počiatočnom a konečnom momente dopadu loptičiek; c) v momente najväčšej deformácie guľôčok?

Odpoveď

a) F = 2mg pretože 2 α ;

b) F = 2mg(3 - 2 ks α );

v) F = 2mg.

K matematickému kyvadlu s pružným neroztiahnuteľným závitom dĺžky l udeliť horizontálnu rýchlosť z rovnovážnej polohy v 0 Určite maximálnu výšku zdvihu h pri pohybe v kruhu, ak v 0 2 = 3gl. Akú trajektóriu bude nasledovať guľa kyvadla po dosiahnutí maximálnej výšky zdvihu? h na kruhu? Určte maximálnu výšku H dosiahnuté týmto pohybom kyvadla.

Odpoveď

; pozdĺž paraboly; .

V bode je zavesená malá gulička ALE na nite dĺžky l. Na mieste O na diaľku l/2 pod bodom ALE do steny sa zatĺka klinec. Guľôčka sa vytiahne tak, aby niť bola vo vodorovnej polohe, a uvoľní sa. V ktorom bode trajektórie zmizne napätie nite? Ako ďaleko sa lopta posunie? Aký je najvyšší bod, do ktorého sa lopta dostane?

Odpoveď

Na l/6 pod bodom zavesenia; pozdĺž paraboly; dňa 2 l/27 pod bodom zavesenia.

Nádoba v tvare rozširujúceho sa zrezaného kužeľa s priemerom dna D= 20 cm a uhol sklonu stien α = 60°, otáča sa okolo zvislej osi 00 jeden . Pri akej uhlovej rýchlosti otáčania nádoby ω malá gulička ležiaca na jej dne bude vyhodená z nádoby? Trenie sa ignoruje.

Odpoveď

ω > ≈13 rad/s.

Guľa s polomerom R= 2 m sa rovnomerne otáča okolo osi symetrie s frekvenciou 30 min -1. Vo vnútri gule je guľa hmoty m= 0,2 kg. Nájdite výšku h, zodpovedajúcej rovnovážnej polohe gule voči gule a reakcii gule N.

Odpoveď

h≈ 1 m; N≈ 0,4 N.

Vnútri kužeľovitého povrchu pohybujúceho sa zrýchlením a, lopta sa otáča v kruhu s polomerom R. Definujte obdobie T kruhový pohyb lopty. Vrcholový uhol kužeľa 2 α .

Odpoveď

.

Malé teleso hmoty m kĺže po naklonenom svahu a mení sa na mŕtvu slučku s polomerom R.

Trenie je zanedbateľné. Určte: a) aká by mala byť najmenšia výška h sklon tak, aby telo vytvorilo plnú slučku bez vypadnutia; b) aký tlak F zároveň vytvára teleso na plošine v bode, ktorého vektor polomeru zviera uhol α s vertikálou.

Odpoveď

a) h = 2,5R; b) F = 3mg(1 - cos α ).

Dopravníkový pás je sklonený k horizontu pod uhlom α . Určite minimálnu rýchlosť pásky v min, pri ktorej sa častica rudy, ktorá na nej leží, oddeľuje od povrchu pásu v mieste, kde nabieha na bubon, ak je polomer bubna rovný R.

Odpoveď

v min = .

Z hornej časti gule sa skĺzne malé telo. V akej výške h z vrcholu sa teleso dostane z povrchu gule s polomerom R? Ignorujte trenie.

Odpoveď

h = R/3.

Nájdite kinetickú energiu hmoty obruče m rolovanie rýchlosťou v. Nedochádza k pošmyknutiu.

Odpoveď

K = mv 2 .

Tenká obruč bez kĺzania sa valí do jamy v tvare pologule. V akej hĺbke h rovná sa sila normálneho tlaku obruče na stenu jamy jej gravitácii? Polomer jamy R, polomer obruče r.

Odpoveď

h = (R - r)/2.

Malá obruč sa kotúľa bez šmýkania na vnútornom povrchu veľkej pologule. V počiatočnom momente obruč spočívala na jej hornom okraji. Určte: a) kinetickú energiu obruče v najnižšom bode pologule; b) aký podiel kinetickej energie pripadá na rotačný pohyb obruče okolo jej osi; c) normálová sila pritláčajúca okraj k spodnému bodu pologule. Hmotnosť obruče je m, polomer pologule R.

Odpoveď

a) K = mgR; b) 50 %; v 2 mg.

Voda preteká potrubím umiestneným v horizontálnej rovine s polomerom zaoblenia R= 2 m Nájdite bočný tlak vody. Priemer potrubia d= 20 cm. M= 300 ton vody.

Odpoveď

p\u003d 1,2 10 5 Pa.

Telo skĺzne z bodu ALE presne tak AT pozdĺž dvoch zakrivených naklonených plôch prechádzajúcich bodmi A a AT raz pozdĺž konvexného oblúka, druhý - pozdĺž konkávneho. Oba oblúky majú rovnaké zakrivenie a koeficient trenia je v oboch prípadoch rovnaký.

V akom prípade je rýchlosť tela v bode B viac?

Odpoveď

V prípade pohybu pozdĺž konvexného oblúka.

Prút zanedbateľnej hmotnosti, dĺžky l s dvoma malými loptičkami m 1 a m 2 (m 1 > m 2) na koncoch sa môže otáčať okolo osi prechádzajúcej stredom tyče, ktorá je na ňu kolmá. Tyč sa uvedie do vodorovnej polohy a uvoľní sa. Určte uhlovú rýchlosť ω a sila tlaku F na osi v momente, keď tyč s guľôčkami prejde rovnovážnou polohou.

Odpoveď

; .

Malý prstenec hmoty m. Krúžok bez trenia sa začne špirálovito posúvať. Akou silou F po prejdení bude krúžok tlačiť na špirálu n plné zákruty? Polomer otáčania R, vzdialenosť medzi susednými zákrutami h(výška otočenia). počítať h ≪ R.

Odpoveď

.

Uzavretá kovová reťaz leží na hladkom vodorovnom kotúči, ktorý je voľne umiestnený na strediacom krúžku koaxiálnom s kotúčom. Disk je nastavený na rotáciu. Ak vezmete tvar reťaze ako vodorovný kruh, určte napínaciu silu T pozdĺž reťaze, ak je jeho hmotnosť m= 150 g, dĺžka l= 20 cm a reťaz sa otáča s frekvenciou n= 20 s-1.

Odpoveď

T≈ 12 N.

Reaktívna rovina m= 30 ton letí pozdĺž rovníka zo západu na východ rýchlosťou v= 1800 km/h. O koľko sa zmení vztlaková sila pôsobiaca na lietadlo, ak letí rovnakou rýchlosťou z východu na západ?

Odpoveď

ΔF pod ≈ 1,74 10 3 N.