V tomto článku sa bližšie pozrieme na koncept krížového súčinu dvoch vektorov. Dáme potrebné definície, napíšeme vzorec na zistenie súradníc vektorového súčinu, vymenujeme a zdôvodníme jeho vlastnosti. Potom sa zastavíme pri geometrickom význame vektorového súčinu dvoch vektorov a zvážime riešenia rôznych typických príkladov.

Navigácia na stránke.

Definícia krížového produktu.

Pred definovaním vektorového súčinu pochopme orientáciu usporiadanej trojice vektorov v trojrozmernom priestore.

Nakreslíme vektory z jedného bodu. V závislosti od smeru vektora môžu byť tri vpravo alebo vľavo. Pozrime sa od konca vektora na to, ako najkratšia odbočka z vektora na . Ak nastane najkratšia rotácia proti smeru hodinových ručičiek, potom sa volá trojica vektorov správny, inak - vľavo.

Teraz zoberme dva nekolineárne vektory a . Nakreslite vektory a z bodu A. Zostrojme nejaký vektor kolmý na obe a a . Je zrejmé, že pri konštrukcii vektora môžeme urobiť dve veci a dať mu jeden alebo opačný smer (pozri ilustráciu).

V závislosti od smeru vektora môže byť usporiadaná trojica vektorov pravotočivá alebo ľavotočivá.

To nás približuje k definícii vektorového produktu. Udáva sa pre dva vektory definované v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru.

Definícia.

Krížový súčin dvoch vektorov a , špecifikovaný v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru, sa nazýva vektor taký, že

Krížový súčin vektorov a je označený ako .

Súradnice vektorového súčinu.

Teraz si dáme druhú definíciu vektorového súčinu, ktorá umožňuje nájsť jeho súradnice zo súradníc daných vektorov a.

Definícia.

V pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru vektorový súčin dvoch vektorov A je vektor , kde sú súradnicové vektory.

Táto definícia nám dáva krížový súčin v súradnicovej forme.

Vektorový súčin je vhodné reprezentovať ako determinant štvorcovej matice tretieho rádu, ktorej prvý riadok sú vektory, druhý riadok obsahuje súradnice vektora a tretí súradnice vektora v danom pravouhlý súradnicový systém:

Ak tento determinant rozšírime na prvky prvého riadku, získame rovnosť z definície vektorového súčinu v súradniciach (ak je to potrebné, pozrite si článok):

Je potrebné poznamenať, že súradnicová forma vektorového produktu je plne v súlade s definíciou uvedenou v prvom odseku tohto článku. Okrem toho sú tieto dve definície krížového produktu ekvivalentné. Dôkaz o tejto skutočnosti môžete vidieť v knihe uvedenej na konci článku.

Vlastnosti vektorového produktu.

Pretože vektorový súčin v súradniciach môže byť reprezentovaný ako determinant matice, môže byť na základe ľahko odôvodnené nasledujúce vlastnosti krížového produktu:

Ako príklad ukážme antikomutatívnu vlastnosť vektorového súčinu.

A-priorstvo A . Vieme, že hodnota determinantu matice je obrátená, ak sa vymenia dva riadky, preto , ktorý dokazuje antikomutatívnu vlastnosť vektorového súčinu.

Vektorový produkt - príklady a riešenia.

Ide najmä o tri typy problémov.

V úlohách prvého typu sú uvedené dĺžky dvoch vektorov a uhol medzi nimi a musíte nájsť dĺžku vektorového súčinu. V tomto prípade sa použije vzorec .

Príklad.

Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov a , ak sú známe .

Riešenie.

Z definície vieme, že dĺžka vektorového súčinu vektorov a je rovná súčinu dĺžok vektorov a sínusu uhla medzi nimi, teda, .

odpoveď:

.

Problémy druhého typu súvisia so súradnicami vektorov, v ktorých sa cez súradnice daných vektorov hľadá vektorový súčin, jeho dĺžka alebo čokoľvek iné. A .

Je tu možné množstvo rôznych možností. Napríklad nie súradnice vektorov a môžu byť špecifikované, ale ich expanzia do súradnicových vektorov tvaru a , alebo vektory a môžu byť špecifikované súradnicami ich počiatočného a koncového bodu.

Pozrime sa na typické príklady.

Príklad.

V pravouhlom súradnicovom systéme sú uvedené dva vektory . Nájdite ich krížový produkt.

Riešenie.

Podľa druhej definície je vektorový súčin dvoch vektorov v súradniciach zapísaný ako:

K rovnakému výsledku by sme dospeli, ak by bol vektorový súčin zapísaný ako determinant

odpoveď:

.

Príklad.

Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov a , kde sú jednotkové vektory pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému.

Riešenie.

Najprv nájdeme súradnice vektorového súčinu v danom pravouhlom súradnicovom systéme.

Pretože vektory a majú súradnice, resp. (ak je to potrebné, pozrite si súradnice článku vektora v pravouhlom súradnicovom systéme), potom druhou definíciou vektorového súčinu máme

Teda vektorový súčin má súradnice v danom súradnicovom systéme.

Dĺžku vektorového súčinu nájdeme ako druhú odmocninu súčtu druhých mocnín jeho súradníc (tento vzorec pre dĺžku vektora sme získali v časti o hľadaní dĺžky vektora):

odpoveď:

.

Príklad.

V pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme sú uvedené súradnice troch bodov. Nájdite nejaký vektor, ktorý je kolmý a zároveň.

Riešenie.

Vektory a majú súradnice resp. (pozri článok hľadanie súradníc vektora pomocou súradníc bodov). Ak nájdeme vektorový súčin vektorov a , potom je to podľa definície vektor kolmý na aj na , čiže je to riešenie nášho problému. Poďme ho nájsť

odpoveď:

- jeden z kolmých vektorov.

V úlohách tretieho typu sa testuje zručnosť využitia vlastností vektorového súčinu vektorov. Po aplikácii vlastností sa použijú zodpovedajúce vzorce.

Príklad.

Vektory a sú kolmé a ich dĺžka je 3 a 4. Nájdite dĺžku krížového produktu .

Riešenie.

Podľa distribučnej vlastnosti vektorového súčinu môžeme písať

Kvôli kombinačnej vlastnosti odoberáme číselné koeficienty zo znamienka vektorových súčinov v poslednom výraze:

Vektorové súčiny a sú rovné nule, pretože A , Potom .

Keďže vektorový súčin je antikomutatívny, potom .

Takže pomocou vlastností vektorového súčinu sme dospeli k rovnosti .

Podľa podmienky sú vektory a kolmé, to znamená, že uhol medzi nimi je rovný . To znamená, že máme všetky údaje, aby sme našli požadovanú dĺžku

odpoveď:

.

Geometrický význam vektorového súčinu.

Podľa definície je dĺžka vektorového súčinu vektorov . A z kurzu geometrie na strednej škole vieme, že plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu dĺžok dvoch strán trojuholníka a sínusu uhla medzi nimi. V dôsledku toho sa dĺžka vektorového produktu rovná dvojnásobku plochy trojuholníka, ktorého strany sú vektory a , ak sú vynesené z jedného bodu. Inými slovami, dĺžka vektorového súčinu vektorov a sa rovná ploche rovnobežníka so stranami a a uhol medzi nimi sa rovná . Toto je geometrický význam vektorového súčinu.

V tejto lekcii sa pozrieme na ďalšie dve operácie s vektormi: vektorový súčin vektorov A zmiešaný súčin vektorov (okamžitý odkaz pre tých, ktorí to potrebujú). To je v poriadku, niekedy sa stane, že pre úplné šťastie, navyše skalárny súčin vektorov, sú potrebné ďalšie a ďalšie. Toto je vektorová závislosť. Môže sa zdať, že sa dostávame do džungle analytickej geometrie. Toto je nesprávne. V tejto časti vyššej matematiky je vo všeobecnosti málo dreva, možno až na Pinocchia. V skutočnosti je materiál veľmi bežný a jednoduchý - sotva komplikovanejší ako ten istý skalárny produkt, bude dokonca menej typických úloh. Hlavná vec v analytickej geometrii, ako sa mnohí presvedčia alebo už presvedčili, je NEROBIŤ CHYBY VO VÝPOČTOCH. Opakujte ako kúzlo a budete šťastní =)

Ak niekde ďaleko zažiaria vektory, ako blesky na obzore, nevadí, začnite s lekciou Vektory pre figuríny obnoviť alebo znovu získať základné vedomosti o vektoroch. Pripravenejší čitatelia sa môžu s informáciami zoznámiť selektívne; Snažil som sa zhromaždiť čo najkompletnejšiu zbierku príkladov, ktoré sa často nachádzajú v praktickej práci

Čo vás hneď poteší? Keď som bol malý, vedel som žonglovať s dvomi alebo aj tromi loptičkami. Dobre to dopadlo. Teraz už nebudete musieť vôbec žonglovať, pretože zvážime iba priestorové vektory a ploché vektory s dvoma súradnicami budú vynechané. prečo? Takto sa zrodili tieto akcie – vektor a zmiešaný súčin vektorov sú definované a fungujú v trojrozmernom priestore. Už je to jednoduchšie!

Táto operácia, rovnako ako skalárny súčin, zahŕňa dva vektory. Nech sú to nehynúce písmená.

Samotná akcia označené nasledujúcim spôsobom: . Existujú aj iné možnosti, ale ja som zvyknutý označovať vektorový súčin vektorov týmto spôsobom v hranatých zátvorkách s krížikom.

A hneď otázka: ak je v skalárny súčin vektorov sú zapojené dva vektory a tu sa teda dva vektory tiež vynásobia v čom je rozdiel? Zjavný rozdiel je predovšetkým vo VÝSLEDKU:

Výsledkom skalárneho súčinu vektorov je ČÍSLO:

Výsledkom krížového súčinu vektorov je VEKTOR: , čiže vektory vynásobíme a opäť dostaneme vektor. Uzavretý klub. Odtiaľ vlastne pochádza aj názov operácie. V rôznej náučnej literatúre sa môžu označenia tiež líšiť, budem používať písmeno.

Definícia krížového produktu

Najprv bude definícia s obrázkom, potom komentáre.

Definícia: Vektorový produkt nekolineárne vektory, prijaté v tomto poradí s názvom VECTOR, dĺžkačo je číselne rovná ploche rovnobežníka, postavený na týchto vektoroch; vektor ortogonálne k vektorom a je nasmerovaný tak, aby základ mal správnu orientáciu:

Rozoberme si definíciu kúsok po kúsku, je tu veľa zaujímavých vecí!

Preto je možné zdôrazniť nasledujúce dôležité body:

1) Pôvodné vektory označené červenými šípkami podľa definície nie kolineárne. O niečo neskôr bude vhodné zvážiť prípad kolineárnych vektorov.

2) Zoberú sa vektory v presne stanovenom poradí: – "a" sa vynásobí "byť", nie „byť“ s „a“. Výsledok násobenia vektorov je VEKTOR, ktorý je označený modrou farbou. Ak sa vektory vynásobia v opačnom poradí, získame vektor rovnakej dĺžky a opačného smeru (malinová farba). To znamená, že rovnosť je pravdivá .

3) Teraz sa zoznámime s geometrickým významom vektorového súčinu. Toto je veľmi dôležitý bod! DĹŽKA modrého vektora (a teda karmínového vektora) sa číselne rovná PLOHE rovnobežníka postaveného na vektoroch. Na obrázku je tento rovnobežník zatienený čiernou farbou.

Poznámka : výkres je schematický a nominálna dĺžka vektorového produktu sa prirodzene nerovná ploche rovnobežníka.

Pripomeňme si jeden z geometrických vzorcov: Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu susedných strán a sínusu uhla medzi nimi. Preto na základe vyššie uvedeného platí vzorec na výpočet DĹŽKY vektorového produktu:

Zdôrazňujem, že vzorec je o DĹŽKE vektora, a nie o vektore samotnom. Aký je praktický význam? A význam je, že v problémoch analytickej geometrie sa oblasť rovnobežníka často nachádza prostredníctvom konceptu vektorového produktu:

Získame druhý dôležitý vzorec. Uhlopriečka rovnobežníka (červená bodkovaná čiara) ho rozdeľuje na dva rovnaké trojuholníky. Preto oblasť trojuholníka postavená na vektoroch (červené tieňovanie) možno nájsť pomocou vzorca:

4) Nemenej dôležitým faktom je, že vektor je k vektorom ortogonálny, tzn . Opačný vektor (malinová šípka) je samozrejme tiež ortogonálny k pôvodným vektorom.

5) Vektor smeruje tak, že základ Má správny orientácia. V lekcii o prechod na nový základ Hovoril som dostatočne podrobne o rovinná orientácia a teraz zistíme, aká je orientácia v priestore. Vysvetlím na vašich prstoch pravá ruka. Mentálne kombinovať ukazovák s vektorom a prostredník s vektorom. Prstenník a malíček stlačte ho do dlane. Ako výsledok palec– vektorový produkt sa vyhľadá. Toto je správne orientovaný základ (je to tento na obrázku). Teraz zmeňte vektory ( ukazovákom a prostredníkom) na niektorých miestach sa palec otočí a vektorový súčin sa už bude pozerať nadol. Toto je tiež správne orientovaný základ. Môžete mať otázku: ktorý základ opustil orientáciu? „Priradiť“ rovnakým prstom ľavá ruka vektory a získajte ľavú základňu a ľavú orientáciu priestoru (v tomto prípade bude palec umiestnený v smere spodného vektora). Obrazne povedané, tieto základy „krútia“ alebo orientujú priestor v rôznych smeroch. A tento koncept by sa nemal považovať za niečo pritiahnuté za vlasy alebo abstraktné - napríklad orientácia priestoru sa zmení najbežnejším zrkadlom a ak „vytiahnete odrazený objekt zo zrkadla“, potom to vo všeobecnosti nebude možné kombinovať s „originálom“. Mimochodom, držte tri prsty hore k zrkadlu a analyzujte odraz ;-)

...aké je dobré, že o tom teraz viete orientované vpravo a vľavo základy, lebo vyjadrenia niektorých lektorov o zmene orientácie sú desivé =)

Krížový súčin kolineárnych vektorov

Definícia bola podrobne prediskutovaná, zostáva zistiť, čo sa stane, keď sú vektory kolineárne. Ak sú vektory kolineárne, potom môžu byť umiestnené na jednej priamke a náš rovnobežník sa tiež „zloží“ do jednej priamky. Oblasť takých, ako hovoria matematici, degenerovať rovnobežník sa rovná nule. To isté vyplýva zo vzorca - sínus nuly alebo 180 stupňov sa rovná nule, čo znamená, že plocha je nula

Teda ak , tak A . Upozorňujeme, že samotný vektorový súčin sa rovná nulovému vektoru, ale v praxi sa to často zanedbáva a píše sa, že sa tiež rovná nule.

Špeciálnym prípadom je krížový súčin vektora so sebou samým:

Pomocou vektorového súčinu môžete skontrolovať kolinearitu trojrozmerných vektorov a okrem iného budeme analyzovať aj tento problém.

Na riešenie praktických príkladov budete možno potrebovať trigonometrická tabuľka nájsť z neho hodnoty sínusov.

No, zapálime oheň:

Príklad 1

a) Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov ak

b) Nájdite oblasť rovnobežníka postaveného na vektoroch, ak

Riešenie: Nie, toto nie je preklep, schválne som urobil počiatočné údaje vo vetách rovnaké. Pretože dizajn riešení bude iný!

a) Podľa stavu musíte nájsť dĺžka vektor (krížový produkt). Podľa zodpovedajúceho vzorca:

Odpoveď:

Ak sa vás pýtali na dĺžku, tak v odpovedi uvádzame rozmer – jednotky.

b) Podľa stavu treba nájsť námestie rovnobežník postavený na vektoroch. Plocha tohto rovnobežníka sa číselne rovná dĺžke vektorového produktu:

Odpoveď:

Upozorňujeme, že odpoveď vôbec nehovorí o vektorovom produkte, na čo sme boli požiadaní oblasť postavy, teda rozmer je štvorcových jednotiek.

Vždy sa pozeráme na to, ČO potrebujeme nájsť podľa podmienky a na základe toho formulujeme jasný odpoveď. Môže sa to zdať ako doslovnosť, ale medzi učiteľmi je dosť doslovníkov a zadanie má veľkú šancu vrátiť sa na prepracovanie. Aj keď to nie je príliš pritiahnutá hádka – ak je odpoveď nesprávna, človek má dojem, že daný človek nerozumie jednoduchým veciam a/alebo nepochopil podstatu úlohy. Tento bod treba mať vždy pod kontrolou pri riešení akéhokoľvek problému vo vyššej matematike, ale aj v iných predmetoch.

Kam zmizlo veľké písmeno „en“? V zásade to mohlo byť dodatočne priložené k riešeniu, ale v záujme skrátenia zápisu som to neurobil. Dúfam, že to každý chápe a je to označenie pre to isté.

Populárny príklad riešenia DIY:

Príklad 2

Nájdite oblasť trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Vzorec na nájdenie oblasti trojuholníka cez vektorový produkt je uvedený v komentároch k definícii. Riešenie a odpoveď sú na konci lekcie.

V praxi je táto úloha naozaj veľmi bežná, trojuholníky vás dokážu vo všeobecnosti potrápiť.

Na vyriešenie ďalších problémov budeme potrebovať:

Vlastnosti vektorového súčinu vektorov

Niektoré vlastnosti vektorového súčinu sme už zvážili, do tohto zoznamu ich však zaradím.

Pre ľubovoľné vektory a ľubovoľné číslo platia nasledujúce vlastnosti:

1) V iných zdrojoch informácií táto položka zvyčajne nie je zvýraznená vo vlastnostiach, ale z praktického hľadiska je veľmi dôležitá. Tak nech je.

2) – o majetku sa hovorí aj vyššie, niekedy je tzv antikomutatívnosť. Inými slovami, na poradí vektorov záleží.

3) – priraďovacie resp asociatívne zákony o vektorových produktoch. Konštanty sa dajú ľahko presunúť mimo vektorového súčinu. Ozaj, čo by tam mali robiť?

4) – distribúcia resp distributívny zákony o vektorových produktoch. Problémy nie sú ani s otváraním držiakov.

Aby sme to demonštrovali, pozrime sa na krátky príklad:

Príklad 3

Nájdite ak

Riešenie: Podmienka opäť vyžaduje zistenie dĺžky vektorového súčinu. Namaľujeme našu miniatúru:

(1) Podľa asociatívnych zákonov berieme konštanty mimo rozsah vektorového súčinu.

(2) Konštantu presunieme mimo modul a modul „zožerie“ znamienko mínus. Dĺžka nemôže byť záporná.

(3) Zvyšok je jasný.

Odpoveď:

Je čas pridať viac dreva do ohňa:

Príklad 4

Vypočítajte obsah trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Riešenie: Nájdite oblasť trojuholníka pomocou vzorca . Háčik je v tom, že samotné vektory „tse“ a „de“ sú prezentované ako súčty vektorov. Algoritmus je tu štandardný a trochu pripomína príklady č. 3 a 4 z lekcie Bodový súčin vektorov. Pre prehľadnosť rozdelíme riešenie do troch etáp:

1) V prvom kroku vyjadríme vektorový produkt prostredníctvom vektorového produktu, v skutočnosti, vyjadrime vektor pomocou vektora. O dĺžkach zatiaľ ani slovo!

(1) Nahraďte výrazy vektorov.

(2) Pomocou distributívnych zákonov otvárame zátvorky podľa pravidla násobenia polynómov.

(3) Pomocou asociatívnych zákonov presunieme všetky konštanty za vektorové súčiny. S trochou skúseností možno kroky 2 a 3 vykonať súčasne.

(4) Prvý a posledný člen sa rovnajú nule (nulový vektor) kvôli vlastnosti nice. V druhom člene využívame vlastnosť antikomutatívnosti vektorového súčinu:

(5) Uvádzame podobné výrazy.

V dôsledku toho sa ukázalo, že vektor je vyjadrený prostredníctvom vektora, čo bolo potrebné na dosiahnutie:

2) V druhom kroku nájdeme dĺžku vektorového súčinu, ktorý potrebujeme. Táto akcia je podobná ako v príklade 3:

3) Nájdite oblasť požadovaného trojuholníka:

Fázy 2-3 riešenia mohli byť napísané v jednom riadku.

Odpoveď:

Uvažovaný problém je v testoch celkom bežný, tu je príklad, ako ho vyriešiť sami:

Príklad 5

Nájdite ak

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny. Pozrime sa, ako pozorní ste boli pri štúdiu predchádzajúcich príkladov ;-)

Krížový súčin vektorov v súradniciach

, špecifikované na ortonormálnom základe, vyjadrené vzorcom:

Vzorec je naozaj jednoduchý: do horného riadku determinantu napíšeme súradnicové vektory, do druhého a tretieho riadku „dáme“ súradnice vektorov a dáme v prísnom poradí– najprv súradnice vektora „ve“, potom súradnice vektora „double-ve“. Ak je potrebné vektory vynásobiť v inom poradí, riadky by sa mali vymeniť:

Príklad 10

Skontrolujte, či sú nasledujúce priestorové vektory kolineárne:
A)
b)

Riešenie: Kontrola je založená na jednom z tvrdení v tejto lekcii: ak sú vektory kolineárne, ich vektorový súčin sa rovná nule (nulový vektor): .

a) Nájdite vektorový súčin:

Vektory teda nie sú kolineárne.

b) Nájdite vektorový súčin:

Odpoveď: a) nie kolineárne, b)

Tu sú snáď všetky základné informácie o vektorovom súčine vektorov.

Táto časť nebude príliš veľká, pretože existuje len málo problémov, kde sa používa zmiešaný súčin vektorov. V skutočnosti bude všetko závisieť od definície, geometrického významu a niekoľkých pracovných vzorcov.

Zmiešaný súčin vektorov je súčinom troch vektorov:

Zoradili sa teda ako vlak a nevedia sa dočkať, kedy budú identifikovaní.

Najprv opäť definícia a obrázok:

Definícia: Zmiešaná práca nekoplanárne vektory, prijaté v tomto poradí, volal objem rovnobežnostenu, postavené na týchto vektoroch, vybavené znamienkom „+“, ak je základ pravý, a znamienkom „–“, ak je základ vľavo.

Urobme kresbu. Pre nás neviditeľné čiary sú nakreslené bodkovanými čiarami:

Poďme sa ponoriť do definície:

2) Zoberú sa vektory v určitom poradí, to znamená, že preskupenie vektorov v produkte, ako by ste mohli hádať, neprebehne bez následkov.

3) Pred komentovaním geometrického významu si všimnem zrejmú skutočnosť: zmiešaný súčin vektorov je ČÍSLO: . V náučnej literatúre môže byť dizajn mierne odlišný, zvyknem označovať zmiešaný produkt a výsledok výpočtov písmenom „pe“.

A-priorstvo zmiešaný produkt je objem kvádra, postavený na vektoroch (postava je nakreslená červenými vektormi a čiernymi čiarami). To znamená, že číslo sa rovná objemu daného rovnobežnostena.

Poznámka : Výkres je schematický.

4) Netrápme sa znova konceptom orientácie základne a priestoru. Význam záverečnej časti je, že k objemu možno pridať znamienko mínus. Jednoducho povedané, zmiešaný produkt môže byť negatívny: .

Priamo z definície vyplýva vzorec na výpočet objemu kvádra postaveného na vektoroch.

Test č.1

vektory. Prvky vyššej algebry

1-20. Dĺžky vektorov a a sú známe; – uhol medzi týmito vektormi.

Vypočítajte: 1) a 2).3) Nájdite obsah trojuholníka postaveného na vektoroch a.

Urobte si kresbu.

Riešenie. Pomocou definície bodového súčinu vektorov:

A vlastnosti skalárneho produktu: ,

1) nájdite skalárny štvorec vektora:

teda Potom .

Argumentujúc podobne, dostaneme

teda Potom .

Podľa definície vektorového produktu: ,

berúc do úvahy to

Plocha trojuholníka skonštruovaného z vektorov a rovná sa

21-40. Známe súradnice troch vrcholov A, B, D rovnobežník A B C D. Pomocou vektorovej algebry potrebujete:

A(3;0;-7), B(2;4;6), D(-7;-5;1)

Riešenie.

Je známe, že uhlopriečky rovnobežníka sú v priesečníku rozdelené na polovicu. Preto súradnice bodu E- priesečník uhlopriečok - nájdite ako súradnice stredu segmentu BD. Označuje ich podľa X E ,r E , z E dostaneme to

Dostaneme.

Poznanie súradníc bodu E- stred uhlopriečky BD a súradnice jedného z jeho koncov A(3;0;-7), Pomocou vzorcov určíme potrebné súradnice vrcholu S rovnobežník:

Takže vrchol.

2) Aby sme našli projekciu vektora na vektor, nájdeme súradnice týchto vektorov: ,

podobne . Projekciu vektora na vektor nájdeme pomocou vzorca:

3) Uhol medzi uhlopriečkami rovnobežníka sa zistí ako uhol medzi vektormi

A podľa vlastnosti skalárneho súčinu:

Potom

4) Nájdite plochu rovnobežníka ako modul vektorového produktu:

5) Objem pyramídy sa zistí ako jedna šestina modulu zmiešaného súčinu vektorov, kde O(0;0;0), potom

Potom požadovaný objem (kubické jednotky)

41-60. Dané matice:

V C -1 +3A T

Označenia:

Najprv nájdeme inverznú maticu matice C.

Aby sme to dosiahli, nájdeme jeho determinant:

Determinant je odlišný od nuly, preto je matica nesingulárna a pre ňu môžete nájsť inverznú maticu C -1

Nájdite algebraické doplnky pomocou vzorca , kde je vedľajšia hodnota prvku:

Potom, .

61–80. Vyriešte sústavu lineárnych rovníc:

Cramerova metóda; 2. Maticová metóda.

Riešenie.

a) Cramerova metóda

Poďme nájsť determinant systému

Od r má systém unikátne riešenie.

Nájdite determinanty a nahradením prvého, druhého, tretieho stĺpca v matici koeficientov stĺpcom voľných členov, resp.

Podľa Cramerových vzorcov:

b)maticová metóda (pomocou inverznej matice).

Tento systém zapíšeme v maticovom tvare a vyriešime ho pomocou inverznej matice.

Nechaj A– matica koeficientov pre neznáme; X– matica-stĺpec neznámych X, r, z A N– maticový stĺpec voľných členov:

Ľavú stranu systému (1) možno zapísať ako súčin matíc a pravú stranu ako maticu N. Preto máme maticovú rovnicu

Keďže determinant matice A sa líši od nuly (bod „a“), potom matica A má inverznú maticu. Vynásobme obe strany rovnosti (2) vľavo maticou, dostaneme

Odkiaľ E je matica identity a potom

Majme nesingulárnu maticu A:

Potom nájdeme inverznú maticu pomocou vzorca:

Kde A ij- algebraický doplnok prvku a ij v determinante matice A, čo je súčin (-1) i+j a vedľajšieho (determinantu) n-1 poradie získané vymazaním i-tý linky a jth stĺpec v determinante matice A:

Odtiaľ dostaneme inverznú maticu:

Stĺpec X: X=A-1H

81–100. Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Riešenie. Napíšme systém vo forme rozšírenej matice:

Vykonávame elementárne transformácie s reťazcami.

Od 2. riadku odčítame prvý riadok vynásobený 2. Od riadku 3 odčítame prvý riadok vynásobený 4. Od riadku 4 odčítame prvý riadok, dostaneme maticu:

Ďalej dostaneme nulu v prvom stĺpci nasledujúcich riadkov, aby ste to urobili, odpočítajte tretí riadok od druhého riadku. Od tretieho riadku odčítajte druhý riadok vynásobený 2. Od štvrtého riadku odčítajte druhý riadok vynásobený 3. Výsledkom je matica tvaru:

Od štvrtého riadku odpočítame tretí.

Vymeňme predposledný a posledný riadok:

Posledná matica je ekvivalentná systému rovníc:

Z poslednej rovnice sústavy nájdeme .

Dosadením do predposlednej rovnice dostaneme .

Z druhej rovnice sústavy vyplýva, že

Z prvej rovnice zistíme x:

odpoveď:

Test č.2

Analytická geometria

1-20. Vzhľadom na súradnice vrcholov trojuholníka ABC. Nájsť:

1) dĺžka strany AIN;

2) rovnice strán AB A slnko a ich uhlové koeficienty;

3) uhol IN v radiánoch s presnosťou na dve číslice;

4) výšková rovnica CD a jeho dĺžka;

5) mediánová rovnica AE

výška CD;

TO rovnobežne so stranou AB,

7) urobte kresbu.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

Riešenie.

Aplikovaním (1) zistíme dĺžku strany AB:

2) rovnice strán AB A slnko a ich uhlové koeficienty:

Rovnica priamky prechádzajúcej bodmi a má tvar

Nahradením súradníc bodov do (2) A A IN, dostaneme rovnicu strany AB:

(AB).

(B.C.).

3) uhol IN v radiánoch s presnosťou na dve číslice.

Je známe, že dotyčnica uhla medzi dvoma priamkami, ktorých uhlové koeficienty sú rovnaké, sa vypočíta podľa vzorca

Požadovaný uhol IN tvorené rovnými čiarami AB A slnko, ktorého uhlové koeficienty sa nachádzajú: ; . Aplikovaním (3) získame

; , alebo

4) výšková rovnica CD a jeho dĺžka.

Vzdialenosť od bodu C k priamke AB:

5) mediánová rovnica AE a súradnice bodu K priesečníka tohto mediánu s

výška CD.

stred slnečnej strany:

Potom rovnica AE:

Riešime sústavu rovníc:

6) rovnica priamky prechádzajúcej bodom TO rovnobežne so stranou AB:

Pretože požadovaná čiara je rovnobežná so stranou AB, potom sa jeho uhlový koeficient bude rovnať uhlovému koeficientu priamky AB. Nahradením súradníc nájdeného bodu do (4) TO a sklon, dostaneme

; (KF).

Plocha rovnobežníka je 12 metrov štvorcových. jednotky, jej dva vrcholy sú body A(-1;3) A B(-2;4). Nájdite ďalšie dva vrcholy tohto rovnobežníka, ak je známe, že priesečník jeho uhlopriečok leží na osi x. Urobte si kresbu.

Riešenie. Nech má priesečník uhlopriečok súradnice .

Potom je zrejmé, že

preto sú súradnice vektorov .

Pomocou vzorca nájdeme oblasť rovnobežníka

Potom súradnice ďalších dvoch vrcholov sú .

V úlohách 51-60 sú uvedené súradnice bodov A a B. Požadovaný:

Napíšte kanonickú rovnicu pre hyperbolu prechádzajúcu týmito bodmi A a B, ak sú ohniská hyperboly umiestnené na osi x;

Nájdite poloosi, ohniská, excentricitu a rovnice asymptot tejto hyperboly;

Nájdite všetky priesečníky hyperboly s kružnicou so stredom v počiatku, ak táto kružnica prechádza ohniskami hyperboly;

Zostrojte hyperbolu, jej asymptoty a kružnicu.

A(6;-2), B(-8;12).

Riešenie. Je napísaná rovnica požadovanej hyperboly v kanonickom tvare

Kde a- skutočná poloos hyperboly, b- pomyselná poloos. Nahradenie súradníc bodov A A IN V tejto rovnici nájdeme tieto poloosi:

– rovnica hyperboly: .

Poloosi a=4,

ohnisková vzdialenosť Zaostrenia (-8,0) a (8,0)

Výstrednosť

Asyptotes:

Ak kružnica prechádza počiatkom, jeho rovnica je

Nahradením jedného z ohnísk nájdeme rovnicu kruhu

Nájdite priesečníky hyperboly a kružnice:

Vytvárame výkres:

V úlohách 61-80 vytvorte graf funkcie v polárnom súradnicovom systéme bod po bode, pričom dávajte hodnoty  cez interval  /8 (0   2). Nájdite rovnicu priamky v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme (kladná poloos úsečky sa zhoduje s polárnou osou a pól s počiatkom).

Riešenie. Postavme čiaru podľa bodov, pričom najprv vyplníme tabuľku hodnôt a φ.

číslo	φ ,	φ, stupne			číslo	φ , rád	stupňa
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 došli sme k záveru, že táto rovnica definuje elipsu: Body sa dávajú A, IN , C, D . Treba nájsť: 1. Rovinná rovnica (Q), prechádzanie cez body A, B, C D v lietadle (Q); 2. Rovnica priamky (ja), prechádzanie cez body IN a D; 3. Uhol medzi rovinou (Q) a rovno (ja); 4. Rovinná rovnica (R), prechod cez bod A kolmo na priamku (ja); 5. Uhol medzi rovinami (R) A (Q) ; 6. Rovnica priamky (T), prechod cez bod A v smere vektora jeho polomeru; 7. Uhol medzi rovnými čiarami (ja) A (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),D(6;4;0) 1. Rovinná rovnica (Q), prechádzanie cez body A, B, C a skontrolujte, či pointa leží D v rovine sa určuje podľa vzorca Nájdi: 1) . 2) Námestie rovnobežník, postavený na A. 3) Objem kvádra, postavený na vektory, A. Kontrola Job na túto tému" Prvky Teória lineárnych priestorov... Metodické odporúčania na absolvovanie testov pre pregraduálne externé štúdium v ​​kvalifikácii 080100. 62 v smere Smernice Rovnobežník a objem pyramídy, postavený na vektory, A. Riešenie: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2)... . . . 4. ÚLOHY PRE KONTROLA TVORBAČasť I. Lineárne algebra. 1 – 10. Dané...