Determinant sa počíta len pre štvorcové matice a je súčtom členov n-tého rádu. Podrobný algoritmus jej výpočtu bude popísaný v pripravenom riešení, ktoré dostanete ihneď po zadaní podmienky do tejto online kalkulačky. Toto je prístupná a jednoduchá príležitosť získať podrobnú teóriu, pretože riešenie bude prezentované s podrobným vysvetlením každého kroku.

Návod na používanie tejto kalkulačky je jednoduchý. Ak chcete nájsť determinant matice online, musíte sa najprv rozhodnúť o veľkosti matice a vybrať počet stĺpcov a podľa toho aj riadkov v nej. Ak to chcete urobiť, kliknite na ikonu „+“ alebo „-“. Zostáva len zadať požadované čísla a kliknúť na „Vypočítať“. Môžete zadať celé aj zlomkové čísla. Kalkulačka vykoná všetku požadovanú prácu a poskytne vám hotový výsledok.

Aby ste sa stali odborníkom na matematiku, musíte veľa a vytrvalo cvičiť. A nikdy nezaškodí znova sa skontrolovať. Preto, keď dostanete za úlohu vypočítať determinant matice, je vhodné použiť online kalkulačku. Veľmi rýchlo si poradí a v priebehu niekoľkých sekúnd sa na monitore objaví hotové riešenie. To neznamená, že online kalkulačka by vám mala nahradiť tradičné výpočty. Je to však výborná pomôcka, ak máte záujem pochopiť algoritmus na výpočet determinantu matice. Okrem toho je to vynikajúca príležitosť skontrolovať, či bol test vykonaný správne a poistiť sa proti neúspešnému hodnoteniu.

Ďalšie vlastnosti súvisia s pojmami vedľajšieho a algebraického doplnku

Menší prvok sa nazýva determinant, zložený z prvkov zostávajúcich po prečiarknutí riadku a stĺpca, na priesečníku ktorých sa tento prvok nachádza. Vedľajší prvok determinantu poradia má poradie . Budeme ho označovať .

Príklad 1 Nechaj , Potom .

Táto vedľajšia hodnota sa získa z A prečiarknutím druhého riadku a tretieho stĺpca.

Algebraický doplnok prvok sa nazýva zodpovedajúci minor vynásobený , t.j. , kde je číslo riadku a stĺpca, na priesečníku ktorých sa tento prvok nachádza.

VIII.(Rozklad determinantu na prvky určitého reťazca). Determinant sa rovná súčtu súčinov prvkov určitého riadku a ich zodpovedajúcich algebraických doplnkov.

Príklad 2 Nechaj , Potom

Príklad 3 Poďme nájsť determinant matice , rozkladajúc ho na prvky prvého radu.

Formálne je táto veta a ďalšie vlastnosti determinantov použiteľné len pre determinanty matíc nie vyššieho ako tretieho rádu, keďže sme neuvažovali o iných determinantoch. Nasledujúca definícia nám umožní rozšíriť tieto vlastnosti na determinanty ľubovoľného rádu.

Determinant matice objednať je číslo vypočítané postupnou aplikáciou expanznej vety a iných vlastností determinantov.

Môžete skontrolovať, či výsledok výpočtov nezávisí od poradia, v ktorom sa vyššie uvedené vlastnosti aplikujú a pre ktoré riadky a stĺpce. Pomocou tejto definície sa determinant jednoznačne nájde.

Hoci táto definícia neobsahuje explicitný vzorec na nájdenie determinantu, umožňuje ho nájsť jeho redukciou na determinanty matíc nižšieho rádu. Takéto definície sú tzv opakujúci.

Príklad 4. Vypočítajte determinant:

Hoci faktorizačnú vetu možno použiť na ľubovoľný riadok alebo stĺpec danej matice, pri faktorizácii podľa stĺpca, ktorý obsahuje čo najviac núl, sa získa menej výpočtov.

Keďže matica nemá nulové prvky, získame ich pomocou vlastnosti VII. Vynásobte prvý riadok postupne číslami a pridajte ho do riadkov a získajte:

Rozšírme výsledný determinant pozdĺž prvého stĺpca a získame:

keďže determinant obsahuje dva proporcionálne stĺpce.

Niektoré typy matíc a ich determinanty

Zavolá sa štvorcová matica, ktorá má nula prvkov pod alebo nad hlavnou uhlopriečkou (). trojuholníkový.

Ich schematická štruktúra teda vyzerá takto: alebo

.

Ak chcete vypočítať determinant matice štvrtého alebo vyššieho rádu, môžete determinant rozšíriť pozdĺž riadku alebo stĺpca alebo použiť Gaussovu metódu a determinant zredukovať na trojuholníkový tvar. Uvažujme o rozklade determinantu v riadku alebo stĺpci.

Determinant matice sa rovná súčtu prvkov riadku determinantu vynásobeného ich algebraickými doplnkami:

Rozšírenie o i- ten riadok.

Determinant matice sa rovná súčtu prvkov stĺpca determinantu vynásobeného ich algebraickými doplnkami:

Rozšírenie o j- ten riadok.

Na uľahčenie rozkladu determinantu matice sa zvyčajne vyberie riadok/stĺpec, ktorý má maximálny počet nulových prvkov.

Príklad

Nájdite determinant matice štvrtého rádu.

Tento determinant budeme rozširovať stĺpec po stĺpci №3

Namiesto prvku urobme nulu a 4 3 = 9. Ak to chcete urobiť z riadku №4 odpočítať od zodpovedajúcich prvkov riadku №1 vynásobeny 3 .
Výsledok sa zapíše do riadku №4 Všetky ostatné riadky sú prepísané bez zmien.

Takže sme zo všetkých prvkov urobili nuly, okrem a 1 3 = 3 v stĺpci № 3 . Teraz môžeme pristúpiť k ďalšiemu rozšíreniu determinantu za týmto stĺpcom.

Vidíme, že iba termín №1 sa nezmení na nulu, všetky ostatné členy budú nuly, pretože sú vynásobené nulou.
To znamená, že ďalej musíme rozšíriť iba jeden determinant:

Tento determinant budeme rozširovať riadok po riadku №1 . Urobme niekoľko transformácií na uľahčenie ďalších výpočtov.

Vidíme, že v tomto riadku sú dve rovnaké čísla, tak odčítame zo stĺpca №3 stĺpec №2 a výsledok zapíšte do stĺpca №3 , tým sa hodnota determinantu nezmení.

Ďalej musíme namiesto prvku urobiť nulu a 12 = 4. Na to máme stĺpcové prvky №2 vynásobiť 3 a odčítajte od neho zodpovedajúce prvky stĺpca №1 vynásobeny 4 . Výsledok sa zapíše do stĺpca №2 Všetky ostatné stĺpce sú prepísané bez zmien.

Netreba ale zabúdať, že ak stĺpec vynásobíme №2 na 3 , potom sa celý determinant zvýši o 3 . A aby sa nezmenil, znamená to, že sa musí rozdeliť na 3 .

Cvičenie. Vypočítajte determinant tak, že ho rozložíte na prvky nejakého riadku alebo stĺpca.

Riešenie. Urobme najprv elementárne transformácie na riadkoch determinantu tak, aby bolo v riadku alebo v stĺpci čo najviac núl. Ak to chcete urobiť, najprv odčítajte deväť tretín od prvého riadku, päť tretín od druhého a tri tretiny od štvrtého, dostaneme:

Rozložme výsledný determinant na prvky prvého stĺpca:

Výsledný determinant tretieho rádu tiež rozšírime na prvky riadka a stĺpca, pričom predtým sme získali nuly, napríklad v prvom stĺpci. Ak to chcete urobiť, odčítajte druhé dva riadky od prvého riadku a druhý riadok od tretieho:

Odpoveď.

12. Slough 3. rád

1. Pravidlo trojuholníka

Schematicky možno toto pravidlo znázorniť takto:

Súčin prvkov v prvom determinante, ktoré sú spojené priamkami, sa berie so znamienkom plus; podobne aj pre druhý determinant sa zodpovedajúce súčiny berú so znamienkom mínus, t.j.

2. Sarrusovo pravidlo

Napravo od determinantu pridajte prvé dva stĺpce a vezmite súčin prvkov na hlavnej uhlopriečke a na uhlopriečkach rovnobežných s ňou so znamienkom plus; a súčin prvkov sekundárnej diagonály a uhlopriečok s ňou rovnobežných so znamienkom mínus:

3. Rozšírenie determinantu v riadku alebo stĺpci

Determinant sa rovná súčtu súčinov prvkov radu determinantu a ich algebraických doplnkov. Zvyčajne sa vyberie riadok/stĺpec, ktorý obsahuje nuly. Riadok alebo stĺpec, pozdĺž ktorého sa rozklad uskutočňuje, bude označený šípkou.

Cvičenie. Rozšírením pozdĺž prvého riadku vypočítajte determinant

Riešenie.

Odpoveď.

4. Redukcia determinantu na trojuholníkový tvar

Pomocou elementárnych transformácií cez riadky alebo stĺpce sa determinant zredukuje na trojuholníkový tvar a potom sa jeho hodnota podľa vlastností determinantu rovná súčinu prvkov na hlavnej diagonále.

Príklad

Cvičenie. Vypočítajte determinant dostať ho do trojuholníkového tvaru.

Riešenie. Najprv urobíme nuly v prvom stĺpci pod hlavnou uhlopriečkou. Všetky transformácie sa budú ľahšie vykonávať, ak sa prvok rovná 1. K tomu prehodíme prvý a druhý stĺpec determinantu, čo podľa vlastností determinantu spôsobí, že zmení znamienko na opak: