Nech sú dané dve nerovnosti f 1(X) > g 1(X) a f 2(X) > g 2(X). Systém nerovností predstavuje je spojením týchto nerovností . Systém je napísaný takto:

Riešenie tohto systému X, ktorý zmení každú z nerovností na skutočnú číselnú nerovnosť. Množina riešení sústavy nerovníc je priesečníkom množín riešení nerovníc, ktoré tvoria danú sústavu.

Nerovnosť | X| < a, kde a> 0, je ekvivalentom systému alebo dvojitej nerovnosti -- a < X < a.

Sada nerovností f 1(X) > g 1(X) a f 2(X) > g 2(X) predstavuje seba disjunkcia týchto nerovností .

Sada je napísaná takto:

Riešenie tejto zostavy je ľubovoľná hodnota premennej X, ktorá premení na skutočnú číselnú nerovnosť aspoň jednu z nerovností v množine. Množina riešení množiny je spojením množín riešení nerovníc, ktoré tvoria množinu.

Nerovnosť | X| > a, kde a> 0, je ekvivalentná množine

Úloha. Nájdite sadu riešení pre systém nerovností:

Riešenie. Nájdite množiny riešení pre každú z nerovností systému a potom nájdime ich priesečník. Transformujme každú z nerovností do formy X > a alebo X < a.

Û Û

Û Û Û

X> -7 je číselný interval (-7; ¥) a množina riešení nerovnosti X < 7 - промежуток (-¥; 7). Найдем их пересечение: (-7; ¥) Ç (-¥; 7) = (-7; 7). Таким образом, множеством решений данной системы является промежуток (-7; 7).

Úloha. Riešiť nerovnosť | X+ 3| 4 £.

Riešenie. Táto nerovnosť je ekvivalentná dvojitej nerovnosti -4 £ X+ 3 £ 4. Keď to vyriešime, zistíme, že -7 £ X 1 £, t.j. XО [-7; jeden].

Úloha. Nájdite súbor riešení populácie

Riešenie. Najprv nájdime sady riešení pre každú z populačných nerovností a potom ich spojenie.

Transformujeme každú populačnú nerovnosť a nahradíme ju ekvivalentnou: Û Û Û

Súbor riešení nerovnosti X> 2 je číselný interval (2; ¥) a množina riešení nerovnice X> 1 - interval (1; ¥). Nájdite ich spojenie: (2; ¥) È (1; ¥) = (1; ¥). Množinou riešení kolekcie je preto číselný interval (1; ¥).

Úloha. Riešiť nerovnosť | X+ 3| > 5.

Riešenie. Táto nerovnosť je ekvivalentná množine nerovností:

Riešením výslednej množiny je teda číselný interval (-¥; -8) È (2; ¥).

Cvičenia na samostatnú prácu

1. Nájdite pravdivostné množiny nasledujúcich konjunkcií nerovníc a nakreslite ich na skutočnú čiaru:

a) ( X> 3) u ( X> 5); G) ( X³ -7) u ( X³ -9);

b) ( X < 3) Ù (X < 5); д) (X> 4) u ( X£ -2);

v) ( X³ -4) u ( X£ -2); e) ( X³ -6) u ( X < 11).

2. Vyriešte sústavy nerovností:

a) b)

v) G)

3. Nájdite množiny riešení nerovností:

a) | X - 6| < 13; в) |3X- 6| 0 £;

b) |5 - 2 X| 3 £; d) |3 X - 8| < - 1.

4. Nájdite pravdivostné množiny nasledujúcich disjunkcií nerovností:

a) ( X> -9) Ú ( X> 1) Ú ( X> 6); G) ( X < 2) Ú (X > 8);

§jedna. Sústavy lineárnych rovníc.

systém zobrazenia

nazývaný systém m lineárne rovnice s n neznámy.

Tu
- neznámy, - koeficienty pre neznáme,
- voľné členy rovníc.

Ak sú všetky voľné členy rovníc rovné nule, systém sa nazýva homogénne.rozhodnutie systém sa nazýva množina čísel
, pri ich dosadení do systému namiesto neznámych sa všetky rovnice zmenia na identity. Systém je tzv kĺb ak má aspoň jedno riešenie. Kĺbový systém s unikátnym riešením je tzv istý. Tieto dva systémy sa nazývajú ekvivalent ak sú množiny ich riešení rovnaké.

Systém (1) môže byť reprezentovaný v maticovej forme pomocou rovnice

(2)

.

§2. Kompatibilita sústav lineárnych rovníc.

Rozšírenú maticu systému (1) nazývame maticou

Kroneckerova - Capelliho veta. Systém (1) je konzistentný vtedy a len vtedy, ak sa poradie matice systému rovná hodnote rozšírenej matice:

.

§3. Systémové riešenien lineárne rovnice sn neznámy.

Uvažujme o nehomogénnom systéme n lineárne rovnice s n neznámy:

(3)

Cramerova veta.Ak je hlavným determinantom systému (3)
, potom má systém jedinečné riešenie určené vzorcami:

tie.
,

kde - determinant získaný z determinantu výmena stĺpca do stĺpca voľných členov.

Ak
a aspoň jeden z nich ≠0, potom systém nemá žiadne riešenia.

Ak
, potom má systém nekonečne veľa riešení.

Sústavu (3) je možné riešiť pomocou jej maticového zápisu (2). Ak hodnosť matice ALE rovná sa n, t.j.
, potom matica ALE má inverznú
. Násobenie maticovej rovnice
do matrice
vľavo dostaneme:

.

Posledná rovnosť vyjadruje spôsob riešenia sústav lineárnych rovníc pomocou inverznej matice.

Príklad. Riešte sústavu rovníc pomocou inverznej matice.

Riešenie. Matrix
nedegenerované, pretože
, takže existuje inverzná matica. Vypočítajme inverznú maticu:
.

,

Cvičenie. Vyriešte systém Cramerovou metódou.

§štyri. Riešenie ľubovoľných sústav lineárnych rovníc.

Nech je daný nehomogénny systém lineárnych rovníc tvaru (1).

Predpokladajme, že systém je konzistentný, t.j. podmienka Kronecker-Capelliho vety je splnená:
. Ak hodnosť matice
(do počtu neznámych), potom má systém unikátne riešenie. Ak
, potom má systém nekonečne veľa riešení. Poďme si to vysvetliť.

Nech hodnosť matice r(A)= r< n. Pretože
, potom existuje nejaký nenulový menší poriadok r. Nazvime to základný moll. Neznáme, ktorých koeficienty tvoria základnú minor, sa nazývajú základné premenné. Zvyšné neznáme sa nazývajú voľné premenné. Preusporiadame rovnice a prečíslujeme premenné tak, aby sa táto vedľajšia nachádzala v ľavom hornom rohu matice systému:

.

najprv r riadky sú lineárne nezávislé, ostatné sú vyjadrené cez ne. Preto môžu byť tieto čiary (rovnice) vyradené. Dostaneme:

Dajme voľným premenným ľubovoľné číselné hodnoty: . Na ľavej strane necháme len základné premenné a voľné premenné presunieme na pravú stranu.

Mám systém r lineárne rovnice s r neznámy, ktorého determinant je odlišný od 0. Má jedinečné riešenie.

Táto sústava sa nazýva všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc (1). Inak: vyjadrenie základných premenných z hľadiska voľných sa nazýva spoločné riešenie systémov. Z toho môžete získať nekonečné číslo súkromné ​​rozhodnutia, pričom voľným premenným dáva ľubovoľné hodnoty. Zavolá sa konkrétne riešenie získané zo všeobecného pri nulových hodnotách voľných premenných základné riešenie. Počet rôznych základných riešení nepresahuje
. Základné riešenie s nezápornými zložkami je tzv kľúčový systémové riešenie.

Príklad.

,r=2.

Premenné
- základný,
- zadarmo.

Pridajme rovnice; expresné
cez
:

- spoločné rozhodnutie.

- súkromné ​​riešenie
.

- základné riešenie, základný.

§5. Gaussova metóda.

Gaussova metóda je univerzálna metóda na štúdium a riešenie ľubovoľných systémov lineárnych rovníc. Spočíva v uvedení systému do diagonálnej (alebo trojuholníkovej) formy postupnou elimináciou neznámych pomocou elementárnych transformácií, ktoré neporušujú ekvivalenciu systémov. Premenná sa považuje za vylúčenú, ak je obsiahnutá len v jednej rovnici systému s koeficientom 1.

Elementárne transformácie systémy sú:

Násobenie rovnice nenulovým číslom;

Pridanie rovnice vynásobenej ľubovoľným číslom s inou rovnicou;

Preskupenie rovníc;

Vypustenie rovnice 0 = 0.

Elementárne transformácie možno vykonávať nie na rovniciach, ale na rozšírených maticiach výsledných ekvivalentných systémov.

Príklad.

Riešenie. Napíšeme rozšírenú maticu systému:

.

Vykonaním elementárnych transformácií privedieme ľavú stranu matice do jednotkového tvaru: vytvoríme jednotky na hlavnej diagonále a nuly mimo nej.

Komentujte. Ak je pri vykonávaní elementárnych transformácií rovnica v tvare 0 = do(kde do0), potom je systém nekonzistentný.

Riešenie sústav lineárnych rovníc metódou postupného odstraňovania neznámych možno formalizovať vo forme tabuľky.

Ľavý stĺpec tabuľky obsahuje informácie o vylúčených (základných) premenných. Zvyšné stĺpce obsahujú koeficienty neznámych a voľné členy rovníc.

Rozšírená matica systému sa zapíše do zdrojovej tabuľky. Ďalej pokračujte v implementácii Jordanových transformácií:

1. Vyberte premennú , ktorý sa stane základom. Príslušný stĺpec sa nazýva kľúčový stĺpec. Vyberte rovnicu, v ktorej táto premenná zostane a bude vylúčená z iných rovníc. Príslušný riadok tabuľky sa nazýva kľúčový riadok. Koeficient Znak , ktorý sa nachádza na priesečníku radu kľúčov a stĺpca kľúčov, sa nazýva kľúč.

2. Prvky kľúčového reťazca sú rozdelené podľa kľúčového prvku.

3. Kľúčový stĺpec je vyplnený nulami.

4. Zvyšné prvky sa vypočítajú podľa pravidla obdĺžnika. Tvoria obdĺžnik, na ktorého protiľahlých vrcholoch je kľúčový prvok a prepočítaný prvok; od súčinu prvkov na uhlopriečke obdĺžnika s kľúčovým prvkom sa odpočíta súčin prvkov inej uhlopriečky, výsledný rozdiel sa vydelí kľúčovým prvkom.

Príklad. Nájdite všeobecné riešenie a základné riešenie sústavy rovníc:

Riešenie.

Všeobecné riešenie systému:

Základné riešenie:
.

Jednorazová substitučná transformácia umožňuje prejsť z jednej bázy systému na druhú: namiesto jednej z hlavných premenných sa do bázy zavedie jedna z voľných premenných. Na tento účel sa v stĺpci voľnej premennej vyberie kľúčový prvok a vykonajú sa transformácie podľa vyššie uvedeného algoritmu.

§6. Hľadanie riešení podpory

Referenčné riešenie sústavy lineárnych rovníc je základné riešenie, ktoré neobsahuje záporné zložky.

Podporné riešenia systému sa nachádzajú Gaussovou metódou za nasledujúcich podmienok.

1. V pôvodnom systéme musia byť všetky voľné výrazy nezáporné:
.

2. Kľúčový prvok je vybraný spomedzi kladných koeficientov.

3. Ak má premenná zavedená do bázy niekoľko kladných koeficientov, potom kľúčovým reťazcom je ten, v ktorom je pomer voľného člena ku kladnému koeficientu najmenší.

Poznámka 1. Ak sa v procese odstraňovania neznámych objaví rovnica, v ktorej sú všetky koeficienty kladné, a voľný člen
, potom systém nemá žiadne nezáporné riešenia.

Poznámka 2. Ak sa v stĺpcoch koeficientov pre voľné premenné nenachádza ani jeden kladný prvok, potom je prechod na iné referenčné riešenie nemožný.

Príklad.

Ak má problém menej ako tri premenné, nie je to problém; ak je viac ako osem, je nerozhodnuteľné. Enon.

Problémy s parametrami sa vyskytujú vo všetkých variantoch POUŽITIA, keďže pri ich riešení sa najjasnejšie ukáže, aké hlboké a neformálne sú znalosti absolventa. Ťažkosti, ktoré majú žiaci pri plnení takýchto úloh, sú spôsobené nielen ich relatívnou náročnosťou, ale aj tým, že sa im v učebniciach nevenuje dostatočná pozornosť. Vo variantoch KIM v matematike existujú dva typy zadaní s parametrami. Po prvé: "pre každú hodnotu parametra vyriešte rovnicu, nerovnosť alebo systém." Po druhé: "nájdite všetky hodnoty parametra, pre každú z nich riešenia nerovnosti, rovnice alebo systému spĺňajú dané podmienky." V súlade s tým sa odpovede v týchto dvoch typoch problémov v podstate líšia. V prvom prípade sú v odpovedi uvedené všetky možné hodnoty parametra a pre každú z týchto hodnôt sú napísané riešenia rovnice. Druhý uvádza všetky hodnoty parametrov, za ktorých sú splnené podmienky problému. Zaznamenanie odpovede je podstatnou etapou riešenia, je veľmi dôležité nezabudnúť do odpovede premietnuť všetky fázy rozhodnutia. Na to treba študentov upozorniť.
Príloha hodiny obsahuje doplnkový materiál na tému „Riešenie sústav lineárnych rovníc s parametrami“, ktorý pomôže pri príprave študentov na záverečnú certifikáciu.

Ciele lekcie:

• systematizácia vedomostí študentov;
• rozvoj zručností aplikovať grafické znázornenia pri riešení sústav rovníc;
• formovanie schopnosti riešiť sústavy lineárnych rovníc obsahujúcich parametre;
• vykonávanie operatívnej kontroly a sebakontroly žiakov;
• rozvoj výskumnej a kognitívnej činnosti školákov, schopnosť vyhodnocovať získané výsledky.

Vyučovacia hodina je koncipovaná na dve vyučovacie hodiny.

Počas vyučovania

1. Organizovanie času

Témy správ, ciele a ciele lekcie.

1. Aktualizácia základných vedomostí žiakov

Kontrola domácich úloh. Ako domácu úlohu mali študenti vyriešiť každý z troch systémov lineárnych rovníc

a) b) v)

graficky a analyticky; vyvodiť záver o počte riešení získaných pre každý prípad

Závery študentov sú vypočuté a analyzované. Výsledky práce pod vedením učiteľa sú zhrnuté v zošitoch.

Vo všeobecnosti môže byť systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi reprezentovaný ako: .

Riešiť danú sústavu rovníc graficky znamená nájsť súradnice priesečníkov grafov týchto rovníc alebo dokázať, že žiadne neexistujú. Grafom každej rovnice tohto systému v rovine je nejaká priamka.

Existujú tri prípady vzájomného usporiadania dvoch priamych čiar v rovine:

<Рисунок1>;

<Рисунок2>;

<Рисунок3>.

Pre každý prípad je užitočné nakresliť kresbu.

1. Učenie sa nového materiálu

Dnes sa v lekcii naučíme, ako riešiť systémy lineárnych rovníc obsahujúcich parametre. Parameter nazveme nezávislou premennou, za hodnotu ktorej sa v úlohe považuje dané pevné alebo ľubovoľné reálne číslo, prípadne číslo patriace do vopred určenej množiny. Vyriešiť systém rovníc s parametrom znamená vytvoriť korešpondenciu, ktorá umožňuje akejkoľvek hodnote parametra nájsť zodpovedajúcu sadu riešení systému.

Riešenie problému s parametrom závisí od otázky v ňom položenej. Ak potrebujete vyriešiť systém rovníc pre rôzne hodnoty parametra alebo ho preskúmať, musíte dať primeranú odpoveď pre akúkoľvek hodnotu parametra alebo pre hodnotu parametra, ktorý patrí do množiny špecifikovanej v pokročiť v probléme. Ak je potrebné nájsť hodnoty parametra, ktoré spĺňajú určité podmienky, potom nie je potrebná úplná štúdia a riešenie systému je obmedzené na nájdenie týchto konkrétnych hodnôt parametra.

Príklad 1 Pre každú hodnotu parametra riešime sústavu rovníc

Riešenie.

1. Systém má unikátne riešenie, ak

V tomto prípade máme

1. Ak a = 0, potom systém nadobudne tvar

Systém je nekonzistentný, t.j. nemá riešenia.

1. Ak potom systém môže byť napísaný vo forme

Je zrejmé, že v tomto prípade má sústava nekonečne veľa riešení tvaru x = t; kde t je akékoľvek reálne číslo.

odpoveď:

Príklad 2

• má jedinečné riešenie;
• má veľa riešení;
• nemá riešenia?

Riešenie.

odpoveď:

Príklad 3 Nájdite súčet parametrov aab, pre ktoré systém

má nekonečné množstvo riešení.

Riešenie. Systém má nekonečné množstvo riešení, ak

To znamená, že ak a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 = 48.

odpoveď: 48.

1. Upevnenie toho, čo sa naučil v priebehu riešenia problémov

1. č. 15.24(a). Pre každú hodnotu parametra vyriešte sústavu rovníc

1. #15.25(a) Pre každú hodnotu parametra vyriešte sústavu rovníc

1. Pre aké hodnoty parametra je systém rovníc

a) nemá žiadne riešenia; b) má nekonečne veľa riešení.

Odpoveď: pre a = 2 neexistujú riešenia, pre a = -2 je nekonečný počet riešení

1. Praktická práca v skupinách

Trieda je rozdelená do skupín po 4-5 ľuďoch. Každá skupina zahŕňa študentov s rôznymi úrovňami matematickej prípravy. Každá skupina dostane kartičku s úlohou. Môžete vyzvať všetky skupiny, aby vyriešili jeden systém rovníc a navrhli riešenie. Skupina, ktorá úlohu splnila správne, najprv prezentuje jej riešenie; zvyšok odovzdať rozhodnutie učiteľovi.

kard. Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

pre všetky hodnoty parametra a.

odpoveď: kedy systém má jedinečné riešenie ; keď neexistujú riešenia; pre a = -1 existuje nekonečne veľa riešení tvaru, (t; 1- t), kde t R

Ak je trieda silná, skupinám možno ponúknuť rôzne sústavy rovníc, ktorých zoznam je v prílohe 1. Potom každá skupina prezentuje svoje riešenie triede.

Správa o skupine, ktorá ako prvá správne dokončila úlohu

Účastníci vyjadrujú a vysvetľujú svoju verziu riešenia a odpovedajú na otázky, ktoré vyvstali od zástupcov iných skupín.

1. Samostatná práca

možnosť 1

Možnosť 2

1. Zhrnutie lekcie

Riešenie sústav lineárnych rovníc s parametrami možno prirovnať k štúdii, ktorá zahŕňa tri hlavné podmienky. Učiteľ vyzve žiakov, aby ich sformulovali.

Pri rozhodovaní majte na pamäti:

1. na to, aby mala sústava jednoznačné riešenie, je potrebné, aby sa priamky zodpovedajúce rovnici sústavy pretínali, t.j. je potrebné splniť podmienku;
2. aby nemali riešenia, musia byť čiary rovnobežné, t.j. podmienka bola splnená
3. a napokon, aby mal systém nekonečne veľa riešení, musia sa čiary zhodovať, t.j. podmienka bola splnená.

Učiteľ zhodnotí prácu na hodine triedy ako celku a jednotlivým žiakom stanoví známky na hodine. Po skontrolovaní samostatnej práce dostane každý študent hodnotenie za vyučovaciu hodinu.

1. Domáca úloha

Pre aké hodnoty parametra b systém rovníc

• má nekonečne veľa riešení;
• nemá riešenia?

Grafy funkcií y = 4x + b a y = kx + 6 sú symetrické podľa osi y.

• Nájdite b a k,
• nájdite súradnice priesečníka týchto grafov.

Vyriešte sústavu rovníc pre všetky hodnoty m a n.

Vyriešte systém lineárnych rovníc pre všetky hodnoty parametra a (ľubovoľná voľba).

Literatúra

1. Algebra a začiatok matematickej analýzy: učebnica. pre 11 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie: základné a profilové. úrovne / S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin - M.: Education, 2008.
2. Matematika: 9. ročník: Príprava na štátnu záverečnú atestáciu / M. N. Korchagina, V. V. Korchagin - M .: Eksmo, 2008.
3. Príprava na univerzitu. Matematika. Časť 2 štát technol. un-t; Ústav moderny technol. a hospodárstvo; Zostavili: S. N. Gorshkova, L. M. Danovich, N. A. Naumová, A.V. Martynenko, I.A. Palščikov. – Krasnodar, 2006.
4. Zbierka úloh z matematiky pre prípravné kurzy TUSUR: Študijná príručka / Z. M. Goldstein, G. A. Kornievskaya, G. A. Korotchenko, S. N. Kudinov. – Tomsk: Tomsk. Štát. Univerzita riadiacich systémov a rádioelektroniky, 1998.
5. Matematika: intenzívny kurz prípravy na skúšku / O. Yu. Cherkasov, A.G. Yakushev. - M.: Rolf, Iris-press, 1998.

Naďalej sa zaoberáme sústavami lineárnych rovníc. Doteraz sme zvažovali systémy, ktoré majú unikátne riešenie. Takéto systémy je možné vyriešiť akýmkoľvek spôsobom: substitučná metóda("škola") podľa Cramerových vzorcov, maticová metóda, Gaussova metóda. V praxi sú však rozšírené ďalšie dva prípady, keď:

1) systém je nekonzistentný (nemá žiadne riešenia);

2) systém má nekonečne veľa riešení.

Pre tieto systémy sa používa najuniverzálnejšia zo všetkých metód riešenia - Gaussova metóda. V podstate k odpovedi povedie aj „školská“ metóda, no vo vyššej matematike je zvykom používať Gaussovu metódu postupného odstraňovania neznámych. Tí, ktorí nie sú oboznámení s algoritmom Gaussovej metódy, si najskôr preštudujte lekciu Gaussova metóda

Samotné transformácie elementárnej matice sú úplne rovnaké, rozdiel bude na konci riešenia. Najprv zvážte niekoľko príkladov, kde systém nemá žiadne riešenia (nekonzistentné).

Príklad 1

Čo vám na tomto systéme okamžite padne do oka? Počet rovníc je menší ako počet premenných. Existuje teorém, ktorý hovorí: „Ak je počet rovníc v systéme menší ako počet premenných, potom je systém buď nekonzistentný, alebo má nekonečne veľa riešení. A zostáva len zistiť.

Začiatok riešenia je celkom obyčajný - napíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju privedieme do stupňovitého tvaru:

(jeden). V ľavom hornom kroku musíme dostať (+1) alebo (-1). V prvom stĺpci nie sú žiadne takéto čísla, takže preusporiadanie riadkov nebude fungovať. Jednotka bude musieť byť organizovaná nezávisle, a to možno vykonať niekoľkými spôsobmi. Urobili sme tak. K prvému riadku pridáme tretí riadok, vynásobený (-1).

(2). Teraz dostaneme dve nuly v prvom stĺpci. K druhému riadku pridajte prvý riadok vynásobený 3. K tretiemu riadku pridajte prvý vynásobený 5.

(3). Po dokončení transformácie je vždy vhodné zistiť, či je možné zjednodušiť výsledné reťazce? Môcť. Druhý riadok vydelíme 2 a zároveň získame požadovaný (-1) v druhom kroku. Tretí riadok vydeľte (-3).

(štyri). Pridajte druhý riadok k tretiemu riadku. Pravdepodobne každý venoval pozornosť zlej línii, ktorá sa ukázala v dôsledku základných transformácií:

. Je jasné, že to tak nemôže byť.

Výslednú maticu skutočne prepíšeme

späť k systému lineárnych rovníc:

Ak je výsledkom elementárnych transformácií reťazec tvaru , kdeλ je nenulové číslo, potom je systém nekonzistentný (nemá riešenia).

Ako zaznamenať koniec úlohy? Musíte si zapísať frázu:

„V dôsledku elementárnych transformácií sa získa reťazec tvaru, kde λ ≠ 0 ". Odpoveď: "Systém nemá žiadne riešenia (nekonzistentné)."

Upozorňujeme, že v tomto prípade neexistuje spätný pohyb Gaussovho algoritmu, neexistujú žiadne riešenia a jednoducho nie je čo nájsť.

Príklad 2

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Opäť pripomíname, že váš postup riešenia sa môže líšiť od nášho postupu riešenia, Gaussova metóda nestanovuje jednoznačný algoritmus, postup a samotné akcie musíte uhádnuť v každom prípade samostatne.

Ešte jedna technická vlastnosť riešenia: elementárne transformácie je možné zastaviť Naraz, akonáhle riadok ako , kde λ ≠ 0 . Zvážte podmienený príklad: predpokladajme, že po prvej transformácii dostaneme maticu

.

Táto matica ešte nebola zredukovaná na stupňovitú formu, ale nie sú potrebné ďalšie elementárne transformácie, pretože sa objavila čiara formy, kde λ ≠ 0 . Malo by sa okamžite odpovedať, že systém je nekompatibilný.

Keď systém lineárnych rovníc nemá riešenia, je to takmer dar pre študenta, pretože sa získa krátke riešenie, niekedy doslova v 2-3 krokoch. Ale všetko na tomto svete je vyvážené a problém, v ktorom má systém nekonečne veľa riešení, je len dlhší.

Príklad 3:

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Existujú 4 rovnice a 4 neznáme, takže systém môže mať buď jediné riešenie, alebo nemá žiadne riešenia, alebo môže mať nekonečne veľa riešení. Čokoľvek to bolo, ale Gaussova metóda nás v každom prípade privedie k odpovedi. Toto je jeho všestrannosť.

Začiatok je opäť štandardný. Napíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju privedieme do stupňovitého tvaru:

To je všetko a báli ste sa.

(jeden). Upozorňujeme, že všetky čísla v prvom stĺpci sú deliteľné 2, takže v ľavom hornom kroku sa uspokojíme aj s dvojkou. K druhému riadku pridáme prvý riadok, vynásobený (-4). Do tretieho riadku pridáme prvý riadok, vynásobený (-2). Do štvrtého riadku pridáme prvý riadok, vynásobený (-1).

Pozor! Mnohí môžu byť v pokušení od štvrtého riadku odčítať prvá línia. Dá sa to urobiť, ale nie je to potrebné, skúsenosti ukazujú, že pravdepodobnosť chyby vo výpočtoch sa niekoľkokrát zvyšuje. Len pridáme: do štvrtého riadku pridáme prvý riadok, vynásobený (-1) - presne tak!

(2). Posledné tri riadky sú proporcionálne, dva z nich je možné vymazať. Tu je opäť potrebné ukázať zvýšená pozornosť, ale sú čiary skutočne proporcionálne? V prípade zaistenia nebude zbytočné vynásobiť druhý riadok (-1) a štvrtý riadok rozdeliť 2, čím vzniknú tri rovnaké riadky. A až potom odstráňte dve z nich. V dôsledku elementárnych transformácií sa rozšírená matica systému redukuje na stupňovitú formu:

Pri plnení úlohy v zošite je vhodné robiť si rovnaké poznámky ceruzkou kvôli prehľadnosti.

Prepíšeme zodpovedajúci systém rovníc:

„Zvyčajné“ jediné riešenie systému tu nezapácha. Zlá linka kde λ ≠ 0, tiež č. Toto je teda tretí zostávajúci prípad – systém má nekonečne veľa riešení.

Nekonečná množina riešení sústavy je stručne zapísaná vo forme tzv všeobecné systémové riešenie.

Všeobecné riešenie sústavy nájdeme pomocou spätného pohybu Gaussovej metódy. Pre sústavy rovníc s nekonečnou množinou riešení sa objavujú nové pojmy: "základné premenné" a "voľné premenné". Najprv si definujme, aké premenné máme základné a aké premenné - zadarmo. Pojmy lineárnej algebry nie je potrebné podrobne vysvetľovať, stačí si uvedomiť, že také existujú bázické premenné a voľné premenné.

Základné premenné vždy „sedia“ striktne na krokoch matice. V tomto príklade sú to základné premenné X 1 a X 3 .

Voľné premenné sú všetko zostávajúce premenné, ktoré nedostali ani krok. V našom prípade sú dve: X 2 a X 4 - voľné premenné.

Teraz potrebujete všetkybázické premenné expresné len cezvoľné premenné. Spätný pohyb Gaussovho algoritmu tradične funguje zdola nahor. Z druhej rovnice sústavy vyjadríme základnú premennú X 3:

Teraz sa pozrite na prvú rovnicu: . Najprv doň dosadíme nájdený výraz:

Zostáva vyjadriť základnú premennú X 1 cez voľné premenné X 2 a X 4:

Výsledok je to, čo potrebujete - všetky bázické premenné ( X 1 a X 3) vyjadrené len cez voľné premenné ( X 2 a X 4):

V skutočnosti je všeobecné riešenie pripravené:

.

Ako napísať všeobecné riešenie? V prvom rade sa voľné premenné zapisujú do všeobecného riešenia „samé“ a striktne na svoje miesta. V tomto prípade voľné premenné X 2 a X 4 treba napísať na druhú a štvrtú pozíciu:

.

Výsledné výrazy pre základné premenné a samozrejme musí byť napísané na prvom a treťom mieste:

Zo všeobecného riešenia systému sa dá nájsť nekonečne veľa súkromné ​​rozhodnutia. Je to veľmi jednoduché. voľné premenné X 2 a X 4 sa tak volajú, lebo sa dajú dať akékoľvek konečné hodnoty. Najpopulárnejšie hodnoty sú nulové hodnoty, pretože je to najjednoduchší spôsob, ako získať konkrétne riešenie.

Nahrádzanie ( X 2 = 0; X 4 = 0) do všeobecného riešenia dostaneme jedno z konkrétnych riešení:

alebo ide o konkrétne riešenie zodpovedajúce voľným premenným s hodnotami ( X 2 = 0; X 4 = 0).

Jedni sú ďalší sladký pár, poďme nahradiť ( X 2 = 1 a X 4 = 1) do všeobecného riešenia:

t.j. (-1; 1; 1; 1) je ďalšie konkrétne riešenie.

Je ľahké vidieť, že systém rovníc má nekonečne veľa riešení pretože môžeme dať voľné premenné akýkoľvek hodnoty.

Každý konkrétne riešenie musí spĺňať každému systémová rovnica. To je základ pre „rýchlu“ kontrolu správnosti riešenia. Vezmite si napríklad konkrétne riešenie (-1; 1; 1; 1) a dosaďte ho na ľavú stranu každej rovnice v pôvodnom systéme:

Všetko sa musí spojiť. A s akýmkoľvek konkrétnym riešením, ktoré dostanete, by sa malo všetko zblížiť.

Prísne vzaté, overenie konkrétneho riešenia niekedy klame, t.j. nejaké konkrétne riešenie môže splniť každú rovnicu systému a samotné všeobecné riešenie sa v skutočnosti nájde nesprávne. Preto je v prvom rade overenie všeobecného riešenia dôkladnejšie a spoľahlivejšie.

Ako skontrolovať výsledné všeobecné riešenie ?

Nie je to ťažké, ale vyžaduje si to dosť dlhú premenu. Musíme prijať výrazy základné premenné, v tomto prípade a , a dosaďte ich na ľavú stranu každej rovnice systému.

Naľavo od prvej rovnice systému:

Získa sa pravá strana pôvodnej prvej rovnice systému.

Na ľavú stranu druhej rovnice systému:

Získa sa pravá strana pôvodnej druhej rovnice systému.

A ďalej - vľavo časti tretej a štvrtej rovnice systému. Táto kontrola je dlhšia, ale zaručuje 100% správnosť celkového riešenia. Okrem toho je v niektorých úlohách potrebné skontrolovať všeobecné riešenie.

Príklad 4:

Vyriešte systém pomocou Gaussovej metódy. Nájdite všeobecné riešenie a dve súkromné. Skontrolujte celkové riešenie.

Toto je príklad „urob si sám“. Tu je mimochodom opäť počet rovníc menší ako počet neznámych, čo znamená, že je hneď jasné, že systém bude buď nekonzistentný, alebo s nekonečným počtom riešení.

Príklad 5:

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc. Ak má systém nekonečne veľa riešení, nájdite dve konkrétne riešenia a skontrolujte všeobecné riešenie

Riešenie: Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju prenesme do stupňovitého tvaru:

(jeden). Pridajte prvý riadok k druhému riadku. Do tretieho riadku pridáme prvý riadok vynásobený 2. Do štvrtého riadku pridáme prvý riadok vynásobený 3.

(2). K tretiemu riadku pridáme druhý riadok, vynásobený (-5). Do štvrtého riadku pridáme druhý riadok, vynásobený (-7).

(3). Tretí a štvrtý riadok sú rovnaké, jeden z nich vymažeme. Tu je taká krása:

Základné premenné sedia na schodoch, takže sú základnými premennými.

Existuje len jedna voľná premenná, ktorá nedostala krok: .

(štyri). Spätný pohyb. Základné premenné vyjadrujeme pomocou voľnej premennej:

Z tretej rovnice:

Zvážte druhú rovnicu a dosaďte do nej nájdený výraz:

, , ,

Zvážte prvú rovnicu a nahraďte nájdené výrazy a do nej:

Teda všeobecné riešenie s jednou voľnou premennou X 4:

Ešte raz, ako sa to stalo? voľná premenná X 4 sedí sám na svojom právoplatnom štvrtom mieste. Výsledné výrazy pre základné premenné , , sú tiež na svojich miestach.

Okamžite skontrolujte všeobecné riešenie.

Do ľavej strany každej rovnice systému dosadíme základné premenné , , :

Získajú sa zodpovedajúce pravé strany rovníc, čím sa nájde správne všeobecné riešenie.

Teraz z nájdeného všeobecného riešenia dostaneme dve konkrétne riešenia. Všetky premenné sú tu vyjadrené prostredníctvom jediného voľná premenná xštyri . Netreba si lámať hlavu.

Nechaj X 4 = 0 teda je prvé konkrétne riešenie.

Nechaj X 4 = 1 teda je ďalšie konkrétne riešenie.

odpoveď: Spoločné rozhodnutie: . Súkromné ​​riešenia:

a .

Príklad 6:

Nájdite všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc.

Všeobecné riešenie sme už skontrolovali, na odpoveď sa dá spoľahnúť. Váš postup sa môže líšiť od nášho postupu. Hlavná vec je, že všeobecné riešenia sa zhodujú. Pravdepodobne si mnohí všimli nepríjemný moment v riešeniach: veľmi často sme sa pri opačnom priebehu Gaussovej metódy museli pohrávať s obyčajnými zlomkami. V praxi to platí, prípady, keď neexistujú zlomky, sú oveľa menej bežné. Pripravte sa psychicky, a čo je najdôležitejšie, technicky.

Zastavme sa pri črtách riešenia, ktoré sa v riešených príkladoch nenašli. Všeobecné riešenie systému môže niekedy obsahovať konštantu (alebo konštanty).

Napríklad všeobecné riešenie: . Tu sa jedna zo základných premenných rovná konštantnému číslu: . Nie je v tom nič exotické, to sa stáva. Je zrejmé, že v tomto prípade bude každé konkrétne riešenie obsahovať päťku na prvej pozícii.

Zriedkavo, ale existujú systémy, v ktorých počet rovníc je väčší ako počet premenných. Gaussova metóda však funguje aj v najťažších podmienkach. Rozšírenú maticu systému by ste mali pokojne uviesť do stupňovitého tvaru podľa štandardného algoritmu. Takýto systém môže byť nekonzistentný, môže mať nekonečne veľa riešení a napodiv môže mať jedinečné riešenie.

V našich radách opakujeme - aby ste sa pri riešení systému Gaussovou metódou cítili pohodlne, mali by ste si naplniť ruku a vyriešiť aspoň tucet systémov.

Riešenia a odpovede:

Príklad 2:

Riešenie:Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju prenesme do stupňovitého tvaru.

Vykonané elementárne transformácie:

(1) Prvý a tretí riadok boli vymenené.

(2) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený (-6). Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený (-7).

(3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený (-1).

Výsledkom elementárnych transformácií je reťazec tvaru, kde λ ≠ 0 .Systém je teda nekonzistentný.odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.

Príklad 4:

Riešenie:Napíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju privedieme do stupňovitého tvaru:

Vykonané konverzie:

(jeden). Prvý riadok vynásobený 2 bol pridaný k druhému riadku a prvý riadok vynásobený 3 bol pridaný k tretiemu riadku.

Pre druhý krok neexistuje žiadna jednotka a transformácia (2) je zameraná na jej získanie.

(2). Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený -3.

(3). Druhý a tretí riadok sa vymenili (výsledné -1 sa presunulo do druhého kroku)

(štyri). Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 3.

(5). Znamienko prvých dvoch riadkov bolo zmenené (vynásobené -1), tretí riadok bol delený 14.

Spätný pohyb:

(jeden). Tu sú základné premenné (ktoré sú na krokoch) a sú voľné premenné (kto nedostal krok).

(2). Základné premenné vyjadrujeme pomocou voľných premenných:

Z tretej rovnice: .

(3). Zvážte druhú rovnicu:, konkrétne riešenia:

odpoveď: Spoločné rozhodnutie:

Komplexné čísla

V tejto časti predstavíme koncept komplexné číslo, zvážte algebraické, trigonometrické a zobraziť formulár komplexné číslo. Naučíme sa tiež vykonávať operácie s komplexnými číslami: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, umocňovanie a odmocňovanie.

Na zvládnutie komplexných čísel nepotrebujete žiadne špeciálne znalosti z kurzu vyššej matematiky a materiál je dostupný aj pre školáka. Stačí vedieť vykonávať algebraické operácie s „obyčajnými“ číslami a zapamätať si trigonometriu.

Najprv si spomeňme na „obyčajné“ Čísla. V matematike sú tzv súbor reálnych čísel a sú označené písmenom R, alebo R (hrubé). Všetky reálne čísla sedia na známej číselnej osi:

Spoločnosť reálnych čísel je veľmi farebná - tu sú celé čísla, zlomky a iracionálne čísla. V tomto prípade každý bod číselnej osi nevyhnutne zodpovedá nejakému reálnemu číslu.

V praxi sú však rozšírené ďalšie dva prípady:

– Systém je nekonzistentný (nemá žiadne riešenia);
Systém je konzistentný a má nekonečne veľa riešení.

Poznámka : výraz „konzistentnosť“ znamená, že systém má aspoň nejaké riešenie. V mnohých úlohách je potrebné predbežne preskúmať kompatibilitu systému, ako to urobiť - pozri článok o maticová hodnosť.

Pre tieto systémy sa používa najuniverzálnejšia zo všetkých metód riešenia - Gaussova metóda. V podstate k odpovedi povedie aj „školská“ metóda, no vo vyššej matematike je zvykom používať Gaussovu metódu postupného odstraňovania neznámych. Tí, ktorí nie sú oboznámení s algoritmom Gaussovej metódy, si najskôr preštudujte lekciu Gaussova metóda pre figuríny.

Samotné transformácie elementárnej matice sú úplne rovnaké, rozdiel bude na konci riešenia. Najprv zvážte niekoľko príkladov, kde systém nemá žiadne riešenia (nekonzistentné).

Príklad 1

Čo vám na tomto systéme okamžite padne do oka? Počet rovníc je menší ako počet premenných. Ak je počet rovníc menší ako počet premenných, potom môžeme okamžite povedať, že systém je buď nekonzistentný, alebo má nekonečne veľa riešení. A zostáva len zistiť.

Začiatok riešenia je celkom obyčajný - napíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju privedieme do stupňovitého tvaru:

(1) V ľavom hornom kroku musíme získať +1 alebo -1. V prvom stĺpci nie sú žiadne takéto čísla, takže preusporiadanie riadkov nebude fungovať. Jednotka bude musieť byť organizovaná nezávisle, a to možno vykonať niekoľkými spôsobmi. Urobil som toto: K prvému riadku pridajte tretí riadok vynásobený -1.

(2) Teraz dostaneme dve nuly v prvom stĺpci. Do druhého riadku pridáme prvý riadok vynásobený 3. Do tretieho riadku pridáme prvý riadok vynásobený 5.

(3) Po dokončení transformácie je vždy vhodné zistiť, či je možné zjednodušiť výsledné reťazce? Môcť. Druhý riadok vydelíme 2 a zároveň získame požadovanú -1 v druhom kroku. Tretí riadok vydeľte -3.

(4) Pridajte druhý riadok k tretiemu riadku.

Pravdepodobne každý venoval pozornosť zlej línii, ktorá sa ukázala v dôsledku základných transformácií: . Je jasné, že to tak nemôže byť. Výslednú maticu skutočne prepíšeme späť k systému lineárnych rovníc:

Ak sa v dôsledku elementárnych transformácií získa reťazec tvaru, kde je nenulové číslo, potom je systém nekonzistentný (nemá riešenia) .

Ako zaznamenať koniec úlohy? Nakreslíme bielou kriedou: „v dôsledku elementárnych transformácií sa získa čiara tvaru, kde“ a odpovedzme: systém nemá riešenia (nekonzistentné).

Ak je podľa podmienky potrebné PRESKÚMAŤ kompatibilitu systému, potom je potrebné vydať riešenie v pevnejšom štýle zahŕňajúcom koncept poradie matice a Kronecker-Capelliho veta.

Upozorňujeme, že tu neexistuje žiadny spätný pohyb Gaussovho algoritmu - neexistujú žiadne riešenia a jednoducho nie je čo nájsť.

Príklad 2

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny. Opäť vám pripomínam, že vaša cesta riešenia sa môže líšiť od mojej cesty riešenia, Gaussov algoritmus nemá silnú „tuhosť“.

Ešte jedna technická vlastnosť riešenia: elementárne transformácie je možné zastaviť Naraz, akonáhle riadok ako , kde . Zvážte podmienený príklad: predpokladajme, že po prvej transformácii dostaneme maticu . Matica ešte nebola zredukovaná na stupňovitú formu, ale nie sú potrebné ďalšie elementárne transformácie, keďže sa objavila čiara formy, kde . Malo by sa okamžite odpovedať, že systém je nekompatibilný.

Keď systém lineárnych rovníc nemá riešenia, je to takmer dar, pretože sa získa krátke riešenie, niekedy doslova v 2-3 krokoch.

Ale všetko na tomto svete je vyvážené a problém, v ktorom má systém nekonečne veľa riešení, je len dlhší.

Príklad 3

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Existujú 4 rovnice a 4 neznáme, takže systém môže mať buď jediné riešenie, alebo nemá žiadne riešenia, alebo môže mať nekonečne veľa riešení. Čokoľvek to bolo, ale Gaussova metóda nás v každom prípade privedie k odpovedi. V tom spočíva jeho všestrannosť.

Začiatok je opäť štandardný. Napíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju privedieme do stupňovitého tvaru:

To je všetko a báli ste sa.

(1) Všimnite si, že všetky čísla v prvom stĺpci sú deliteľné 2, takže 2 je v poriadku na ľavom hornom stĺpci. K druhému riadku pridáme prvý riadok, vynásobený -4. Do tretieho riadku pridáme prvý riadok, vynásobený -2. Do štvrtého riadku pridáme prvý riadok, vynásobený -1.

Pozor! Mnohí môžu byť v pokušení od štvrtého riadku odčítať prvá línia. Dá sa to urobiť, ale nie je to potrebné, skúsenosti ukazujú, že pravdepodobnosť chyby vo výpočtoch sa niekoľkokrát zvyšuje. Stačí sčítať: Do štvrtého riadku pridajte prvý riadok vynásobený -1 - presne tak!

(2) Posledné tri riadky sú pomerné, dva z nich možno vypustiť.

Tu je opäť potrebné ukázať zvýšená pozornosť, ale sú čiary skutočne proporcionálne? Pre zaistenie (najmä pre čajník) by nebolo zbytočné vynásobiť druhý rad číslom -1 a štvrtý rad rozdeliť číslom 2, čím by vznikli tri rovnaké riadky. A až potom odstráňte dve z nich.

V dôsledku elementárnych transformácií sa rozšírená matica systému redukuje na stupňovitú formu:

Pri plnení úlohy v zošite je vhodné robiť si rovnaké poznámky ceruzkou kvôli prehľadnosti.

Prepíšeme zodpovedajúci systém rovníc:

„Zvyčajné“ jediné riešenie systému tu nezapácha. Neexistuje ani zlá línia. To znamená, že toto je tretí zostávajúci prípad – systém má nekonečne veľa riešení. Niekedy je podľa podmienky potrebné preskúmať kompatibilitu systému (t.j. dokázať, že riešenie vôbec existuje), o tom si môžete prečítať v poslednom odseku článku Ako zistiť hodnosť matice? Ale teraz si rozoberme základy:

Nekonečná množina riešení sústavy je stručne zapísaná vo forme tzv všeobecné systémové riešenie .

Všeobecné riešenie sústavy nájdeme pomocou spätného pohybu Gaussovej metódy.

Najprv musíme určiť, aké premenné máme základné a ktoré premenné zadarmo. Nie je potrebné sa trápiť s pojmami lineárnej algebry, stačí si uvedomiť, že také existujú bázické premenné a voľné premenné.

Základné premenné vždy „sedia“ striktne na krokoch matice.
V tomto príklade sú základnými premennými a

Voľné premenné sú všetko zostávajúce premenné, ktoré nedostali ani krok. V našom prípade sú to dve z nich: - voľné premenné.

Teraz potrebujete všetky bázické premenné expresné len cez voľné premenné.

Spätný pohyb Gaussovho algoritmu tradične funguje zdola nahor.
Z druhej rovnice sústavy vyjadríme základnú premennú:

Teraz sa pozrite na prvú rovnicu: . Najprv doň dosadíme nájdený výraz:

Zostáva vyjadriť základnú premennú pomocou voľných premenných:

Výsledok je to, čo potrebujete - všetky sú vyjadrené základné premenné ( a ). len cez voľné premenné:

V skutočnosti je všeobecné riešenie pripravené:

Ako napísať všeobecné riešenie?
Voľné premenné sa do všeobecného riešenia zapisujú „samy“ a striktne na svoje miesta. V tomto prípade by sa voľné premenné mali zapísať na druhú a štvrtú pozíciu:
.

Výsledné výrazy pre základné premenné a samozrejme musí byť napísané na prvom a treťom mieste:

Poskytovanie voľných premenných ľubovoľné hodnoty, je ich nekonečne veľa súkromné ​​rozhodnutia. Najpopulárnejšie hodnoty sú nuly, pretože konkrétne riešenie je najjednoduchšie získať. Nahraďte vo všeobecnom riešení:

je súkromné ​​rozhodnutie.

Jedny sú ďalším sladkým párom, dosaďte do všeobecného riešenia:

je ďalšie konkrétne riešenie.

Je ľahké vidieť, že systém rovníc má nekonečne veľa riešení(keďže môžeme dať voľné premenné akýkoľvek hodnoty)

Každý konkrétne riešenie musí spĺňať každému systémová rovnica. To je základ pre „rýchlu“ kontrolu správnosti riešenia. Vezmite si napríklad konkrétne riešenie a dosaďte ho na ľavú stranu každej rovnice v pôvodnom systéme:

Všetko sa musí spojiť. A s akýmkoľvek konkrétnym riešením, ktoré dostanete, by sa malo všetko zblížiť.

Ale prísne vzaté, overenie konkrétneho riešenia niekedy klame; nejaké konkrétne riešenie môže splniť každú rovnicu systému a samotné všeobecné riešenie sa v skutočnosti nájde nesprávne.

Preto je overenie všeobecného riešenia dôkladnejšie a spoľahlivejšie. Ako skontrolovať výsledné všeobecné riešenie ?

Je to jednoduché, ale dosť únavné. Musíme prijať výrazy základné premenné, v tomto prípade a , a dosaďte ich na ľavú stranu každej rovnice systému.

Naľavo od prvej rovnice systému:

Na ľavú stranu druhej rovnice systému:


Získa sa pravá strana pôvodnej rovnice.

Príklad 4

Vyriešte systém pomocou Gaussovej metódy. Nájdite všeobecné riešenie a dve súkromné. Skontrolujte celkové riešenie.

Toto je príklad „urob si sám“. Tu je mimochodom opäť počet rovníc menší ako počet neznámych, čo znamená, že je hneď jasné, že systém bude buď nekonzistentný, alebo s nekonečným počtom riešení. Čo je dôležité v samotnom rozhodovacom procese? Pozor a ešte raz pozornosť. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

A ešte pár príkladov na posilnenie materiálu

Príklad 5

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc. Ak má systém nekonečne veľa riešení, nájdite dve konkrétne riešenia a skontrolujte všeobecné riešenie

Riešenie: Napíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju privedieme do stupňovitého tvaru:

(1) Pridajte prvý riadok k druhému riadku. Do tretieho riadku pridáme prvý riadok vynásobený 2. Do štvrtého riadku pridáme prvý riadok vynásobený 3.
(2) K tretiemu riadku pridajte druhý riadok vynásobený -5. Do štvrtého riadku pridáme druhý riadok, vynásobený -7.
(3) Tretí a štvrtý riadok sú rovnaké, jeden z nich vymažeme.

Tu je taká krása:

Základné premenné sedia na schodoch, takže sú základnými premennými.
Existuje iba jedna voľná premenná, ktorá nedostala krok:

Spätný pohyb:
Základné premenné vyjadrujeme pomocou voľnej premennej:
Z tretej rovnice:

Zvážte druhú rovnicu a dosaďte do nej nájdený výraz:

Zvážte prvú rovnicu a nahraďte nájdené výrazy a do nej:

Áno, kalkulačka, ktorá počíta obyčajné zlomky, je stále pohodlná.

Takže všeobecné riešenie je:

Ešte raz, ako sa to stalo? Voľná ​​premenná je sama na svojom právoplatnom štvrtom mieste. Výsledné výrazy pre základné premenné tiež zaujali svoje poradové miesto.

Okamžite skontrolujte všeobecné riešenie. Práca pre černochov, ale už som to urobil, tak sa chyťte =)

Do ľavej strany každej rovnice systému dosadíme troch hrdinov , :

Získajú sa zodpovedajúce pravé strany rovníc, takže všeobecné riešenie sa nájde správne.

Teraz z nájdeného všeobecného riešenia dostaneme dve konkrétne riešenia. Šéfkuchár je tu jediná bezplatná premenná. Netreba si lámať hlavu.

Nechaj potom je súkromné ​​rozhodnutie.
Nechaj potom je ďalšie konkrétne riešenie.

Odpoveď: Spoločné rozhodnutie: , konkrétne riešenia: , .

Márne som tu spomínal na černochov ... ... lebo sa mi v hlave vynárali všelijaké sadistické motívy a spomenul som si na známu fotožhabu, na ktorej sa Ku Klux Klansmen v bielych kombinézach preháňa po ihrisku za futbalistom čiernej pleti. . Sedím a potichu sa usmievam. Viete, aké rušivé….

Veľa matematiky škodí, takže podobný záverečný príklad na samostatné riešenie.

Príklad 6

Nájdite všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc.

Všeobecné riešenie som už skontroloval, na odpoveď sa dá spoľahnúť. Vaše riešenie sa môže líšiť od môjho riešenia, hlavná vec je, že všeobecné riešenia sa zhodujú.

Pravdepodobne si mnohí všimli nepríjemný moment v riešeniach: veľmi často sme sa pri opačnom priebehu Gaussovej metódy museli pohrávať s obyčajnými zlomkami. V praxi to platí, prípady, keď neexistujú zlomky, sú oveľa menej bežné. Pripravte sa psychicky, a čo je najdôležitejšie, technicky.

Pozastavím sa pri niektorých vlastnostiach riešenia, ktoré sa v riešených príkladoch nenašli.

Všeobecné riešenie systému môže niekedy obsahovať konštantu (alebo konštanty), napríklad: . Tu sa jedna zo základných premenných rovná konštantnému číslu: . Nie je v tom nič exotické, to sa stáva. Je zrejmé, že v tomto prípade bude každé konkrétne riešenie obsahovať päťku na prvej pozícii.

Zriedkavo, ale existujú systémy, v ktorých počet rovníc je väčší ako počet premenných. Gaussova metóda funguje v najťažších podmienkach, treba pokojne uviesť rozšírenú maticu systému do stupňovitého tvaru podľa štandardného algoritmu. Takýto systém môže byť nekonzistentný, môže mať nekonečne veľa riešení a napodiv môže mať jedinečné riešenie.