História číslovania. Viacmiestne odčítanie

V základnom kurze matematiky číslovanie pochopíme súhrn metód na označovanie a pomenovanie prirodzených čísel.

Prirodzené čísla sa študujú pomocou koncentrácií. Koncentrácia je oblasť uvažovaných čísel, spojená spoločnými znakmi. V počiatočnom kurze sa rozlišujú tieto koncentrácie: desať, sto (2 stupne - od 11 do 20; od 21 do 100); tisíc, viac číslic.

Konečným cieľom štúdia číslovania je asimilácia niekoľkých všeobecných princípov, ktoré sú základom systému desatinných čísel, ústneho a písomného číslovania, čo vedie študentov k systematickým zovšeobecňovaniu, schopnosti zvýrazniť a zdôrazniť všeobecné, ktoré sa nachádza v novej oblasti čísla a zvažovanie nového na základe a v porovnaní s predtým naučenými.

Hlavné vzdelávacie úlohy štúdia číslovania možno nazvať:

1. Vytvorte znalostný systém:

Na prirodzenom čísle a čísle "0";

O prirodzenej sukcesii;

O ústnom a písomnom číslovaní.

2. Oboznámiť sa s výpočtovou technikou založenou na znalosti číslovania.

Pri štúdiu tejto témy by študenti mali rozvíjať tieto zručnosti:

Číslo uveďte písomne;

Porovnajte ľubovoľné čísla rôznymi spôsobmi;

Nahraďte číslo súčtom bitových členov;

Opíšte ľubovoľné číslo.

Zvážte spôsob oboznámenia sa so základnými matematickými pojmami študovanými v tejto téme.

Pojem prirodzeného čísla je daný na empirickej úrovni.

Číslo je uvedené v poradí, v ktorom sa vytvára vzájomná zhoda medzi predmetmi daného súboru a slovami - číslicami.

Na základnej škole:

Číslo je kvantitatívna charakteristika triedy ekvivalentných množín.

Číslo je prvok usporiadanej množiny, člen prirodzenej postupnosti.

Pri štúdiu akcií číslo pôsobí ako objekt, na ktorom sa vykonáva aritmetická operácia.

Študenti si musia osvojiť nasledujúce vedomosti a zručnosti:

Vyberte číslo z iných konceptov;

Správne pomenujte číslo;

Vedieť tvoriť číslo (ako výsledok počítania; ako výsledok merania; ako výsledok vykonávania aritmetických operácií);

Vedieť označovať čísla pomocou čísel; číslica je znak pre číslo;

Poznať rôzne funkcie čísla (funkcia množstva, funkcia poradia, funkcia merania).

Číslo a číslo "0".

Nula sa považuje za kvantitatívnu charakteristiku triedy prázdnych množín (2-2, 4-4), t.j. sada neobsahuje žiadne prvky.

Nula sa považuje za číslo označujúce začiatok merania (merania) na pravítku.

Nula sa považuje za komponent akcií I a II krokov (5+0, 05).

4. Číslo nula sa používa, ak neexistujú jednotky žiadnej číslice (ale nie je tam žiadna číslica).

Napríklad v čísle 300 nie sú jednotky I. a II. kategórie, t.j. jednotiek a desiatok, počet jednotiek a desiatok označujeme nulami.

Prirodzená postupnosť čísel.

Podľa tradičného programu sa prirodzená postupnosť zadáva ako rad čísel, podľa ktorých sa drží skóre.

Vlastnosti segmentu prirodzeného radu:

Prirodzený rad čísel začína jednotkou.

Každé číslo má svoje miesto. Každé ďalšie číslo je o jedno viac ako predchádzajúce; každý predchádzajúci je menší ako nasledujúci.

Všetky čísla pred zvoleným číslom sú menšie ako toto číslo; stojaci po - viac ako študované číslo.

Nekonečno prirodzeného radu čísel.

V prirodzenom rade čísel by žiaci mali vedieť identifikovať konečné postupnosti: jednociferné, dvojciferné, n-ciferné čísla.

9, 99, 999, 9999… - najväčšie jednociferné, dvojciferné, trojmiestne, štvormiestne, n-miestne čísla.

prečo? Ak ku každému z nich pripočítame 1, dostaneme najmenšie číslo nasledujúcej postupnosti.

10, 100, 1000, 10000 ... - najmenšie dvojciferné, trojciferné, n-miestne číslo, pretože pri odčítaní od každej jednotky dostaneme najviac viac predchádzajúca sekvencia.

Rozlišujte medzi ústnym a písomným číslovaním.

Ústne číslovanie je súbor pravidiel, ktoré umožňujú pomocou niekoľkých slov pomenovať veľa čísel. V priebehu štúdia ústneho číslovania je potrebné odhaliť pravidlá počítania, čítania a tvorby čísel; poznať čísla od 0 do 9, slová-číslice - štyridsať, deväťdesiat, sto, tisíc, milión, miliarda. Pravidlá účtu:

Pri počítaní sa konečné číslo vzťahuje na celú sadu.

Pravidlá tvorby mien a čítania čísel.

1. Názvy čísel od 10 do 20 sa tvoria pomocou názvov prijatých pre prvých desať čísel, má to však svoju zvláštnosť - pri čítaní sa najskôr volá spodná číslica, potom zvyšok (jedna na dvadsať; dve -na dvadsať).

2. Zvyšné názvy čísel sú tvorené podľa princípu bitov; čítanie čísel začína jednotkami najvyššej číslice.

3. Pri tvorení a čítaní viacciferných čísel sa dodržiava zásada čítania podľa tried.

Písomné číslovanie je súbor pravidiel, ktoré umožňujú určiť ľubovoľné číslo pomocou niekoľkých znakov.

V priebehu štúdia písaného číslovania sa zavádza pojem „čísla“.

Číslica je symbol pre číslo. Prebieha cieľavedomá systematická práca na rozlišovaní pojmov „číslo“ a „číslo“.

Zadávajú sa znaky (čísla) na označenie prvých deviatich čísel. Všetky ostatné čísla sa zapisujú rovnakými desiatimi číslicami (od 0 do 9), ale s použitím dvoch alebo viacerých číslic, ktorých hodnota závisí od miesta, ktoré číslica zaberá v zadaní čísla (t. j. miestna hodnota číslice resp. polohový princíp písania číslic ).

Ústne a písomné číslovanie čísel vychádza zo znalosti desiatkovej číselnej sústavy. V matematike je číselný systém súborom znakov, pravidiel operácií a poradia, v ktorom sú tieto znaky zapísané pri vytváraní čísla. Existujú dva typy číselných systémov:

Nepozičný systém, ktorý sa vyznačuje tým, že každému znaku, bez ohľadu na formu zápisu čísla, je priradená jedna presne definovaná hodnota (napríklad rímske číslovanie).

Pozičný systém (napríklad systém desiatkových čísel), ktorý sa vyznačuje týmito vlastnosťami:

Každá číslica nadobúda rôzny význam v závislosti od jej polohy v zápise čísla (princíp pozičného zápisu).

Každá číslica sa v závislosti od jej polohy nazýva bitová jednotka; bitové jednotky sú nasledovné: jednotky, desiatky, stovky atď.

10 jednotiek jednej číslice tvorí jednu jednotku ďalšej číslice, t.j. pomer bitových jednotiek je desať (10 jednotiek = 1 dec; 10 dec = 1 sto atď.).

Začínajúc sprava doľava a za sebou, každé 3 bitové jednotky tvoria bitové triedy (jednotky, tisíce, milióny atď.).

Pridaním ďalšej jednotky danej kategórie k deviatim jednotkám získate jednotku ďalšej, vyššej (vyššej) kategórie.

Je potrebné zdôrazniť základné pojmy systému desiatkových čísel:

Účtovná jednotka je to, čo berieme ako základ účtu. Každá ďalšia počítacia jednotka je 10-krát väčšia ako predchádzajúca.

Číslica je miesto číslice v položke čísla.

3. Jednotky kategórie I, II, III atď. - jednotky stojace na prvom (jednotky), druhom (desiatky), treťom (stovky) mieste v číselnom zázname, počítajú sa sprava doľava.

4. Číselné číslo - číslo pozostávajúce z jednotiek jednej číslice.

5. Neciferné číslo – číslo pozostávajúce z jednotiek rôznych číslic.

6. Trieda - spojenie jednotiek troch kategórií podľa určitých kritérií. Každá jednotka ďalšej triedy je viac ako tisíckrát vyššia ako predchádzajúca. (Prvá jednotka triedy jednotiek je teda 1000-krát menšia ako prvá jednotka triedy tisícok atď.)

Poradie štúdia číslovania sa môže prejaviť v tabuľke:

Technika na štúdium enumerácie nezáporných celých čísel naznačuje možnosť rôznych prístupov.

V metodológii základného vzdelávania je tradičné študovať číslovanie podľa koncentrácií. Tento prístup sa odráža v učebniciach matematiky, ktoré vypracovali Bantova M.A., Beltyukova G.V. atď.

Postupné rozširovanie číselnej oblasti vytvára dobré podmienky na formovanie vedomostí, zručností v číslovaní: postupne sa obohacujú poznatky o číslach a ich označovaní; praktické úkony s číslami sa stávajú komplikovanejšími (tvorba, pomenovanie, zaznamenávanie, porovnávanie, transformácia atď.).

Štúdium číslovania má tri hlavné fázy: prípravné, oboznámenie sa s novým materiálom, upevnenie vedomostí a zručností.

V prípravnej fáze je potrebné u študentov formovať psychologický postoj k štúdiu číslovania, aktivovať ich predchádzajúce skúsenosti a existujúce vedomosti, vzbudiť záujem o nové čísla. Na tento účel sa navrhuje vopred zahrnúť cvičenia na zopakovanie hlavných otázok číslovania čísel predchádzajúcej koncentrácie: pomer študovaných jednotiek počítania, desatinné zloženie čísel, prirodzenú postupnosť, pravidlá zápisu a spôsoby porovnávať čísla; techniky sčítania a odčítania založené na znalosti číslovania. Boli vyvinuté aj cvičenia na počítanie predmetov alebo na pomenovávanie čísel prirodzenej postupnosti s prístupom k novej koncentrácii, čo pomáha študentom pochopiť, že existujú čísla mimo skúmanej koncentrácie a že sú trochu podobné číslam, ktoré už deti poznajú.

Cvičenia pri oboznamovaní sa s číslovaním pomáhajú žiakom vyzdvihnúť podstatné črty tvorených pojmov, osvojiť si metódy študovaných úkonov.

Uskutočnil sa výber otázok a určilo sa poradie štúdia v každom centre:

najprv sa uvažuje o vytvorení počítacej jednotky, počet objektov sa udržiava pomocou tejto počítacej jednotky;

na základe účtu sa zavádzajú nové čísla bitov, odhaľuje sa ich tvorba a názvy;

na základe účtu pomocou všetkých známych počítacích jednotiek sa zobrazuje tvorba a ústne označovanie neciferných čísel; ich zloženie z bitu;

cvičenia sú zahrnuté v počítaní predmetov pomocou nových čísel; prirodzená postupnosť čísel je asimilovaná;

na základe znalosti desatinného zloženia a miestneho významu čísel sa odhalí písané číslovanie čísel;

vo všetkých sústredeniach sa spolu s účtom zvažuje meranie takých veličín ako dĺžka, hmotnosť, náklady; jednotky merania týchto množstiev a ich pomer sa študujú v porovnaní so zodpovedajúcimi počítacími jednotkami a pomáhajú ich asimilovať (napríklad 1 dm \u003d 10 cm; 1 r. \u003d 100 k.; 1 kg \u003d 1000 g , atď.);

Metódy porovnávania čísel sú zavedené na základe:

princíp tvorby prirodzenej postupnosti;

vytvorenie vzájomnej korešpondencie medzi prvkami súborov;

znalosť bitového zloženia čísel;

znalosť zloženia triedy;

v každom centre sú zavedené výpočtové techniky založené na znalosti číslovania:

a) princíp tvorby prirodzeného sledu, prípady tvaru a + 1, kde a je ľubovoľné prirodzené číslo;

b) bitové zloženie čísel (cvičenia na sčítanie bitových čísel a spätné cvičenia na nahradenie nebitových čísel súčtom bitových čísel, ako aj na odčítanie jednotlivých bitových čísel od nebitových čísel), napríklad:

400+70+3=473; 506=500+6; 842-40=802;

842-800=42; 842-2=840.

Pri oboznamovaní sa s číslovaním je potrebné vychádzať z predmetových akcií žiakov. Na to sa navrhuje použiť rôzne učebné pomôcky: počítací materiál, na ktorom je možné ľahko znázorniť desatinné zoskupenie predmetov pri počítaní (paličky, trsy paličiek, štvorce, pruhy štvorcov, trojuholníky s 10 kruhmi); názorné pomôcky, ktoré vytvárajú predstavy o prirodzenej postupnosti čísel (pravítka, metre, stuhy so zvýraznenými centimetrami, decimetrami, metrami); názorné pomôcky, ktoré pomáhajú pochopiť pozičný princíp písania čísel (číslovacie tabuľky kategórií a tried, počítadlo).

Po úvode sa vykonáva cieľavedomá práca na upevňovaní vedomostí a rozvíjaní zručností. Tréningové cvičenia sú kombinované s kreatívnymi cvičeniami.

Úlohou je analyzovať typické chyby, porovnávať, klasifikovať, zovšeobecňovať, charakterizovať ľubovoľné číslo. Schéma (plán) parsovania čísel počnúc jednohodnotovými až po viachodnotové sa bude postupne rozširovať, prehlbovať a obohacovať o nový teoretický materiál. V počiatočnom štádiu môže byť zostavený na základe zovšeobecnenia formulovaných odpovedí študentov a môže obsahovať nasledujúce otázky:

Čítanie čísla.

Miesto čísla v počítaní.

Desatinné zloženie.

Napíšte číslo pomocou čísel.

Pri štúdiu číslovania viacciferných čísel bude schéma analýzy obsahovať viac úloh.

Táto práca umožní zovšeobecniť a systematizovať poznatky študentov o číslovaní nezáporných celých čísel.

Iný prístup k štúdiu číslovania je možný, čo sa odráža v programe a učebniciach vyvinutých Istominou N.B.

V súvislosti s tematickou výstavbou kurzu nerozlišuje sústredenia, ale témy: „Jednomiestne čísla“, „Dvojmiestne čísla“, „Trojciferné čísla“, „Štvorciferné čísla“, „Päťmiestne čísla“. ciferné a šesťciferné čísla“, v procese štúdia, ktoré deti formujú vedomé zručnosti čítania a písania.

Zvýrazňovanie tém, ktorých názvy sú orientované na počet znakov v čísle, pomáha deťom pochopiť rozdiely medzi číslom a číslom.

Na prvom stupni v téme „Jednociferné čísla“ si žiaci vytvárajú predstavy o kvantitatívnych a radových číslach, zručnostiach počítania; oboznamujú sa so zápisom čísel a s úsečkou prirodzeného radu jednociferných čísel. Potom sa učia význam sčítania a odčítania a skladanie jednociferných čísel. Práca na asimilácii číslovania začína uvedomením si, že dvojciferné číslo sa skladá z desiatok a jednotiek.

Následná práca, zameraná na osvojenie si sústavy desiatkových čísel a na rozvoj schopnosti čítať a zapisovať dvojciferné čísla, je spojená so stanovením súladu medzi objektovým modelom čísla a jeho symbolickým zápisom. Vizuálna pomôcka vo forme trojuholníka s 10 kruhmi sa používa ako model desiatich objektov.

Ponúkané pracovné miesta:

Identifikovať znaky podobnosti a rozdielu medzi dvojcifernými a trojcifernými číslami;

písať čísla v určitých číslach;

Porovnať čísla;

Identifikovať pravidlá (vzory) na zostavenie série čísel.

Tieto typy úloh sa využívajú aj pri štúdiu iných tém.

Cvičenie: Porovnajte cvičenia v procese realizácie, v ktorých sa žiaci učia ústne a písomné číslovanie čísel v rôznych učebniciach matematiky pre 1. ročník. Aké sú vlastnosti týchto cvičení v jednotlivých učebniciach?

Účelom každého číslovania je zobraziť akékoľvek prirodzené číslo pomocou malého počtu jednotlivých znakov. To by sa dalo dosiahnuť jediným znakom - 1 (jedna). Každé prirodzené číslo by sa potom zapísalo opakovaním symbolu jednotky toľkokrát, koľko jednotiek je v tomto čísle. Sčítanie by sa zredukovalo na jednoduché priradenie jednotiek a odčítanie na ich vymazanie (vymazanie). Myšlienka takéhoto systému je jednoduchá, ale tento systém je veľmi nepohodlný. Prakticky nie je vhodný na písanie veľkých čísel a používajú ho iba ľudí, ktorí majú účet, nepresahuje jednu alebo dve desiatky.

S rozvojom ľudskej spoločnosti sa vedomosti ľudí zvyšujú a potreba počítať a zaznamenávať výsledky počítania dosť veľkých množín, meraní veľkých veličín je čoraz väčšia.

Primitívni ľudia nemali písaný jazyk, neexistovali písmená ani čísla, každá vec, každá akcia bola znázornená obrázkom. Boli to skutočné kresby znázorňujúce tú či onú veličinu Postupne sa zjednodušovali, čím ďalej tým viac vyhovovali písaniu.Hovoríme o písaní čísel v hieroglyfoch.čísla. Pre ďalšie vylepšenie účtu však bolo potrebné prejsť na pohodlnejší zápis, ktorý by umožňoval označovať čísla špeciálnymi, pohodlnejšími znakmi (číslami).Pôvod čísel pre každý národ je iný.

Prvé postavy sa nachádzajú viac ako 2 tisíc rokov pred naším letopočtom v Babylone.Babylončania písali palicami na mäkké hlinené dosky a potom svoje záznamy sušili.Písmo starých Babylončanov bolo tzv. klinové písmo. Kliny boli v závislosti od ich hodnoty umiestnené vodorovne aj zvisle, zvislé kliny označovali jednotky a vodorovné, takzvané desiatky, jednotky druhej číslice.

Niektoré kultúry používali na písanie číslic písmená. Namiesto číslic písali začiatočné písmená číselných slov.Takéto číslovanie bolo napríklad u starých Grékov Menom vedkyne, ktorá to navrhla, sa zapísala do dejín kultúry pod názvom gerodian Takže v tomto číslovaní sa číslo "päť" nazývalo "pinta" a označovalo sa písmenom "P" a číslo desať sa nazývalo "deka" a označovalo sa písmenom "D". V súčasnosti toto číslovanie nikto nepoužíva.Na rozdiel od neho Romančíslovanie sa zachovalo a prešlo až do dnešných dní. Hoci rímske číslice už nie sú také bežné: na ciferníkoch hodiniek, na označenie kapitol v knihách, storočiach, na starých budovách atď. V rímskom číslovaní je sedem kľúčových znakov: I, V, X, L, C, D, M.

Môžete hádať, ako sa tieto znaky objavili. Znak (1) - jednotka - je hieroglyf, ktorý zobrazuje I prst (kama), znak V je obraz ruky (zápästie s vytiahnutým palcom) a pre číslo 10 - obraz dvoch pätiek (X) spolu. zapíšte si čísla II, III, IV, použite rovnaké znaky a zobrazte s nimi akcie. Takže čísla II a III opakujú jednotku zodpovedajúci počet krát. Pri zápise čísla IV sa I umiestni pred päťku. V tomto zápise sa jednotka umiestnená pred päťkou odpočíta od V a jednotky umiestnené za V sú

sa k nemu pridávajú. A rovnakým spôsobom sa od desiatky odčíta jednotka napísaná pred desiatkou (X) a pripočíta sa k nej tá vpravo. Číslo 40 je označené XL. V tomto prípade sa od 50 odpočíta 10. Na zapísanie čísla 90 sa od 100 odčíta 10 a napíše sa XC.

Rímske číslovanie je veľmi vhodné na písanie čísel, ale takmer nevhodné na výpočty. S rímskymi číslicami je takmer nemožné robiť nejaké úkony pri písaní (výpočty pomocou „stĺpcov“ a iné metódy výpočtu). Toto je veľmi veľká nevýhoda rímskeho číslovania.

U niektorých národov boli čísla zaznamenané pomocou písmen abecedy, ktoré sa používali v gramatike.Tento záznam sa uskutočnil medzi Slovanmi, Židmi, Arabmi a Gruzíncami.

abecedne systém číslovania bol prvýkrát použitý v Grécku. Najstarší záznam vyhotovený podľa tohto systému sa pripisuje polovici 5. storočia. BC. Vo všetkých abecedných systémoch boli čísla od 1 do 9 označené jednotlivými znakmi pomocou zodpovedajúcich písmen abecedy. V gréckom a slovanskom číslovaní bola nad písmenami, ktoré označovali čísla, umiestnená pomlčka „titlo“ (~), aby sa odlíšili čísla od bežných. slová. Napríklad, a, b,<Г иТ -Д-Все числа от 1 до999 записывали на основе принципа прибавления из 27 индивидуальных знаков для цифр. Пробызаписать в этой системе числа больше тысячи привели к обозначениям,которые можно рассматривать как зародышипозиционной системы. Так,для обозначения единиц тысячиспользовались те же буквы,что и для единиц,но с черточкой слева внизу,например, @ , q; atď.

Stopy abecedného systému sa zachovali až do našej doby, preto často písmenami číslujeme odseky správ, uznesení a pod. Abecedný spôsob číslovania sme však zachovali len na označenie radových čísel. Kardinálne čísla nikdy neoznačujeme písmenami a tým menej nepracujeme s číslami zapísanými v abecednom systéme.

Aj staré ruské číslovanie bolo abecedné.Slovanské abecedné označenie čísel vzniklo v 10. storočí.

Teraz existuje indický systémčíselné záznamy. Do Európy ho priniesli Arabi, preto dostal aj meno arabčinačíslovanie.Arabské číslovanie sa rozšírilo po celom svete a nahradilo všetky ostatné číselné položky.V tomto číslovaní sa na písanie čísel používa 10 ikon, ktoré sa nazývajú čísla. Deväť z nich predstavuje čísla od 1 do 9.

2 Objednávka1391

Desiata ikona - nula (0) - znamená absenciu určitej číslice čísel.Pomocou týchto desiatich znakov môžete napísať ľubovoľné veľké čísla, ktoré sa vám páčia.Až do 18. storočia. v Rusi sa písané znaky okrem nuly nazývali znakmi.

Národy rôznych krajín mali teda rôzne písané číslovanie: hieroglyfické - medzi Egypťanmi; klinové písmo - medzi Babylončanmi; Herodian - medzi starými Grékmi, Feničanmi; abecedné - medzi Grékmi a Slovanmi; Rímske - v západných krajinách Európy; Arabské - na Strednom východe. Treba povedať, že arabské číslovanie sa teraz používa takmer všade.

Analýzou systémov písania čísel (číslovania), ktoré sa odohrali v histórii kultúr rôznych národov, môžeme konštatovať, že všetky systémy písania sú rozdelené do dvoch veľkých skupín: pozičné a nepozičné číselné systémy.

Medzi nepozičné číselné sústavy patria: písanie čísel v hieroglyfoch, abecedné, rímske a niektoré iné systémy. Nepozičný číselný systém je taký systém zápisu čísel, keď obsah každého znaku nezávisí od miesta, kde je napísaný. Tieto znaky sú akoby uzlové čísla a algoritmické čísla sú skombinované z týchto znakov Napríklad číslo 33 v nepozičnom rímskom číslovaní sa zapisuje takto: XXXIII. Znaky X (desať) a I (jeden) sa tu používajú v zápise čísla vždy trikrát. Navyše, zakaždým, keď tento znak označuje rovnakú hodnotu: X je desať jednotiek, I je jedna, bez ohľadu na miesto, kde stoja v rade iných znakov.

V pozičných systémoch má každý znak iný význam v závislosti od toho, kde sa nachádza v zadaní čísla. Napríklad v čísle 222 sa číslo „2“ opakuje trikrát, ale prvá číslica vpravo označuje dve jednotky, tj. druhý dve desiatky a tretí dvesto. V tomto prípade máme na mysli desiatková číselná sústava. Spolu s desiatkovým číselným systémom v histórii vývoja matematiky existovali binárne, päťnásobné, dvojdesiatkové atď.

Pozičné číselné systémy sú vhodné v tom, že umožňujú písať veľké čísla pomocou relatívne malého počtu znakov. Dôležitou výhodou pozičných systémov je jednoduchosť a jednoduchosť vykonávania aritmetických operácií s číslami zapísanými v týchto systémoch.

Vznik pozičných systémov na označovanie čísel bol jedným z hlavných míľnikov v dejinách kultúry. Treba povedať, že sa to nestalo náhodou, ale ako prirodzený krok v kultúrnom vývoji národov, čo potvrdzuje aj samostatný vznik pozičných systémov pri rôzne národy: medzi Babylončanmi - viac ako 2 000 rokov pred naším letopočtom; medzi mayskými kmeňmi (Stredná Amerika) - na začiatku novej éry; medzi Indiánmi - v IV-VI storočí nášho letopočtu.

Pôvod pozičného princípu treba v prvom rade vysvetliť objavením sa multiplikatívnej formy záznamu. Takže v multiplikatívnom zázname je možné zapísať číslo 154: 1xYu 2 + 5x10 + 4. Ako vidíte, tento záznam zobrazuje skutočnosť, že pri počítaní niekoľkých jednotiek prvej číslice, v tomto prípade desať jednotiek, sú za jednu jednotku nasledujúcej číslice sa určitý počet jednotiek druhej číslice berie postupne ako jednotka tretej číslice atď. To vám umožňuje použiť rovnaké číselné symboly na zobrazenie počtu jednotiek rôznych číslic. Rovnaký zápis je možný pri počítaní akýchkoľvek prvkov konečných množín.

V päťnásobnom systéme sa počítanie vykonáva pomocou "pätiek" - po piatich. Africkí černosi teda počítajú s kamienkami alebo orechmi a ukladajú ich na hromady po piatich kusoch. Skombinujú päť takýchto kôp do novej kopy atď. Zároveň sa najprv počítajú kamienky, potom haldy, potom veľké haldy. Pri tomto spôsobe počítania sa zdôrazňuje skutočnosť, že s kopami kamienkov by sa mali vykonávať rovnaké operácie ako s jednotlivými kamienkami.Ruský cestovateľ Miklucho-Maclay ilustruje techniku počítania podľa tohto systému.Takže charakterizuje proces počítania tovaru domorodci z Novej Guiney, píše, že Papuánci, aby spočítali počet prúžkov papiera, ktorý udával počet dní pred návratom korvety Vityaz, urobili toto: desať, druhý zopakoval to isté slovo , ale zároveň ohýbal prsty, najprv na jednej, potom na druhej ruke. Po napočítaní do desať a ohnutí prstov oboch rúk spustil Papuán obe päste na kolená a vyslovil „iben kare“ – dve ruky. Tretí Papuánec si súčasne ohol jeden prst na ruke a ďalších desať

robilo sa to isté, s tretím Papuáncom ohýbal druhý prst a pre tretieho desať, tretí prst atď. Podobný účet prebiehal aj medzi inými národmi.Na takýto účet boli potrební aspoň traja ľudia.Jeden počítal jednotky, druhý - desiatky, tretí - stovky. Ak nahradíme prsty tých, ktorí počítali, kamienkami umiestnenými v rôznych priehlbiny hlinenej dosky alebo navlečené na vetvičkách, potom by sa ukázalo najjednoduchšie počítacie zariadenie.

Postupom času sa pri písaní čísel začali názvy číslic preskakovať.K dobudovaniu pozičného systému však chýbal posledný krok – zavedenie nuly. S relatívne malým základom počítania, ktorým bolo číslo 10, a prevádzkou s relatívne veľkými číslami, najmä potom, čo sa začali preskakovať názvy bitových jednotiek, sa zavedenie nuly stalo jednoducho nevyhnutným. Symbol nuly mohol byť najskôr obrazom prázdny žetón počítadla alebo upravený jednoduchý bod, ktorý by sa dal umiestniť na miesto vynechanej číslice. Tak či onak však zavedenie nuly bolo absolútne nevyhnutnou etapou prirodzeného procesu vývoja, ktorý viedol k vytvoreniu moderného pozičného systému.

Číselný systém môže byť založený na akomkoľvek čísle okrem 1 (jedna) a 0 (nula). V Babylone bolo napríklad číslo 60. Ak je číselný systém založený na veľké číslo, potom bude zápis čísla veľmi krátky, ale vykonávanie aritmetických operácií bude ťažšie. Ak naopak vezmete číslo 2 alebo 3, potom sa aritmetické operácie vykonávajú veľmi ľahko, ale samotný zápis sa stane Bolo by možné nahradiť desiatkovú sústavu pohodlnejšou, ale jej prechod by bol spojený s veľkými ťažkosťami: v prvom rade by bolo potrebné pretlačiť všetky vedecké knihy nanovo, prerobiť všetky počítacie prístroje a stroje Je nepravdepodobné, že by takáto náhrada bola vhodná. Desatinný systém sa stal známym, a preto pohodlným.

Cvičenia na samovyšetrenie

Určí sa postupný rad čísel

postupne vybledla. Hlavnú úlohu pri tvorbe ... čísel zohralo ... sčítanie. Okrem toho sa použilo ..., ako aj násobenie.

algoritmický

prevádzka

odčítanie

znamenia

klinové písmo hieroglyfy abecedné

Ak chcete písať čísla, rôzne národy vynašli rôzne .... Takže pred naším

dní prišli nasledujúce typy záznamov:,

Gerodianov, ..., Roman atď.

A teraz niekedy ľudia
používať abecedné a .., číslovanie, Roman

najčastejšie pri označovaní radových čísloviek.

V dnešnej spoločnosti väčšina
národy používajú arabské (...) čísla- hinduistický

Písomné číslovanie (systémy) de
spadajú do dvoch veľkých skupín: pozícia
nye a ... číselné sústavy. nepozičné

§ 6. Počítacie nástroje

Najstaršie zariadenia na uľahčenie počítania a výpočtov boli ľudská ruka a kamienky. Vďaka počítaniu na prstoch vznikli päťciferné a desiatkové (desatinné) číselné sústavy. Správne to poznamenal vedec matematik N. N. nemali sme desať prstov na našich rukách, ale osem, potom by ľudstvo použilo osmičkovú sústavu.

V praktických činnostiach, pri počítaní predmetov, ľudia používali kamienky, štítky so zárezmi, laná s uzlami atď. Prvým a pokročilejším zariadením špeciálne určeným na prácu s výpočtovou technikou bolo jednoduché počítadlo, od ktorého sa začal vývoj výpočtovej techniky. Účtovanie pomocou počítadla, ktoré bolo v Číne, starovekom Egypte a starovekom Grécku známe už dávno pred naším letopočtom, existovalo mnoho tisícročí, keď počítadlo nahradili písomné výpočty. Treba poznamenať, že počítadlo neslúžilo až tak na uľahčenie skutočných výpočtov. , ale zapamätať si medzivýsledky .

Je známych niekoľko druhov počítadla: grécky, ktorý bol vyrobený vo forme hlinenej tabuľky, na ktorej boli nakreslené čiary pevným predmetom a do výsledných vybraní (drážok) boli umiestnené kamienky. Ešte jednoduchšie bolo rímske počítadlo, na ktorom sa kamienky mohli pohybovať nie pozdĺž drážok, ale jednoducho pozdĺž čiar nakreslených na doske.

V Číne sa zariadenie podobné počítadlu nazývalo suan-pan a v Japonsku soroban. Základom pre tieto zariadenia boli lopty

ki navlečené na vetvičkách, počítacie tabuľky, pozostávajúce z vodorovných čiar zodpovedajúcich jednotkám, desiatkam, stovkám atď., a zvislých čiar určených pre jednotlivé pojmy a faktory, na ktorých boli rozložené žetóny - až štyri.

Aj naši predkovia mali počítadlo - ruské počítadlo.Objavili sa v 16.-17.storočí, používajú sa dodnes.Hlavnou zásluhou vynálezcov počítadla je používanie pozičného číselného systému.

Ďalším dôležitým krokom vo vývoji výpočtovej techniky bolo vytvorenie sčítacích strojov a sčítacích strojov, ktoré nezávisle navrhovali rôzni vynálezcovia.

V rukopisoch talianskeho vedca Leonarda da Vinciho (1452-1519) je náčrt 13-bitového sčítacieho zariadenia, 6-bitový náčrt vyvinul nemecký vedec V. Schickard (1592-1636) a stroj samotná bola postavená okolo roku 1623. Treba poznamenať, že tieto vynálezy sa stali známymi až v polovici 20. storočia, takže nemali žiadny vplyv na rozvoj výpočtovej techniky. Verilo sa, že prvý sčítací stroj (8-bitový) bol navrhnutý v roku 1641 a postavený v roku 1645 B. Pascalom. Preto bola spustená ich sériová výroba. Dodnes sa zachovalo niekoľko exemplárov týchto strojov. Ich výhodou bolo, že umožňovali vykonávať všetky štyri aritmetické operácie: sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie.

Pod pojmom "výpočtová technika" sa rozumie súbor technických systémov, t. j. počítačov, matematických nástrojov, metód a techník používaných na uľahčenie a urýchlenie riešenia prácne náročných úloh súvisiacich so spracovaním informácií (výpočtov), ako aj odbor technológií podieľajúcich sa na vývoji a prevádzke počítačov. Hlavné funkčné prvky moderných počítačov alebo počítačov sú vyrobené na elektronických zariadeniach, preto sa nazývajú elektronické počítače - počítače Podľa spôsobu prezentácie informácií sa počítače delia do troch skupín;

Analógové počítače (AVM), v ktorých sú informácie prezentované vo forme neustále sa meniacich premenných, vyjadrených niektorými fyzikálnymi veličinami;

digitálne počítače (DCM), v ktorých
informácie sú prezentované vo forme diskrétnych hodnôt
pás (čísla) vyjadrené ako kombinácia diskrétnych hodnôt
hodnoty akejkoľvek fyzickej veličiny (čísla);
hybridné počítače (HVM)
ryh, používajú sa oba spôsoby prezentácie informácií.

Prvé analógové počítacie zariadenie sa objavilo v 17. storočí. Bolo to logaritmické pravítko.

V XVIII-XIX storočia. neustále zlepšovanie mechanických aritmometrov s elektrickým pohonom. Toto vylepšenie bolo čisto mechanického charakteru a prechodom na elektroniku stratilo význam. Jedinou výnimkou sú stroje anglického vedca Ch.Be-bidzha: rozdiel (1822) a analytický (1830).

Rozdielový stroj bol určený na tabelovanie polynómov a z moderného hľadiska išlo o špecializovaný počítač s pevným (tvrdým) programom.Stroj mal „pamäť“ – niekoľko registrov na ukladanie čísel. Po vykonaní daného počtu výpočtových krokov sa spustilo počítadlo počtu operácií - zaznel zvonček. Výsledky boli vytlačené na tlačiarenskom zariadení a táto operácia bola navyše kombinovaná s výpočtami v čase.

Počas práce na rozdielovom motore prišiel Bebidge s myšlienkou vytvoriť digitálny počítač na vykonávanie rôznych vedeckých a technických výpočtov. Tento stroj pracoval automaticky, vykonával daný program.Autor tento stroj nazval analytický.Tento stroj je prototypom moderných počítačov. Bebidzhov analytický stroj zahŕňal nasledujúce zariadenia:

na ukladanie digitálnych informácií (teraz tzv
uložené v pamäťovom zariadení);
vykonávať operácie s číslami (teraz toto
aritmetický prístroj);
zariadenie, ktorému Babyj nevymyslela názov
a ktoré riadili postupnosť akcií ma
pneumatiky (teraz je to ovládacie zariadenie);
pre vstup a výstup informácií.

Bebidge zamýšľal ako nosiče informácií pre vstup a výstup použiť dierne štítky (dierne štítky) typu používaného pri ovládaní tkáčskeho stavu.Bebidge zabezpečoval vstup tabuliek funkčných hodnôt s riadením do stroja.

čo umožnilo v prípade potreby znovu nastúpiť do auta.

Bebidzhov analytický stroj bol teda prvým programom riadeným počítačom na svete. Pre tento stroj boli zostavené aj prvé programy na svete. Prvým programátorom bola dcéra anglického básnika Byrona Augusta Ada Lovelace (1815-1852). Na jej počesť sa jeden z moderných programovacích jazykov nazýva „Ada“.

Za prvý elektronický počítač sa považuje stroj vyvinutý na Pensylvánskej univerzite v USA. Tento stroj ENIAC bol vyrobený v roku 1945, mal automatické programové riadenie.Nevýhodou tohto stroja bola chýbajúca pamäť na ukladanie príkazov.

Prvým počítačom so všetkými komponentmi moderných strojov bol anglický stroj EDSAK zostrojený v roku 1949 na univerzite v Cambridge.Pamäťové zariadenie tohto stroja obsahuje čísla (zapísané v binárnom kóde) a samotný program.Vďaka numerickej forme tzv. písaním programových príkazov môže stroj vykonávať rôzne operácie.

Pod vedením S.A. Lebedeva (1902-1974) bol vyvinutý prvý domáci počítač (elektronický počítač). MESM vykonal iba 12 príkazov, nominálna rýchlosť akcií bola 50 operácií za sekundu. MESM RAM mohla uložiť 31 sedemnásťbitových binárnych čísel a 64 dvadsaťbitových príkazov. Okrem toho existovali externé pamäťové zariadenia.V roku 1966 bol pod vedením toho istého dizajnéra vyvinutý veľký elektronický počítací stroj (BESM).

Elektronické počítače používajú rôzne programovacie jazyky - ide o notačný systém na popis informačných údajov a programov (algoritmov).

Program v strojovom jazyku má podobu tabuľky čísel, každý riadok zodpovedá jednému príkazu operátor-stroj. Zároveň je napríklad v príkaze niekoľko prvých číslic operačným kódom, t.j. hovoria stroju, čo má robiť (sčítať, násobiť atď.), a zvyšné čísla presne označujú, kde sú potrebné čísla sa nachádzajú v pamäti stroja (pojmy, faktory) a kde by ste si mali zapamätať výsledok operácií (súčet produktov a pod.).

Programovací jazyk je definovaný tromi komponentmi: abecedou, syntaxou a sémantikou.

Väčšina doteraz vyvinutých programovacích jazykov (BASIC, FORTRAN, PASCAL, ADA, COBOL, LISP) je sekvenčná. Programy v nich napísané sú sekvenciou príkazov (inštrukcií). Postupne sa spracovávajú jeden po druhom strojom pri pomoci tzv. prekladateľov.

Výkon počítačov sa zvýši vďaka paralelnému (simultánnemu) vykonávaniu operácií, pričom väčšina existujúcich programovacích jazykov je navrhnutá na sekvenčné vykonávanie operácií. Budúcnosť preto zrejme patrí takým programovacím jazykom, ktoré umožnia popísať riešený problém, a nie postupnosť vykonávania operátorov.

Samotestovacie cvičenia

Vývoj ... prístrojov v dejinách matematiky počítanie
matika sa stala postupne.Od je
používanie častí vlastného tela - prsty
... - k používaniu rôznych špeciálnych počítadlo
alno vytvorené zariadenia: ... lineárne logaritmický
ka, abacus, ... , analytický stroj a výpočtový
elektronické... auto.

Programy pre ... stroje sú elektronické výpočty

tabuľky s číslami. telny

Komponenty programovacích jazykov
niya sú abeceda, ... a sémantika. syntax

§ 7. Formácia, súčasný stav a perspektívy

vyvinula metodiku výučby detí prvkov matematiky

predškolskom veku

Problematika matematického vývinu detí predškolského veku má korene v klasickej a ľudovej pedagogike.Rôzne počítacie riekanky, príslovia, porekadlá, hádanky, riekanky boli dobrým materiálom pri učení detí počítať, umožňovali dieťaťu vytvárať si pojmy o číslach, tvare, veľkosti. , priestor a čas. Napríklad,

Straka bieloboká varila kašu, kŕmila deti.

Dal som toto, dal som toto a dal som toto, ale toto som nedal:

Nenosil si vodu, nerúbal si drevo, nevaril kašu - Nič ti nie je.

Prvá tlačená učebnica I. Fedorova „Primer“ (1574) obsahovala myšlienky o potrebe naučiť deti počítať v procese rôznych cvičení.pedagogické práce Ya.A. Komenský, M. G. Pestalozzi, K. D. Ushinsky, F. Frebel, L. N. Tolstoj a ďalší.

Takže Y.A.Komensky (1592-1670) v knihe „Materská škola“ odporúča ešte pred školou naučiť dieťa počítať do dvadsať, schopnosť rozlišovať veľké-malé, párne-nepárne čísla, porovnávať predmety podľa veľkosti, rozpoznávať a pomenovať niektoré geometrické útvary, v praxi použiť merné jednotky: palec, rozpätie, krok, libra atď.

Klasické systémy zmyslového učenia F. Frebela (1782-1852) a M. Montessoriho (1870-1952) predstavujú metodiku, ako deti oboznamovať s geometrickými tvarmi, veľkosťami, meraním a počítaním. Froebelom vytvorené „darčeky“ sa dodnes používajú ako didaktický materiál na oboznamovanie detí s počtom, tvarom, veľkosťou a priestorovými vzťahmi.

KD Ushinsky (1824-1871) opakovane písal o dôležitosti učiť deti počítať pred školou. Za dôležité považoval naučiť dieťa počítať jednotlivé predmety a ich skupiny, vykonávať sčítanie a odčítanie, utvárať pojem desať ako účtovná jednotka.To všetko však boli len priania, ktoré nemali vedecké opodstatnenie.

Osobitne dôležité sú otázky metodológie matematického rozvoja v pedagogickej literatúre základnej školy na prelome 19.-20. Autormi metodických odporúčaní boli v tom čase vyspelí učitelia a metodici.Skúsenosti praktických pracovníkov neboli vždy vedecky podložené.

nym, ale bola odskúšaná v praxi.Časom sa zdokonaľovala, silnejšie a plnšie sa v nej prejavilo progresívne pedagogické myslenie. Koncom 19. - začiatkom 20. storočia potrebovali metodológovia vypracovať vedecký základ pre metodológiu aritmetiky.Významný príspevok k rozvoju metodológie mali vyspelí ruskí učitelia a metodológovia P.S.Guryev,A. I.Goldenberg, D.F.Egorov, VAEvtushevsky, D.D.Galanin a ďalší.

Prvé učebné pomôcky o metodike výučby predškolákov počítať boli spravidla adresované súčasne učiteľom, rodičom a vychovávateľom.Na základe skúseností z praktickej práce s deťmi, V.A. rozhovory, hry, praktické cvičenia ponúkajú metódy práce s deťmi Autor považuje za potrebné oboznámiť deti s takými pojmami, ako sú: jeden, veľa, niekoľko, pár, viac, menej, rovnaký, rovnako, rovnaký, rovnaký a iné.Hlavnou úlohou je študovať čísla od 1 do 10, pričom každé číslo sa posudzuje samostatne.Zároveň sa deti učia akcie na týchto číslach.Obrazový materiál je široko používaný.

V rámci rozhovorov a hodín deti získavajú poznatky o forme, priestore a čase, o delení celku na časti, o veličinách a ich meraní.

Otázky o metódach, obsahu výučby detí počítať a matematickom rozvoji vôbec, ktoré by sa mohli stať základom ich úspešného ďalšieho vzdelávania v škole, sú v predškolskej pedagogike obzvlášť búrlivo diskutované už od vytvorenia širokej siete verejného predškolského vzdelávania.

Najkrajnejším postojom bolo zakázať akúkoľvek účelovú výučbu matematiky.Najvýraznejšie sa to prejavuje v prácach K. Flebedintseva.detí na základe rozlišovania skupín predmetov, vnímania množín. A ďalej, okrem týchto malých agregátov, hlavnú úlohu pri formovaní pojmu čísla má účet, ktorý vytláča simultánne (holistické) vnímanie množín. Zároveň považoval za žiaduce, aby dieťa v tomto období získavalo vedomosti „nepostrehnuteľne“, nezávisle. K. F. Lebedintsev dospel k tomuto záveru na základe pozorovaní detí, ktoré sa učili prvé číselné reprezentácie a osvojovali si ich

V skutočnosti veľmi rané deti začínajú izolovať niekoľko malých skupín homogénnych predmetov a napodobňujúc dospelých to nazývajú číslom. Ale tieto vedomosti sú stále plytké, nie dostatočne uvedomelé.Schopnosť detí pomenovať čísla nie je vždy objektívnym ukazovateľom matematických schopností. Napriek tomu v 20-tych rokoch mnohí metodológovia a pedagógovia prijali názor K. F. Lebedintseva. Podľa ich názoru vznikajú numerické reprezentácie u dieťaťa najmä v dôsledku holistického vnímania malých skupín homogénnych predmetov nachádzajúcich sa v prostredí (ruky, nohy, atď.). stôl, kolesá auta atď.). Na tomto základe sa považovalo za nepovinné učiť deti počítať.

Vedúci učitelia - "predškoláci" v 20-30 rokoch (E.I. Tikheeva, L.K. Shleger a ďalší) však poznamenali, že proces formovania číselných zobrazení u detí je veľmi zložitý, a preto je potrebné ich cielene učiť počítať. Hra bola uznávaná ako hlavný spôsob, ako naučiť deti počítať. Takže autori knihy „Živé čísla, živé myšlienky a ruky v práci“ (Kyjev, 1920) E. Gorbunov-Pasadov a I. Tsunzer napísali, že dieťa sa snaží zaviesť do svojej hry aktivít to, čo je pre neho zaujímavé. Preto by oboznamovanie sa s prvkami matematiky malo vychádzať z aktívnej činnosti dieťaťa. Verilo sa, že pri hraní sa deti lepšie učia účet, lepšie sa zoznámia s číslami a akciami na nich.

Väčšina učiteľov 20. a 30. rokov 20. storočia mala negatívny postoj k potrebe tvorby programov pre materské školy, k cieľovému učeniu. Najmä L.K.Schleger tvrdil, že deti by si mali slobodne vyberať svoje aktivity na vlastnú žiadosť, t.j. každý môže robiť, čo má na mysli, zvoliť si vhodný materiál, stanoviť si ciele a dosiahnuť ich. Tento program by mal podľa nej vychádzať z prirodzených sklonov a túžob detí. Úlohou vychovávateľa by bolo len vytvárať podmienky priaznivé pre sebavýchovu detí. L. K. Schleger zastával názor, že účet by mal byť spojený s rôznymi aktivitami dieťaťa a vychovávateľ by mal využiť rôzne momenty zo života detí na ich uplatnenie v účte.

V prácach E. I. Tikheeva, M. Ya. Morozova a ďalších sa zdôrazňovalo, že vedomosti o prvých desiatich číslach sa dieťa musí naučiť ešte pred školou a zároveň sa ich naučiť „bez akýchkoľvek systematických tried a špeciálnych vyučovacích metód.

odlišný charakter.„V práci“ Moderná materská škola, jej význam a vybavenie „(Petersburg, 1920), autori poznamenali, že život samotnej materskej školy, aktivity detí, hra poskytujú obrovské množstvo momentov, ktoré možno využiť. aby sa deti naučili účet v rámci limitov, ktoré sú v ich veku k dispozícii, a asimilácia je úplne v pohode. materská škola) sa snaží o vedecké a systematické vzdelávanie.

E. I. Tikheeva si jasne predstavila obsah oboznamovania detí predškolského veku s číslami a počítaním a opakovane zdôraznila, že moderná metodika sa snaží viesť deti k vlastnej asimilácii vedomostí, vytvárať pre dieťa podmienky, ktoré mu poskytujú samostatné vyhľadávanie kognitívneho materiálu a použitie jeho. Napísala, že deti sa nemajú učiť výpočty, ale prvých desať sa dieťa musí naučiť, samozrejme, ešte pred školou. Všetky číselné reprezentácie, ktoré majú deti tohto veku k dispozícii, si musia vziať zo života, ktorého sa aktívne zúčastňujú. A účasť dieťaťa na živote za normálnych podmienok by mala byť vyjadrená iba jednou vecou - prácou, hrou, t.j. To znamená, že pri hre, práci, bývaní sa dieťa určite naučí počítať aj samo, ak sú preň dospelí zároveň nenápadnými pomocníkmi a vodcami.

E. I. Tikheeva sa v diele „Účet v živote malých detí“ (1920) postavila aj proti „útlaku a násiliu“ v matematickom vývoji dieťaťa.momenty, ale namietala aj proti spontánnej výchove dieťaťa. Celkom oprávnene považovala zmyslové vnímanie za hlavný zdroj matematických vedomostí. Pojem číslo by mal vstúpiť do života dieťaťa len v „neodmysliteľnej jednote s predmetmi, ktoré sú okolo dieťaťa.“ V tejto súvislosti autorka upozorňuje na dostupnosť potrebného obrazového materiálu v škôlke i doma. Potom, čo dieťa dostane tieto alebo iné číselné znázornenia, môžete použiť hodiny hry.Autor odporúča špeciálne hodiny hier s didaktickými materiálmi na oboznámenie a upevnenie týchto myšlienok, prehĺbenie potrebných zručností v počítaní.

Uvedomujúc si, že spontánne zvládnutie numerických reprezentácií nemôže mať správnu postupnosť, konzistenciu, E. I. Tikheeva ponúkla špeciálne súbory didaktického materiálu ako prostriedok systematizácie vedomostí. Ako počítací materiál odporučila použiť prírodný materiál: kamienky, listy, fazuľu, šišky atď. Vytvorila didaktický materiál ako párové obrázky a lotto, vypracovala úlohy na upevnenie kvantitatívnych a priestorových zobrazení.

Obsah matematických vedomostí E. I. Tikheeva zastupoval pomerne široko. Toto je oboznámenie sa s hodnotou, meraním, číslami, dokonca zlomkami. E. I. Tikheeva prisúdila významné miesto v obsahu vyučovania matematiky formovaniu predstáv detí o veľkosti a miere.Považovala za dôležité odhaliť deťom funkčný vzťah medzi výsledkom merania a veľkosťou miery. Všetky typy meraní by mali byť vhodné, spojené s praktickými úlohami, napríklad hraním v obchode ("obchod").

Žiaľ, E. I. Tikheeva vôbec nedocenila úlohu kolektívnych aktivít, pretože ich považovala za vnucované dieťaťu zvonku.Predpokladala, že v škôlke budú vedomosti detí iné; stupeň ich vývinu nie je rovnaký, to by však „vychovávateľa nemalo vystrašiť.“ Hoci autor nikde neuvádza konkrétne odporúčania, ako pracovať s deťmi rôzneho stupňa vývoja.

E. I. Tikheeva určitým spôsobom prispela k rozvoju metód výučby detí počítať, keď určila množstvo vedomostí dostupných pre „predškolákov.“ Veľkú pozornosť venovala oboznámeniu detí so vzťahom medzi objektmi rôznych veľkostí: viac-menej, širší-užší, kratší-dlhšie a iné.Vynikajúca majsterka z praxe, ktorá dieťa poznala do hĺbky, cítila potrebu školenia, postupné komplikovanie vzdelávacieho materiálu, hoci v podstate uznávala len individuálny tréning. E. I. Tikheeva v skutočnosti nevyvinula a teoreticky nezdôvodnila metodiku výučby počítania, neukázala hlavné spôsoby, ako si deti osvojiť počiatočné matematické vedomosti, avšak ňou vytvorený didaktický materiál a didaktické hry sa využívajú aj v modernej pedagogickej praxi. .

Koncom 30. rokov nastal odklon od neorganizovanej výchovy v materskej škole a od tohto momentu vznikajú problémy súvisiace s určovaním obsahu a metód výučby detí rôznych vekových skupín v materskej škole.

Významnou etapou vo vývoji metód rozvoja matematických reprezentácií bola práca F.N.Blehera. Ako inovátorka-praktizujúca svojho času v oblasti predškolského vzdelávania vyvinula, testovala a ponúkla učiteľom široký program na výučbu základných vedomostí predškolákov z matematiky. Veľkosť, množstvo, priestor, čas a meranie. Zatiaľ čo Naučiť sa počítať je vo všeobecnosti navrhnuté na individuálne použitie, existuje veľa materiálu na zblíženie detí. Pre uľahčenie distribúcie učiva učiteľovi je celý obsah príručky rozdelený do vyučovacích hodín (81 vyučovacích hodín) – takto autorka nazýva triedy.

Obraz akéhokoľvek prirodzeného čísla je možný pomocou malého počtu jednotlivých znakov. To by sa dalo dosiahnuť jediným znakom - 1 (jedna). Každé prirodzené číslo by sa potom zapísalo opakovaním symbolu jednotky toľkokrát, koľko jednotiek je v tomto čísle. Sčítanie by sa zredukovalo na jednoduché priradenie jednotiek a odčítanie - na ich vymazanie (vymazanie). Myšlienka takéhoto systému je jednoduchá, ale tento systém je veľmi nepohodlný. Na zaznamenávanie veľkých čísel je prakticky nevhodný a používajú ho len národy, ktorých počet nepresahuje jeden alebo dva tucty.

S rozvojom ľudskej spoločnosti sa vedomosti ľudí zvyšujú a potreba počítať a zaznamenávať výsledky počítania dosť veľkých množín, meraní veľkých veličín je čoraz väčšia.

Primitívni ľudia nemali písaný jazyk, neexistovali písmená ani čísla, každá vec, každá akcia bola znázornená obrázkom. Boli to skutočné kresby zobrazujúce to alebo ono množstvo. Postupne sa zjednodušovali, stávali sa čoraz pohodlnejšími na nahrávanie. Hovoríme o písaní čísel v hieroglyfoch. Hieroglyfy starých Egypťanov svedčia o tom, že umenie počítania bolo medzi nimi vysoko rozvinuté, pomocou hieroglyfov bolo zobrazené veľké množstvo. Pre ďalšie vylepšenie účtu však bolo potrebné prejsť na pohodlnejší zápis, ktorý by umožňoval označovať čísla špeciálnymi, pohodlnejšími znakmi (číslami). Pôvod čísel pre každý národ je iný.

Prvé postavy sa nachádzajú viac ako 2 000 rokov pred naším letopočtom. v Babylone. Babylončania písali palicami na mäkké hlinené dosky a potom si sušili poznámky. Starobabylonská abeceda bola tzv klinové písmo. Kliny boli umiestnené horizontálne aj vertikálne, v závislosti od ich hodnoty. Vertikálne kliny označovali jednotky a horizontálne, takzvané desiatky, jednotky druhej kategórie.

Niektoré kultúry používali na písanie číslic písmená. Namiesto číslic písali začiatočné písmená slov-číslice. Takéto číslovanie bolo napríklad u starých Grékov. Pod menom vedca, ktorý to navrhol, sa pod menom zapísala do dejín kultúry gerodiančíslovanie. Takže v tomto číslovaní sa číslo „päť“ nazývalo „pinta“ a označovalo sa písmenom „P“ a číslo desať sa nazývalo „deka“ a označovalo sa písmenom „D“. V súčasnosti toto číslovanie nikto nepoužíva. Na rozdiel od nej Romančíslovanie sa zachovalo a prešlo až do našich dní. Hoci teraz rímske číslice nie sú také bežné: na ciferníkoch hodiniek, na označenie kapitol v knihách, storočiach, na starých budovách atď. V rímskom číslovaní je sedem kľúčových znakov: I, V, X, L, C, D, M.

Môžete hádať, ako sa tieto znaky objavili. Znak (1) - jednotka - je hieroglyf, ktorý zobrazuje prst I (kama), znak V je obraz ruky (zápästie s natiahnutým palcom) a pre číslo 10 - obraz dvoch pätiek (X) spolu. Ak chcete zapísať čísla II, III, IV, použite rovnaké znaky a zobrazte s nimi akcie. Takže čísla II a III opakujú jednotku zodpovedajúci počet krát. Pri zápise čísla IV sa pred päťkou uvádza I. V tomto zápise sa jednotka umiestnená pred päťkou od V odpočítava a jednotky umiestnené za ňou sa k nej pripočítavajú. A rovnakým spôsobom sa od desiatky odčíta jednotka napísaná pred desiatkou (X) a pripočíta sa k nej tá vpravo. Číslo 40 je označené XL. V tomto prípade sa 10 odpočíta od 50. Na zapísanie čísla 90 sa od 100 odčíta 10 a napíše sa XC.

Rímske číslovanie je veľmi vhodné na písanie čísel, ale takmer nevhodné na výpočty. Je takmer nemožné robiť akékoľvek úkony písomne (výpočty podľa "stĺpcov" a iné metódy výpočtu) s rímskymi číslicami. Toto je veľká nevýhoda rímskeho počítania.

Pre niektoré národy boli čísla zaznamenané pomocou písmen abecedy, ktoré sa používali v gramatike. Tento rekord sa odohral medzi Slovanmi, Židmi, Arabmi, Gruzíncami.

abecedne systém číslovania bol prvýkrát použitý v Grécku. Najstarší záznam vyhotovený podľa tohto systému sa pripisuje polovici 5. storočia pred Kristom. BC. Vo všetkých abecedných systémoch boli čísla od 1 do 9 označené jednotlivými znakmi pomocou zodpovedajúcich písmen abecedy. V gréckych a slovanských číslach sa nad písmenami, ktoré označovali čísla, na rozlíšenie čísel od bežných slov umiestnila pomlčka „titlo“ (~). Napríklad, a B C atď. Všetky čísla od 1 do 999 boli napísané na princípe sčítania 27 jednotlivých znakov pre čísla.

Stopy abecedného systému prežili až do našej doby. Odseky správ, uznesení atď. teda často číslujeme písmenami. Abecedný spôsob číslovania sa však u nás zachoval len na označenie radových čísloviek. Kvantitatívne čísla nikdy neoznačujeme písmenami, najmä preto, že nikdy nepracujeme s číslami napísanými v abecednom systéme.

Staré ruské číslovanie bolo tiež abecedné. Slovanské abecedné označenie čísel vzniklo v 10. storočí.

Teraz existuje indický systémčíselné záznamy. Do Európy ho priniesli Arabi, preto dostal aj meno arabčinačíslovanie. Arabské číslovanie sa rozšírilo po celom svete a nahradilo všetky ostatné číselné záznamy. V tomto číslovaní sa na písanie čísel používa 10 ikon, ktoré sa nazývajú čísla. Deväť z nich predstavuje čísla od 1 do 9.

Desiata ikona - nula (0) - znamená absenciu určitej číslice čísel. Pomocou týchto desiatich znakov môžete napísať ľubovoľné veľké čísla. Až do 18. storočia v Rusi sa písané znaky okrem nuly nazývali znakmi.

Takže národy rôznych krajín mali rôzne písané číslovanie: hieroglyfické - medzi Egypťanmi; klinové písmo - medzi Babylončanmi; gerodian - medzi starými Grékmi, Feničanmi; abecedne - medzi Grékmi a Slovanmi; Roman - v západných krajinách Európy; Arabčina - na Blízkom východe. Malo by sa povedať, že teraz sa arabské číslovanie používa takmer všade.

Medzi nepozičné číselné sústavy patria: písanie čísel v hieroglyfoch, abecedné, rímske a niektoré iné sústavy. Nepozičná číselná sústava je taká sústava zápisu čísel, kedy obsah každého znaku nezávisí od miesta, kde je napísaný. Tieto symboly sú ako uzlové čísla a z týchto symbolov sa kombinujú algoritmické čísla. Napríklad číslo 33 v nepozičnom rímskom číslovaní sa píše takto: XXXIII. Znaky X (desať) a I (jedna) sa tu používajú pri písaní čísla trikrát. Navyše, zakaždým tento znak označuje rovnakú hodnotu: X - desať jednotiek, I - jeden, bez ohľadu na miesto, kde stoja v množstve ďalších znakov.

V polohových systémoch má každý znak iný význam podľa toho, kde v zápise čísla stojí. Napríklad v čísle 222 sa číslo „2“ opakuje trikrát, ale prvé číslo vpravo označuje dve jednotky, druhé dve desiatky a tretie dve stovky. V tomto prípade máme na mysli desiatkovú číselnú sústavu. Spolu s desiatkovým číselným systémom v histórii vývoja matematiky existovali binárne, päťnásobné, dvadsaťdesiatkové atď.

Vznik pozičných systémov na označovanie čísel bol jedným z hlavných míľnikov v dejinách kultúry. Treba povedať, že sa tak nestalo náhodou, ale ako prirodzený krok v kultúrnom vývoji národov. Potvrdzuje to nezávislý vznik pozičných systémov medzi rôznymi národmi: medzi Babylončanmi - viac ako 2 000 rokov pred naším letopočtom; medzi mayskými kmeňmi (Stredná Amerika) - na začiatku novej éry; medzi hinduistami - v storočiach IV-VI. AD

Pôvod pozičného princípu by sa mal v prvom rade vysvetliť objavením sa multiplikatívnej notácie. Násobný zápis je zápis pomocou násobenia. Mimochodom, tento záznam sa objavil súčasne s vynálezom prvého počítacieho zariadenia, ktoré Slovania nazývali počítadlo. Takže v multiplikatívnom zápise možno číslo 154 zapísať: 1 x 104 - 5 x 10 + 4. Ako vidíte, tento zápis odráža skutočnosť, že pri počítaní sa niektoré čísla jednotiek prvej číslice, v tomto prípade desať jednotiek, sa berie ako jedna jednotka ďalšej hodnosti, určitý počet jednotiek druhej hodnosti sa berie zasa ako jednotka tretej hodnosti atď. To vám umožňuje použiť rovnaké číselné symboly na zobrazenie počtu jednotiek rôznych číslic. Rovnaký zápis je možný pri počítaní akýchkoľvek prvkov konečných množín.

Techniku počítania podľa tohto systému ilustruje ruský cestovateľ Miklukho-Maclay. Tak, charakterizujúc proces počítania tovaru domorodcami z Novej Guiney, píše, že aby Papuánci spočítali počet pásikov papiera, ktoré udávali počet dní pred návratom korvety Vityaz, urobili toto: (jeden ), „štvorec“ (dva) a tak ďalej až do desať, druhý opakoval to isté slovo, no zároveň ohýbal prsty najprv na jednej, potom na druhej ruke. Po napočítaní do desať a ohnutí prstov oboch rúk spustil Papuán obe päste na kolená a vyslovil „iben kare“ – dve ruky. Tretí Papuánec si zároveň zohol jeden prst na ruke. To isté sa urobilo s ďalšími desiatimi, pričom tretí Papuán ohýbal druhý prst a pre tretiu desiatku - tretí prst atď. Podobný účet sa odohral aj medzi inými národmi. Na takýto účet boli potrební aspoň traja ľudia. Jeden počítal jednotky, druhý desiatky, tretí stovky. Ak nahradíme prsty tých, ktorí počítali, kamienkami umiestnenými v rôznych priehlbinách hlinenej dosky alebo navlečenými na vetvičkách, získame najjednoduchšie počítacie zariadenie.

Postupom času sa pri písaní číslic začali preskakovať názvy číslic. K dokončeniu pozičného systému však chýbal posledný krok – zavedenie nuly. S relatívne malým základom počítania, ktorým bolo číslo 10, a prevádzkou s relatívne veľkými číslami, najmä potom, čo sa začali preskakovať názvy bitových jednotiek, sa zavedenie nuly stalo jednoducho nevyhnutným. Symbol nuly by mohol byť najskôr obrazom prázdneho žetónu počítadla alebo upravenej jednoduchej bodky, ktorá by sa dala umiestniť na miesto zmeškaného výboja. Tak či onak však zavedenie nuly bolo absolútne nevyhnutnou etapou v procese prirodzeného vývoja, ktorý viedol k vytvoreniu moderného pozičného systému.

Číselný systém môže byť založený na akomkoľvek čísle okrem 1 (jedna) a 0 (nula). Napríklad v Babylone bolo číslo 60. Ak sa za základ číselnej sústavy berie veľké číslo, záznam čísla bude veľmi krátky, ale vykonávanie aritmetických operácií bude náročnejšie. Ak naopak vezmeme číslo 2 alebo 3, aritmetické operácie sa vykonávajú veľmi ľahko, ale samotný zápis bude ťažkopádny. Desiatkovú sústavu by bolo možné nahradiť pohodlnejšou, ale prechod na ňu by bol spojený s veľkými ťažkosťami: v prvom rade by sa museli pretlačiť všetky vedecké knihy, prerobiť všetky počítacie prístroje a stroje. Je nepravdepodobné, že by takáto náhrada bola vhodná. Desatinný systém sa stal známym, a preto pohodlným.

S rozvojom ľudskej spoločnosti sa vedomosti ľudí zvyšujú a potreba počítať a zaznamenávať výsledky počítania dosť veľkých množín, meraní veľkých veličín je čoraz väčšia.

Primitívni ľudia nemali písaný jazyk, neexistovali písmená ani čísla, každá vec, každá akcia bola znázornená obrázkom. Boli to skutočné kresby zobrazujúce to alebo ono množstvo. Postupne sa zjednodušovali, stávali sa čoraz pohodlnejšími na nahrávanie. Hovoríme o písaní čísel v hieroglyfoch. Pre ďalšie vylepšenie účtu však bolo potrebné prejsť na pohodlnejší zápis, ktorý by umožňoval označovať čísla špeciálnymi, pohodlnejšími znakmi (číslami). Pôvod čísel pre každý národ je iný.

Prvé postavy sa nachádzajú viac ako 2 000 rokov pred naším letopočtom. v Babylone. Babylončania písali palicami na mäkké hlinené dosky a potom si sušili poznámky.

Niektoré kultúry používali na písanie číslic písmená. Namiesto číslic písali začiatočné písmená slov-číslice. Takéto číslovanie bolo napríklad u starých Grékov. Takže v tomto číslovaní sa číslo "päť" nazývalo "pinta" a bolo označené písmenom "P". V súčasnosti toto číslovanie nikto nepoužíva. Na rozdiel od nej Romančíslovanie sa zachovalo a prešlo až do našich dní. Hoci teraz rímske číslice nie sú také bežné: na ciferníkoch hodiniek, na označenie kapitol v knihách, storočiach, na starých budovách atď. V rímskom číslovaní je sedem kľúčových znakov: I, V, X, L, C, D, M.

Pre niektoré národy boli čísla zaznamenané pomocou písmen abecedy, ktoré sa používali v gramatike. Tento rekord sa odohral medzi Slovanmi, Židmi, Arabmi, Gruzíncami.

abecedne systém číslovania bol prvýkrát použitý v Grécku. Napríklad, a B C atď.

Staré ruské číslovanie bolo tiež abecedné. Slovanské abecedné označenie čísel vzniklo v 10. storočí.

S rozvojom ľudskej spoločnosti sa vedomosti ľudí zvyšujú a potreba počítať a zaznamenávať výsledky počítania dosť veľkých množín, meraní veľkých veličín je čoraz väčšia.

U niektorých národov boli čísla zaznamenané pomocou písmen abecedy, ktoré sa používali v gramatike.Tento záznam sa uskutočnil medzi Slovanmi, Židmi, Arabmi a Gruzíncami.

Aj staré ruské číslovanie bolo abecedné.Slovanské abecedné označenie čísel vzniklo v 10. storočí.

2 Objednávka1391

Číselný systém môže byť založený na akomkoľvek čísle okrem 1 (jedna) a 0 (nula). Napríklad v Babylone bolo číslo 60. Ak sa za základ číselnej sústavy berie veľké číslo, záznam čísla bude veľmi krátky, ale vykonávanie aritmetických operácií bude ťažšie. naopak, vezmite si číslo 2 alebo 3, potom sa aritmetické operácie vykonávajú veľmi ľahko, ale samotný záznam sa stane ťažkopádnym.Datinnú sústavu by bolo možné nahradiť pohodlnejšou, ale prechod na ňu by bol spojený s veľkými ťažkosťami: v prvom rade by sa museli pretlačiť všetky vedecké knihy, prerobiť všetky počítacie prístroje a stroje. Je nepravdepodobné, že by takáto náhrada bola vhodná. Desatinná sústava sa stala známou, a teda pohodlnou.

Cvičenia na samovyšetrenie

Určí sa postupný rad čísel

postupne vybledla. Hlavnú úlohu pri tvorbe ... čísel zohralo ... sčítanie. Okrem toho sa použilo ..., ako aj násobenie.

algoritmický

prevádzka

odčítanie

znamenia

klinové písmo hieroglyfy abecedné

Ak chcete písať čísla, rôzne národy vynašli rôzne .... Takže pred naším

dní prišli nasledujúce typy záznamov:,

Gerodianov, ..., Roman atď.

A v súčasnosti ľudia niekedy používajú abecedu a .., číslovanie, Roman

najčastejšie pri označovaní radových čísloviek.

V modernej spoločnosti väčšina ľudí používa arabské (...) čísla- hinduistický

Písomné číslovania (systémy) sa delia do dvoch veľkých skupín: pozičné a ... číselné systémy. nepozičné

Portál pre študenta. Sebatréning

SÚVISIACE ČLÁNKY