Keď sa pozrieme na základné diferenciálne rovnice kmitov, všimneme si, že keď ich vynásobíme – = k 2, budú obsahovať členy, z ktorých niektoré majú koeficient druhej mocniny rýchlosti A priečne vibrácie, iné - druhá mocnina rýchlosti pozdĺžne váhanie.
Prvé členy v prípade pozdĺžnych vibrácií by mali z rovníc zmiznúť a dostaneme prvú skupinu:
Pretože povrch p je podľa nášho výberu povrchom vlny, potom v rovniciach § 7 musíme zachovať jednu osciláciu R a rovnať sa nulovým osciláciám /?! A R.2, vyskytujúce sa v rovine dotýkajúcej sa vlny. Vo výsledku zistíme, že za predpokladu // =1:
Pretože A = 0, rovnice (1) budú mať tvar:
Vynásobením prvej z rovníc (2) číslom //i // 2, diferencovaním vzhľadom na p a venovaním pozornosti rovnici (4), zistíme:
Čo podľa rovníc (2) B nezávisí ani od р x, ani od [–]. Preto znamená cez &F parciálna derivácia funkcie F jednou z premenných ^, R. 2 dostaneme z rovnice (7):
Nahradením tohto výrazu veličín H 1H 2, nájdené v pp. 3, prirovnaním koeficientov pri rôznych mocninách k nule, zistíme nasledujúce podmienky, ktoré musí vlna F – i spĺňať
Je známeže takéto vzťahy prebiehajú len pre guľa, guľatý valec a rovina.
Odtiaľto máme,Čo izotermické vlnové plochy môžu šíriť pozdĺžne vibrácie.
Takže ak trepacia plocha alebo počiatočná vlna nepatrí k povrchom izotermických vĺn, potom sa v ich blízkosti vyskytujú vibrácie zmiešané , ale na značné vzdialenosti sa vlna približuje k forme jednej z izotermických vĺn a v jave sú detekované oscilácie pozdĺžne. STOP!!!
Zostáva integrovať dané diferenciálne rovnice pre guľu, s použitím harmonické funkcie!!!
Teslove experimenty – harmonický oscilátor je neprijateľný!!!
Pre gule v súradniciach, ktoré sme už použili, máme:
Ďalšie premeny sú bezvýznamné a nie sú dané, pretože vedú k pôvodná rovnica , čo nemá pre solitónové vlny žiadny fyzikálny význam.
Zistené závery sú rovnako aplikovateľné na javy svetla v homogénnych telesách a navyše v medziach aproximácie, ktoré sa vyskytujú v Boussinesqovej teórii!?
Odtiaľ:"bolestivý moment" identifikované.
N. Umov matematický zborník, 5. diel, 1870.
Ďalšia „strašná“ neistota
Podobne by sme mohli ľahko získať podobný výraz pre magnetickú energiu, a teda pre prúdy. Vidíme to, aj keď trváme na najjednoduchších vzorcoch, problém lokalizácie energie sa stále nedá vyriešiť.
A to isté máme aj pri toku energie. Pohyb prúdovej energie je možné ľubovoľným spôsobom transformovať pridaním ďalšieho vektora (u, v, w) k Poyntingovmu vektoru, ktorý musí spĺňať iba rovnicu nestlačiteľných tekutín.
Keďže ide o dôsledok všeobecných rovníc, nič k nim nepridáva.
Preto je energetická lokalizácia logicky zbytočná(a niekedy aj škodlivé).
Ale je tu jeden aspekt, v ktorom je dôležité zvážiť Poyntingovu vetu.
Hlavným faktom, z ktorého vychádza zákon zachovania energie, bol a zostáva experimentálne zistený fakt nemožnosti nekonečný pohyb , skutočnosť – nezávislú od našich predstáv a možno ju pripísať častiam energie, ktoré by mal mať éter v neprítomnosti hmotných tiel.
Zákon zachovania energie v klasickej podobe W = Konšt vysvetľuje túto nemožnosť.
Poyntingova veta vyžadujúci schopnosť konverzie objemový integrál(trochu svojvoľne) v povrch, vyjadruje oveľa menej. Ľahko pripúšťa stvorenie perpetum mobile bez toho, aby dokázala ukázať jeho nemožnosť!
V skutočnosti, kým nepredstavíme hypotézu retardované potenciály kontinuálne uvoľňovanie energie z konvergujúcich vĺn prichádzajúcich z nekonečna zostáva rovnako pravdepodobné ako strata energie pozorovaná v skutočnosti.
Ak by motor mohol navždy odoberať iba energiu éteru, bez ohľadu na prítomnosť hmotných tiel, potom by mohol existovať nekonečný pohyb . Je teda zrejmé, že predtým, ako prijmeme vzorec retardovaných potenciálov, musíme dokázať, že zrýchlená častica stráca energiu a v dôsledku toho podlieha reakcii úmernej derivácii jej zrýchlenia.
Stačí zmeniť znamenie c dospieť k hypotéze konvergujúcich vĺn.
Potom objavíme aké znamenie vektor žiarenia sa tiež zmení a nová hypotéza povedie, povedzme, v prípade vibrujúcej častice k postupnému zvyšovaniu amplitúdy v čase a vo všeobecnosti – zvýšiť energiu systému?!
V prírode sú solitóny:
– na povrchu kvapaliny sa prvé solitóny objavené v prírode niekedy považujú za vlny cunami
- rôzne druhy vodného kladiva
– zvukové bubny – prekonávanie „nadzvukových“
– ionosonické a magnetosonické solitóny v plazme
– solitóny vo forme krátkych svetelných impulzov v aktívnom médiu lasera
– pravdepodobne príkladom solitónu je Obrovský šesťuholník na Saturne
– nervové impulzy možno považovať za solitóny.
Matematický model, Korteweg-de Vriesova rovnica.
Jedným z najjednoduchších a najznámejších modelov, ktorý umožňuje existenciu solitónov v riešení, je Korteweg-de Vriesova rovnica:
u t + uu x + β u xxx = 0.
Jedným z možných riešení tejto rovnice je osamelý solitón:
ale aj tu oscilátor je harmonická funkcia kde r, s,α, U- niektoré sú trvalé.Vety o neistote v harmonickej analýze
Harmonický oscilátor v kvantovej mechanike – popísané rovnicou Schrödinger,
(217.5)Rovnica (217.5) nazývaná Schrödingerova rovnica pre stacionárne stavy.
Stacionárne stavy kvantového oscilátora sú určené rovnicou Schrödinger milý
(222.2)
Kde E – celková energia oscilátora.
V teórii diferenciálnych rovníc je dokázané, že rovnica (222.2) riešené len pre vlastné hodnoty energie
(222.3)Vzorec (222.3) ukazuje, že energia kvantového oscilátora kvantované.
Energia je obmedzená zdola, aby sa líšila od nuly, ako pri obdĺžniku "jamy" s nekonečne vysokými „stenami“ (pozri § 220), minimálna energetická hodnota
E 0 = 1/2 ℏ w 0 . Existencia minimálnej energie je tzv energie nulového bodu– je typický pre kvantové systémy a je priamym dôsledkom vzťahy neistoty.
IN harmonická analýza princíp neistoty znamená, že nie je možné presne získať hodnoty funkcie a jej Fourierove zobrazenie - a preto urobte presný výpočet.
Teda modelovanie, generovanie a analógie v súlade s princípmi podobnosti procesov a foriem v prírode, využívaním harmonický oscilátor – nemožné.
Odlišné typy matematickýsolitónov je zatiaľ málo známe a všetky nie sú vhodné na opis predmetov v trojrozmerný priestor, najmä procesy prebiehajúce v Príroda.
Napríklad, obyčajné solitóny, ktoré sa objavujú v rovnici Korteweg–de Vries, sú lokalizované iba v jednej dimenzii "beh" v trojrozmernom svete, potom to bude vyzerať nekonečná plochá membrána letiaca dopredu, mierne povedané, žrút!!!
V prírode sa takéto nekonečné membrány nepozorujú, čo znamená pôvodná rovnica nevhodné na popis trojrozmerných predmetov.
V tom spočíva omyl zavádzania harmonických funkcií – oscilátory, spojenia v prípade zmiešaných kmitov.Súvisiaci zákon podobnosti, , ale to je ďalší príbeh, ktorý k tomu povedie solitonová teória z systematický neistota, .
Voľné kmity systémov s rozloženými parametrami
Hlavná črta procesu voľných kmitov systémov s nekonečným počtom stupňov voľnosti je vyjadrená v nekonečnosti počtu vlastných frekvencií a tvarov vidov. S tým sú spojené aj matematické črty: namiesto obyčajných diferenciálnych rovníc, ktoré opisujú kmitanie sústav s konečným počtom stupňov voľnosti, sa tu musíme zaoberať parciálnymi diferenciálnymi rovnicami. Okrem počiatočných podmienok, ktoré určujú počiatočné posuny a rýchlosti, je potrebné vziať do úvahy aj okrajové podmienky, ktoré charakterizujú fixáciu systému.
6.1. Pozdĺžne vibrácie tyčí
Pri analýze pozdĺžnych vibrácií rovnej tyče (obr. 67, a) budeme predpokladať, že prierezy zostávajú ploché a že častice tyče nevykonávajú priečne pohyby, ale pohybujú sa iba v pozdĺžnom smere.
Nechaj u - pozdĺžny pohyb prúdovej časti tyče počas vibrácií; tento pohyb závisí od polohy úseku (súradnice x) a od času t. Existuje teda funkcia dvoch premenných; jeho definícia predstavuje hlavnú úlohu. Posun nekonečne úzkeho úseku je rovný , preto je absolútne predĺženie nekonečne malého prvku rovné (obr. 67, b) a jeho relatívne predĺženie je .
Podľa toho aj pozdĺžna sila v reze so súradnicou X možno napísať ako
,(173)
kde je tuhosť tyče v ťahu (v tlaku). Sila N je tiež funkciou dvoch argumentov - súradníc X a čas t.
Uvažujme tyčový prvok umiestnený medzi dvoma nekonečne blízkymi časťami (obr. 67, c). Sila N pôsobí na ľavú stranu prvku a sila pôsobí na pravú stranu. Ak označíme hustotu materiálu tyče, potom hmotnosť príslušného prvku je . Preto pohybová rovnica v projekcii na os X
,
Zvažovanie(173)a prijímanie A= const, dostaneme
Podľa Fourierovej metódy hľadáme konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice (175) v tvare
,(177)
tie. predpokladajme, že pohyb u môže byť reprezentovaný ako súčin dvoch funkcií, z ktorých jedna závisí len od argumentu X, a druhý len z argumentu t. Potom namiesto definovania funkcie dvoch premenných u (x, t) je potrebné definovať dve funkcie X(x) a T(t), z ktorých každá závisí len od jednej premennej.
Dosadením (177) do (174) dostaneme
kde prvočísla označujú operáciu diferenciácie vzhľadom na X a bodkami t. Prepíšme túto rovnicu takto:
Tu ľavá strana závisí iba od x a pravá strana iba od t. Aby táto rovnosť platila identicky (pre akékoľvek X a t) je potrebné, aby sa každá jeho časť rovnala konštante, ktorú označíme:
; .(178)
To vedie k dvom rovniciam:
;
.(179)
Prvá rovnica má riešenie:
,(180)
označujúci kmitavý charakter a z (180) je zrejmé, že neznáma veličina má význam frekvencie voľných kmitov.
Druhá z rovníc (179) má riešenie:
,(181)
určenie tvaru vibrácií.
Frekvenčná rovnica, ktorá určuje hodnotu, je zostavená pomocou okrajových podmienok. Táto rovnica je vždy transcendentálna a má nekonečný počet koreňov. Počet vlastných frekvencií je teda nekonečný a každej frekvenčnej hodnote zodpovedá vlastná funkcia T n (t), určená závislosťou (180), a vlastná funkcia Xn (x), určená závislosťou (181). Riešenie (177) je len čiastočné a neposkytuje úplný popis pohybu. Úplné riešenie sa získa superponovaním všetkých čiastkových riešení:
.
Volajú sa funkcie X n (x). vlastné funkcie problémy a popísať ich vlastné spôsoby vibrácií. Nezávisia od počiatočných podmienok a spĺňajú podmienku ortogonality, ktorá má pre A = const tvar
, Ak .
Uvažujme o niektorých možnostiach okrajových podmienok.
Pevný koniec tyče(Obr. 68, a). Na koncovom úseku musí byť posunutie u nulové; z toho vyplýva, že v tejto časti
X = 0 (182)
Voľný koniec tyče(obr. 68, b). Na koncovom úseku pozdĺžna sila
(183)
musí byť zhodne rovné nule, čo je možné, ak na koncovom úseku X"=0.
Odolný koniec tyče(Obr. 68, c).
Pri pohybe u koncovej tyče dochádza k pružnej podpornej reakcii 
, kde C o je tuhosť podpery. Ak vezmeme do úvahy (183) pre pozdĺžnu silu, získame okrajovú podmienku
ak je podpora umiestnená na ľavom konci tyče (obr. 68, c), a
ak je podpera umiestnená na pravom konci tyče (obr. 68, d).
Koncentrovaná hmota na konci tyče.
Zotrvačná sila vyvinutá hmotou:
.
Keďže podľa prvej z rovníc (179) je možné zotrvačnú silu zapísať v tvare . Dostaneme okrajovú podmienku
,
ak je hmota na ľavom konci (obr. 68, d), a
, (184)
ak je hmota spojená s pravým koncom (obr. 68, e).
Určme vlastné frekvencie konzolovej tyče (obr. 68,a“).
Podľa (182) a (183) okrajové podmienky
X = 0 pri x = 0;
X" = 0 at x= .
Dosadením týchto podmienok po jednej do riešenia (181) dostaneme
Podmienka C0 vedie k frekvenčnej rovnici:
Korene tejto rovnice
(n=1,2,…)
určiť vlastné frekvencie:
(n=1,2,...).(185)
Prvá (najnižšia) frekvencia pri n=1:
.
Druhá frekvencia (pri n=2):
Určme vlastné frekvencie tyče s hmotnosťou na konci (obr. 68, f).
Podľa (182) a (184) máme
X=0 pri x=0;
pri x= .
Dosadením týchto podmienok do riešenia (181) dostaneme:
D = 0; 
.
V dôsledku toho má frekvenčná rovnica pri zohľadnení (176) tvar
.
Tu pravá strana predstavuje pomer hmotnosti tyče k hmotnosti koncového zaťaženia.
Na vyriešenie výslednej transcendentálnej rovnice je potrebné použiť nejakú približnú metódu.
At a hodnoty najdôležitejšieho najnižšieho koreňa budú 0,32 a 0,65.
Pri malom pomere má záťaž rozhodujúci vplyv a približné riešenie dáva dobré výsledky
.
Pre tyče s premenlivým prierezom, t.j. pre Аconst sa z (173) a (174) získa pohybová rovnica v tvare
.
Túto diferenciálnu rovnicu nemožno riešiť v uzavretej forme. Preto je v takýchto prípadoch potrebné uchýliť sa k približným metódam určovania vlastných frekvencií.
6.2. Torzné vibrácie hriadeľov
Torzné vibrácie hriadeľov s kontinuálne rozloženou hmotou (obr. 69, a) sú opísané rovnicami, ktoré sa v štruktúre úplne zhodujú s vyššie uvedenými rovnicami pre pozdĺžne vibrácie tyčí.
Krútiaci moment M v reze s úsečkou X súvisí s uhlom rotácie diferenciálnou závislosťou podobnou (173):
Kde Jp-polárny moment zotrvačnosti prierezu.
V časti umiestnenej na diaľku dx, krútiaci moment sa rovná (obr. 69, b):
Označuje cez (kde je hustota materiálu hriadeľa) intenzitu momentu zotrvačnosti hmoty hriadeľa vzhľadom na jeho os (t.j. moment zotrvačnosti na jednotku dĺžky), pohybovú rovnicu elementárnej časti hriadeľa možno napísať nasledovne:
,
alebo podobne (174):
.
Nahradenie výrazu (186) tu, s Jp=const dostaneme podobne ako (175):
, (187)
Všeobecné riešenie rovnice (187), podobne ako rovnica (175), má tvar
,
(188)
Prirodzené frekvencie a vlastné funkcie sú určené špecifickými okrajovými podmienkami.
V hlavných prípadoch upevnenia koncov, podobne ako v prípade pozdĺžnych vibrácií, získame
a) pevný koniec (=0): X=0;
b) voľný koniec (M=0): X"=0;
V) odolnýľavý koniec: CoХ=GJpX "(Koeficient tuhosti);
G) odolný pravý koniec: -CoX=GJpX";
e) disk na ľavom konci: 
(Jo je moment zotrvačnosti disku vzhľadom na os tyče);
e) disk na pravom konci: 
.
Ak je hriadeľ upevnený na ľavom konci (x=0) a pravý koniec (x=) je voľný, potom X=0 pri x=0 a X"=0 pri x=; vlastné frekvencie sa určujú podobne ako ( 185):
(n=1,2,...).
Ak je ľavý koniec pevný a na pravom konci je disk, dostaneme transcendentálnu rovnicu:
.
Ak sú oba konce hriadeľa pevné, potom budú okrajové podmienky X=0 pre x=0 a x=. V tomto prípade z (188) získame
tie.
(n=1,2,...),
odtiaľto nájdeme prirodzené frekvencie:
Ak je ľavý koniec hriadeľa voľný a na pravom konci je disk, potom X"=0 pri x=0; Jo X=GJpX" pri x=.
Pomocou (188) nájdeme
C=0; 
,
alebo transcendentálna frekvenčná rovnica:
.
6.3. Ohybové kmitanie nosníkov
6.3.1 Základná rovnica
Z priebehu odolnosti materiálov sú známe diferenciálne závislosti pre ohybové nosníky:
kde EJ je tuhosť v ohybe; y=y (x, t) - priehyb; M=M(x, t) - ohybový moment; q je intenzita rozloženého zaťaženia.
Kombináciou (189) a (190) dostaneme
.(191)
V probléme voľných kmitov sú záťažou pre elastickú kostru rozložené zotrvačné sily:
kde m je hmotnostná intenzita lúča (hmotnosť na jednotku dĺžky) a rovnica (191) sa stáva
.
V špeciálnom prípade konštantného prierezu, keď EJ = const, m = const, máme:
.(192)
Na vyriešenie rovnice (192) predpokladáme, ako je uvedené vyššie,
r= X ( X)× T ( t).(193)
Dosadením (193) do (192) dospejeme k rovnici:
.
Aby bola táto rovnosť totožná, je potrebné, aby každá z častí rovnosti bola konštantná. Označením tejto konštanty dostaneme dve rovnice:
.(195)
Prvá rovnica naznačuje, že pohyb je oscilačný s frekvenciou.
Druhá rovnica určuje tvar vibrácií. Riešenie rovnice (195) obsahuje štyri konštanty a má tvar
Je vhodné použiť variant písania všeobecného riešenia navrhnutého A.N. Krylovom:
(198)
zastupujú funkcie A.N. Krylova.
Venujme pozornosť tomu, že S=1, T=U=V=0 pri x=0. Funkcie S,T,U,V sú vzájomne prepojené nasledovne:
Preto sa odvodené výrazy (197) píšu vo forme
(200)
V problémoch uvažovanej triedy je počet vlastných frekvencií nekonečne veľký; každý z nich má svoju časovú funkciu T n a svoju základnú funkciu X n . Všeobecné riešenie sa získa zavedením čiastočných riešení v tvare (193)
.(201)
Na určenie vlastných frekvencií a vzorcov je potrebné zvážiť okrajové podmienky.
6.3.2. Hraničné podmienky
Pre každý koniec pruhu môžete zadať dve okrajové podmienky .
Voľný koniec tyče(Obr. 70, a). Priečna sila Q=EJX""T a ohybový moment M=EJX""T sa rovnajú nule. Preto majú okrajové podmienky tvar
X"" = 0; X"""=0 .(202)
Sklopný podopretý koniec tyče(obr. 70, b). Priehyb y=XT a ohybový moment M=EJX""T sa rovnajú nule. Preto sú okrajové podmienky:
X = 0; X""=0.(203)
Zovretý koniec(obr. 70, c). Vychýlenie y=XT a uhol natočenia sa rovnajú nule. Hraničné podmienky:
X = 0; X" = 0. (204)
Na konci tyče je bodová hmota(Obr. 70, d). Jeho zotrvačná sila 
možno zapísať pomocou rovnice (194) takto: ; musí sa rovnať šmykovej sileQ=EJX"""T, takže okrajové podmienky nadobúdajú tvar
; X""=0.(205)
V prvej podmienke sa berie znamienko plus, keď je bodové zaťaženie pripojené k ľavému koncu tyče, a znamienko mínus, keď je pripojené k pravému koncu tyče. Druhá podmienka vyplýva z absencie ohybového momentu.
Elasticky podoprený koniec tyče(Obr. 70, d). Tu sa ohybový moment rovná nule a priečna sila Q=EJX"""T sa rovná reakcii podpery 
(C o - koeficient tuhosti podpery).
Hraničné podmienky:
X"" = 0; (206)
(znamienko mínus sa berie, keď je elastická podpora vľavo, a znamienko plus, keď je vpravo).
6.3.3. Frekvenčná rovnica a vlastné tvary
Rozšírený záznam okrajových podmienok vedie k homogénnym rovniciam pre konštanty C 1 , C 2 , C 3 , C 4 .
Aby sa tieto konštanty nerovnali nule, determinant zložený z koeficientov systému sa musí rovnať nule; to vedie k frekvenčnej rovnici. Pri týchto operáciách sa vyjasňujú vzťahy medzi C 1, C 2, C 3, C 4, t.j. určujú sa vlastné módy kmitov (až do konštantného faktora).
Pozrime sa na zloženie frekvenčných rovníc pomocou príkladov.
Pre nosník s kĺbovými koncami podľa (203) máme tieto okrajové podmienky: X=0; X""=0 pre x=0 a x= . Pomocou (197)-(200) získame z prvých dvoch podmienok: C 1 =C 3 =0. Dve zostávajúce podmienky možno zapísať ako
Aby sa C 2 a C 4 nerovnali nule, determinant sa musí rovnať nule:
.
Frekvenčná rovnica má teda tvar
.
Dosadením výrazov T a U dostaneme
Pretože konečná frekvenčná rovnica je napísaná takto:
. (207)
Korene tejto rovnice sú:
,(n = 1,2,3,...).
Ak vezmeme do úvahy (196), dostaneme
.(208)
Prejdime k definovaniu vlastných foriem. Z vyššie napísaných homogénnych rovníc vyplýva medzi konštantami C 2 a C 4 nasledujúci vzťah:
.
V dôsledku toho(197) nadobúda formu
Podľa (207) máme
,(209)
kde je nová konštanta, ktorej hodnota zostáva neurčená, kým sa nezohľadnia počiatočné podmienky.
6.3.4. Určenie pohybu na základe počiatočných podmienok
Ak je potrebné určiť pohyb po počiatočnej poruche, potom je potrebné špecifikovať počiatočné posuny a počiatočné rýchlosti pre všetky body lúča:
(210)
a použiť vlastnosť ortogonality vlastných tvarov:
.
Všeobecné riešenie (201) napíšeme takto:
.(211)
Rýchlosť je určená výrazom
.(212)
Dosadením počiatočných posunov a rýchlostí, o ktorých sa predpokladá, že sú známe, na pravú stranu rovníc (211) a (212) a na ľavú stranu dostaneme
.
Vynásobením týchto výrazov a integrovaním po celej dĺžke máme
(213)
Nekonečné sumy na pravej strane zmizli kvôli vlastnosti ortogonality. Z (213) vyplývajú vzorce pre konštanty a
(214)
Teraz je potrebné tieto výsledky nahradiť riešením (211).
Ešte raz zdôraznime, že výber škály vlastných tvarov nie je dôležitý. Ak napríklad vo vyjadrení vlastného tvaru (209) vezmeme namiesto toho hodnotu, ktorá je krát väčšia, potom (214) dá výsledky, ktoré sú krát menšie; po substitúcii do roztoku (211) sa tieto rozdiely vzájomne kompenzujú. Napriek tomu často používajú normalizované vlastné funkcie, pričom svoju mierku volia tak, že menovatele výrazov (214) sú rovné jednej, čo zjednodušuje výrazy a .
6.3.5. Účinok konštantnej pozdĺžnej sily
Uvažujme prípad, keď na kmitajúci lúč pôsobí pozdĺžna sila N, ktorej veľkosť sa počas kmitania nemení. V tomto prípade sa rovnica statického ohybu skomplikuje a nadobúda tvar (za predpokladu, že tlaková sila sa považuje za pozitívnu)
.
Za predpokladu a uvažovania konštanty tuhosti dostaneme rovnicu voľných vibrácií
.(215)
Naďalej akceptujeme konkrétne riešenie vo formulári.
Potom sa rovnica (215) rozdelí na dve rovnice:
Prvá rovnica vyjadruje oscilačnú povahu riešenia, druhá určuje tvar oscilácií a tiež umožňuje nájsť frekvencie. Prepíšme to takto:
(216)
Kde K je určená vzorcom (196) a
Riešenie rovnice (216) má tvar
Zoberme si prípad, keď oba konce tyče majú sklopné podpery. Podmienky na ľavom konci 
dať . Splnením rovnakých podmienok na pravom konci dostaneme
Vynulovaním determinantu zloženého z koeficientov pre veličiny a sa dostaneme k rovnici
Korene tejto frekvenčnej rovnice sú:
Preto sa vlastná frekvencia určí z rovnice
.
Odtiaľ, berúc do úvahy (217), nájdeme
.(219)
Pri natiahnutí sa frekvencia zvyšuje, pri stlačení klesá. Keď sa tlaková sila N priblíži kritickej hodnote, koreň má tendenciu k nule.
6.3.6. Účinok reťazových síl
Predtým sa pozdĺžna sila považovala za danú a nezávislú od posunov systému. V niektorých praktických problémoch vzniká pozdĺžna sila sprevádzajúca proces priečnych vibrácií v dôsledku ohybu nosníka a má povahu podpernej reakcie. Zvážte napríklad nosník na dvoch sklopných a pevných podperách. Pri ohýbaní dochádza k horizontálnym reakciám podpier, čo spôsobuje natiahnutie nosníka; zodpovedajúca horizontálna sila sa zvyčajne nazýva reťazová sila. Ak lúč kmitá priečne, sila reťaze sa časom zmení.
Ak v okamihu t sú vychýlenia lúča určené funkciou, potom možno predĺženie osi nájsť pomocou vzorca
.
Zodpovedajúcu reťazovú silu nájdeme pomocou Hookovho zákona
.
Tento výsledok dosadíme do (215) namiesto pozdĺžnej sily N (berúc do úvahy znamienko)
.(220)
Výsledný nelineárny integrdiferenciálny rovnica je zjednodušená pomocou substitúcie
,(221)
kde je bezrozmerná funkcia času, ktorej maximálna hodnota sa môže rovnať ľubovoľnému číslu, napríklad jednotke; amplitúda kmitov.
Dosadením (221) do (220) dostaneme obyčajnú diferenciálnu rovnicu
,(222)
ktorého koeficienty majú tieto hodnoty:
;.
Diferenciálna rovnica (222) je nelineárna, preto frekvencia voľných kmitov závisí od ich amplitúdy.
Presné riešenie frekvencie priečnych vibrácií má tvar
kde je frekvencia priečnych kmitov vypočítaná bez zohľadnenia reťazových síl; korekčný faktor v závislosti od pomeru amplitúdy kmitania k polomeru otáčania prierezu; hodnota je uvedená v referenčnej literatúre.
Keď sú amplitúda a polomer otáčania prierezu úmerné, korekcia frekvencie sa stáva významnou. Ak sa napríklad amplitúda vibrácií kruhovej tyče rovná jej priemeru, potom a frekvencia je takmer dvakrát väčšia ako v prípade voľného posunutia podpier.
Prípad zodpovedá nulovej hodnote polomeru zotrvačnosti, kedy je ohybová tuhosť nosníka mizivo malá - struna. V tomto prípade vzorec pre dáva neistotu. Odhalením tejto neistoty získame vzorec pre frekvenciu vibrácií struny
.
Tento vzorec platí pre prípad, keď je napätie v rovnovážnej polohe nulové. Problém oscilácií strún je často kladený za iných predpokladov: predpokladá sa, že posuny sú malé a ťahová sila je daná a zostáva nezmenená počas procesu oscilácie.
V tomto prípade má vzorec pre frekvenciu tvar
kde N je konštantná ťahová sila.
6.4. Účinok viskózneho trenia
Predtým sa predpokladalo, že materiál tyčí je dokonale elastický a nedochádza k treniu. Uvažujme o vplyve vnútorného trenia za predpokladu, že je viskózne; potom vzťah medzi napätím a deformáciou je popísaný vzťahmi
;
.(223)
Nechajte tyč s rozloženými parametrami vykonávať voľné pozdĺžne vibrácie. V tomto prípade sa pozdĺžna sila zapíše do formulára
Z pohybovej rovnice tyčového prvku bol získaný vzťah (174).
Dosadením (224) sa dostaneme k hlavnej diferenciálnej rovnici
,(225)
ktorý sa od (175) líši druhým členom, ktorý vyjadruje vplyv viskóznych trecích síl.
Podľa Fourierovej metódy hľadáme riešenie rovnice (225) v tvare
,(226)
kde funkcia je len súradnice x a funkcia je iba čas t.
V tomto prípade musí každý člen radu spĺňať okrajové podmienky úlohy a počiatočné podmienky musí spĺňať aj celý súčet. Dosadenie (226) do (225) a požiadavka, aby bola splnená rovnosť pre akékoľvek číslo r, dostaneme
,(227)
kde prvočísla označujú diferenciáciu vzhľadom na súradnicu X a body sú diferenciačné vzhľadom na čas t.
Delenie (227) podľa súčinu 
, dostávame sa k rovnosti
,(228)
ľavá strana, ktorá môže závisieť len od súradníc X, a ten pravý - až od času t. Aby bola rovnosť (228) splnená identicky, je potrebné, aby sa obe časti rovnali tej istej konštante, ktorú označíme .
Z toho vyplývajú rovnice
(229)
.(230)
Rovnica (229) nezávisí od viskozitného koeficientu K a najmä zostáva rovnaká v prípade dokonale elastického systému, keď . Preto sa čísla úplne zhodujú s tými, ktoré sa našli skôr; avšak, ako bude ukázané nižšie, hodnota udáva len približnú hodnotu vlastnej frekvencie. Všimnite si, že vlastné tvary sú úplne nezávislé od viskóznych vlastností tyče, t.j. formy voľných tlmených kmitov sa zhodujú s formami voľných netlmených kmitov.
Teraz prejdime k rovnici (230), ktorá popisuje proces tlmených kmitov; jeho riešenie má tvar
.(233)
Výraz (232) určuje rýchlosť poklesu a (233) určuje frekvenciu oscilácií.
Teda úplné riešenie rovnice problému
.(234)
Konštantný a vždy ho možno nájsť na základe daných počiatočných podmienok. Nech sú počiatočné posuny a počiatočné rýchlosti všetkých častí tyče špecifikované takto:
;
,(235)
kde a sú známe funkcie.
Potom pre , podľa (211) a (212), máme
vynásobením oboch strán týchto rovníc a integrovaním po celej dĺžke tyče dostaneme
(236)
Podľa podmienky ortogonality vlastných tvarov sa všetky ostatné členy zahrnuté na pravej strane týchto rovníc stanú nulou. Teraz z rovnosti (236) je ľahké nájsť akékoľvek číslo r.
Vzhľadom na (232) a (234) poznamenávame, že čím vyššie je číslo vibračného režimu, tým rýchlejšie je jeho tlmenie. Okrem toho výrazy zahrnuté v (234) opisujú tlmené oscilácie, ak existuje reálne číslo. Z (233) je zrejmé, že k tomu dochádza len pre niekoľko počiatočných hodnôt r, pokiaľ je splnená nerovnosť
Pre dostatočne veľké hodnoty r nerovnosť (237) je porušená a kvantita sa stáva imaginárnou. V tomto prípade zodpovedajúce výrazy všeobecného riešenia (234) už nebudú opisovať tlmené oscilácie, ale budú predstavovať aperiodický tlmený pohyb. Inými slovami, vibrácie v obvyklom zmysle slova sú vyjadrené len určitou konečnou časťou súčtu (234).
Všetky tieto kvalitatívne závery platia nielen pre prípad pozdĺžnych vibrácií, ale aj pre prípady torzných a ohybových vibrácií.
6.5. Vibrácie tyčí s premenlivým prierezom
V prípadoch, keď sú rozložená hmotnosť a prierez tyče po jej dĺžke premenlivé, namiesto pozdĺžnej vibračnej rovnice (175) by sa malo vychádzať z rovnice
.(238)
Rovnica torznej vibrácie (187) sa musí nahradiť rovnicou
,(239)
a rovnica priečnych vibrácií (192) je rovnica
.(240)
Rovnice (238)-(240) pomocou podobných substitúcií ;; možno redukovať na obyčajné diferenciálne rovnice funkcie
MECHANIKA
MDT 531.01/534.112
Pozdĺžne vibrácie balíka tyčí
A.M. Pavlov, A.N. Temnov
MSTU im. N.E. Bauman, Moskva, Ruská federácia e-mail: [chránený e-mailom]; [chránený e-mailom]
V otázkach dynamiky rakiet na kvapalné palivo zohráva významnú úlohu problém stability pohybu rakiet pri výskyte pozdĺžnych elastických kmitov. Výskyt takýchto oscilácií môže viesť k vytvoreniu vlastných oscilácií, ktoré, ak je raketa nestabilná v pozdĺžnom smere, môže viesť k jej rýchlemu zničeniu. Je formulovaná problematika pozdĺžnych kmitov obalovej rakety, ako výpočtový model je použitý zväzok tyčí. Je akceptované, že kvapalina v raketových nádržiach je „zamrznutá“, t.j. vlastné pohyby tekutiny sa neberú do úvahy. Je formulovaný zákon celkovej energetickej bilancie pre uvažovaný problém a je uvedená jeho operátorská formulácia. Je uvedený numerický príklad, pre ktorý sú určené frekvencie a tvary vlastných kmitov sú konštruované a analyzované.
Kľúčové slová: pozdĺžne vibrácie, frekvencia a tvar vibrácií, zväzok tyčí, zákon celkovej energetickej bilancie, self-adjoint operátor, spektrum vibrácií, POGO.
SYSTÉM TYČOV Pozdĺžnych VIBRÁCIÍ A.M. Pavlov, AL. Temnov
Bauman Moskovská štátna technická univerzita, Moskva, Ruská federácia e-mail: [chránený e-mailom]; [chránený e-mailom]
V otázkach dynamiky rakiet na kvapalné palivo zohráva dôležitú úlohu problém stability pohybu tejto rakety s výskytom pozdĺžnych elastických vibrácií. Výskyt takýchto vibrácií môže vyvolať samovibrácie, ktoré môžu spôsobiť rýchlu deštrukciu rakety v prípade nestability rakety v pozdĺžnom smere. Problém pozdĺžnych vibrácií rakety na kvapalné palivo na základe paketovej schémy bol formulovaný pomocou balíčkov ako výpočtového modelu. Predpokladá sa, že kvapalina v nádržiach rakiet je „zamrznutá“, t.j. nie sú zahrnuté správne pohyby kvapaliny. Pre tento problém bol sformulovaný princíp šetrenia energie a je dané jeho operátorské stupňovanie. Existuje numerický príklad, pre ktorý boli určené frekvencie, boli zostrojené a analyzované formy vlastných vibrácií.
Kľúčové slová: pozdĺžne vibrácie, vlastné módy a frekvencie, tyčový model, princíp zachovania energie, samokĺbový operátor, spektrum vibrácií, POGO.
Úvod. V súčasnosti sa v Rusku a v zahraničí často používajú nosné rakety s usporiadaním balíkov s identickými bočnými blokmi rovnomerne rozmiestnenými okolo centrálneho bloku na vypustenie užitočného zaťaženia na požadovanú obežnú dráhu.
Štúdie vibrácií obalových štruktúr narážajú na určité ťažkosti spojené s dynamickým účinkom bočných a stredových blokov. V prípade symetrie usporiadania nosnej rakety možno komplexnú priestorovú interakciu blokov konštrukcie obalu rozdeliť na konečný počet typov vibrácií, z ktorých jedným sú pozdĺžne vibrácie centrálneho a bočného bloku. V práci je podrobne rozobratý matematický model pozdĺžnych kmitov takejto konštrukcie vo forme balíka tenkostenných tyčí. Ryža. 1. Schéma stredo- Tento článok predstavuje teoretickú tyč a výpočtové výsledky pozdĺžneho
vibrácie balíka tyčí, ktoré dopĺňajú štúdiu uskutočnenú A.A. Škoda.
Formulácia problému. Uvažujme ďalšie pozdĺžne vibrácie balíka tyčí, pozostávajúceho z centrálnej tyče dĺžky l0 a N bočných tyčí rovnakej dĺžky j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, pripevnených na bod A (xA = l) (obr. 1) s centrálnymi pružinovými prvkami s tuhosťou k.
Zavedme pevnú vzťažnú sústavu ОХ a predpokladajme, že tuhosť tyčí EFj (x), rozložená hmotnosť mj (x) a perturbácia q (x,t) sú ohraničené funkcie súradnice x:
0 0 < mj < mj (x) < Mj; (1) 0 Nech sa v prierezoch tyčí so súradnicou x objavia posuny Uj (x, t), ktoré sú určené rovnicami mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2) okrajové podmienky pre absenciu normálových síl na koncoch tyčí 3 = 0, x = 0, ^ = 1, 2, 0, x = 0, x = 10; podmienky rovnosti normálových síl vznikajúcich v tyčiach, EF-3 = F x = l elastické sily pružiacich prvkov FпPJ = к (ш (ха) - у (¡,)); (4) EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) =, x = xa; podmienka rovnosti posunov v bode xa stredovej tyče Shch (ha-o) = Shch (xa+o) a počiatočné podmienky Shch y (x, 0) - Shch (x); , _ u(x, 0) = u(x), kde u(x, 0) = "d^1(x, 0). Zákon celkovej energetickej bilancie. Rovnicu (2) vynásobíme u(x, t), integrujeme po dĺžke každej tyče a výsledky pridáme pomocou okrajových podmienok (3) a podmienky zhody (4). V dôsledku toho dostaneme (( 1 ^ [ (diL 2 TZ (x) "BT" (x+ dt | 2 ^ J 3 w V dt N x „ h 2 .. N „ i. 1 ^ Г „„ , f dп3\ , 1 ^ Гj 1 N /* i dpl 2 1 N fl j EF3 dx +2^Уо И (x - -) (nie - Uj)2 dx = / ^ (x, £) im y (x, £) (x, (6) kde 8 (x - ¡y) je Diracova delta funkcia. V rovnici (6) je prvý člen v zložených zátvorkách kinetická energia T (¿) systému, druhý je potenciálna energia Pr (£) v dôsledku deformácie tyčí a tretí je potenciálna energia Pk. (£) pružiacich prvkov, ktoré v prípade elastických deformácií môžu byť zapísané do formulára Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Eu. Rovnica (6) ukazuje, že zmena celkovej energie za jednotku času uvažovaného mechanického systému sa rovná výkonu vonkajší vplyv. Pri absencii vonkajšej poruchy q (x,t) dostaneme zákon zachovania celkovej energie: T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0). Kinematografia. Zákon energetickej bilancie ukazuje, že v akomkoľvek čase t možno funkcie Uj (x, t) považovať za prvky Hilbertovho priestoru L2j(; m3 (x)), definovaného na dĺžke ¡i skalárnym súčinom. (us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0 a zodpovedajúca norma. Zaveďme Hilbertov priestor H rovný ortogonálnemu súčtu L2j, H = L20 Ф L21 Ф... Ф L2N, vektorovú funkciu U = (uo, Ui,..., uN)т a operátor A pôsobiaci v priestor H podľa vzťahu AU = diag (A00U0, A11U1,..., Annun). mj(x)dx\jdx" operátorov definovaných na nastavte B (A33) С Н funkcií, ktoré spĺňajú podmienky (3) a (4). Do formulára sa zapíše pôvodná úloha (1)-(5) spolu s počiatočnými podmienkami Au = f (*), u (0) = u0, 17 (0) = u1, (7) kde f (*) = (do (*), 51 (*),..., Yam (¿))t. Lemma. 1. Ak sú splnené prvé dve podmienky (1), potom operátor A v evolučnom probléme (7) je neohraničený, samoadjungovaný, kladne určitý operátor v priestore H (Au,K)n = (u,AK)n, (Au, u)i > c2 (i, u)i. 2. Operátor A generuje energetický priestor NA s normou rovnajúcou sa dvojnásobku potenciálnej energie kmitov zväzku tyčí. 3\^I h)2 = 2П > 0. (8) IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0. < Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно: (AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+ +£ jm(x) (- jx) | (ef- (x) dndxa)) v-(x) dx=... = EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x) J EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) uo (x) ?o (x) + ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x) J EFo (x) uo (x) v" (x) dx - EFo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0 EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) + J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100 + £ / EF.,- (x) u- (x) g?- (x) dx+ o O(xa)- £ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10 + £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 - + £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H (AU, U)H = ... = I EF0 (x) u"2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) J EF0 (x) u"0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) + ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x) "J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx У^ k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) = EF0 (x) u"2 (x) dx + / EF0 (x) u"0 (x) dx + S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H Z vyššie uvedených výsledkov vyplýva, že energetická norma operátora A je vyjadrená vzorcom (8). Riešiteľnosť evolučného problému. Formulujme nasledujúcu vetu. Veta 1. Nech sú splnené podmienky U0 £ D (A1/2) , U0 £ H, f (t) £ C (; H), potom úloha (7) má jedinečné slabé riešenie U (t) na intervale definovanom vzorcom U (t) = U0 cos (tA1/2) +U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds. 5 pri neprítomnosti vonkajšej poruchy f (£), zákon zachovania energie je splnený 1 II A 1/2UИ2 = 1 1 II A1/2U 0|H. < Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости . Prirodzené vibrácie balíka prútov. Predpokladajme, že tyčový systém nie je ovplyvnený poľom vonkajších síl: f (t) = 0. V tomto prípade budeme pohyby tyčí nazývať voľné. Voľné pohyby tyčí v závislosti od času t podľa zákona exp (iwt) budeme nazývať prirodzené vibrácie. Ak vezmeme U (x, t) = U (x) eiWÍ v rovnici (7), dostaneme spektrálny problém pre operátor A: AU - AEU = 0, L = w2. (9) Vlastnosti operátora A nám umožňujú formulovať vetu o spektre a vlastnostiach vlastných funkcií. Veta 2. Spektrálny problém (9) o prirodzených vibráciách balíka tyčí má diskrétne pozitívne spektrum 0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то a systém vlastných funkcií (Uk (x))^=0, úplných a ortogonálnych v priestoroch H a HA, a sú splnené nasledujúce vzorce ortogonality: (Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0 (Uk= £/T^) d*+ K („feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=i Štúdium spektrálneho problému v prípade homogénneho balíka tyčí. Prezentáciou funkcie posunutia m- (x, £) v tvare m- (x, £) = m- (x), po oddelení premenných dostaneme spektrálne úlohy pre každú tyč: ^Oi + Lm = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10) ktoré zapisujeme v maticovom tvare 4 £ + Li = 0, A = -,-,-,...,- \ t0 t1 t2 t « u = (u0, u1, u2,..., u«)t. Riešenie a analýza získaných výsledkov. Označme posuvné funkcie pre centrálnu tyč v reze ako u01 a v reze ako u02 (g). V tomto prípade pre funkciu u02 posunieme počiatok súradníc do bodu so súradnicou /. Pre každú tyč uvádzame riešenie rovnice (10) vo forme Na nájdenie neznámych konštánt v (11) použijeme okrajové podmienky formulované vyššie. Z homogénnych okrajových podmienok je možné určiť niektoré konštanty, a to: C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN2 = 0. V dôsledku toho zostáva nájsť N + 3 konštanty: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Aby sme to dosiahli, riešime N + 3 rovníc pre N + 3 neznámych. Výslednú sústavu zapíšme v maticovom tvare: (A) (C) = (0) . Tu (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)t je vektor neznámych; (A) - charakteristická matica, cos (A1) EF0 A sin (A1) + L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000 0 r 00 00 0 000 r a = k soe ^ ^A-L^ ; in = -kco8((.40-01L)1/2^; 7 = (A4"-1 l) 1/2 ap ((A"1l) 1/2 + k sov ((A"1l) 1/2; (~ \ 1/2 ~ Л= ^Л] ; A--: 3 = 0. Aby sme našli netriviálne riešenie, berieme ako premennú konštantu C01 € M. Máme dve možnosti: C01 = 0; C01 = 0. Nech C01 = 0, potom C03 = C04 = 0. V tomto prípade možno získať netriviálne riešenie, ak 7 = 0 z (12), keď je splnená dodatočná podmienka £ s-1 = 0, (13) ktorú možno získať z tretej rovnice sústavy (12). Výsledkom je jednoduchá frekvenčná rovnica EP (A"1 L) 1/2 W ((A"1^1/2 P + zz \V zz K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G , sa zhoduje s frekvenčnou rovnicou pre tyč elasticky upevnenú na jednom konci, ktorú možno považovať za prvý čiastkový systém. V tomto prípade môžu byť všetky možné kombinácie pohybov bočných tyčí, ktoré spĺňajú podmienku (13), podmienene rozdelené do skupín zodpovedajúcich rôznym kombináciám fáz (v posudzovanom prípade je fáza určená znakom C.d). Ak predpokladáme, že bočné tyče sú identické, potom máme dve možnosti: 1) Сд = 0, potom počet takýchto kombinácií n pre rôzne N možno vypočítať pomocou vzorca n = N 2, kde je deliaca funkcia bez zvyšku; 2) ktorákoľvek (alebo ktorákoľvek) z konštánt C- sa rovná 0, potom sa počet možných kombinácií zvyšuje a možno ich určiť podľa vzorca £ [(N - m) div 2]. Nech Coi = 0, potom Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = = C01 (-v/t), kde in a y sú komplexy zahrnuté v (12). Zo systému (12) máme tiež: C03 = C01 cos (А/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), t.j. všetky konštanty sú vyjadrené cez C01. Frekvenčná rovnica má tvar EFo U-o1 L tg A-1 L) " (lo - l)) - K2 cos | í a!-,1 L Ako príklad si predstavte systém so štyrmi bočnými lištami. Okrem vyššie opísanej metódy môžete v tomto príklade zapísať frekvenčnú rovnicu pre celý systém tak, že vypočítate determinant matice A a prirovnáte ho k nule. Pozrime sa na to Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoЛ+ L cos (L (/o - /)) (EFoЛ sin (L/) + 4v)) - 4av3L cos (L(/0 - /)) = 0. Grafy transcendentálnych frekvenčných rovníc pre prípady uvažované vyššie sú uvedené na obr. 2. Nasledujúce údaje boli brané ako počiatočné údaje: EF = 2 109 N; EF0 = 2,2109 N; k = 7107 N/m; m = 5900 kg/m; mo = 6000 kg/m; / = 23; /о = 33 m. Hodnoty prvých troch frekvencií kmitov uvažovaného obvodu sú uvedené nižšie: n................................................. a som rád/a ................................................ 1 2 3 20,08 31,53 63,50 Ryža. 2. Grafy transcendentálnych frekvenčných rovníc pre Coi = 0 (i) a Coi = 0 (2) Uveďme vibračné režimy zodpovedajúce získaným riešeniam (vo všeobecnom prípade vibračné režimy nie sú normalizované). Formy vibrácií zodpovedajúce prvej, druhej, tretej, štvrtej, 13 a 14 frekvencii sú znázornené na obr. 3. Pri prvej vibračnej frekvencii vibrujú bočné tyče s rovnakým tvarom, ale v pároch v protifáze Obr.3. Formy vibrácií bočných (1) a centrálnych (2) tyčí, zodpovedajúce prvej V = 3,20 Hz (a), druhej V = 5,02 Hz (b), tretej V = 10,11 Hz (c), štvrtej V = 13,60 Hz (d), 13. V = 45,90 Hz (d) a 14. V = 50,88 Hz (f) frekvencie (Obr. 3, a), s druhým, centrálna tyč kmitá a bočné vo fáze oscilujú v rovnakom tvare (obr. 3, b). Treba poznamenať, že prvá a druhá frekvencia vibrácií uvažovaného tyčového systému zodpovedajú vibráciám systému pozostávajúceho z pevných telies. Keď systém osciluje s treťou vlastnou frekvenciou, prvýkrát sa objavia uzly (obr. 3c). Tretia a nasledujúce frekvencie (obr. 3d) zodpovedajú elastickým vibráciám systému. S nárastom frekvencie vibrácií, spojeným s poklesom vplyvu elastických prvkov, bývajú frekvencie a tvary vibrácií čiastočné (obr. 3, e, f). Krivky funkcií, ktorých priesečníky s osou x sú riešeniami transcendentálnych rovníc, sú uvedené na obr. 4. Podľa obrázku sa vlastné frekvencie kmitov sústavy nachádzajú v blízkosti čiastkových frekvencií. Ako je uvedené vyššie, so zvyšujúcou sa frekvenciou sa zvyšuje konvergencia vlastných frekvencií s čiastočnými. V dôsledku toho sú frekvencie, pri ktorých celý systém kmitá, bežne rozdelené do dvoch skupín: frekvencie blízke čiastočným frekvenciám bočnej tyče a frekvencie blízke čiastočným frekvenciám centrálnej tyče. Závery. Zvažuje sa problém pozdĺžnych vibrácií balíka tyčí. Sú opísané vlastnosti kladeného okrajového problému a spektrum jeho vlastných hodnôt. Navrhuje sa riešenie spektrálneho problému pre ľubovoľný počet homogénnych bočných tyčí. Pre numerický príklad sa nájdu hodnoty prvých oscilačných frekvencií a skonštruujú sa zodpovedajúce tvary. Identifikovali sa aj niektoré charakteristické vlastnosti skonštruovaných vibračných režimov. Ryža. 4. Krivky funkcií, ktorých priesečníky s osou x sú riešeniami transcendentálnych rovníc, pre CoX = 0 (1), Cox = 0 (2) sa zhodujú s prvou čiastkovou sústavou (bočná tyč upevnená na pruž. prvok v bode x = I) a druhý čiastkový systém (5) (stredová tyč pripevnená k štyrom pružným prvkom v bode A) LITERATÚRA 1. Kolesnikov K.S. Dynamika rakiet. M.: Strojárstvo, 2003. 520 s. 2. Balistické rakety a nosné rakety / O.M. Alifanov, A.N. Andrejev, V.N. Gushchin a kol., M.: Drop, 2004. 511 s. 3. Rabinovič B.I. Úvod do dynamiky nosných rakiet kozmických lodí. M.: Strojárstvo, 1974. 396 s. 4. Štúdia parametrov o stabilite rakiet na kvapalinu POGO / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. of Spacecraft and Rockets. 2011. Zv. 48.Je. 3. S. 537-541. 5. Balakirev Yu.G. Metódy analýzy pozdĺžnych vibrácií nosných rakiet na kvapalný pohon // Kozmonautika a raketová veda. 1995. č. 5. S. 50-58. 6. Balakirev Yu.G. Vlastnosti matematického modelu kvapalnej rakety dávkového usporiadania ako riadiaceho objektu // Vybrané problémy pevnosti moderného strojárstva. 2008. s. 43-55. 7. Dokučajev L.V. Vylepšovanie metód na štúdium dynamiky nosnej rakety, berúc do úvahy ich symetriu // Kozmonautika a raketová veda. 2005. Číslo 2. S. 112-121. 8. Pozhalostin A.A. Vývoj približných analytických metód na výpočet vlastných a vynútených kmitov elastických škrupín s kvapalinou: dis. ... Dr. Tech. vedy. M., 2005. 220 s. 9. Crane S.G. Lineárne diferenciálne rovnice v Banachových priestoroch. M.: Nauka, 1967. 464 s. 10. Kopachevsky I.D. Operátorové metódy matematickej fyziky. Simferopol: LLC "Forma", 2008. 140 s. Kolesnikov K.S. Dinamika raketa. Moskva, Mashinostroenie Publ., 2003. 520 s. Alifanov O.N., Andreev A.N., Gushchin V.N., ed. Balisticheskie rakety a rakety-nositeli. Moskva, Drofa Publ., 2003. 511 s. Rabinovič B.I. Vvedenie v dinamiku raket-nositeley kosmicheskikh apparatov. Moskva, Mashinostroenie Publ., 1974. 396 s. Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Štúdia parametrov o stabilite POGO rakety na kvapalné palivo. J. Spacecraft and Rockets, 2011, roč. 48, iss. 3, str. 537-541. Balakirev Yu.G. Metódy analýzy pozdĺžnych vibrácií nosných rakiet s motorom na kvapalné palivo. Kosm. ja raketostr. , 1995, č. 5, str. 50-58 (v Rusku). Balakirev Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki ako ob"ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya". Moskva, Fizmatlit Publ., 2008. 204 s. (citované str. 4355). Dokučajev L.V. Zlepšenie metód na štúdium dynamiky zoskupených nosných rakiet s ohľadom na ich symetriu. Kosm. ja raketostr. , 2005, č. 2, str. 112-121 (v Rusku). Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh a vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost"yu. Diss. doct. techhn. nauk . Kreyn S.G. Lineynye Differentsial"nye uravneniya v Banachovykh prostranstvakh. Moskva, Nauka Publ., 1967. 464 s. Kopachevskiy I.D. Operatornye method matematicheskoy fiziki. Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 s. Článok obdržal redaktor 28.4.2014 Pavlov Arsenij Michajlovič - študent Katedry kozmických lodí a nosných rakiet na MSTU. N.E. Bauman. Špecializuje sa na oblasť raketových a vesmírnych technológií. MSTU im. N.E. Baumash, Ruská federácia, 105005, Moskva, 2. ulica Baumanskaja, 5. Pavlov A.M. - študent odboru "Kozmické lode a nosné rakety" Baumanovej Moskovskej štátnej technickej univerzity. Špecialista v oblasti raketovej a vesmírnej techniky. Bauman Moskovská štátna technická univerzita, 2-ya Baumanskaya st. 5, Moskva, 105005 Ruská federácia. Temnov Alexander Nikolajevič - Ph.D. fyzika a matematika vedy, docent Katedry kozmických lodí a nosných rakiet Moskovskej štátnej technickej univerzity. N.E. Bauman. Autor viac ako 20 vedeckých prác v oblasti mechaniky tekutín a plynov a raketovej a vesmírnej techniky. MSTU im. N.E. Baumash, Ruská federácia, 105005, Moskva, 2. ulica Baumanskaja, 5. Temnov A.N. - Cand. Sci. (fyz.-matematika), doc. profesor oddelenia „Kozmické lode a nosné rakety“ na Baumanovej Moskovskej štátnej technickej univerzite. Autor viac ako 20 publikácií v oblasti mechaniky tekutín a plynov a raketovej a vesmírnej techniky. Bauman Moskovská štátna technická univerzita, 2-ya Baumanskaya st. 5, Moskva, 105005 Ruská federácia. Uvažujme o jednotnej dĺžke tyče, t. j. teleso valcového alebo iného tvaru, na natiahnutie alebo ohnutie, na ktoré musí byť vyvinutá určitá sila. Posledná okolnosť odlišuje aj ten najtenší prút od šnúrky, ktorá sa, ako vieme, voľne ohýba. V tejto kapitole použijeme metódu charakteristík na štúdium pozdĺžnych vibrácií tyče a obmedzíme sa na štúdium iba takých vibrácií, pri ktorých prierezy pohybujúce sa pozdĺž osi tyče zostávajú ploché a rovnobežné s navzájom (obr. 6). Takýto predpoklad je opodstatnený, ak sú priečne rozmery tyče malé v porovnaní s jej dĺžkou. Ak je tyč trochu natiahnutá alebo stlačená pozdĺž pozdĺžnej osi a potom ponechaná sama na seba, vyskytnú sa v nej pozdĺžne vibrácie. Nasmerujme os pozdĺž osi tyče a predpokladajme, že v pokoji sú konce tyče v bodoch. Nech je úsečka nejakej časti tyče, keď je tyč v pokoji. Označte posunutím tohto úseku v čase, potom posunutie úseku s osou x bude rovné Odtiaľ je zrejmé, že relatívne predĺženie tyče v reze s x x je vyjadrené deriváciou Ak teraz predpokladáme, že tyč vykonáva malé vibrácie, môžeme v tejto časti vypočítať skutočné napätie pomocou Hookovho zákona, zistíme, že kde je modul pružnosti tyčového materiálu, jeho prierezová plocha. Zoberme si priložený tyčový prvok medzi dvoma úsekmi, ktorých úsečky sú v pokoji rovnaké Tento prvok je ovplyvnený ťahovými silami pôsobiacimi v týchto úsekoch a smerujúcimi pozdĺž osi. Výslednica týchto síl má hodnotu a je tiež nasmerovaný pozdĺž . Na druhej strane, zrýchlenie prvku je rovnaké, v dôsledku čoho môžeme zapísať rovnosť kde je objemová hustota tyče. Umiestňovanie a znížením získame diferenciálnu rovnicu pozdĺžnych vibrácií homogénnej tyče Tvar tejto rovnice ukazuje, že pozdĺžne vibrácie tyče sú vlnového charakteru a rýchlosť a šírenia pozdĺžnych vĺn je určená vzorcom (4). Ak na tyč pôsobí aj vonkajšia sila vypočítaná na jednotku jej objemu, tak namiesto (3) dostaneme Toto je rovnica vynútených pozdĺžnych vibrácií tyče. Rovnako ako v dynamike vo všeobecnosti, samotná pohybová rovnica (6) nestačí na úplné určenie pohybu tyče. Je potrebné nastaviť počiatočné podmienky, t.j. nastaviť posuvy sekcií tyče a ich rýchlosti v počiatočnom okamihu kde a sú dané funkcie v intervale ( Okrem toho musia byť špecifikované okrajové podmienky na koncoch tyče. Napríklad. V tejto časti sa budeme zaoberať problémom pozdĺžnych vibrácií homogénnej tyče. Tyč je valcové (predovšetkým hranolové) teleso, na natiahnutie alebo stlačenie, na ktoré musí byť vyvinutá určitá sila. Budeme predpokladať, že všetky sily pôsobia pozdĺž osi tyče a každý z prierezov tyče (obr. 23) sa translačne pohybuje len po osi tyče. Zvyčajne je tento predpoklad opodstatnený, ak sú priečne rozmery tyče malé v porovnaní s jej dĺžkou a sily pôsobiace pozdĺž osi tyče sú relatívne malé. V praxi k pozdĺžnym vibráciám najčastejšie dochádza vtedy, keď sa tyč najprv mierne natiahne alebo naopak stlačí a potom sa nechá napospas. V tomto prípade v ňom vznikajú voľné pozdĺžne vibrácie. Odvoďme rovnice pre tieto oscilácie. Nasmerujme os x pozdĺž osi tyče (obr. 23); v kľudovom stave majú konce tyče úsečky, zvážte prierez; - jeho úsečka je v pokoji. Posun tohto úseku v ľubovoľnom čase t bude charakterizovaný funkciou, na ktorej nájdenie musíme vytvoriť diferenciálnu rovnicu. Najprv nájdime relatívne predĺženie úseku tyče obmedzeného úsekmi Ak je úsečka úseku v pokoji, potom sa posunutie tohto úseku v čase t s presnosťou na infinitezimály vyššieho rádu rovná Preto je relatívne predĺženie tyče v reze s osou v čase t rovné Za predpokladu, že sily spôsobujúce toto predĺženie sa riadia Hookovým zákonom, zistíme veľkosť napínacej sily T pôsobiacej na prierez: kde je plocha prierezu tyče a je modul pružnosti (Youngov modul) materiálu tyče. Vzorec (5.2) by mal byť čitateľovi dobre známy z kurzu pevnosti materiálov. Podľa toho sa sila pôsobiaca na úsek rovná Keďže sily nahrádzajú pôsobenie vyradených častí tyče, ich výsledná sila sa rovná rozdielu Vzhľadom na to, že vybraný úsek tyče je hmotný bod s hmotnosťou , kde je objemová hustota tyče, a aplikujeme na ňu druhý Newtonov zákon, vytvoríme rovnicu Skrátením a zavedením notácie získame diferenciálnu rovnicu voľných pozdĺžnych kmitov tyče Ak dodatočne predpokladáme, že na tyč pôsobí vonkajšia sila vypočítaná na jednotku objemu a pôsobiaca pozdĺž osi tyče, potom sa na pravú stranu vzťahu (5 3) pridá člen a rovnica (5.4) bude formulár čo sa presne zhoduje s rovnicou vynútených kmitov struny. Prejdime teraz k stanoveniu počiatočných a okrajových podmienok problému a zvážme najzaujímavejší prípad v praxi, keď je jeden koniec tyče pevný a druhý je voľný. Na voľnom konci bude mať okrajová podmienka inú formu. Keďže na tomto konci nie sú žiadne vonkajšie sily, sila T pôsobiaca v reze musí byť tiež rovná nule, t.j. K osciláciám dochádza, pretože v počiatočnom momente bola tyč deformovaná (natiahnutá alebo stlačená) a bodom tyče boli dané určité počiatočné rýchlosti. Preto musíme poznať momentálne posunutie prierezov tyče ako aj počiatočné rýchlosti hrotov tyče Takže problém voľných pozdĺžnych vibrácií tyče upevnenej na jednom konci, ktoré vznikajú v dôsledku počiatočného stlačenia alebo napätia, nás priviedol k rovnici s počiatočnými podmienkami a okrajové podmienky Je to posledná podmienka, ktorá z matematického hľadiska odlišuje uvažovaný problém od problému kmitania struny upevnenej na oboch koncoch. Formulovaný problém budeme riešiť Fourierovou metódou, t.j. nájsť partikulárne riešenia rovnice, ktoré spĺňajú okrajové podmienky (5.8), v tvare Keďže ďalší priebeh riešenia je analogický tomu, ktorý už bol načrtnutý v § 3, obmedzíme sa na stručné náznaky. Diferencovaním funkcie, dosadením výsledných výrazov do (5.6) a oddelením premenných dostaneme (Necháme na čitateľovi, aby si sám stanovil, že konštanta na pravej strane nemôže byť vzhľadom na okrajové podmienky kladné číslo ani nula.) Všeobecné riešenie rovnice má tvar Vzhľadom na podmienky kladené na funkciu, ktorú budeme mať Riešenia, ktoré nie sú identicky rovné nule, sa získajú iba vtedy, ak je splnená podmienka, t. j. pre , kde k môže nadobúdať hodnoty Takže vlastné hodnoty problému sú čísla Každý má svoju funkciu Ako už vieme, vynásobením ktorejkoľvek z vlastných funkcií ľubovoľnou konštantou dostaneme riešenie rovnice s nastavenými okrajovými podmienkami. Je ľahké skontrolovať, že zadaním záporných hodnôt číslu k nezískame nové vlastné funkcie (napríklad keď dostaneme funkciu, ktorá sa líši od vlastnej funkcie ) iba v znamienku), Najprv dokážme, že vlastné funkcie (5.11) sú ortogonálne v intervale . Pravdaže, kedy Ak potom Ortogonalitu vlastných funkcií je možné dokázať aj iným spôsobom, pričom sa nespoliehame na ich explicitné vyjadrenia, ale len pomocou diferenciálnej rovnice a okrajových podmienok. Nech a sú dve rôzne vlastné hodnoty a sú zodpovedajúce vlastné funkcie. Podľa definície tieto funkcie spĺňajú rovnice a okrajové podmienky. Vynásobme prvú rovnicu druhou a odčítajme jednu od druhej.
(5.2)
