Nech je funkcia $z=f(x,y)$ definovaná a spojitá v nejakej ohraničenej uzavretej doméne $D$. Nech má daná funkcia v tejto oblasti konečné parciálne derivácie prvého rádu (možno s výnimkou konečného počtu bodov). Na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie dvoch premenných v danej uzavretej oblasti sú potrebné tri kroky jednoduchého algoritmu.
Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie $z=f(x,y)$ v uzavretej doméne $D$.
- Nájdite kritické body funkcie $z=f(x,y)$, ktoré patria do oblasti $D$. Vypočítajte funkčné hodnoty v kritických bodoch.
- Preskúmajte správanie funkcie $z=f(x,y)$ na hranici oblasti $D$ nájdením bodov možných maximálnych a minimálnych hodnôt. Vypočítajte funkčné hodnoty v získaných bodoch.
- Z funkčných hodnôt získaných v predchádzajúcich dvoch odsekoch vyberte najväčšiu a najmenšiu.
Čo sú kritické body? ukázať skryť
Pod kritických bodov implikujú body, kde sa obe parciálne derivácie prvého rádu rovnajú nule (t. j. $\frac(\čiastočné z)(\čiastočné x)=0$ a $\frac(\čiastočné z)(\čiastočné y)=0 $) alebo aspoň jedna parciálna derivácia neexistuje.
Často sa nazývajú body, v ktorých sú parciálne derivácie prvého rádu rovné nule stacionárne body. Stacionárne body sú teda podmnožinou kritických bodov.
Príklad č. 1
Nájdite maximálne a minimálne hodnoty funkcie $z=x^2+2xy-y^2-4x$ v uzavretej oblasti ohraničenej čiarami $x=3$, $y=0$ a $y=x +1 $.
Budeme postupovať podľa vyššie uvedeného, ale najskôr sa budeme zaoberať kresbou danej oblasti, ktorú označíme písmenom $D$. Sú nám dané rovnice troch priamok, ktoré obmedzujú túto oblasť. Priamka $x=3$ prechádza bodom $(3;0)$ rovnobežne s osou y (os Oy). Priamka $y=0$ je rovnica osi x (os Ox). Aby sme zostrojili priamku $y=x+1$, nájdime dva body, cez ktoré túto priamku nakreslíme. Namiesto $ x $ môžete, samozrejme, nahradiť niekoľko ľubovoľných hodnôt. Napríklad dosadením $x=10$ dostaneme: $y=x+1=10+1=11$. Našli sme bod $(10;11)$ ležiaci na priamke $y=x+1$. Je však lepšie nájsť tie body, kde sa priamka $y=x+1$ pretína s priamkami $x=3$ a $y=0$. Prečo je to lepšie? Pretože jedným kameňom položíme pár vtákov: za zostrojenie priamky $y=x+1$ dostaneme dva body a zároveň zistíme, v ktorých bodoch táto priamka pretína ďalšie priamky, ktoré dané oblasť. Priamka $y=x+1$ pretína priamku $x=3$ v bode $(3;4)$ a priamka $y=0$ - v bode $(-1;0)$. Aby som priebeh riešenia nezahlcoval pomocnými vysvetlivkami, otázku získania týchto dvoch bodov uvediem do poznámky.
Ako boli získané body $(3;4)$ a $(-1;0)$? ukázať skryť
Začnime od priesečníka priamok $y=x+1$ a $x=3$. Súradnice požadovaného bodu patria do prvého aj druhého riadku, takže ak chcete nájsť neznáme súradnice, musíte vyriešiť systém rovníc:
$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & y=x+1;\\ & x=3. \koniec(zarovnané) \vpravo. $$
Riešenie takéhoto systému je triviálne: dosadením $x=3$ do prvej rovnice dostaneme: $y=3+1=4$. Bod $(3;4)$ je požadovaný priesečník priamok $y=x+1$ a $x=3$.
Teraz nájdime priesečník priamok $y=x+1$ a $y=0$. Opäť skladáme a riešime sústavu rovníc:
$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & y=x+1;\\ & y=0. \koniec(zarovnané) \vpravo. $$
Dosadením $y=0$ do prvej rovnice dostaneme: $0=x+1$, $x=-1$. Bod $(-1;0)$ je požadovaný priesečník priamok $y=x+1$ a $y=0$ (os x).
Všetko je pripravené na vytvorenie výkresu, ktorý bude vyzerať takto:
Otázka poznámky sa zdá byť zrejmá, pretože z obrázku je vidieť všetko. Je však potrebné pripomenúť, že kresba nemôže slúžiť ako dôkaz. Obrázok je len ilustráciou pre názornosť.
Naša oblasť bola stanovená pomocou rovníc priamok, ktoré ju obmedzujú. Je zrejmé, že tieto čiary definujú trojuholník, však? Alebo nie celkom zrejmé? Alebo možno máme inú oblasť ohraničenú rovnakými čiarami:
Samozrejme, podmienka hovorí, že oblasť je uzavretá, takže zobrazený obrázok je nesprávny. Aby sa však predišlo takýmto nejasnostiam, je lepšie definovať regióny podľa nerovností. Zaujíma nás časť roviny nachádzajúca sa pod čiarou $y=x+1$? Ok, takže $y ≤ x+1$. Naša oblasť by sa mala nachádzať nad čiarou $y=0$? Skvelé, takže $y ≥ 0 $. Mimochodom, posledné dve nerovnosti sa dajú ľahko spojiť do jednej: $0 ≤ y ≤ x+1$.
$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(zarovnané) \vpravo. $$
Tieto nerovnosti definujú doménu $D$ a definujú ju jednoznačne, bez akýchkoľvek nejasností. Ako nám to však pomôže v otázke na začiatku poznámky pod čiarou? Aj to pomôže :) Musíme skontrolovať, či bod $M_1(1;1)$ patrí do oblasti $D$. Dosaďte $x=1$ a $y=1$ do systému nerovností, ktoré definujú túto oblasť. Ak sú obe nerovnosti splnené, potom bod leží vo vnútri regiónu. Ak nie je splnená aspoň jedna z nerovností, bod kraju nepatrí. Takže:
$$ \left \( \begin(zarovnané) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(zarovnané) \right. \;\; \left \( \begin(zarovnané) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(zarovnané) \right.$$
Obe nerovnosti sú pravdivé. Bod $M_1(1;1)$ patrí do oblasti $D$.
Teraz je na rade skúmať správanie sa funkcie na hranici definičného oboru, t.j. ísť do. Začnime s priamkou $y=0$.
Priama čiara $y=0$ (os x) obmedzuje oblasť $D$ za podmienky $-1 ≤ x ≤ 3$. Dosaďte $y=0$ do danej funkcie $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Výsledná substitučná funkcia jednej premennej $x$ bude označená ako $f_1(x)$:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$
Teraz pre funkciu $f_1(x)$ potrebujeme nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu na intervale $-1 ≤ x ≤ 3$. Nájdite deriváciu tejto funkcie a prirovnajte ju k nule:
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
Hodnota $x=2$ patrí segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, preto do zoznamu bodov pridáme aj $M_2(2;0)$. Okrem toho vypočítame hodnoty funkcie $z$ na koncoch segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, t.j. v bodoch $M_3(-1;0)$ a $M_4(3;0)$. Mimochodom, ak by bod $M_2$ nepatril do uvažovaného segmentu, potom by v ňom samozrejme nebolo potrebné počítať hodnotu funkcie $z$.
Vypočítajme teda hodnoty funkcie $z$ v bodoch $M_2$, $M_3$, $M_4$. Súradnice týchto bodov môžete samozrejme dosadiť do pôvodného výrazu $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Napríklad pre bod $M_2$ dostaneme:
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4,$$
Výpočty sa však dajú trochu zjednodušiť. Aby sme to urobili, je potrebné pripomenúť, že na segmente $M_3M_4$ máme $z(x,y)=f_1(x)$. Rozpíšem to podrobne:
\začiatok(zarovnané) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end (zarovnané)
Samozrejme, zvyčajne nie sú potrebné takéto podrobné záznamy a v budúcnosti začneme všetky výpočty zapisovať kratšie:
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3,$$
Teraz sa obráťme na priamku $x=3$. Táto čiara ohraničuje doménu $D$ pod podmienkou $0 ≤ y ≤ 4$. Do danej funkcie $z$ dosaďte $x=3$. V dôsledku takejto substitúcie dostaneme funkciu $f_2(y)$:
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$
Pre funkciu $f_2(y)$ musíte nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu na intervale $0 ≤ y ≤ 4$. Nájdite deriváciu tejto funkcie a prirovnajte ju k nule:
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$
Hodnota $y=3$ patrí segmentu $0 ≤ y ≤ 4$, takže k bodom zisteným skôr pripočítame $M_5(3;3)$. Okrem toho je potrebné vypočítať hodnotu funkcie $z$ v bodoch na koncoch segmentu $0 ≤ y ≤ 4$, t.j. v bodoch $M_4(3;0)$ a $M_6(3;4)$. V bode $M_4(3;0)$ sme už vypočítali hodnotu $z$. Vypočítajme hodnotu funkcie $z$ v bodoch $M_5$ a $M_6$. Dovoľte mi pripomenúť, že na segmente $M_4M_6$ máme $z(x,y)=f_2(y)$, teda:
\začiatok(zarovnané) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end (zarovnané)
A nakoniec zvážte poslednú hranicu $D$, t.j. riadok $y=x+1$. Táto čiara ohraničuje oblasť $D$ pod podmienkou $-1 ≤ x ≤ 3$. Nahradením $y=x+1$ do funkcie $z$ dostaneme:
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$
Opäť tu máme funkciu jednej premennej $x$. A opäť musíte nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty tejto funkcie na segmente $-1 ≤ x ≤ 3 $. Nájdite deriváciu funkcie $f_(3)(x)$ a prirovnajte ju k nule:
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
Hodnota $x=1$ patrí do intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Ak $x=1$, potom $y=x+1=2$. Pridajme $M_7(1;2)$ do zoznamu bodov a zistíme, aká je v tomto bode hodnota funkcie $z$. Body na koncoch segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, t.j. body $M_3(-1;0)$ a $M_6(3;4)$ sme uvažovali skôr, už sme v nich našli hodnotu funkcie.
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3,$$
Druhý krok riešenia je dokončený. Máme sedem hodnôt:
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3,$$
Obráťme sa na. Výberom najväčších a najmenších hodnôt z čísel získaných v treťom odseku budeme mať:
$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6,$$
Problém je vyriešený, zostáva len zapísať odpoveď.
Odpoveď: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.
Príklad č. 2
Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie $z=x^2+y^2-12x+16y$ v oblasti $x^2+y^2 ≤ 25 $.
Najprv zostavíme výkres. Rovnica $x^2+y^2=25$ (toto je hraničná čiara danej oblasti) definuje kružnicu so stredom v počiatku (t.j. v bode $(0;0)$) a polomerom 5. Nerovnosť $x^2 +y^2 ≤ 25$ spĺňa všetky body vo vnútri a na uvedenom kruhu.
Budeme konať. Poďme nájsť parciálne derivácie a zistiť kritické body.
$$ \frac(\čiastočné z)(\čiastočné x)=2x-12; \frac(\čiastočné z)(\čiastočné y)=2y+16. $$
Neexistujú žiadne body, v ktorých by neexistovali nájdené parciálne derivácie. Zistime, v ktorých bodoch sú obe parciálne derivácie súčasne rovné nule, t.j. nájsť stacionárne body.
$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(zarovnané) \vpravo. \;\; \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & x =6;\\ & y=-8.\end(zarovnané) \vpravo.$$
Dostali sme stacionárny bod $(6;-8)$. Nájdený bod však nepatrí do oblasti $D$. To je ľahké ukázať bez toho, aby ste sa uchýlili k kresleniu. Skontrolujeme, či platí nerovnosť $x^2+y^2 ≤ 25$, ktorá definuje našu doménu $D$. Ak $x=6$, $y=-8$, potom $x^2+y^2=36+64=100$, t.j. nerovnosť $x^2+y^2 ≤ 25$ nie je splnená. Záver: bod $(6;-8)$ nepatrí do oblasti $D$.
Vo vnútri $D$ teda nie sú žiadne kritické body. Poďme ďalej, do. Potrebujeme vyšetriť správanie sa funkcie na hranici danej oblasti, t.j. na kruhu $x^2+y^2=25$. Môžete, samozrejme, vyjadriť $y$ ako $x$ a výsledný výraz potom dosadiť do našej funkcie $z$. Z kruhovej rovnice dostaneme: $y=\sqrt(25-x^2)$ alebo $y=-\sqrt(25-x^2)$. Nahradením napríklad $y=\sqrt(25-x^2)$ do danej funkcie dostaneme:
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$
Ďalšie riešenie bude úplne totožné so štúdiom správania sa funkcie na hranici regiónu v predchádzajúcom príklade č.1. Zdá sa mi však rozumnejšie v tejto situácii použiť Lagrangeovu metódu. Zaujíma nás iba prvá časť tejto metódy. Po aplikovaní prvej časti Lagrangeovej metódy získame body, pri ktorých preskúmame funkciu $z$ na minimálne a maximálne hodnoty.
Zostavíme Lagrangeovu funkciu:
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$
Nájdeme parciálne derivácie Lagrangeovej funkcie a zostavíme zodpovedajúci systém rovníc:
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \vľavo \( \začiatok (zarovnané) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(zarovnané) \ vpravo. \;\; \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( zarovnané)\vpravo.$$
Na vyriešenie tohto systému okamžite označme $\lambda\neq -1$. Prečo $\lambda\neq -1$? Skúsme nahradiť $\lambda=-1$ do prvej rovnice:
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0 = 6. $$
Výsledný rozpor $0=6$ hovorí, že hodnota $\lambda=-1$ je neplatná. Výstup: $\lambda\neq -1$. Vyjadrime $x$ a $y$ v podmienkach $\lambda$:
\begin(zarovnané) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end (zarovnané)
Verím, že tu je zrejmé, prečo sme konkrétne stanovili podmienku $\lambda\neq -1$. Toto bolo urobené, aby sa výraz $1+\lambda$ zmestil do menovateľov bez rušenia. To znamená, aby ste si boli istí, že menovateľ je $1+\lambda\neq 0$.
Získané výrazy pre $x$ a $y$ dosadíme do tretej rovnice sústavy, t.j. v $x^2+y^2=25$:
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$
Z výslednej rovnosti vyplýva, že $1+\lambda=2$ alebo $1+\lambda=-2$. Preto máme dve hodnoty parametra $\lambda$, a to: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. V súlade s tým dostaneme dva páry hodnôt $ x $ a $ y $:
\begin(zarovnané) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end (zarovnané)
Získali sme teda dva body možného podmieneného extrému, t.j. $M_1(3;-4)$ a $M_2(-3;4)$. Nájdite hodnoty funkcie $z$ v bodoch $M_1$ a $M_2$:
\začiatok(zarovnané) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end (zarovnané)
Mali by sme vybrať najväčšie a najmenšie hodnoty z tých, ktoré sme získali v prvom a druhom kroku. Ale v tomto prípade je výber malý :) Máme:
$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$
Odpoveď: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.
Štandardný algoritmus na riešenie takýchto úloh zahŕňa po nájdení núl funkcie určenie znamienok derivácie na intervaloch. Potom výpočet hodnôt v nájdených bodoch maxima (alebo minima) a na hranici intervalu, v závislosti od toho, aká otázka je v stave.
Radím vám robiť veci trochu inak. prečo? Napísali o tom.
Navrhujem vyriešiť takéto úlohy nasledovne:
1. Nájdite deriváciu.
2. Nájdite nuly derivácie.
3. Určte, ktoré z nich patria do daného intervalu.
4. Vypočítame hodnoty funkcie na hraniciach intervalu a bodov bodu 3.
5. Vyvodíme záver (odpovedáme na položenú otázku).
V priebehu riešenia uvedených príkladov sa podrobne neuvažuje o riešení kvadratických rovníc, mali by ste to zvládnuť. Mali by tiež vedieť.
Zvážte príklady:
77422. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=x 3 –3x+4 na segmente [–2;0].
Nájdite nuly derivácie:
Bod x = –1 patrí do intervalu špecifikovaného v podmienke.
Vypočítame funkčné hodnoty v bodoch –2, –1 a 0:
Najväčšia hodnota funkcie je 6.
odpoveď: 6
77425. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 na segmente.
Nájdite deriváciu danej funkcie:
Nájdite nuly derivácie:
Bod x = 2 patrí do intervalu uvedeného v podmienke.
Vypočítame funkčné hodnoty v bodoch 1, 2 a 4:
Najmenšia hodnota funkcie je -2.
odpoveď: -2
77426. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 - 6x 2 na segmente [-3; 3].
Nájdite deriváciu danej funkcie:
Nájdite nuly derivácie:
Bod x = 0 patrí do intervalu uvedeného v podmienke.
Hodnoty funkcie vypočítame v bodoch –3, 0 a 3:
Najmenšia hodnota funkcie je 0.
odpoveď: 0
77429. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 na segmente.
Nájdite deriváciu danej funkcie:
3x 2 - 4x + 1 = 0
Dostaneme korene: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.
Iba x = 1 patrí do intervalu uvedeného v podmienke.
Nájdite hodnoty funkcií v bodoch 1 a 4:
Zistili sme, že najmenšia hodnota funkcie je 3.
odpoveď: 3
77430. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 na segmente [- 4; -jedna].
Nájdite deriváciu danej funkcie:
Nájdite nuly derivácie, vyriešte kvadratickú rovnicu:
3x 2 + 4x + 1 = 0
Poďme ku koreňom:
Koreň х = –1 patrí do intervalu špecifikovaného v podmienke.
Nájdite hodnoty funkcií v bodoch –4, –1, –1/3 a 1:
Zistili sme, že najväčšia hodnota funkcie je 3.
odpoveď: 3
77433. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 na segmente.
Nájdite deriváciu danej funkcie:
Nájdite nuly derivácie, vyriešte kvadratickú rovnicu:
3x 2 - 2x - 40 = 0
Poďme ku koreňom:
Koreň x = 4 patrí do intervalu špecifikovaného v podmienke.
Hodnoty funkcie nájdeme v bodoch 0 a 4:
Zistili sme, že najmenšia hodnota funkcie je -109.
Odpoveď: -109
Zvážte metódu na určenie najväčších a najmenších hodnôt funkcií bez derivácie. Tento prístup je možné použiť, ak máte veľké problémy s definíciou derivátu. Princíp je jednoduchý - do funkcie dosadíme všetky celočíselné hodnoty z intervalu (faktom je, že vo všetkých takýchto prototypoch je odpoveď celé číslo).
77437. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d 7 + 12x - x 3 na segmente [-2; 2].
Nahrádzame body od -2 do 2: Zobraziť riešenie
77434. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 na segmente [-2; 0].
To je všetko. Veľa šťastia!
S pozdravom Alexander Krutitskikh.
P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.
A na jeho vyriešenie potrebujete minimálne znalosti danej témy. Ďalší akademický rok sa končí, každý chce ísť na dovolenku a aby som tento moment priblížil, hneď sa pustím do práce:
Začnime oblasťou. Oblasť uvedená v podmienke je obmedzené ZATVORENÉ množina bodov v rovine. Napríklad množina bodov ohraničená trojuholníkom vrátane CELÉHO trojuholníka (ak od hranice„Vystrčte“ aspoň jeden bod, potom už oblasť nebude uzavretá). V praxi sa vyskytujú aj plochy pravouhlých, okrúhlych a trochu zložitejších tvarov. Treba poznamenať, že v teórii matematickej analýzy sú uvedené prísne definície obmedzenia, izolácia, hranice atď., ale myslím si, že každý si je vedomý týchto pojmov na intuitívnej úrovni a viac teraz nie je potrebné.
Plocha sa štandardne označuje písmenom a spravidla je daná analyticky - niekoľkými rovnicami (nie nevyhnutne lineárne); menej často nerovnosti. Typický slovný obrat: "uzavretý priestor ohraničený čiarami".
Neoddeliteľnou súčasťou uvažovanej úlohy je konštrukcia plochy na výkrese. Ako to spraviť? Je potrebné nakresliť všetky uvedené čiary (v tomto prípade 3 rovno) a analyzujte, čo sa stalo. Požadovaná oblasť je zvyčajne jemne šrafovaná a jej okraj je zvýraznený hrubou čiarou: 
Je možné nastaviť rovnakú oblasť lineárne nerovnosti: , ktoré sa z nejakého dôvodu častejšie píšu ako zoznam enumerácií, a nie systém.
Keďže hranica patrí regiónu, potom všetky nerovnosti, samozrejme, neprísne.
A teraz jadro veci. Predstavte si, že z počiatku súradníc ide os priamo k vám. Zvážte funkciu, ktorá nepretržitý v každom plošný bod. Graf tejto funkcie je povrch, a malým šťastím je, že na vyriešenie dnešného problému vôbec nemusíme vedieť, ako tento povrch vyzerá. Môže byť umiestnený nad, pod, cez rovinu - to všetko nie je dôležité. A dôležité je nasledovné: podľa Weierstrassove vety, nepretržitý v obmedzené zatvorené oblasti, funkcia dosahuje maximum (z "najvyšších") a najmenej (z "najnižších") hodnoty, ktoré treba nájsť. Tieto hodnoty sa dosahujú alebo v stacionárne body, patriace do regiónuD , alebo v bodoch, ktoré ležia na hranici tohto regiónu. Z toho vyplýva jednoduchý a prehľadný algoritmus riešenia:
Príklad 1
V obmedzenom uzavretom priestore
Riešenie: Najprv musíte na výkrese znázorniť oblasť. Bohužiaľ je pre mňa technicky náročné urobiť interaktívny model problému, a preto hneď uvediem finálnu ilustráciu, na ktorej sú zobrazené všetky „podozrivé“ body zistené počas štúdia. Zvyčajne sa ukladajú jeden po druhom, keď sa nájdu: 
Na základe preambuly možno rozhodnutie pohodlne rozdeliť do dvoch bodov:
I) Nájdite stacionárne body. Ide o štandardný úkon, ktorý sme na lekcii opakovane vykonávali. o extrémoch viacerých premenných:
Nájdený stacionárny bod patrí oblasti: (označte to na výkrese), čo znamená, že by sme mali vypočítať hodnotu funkcie v danom bode:
- ako v článku Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente, dôležité výsledky zvýrazním tučným písmom. V zošite je vhodné ich zakrúžkovať ceruzkou.
Venujte pozornosť nášmu druhému šťastiu - nemá zmysel kontrolovať postačujúca podmienka pre extrém. prečo? Aj keď v bode, kedy funkcia dosiahne napr. miestne minimum, potom to NEZNAMENÁ, že výsledná hodnota bude minimálne v celom regióne (pozri začiatok lekcie o bezpodmienečných extrémoch) .
Čo ak stacionárny bod NEPATRÍ do oblasti? Takmer nič! Treba poznamenať, že a prejdite na ďalší odsek.
II) Skúmame hranicu regiónu.
Keďže hranica pozostáva zo strán trojuholníka, je vhodné rozdeliť štúdiu na 3 pododseky. Ale je lepšie to urobiť nie. Z môjho pohľadu je najskôr výhodnejšie uvažovať o segmentoch rovnobežných so súradnicovými osami a v prvom rade o tých, ktoré ležia na samotných osiach. Ak chcete zachytiť celú postupnosť a logiku akcií, skúste si naštudovať koniec „jedným dychom“:
1) Poďme sa zaoberať spodnou stranou trojuholníka. Aby sme to dosiahli, dosadíme priamo do funkcie:
Prípadne to môžete urobiť takto: 
Geometricky to znamená, že súradnicová rovina (čo je dané aj rovnicou)„vystrihnúť“ z povrchy„priestorová“ parabola, ktorej vrchol okamžite padne do podozrenia. Poďme zistiť kde je:
- výsledná hodnota "zasiahla" oblasť a pokojne to môže byť aj v bode (značka na výkrese) funkcia dosahuje najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu v celej oblasti. V každom prípade urobme výpočty:
Ďalšími „kandidátmi“ sú samozrejme konce segmentu. Vypočítajte hodnoty funkcie v bodoch 
(značka na výkrese):
Tu, mimochodom, môžete vykonať ústnu mini-kontrolu na „oblečenej“ verzii: 
2) Aby sme preštudovali pravú stranu trojuholníka, dosadíme ju do funkcie a „dáme tam veci do poriadku“:
Tu okamžite vykonáme hrubú kontrolu a „prezvoníme“ už spracovaný koniec segmentu:
, perfektné.
Geometrická situácia súvisí s predchádzajúcim bodom:
- výsledná hodnota tiež „vstúpila do rozsahu našich záujmov“, čo znamená, že musíme vypočítať, čomu sa funkcia rovná v bode, ktorý sa objavil:
Pozrime sa na druhý koniec segmentu:
Pomocou funkcie 
, Skontrolujme to: 
3) Každý asi vie, ako preskúmať zvyšnú stranu. Do funkcie nahrádzame a vykonávame zjednodušenia:
Linka končí 
už boli preskúmané, ale na koncepte stále kontrolujeme, či sme funkciu našli správne 
:
– zhoduje sa s výsledkom podľa prvého pododseku;
– sa zhoduje s výsledkom podľa druhého pododseku.
Zostáva zistiť, či je v segmente niečo zaujímavé:
- existuje! Nahradením priamky do rovnice dostaneme ordinátu tejto „zaujímavosti“:
Označíme bod na výkrese a nájdeme zodpovedajúcu hodnotu funkcie:
Ovládajme výpočty podľa „rozpočtovej“ verzie 
:
, objednať.
A posledný krok: POZORNE si prezrite všetky "tučné" čísla, odporúčam aj začiatočníkom urobiť si jeden zoznam: 
z ktorých vyberáme najväčšie a najmenšie hodnoty. Odpoveď napíš štýlom problém nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na intervale:
Pre každý prípad sa ešte raz vyjadrím ku geometrickému významu výsledku:
– tu je najvyšší bod povrchu v regióne;
- tu je najnižší bod povrchu v oblasti.
V analyzovanom probléme sme našli 7 „podozrivých“ bodov, no ich počet sa líši od úlohy k úlohe. V prípade trojuholníkovej oblasti sa minimálna „množina prieskumov“ skladá z troch bodov. To sa stane, keď sa funkcia napr lietadlo- je celkom jasné, že neexistujú žiadne stacionárne body a funkcia môže dosiahnuť maximálne / minimálne hodnoty iba vo vrcholoch trojuholníka. Ale neexistujú také príklady raz, dvakrát - zvyčajne sa s nejakým musíte vyrovnať povrch 2. rádu.
Ak takéto úlohy trochu riešite, tak z trojuholníkov sa vám môže zakrútiť hlava, a preto som pre vás pripravil nevšedné príklady, aby to bolo štvorcové :))
Príklad 2
Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie 
v uzavretom priestore ohraničenom čiarami
Príklad 3
Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v ohraničenej uzavretej oblasti.
Venujte zvláštnu pozornosť racionálnemu poradiu a technike skúmania hranice územia, ako aj reťazcu medzikontrol, ktoré takmer úplne zabránia výpočtovým chybám. Vo všeobecnosti to môžete vyriešiť, ako chcete, ale v niektorých problémoch, napríklad v rovnakom príklade 2, existuje šanca výrazne skomplikovať váš život. Približný príklad dokončovania úloh na konci hodiny.
Algoritmus riešenia systematizujeme, inak sa s mojou usilovnosťou pavúka akosi stratil v dlhom vlákne komentárov prvého príkladu:
- V prvom kroku vybudujeme oblasť, je vhodné ju zatieniť a zvýrazniť hranicu hrubou čiarou. Počas riešenia sa objavia body, ktoré je potrebné umiestniť na výkres.
- Nájdite stacionárne body a vypočítajte hodnoty funkcie len v tých, ktoré patria do oblasti . Získané hodnoty sú v texte zvýraznené (napríklad zakrúžkované ceruzkou). Ak stacionárny bod NEPATRÍ do oblasti, potom túto skutočnosť označíme ikonou alebo slovne. Ak neexistujú žiadne stacionárne body, vyvodíme písomný záver, že chýbajú. V každom prípade túto položku nie je možné preskočiť!
– Prieskum pohraničnej oblasti. Najprv je výhodné zaoberať sa priamkami, ktoré sú rovnobežné so súradnicovými osami (ak nejaké existujú). Zvýraznené sú aj funkčné hodnoty vypočítané v "podozrivých" bodoch. O technike riešenia vyššie bolo povedané veľa a niečo iné bude povedané nižšie - čítajte, znova čítajte, ponorte sa do toho!
- Z vybraných čísel vyberte najväčšiu a najmenšiu hodnotu a odpovedzte. Niekedy sa stáva, že funkcia dosiahne takéto hodnoty v niekoľkých bodoch naraz - v tomto prípade by sa všetky tieto body mali prejaviť v odpovedi. Nech napr. 
a ukázalo sa, že je to najmenšia hodnota. Potom to napíšeme
Záverečné príklady sú venované ďalším užitočným nápadom, ktoré sa budú hodiť v praxi:
Príklad 4
Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v uzavretej oblasti 
.
Pripomínam, že s nelineárne na nerovnosť sme narazili na , a ak nerozumiete geometrickému významu zadania, tak prosím neodkladajte a objasnite situáciu hneď teraz ;-)
Riešenie, ako vždy, začína výstavbou plochy, ktorá je akousi „podrážkou“: 
Hmm, niekedy treba hlodať nielen žulu vedy....
I) Nájdite stacionárne body: 
Systém snov idiota :) 
Stacionárny bod patrí do regiónu, konkrétne leží na jeho hranici.
A tak to nie je nič ... prebehla zábavná lekcia - to znamená piť správny čaj =)
II) Skúmame hranicu regiónu. Bez ďalších okolkov začnime s osou x:
1) Ak , tak
Zistite, kde je vrchol paraboly:
- Oceňujte takéto momenty - "trafte" až do bodu, z ktorého je už všetko jasné. Ale nezabudnite skontrolovať: 
Vypočítajme hodnoty funkcie na koncoch segmentu: 
2) Spodnú časť „podrážky“ vyriešime „na jedno posedenie“ - bez komplexov ju dosadíme do funkcie, navyše nás bude zaujímať len segment:
ovládanie:
Teraz to už prináša oživenie do monotónnej jazdy na ryhovanej trati. Poďme nájsť kritické body:
My rozhodujeme kvadratická rovnica pamätáš si tento? ... Pamätajte však, samozrejme, inak by ste tieto riadky nečítali =) Ak by v dvoch predchádzajúcich príkladoch boli výpočty v desatinných zlomkoch pohodlné (čo je mimochodom zriedkavé), potom tu čakáme na obvyklé obyčajné zlomky. Nájdeme korene „x“ a pomocou rovnice určíme zodpovedajúce „herné“ súradnice „kandidátskych“ bodov: 
Vypočítajme hodnoty funkcie v nájdených bodoch: 
Skontrolujte funkciu sami.
Teraz pozorne študujeme získané trofeje a zapisujeme si ich odpoveď:
Tu sú „kandidáti“, teda „kandidáti“!
Pre samostatné riešenie:
Príklad 5
Nájdite najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie 
v uzavretom priestore 
Záznam so zloženými zátvorkami znie takto: „súbor bodov takých, že“.
Niekedy v takýchto príkladoch používajú Lagrangeova multiplikačná metóda, ale skutočná potreba jeho použitia pravdepodobne nevznikne. Takže napríklad, ak je daná funkcia s rovnakou oblasťou "de", potom po dosadení do nej - s deriváciou bez ťažkostí; navyše je všetko nakreslené v „jednom riadku“ (so znakmi) bez toho, aby bolo potrebné posudzovať horný a dolný polkruh oddelene. Samozrejme, existujú aj komplikovanejšie prípady, kedy bez funkcie Lagrange (kde je napríklad rovnaká kruhová rovnica) je ťažké sa zaobísť – aké ťažké je zaobísť sa bez dobrého odpočinku!
Všetko najlepšie, aby ste prešli reláciou a čoskoro sa uvidíme v budúcej sezóne!
Riešenia a odpovede:
Príklad 2: Riešenie: nakreslite oblasť na výkres:
Vyhlásenie o probléme 2:
Daná funkcia, ktorá je definovaná a spojitá na nejakom intervale. Je potrebné nájsť najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie na tomto intervale.
Teoretický základ.
Veta (druhá Weierstrassova veta):
Ak je funkcia definovaná a spojitá v uzavretom intervale, potom v tomto intervale dosahuje svoje maximálne a minimálne hodnoty.
Funkcia môže dosiahnuť svoje maximálne a minimálne hodnoty buď vo vnútorných bodoch intervalu, alebo na jeho hraniciach. Poďme si ukázať všetky možné možnosti. 
Vysvetlenie:
1) Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu na ľavej hranici intervalu v bode , a minimálnu hodnotu na pravej hranici intervalu v bode .
2) Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu v bode (toto je maximálny bod) a minimálnu hodnotu na pravej hranici intervalu v bode.
3) Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu na ľavej hranici intervalu v bode , a minimálnu hodnotu v bode (toto je minimálny bod).
4) Funkcia je na intervale konštantná, t.j. dosiahne svoje minimálne a maximálne hodnoty v ktoromkoľvek bode intervalu a minimálne a maximálne hodnoty sa navzájom rovnajú.
5) Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu v bode a minimálnu hodnotu v bode (napriek tomu, že funkcia má na tomto intervale maximum aj minimum).
6) Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu v bode (toto je maximálny bod) a minimálnu hodnotu v bode (toto je minimálny bod).
komentár:
„Maximálna“ a „maximálna hodnota“ sú rôzne veci. Vyplýva to z definície maxima a intuitívneho chápania slovného spojenia „maximálna hodnota“.
Algoritmus na riešenie problému 2.
4) Vyberte zo získaných hodnôt najväčšiu (najmenšiu) a zapíšte odpoveď.
Príklad 4:
Určte najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie 
na segmente.
Riešenie:
1) Nájdite deriváciu funkcie. 
2) Nájdite stacionárne body (a body, ktoré sú podozrivé z extrému) vyriešením rovnice . Venujte pozornosť bodom, kde neexistuje žiadna obojstranná konečná derivácia. 
3) Vypočítajte hodnoty funkcie v stacionárnych bodoch a na hraniciach intervalu.
4) Vyberte zo získaných hodnôt najväčšiu (najmenšiu) a zapíšte odpoveď.
Funkcia na tomto segmente dosiahne svoju maximálnu hodnotu v bode so súradnicami.
Funkcia na tomto segmente dosiahne svoju minimálnu hodnotu v bode so súradnicami.
Správnosť výpočtov si môžete overiť pohľadom na graf skúmanej funkcie. 
komentár: Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu v maximálnom bode a minimálnu hodnotu na hranici segmentu.
Špeciálny prípad.
Predpokladajme, že chcete nájsť maximálnu a minimálnu hodnotu nejakej funkcie v segmente. Po vykonaní prvého odseku algoritmu, t.j. pri výpočte derivátu je zrejmé, že napríklad v celom posudzovanom segmente preberá iba záporné hodnoty. Pamätajte, že ak je derivácia záporná, funkcia je klesajúca. Zistili sme, že funkcia klesá na celom intervale. Túto situáciu zobrazuje graf č. 1 na začiatku článku.
Funkcia klesá na intervale, t.j. nemá žiadne extrémne body. Z obrázku je vidieť, že funkcia bude mať najmenšiu hodnotu na pravom okraji segmentu a najväčšiu hodnotu na ľavej strane. ak je derivácia na intervale všade kladná, funkcia je rastúca. Najmenšia hodnota je na ľavom okraji segmentu, najväčšia je na pravej strane.
