Jedným zo základných pojmov teórie pravdepodobnosti je pojem udalosti.

Udalosť sa vzťahuje na akúkoľvek skutočnosť, ktorá môže alebo nemusí nastať ako výsledok testu.

Pod test (skúsenosti, experimentovať) v tejto definícii sa rozumie splnenie určitého súboru podmienok, pri ktorých sa pozoruje ten či onen jav a ten či onen výsledok sa zaznamenáva.

Napríklad strelec strieľa na terč. V tomto prípade je výstrel test, zásah alebo netraf je udalosť. Iný príklad: z urny obsahujúcej guľôčky rôznych farieb sa vytiahne jedna guľôčka. V tomto prípade je získanie lopty z urny skúškou. Vzhľad lopty určitej farby je udalosťou.

Udalosti sa zvyčajne označujú veľkými písmenami latinskej abecedy: A, B, C atď.

Podujatie sa volá spoľahlivý , ak v dôsledku skúšky musí nevyhnutne nastať. Podujatie sa volá náhodný , ak v dôsledku skúšky môže, ale nemusí nastať. Podujatie sa volá nemožné , ak v dôsledku skúšky nemôže vôbec nastať.

Napríklad sa hádže kockou. V tomto prípade je výskyt celého čísla spoľahlivou udalosťou, výskyt čísla 2 je náhodná udalosť a výskyt čísla 8 je nemožná udalosť.

Udalosti sú tzv nezlučiteľné , ak výskyt jedného z nich vylučuje výskyt iného. Inak sa udalosti nazývajú kĺb .

Napríklad študent, ktorý dostane známky „výborne“, „dobre“ a „uspokojivo“ na skúške v jednej disciplíne, sú nezlučiteľné udalosti, ale získanie rovnakých známok v troch rôznych disciplínach sú spoločné udalosti.

Udalosti sú tzv jediné možné , ak je výskyt jedného a len jedného z nich v dôsledku testu spoľahlivou udalosťou.

Napríklad dvaja študenti si prišli spraviť test. Jedna z nasledujúcich udalostí sa určite stane: obaja študenti úspešne prejdú testom (event A), testom prejde iba jeden študent (event IN), žiadny zo študentov neprejde testom (event S). Diania A, IN, S sú jediné možné.

Udalosti sú tzv rovnako možné , ak podľa podmienok symetrie existuje dôvod domnievať sa, že žiadna z týchto udalostí nie je objektívne možná viac ako ostatné.

Napríklad výskyt erbu alebo hláv pri hode mincou sú rovnako možné udalosti. V skutočnosti sa predpokladá, že minca je vyrobená z homogénneho materiálu, má pravidelný valcový tvar a prítomnosť razby neovplyvňuje stratu jednej alebo druhej strany mince.

Tvorí sa niekoľko udalostí celá skupina , ak sú jedinými možnými a nezlučiteľnými výsledkami súdneho konania. To znamená, že ako výsledok testu musí nastať iba jedna z týchto udalostí.

Napríklad študent odpovedá na otázky na skúške. Lístok obsahuje dve otázky. Možné sú tieto výsledky testu: študent odpovie na obe otázky (príp A 1), odpovie na jednu otázku (udalosť A 2), neodpovie na žiadnu otázku (event A 3). Diania A 1 , A 2 a A 3 tvoria ucelenú skupinu.

Naproti pomenujte dve jedinečne možné udalosti, ktoré tvoria ucelenú skupinu.

Napríklad udalosť, že študent je práve v triede, a udalosť, že je mimo triedy, sú protiklady.

Ak je jedna z dvoch protichodných udalostí označená symbolom A, potom sa zvyčajne označuje niečo iné ako .

Klasifikácia udalostí na možné, pravdepodobné a náhodné. Pojmy jednoduchých a zložitých elementárnych dejov. Operácie na udalostiach. Klasická definícia pravdepodobnosti náhodnej udalosti a jej vlastností. Prvky kombinatoriky v teórii pravdepodobnosti. Geometrická pravdepodobnosť. Axiómy teórie pravdepodobnosti.

Klasifikácia udalostí

Jedným zo základných pojmov teórie pravdepodobnosti je pojem udalosti. Pod udalosť pochopiť akúkoľvek skutočnosť, ktorá sa môže vyskytnúť v dôsledku zážitku alebo testu. Pod skúsenosti, alebo test, sa týka implementácie určitého súboru podmienok.

Príklady udalostí:

– zasiahnutie cieľa pri streľbe zo zbrane (skúsenosť - uskutočnenie výstrelu; udalosť - zasiahnutie cieľa);
– strata dvoch emblémov pri trojitom hode mincou (zážitok – hod mincou trikrát; udalosť – strata dvoch emblémov);
– výskyt chyby merania v rámci stanovených limitov pri meraní vzdialenosti k cieľu (skúsenosť – meranie vzdialenosti; udalosť – chyba merania).

Podobných príkladov možno uviesť nespočetné množstvo. Udalosti sú označené veľkými písmenami latinskej abecedy atď.

Rozlišovať spoločné akcie A nezlučiteľné. Udalosti sa nazývajú spoločné, ak výskyt jednej z nich nevylučuje výskyt druhej. V opačnom prípade sa udalosti nazývajú nekompatibilné. Napríklad sa hádže dvoma kockami. Udalosťou je strata troch bodov na prvej kocke, udalosťou je strata troch bodov na druhej kocke. a - spoločné podujatia. Nechajte obchod dostať dávku topánok rovnakého štýlu a veľkosti, ale rôznych farieb. Udalosť – náhodne vybratá krabica bude obsahovať čierne topánky, udalosť – krabica bude obsahovať hnedé topánky a – nekompatibilné udalosti.

Podujatie sa volá spoľahlivý, ak je isté, že k nemu dôjde v podmienkach daného experimentu.

Udalosť sa nazýva nemožná, ak nemôže nastať za podmienok danej skúsenosti. Napríklad prípad, že štandardný diel bude prevzatý z dávky štandardných dielov, je spoľahlivý, ale neštandardný diel je nemožný.

Podujatie sa volá možné, alebo náhodný, ak sa v dôsledku skúseností môže objaviť, ale nemusí sa objaviť. Príkladom náhodnej udalosti môže byť identifikácia nedostatkov produktu pri kontrole šarže hotových produktov, nesúlad medzi veľkosťou spracovávaného produktu a určenou alebo výpadok jedného z článkov v automatizovanom kontrolnom systéme.

Udalosti sú tzv rovnako možné, ak podľa skúšobných podmienok žiadna z týchto udalostí nie je objektívne možná viac ako ostatné. Nechajte napríklad obchod zásobovať žiarovkami (v rovnakom množstve) niekoľko výrobných závodov. Udalosti zahŕňajúce nákup žiarovky z ktorejkoľvek z týchto tovární sú rovnako možné.

Dôležitým konceptom je celá skupina podujatí. Niekoľko udalostí v danom experimente tvorí kompletnú skupinu, ak sa aspoň jedna z nich určite objaví ako výsledok experimentu. Napríklad urna obsahuje desať loptičiek, z toho šesť červených, štyri biele a päť loptičiek má čísla. - vzhľad červenej gule počas jedného žrebovania, - vzhľad bielej gule, - vzhľad gule s číslom. Podujatia tvoria ucelenú skupinu spoločných podujatí.

Predstavme si pojem opačnej, alebo doplnkovej udalosti. Pod opak Udalosť je chápaná ako udalosť, ktorá musí nevyhnutne nastať, ak nejaká udalosť nenastane. Opačné udalosti sú nezlučiteľné a jediné možné. Tvoria ucelenú skupinu podujatí. Napríklad, ak šarža vyrobených produktov pozostáva z dobrých a chybných produktov, potom keď sa jeden produkt odstráni, môže sa ukázať, že ide buď o dobrú udalosť, alebo o chybnú udalosť.

Operácie na udalostiach

Pri vývoji aparátu a metodológie na štúdium náhodných udalostí v teórii pravdepodobnosti je veľmi dôležitý koncept súčtu a súčinu udalostí.

Súčet alebo spojenie niekoľkých udalostí je udalosťou pozostávajúcou z výskytu aspoň jednej z týchto udalostí.

Súčet udalostí je označený takto:

Napríklad, ak udalosť zasiahne cieľ prvým výstrelom, udalosť – druhým, potom udalosť zasiahne cieľ vo všeobecnosti, nezáleží na tom, ktorým výstrelom – prvým, druhým alebo oboma.

Produkt alebo priesečník niekoľkých udalostí je udalosť pozostávajúca zo spoločného výskytu všetkých týchto udalostí.

Je uvedená produkcia udalostí

Napríklad, ak je udalosť zasiahnutá prvým výstrelom, udalosťou je zasiahnutie cieľa druhým výstrelom, potom udalosťou je, že cieľ bol zasiahnutý oboma výstrelmi.

Pojmy súčet a súčin udalostí majú jasnú geometrickú interpretáciu. Nech udalosť pozostáva z bodu, ktorý sa dostane do oblasti , udalosť pozostáva z vstupu do oblasti , potom udalosť pozostáva z bodu, ktorý sa dostane do oblasti vytieňovanej na obr. 1 a udalosť nastane, keď bod zasiahne oblasť vytieňovanú na obr. 2.

Klasická definícia pravdepodobnosti náhodnej udalosti

Na kvantitatívne porovnanie udalostí podľa miery možnosti ich výskytu sa zavádza číselná miera, ktorá sa nazýva pravdepodobnosť udalosti.

Pravdepodobnosť udalosti je číslo, ktoré vyjadruje mieru objektívnej možnosti výskytu udalosti.

Pravdepodobnosť udalosti bude označená symbolom.

Pravdepodobnosť udalosti sa rovná pomeru počtu pre ňu priaznivých prípadov z celkového počtu jednoznačne možných, rovnako možných a nezlučiteľných prípadov k počtu t.j.

Toto je klasická definícia pravdepodobnosti. Na nájdenie pravdepodobnosti udalosti je teda potrebné po zvážení rôznych výsledkov testu nájsť súbor jednoznačne možných, rovnako možných a nezlučiteľných prípadov, vypočítať ich celkový počet, počet prípadov priaznivých pre daný prípad. a potom vykonajte výpočet pomocou vzorca (1.1).

Zo vzorca (1.1) vyplýva, že pravdepodobnosť udalosti je nezáporné číslo a môže sa meniť od nuly do jednej v závislosti od podielu priaznivého počtu prípadov na celkovom počte prípadov:

Vlastnosti pravdepodobnosti

Nehnuteľnosť 1. Ak sú všetky prípady priaznivé pre danú udalosť, potom táto udalosť určite nastane. V dôsledku toho je príslušná udalosť spoľahlivá a pravdepodobnosť jej výskytu je , pretože v tomto prípade

Nehnuteľnosť 2. Ak neexistuje jediný prípad priaznivý pre danú udalosť, potom táto udalosť nemôže nastať v dôsledku skúsenosti. V dôsledku toho je príslušná udalosť nemožná a pravdepodobnosť jej výskytu je , pretože v tomto prípade:

Nehnuteľnosť 3. Pravdepodobnosť výskytu udalostí, ktoré tvoria ucelenú skupinu, sa rovná jednej.

Nehnuteľnosť 4. Pravdepodobnosť výskytu opačnej udalosti sa určuje rovnakým spôsobom ako pravdepodobnosť výskytu udalosti:

kde je počet prípadov priaznivý pre vznik opačnej udalosti. Pravdepodobnosť výskytu opačnej udalosti sa teda rovná rozdielu medzi jednotou a pravdepodobnosťou výskytu udalosti:

Dôležitou výhodou klasickej definície pravdepodobnosti udalosti je, že s jej pomocou možno určiť pravdepodobnosť udalosti bez použitia skúseností, ale na základe logického uvažovania.

Príklad 1. Pri vytáčaní telefónneho čísla účastník zabudol jednu číslicu a vytočil ju náhodne. Nájdite pravdepodobnosť, že je vytočené správne číslo.

Riešenie. Označme udalosť, že sa vytočí požadované číslo. Účastník môže vytočiť ktorúkoľvek z 10 číslic, takže celkový počet možných výsledkov je 10. Tieto výsledky sú jediné možné (jedna z číslic musí byť vytočená) a rovnako možné (číslica je vytočená náhodne). Iba jeden výsledok uprednostňuje udalosť (je potrebné len jedno číslo). Požadovaná pravdepodobnosť sa rovná pomeru počtu výsledkov priaznivých pre udalosť k počtu všetkých výsledkov:

Prvky kombinatoriky

V teórii pravdepodobnosti sa často používajú umiestnenia, permutácie a kombinácie. Ak je daný súbor, tak umiestnenie (kombinácia) prvkov podľa je ľubovoľná usporiadaná (neusporiadaná) podmnožina prvkov množiny. Pri umiestnení sa volá preskupenie z prvkov.

Nech je napríklad daný súbor. Umiestnenia troch prvkov tejto množiny dvoch sú , , , , , ; kombinácie - , , .

Dve kombinácie sa líšia aspoň v jednom prvku a umiestnenia sa líšia buď v samotných prvkoch, alebo v poradí, v akom sa zobrazujú. Počet kombinácií prvkov podľa sa vypočíta podľa vzorca

je počet umiestnení prvkov podľa ; - počet permutácií prvkov.

Príklad 2. V dávke 10 dielov je 7 štandardných dielov. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi 6 náhodne vybratými časťami sú práve 4 štandardné.

Riešenie. Celkový počet možných výsledkov testu sa rovná počtu spôsobov, ktorými je možné extrahovať 6 častí z 10, t.j. rovná sa počtu kombinácií 10 prvkov zo 6. Počet výsledkov priaznivých pre udalosť (medzi 6 odoberané diely sú presne 4 štandardné) sa určuje nasledovne: 4 štandardné diely je možné odoberať zo 7 štandardných dielov rôznymi spôsobmi; v tomto prípade musia byť zvyšné časti neštandardné; Existujú spôsoby, ako vziať 2 neštandardné časti z neštandardných častí. Preto sa počet priaznivých výsledkov rovná . Počiatočná pravdepodobnosť sa rovná pomeru počtu výsledkov priaznivých pre udalosť k počtu všetkých výsledkov:

Štatistická definícia pravdepodobnosti

Vzorec (1.1) sa používa na priamy výpočet pravdepodobnosti udalostí iba vtedy, keď sa skúsenosť zredukuje na vzor prípadov. V praxi sa klasická definícia pravdepodobnosti často nedá použiť z dvoch dôvodov: po prvé, klasická definícia pravdepodobnosti predpokladá, že celkový počet prípadov musí byť konečný. V skutočnosti to často nie je obmedzené. Po druhé, často nie je možné prezentovať výsledky experimentu vo forme rovnako možných a nezlučiteľných udalostí.

Frekvencia výskytu udalostí počas opakovaných experimentov má tendenciu stabilizovať sa okolo určitej konštantnej hodnoty. S uvažovanou udalosťou teda môže byť spojená určitá konštantná hodnota, okolo ktorej sú zoskupené frekvencie a ktorá je charakteristická pre objektívne spojenie medzi súborom podmienok, za ktorých sa experimenty vykonávajú, a udalosťou.

Pravdepodobnosť náhodnej udalosti je číslo, okolo ktorého sú frekvencie tejto udalosti zoskupené so zvyšujúcim sa počtom pokusov.

Táto definícia pravdepodobnosti sa nazýva štatistické.

Výhodou štatistickej metódy určovania pravdepodobnosti je, že je založená na reálnom experimente. Jeho významnou nevýhodou však je, že na určenie pravdepodobnosti je potrebné vykonať veľké množstvo experimentov, ktoré sú veľmi často spojené s nákladmi na materiál. Štatistická definícia pravdepodobnosti udalosti, hoci celkom plne odhaľuje obsah tohto pojmu, neumožňuje reálne vypočítať pravdepodobnosť.

Klasická definícia pravdepodobnosti uvažuje s úplnou skupinou konečného počtu rovnako možných udalostí. V praxi je veľmi často počet možných výsledkov testov nekonečný. V takýchto prípadoch sa klasická definícia pravdepodobnosti nedá použiť. Niekedy však v takýchto prípadoch môžete použiť inú metódu výpočtu pravdepodobnosti. Pre istotu sa obmedzíme na dvojrozmerný prípad.

Nech je na rovine uvedená určitá oblasť plochy , ktorá obsahuje inú oblasť plochy (obr. 3). Do oblasti sa náhodne hodí bodka. Aká je pravdepodobnosť, že bod padne do kraja? Predpokladá sa, že náhodne hodený bod môže zasiahnuť akýkoľvek bod v oblasti a pravdepodobnosť zasiahnutia ktorejkoľvek časti oblasti je úmerná ploche časti a nezávisí od jej polohy a tvaru. V tomto prípade je pravdepodobnosť zasiahnutia oblasti pri náhodnom vhodení bodu do oblasti

Vo všeobecnosti teda platí, že ak možnosť náhodného výskytu bodu vo vnútri určitej oblasti na priamke, rovine alebo v priestore nie je určená polohou tejto oblasti a jej hranicami, ale iba jej veľkosťou, t.j. , plocha alebo objem pravdepodobnosť pádu náhodného bodu do určitej oblasti je definovaná ako pomer veľkosti tejto oblasti k veľkosti celej oblasti, v ktorej sa daný bod môže objaviť. Toto je geometrická definícia pravdepodobnosti.

Príklad 3. Kruhový terč sa otáča konštantnou uhlovou rýchlosťou. Jedna pätina terča je natretá zelenou farbou a zvyšok je biely (obr. 4). Výstrel je vypálený na cieľ tak, že zasiahnutie cieľa je spoľahlivou udalosťou. Musíte určiť pravdepodobnosť zasiahnutia cieľového sektora zafarbeného na zeleno.

Riešenie. Označme „výstrel zasiahol sektor zelenej farby“. Potom . Pravdepodobnosť sa získa ako pomer plochy časti cieľa natretej na zeleno k celej ploche cieľa, pretože zásahy do ktorejkoľvek časti cieľa sú rovnako možné.

Axiómy teórie pravdepodobnosti

Zo štatistickej definície pravdepodobnosti náhodnej udalosti vyplýva, že pravdepodobnosť udalosti je číslo, okolo ktorého sú zoskupené experimentálne pozorované frekvencie tejto udalosti. Preto sa zavádzajú axiómy teórie pravdepodobnosti, aby pravdepodobnosť udalosti mala základné vlastnosti frekvencie.

Axióma 1. Každá udalosť zodpovedá určitému číslu, ktoré spĺňa podmienku a nazýva sa jej pravdepodobnosť.

Teória pravdepodobnosti – matematická veda, ktorá študuje vzorce náhodných javov. Náhodnými javmi sa rozumejú javy s neistým výsledkom, ktoré nastávajú pri opakovanom reprodukovaní určitého súboru podmienok.

Napríklad pri hádzaní mince nemôžete predpovedať, na ktorú stranu padne. Výsledok hodu mincou je náhodný. Ale pri dostatočne veľkom počte hodov mincou existuje určitý vzor (erb a značka hash vypadnú približne rovnako často).

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti

Test (skúsenosť, experiment) - realizácia určitého súboru podmienok, v ktorých sa pozoruje ten či onen jav a ten či onen výsledok sa zaznamenáva.

Napríklad: hod kockou a získanie určitého počtu bodov; teplotný rozdiel vzduchu; spôsob liečenia choroby; nejaké obdobie života človeka.

Náhodná udalosť (alebo len udalosť) - výsledok testu.

Príklady náhodných udalostí:

získanie jedného bodu pri hode kockou;

exacerbácia ischemickej choroby srdca s prudkým zvýšením teploty vzduchu v lete;

vývoj komplikácií choroby v dôsledku nesprávneho výberu metódy liečby;

prijatie na vysokú školu po úspešnom štúdiu na škole.

Udalosti sú označené veľkými písmenami latinskej abecedy: A , B , C , …

Podujatie sa volá spoľahlivý , ak v dôsledku skúšky musí nevyhnutne nastať.

Podujatie sa volá nemožné , ak v dôsledku skúšky nemôže vôbec nastať.

Napríklad, ak sú všetky produkty v dávke štandardné, potom je extrahovanie štandardného produktu z nej spoľahlivá udalosť, ale extrahovanie chybného produktu za rovnakých podmienok je nemožná udalosť.

KLASICKÉ VYMEDZENIE PRAVDEPODOBNOSTI

Pravdepodobnosť je jedným zo základných pojmov teórie pravdepodobnosti.

Pravdepodobnosť klasickej udalosti sa nazýva pomer počtu prípadov priaznivých pre udalosť , k celkovému počtu prípadov, t.j.

, (5.1)

Kde
- pravdepodobnosť udalosti ,

- počet prípadov priaznivých pre udalosť ,

- celkový počet prípadov.

Vlastnosti pravdepodobnosti udalosti

Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti leží medzi nulou a jednou, t.j.

Pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa rovná jednej, t.j.

.

Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová, t.j.

.

(Ponúknite ústne riešenie niekoľkých jednoduchých problémov).

ŠTATISTICKÉ URČENIE PRAVDEPODOBNOSTI

V praxi je odhad pravdepodobnosti udalostí často založený na tom, ako často sa daná udalosť vyskytne v vykonaných testoch. V tomto prípade sa používa štatistická definícia pravdepodobnosti.

Štatistická pravdepodobnosť udalosti sa nazýva relatívna frekvenčná hranica (pomer počtu prípadov m, priaznivé pre vznik udalosti , na celkový počet vykonané testy), keď počet testov má tendenciu k nekonečnu, t.j.

Kde
- štatistická pravdepodobnosť udalosti ,
- počet pokusov, v ktorých sa udalosť objavila , - celkový počet testov.

Na rozdiel od klasickej pravdepodobnosti je štatistická pravdepodobnosť charakteristikou experimentálnej pravdepodobnosti. Klasická pravdepodobnosť slúži na teoretický výpočet pravdepodobnosti udalosti za daných podmienok a nevyžaduje, aby sa testy vykonávali v skutočnosti. Štatistický pravdepodobnostný vzorec sa používa na experimentálne určenie pravdepodobnosti udalosti, t.j. predpokladá sa, že testy boli skutočne vykonané.

Štatistická pravdepodobnosť sa približne rovná relatívnej frekvencii náhodnej udalosti, preto sa v praxi relatívna frekvencia berie ako štatistická pravdepodobnosť, pretože štatistickú pravdepodobnosť je prakticky nemožné nájsť.

Štatistická definícia pravdepodobnosti je použiteľná pre náhodné udalosti, ktoré majú nasledujúce vlastnosti:

Vety o sčítaní pravdepodobnosti a násobení

Základné pojmy

a) Jediné možné udalosti

Diania
Nazývajú sa jediné možné, ak sa v dôsledku každého testu určite vyskytne aspoň jeden z nich.

Tieto udalosti tvoria ucelenú skupinu udalostí.

Napríklad pri hádzaní kockou sú jedinými možnými udalosťami strany s jedným, dvoma, tromi, štyrmi, piatimi a šiestimi bodmi. Tvoria ucelenú skupinu podujatí.

b) Udalosti sa nazývajú nezlučiteľné, ak výskyt jednej z nich vylučuje výskyt iných udalostí v tom istom konaní. Inak sa nazývajú spoločné.

c) Opačný pomenujte dve jedinečne možné udalosti, ktoré tvoria ucelenú skupinu. Vymenovať A .

G) Udalosti sa nazývajú nezávislé, ak pravdepodobnosť výskytu jedného z nich nezávisí od poverenia alebo nesplnenia ďalších.

Akcie na udalostiach

Súčet viacerých udalostí je udalosť pozostávajúca z výskytu aspoň jednej z týchto udalostí.

Ak A – spoločné akcie, potom ich súčet
alebo
označuje výskyt buď udalosti A, alebo udalosti B, alebo oboch udalostí spolu.

Ak A – nezlučiteľné udalosti, potom ich súčet
znamená výskyt alebo udalosti alebo udalosti .

Suma udalosti znamenajú:

Súčin (priesečník) viacerých udalostí je udalosť pozostávajúca zo spoločného výskytu všetkých týchto udalostí.

Súčin dvoch udalostí je označený
alebo
.

Práca udalosti predstavujú

Veta o sčítaní pravdepodobností nekompatibilných udalostí

Pravdepodobnosť súčtu dvoch alebo viacerých nezlučiteľných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí:

Na dve udalosti;

- Pre diania.

Dôsledky:

a) Súčet pravdepodobností opačných udalostí A rovná sa jednej:

Pravdepodobnosť opačnej udalosti označujeme :
.

b) Súčet pravdepodobností udalostí tvoriacich ucelenú skupinu udalostí sa rovná jednej: alebo
.

Veta o sčítaní pravdepodobností spoločných udalostí

Pravdepodobnosť súčtu dvoch spoločných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí bez pravdepodobností ich prieniku, t.j.

Veta o násobení pravdepodobnosti

a) Pre dve nezávislé udalosti:

b) Pre dve závislé udalosti

Kde
– podmienená pravdepodobnosť udalosti , t.j. pravdepodobnosť udalosti , vypočítané za podmienky, že udalosť Stalo.

c) Pre nezávislé udalosti:

.

d) Pravdepodobnosť výskytu aspoň jednej z udalostí , ktoré tvoria ucelenú skupinu nezávislých podujatí:

Podmienená pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť udalosti , vypočítané za predpokladu, že udalosť nastala , sa nazýva podmienená pravdepodobnosť udalosti a je určený
alebo
.

Pri výpočte podmienenej pravdepodobnosti pomocou klasického vzorca pravdepodobnosti počet výsledkov A
vypočítané s prihliadnutím na skutočnosť, že pred udalosťou došlo k udalosti .

Udalosti a ich klasifikácia

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti

Pri konštrukcii akejkoľvek matematickej teórie sa najprv identifikujú najjednoduchšie pojmy, ktoré sa akceptujú ako počiatočné fakty. Takéto základné pojmy v teórii pravdepodobnosti sú pojem náhodný experiment, náhodná udalosť, pravdepodobnosť náhodnej udalosti.

Náhodný experiment– ide o proces zaznamenávania pozorovania udalosti, ktorá nás zaujíma, ktorá sa uskutočňuje v podmienkach daného stacionára (nemení v priebehu času) skutočný súbor podmienok, vrátane nevyhnutnosti vplyvu veľkého počtu náhodných (nepodliehajúcich prísnemu účtovaniu a kontrole) faktorov.

Tieto faktory nám zas neumožňujú vyvodiť úplne spoľahlivé závery o tom, či pre nás zaujímavá udalosť nastane alebo nie. V tomto prípade sa predpokladá, že máme zásadnú možnosť (aspoň mentálne realizovateľnú) opakovanie nášho experimentu alebo pozorovania mnohokrát v rámci rovnakých podmienok.

Tu je niekoľko príkladov náhodných experimentov.

1. Náhodný experiment pozostávajúci z hádzania dokonale symetrickej mince zahŕňa náhodné faktory, ako je sila, ktorou je minca hodená, trajektória mince, počiatočná rýchlosť, moment rotácie atď. Tieto náhodné faktory znemožňujú presne určiť výsledok každého jednotlivého procesu: „pri hode mincou sa objaví erb“ alebo „pri hode mincou sa objavia chvosty“.

2. Závod Stalkanat testuje vyrobené káble na maximálne povolené zaťaženie. Záťaž sa líši v rámci určitých limitov od jedného experimentu k druhému. Je to spôsobené takými náhodnými faktormi, ako sú mikro defekty v materiáli, z ktorého sú káble vyrobené, rôzne rušenia v prevádzke zariadení, ktoré sa vyskytujú pri výrobe káblov, podmienky skladovania, experimentálne podmienky atď.

3. Vystrelí sa séria výstrelov z tej istej zbrane na konkrétny cieľ. Zasiahnutie cieľa závisí od mnohých náhodných faktorov, medzi ktoré patrí stav pištole a projektilu, inštalácia pištole, zručnosť strelca, poveternostné podmienky (vietor, svetlo atď.).

Definícia. Implementácia určitého súboru podmienok je tzv test. Výsledok testu je tzv udalosť.

Náhodné udalosti sú označené veľkými písmenami latinskej abecedy: A, B, C...alebo veľké písmeno s indexom: .

Napríklad absolvovanie skúšky za daných podmienok (písomná skúška vrátane systému hodnotenia atď.) je pre študenta testom a získanie určitej známky je udalosťou;

streľba zo zbrane za daných podmienok (poveternostné podmienky, stav zbrane atď.) je test a zasiahnutie alebo minutie cieľa je udalosťou.

Rovnaký pokus môžeme opakovať mnohokrát za rovnakých podmienok. Prítomnosť veľkého množstva náhodných faktorov charakterizujúcich podmienky každého takéhoto experimentu znemožňuje v samostatnom teste urobiť úplne jednoznačný záver o tom, či pre nás zaujímavá udalosť nastane alebo nie. Všimnite si, že v teórii pravdepodobnosti takýto problém neexistuje.

Klasifikácia udalostí

Udalosti sa dejú spoľahlivé, nemožné A náhodný.

Definícia. Podujatie sa volá spoľahlivý, ak za daného súboru podmienok nevyhnutne nastane.

Všetky spoľahlivé udalosti sú označené písmenom (prvé písmeno anglického slova univerzálny- všeobecný)

Príklady spoľahlivých udalostí sú: vyliatie bielej gule z urny obsahujúcej iba biele gule; výhra vo výhernej lotérii.

Definícia. Podujatie sa volá nemožné, ak za daného súboru podmienok nemôže nastať.

Všetky nemožné udalosti sú označené písmenom .

Napríklad v euklidovskej geometrii nemôže byť súčet uhlov trojuholníka väčší ako a nemôžete získať známku „6“ na skúške s päťbodovým systémom hodnotenia.

Definícia. Podujatie sa volá náhodný, ak sa môže alebo nemusí objaviť za daného súboru podmienok.

Napríklad náhodné udalosti sú: udalosť objavenia sa esa z balíčka kariet; víťazstvo v zápase futbalového tímu; udalosť výhry v peňažnej a odevnej lotérii; prípadná kúpa chybného televízora a pod.

Definícia. Diania sa volajú nezlučiteľné, ak výskyt jednej z týchto udalostí vylučuje výskyt akejkoľvek inej.

Príklad 1 Ak vezmeme do úvahy test, ktorý pozostáva z hodu mincou, potom udalosti - vzhľad erbu a vzhľad čísla - sú nezlučiteľné udalosti.

Definícia. Diania sa volajú kĺb, ak výskyt jednej z týchto udalostí nevylučuje výskyt iných udalostí.

Príklad 2 Ak dôjde k výstrelu z troch zbraní, kombinujú sa tieto udalosti: zásah z prvej zbrane; zásah z druhej zbrane; zásah z tretej zbrane.

Definícia. Diania sa volajú jediné možné, ak pri splnení daného súboru podmienok musí nastať aspoň jedna zo špecifikovaných udalostí.

Príklad 3 Pri hádzaní kockou sú jediné možné udalosti:

A 1 – výskyt jedného bodu,

A 2 – výskyt dvoch bodov,

A 3 – výskyt troch bodov,

A 4 – výskyt štyroch bodov,

A 5 – výskyt piatich bodov,

A 6 – výskyt šiestich bodov.

Definícia. Hovorí sa, že udalosti sa formujú celá skupina podujatí, ak sú tieto udalosti jediné možné a nezlučiteľné.

Udalosti, ktoré boli uvažované v príkladoch 1, 3 tvoria ucelenú skupinu, keďže sú nezlučiteľné a jediné možné.

Definícia. Nazývajú sa dve udalosti, ktoré tvoria ucelenú skupinu opak.

Ak je nejaká udalosť, potom je opačná udalosť označená .

Príklad 4. Ak je udalosťou erb, potom udalosťou sú chvosty.

Opačné udalosti sú tiež: „študent urobil skúšku“ a „študent nesplnil skúšku“, „rastlina splnila plán“ a „rastlina nesplnila plán“.

Definícia. Diania sa volajú rovnako pravdepodobné alebo rovnako možné, ak počas testu majú všetci objektívne rovnakú možnosť objaviť sa.

Všimnite si, že rovnako možné udalosti sa môžu objaviť iba pri experimentoch so symetriou výsledkov, ktorá je zabezpečená špeciálnymi metódami (napríklad výroba absolútne symetrických mincí, kociek, starostlivé miešanie kariet, domino, miešanie loptičiek v urne atď.).

Definícia. Ak sú výsledky nejakého testu jediné možné, nezlučiteľné a rovnako možné, potom sa volajú elementárne výsledky, prípady alebo šance, a samotný test sa nazýva diagram prípadu alebo "schéma urny"(keďže akýkoľvek problém pravdepodobnosti pre daný test môže byť nahradený ekvivalentným problémom s urnami a loptičkami rôznych farieb) .

Príklad 5. Ak sú v urne 3 biele a 3 čierne gule, identické s dotykom, potom udalosť A 1 – vzhľad bielej gule a event A 2 – výskyt čiernej gule sú rovnako pravdepodobné udalosti.

Definícia. Hovoria, že udalosť priazne udalosť alebo udalosť znamená udalosť , ak pri vzhľade udalosť určite príde.

Ak udalosť zahŕňa udalosť, potom je to označené symbolmi ekvivalentné resp ekvivalent a označujú

Teda ekvivalentné udalosti a pri každom teste sa buď vyskytnú obe, alebo obe nenastanú.

Na vybudovanie teórie pravdepodobnosti je okrem už zavedených základných pojmov (náhodný experiment, náhodná udalosť) potrebné zaviesť ešte jeden základný pojem – pravdepodobnosť náhodnej udalosti.

Všimnite si, že predstavy o pravdepodobnosti udalosti sa počas vývoja teórie pravdepodobnosti zmenili. Pozrime sa na históriu vývoja tohto konceptu.

Pod pravdepodobnosť náhodná udalosť rozumieť miera objektívnej možnosti výskytu udalosti.

Táto definícia odráža pojem pravdepodobnosti z kvalitatívneho hľadiska. Bolo to známe už v starovekom svete.

Kvantitatívna definícia pravdepodobnosti udalosti bola prvýkrát uvedená v prácach zakladateľov teórie pravdepodobnosti, ktorí uvažovali o náhodných experimentoch so symetriou alebo objektívnou ekvimožnosťou výsledkov. Takéto náhodné experimenty, ako je uvedené vyššie, najčastejšie zahŕňajú umelo organizované experimenty, v ktorých sa používajú špeciálne metódy na zabezpečenie rovnakých výsledkov (miešanie kariet alebo domino, vytváranie dokonale symetrických kociek, mincí atď.). Vo vzťahu k takýmto náhodným experimentom v sedemnástom storočí. Francúzsky matematik Laplace sformuloval klasickú definíciu pravdepodobnosti.

Mnohí, keď čelia konceptu „teórie pravdepodobnosti“, dostanú strach, mysliac si, že je to niečo ohromujúce, veľmi komplikované. Ale v skutočnosti nie je všetko také tragické. Dnes sa pozrieme na základný koncept teórie pravdepodobnosti a naučíme sa riešiť problémy na konkrétnych príkladoch.

Veda

Čo študuje taký odbor matematiky ako „teória pravdepodobnosti“? Zaznamenáva vzory a množstvá. Vedci sa o túto problematiku prvýkrát začali zaujímať už v osemnástom storočí, keď študovali hazardné hry. Základným pojmom teórie pravdepodobnosti je udalosť. Je to akákoľvek skutočnosť, ktorá je stanovená skúsenosťou alebo pozorovaním. Ale čo je skúsenosť? Ďalší základný koncept teórie pravdepodobnosti. Znamená to, že tento súbor okolností nebol vytvorený náhodou, ale za konkrétnym účelom. Čo sa týka pozorovania, tu sa samotný výskumník nezúčastňuje experimentu, ale je jednoducho svedkom týchto udalostí, nijako neovplyvňuje, čo sa deje.

Diania

Dozvedeli sme sa, že základným pojmom teórie pravdepodobnosti je udalosť, ale nebrali sme do úvahy klasifikáciu. Všetky sú rozdelené do nasledujúcich kategórií:

• Spoľahlivý.
• nemožné.
• Náhodný.

Bez ohľadu na to, aké udalosti sú, pozorované alebo vytvorené počas zážitku, všetky podliehajú tejto klasifikácii. Pozývame vás, aby ste sa zoznámili s každým typom samostatne.

Spoľahlivé podujatie

Toto je okolnosť, pre ktorú bol prijatý potrebný súbor opatrení. Aby sme lepšie pochopili podstatu, je lepšie uviesť niekoľko príkladov. Fyzika, chémia, ekonómia a vyššia matematika podliehajú tomuto zákonu. Teória pravdepodobnosti zahŕňa taký dôležitý pojem, akým je spoľahlivá udalosť. Tu je niekoľko príkladov:

• Pracujeme a dostávame kompenzáciu vo forme mzdy.
• Dobre sme zložili skúšky, zvládli súťaž a za to dostávame odmenu vo forme prijatia do vzdelávacej inštitúcie.
• Peniaze sme investovali do banky a v prípade potreby ich vrátime.

Takéto udalosti sú spoľahlivé. Ak sme splnili všetky potrebné podmienky, určite sa dočkáme očakávaného výsledku.

Nemožné udalosti

Teraz uvažujeme o prvkoch teórie pravdepodobnosti. Navrhujeme prejsť k vysvetleniu ďalšieho typu udalosti, konkrétne nemožné. Najprv si stanovme najdôležitejšie pravidlo – pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.

Od tejto formulácie sa pri riešení problémov nemožno odchýliť. Pre objasnenie uvádzame príklady takýchto udalostí:

• Voda zamrzla pri teplote plus desať (to je nemožné).
• Nedostatok elektriny nijako neovplyvňuje výrobu (rovnako nemožné ako v predchádzajúcom príklade).

Nemá cenu uvádzať viac príkladov, pretože vyššie opísané veľmi jasne odrážajú podstatu tejto kategórie. Počas experimentu za žiadnych okolností nikdy nenastane nemožná udalosť.

Náhodné udalosti

Pri štúdiu prvkov by sa mala venovať osobitná pozornosť tomuto konkrétnemu typu udalosti. Toto študuje veda. V dôsledku zážitku sa niečo môže, ale aj nemusí stať. Okrem toho môže byť test vykonaný neobmedzený počet krát. Živé príklady zahŕňajú:

• Hod mincou je zážitok alebo skúška, pristávanie hláv je udalosť.
• Vytiahnuť loptičku naslepo z tašky je test, dostať červenú loptičku je udalosť atď.

Takýchto príkladov môže byť neobmedzený počet, ale vo všeobecnosti by mala byť podstata jasná. Na zhrnutie a systematizáciu vedomostí získaných o udalostiach je uvedená tabuľka. Teória pravdepodobnosti študuje len posledný typ zo všetkých prezentovaných.

názov	definícia
Spoľahlivý	Udalosti, ktoré sa vyskytnú so 100% zárukou pri splnení určitých podmienok.	Prijatie do vzdelávacej inštitúcie po úspešnom absolvovaní prijímacej skúšky.
nemožné	Udalosti, ktoré sa za žiadnych okolností nikdy nestanú.	Sneží pri teplote vzduchu plus tridsať stupňov Celzia.
Náhodný	Udalosť, ktorá môže, ale nemusí nastať počas experimentu/testu.	Zásah alebo neúspech pri hádzaní basketbalovej lopty do koša.

zákonov

Teória pravdepodobnosti je veda, ktorá skúma možnosť výskytu udalosti. Rovnako ako ostatné, má určité pravidlá. Existujú nasledujúce zákony teórie pravdepodobnosti:

• Konvergencia postupností náhodných premenných.
• Zákon veľkých čísel.

Pri výpočte možnosti niečoho zložitého môžete použiť súbor jednoduchých udalostí na dosiahnutie výsledku jednoduchším a rýchlejším spôsobom. Všimnite si, že zákony teórie pravdepodobnosti sa dajú ľahko dokázať pomocou určitých teorémov. Odporúčame vám, aby ste sa najskôr oboznámili s prvým zákonom.

Konvergencia postupností náhodných premenných

Všimnite si, že existuje niekoľko typov konvergencie:

• Postupnosť náhodných premenných konverguje v pravdepodobnosti.
• Takmer nemožné.
• Priemerná štvorcová konvergencia.
• Konvergencia distribúcie.

Takže hneď na začiatku je veľmi ťažké pochopiť podstatu. Tu sú definície, ktoré vám pomôžu pochopiť túto tému. Začnime prvým pohľadom. Sekvencia sa nazýva konvergentné v pravdepodobnosti, ak je splnená nasledujúca podmienka: n smeruje k nekonečnu, číslo, ku ktorému postupnosť smeruje, je väčšie ako nula a blízko jednej.

Prejdime k ďalšiemu pohľadu, takmer určite. Hovorí sa, že postupnosť konverguje takmer určite k náhodnej premennej, kde n smeruje k nekonečnu a P smeruje k hodnote blízkej jednotke.

Ďalší typ je priemerná štvorcová konvergencia. Pri použití SC konvergencie sa štúdium vektorových náhodných procesov redukuje na štúdium ich súradnicových náhodných procesov.

Ostáva posledný typ, pozrime sa naň v krátkosti, aby sme mohli prejsť priamo k riešeniu problémov. Konvergencia v distribúcii má iné meno - „slabá“ a neskôr vysvetlíme prečo. Slabá konvergencia je konvergencia distribučných funkcií vo všetkých bodoch kontinuity limitnej distribučnej funkcie.

Určite dodržíme svoj sľub: slabá konvergencia sa od všetkých vyššie uvedených líši tým, že náhodná premenná nie je definovaná v priestore pravdepodobnosti. Je to možné, pretože podmienka sa vytvára výlučne pomocou distribučných funkcií.

Zákon veľkých čísel

Teorémy teórie pravdepodobnosti, ako napríklad:

• Čebyševova nerovnosť.
• Čebyševova veta.
• Zovšeobecnená Čebyševova veta.
• Markovova veta.

Ak vezmeme do úvahy všetky tieto teorémy, potom sa táto otázka môže natiahnuť na niekoľko desiatok listov. Našou hlavnou úlohou je aplikovať teóriu pravdepodobnosti v praxi. Odporúčame vám to urobiť hneď teraz. Predtým sa však pozrime na axiómy teórie pravdepodobnosti; budú hlavnými pomocníkmi pri riešení problémov.

Axiómy

S prvým sme sa už stretli, keď sme hovorili o nemožnej udalosti. Pamätajme: pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová. Uviedli sme veľmi názorný a nezabudnuteľný príklad: sneh padal pri teplote vzduchu tridsať stupňov Celzia.

Druhá je nasledovná: spoľahlivá udalosť nastane s pravdepodobnosťou rovnajúcou sa jednej. Teraz si ukážeme, ako to napísať pomocou matematického jazyka: P(B)=1.

Po tretie: Náhodná udalosť sa môže, ale nemusí stať, ale možnosť sa vždy pohybuje od nuly do jednej. Čím je hodnota bližšia k jednej, tým väčšia je šanca; ak sa hodnota blíži nule, pravdepodobnosť je veľmi nízka. Napíšme to v matematickom jazyku: 0<Р(С)<1.

Zoberme si poslednú, štvrtú axiómu, ktorá znie takto: pravdepodobnosť súčtu dvoch udalostí sa rovná súčtu ich pravdepodobností. Napíšeme to v matematickom jazyku: P(A+B)=P(A)+P(B).

Axiómy teórie pravdepodobnosti sú najjednoduchšie pravidlá, ktoré nie je ťažké si zapamätať. Pokúsme sa vyriešiť niektoré problémy na základe už získaných vedomostí.

Lístok do lotérie

Najprv sa pozrime na najjednoduchší príklad – lotériu. Predstavte si, že ste si kúpili jeden žreb pre šťastie. Aká je pravdepodobnosť, že vyhráte aspoň dvadsať rubľov? Celkovo sa v obehu zúčastňuje tisíc lístkov, z ktorých jeden má cenu päťsto rubľov, desať z nich má po sto rubľov, päťdesiat má cenu dvadsať rubľov a sto má cenu päť. Problémy pravdepodobnosti sú založené na hľadaní možnosti šťastia. Teraz spoločne analyzujeme riešenie vyššie uvedenej úlohy.

Ak použijeme písmeno A na označenie výhry päťsto rubľov, pravdepodobnosť získania A sa bude rovnať 0,001. Ako sme sa k tomu dostali? Stačí vydeliť počet „šťastných“ tiketov ich celkovým počtom (v tomto prípade: 1/1000).

B je výhra sto rubľov, pravdepodobnosť bude 0,01. Teraz sme konali na rovnakom princípe ako v predchádzajúcej akcii (10/1000)

C - výhry sú dvadsať rubľov. Nájdeme pravdepodobnosť, rovná sa 0,05.

O zvyšné vstupenky nemáme záujem, pretože ich výherný fond je nižší ako je uvedený v podmienke. Aplikujme štvrtú axiómu: Pravdepodobnosť výhry aspoň dvadsiatich rubľov je P(A)+P(B)+P(C). Písmeno P označuje pravdepodobnosť výskytu danej udalosti, našli sme ich už v predchádzajúcich akciách. Zostáva len sčítať potrebné údaje a dostaneme odpoveď 0,061. Toto číslo bude odpoveďou na otázku úlohy.

Balíček kariet

Problémy v teórii pravdepodobnosti môžu byť zložitejšie; zoberme si napríklad nasledujúcu úlohu. Pred vami je balíček tridsiatich šiestich kariet. Vašou úlohou je ťahať dve karty za sebou bez zamiešania kôpky, prvá a druhá karta musia byť esá, na farbe nezáleží.

Najprv nájdime pravdepodobnosť, že prvou kartou bude eso, preto vydelíme štyri tridsiatimi šiestimi. Odložili to bokom. Vyťahujeme druhú kartu, bude to eso s pravdepodobnosťou tri tridsiate pätiny. Pravdepodobnosť druhej udalosti závisí od toho, ktorú kartu sme si vytiahli ako prvú, zaujíma nás, či to bolo eso alebo nie. Z toho vyplýva, že udalosť B závisí od udalosti A.

Ďalším krokom je zistenie pravdepodobnosti súčasného výskytu, to znamená, že vynásobíme A a B. Ich súčin nájdeme nasledovne: pravdepodobnosť jednej udalosti vynásobíme podmienenou pravdepodobnosťou druhej, ktorú vypočítame za predpokladu, že prvá došlo k udalosti, to znamená, že sme vytiahli eso s prvou kartou.

Aby bolo všetko jasné, dajme označenie takému prvku ako udalosti. Vypočítava sa za predpokladu, že udalosť A nastala. Vypočíta sa takto: P(B/A).

Pokračujme v riešení nášho problému: P(A * B) = P(A) * P(B/A) alebo P(A * B) = P(B) * P(A/B). Pravdepodobnosť sa rovná (4/36) * ((3/35)/(4/36). Počítame zaokrúhlením na najbližšiu stotinu. Máme: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Pravdepodobnosť, že vytiahneme dve esá za sebou, je deväť stotín.Hodnota je veľmi malá, z toho vyplýva, že pravdepodobnosť výskytu udalosti je extrémne malá.

Zabudnuté číslo

Navrhujeme analyzovať niekoľko ďalších variantov úloh, ktoré študuje teória pravdepodobnosti. Príklady riešenia niektorých ste už videli v tomto článku Skúsme vyriešiť nasledovný problém: chlapec zabudol poslednú číslicu telefónneho čísla svojho kamaráta, ale keďže bol hovor veľmi dôležitý, začal všetko vytáčať jeden po druhom . Musíme vypočítať pravdepodobnosť, že nezavolá viac ako trikrát. Riešenie problému je najjednoduchšie, ak sú známe pravidlá, zákony a axiómy teórie pravdepodobnosti.

Skôr ako sa pozriete na riešenie, skúste ho vyriešiť sami. Vieme, že posledná číslica môže byť od nuly do deviatich, teda celkovo desať hodnôt. Pravdepodobnosť získania toho pravého je 1/10.

Ďalej musíme zvážiť možnosti pôvodu udalosti, predpokladajme, že chlapec uhádol správne a okamžite napísal správnu, pravdepodobnosť takejto udalosti je 1/10. Druhá možnosť: prvý hovor zmeškaný a druhý je na cieli. Vypočítajme pravdepodobnosť takejto udalosti: vynásobte 9/10 1/9 a výsledkom je tiež 1/10. Tretia možnosť: prvý a druhý hovor sa ukázal ako na nesprávnej adrese, až pri treťom sa chlapec dostal tam, kam chcel. Vypočítame pravdepodobnosť takejto udalosti: 9/10 vynásobené 8/9 a 1/8, výsledkom čoho je 1/10. Iné možnosti nás podľa podmienok úlohy nezaujímajú, takže musíme len sčítať získané výsledky, nakoniec máme 3/10. Odpoveď: pravdepodobnosť, že chlapec nezavolá viac ako trikrát, je 0,3.

Kartičky s číslami

Pred vami je deväť kariet, na každej je napísané číslo od jedna do deväť, čísla sa neopakujú. Boli vložené do krabice a dôkladne premiešané. Musíte vypočítať pravdepodobnosť, že

• objaví sa párne číslo;
• dvojciferný.

Predtým, ako prejdeme k riešeniu, stanovme, že m je počet úspešných prípadov a n je celkový počet možností. Nájdite pravdepodobnosť, že číslo bude párne. Nebude ťažké vypočítať, že existujú štyri párne čísla, toto bude naše m, celkovo je deväť možných možností, teda m=9. Potom je pravdepodobnosť 0,44 alebo 4/9.

Uvažujme o druhom prípade: počet možností je deväť a nemôžu existovať žiadne úspešné výsledky, to znamená, že m sa rovná nule. Pravdepodobnosť, že vytiahnutá karta bude obsahovať dvojciferné číslo, je tiež nulová.