Ministerstvo školstva a politiky mládeže Čuvašskej republiky

Autonómna inštitúcia Čuvašskej republiky

"Tsivilsky agrárna a technologická vysoká škola"

Smer – fyzikálne a matematické a informačné technológie

Výskumná práca:

Umiestnenie koreňov štvorcového trojčlenu

Práca dokončená:

Žiak 1. ročníka gr.14 B

odbor "ekonomika"

vedúci:

Eshmeykin

Irina Anatolievna,

učiteľ matematiky

Tsivilsk 2012

1. Úvod.

2. Teoretická časť

2.1. Umiestnenie koreňov štvorcového trojčlenu.

2.2. Desať pravidiel pre umiestnenie koreňov štvorcového trojčlenu

3. Praktická časť

3.1. Príklady riešenia problémov

3.2. Umiestnenie koreňov vzhľadom na jeden bod.

3.3. Umiestnenie koreňov vo vzťahu k dvom alebo viacerým bodom.

4. Závery.

5. Použitá literatúra.

6. Aplikácie

Úvod

Relevantnosť: v úlohách GIA (2. časť) a VYUŽITIE v matematike s podrobnou odpoveďou (časť C) sú úlohy s parametrami, ktoré študentom často spôsobujú veľké ťažkosti. Študenti navyše často pociťujú psychické problémy, majú z takýchto úloh strach, pretože v škole a na technickej škole problémy s parametrami príliš neriešia.

Ťažkosti pri riešení problémov s parametrami sú spôsobené tým, že prítomnosť parametra nás núti riešiť problém nie podľa šablóny, ale zvažovať rôzne prípady, v každom z nich sa metódy riešenia navzájom výrazne líšia.

Mnoho problémov s parametrami sa redukuje na štúdium umiestnenia koreňov štvorcového trinómu vzhľadom na daný bod alebo daný interval (úsek, interval, lúč).

Účel práce: preskúmať umiestnenie koreňov štvorcovej trojčlenky vzhľadom na daný bod alebo daný interval.

Zbierajte materiál na túto tému Zvážte pravidlá pre umiestnenie koreňov štvorcového trojčlenu. Riešte úlohy pomocou pravidiel pre umiestnenie koreňov štvorcového trojčlenu.

Predmet štúdia: štvorcový trojčlen a umiestnenie jeho koreňov.

1. Vyhľadávanie – kolektívne.

Praktický význam: tento materiál pomôže študentom, ktorí chcú pokračovať v štúdiu na vysokej škole, pri príprave na skúšku.

Teoretická časť

2.1. Umiestnenie koreňov štvorcového trojčlenu

Mnoho problémov s parametrami sa redukuje na štúdium umiestnenia koreňov štvorcového trinómu vzhľadom na daný bod alebo daný interval:

Pri akých hodnotách parametra sú korene (alebo koreň) kvadratickej rovnice väčšie (menej, nie viac, nie menej) ako dané číslo; nachádza sa medzi dvoma danými číslami; nepatria do daných intervalov atď., atď.

Graf kvadratickej funkcie y \u003d ax² + v + c má nasledujúce polohy vzhľadom na os x.

https://pandia.ru/text/78/376/images/image002_6.jpg" align="right hspace=12" width="196" height="202"> Kvadratická rovnica x²+px+q=0 alebo nie má riešenie (parabola tvaru D), alebo má jeden alebo dva kladné korene (C), alebo má jeden alebo dva záporné korene (A), alebo má korene rôznych znamienok (B).

Analyzujme parabolu C. Aby rovnica mala korene, je potrebné, aby diskriminant D ≥ 0. Keďže oba korene rovnice musia byť zostrojením kladné, úsečka vrcholu paraboly, ktorá leží medzi korene, je kladné, xb > 0.

Ordináta vrcholu f(xv) ≤ 0 z dôvodu, že sme požadovali existenciu koreňov.

Ak sa vyžaduje podmienka f(0) > 0, potom v dôsledku kontinuity skúmanej funkcie existuje bod x1(0;xb) taký, že f(x1) = 0. Je zrejmé, že toto je menší koreň rovnice. Zhromaždením všetkých podmienok dostaneme: Kvadratická rovnica x² + px + q \u003d 0 má dva korene, ktoré môžu byť násobkami x1, x2>

Argumentujúc podobným spôsobom odvodíme nasledujúce pravidlá pre umiestnenie koreňov štvorcového trojčlenu.

2.2. Desať pravidiel pre umiestnenie koreňov štvorcového trojčlenu

Pravidlo 1 Kvadratická rovnica ax2 + bx + c = 0 (a ≠ potom nemá riešenia

a až keď D< 0.

Pravidlo 2.1. Kvadratická rovnica (1) má dva rôzne korene vtedy a len vtedy,

keď D > 0.

Pravidlo 2.2. Kvadratická rovnica (1) má dva, možno viacnásobné korene, potom a

len keď D ≥ 0.

Pravidlo 3.1. Kvadratická rovnica (1) má dva korene x1< М и х2 >M vtedy a len

https://pandia.ru/text/78/376/images/image007_15.gif" align="left" width="74 height=42" height="42"> iba ak

Pravidlo 4.1. Kvadratická rovnica x2 + px + q = 0 pre a ≠ 0) má dva

rôzne korene x1, x2 > M vtedy a len vtedy

kde =

Pravidlo 4.2. Kvadratická rovnica má dva možné viacnásobné korene

x1, x2 > M vtedy a len vtedy

Pravidlo 4.3. Kvadratická rovnica má dva rôzne korene x1, x2 ≥ M potom a

iba ak

https://pandia.ru/text/78/376/images/image018_3.gif" width="162" height="74 src=">

Pravidlo 4.4. Kvadratická rovnica má 2, môže byť viac koreňov

x1, x2 ≥ M vtedy a len vtedy

https://pandia.ru/text/78/376/images/image020_2.gif" width="166" height="74 src=">

Pravidlo 5.1. Kvadratická rovnica má 2 rôzne korene x1, x2< М тогда и

iba ak

Pravidlo 6.1. < N < M < х2 тогда и

iba ak

https://pandia.ru/text/78/376/images/image026_1.gif" width="137 height=48" height="48">

Pravidlo 6.2. Kvadratická rovnica má korene x1 = N< М < х2

ak a len vtedy

Pravidlo 6.3. Kvadratická rovnica má korene x1< N < M = х2

ak a len vtedy

Pravidlo 7.1. Kvadratická rovnica má korene x1< m < x2 < M тогда и только

potom, keď

https://pandia.ru/text/78/376/images/image032_0.gif" width="128 height=48" height="48">

Pravidlo 7.2. Komu kvadratická rovnica má korene N< x1 < M < x2 тогда и только

potom, keď

Pravidlo 8.1. N < x1 < x2 < M (может быть

viaceré korene N< x1 ≤ x2 < M) тогда и только тогда, когда

https://pandia.ru/text/78/376/images/image039_1.gif" width="142" height="98">

Pravidlo 8.3. Kvadratická rovnica (1) má rôzne korene N≤ x1< x2 ≤ M (может

byť viacerými koreňmi N< x1 ≤ x2 ≤ M) тогда и только тогда, когда

Pravidlo 8.4. Kvadratická rovnica (1) má rôzne korene N ≤ x1< x2 ≤ M (может

byť viacnásobnými koreňmi N ≤ x1 ≤ x2 ≤ M) vtedy a len vtedy

https://pandia.ru/text/78/376/images/image044_1.gif" width="144" height="98">

Pravidlo 9 Kvadratická rovnica má jeden koreň vo vnútri intervalu (N; M),

a druhý sa nachádza mimo tohto intervalu vtedy a len vtedy

f(N)f(M)< 0.

Pravidlo 10 Kvadratická rovnica (1) má jedinečné riešenie x1 = x2 > M

(x1 = x2< М) тогда и только тогда, когда

Praktická časť

3.1. Príklady riešenia problémov.

Príklad 1. Pre aké hodnoty rovnice x² - 2ax + a² + 2a - 3 = 0

a) nemá korene; b) má korene rôznych znakov;

c) má pozitívne korene; d) má dva rôzne negatívne korene?

Riešenie: a) Podľa pravidla 1 neexistujú riešenia, keď diskriminant D = - 4(2a-3)< 0, откуда а > 3/2.

b) Podľa pravidla 3.1 pre М = 0 máme f(0)=a² + 2a - 3< 0, откуда а(-3;1).

c) Podľa pravidla 4.2 pre М=0

Kde .

d) Podľa pravidla 5.1 pre М=0

Kde< - 3.

3.2. Umiestnenie koreňov vzhľadom na jeden bod.

Príklad 2 Pre aké hodnoty parametra a ležia korene rovnice x² + 2(a + 1) x + a² + a + 1 = 0 na lúči (-2; + ∞).

Urobme si grafickú analýzu problému. Podľa stavu problému iba nasledujúce dva prípady umiestnenia grafu funkcie f (x) \u003d x² + 2 (a + 1) x + a² + a + 1 vzhľadom na bod x \u003d -2 sú možné.

xv \u003d - a - 1

Oba tieto prípady sú analyticky opísané podmienkami

To znamená, že 0 ≤ a< .

Príklad 3 . Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré sú korene štvorcového trinomu x² + x + a odlišné a nie väčšie ako a. (Príloha 1)

3.3. Umiestnenie koreňov vo vzťahu k dvom alebo viacerým bodom.

Príklad 4. Pre aké hodnoty parametra m sú korene rovnice x² - 2 mx + m² -1 = 0 sú uzavreté medzi číslami -2 a 4.

Diskriminant rovnice D = 4m² - 4m² + 4 = 4 je dokonalý štvorec. Nájdite korene rovnice: x1 = m + 1, x2 = m - 1. Tieto korene spĺňajú danú podmienku, ak

Odpoveď: pre m(-1;3).

Príklad 5 Pri akých hodnotách parametra a má rovnica 2x² + (a-4)x + a + 2 = 0 rôzne korene, ktoré spĺňajú nerovnosť ‌│x-1│>2. (Príloha 2)

Riešenie kvadratických rovníc s parametrami možno napísať ako schému na štúdium problémov súvisiacich s umiestnením koreňov štvorcového trinomu Ax² + Bx + C.

Štúdia prípadu A = 0 (ak závisí od parametrov).

1. Nájdenie diskriminantu D v prípade A≠0.

2. Ak D je plná druhá mocnina nejakého výrazu, potom nájdenie koreňov x1, x2 a ich podriadenie podmienkam úlohy.

3. Ak nie je extrahovaná druhá odmocnina z D, potom grafická analýza problému.

4. Analytický popis vhodných prípadov pre umiestnenie paraboly, pri ktorých sa berú do úvahy:

Ø znamienko (hodnota) koeficientu pri x²;

Ø znak (hodnota) diskriminantu;

Ø znaky (hodnoty) kvadratickej funkcie v skúmaných bodoch;

Ø umiestnenie vrcholu paraboly vzhľadom na skúmané body.

4. Kombinovanie niektorých nerovností (systémov).

5. Riešenie získaných systémov.

Našiel som 10 pravidiel pre umiestnenie koreňov štvorcového trojčlenu. Vyriešené problémy s umiestnením koreňov vzhľadom na jeden bod; umiestnenie koreňov vo vzťahu k dvom alebo viacerým bodom.

Vlastnosť techník na riešenie problémov s parametrami možno považovať za kritérium znalosti hlavných častí matematiky, úrovne matematického a logického myslenia a matematickej kultúry.

Referencie

1. Mochalov, a nerovnosti s parametrami / , .-

Cheboksary: ​​​​Vydavateľstvo Chuvash. Univerzita, 200. roky.

2. Kozhukhov, metódy riešenia úloh s parametrami / // Matematika v škole. - 1998. - č. 6.

3. Týždenná výchovno-metodická príloha novín „Prvý september“ „Matematika“ č.18, 2002

Príloha 1

Príklad 3 . Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré sú korene štvorcového trinomu x² + x + a odlišné a nie väčšie ako a.

xv = -1/2

Nájdite diskriminant D = 1 - 4a. vzhľadom na to, že to nie je extrahované, vyriešme príklad graficky.

Urobme si grafickú analýzu. Keďže korene x1, x2 funkcie f(x) = x² + x + a sú rôzne a x1 ≤ a, x2 ≤ a, jej graf môže mať iba nasledujúce umiestnenia.

Popíšme tieto grafy analyticky.

https://pandia.ru/text/78/376/images/image062_1.gif" width="149" height="48">

Zistíme, pre ktoré a korene rovnice sú rôzne, t. j. diskriminant D = a²-16a je kladný a buď sú oba menšie ako -1, alebo sú oba väčšie ako 3, alebo jeden z nich je menší ako -1 a druhý je väčší ako 3. Graf funkcie f(x) \u003d 2x² + (a-4) x + a + 2 má v týchto prípadoch nasledujúce umiestnenia:

Analyticky sú tieto grafy opísané podmienkami

Najmocnejším nástrojom na riešenie zložitých problémov s parametrami je Vietov teorém. Ale tu musíte byť mimoriadne pozorní na formuláciu.

Tieto dve vety (priama a inverzná)

Veta Vieta

Ak má rovnica korene a ; potom sú rovnosti splnené.

Vlastnosti vety:

najprv . Veta platí len pre rovnicu a nie je to pravda

V druhom prípade musíte najprv rozdeliť obe časti rovnice nenulovým koeficientom a na x 2 a potom použiť Vietovu vetu.

Po druhé. Pre využitie výsledkov vety je potrebné mať fakt existencie koreňov rovníc, t.j. nezabudnite zadať podmienku D>0

Obrátené

Vietov teorém

Ak existujú ľubovoľné čísla a potom sú koreňmi rovnice

Veľmi dôležitá poznámka, uľahčenie riešenia problémov: inverzná veta záruky existencia koreňov v rovnici, ktorá vám umožňuje nepohrať sa s diskriminantom. V tomto prípade je automaticky nezáporná.

	Podmienky pre korene	Ekvivalentná podmienka pre koeficienty a, b, c a diskriminant D
	Korene existujú (a sú odlišné)
	Korene existujú a sú si rovné
	Korene existujú a
	Korene existujú a
	Korene existujú a sú rôzne
	Korene existujú, jeden koreň je nula a druhý je >0

jeden). Nastavte pri akých hodnotách parametra rovnicu

Nemá korene.

Ak rovnica nemá korene, potom je potrebné a postačujúce, aby bol diskriminant

má rôzne pozitívne korene.

Keďže existujú korene, ak sú obe kladné, potom pre túto rovnicu použijeme vzorec Vieta

⟹

Má rôzne negatívne korene

Má korene rôznych znamení

Má zodpovedajúce korene

2). Pri akých hodnotách parametra a oba korene kvadratickej rovnice bude pozitívny?

Riešenie.

Keďže daná rovnica je kvadratická, potom oba jej korene (rovnaké alebo rôzne) budú kladné, ak je diskriminant nezáporný a súčet a súčin koreňov sú kladné, tj.

pretože a podľa Vietovej vety,

Potom dostaneme systém nerovností

3). Nájdite všetky hodnoty parametrov a sú nepozitívne.

Keďže daná rovnica je kvadratická, potom . Oba jeho korene (rovnaké alebo rôzne) budú záporné alebo rovné nule, ak je diskriminant nezáporný, súčet koreňov je záporný alebo rovný nule a súčin koreňov je nezáporný, tj.

a podľa Vietovej vety

potom dostaneme systém nerovností.

kde

4) Pri akých hodnotách parametra a rovná 22,5?

Najprv ponúkneme „riešenie“, s ktorým sme sa museli stretnúť už viackrát.

pretože potom dostaneme “Odpoveď” Avšak s nájdenou hodnotou a Pôvodná rovnica nemá korene.

V tomto riešení sme narazili na jednu z „najpopulárnejších“ chýb spojených s aplikáciou Vieta teorému:

hovoriť o koreňoch bez toho, aby ste najprv zistili, či existujú alebo nie.

Takže v tomto príklade bolo najprv potrebné zistiť, že iba vtedy, keď má pôvodná rovnica korene. Až potom je možné prejsť na vyššie uvedené výpočty.

Odpoveď: Taký a neexistuje.

5). Korene rovnice sú také, že Definujte

Riešenie. Podľa Vietovej vety Odmocnime obe časti prvej rovnosti Vzhľadom na to, že a dostaneme alebo Kontrola ukazuje, že hodnoty spĺňajú pôvodnú rovnicu.

Odpoveď:

6) Pri akej hodnote parametra a súčet druhých mocnín koreňov rovnice má najmenšiu hodnotu:

Nájdite diskriminant tejto rovnice. Máme Tu je dôležité neurobiť chybný záver, že rovnica má dva korene pre ľubovoľnú a. naozaj má dva korene pre akékoľvek, ale nie prípustné a, t.j. o hod

Pomocou Vietovej vety píšeme

Na získanie odpovede teda zostáva nájsť najmenšiu hodnotu kvadratickej funkcie

na scéne

Od hod a pri potom funkcia na zadanej množine nadobúda najmenšiu hodnotu v bode

Úlohy na samostatné riešenie

jeden). Nájdite všetky hodnoty parametrov a, pre ktoré sú korene kvadratickej rovnice

nezáporné

2). Vypočítajte hodnotu výrazu , kde sú korene rovnice

3). Nájdite všetky hodnoty parametrov a, pre ktoré súčet druhých mocnín reálnych koreňov rovnice viac ako 6.

odpoveď:

4). Pri akých hodnotách parametra a má rovnica ax 2 -4x + a \u003d 0:

a) pozitívne korene

b) negatívne korene

Umiestnenie koreňov kvadratickej funkcie vzhľadom na

dané body.

Pre takéto problémy je typická nasledujúca formulácia: pre aké hodnoty parametra sú korene (iba jeden koreň) väčšie (menej, nie viac, nie menej) daného čísla A; korene sú umiestnené medzi číslami A a B; korene nepatria do intervalu s koncami v bodoch A a B atď.

Pri riešení úloh súvisiacich so štvorcovou trojčlenkou

často musíte riešiť nasledujúce štandardné situácie (ktoré sformulujeme vo forme „otázky a odpovede“.

Otázka 1. Nech je uvedené číslo (1) oba jeho korene a viac tie. ?

Odpoveď. Koeficienty štvorcového trojčlenu (7) musí spĺňať podmienky

kde - úsečka vrcholu paraboly.

Platnosť toho, čo bolo povedané, vyplýva z obr. 1, ktorý samostatne uvádza prípady a Všimnite si, že dve podmienky a stále nestačia na to, aby korene a boli väčšie. 1 pomlčka ukazuje parabolu, ktorá spĺňa tieto dve podmienky, ale jej korene sú menšie. Ak však k naznačeným dvom podmienkam pripočítame, že úsečka vrcholu paraboly je väčšia, korene budú väčšie ako

Otázka 2. Nech je uvedené číslo Za akých podmienok na koeficientoch štvorcového trojčlenu (1) jeho korene a ležať na opačných stranách tie. ?

Odpoveď. štvorcové trinomické koeficienty (1) musí spĺňať podmienku

Platnosť toho, čo bolo povedané, vyplýva z obr. 2, kde sú oddelene uvedené prípady a. Všimnite si, že uvedená podmienka zaručuje existenciu dvoch rôznych koreňov a štvorcovej trojčlenky (1).

Otázka 3. Za akých podmienok na koeficientoch štvorcového trojčlenu (1) jeho korene a sú rôzne a iba jeden z nich leží v danom intervale

Odpoveď. Koeficienty štvorcového trojčlenu (1) musí spĺňať podmienku

Otázka 4. Za akých podmienok na koeficientoch štvorcového trojčlenu (1) súbor jeho koreňov nie je prázdny a všetky jeho korene a ležia v danom intervale tie.

Odpoveď. Koeficienty štvorcovej trojčlenky (1) musia spĺňať podmienky

Na vyriešenie takýchto problémov je užitočné pracovať s nižšie uvedenou tabuľkou.

Polynomické korene

.

MOU "Stredná škola č. 15"

Michurinsk, Tambovská oblasť

Lekcia algebry v 9. ročníku

"Umiestnenie koreňov štvorcového trinomu v závislosti od hodnôt parametra"

Vyvinuté

učiteľ matematiky 1. kategórie

Bortniková M.B.

Michurinsk - vedecké mesto 2016 rok

Lekcia trvá 2 hodiny.

Vážení chlapci! Štúdium mnohých fyzikálnych a geometrických zákonov často vedie k riešeniu problémov s parametrami. Niektoré univerzity zahŕňajú do lístkov na skúšky aj rovnice, nerovnice a ich systémy, ktoré sú často veľmi zložité a vyžadujú si neštandardný prístup k riešeniu. V škole sa táto jedna z najťažších častí školského kurzu algebry zvažuje len v niekoľkých voliteľných alebo predmetových kurzoch.
Funkčno-grafická metóda je podľa mňa pohodlný a rýchly spôsob riešenia rovníc s parametrom.

Ciele lekcie: 1. Rozšírte myšlienku kvadratických rovníc 2. Naučte sa nájsť všetky hodnoty parametra, pre každú z nich riešenia rovnice spĺňajú dané podmienky. 3. Rozvíjať záujem o predmet.

Počas tried:

1. Aký je parameter

Vyjadrenie formy ach 2 + bx + cv kurze školskej algebry sa nazýva štvorcová trojčlenka vzhľadom naX, kde a, b,c sú dané reálne čísla, navyše,a=/= 0. Hodnoty premennej x, pri ktorých výraz zaniká, sa nazývajú korene štvorcového trinomu. Na nájdenie koreňov štvorcového trinomu je potrebné vyriešiť kvadratickú rovnicuach 2 + bx + c =0.
Pripomeňme si základné rovnice:ax + b = 0;
ax2 + bx + c = 0.Pri hľadaní ich koreňov hodnoty premennýcha, b, c,zahrnuté v rovnici sa považujú za pevné a dané. Samotné premenné sa nazývajú parametre.

Definícia.Parameter je nezávislá premenná, za hodnotu ktorej sa v úlohe považuje dané pevné alebo ľubovoľné reálne číslo, prípadne číslo patriace do vopred určenej množiny.

2. Hlavné typy a metódy riešenia úloh s parametrami

Medzi úlohami s parametrami možno rozlíšiť nasledujúce hlavné typy úloh.

Rovnice, ktoré sa majú riešiť buď pre akúkoľvek hodnotu parametra (parametrov), alebo pre hodnoty parametrov, ktoré patria do vopred určenej množiny. Napríklad. Riešiť rovnice:sekera = 1 , (a - 2) x = a 2 – 4.

Rovnice, pre ktoré chcete určiť počet riešení v závislosti od hodnoty parametra (parametrov). Napríklad.

a rovnica 4 X 2 – 4 ax + 1 = 0má jeden koreň?

Rovnice, pre ktoré pre požadované hodnoty parametra množina riešení spĺňa dané podmienky v oblasti definície.

Nájdite napríklad hodnoty parametrov, pre ktoré sú korene rovnice (a - 2) X 2 – 2 sekera + a + 3 = 0 pozitívne.
Hlavné spôsoby riešenia problémov s parametrom: analytické a grafické.

Analytický- ide o metódu takzvaného priameho riešenia, pričom sa opakujú štandardné postupy hľadania odpovede v problémoch bez parametra. Uvažujme o príklade takejto úlohy.

Úloha č.1

Pri akých hodnotách parametra je rovnicaX 2 – 2 sekera + a 2 – 1 = 0 má dva rôzne korene patriace do intervalu (1; 5)?

Riešenie

X 2 – 2 sekera + a 2 – 1 = 0.
Podľa podmienky úlohy musí mať rovnica dva rôzne korene a to je možné len za podmienky: D > 0.
Máme: D = 4a 2 – 2(a 2 – 1) = 4. Ako vidíte, diskriminant nezávisí od a, preto má rovnica dva rôzne korene pre ľubovoľné hodnoty parametra a. Poďme nájsť korene rovnice:X 1 = a + 1, X 2 = a – 1
Korene rovnice musia patriť do intervalu (1; 5), t.j.
Takže o 2< a < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

odpoveď: 2< a < 4.
Takýto prístup k riešeniu problémov uvažovaného typu je možný a racionálny v prípadoch, keď je diskriminant kvadratickej rovnice „dobrý“, t.j. je presná druhá mocnina ľubovoľného čísla alebo výrazu, alebo korene rovnice možno nájsť pomocou inverznej Vietovej vety. Potom, a korene nie sú iracionálne výrazy. V opačnom prípade je riešenie problémov tohto typu z technického hľadiska spojené s pomerne komplikovanými postupmi. A riešenie iracionálnych nerovností bude od vás vyžadovať nové poznatky.

Grafický- ide o metódu, pri ktorej sa používajú grafy v rovine súradníc (x; y) alebo (x; a). Viditeľnosť a krása tejto metódy riešenia pomáha nájsť rýchly spôsob riešenia problému. Vyriešme problém číslo 1 graficky.
Ako viete, korene kvadratickej rovnice (štvorcový trojčlen) sú nuly zodpovedajúcej kvadratickej funkcie: y =X 2 – 2 Oh + a 2 – 1. Graf funkcie je parabola, vetvy smerujú nahor (prvý koeficient sa rovná 1). Geometrický model, ktorý spĺňa všetky požiadavky úlohy, vyzerá takto.

Teraz zostáva „upevniť“ parabolu v požadovanej polohe s potrebnými podmienkami.

1. Keďže parabola má dva priesečníky s osouX, potom D > 0.

   Vrchol paraboly leží medzi zvislými čiarami.X= 1 a X= 5, teda súradnica vrcholu paraboly x o patrí do intervalu (1; 5), t.j.
   1 < X o< 5.

   Všímame si to pri(1) > 0, pri(5) > 0.

Prechodom od geometrického modelu problému k analytickému získame systém nerovníc.

odpoveď: 2< a < 4.

Ako je zrejmé z príkladu, grafická metóda riešenia problémov uvažovaného typu je možná v prípade, že korene sú „zlé“, t.j. obsahujú parameter pod znamienkom radikálu (v tomto prípade diskriminant rovnice nie je dokonalý štvorec).
V druhom riešení sme pracovali s koeficientmi rovnice a rozsahom funkciepri = X 2 – 2 Oh + a 2 – 1.
Tento spôsob riešenia nemožno nazvať iba grafickým, pretože. Tu musíme vyriešiť systém nerovností. Skôr je táto metóda kombinovaná: funkčno-grafická. Z týchto dvoch metód je táto nielen elegantná, ale aj najdôležitejšia, pretože ukazuje vzťah medzi všetkými typmi matematického modelu: slovný popis problému, geometrický model - graf štvorcovej trojčlenky, analytický model - popis geometrického modelu sústavou nerovníc.
Uvažovali sme teda o probléme, v ktorom korene štvorcového trinomu spĺňajú dané podmienky v oblasti definície pre požadované hodnoty parametra.

A aké ďalšie možné podmienky môžu spĺňať korene štvorcového trinomu pre požadované hodnoty parametra?

Príklady riešenia problémov

3. Skúmanie umiestnenia koreňov štvorcového trinomu v závislosti od požadovaných hodnôt parametra a.

Úloha číslo 2.

Pri akých hodnotách parametraa korene kvadratickej rovnice

x 2 - 4x - (a - 1) (a - 5) \u003d 0 je viac ako jedna?

Riešenie.

Zvážte funkciu: y = x 2 - 4x - (a - 1) (a - 5)

Grafom funkcie je parabola. Vetvy paraboly smerujú nahor.

Schematicky si znázornime parabolu (geometrický model úlohy).

Teraz prejdime od zostrojeného geometrického modelu k analytickému, t.j. Opíšme tento geometrický model systémom podmienok, ktoré mu zodpovedajú.

Existujú priesečníky (alebo bod dotyku) paraboly s osou x, preto D≥0, t.j. 16+4(a-1)(a-5)≥0.

Všimneme si, že vrchol paraboly sa nachádza v pravej polrovine voči priamke x=1, t.j. jeho os x je väčšia ako 1, t.j. 2>1 (vykonáva sa pre všetky hodnoty parametra a).

Všimnite si, že y(1)>0, t.j. 1 - 4 - (a - 1) (a - 5) > 0

V dôsledku toho sa dostávame k systému nerovností.

;

odpoveď: 2<а<4.

Úloha číslo 3.

X 2 + ax - 2 = 0 väčšie ako jedna?

Riešenie.

Zvážte funkciu: y = -x 2 + ah - 2

Grafom funkcie je parabola. Vetvy paraboly smerujú nadol. Ukážme si geometrický model uvažovaného problému.

U(1)

Urobme systém nerovností.

, žiadne riešenia

Odpoveď. Neexistujú žiadne takéto hodnoty parametrov.

Podmienky úloh č. 2 a č. 3, v ktorých sú korene štvorcového trojčlenu väčšie ako určité číslo pre požadované hodnoty parametra a, formulujeme nasledovne.

Všeobecný prípad #1.

Pre aké hodnoty parametra sú korene štvorcového trinomu

f(x) = ax 2 + v + c je väčšie ako nejaké číslo k, t.j. do<х 1 ≤ x 2.

Znázornime geometrický model tohto problému a zapíšme príslušný systém nerovností.

Tabuľka 1. Model - schéma.

Úloha číslo 4.

Pri akých hodnotách parametra a sú korene kvadratickej rovnice

X 2 +(a+1)x–2a(a–1) = 0 menej ako jedna?

Riešenie.

Zvážte funkciu: y = x 2 + (a + 1) x–2a (a–1)

Grafom funkcie je parabola. Vetvy paraboly smerujú nahor. Podľa stavu úlohy sú korene menšie ako 1, preto parabola pretína os x (alebo sa dotýka osi x vľavo od priamky x=1).

Schematicky si znázornime parabolu (geometrický model úlohy).

y(1)

Prejdime od geometrického modelu k analytickému.

Keďže existujú priesečníky paraboly s osou x, potom D≥0.

Vrchol paraboly sa nachádza naľavo od priamky x=1, t.j. jeho os x 0 <1.

Všimnite si, že y(1)>0, t.j. 1+(a+1)-2a(a-1)>0.

Dostávame sa k systému nerovností.

;

Odpoveď: -0,5<а<2.

Všeobecný prípad č. 2.

Pre aké hodnoty parametra sú oba korene trinomuf(x) = ax 2 + v + c bude menšie ako nejaké číslo k: x 1 ≤ x 2<к.

Geometrický model a príslušný systém nerovností sú uvedené v tabuľke. Je potrebné vziať do úvahy skutočnosť, že existujú problémy, kde prvý koeficient štvorcového trinomu závisí od parametra a. A potom môžu byť vetvy paraboly nasmerované nahor aj nadol v závislosti od hodnôt parametra a. Túto skutočnosť zohľadníme pri vytváraní všeobecnej schémy.

Tabuľka číslo 2.

f(k)

Analytický model

(systém podmienok).

Analytický model

(systém podmienok).

Úloha číslo 5.

Pri akých hodnotách parametra a 2 -2ax+a=0 patrí do intervalu (0;3)?

Riešenie.

Uvažujme štvorcovú trojčlenku y(x) = x 2-2ax + a.

Graf je parabola. Vetvy paraboly smerujú nahor.

Na obrázku je znázornený geometrický model uvažovaného problému.

O

Y(0)

U(3)

0 x 1 x 0 x 1 3 x

Od zostrojeného geometrického modelu prejdime k analytickému, t.j. opisujeme ho systémom nerovností.

Existujú priesečníky paraboly s osou x (alebo bod dotyku), preto D≥0.

Vrch paraboly je medzi priamkami x=0 a x=3, t.j. úsečka paraboly x 0 patrí do intervalu (0;3).

Všimnite si, že y(0)>0 a tiež y(3)>0.

Prichádzame do systému.

;

Odpoveď: a

Všeobecný prípad č. 3.

Pre aké hodnoty parametra a patria korene štvorcového trinomu do intervalu (k; m), t.j. k<х 1 ≤х 2 < m

Tabuľka č. 3. Model - schéma.

f(X)

f(k)

f(m)

k x 1 x 0 x 2 mX

f(x)

0 kx 1 X 0 X 2 m

f(k)

f(m)

Analytický model problému

Analytický model problému

ÚLOHA č.6.

Pri akých hodnotách parametra a je len menší koreň kvadratickej rovnice x 2 +2ax+a=0 patrí do intervalu X (0;3).

Riešenie.

2-2ax + a

Graf je parabola. Vetvy paraboly smerujú nahor. Nech x 1 menšia odmocnina štvorcového trojčlenu. Podľa stavu problému x 1 patrí do intervalu (0;3). Ukážme geometrický model problému, ktorý spĺňa podmienky problému.

Y(X)

Y(0)

0 X 1 3 X 0 X 2 X

Y(3)

Prejdime k systému nerovností.

1) Všimnite si, že y(0)>0 a y(3)<0. Так как ветви параболы направлены вверх и у(3)<0, то автоматически Д>0. Túto podmienku teda netreba zapisovať do sústavy nerovností.

Dostaneme teda nasledujúci systém nerovností:

odpoveď: a >1,8.

Všeobecný prípad č. 4.

Pre aké hodnoty parametra a patrí menšia odmocnina štvorcového trinomu do daného intervalu (k; m), t.j. k<х 1 < m<х 2 .

Tabuľka č. 4 . Model - schéma.

f(k)

k x 1 0 m X 2

f(m)

F(x)

f(m)

kx 1 mx 2 x

f(k)

Analytický model

Analytický model

ÚLOHA č.7.

Pri akých hodnotách parametra je len väčší koreň kvadratickej rovnice x 2 +4x-(a+1)(a+5)=0 patrí do intervalu [-1;0).

Riešenie.

Uvažujme štvorcovú trojčlenku y(x)=x 2+4x-(a+1)(a+5).

Graf je parabola. Vetvy smerujú nahor.

Ukážme si geometrický model problému. Nech x 2 je väčší koreň rovnice. Podľa stavu problému patrí do intervalu iba väčší koreň.

r(X)

r(0)

X 1-1 x 20 x

r(-1)

Všimnite si, že y(0)>0 a y(-1)<0. Кроме этого ветви параболы направлены вверх, значит, при этих условиях Д>0.

Vytvorme systém nerovností a vyriešme ho.

odpoveď:

Všeobecný prípad č. 5.

Pre aké hodnoty parametra a patrí väčšia odmocnina štvorcovej trojčlenky do daného intervalu (k; m), t.j. x 1< k<х 2 < m.

Tabuľka č. 5. Model - schéma.

f(x)

f(m)

0 x 1 k x 2 mx

f(k)

f(x)

f(k)

X 1 0 kx 2 m

f(m)

Analytický model

Analytický model

Z ADACHA č.8.

Pri akých hodnotách parametra a je segment [-1; 3] úplne umiestnený medzi koreňmi kvadratickej rovnice x 2-(2a+1)x+a-11=0?

Riešenie.

Uvažujme štvorcovú trojčlenku y(x)=x 2 - (2a + 1) x + a-11

Graf je parabola.

Geometrický model tohto problému je znázornený na obrázku.

Y(X)

X 1 -1 0 3 X 2 X

Y(-1)

Y(3)

Za týchto podmienok D>0, pretože vetvy paraboly smerujú nahor.

Odpoveď: a

Všeobecný prípad č. 6.

Pre aké hodnoty parametra a sú korene štvorcovej trojčlenky mimo daného intervalu (k; m), t.j. x 1< k < m<х 2 .

x 2 -(2a + 1) x + 4-a \u003d 0 ležia na opačných stranách čísla od čísla 3?

Riešenie.

Uvažujme štvorcovú trojčlenku y(x)=x 2 - (2a + 1) x + 4-a.

Graf je parabola, vetvy smerujú nahor (prvý koeficient je 1). Ukážme si geometrický model problému.

X 1 3 X 2 X

Y(3)

Prejdime od geometrického modelu k analytickému.

1. Všimli sme si, že y(3)<0, а ветви параболы направлены вверх. При этих условиях Д>0 automaticky.+in+c je menšie ako nejaké číslo k: x 1 ≤ x 2 <к

   3. Pre aké hodnoty parametra a korene štvorcovej trinomickej sekery 2 +in+c patrí do intervalu (k, t) do<х 1 ≤x 2 <т

   4. Pre aké hodnoty parametra a iba menší koreň štvorcovej trinomickej sekery 2 +in+c patrí do daného intervalu (k, t), teda k<х 1 <т<х 2

   1. Znázornite geometrický model tejto úlohy.

   2. Napíšte systém podmienok, na ktoré sa redukuje riešenie tejto úlohy

   1. Znázornite geometrický model tejto úlohy.

   2. Napíšte systém podmienok, na ktoré sa redukuje riešenie tejto úlohy

   1. Znázornite geometrický model tejto úlohy.

   2. Napíšte systém podmienok, na ktoré sa redukuje riešenie tejto úlohy

   Korene kvadratickej rovnice x 2 -4x-(a-1)(a-5)=0, väčšie ako 1.

   odpoveď: 2<а<4

   Korene kvadratickej rovnice x 2 +(a+1)x-2a(a-1)=0, menej ako 1.

   odpoveď:

   -0,5<а<2

   Korene kvadratickej rovnice x 2 -2ax+a=0, patrí do intervalu (0;3).

   Odpoveď: 1≤a< 9 / 5

   Iba menší koreň rovnice x 2 -2ax+a=0, patrí do intervalu (0;3).

   Odpoveď: 1≤a< 9 / 5

   1. Znázornite geometrický model tejto úlohy.

   2. Napíšte systém podmienok, na ktoré sa redukuje riešenie tejto úlohy

   1. Znázornite geometrický model tejto úlohy.

   2. Napíšte systém podmienok, na ktoré sa redukuje riešenie tejto úlohy

   1. Znázornite geometrický model tejto úlohy.

   2. Napíšte systém podmienok, na ktoré sa redukuje riešenie tejto úlohy

   Iba najväčší koreň rovnice x 2 +4x-(a+1)(a+5)=0, patrí do intervalu [-1;0).

   Odpoveď:(-5;-4]U[-2;-1)

   Úsek [-1; 3] je celý medzi koreňmi kvadratickej rovnice x 2 -(2a+1)x+a-11=0.

   odpoveď: -1<а<3

   Korene kvadratickej rovnice x 2 -2 (a + 1) x + 4-a \u003d 0, ležia na opačných stranách čísla 3.

   odpoveď( 10 / 7 ;∞)

   Ďakujem za lekciu chlapci!

Štvorcová trojčlenka je hlavnou funkciou školskej matematiky – mimochodom, nie najprimitívnejšou. Schopnosť využívať ním poskytnuté prostriedky na riešenie problémov do značnej miery charakterizuje úroveň matematického myslenia študenta školskej algebry. V tomto príspevku túto tézu zdôvodňujeme a uvádzame príklady konkrétnej aplikácie vlastností kvadratickej funkcie. Stimulačným faktorom je skutočnosť, že pri riešení akéhokoľvek problému s parametrami je skôr či neskôr potrebné (a podarí sa) problém preformulovať v zmysle štvorcovej trojčlenky a vyriešiť ho pomocou vlastností tejto univerzálnej funkcie.

Štúdium štvorcového trojčlenu

Definícia. Štvorcový trojčlen vzhľadom na x je vyjadrenie tvaru f(x) = ax 2 + bx + c (1), kde a, b, cR, a0.

Štvorcový trinóm je obyčajný polynóm stupňa 2. Rozsah otázok formulovaných z hľadiska štvorcového trinómu je nečakane extrémne široký. Keďže úlohy spojené so štúdiom štvorcového trojčlenu tradične zaujímajú čestné a popredné miesto v písomných prijímacích skúškach na školy a univerzity, je veľmi dôležité naučiť študenta (budúceho uchádzača) neformálnemu (čiže tvorivému) držaniu rôznych techník a metód takéhoto výskumu. V tomto metodickom vývoji sú zafixované hlavné tvrdenia o štvorcovej trojčlenke (Vietova veta, umiestnenie koreňov vzhľadom k daným bodom číselnej osi, technika manipulácie s diskriminantom), problémy rôzneho typu a rôznej úrovne zložitosti. sú vyriešené. Hlavným ideologickým záverom je, že v školskej matematike existujú fragmenty bohaté na hlboký obsah, ktoré sú prístupné študentovi a nevyžadujú použitie matematickej analýzy a iných častí takzvanej „vyššej matematiky“.

Grafom trojčlenky (1) je parabola; za 0 - hore. Umiestnenie paraboly vzhľadom na os Ox závisí od hodnoty diskriminantu D = b 2 - 4ac: pre D>0 existujú dva priesečníky paraboly s osou Ox (dva rôzne reálne korene trinómu) ; pri D=0 - jeden bod (dvojitý skutočný koreň); pri D 0 - nad osou Ox). Štandardným trikom je nasledujúca reprezentácia trojčlenky (pomocou úplného štvorcového výberu):

f(x) = ax2 + bx + c = = . Toto znázornenie uľahčuje zostavenie grafu pomocou lineárnych transformácií grafu funkcie y=x 2 ; súradnice vrcholov paraboly: .

Rovnaká transformácia umožňuje okamžite vyriešiť najjednoduchší extrémny problém: nájsť najväčšiu (pre 0) hodnotu funkcie (1); extrémna hodnota je dosiahnutá v bode a rovná sa .

Jeden z hlavných úsudkov o štvorcovom trojčlene -

Veta 1 (vieta). Ak x 1, x 2 sú korene trojčlenky (1), potom

(Vieta vzorce).

Pomocou Vietovej vety je možné vyriešiť mnohé problémy, najmä tie, v ktorých je potrebné formulovať podmienky, ktoré určujú znaky koreňov. Nasledujúce dve vety sú priamymi dôsledkami Vietovej vety.

Veta 2. Na to, aby korene štvorcového trojčlenu (1) boli skutočné a mali rovnaké znamienka, je potrebné a postačujúce, aby boli splnené tieto podmienky:

D \u003d b 2 - 4ac 0, x 1 x 2 \u003d\u003e 0,

oba korene sú kladné pre x 1 + x 2 = > 0,

a oba korene sú záporné pri x 1 + x 2 =

Veta 3. Na to, aby korene štvorcového trojčlenu (1) boli skutočné a mali rôzne znamienka, je potrebné a postačujúce, aby boli splnené tieto podmienky:

D=b2-4ac > 0, x 1 x 2 =

v tomto prípade má kladný koreň väčší modul pri x 1 + x 2 \u003d\u003e 0,

a záporná odmocnina má väčší modul pri x 1 + x 2 =

Nižšie uvedené teorémy a dôsledky môžu (a preto musia) byť efektívne aplikované pri riešení problémov s parametrami.

Veta 4. Aby boli oba odmocniny štvorcovej trojčlenky (1) menšie ako číslo M, teda na skutočnej priamke, korene ležia vľavo od bodu M, je potrebné a postačujúce, aby boli splnené nasledujúce podmienky: :

alebo kombináciou podmienok,

(obr. 1a a 1b).

Dôkaz.

Potreba. Ak má trojčlen (1) skutočné korene x 1 a x 2 (možno rovnaké), x 1 x 2 a x 1, (x 1 - M) (x 2 - M) > 0, x 1 + x 2 0, M > (x 1 + x 2)/2. Podľa vzorcov Viety , teda , alebo , atď.

Primeranosť- rozpor s podmienkou. Ak , potom (x 1 - M) (x 2 - M) 0, x 1 x 2 - (x 1 + x 2) M + M 2 0, odkiaľ , af(M) 0 - opäť rozpor s podmienkou; zostáva len možnosť x 1

Veta 5. Aby jeden z koreňov štvorcovej trojčlenky (1) bol menší ako číslo M a druhý väčší ako číslo M, teda bod M by ležal v intervale medzi koreňmi, je potrebné a postačujúce, aby boli splnené tieto podmienky:

alebo kombináciou podmienok af(M)

(obr. 2a a 2b).

Dôkaz.

Potreba. Ak má trojčlen (1) reálne korene x 1 a x 2 , x 1 M , potom (x 1 - M)(x 2 - M), teda alebo af(M)

Primeranosť. Nech af(M) , alebo , potom (x 1 - M) (x 2 - M)0,

x 1 x 2 - (x 1 + x 2) M + M20, odkiaľ , af(M)0 - rozpor s podmienkou; ostáva jediná možnosť, čo treba dokázať. Veta bola dokázaná.

Veta 6. Aby boli oba odmocniny štvorcového trojčlenu (1) väčšie ako číslo M, teda na skutočnej priamke, korene ležia vpravo od bodu M, je potrebné a postačujúce, aby boli splnené nasledujúce podmienky: :

alebo kombináciou podmienok,

(obr. 3a a 3b).

Dôkaz. Potreba. Ak má trojčlen (1) skutočné korene x 1 a x 2 (možno sa zhodujú), x 1 x 2 a x 1 > M, x 2 > M, potom (x 1 - M) (x 2 - M) > 0 x1 + x2 > 2M; inak x 1 x 2 - (x 1 + x 2) M + M 2 > 0, M , teda , alebo , atď.

Primeranosť. Nechajte . My tvrdíme opak. Predpokladajme, že , , potom - rozpor s podmienkou. Ak , potom (x 1 - M) (x 2 - M) 0, x 1 x 2 - (x 1 + x 2) M + M 2 0, odkiaľ , af(M) 0 - opäť rozpor s podmienkou; zostáva len možnosť x 1 > M, x 2 > M, ktorá sa má dokázať. Veta bola dokázaná.

Dôsledok 1. Aby oba odmocniny štvorcového trojčlenu (1) boli väčšie ako číslo M, ale menšie ako číslo N (M

alebo kombináciou podmienok,

(obr. 4a a 4b).

Dôsledok 2. Aby len najväčšia odmocnina štvorcového trojčlenu (1) patrila do intervalu (M,N), kde M

alebo kombináciou podmienok,

menší koreň leží mimo segmentu

(obr. 5a a 5b).

Dôsledok 3. Aby len menšia odmocnina štvorcového trojčlenu (1) patrila do intervalu (M,N), kde M

, alebo kombináciou podmienok, ;

väčší koreň leží mimo segmentu

(obr. 6a a 6b).

Dôsledok 4. Aby jeden z koreňov štvorcového trinomu (1) bol menší ako M a druhý väčší ako N (M

alebo kombináciou podmienok,

(obr. 7, a a 7, b).

Samozrejme, analytické a geometrické interpretácie výsledkov Viet 4-6 a Dôsledkov 1-4 sú ekvivalentné a strategickým cieľom je rozvíjať zručnosti pre presný preklad z jedného jazyka do druhého. Je obzvlášť dôležité ukázať, ako „vizualizácia“ („grafický pohľad“) pomáha presne zapísať formálne podmienky potrebné a dostatočné na splnenie požiadaviek úlohy.

Naznačme typické problémy, ktoré sa dajú vyriešiť pomocou overených viet (všeobecnejšie povedané také, ktoré sa dajú vyriešiť na základe vlastností štvorcového trinomu).

Úloha 1. Nájdite všetky hodnoty a, pre ktoré majú rovnice x 2 +ax+1=0 a x 2 +x+a=0 aspoň jeden spoločný koreň.

Riešenie. Obe rovnice majú presne rovnaké korene vtedy a len vtedy, ak sú koeficienty zodpovedajúcich štvorcových trinómov rovnaké (polynóm druhého stupňa je úplne určený jeho dvoma koreňmi a zodpovedajúce koeficienty týchto polynómov sú rovnaké), takže dostaneme a= 1. Ak sa však berú do úvahy iba skutočné korene, potom pre a=1 neexistujú žiadne (diskriminant zodpovedajúceho trinomu je záporný). Pre a1 argumentujeme takto: ak x 0 je koreňom oboch rovníc f(x)=0 a g(x)=0, potom x 0 bude koreňom rovnice f(x)-g(x) =0 (je to len nevyhnutná, ale nie postačujúca podmienka pre existenciu spoločného koreňa dvoch rovníc f(x)=0 a g(x)=0, keďže rovnica f(x) - g(x) =0 je ich dôsledkom); Odčítajte druhú od prvej rovnice a získajte

(x 2 + ax + 1) - (x 2 + x + a) = 0, x(a-1) - (a-1)=0, odkiaľ, pretože a1, x=1. Touto cestou, ak daný rovnice majú spoločný koreň, potom sa rovná 1. Dosaďte x = 1 do prvej rovnice: 1 + a + 1 = 0 a a = -2.

Odpoveď. a = -2.

Úloha 2. Pri akom a bude súčet druhých mocnín koreňov rovnice x 2 - ax + a - 1 = 0 najmenší?

Riešenie. Autor: Vietov teorém, x 1 + x 2 = a, x 1 x 2 = a - 1. Máme:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2 = a 2 - 2 (a-1) = a 2 - 2a + 2 = (a-1) 2 + 1 1 a = 1 pre a=1.

Odpoveď. a = 1.

Úloha 3. Existujú také, že korene polynómu f(x)=x 2 +2x+a sú skutočné, odlišné a obidva sú medzi -1 a 1?

Riešenie. Aby obidva korene x 1 a x 2 trinómu f (x) boli uzavreté medzi -1 a 1, je potrebné, aby aritmetický priemer týchto koreňov bol uzavretý medzi -1 a 1: ; ale na Vietov teorém, , preto

Odpoveď. Nie

Úloha 4. Pre aké hodnoty parametra a sú oba korene kvadratickej rovnice x 2 + (2a + 6) x + 4a + 12 = 0 skutočné a oba sú väčšie ako -1?

Riešenie. Veta 6 dáva:

, , , .

Odpoveď. .

Úloha 5. Pre aké hodnoty parametra a sú oba korene kvadratickej rovnice x 2 +4ax+ (1-2a+4a 2) = 0 skutočné a oba sú menšie ako -1?

Riešenie. Veta 4 dáva:

, , , a>1.

Odpoveď. a > 1.

Úloha 6. Pre aké hodnoty parametra a je jeden koreň kvadratickej rovnice f(x) = (a-2)x 2 - 2(a+3)x + 4a = 0 väčší ako 3 a druhý menší ako 2 ?

Riešenie. Okamžite si všimnite, že a2 (inak by rovnica mala iba jeden koreň). Použiteľné dôsledok 4(tu M=2, N=3):

, , , 2

Odpoveď. a(2;5).

Úloha 7. Pre aké a má rovnica (a-1)x 2 -(2a-1)x+a+5 = 0 (2) skutočné korene? Preskúmajte znaky týchto koreňov.

Riešenie. Ak a = 1, rovnica (2) je lineárna: -x + 6 = 0, x = 6 > 0.

Ak a1, potom rovnica (2) je kvadratická a má reálne korene práve vtedy, ak D=(2a-1) 2 -4(a-1)(a+5)0, . Oba korene sú pozitívne (veta 6), kde

a ;

oba korene sú negatívne (veta 4) - tento systém riešení nemá žiadne; korene majú rôzne znamienka na (a-1)(a+5) veta 5), ​​t.j. -5

Odpoveď.

Pre oba korene sú kladné; pre a=-5 je jeden z koreňov 0.

Pre a = 1 - jediný kladný koreň x = 6.

Neexistujú žiadne riešenia.

Úloha 8. Nájdite všetky skutočné hodnoty a, pre ktoré je trojčlenka

(a 2 -1)x 2 + 2(a-1)x + 1 je kladné pre všetky reálne x.

Riešenie. S a 2 =1 dostaneme binom 2(a-1)x+1; pre a=1 je podmienka úlohy splnená, pre a=-1 - nie. Ak je 2 1, potom na uspokojenie nerovnosti

(a 2 -1)x 2 +2(a-1)x+1>0 pre všetky xR je potrebné a dostatočné

,

kde nájdeme a>1.

Odpoveď. 1.

Rovnice

Úloha 9. Za akých podmienok má rovnica x 2 +px+q=0 (3), kde x=sint, riešenia pre t? Nájdite všetky tieto riešenia.

Riešenie. 1. Rovnica (3) má koreň x 1 =-1, alebo sint=-1, alebo t= ak 1-p+q=0. Druhý koreň sa rovná x 2 = 1-p; teda ak , potom rovnica sin 2 t +psint+q=0 (4) má okrem uvedených aj korene (pre p=2 sa oba rady koreňov zhodujú).

2. Rovnica (3) má koreň x 1 = 1 alebo sint = 1 alebo t = , ak

1+p+q=0. V tomto prípade sa druhý koreň rovná x 2 =-1-p; teda ak , potom rovnica (4) má okrem naznačených aj korene (pre p=-2 sa oba rady koreňov zhodujú).

3. Korene (3) sú si navzájom rovné pri p 2 -4q=0; potom x 1 = x 2 = -p/2; ak navyše , potom , zatiaľ čo pre p2 nie sú žiadne korene. Ak p=2, potom q=1, x 2 +2x+1=0, x=-1, t= a ak p=-2, potom x=1, t=.

Prípad I nastane vtedy a len vtedy, ak 1-p+q>0, 1+p+q dôsledok 3) alebo p-1 .

Prípad II nastane vtedy a len vtedy, ak 1-p+q 0 ( dôsledok 2), alebo -p-1.

Prípad III nastáva vtedy a len vtedy, ak p 2 >4q, -2+p 0, 1-p+q>0, 1+p+q>0 ( následok 1), alebo 2

V čom .

V ostatných prípadoch rovnica sin 2 t +psint+q=0 nemá riešenia.

Úloha 10. Pre aké aR má rovnica sin 4 x+cos 4 x+sin2x+a=0 (5) riešenia? Nájdite tieto riešenia.

Riešenie. Keďže sin 4 x + cos 4 x = hriech 4 x + 2 sin 2 xcos 2 x + cos 4 x - 2sin 2 xcos 2 x =

(sin 2 x+cos 2 x) 2 - 4sin 2 xcos 2 x = 1 - sin 2 2x, rovnicu (5) je možné prepísať nasledovne:

1 - sin 2 2x + sin2x + a = 0, sin 2 2x - 2sin2x - 2 - 2a = 0; urobme náhradu y=sin2x:

y2-2y-2-2a = 0 (6).

Rovnica (6) má reálne korene, ak D=3+2a. Nech y 1 , y 2 sú korene (6). Rovnica (5) má korene v jednom z nasledujúcich prípadov:

1. Aspoň jeden koreň sa rovná 1. Potom 1-2-2-2a=0, a=; rovnica (6) má tvar y2-2y+1=0 a druhý koreň sa tiež rovná 1; teda pre a= sin2x=1, 2x= .

2. Aspoň jeden koreň sa rovná -1. Potom 1+2-2-2a=0, a=; rovnica (6) má tvar y2-2y-3=0 a druhý koreň je 3; ale koreň y=3 nie je vhodný, preto s a= sin2x=-1, 2x= .

3. -1 : 3+2a>0, a>-, (-1) 2 -2(-1)-2-2a>0, 2(-1)-2

1 2 -21-2-2a>0, 21-2>0 - protirečivý systém (0=2-2>0).

4. y 1: (-1) 2 -2(-1)-2-2a1-2-2a>0 je rozpor.

5. -1 Dôsledok 3: V tomto prípade 1 2 -21-2-2a (-1)-2-2a>0 a . Korene (6) sú y 1 = 1-, y 2 = 1+ a iba . Potom

4. Umiestnenie koreňov štvorcového trojčlenu v závislosti od parametra

Často sa vyskytujú problémy s parametrami, v ktorých je potrebné určiť umiestnenie koreňov štvorcového trinomu na skutočnej osi. Na základe hlavných ustanovení a zápisu z predchádzajúceho odseku zvážte tieto prípady:

1. Nech je daná štvorcová trojčlenka, kde
a bodka m na náprave Vôl. Potom oba kone
štvorcový trojčlen
bude striktne menej m

alebo

Geometrická ilustrácia je znázornená na obrázkoch 3.1 a 3.2.

2. Nech je daná štvorcová trojčlenka, kde a bod m na náprave Vôl. Nerovnosť
platí len vtedy a len vtedy, ak čísla a a
majú rôzne znaky, tzn
(Obr. 4.1 a 4.2.)

3. Nech je daná štvorcová trojčlenka, kde a bod m na náprave Vôl. Potom oba kone
štvorcová trojčlenka bude striktne väčšia m len vtedy, ak sú splnené tieto podmienky:

alebo

Geometrická ilustrácia je znázornená na obrázkoch 5.1 a 5.2.

4. Nech je daná štvorcová trojčlenka, kde a interval (m, M) Potom oba odmocniny štvorcovej trojčlenky patria do uvedeného intervalu vtedy a len vtedy, ak sú splnené nasledujúce podmienky:

alebo

Geometrická ilustrácia je znázornená na obrázkoch 6.1 a 6.2.

5. Nech je daná štvorcová trojčlenka, kde , sú jej korene a segment
. Úsek leží v intervale
len vtedy, ak sú splnené tieto podmienky:

Geometrická ilustrácia je znázornená na obrázkoch 7.1 a 7.2.

Príklad.Nájdite všetky hodnoty parametrova, pre každý z nich oba korene rovnice
viac ako -2.

Riešenie. Je to špecifikované v podmienke úlohy. Že rovnica má dva korene, takže . Uvažovaná situácia je opísaná v prípade 3 a je znázornená na obrázku 5.1. a 5.2.

poďme nájsť,
,

Vzhľadom na to všetko napíšeme množinu dvoch systémov:

alebo

Vyriešením týchto dvoch systémov dostaneme .

Odpoveď. Pre každú hodnotu parametra a z medzery sú oba korene rovnice väčšie ako -2.

Príklad.Pri akých hodnotách parametraanerovnosť
vykonávané pre akékoľvek
?

Riešenie. Ak súprava X je riešením tejto nerovnosti, potom podmienka úlohy znamená, že interval
musí byť v rámci množiny X, teda

.

Zvážte všetky možné hodnoty parametra a.

1.Ak a=0, potom nerovnosť nadobudne tvar
, a jeho riešením bude interval
. V tomto prípade je podmienka splnená a a=0 je riešením problému.

2.Ak
, potom je grafom pravej strany nerovnosti štvorcová trojčlenka, ktorej vetvy smerujú nahor. Riešenie nerovnosti závisí od znamienka .

Zvážte prípad, kedy
. Potom, aby nerovnosť platila pre všetkých, je potrebné, aby odmocniny štvorcovej trojčlenky boli menšie ako -1, teda:

alebo

Vyriešením tohto systému dostaneme
.

Ak
, potom parabola leží nad osou OX, a riešením nerovnice bude ľubovoľné číslo z množiny reálnych čísel vrátane intervalu . Nájdime takých a z podmienky:

alebo

Vyriešením tohto systému dostaneme
.

3.Ak
, potom o
riešením nerovnosti je interval , ktorý nemôže zahŕňať interval , a ak
táto nerovnosť nemá riešenia.

Spojenie všetkých nájdených hodnôt a, dostaneme odpoveď.

Odpoveď. Pre ľubovoľnú hodnotu parametra z intervalu
nerovnosť platí pre všetky .

Príklad.Pre aké hodnoty parametra a množina funkčných hodnôt obsahuje segment
?

Riešenie. 1. Ak
, potom

a) pri a = 1 funkcia bude mať tvar r = 2 a množina jeho hodnôt pozostáva z jedného bodu 2 a neobsahuje segment ;

b) kedy a = Funkcia -1 bude mať tvar r = -2 X+2 . Jeho súbor významov
obsahuje segment, tzv a =-1 je riešením problému.

2.Ak
, potom vetvy paraboly smerujú nahor, funkcia nadobúda najmenšiu hodnotu vo vrchole paraboly
:

,
.

Množina funkčných hodnôt je interval
, ktorý obsahuje segment
ak sú splnené tieto podmienky:

.

3. Ak
, potom vetvy paraboly smerujú nadol, funkcia nadobúda najväčšiu hodnotu vo vrchole paraboly
. Množina funkčných hodnôt je interval
, ktorá obsahuje segment, ak sú splnené nasledujúce podmienky:

Vyriešením tohto systému nerovností získame
.

Kombináciou riešení dostaneme
.

Odpoveď. O
sada funkčných hodnôt obsahuje segment .

Úlohy na samostatné riešenie

1. Bez výpočtu koreňov kvadratickej rovnice
, Nájsť

a)
, b)
, v)

2. Nájdite množinu funkčných hodnôt

a)
, b)
, v)
, G)

3. Riešte rovnice

a)
, b)

4. Pri akých hodnotách parametra a oba korene rovnice
ležať na intervale (-5, 4)?

5. Pri akých hodnotách parametra a nerovnosť platí pre všetky hodnoty X?

6. Pri akých hodnotách parametra a najmenšia funkčná hodnota

Na segmente
je -1?

7. Pri akých hodnotách parametra a rovnica
má korene?

Karpová Irina Viktorovna

PROGRAMOVÉ A VZDELÁVACIE MATERIÁLY VÝBEROVÉHO KURZU z matematiky pre žiakov 8. – 9. ročníka „Základy teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky“

Vysvetľujúca poznámka

V súčasnosti sa stáva zrejmá univerzálnosť pravdepodobnostno-štatistických zákonov, stali sa základom pre popis vedeckého obrazu sveta. Na pravdepodobnostno-štatistickom základe sa rozvíja moderná fyzika, chémia, biológia, demografia, lingvistika, filozofia, celý komplex sociálno-ekonomických vied.

Dieťa sa vo svojom živote denne stretáva s pravdepodobnostnými situáciami. Škála otázok súvisiacich s pochopením vzťahu medzi pojmami pravdepodobnosť a spoľahlivosť, problém výberu najlepšieho z viacerých riešení, posúdenie miery rizika a šancí na úspech – to všetko je vo sfére skutočných záujmov formácie a sebarozvoj jednotlivca.

To všetko si vyžaduje oboznámenie dieťaťa s pravdepodobnostno-štatistickými vzormi.

Cieľ kurzu: oboznámiť študentov s niektorými teoretickými a pravdepodobnostnými zákonitosťami a štatistickými metódami spracovania údajov.

Ciele kurzu

Oboznámiť študentov so základným pojmovým aparátom teórie pravdepodobnosti.

Naučte sa určovať pravdepodobnosť udalostí v klasickej testovacej schéme.

Oboznámiť sa s metódami primárneho spracovania štatistických údajov.

Požiadavky na úroveň zvládnutia obsahu kurzu

V dôsledku zvládnutia programu kurzu by študenti mali vedieť:

základné pojmy teórie pravdepodobnosti: test, výsledok testu, priestor elementárnych udalostí, náhodné, isté, nemožné udalosti, spoločné a nezlučiteľné udalosti;

podmienky klasickej testovacej schémy a určenie pravdepodobnosti udalosti v klasickej testovacej schéme;

určenie relatívnej frekvencie výskytu udalosti a štatistickej pravdepodobnosti;

určenie variačného radu a jeho hlavných číselných charakteristík.

Počas kurzu si študenti musia osvojiť zručnosti:

určiť všetky možné výsledky testu, kompatibilitu a nezlučiteľnosť udalostí;

riešiť teoretické a pravdepodobnostné úlohy na výpočet pravdepodobnosti v klasickej testovacej schéme;

vypočítať relatívnu frekvenciu výskytu udalosti;

urobiť štatistické rozdelenie vzorky a vypočítať jej číselné charakteristiky.

Program zahŕňa rozvoj študentov zručnosti:

využitie existujúcich algoritmov a v prípade potreby ich kreatívne spracovanie v špecifických podmienkach problému;

samostatné riešenie problémov;

využitie pri riešení úloh zovšeobecnených schém obsahujúcich základné definície a vzorce.

Rozsah kurzu: ponúkaný kurz je 20 hodín

Tematické plánovanie

	Témy lekcií	Počet hodín
	Základné pojmy teórie pravdepodobnosti.
	Klasická skúšobná schéma. Stanovenie pravdepodobnosti v klasickej testovacej schéme.
	Frekvencia je absolútna a relatívna.
	Štatistická definícia pravdepodobnosti.
	Všeobecné a vzorové populácie.
	Štatistické rozdelenie vzorky.
	Číselné charakteristiky štatistického rozdelenia.
	Štatistický odhad a prognóza.

Manuálny text

Mnoho ľudí miluje matematiku pre jej večné pravdy: dvakrát dva sú vždy štyri, súčet párnych čísel je párny a plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho priľahlých strán. Pri akomkoľvek probléme, ktorý ste riešili na hodine matematiky, dostali všetci rovnakú odpoveď – len ste sa pri riešení nemali pomýliť.

Skutočný život nie je taký jednoduchý a jednoznačný. Je nemožné predpovedať výsledky mnohých javov vopred, bez ohľadu na to, aké úplné informácie o nich máme. Nedá sa napríklad s istotou povedať, na ktorú stranu pristane hodená minca, kedy na budúci rok napadne prvý sneh alebo koľko ľudí v meste bude chcieť v priebehu nasledujúcej hodiny telefonovať. Takéto nepredvídateľné udalosti sa nazývajú náhodný.

Prípad má však aj svoje zákonitosti, ktoré sa začínajú prejavovať opakovaným opakovaním náhodných javov. Ak hodíte mincou 1000-krát, potom „orol“ vypadne približne v polovici času, čo sa nedá povedať o dvoch alebo dokonca desiatich hodoch. Všimnite si slovo "približne" - zákon neuvádza, že počet "orlov" bude presne 500 alebo bude medzi 490 a 510. Netvrdí vôbec nič, ale dáva určitý stupeň istoty, že nejaký náhodný udalosť nastane.. Takéto zákonitosti študuje špeciálny odbor matematiky - teória pravdepodobnosti.

Teória pravdepodobnosti je neoddeliteľne spojená s naším každodenným životom. To poskytuje pozoruhodnú príležitosť empiricky stanoviť mnohé pravdepodobnostné zákony, opakovane sa opakujúce náhodné experimenty. Materiálmi pre tieto experimenty budú najčastejšie obyčajná minca, kocka, súprava domino, ruleta a dokonca aj balíček kariet. Každá z týchto položiek, tak či onak, je spojená s hrami. Faktom je, že prípad sa tu objavuje vo svojej najčistejšej podobe a prvé pravdepodobnostné problémy súviseli s hodnotením šancí hráčov na víťazstvo.

Moderná teória pravdepodobnosti sa posunula tak ďaleko od hazardných hier ako geometria od problémov hospodárenia s pôdou, no ich rekvizity sú stále tým najjednoduchším a najspoľahlivejším zdrojom náhody. Cvičením s ruletou a kockou sa naučíte vypočítať pravdepodobnosť náhodných udalostí v reálnych životných situáciách, čo vám umožní posúdiť svoje šance na úspech, testovať hypotézy a rozhodovať sa nielen v hrách a lotériách.

Matematická štatistika je oblasť matematiky, ktorá študuje metódy zberu, systematizácie a spracovania výsledkov pozorovaní hromadných náhodných javov s cieľom identifikovať existujúce vzorce.

Problémy matematickej štatistiky sú v istom zmysle inverzné k problémom teórie pravdepodobnosti: zaoberajúca sa iba experimentálne získanými hodnotami náhodných premenných, cieľom štatistiky je predkladať a testovať hypotézy o rozdelení týchto náhodných premenných a vyhodnocovať parametre ich distribúcie.

1. Náhodné udalosti. Ako porovnať udalosti?

Ako každé iné odvetvie matematiky, aj teória pravdepodobnosti má svoj vlastný pojmový aparát, ktorý sa používa pri formulovaní definícií, dokazovaní teorémov a odvodzovaní vzorcov. Uvažujme o pojmoch, ktoré budeme používať v ďalšom výklade teórie.

Skúška- implementácia súboru podmienok.

Výsledok testu (základná udalosť)– akýkoľvek výsledok, ktorý sa môže vyskytnúť počas testu.

Príklady.

1) Skúška:

Výsledky testu:ω 1 - na hornej strane kocky sa objavil jeden bod;

ω 2 – na hornej strane kocky sa objavili dva body;

ω 3 – na hornej strane kocky sa objavili tri body;

ω 4 – na hornej strane kocky sa objavili štyri body;

ω 5 – na hornej strane kocky sa objavilo päť bodov;

ω 6 - na hornej strane kocky sa objavilo šesť bodov.

Celkovo je možných 6 výsledkov testu (alebo 6 základných udalostí).

2) Skúška:študent robí skúšku.

Výsledky testu:ω 1 - študent dostal dvojku;

ω 2 - žiak dostal trojku;

ω 3 - študent dostal štvorku;

ω 4 - žiak dostal päťku.

Celkovo sú možné 4 výsledky testu (alebo 4 základné udalosti).

Komentujte. Zápis ω je štandardný zápis pre elementárny dej, v nasledujúcom budeme používať tento zápis.

Výsledky tohto testu zavoláme rovnako možné ak výsledky skúšok majú rovnakú šancu objaviť sa.

Priestor elementárnych udalostí- súbor všetkých základných udalostí (výsledkov testu), ktoré sa môžu vyskytnúť počas testu.

V príkladoch, ktoré sme zvážili vyššie, boli v skutočnosti opísané priestory elementárnych udalostí týchto testov.

Komentujte. Počet bodov v priestore elementárnych udalostí (PES), t.j. počet elementárnych udalostí bude označený písmenom n.

Pozrime sa na hlavný koncept, ktorý použijeme v nasledujúcom texte.

Definícia 1.1.Udalosť je súhrn určitého počtu TEC bodov.

V budúcnosti budeme udalosti označovať veľkými latinskými písmenami: A, B, C.

Definícia 1.2.Udalosť, ktorá môže alebo nemusí nastať počas testu, sa nazýva náhodná udalosť.

Kúpou žrebu môžeme a nemusíme vyhrať; v ďalších voľbách môže, ale nemusí vyhrať vládnuca strana; na hodine vás môžu zavolať na tabuľu, alebo ich nezavolajú atď. Toto všetko sú príklady náhodných udalostí, ktoré za rovnakých podmienok môžu, ale nemusia nastať počas testu.

Komentujte. Akákoľvek elementárna udalosť je tiež náhodná udalosť.

Definícia 1.3.Udalosť, ktorá nastane pri akomkoľvek výsledku súdneho konania, sa nazýva určitá udalosť.

Definícia 1.4.Udalosť, ktorá nemôže nastať pri žiadnom výsledku testu, sa nazýva nemožná udalosť.

Príklad.

1) Skúška: je hodená kocka.

Udalosť A: párny počet bodov padol na hornú stranu kocky;

Udalosť B: na hornej strane matrice vypadlo niekoľko bodov, násobok 3;

Udalosť C: 7 bodov padlo na hornú stranu kocky;

Udalosť D: počet bodov menší ako 7 padol na hornú stranu kocka.

Vývoj ALE a AT môže, ale nemusí nastať počas testu, takže ide o náhodné udalosti.

Udalosť OD sa nikdy nemôže stať, takže je to nemožná udalosť.

Udalosť D nastane pri akomkoľvek výsledku testu, potom je to spoľahlivá udalosť.

Povedali sme, že náhodné udalosti za rovnakých podmienok môžu, ale nemusia nastať. Zároveň niektoré náhodné udalosti majú väčšiu pravdepodobnosť výskytu (čo znamená, že sú pravdepodobnejšie – bližšie k spoľahlivosti), zatiaľ čo iné majú menšie šance (sú menej pravdepodobné – bližšie k nemožnému). Preto je možné ako prvú aproximáciu definovať pravdepodobnosť ako mieru možnosti výskytu udalosti.

Je jasné, že pravdepodobnejšie udalosti sa budú vyskytovať častejšie ako tie menej pravdepodobné. Takže môžete porovnať pravdepodobnosti podľa frekvencie, s akou sa udalosti vyskytujú.

Pokúsme sa umiestniť nasledujúce udalosti na špeciálnu pravdepodobnostnú škálu v poradí zvyšujúcej sa pravdepodobnosti ich výskytu.

Udalosť A: budúci rok prvý sneh v Chabarovsku napadne v nedeľu;

Udalosť B: sendvič, ktorý spadol zo stola, spadol maslom nadol;

Udalosť C: pri hode kockou vypadne 6 bodov;

Udalosť D: pri hode kockou vypadne párny počet bodov;

Udalosť E: pri hode kockou vypadlo 7 bodov;

Udalosť F: Keď padne kocka, padne počet bodov menší ako 7.

Takže na začiatočný bod našej stupnice umiestnime nemožné udalosti, pretože stupeň možnosti ich výskytu (pravdepodobnosti) je prakticky rovný 0. Toto bude teda udalosť E. Na koncový bod našej stupnice umiestnime spoľahlivé udalosti - F. Všetky ostatné udalosti sú náhodné, skúsme ich zoradiť na stupnici podľa narastajúceho stupňa ich výskytu. Aby sme to dosiahli, musíme zistiť, ktoré z nich sú menej pravdepodobné a ktoré pravdepodobnejšie. Začnime udalosťou D: Keď hodíme kockou, každá zo 6 tvárí má rovnakú šancu byť navrchu. Párny počet bodov - na troch stranách kocky, na ostatných troch - nepárny. Čiže presne polovičná šanca (3 zo 6), že udalosť D stane sa. Preto umiestňujeme udalosť D v strede našej stupnice.

Na podujatí OD iba jedna šanca zo 6, kým udalosť má D- tri šance zo 6 (ako sme zistili). Preto OD menej pravdepodobné a budú umiestnené na stupnici naľavo od udalosti D.

Udalosť ALE ešte menej pravdepodobné ako OD, pretože v týždňoch je 7 dní a v ktoromkoľvek z nich môže napadnúť prvý sneh s rovnakou pravdepodobnosťou, takže udalosť ALE jedna šanca za 7. Udalosť ALE, teda bude umiestnený ešte viac vľavo ako udalosť OD.

Najťažšie je umiestniť na váhu udalosť AT. Tu nie je možné presne vypočítať šance, ale na pomoc si môžete zavolať životné skúsenosti: sendvič padá na podlahu s maslom oveľa častejšie (existuje dokonca „sendvičový zákon“), takže udalosť AT oveľa pravdepodobnejšie ako D, tak ho na stupnici umiestnime doprava ako D. Tak dostaneme mierku:

E A C D B F

nemožné náhodné isté

Zostrojená pravdepodobnostná stupnica nie je celkom reálna – nemá číselné značky, delenie. Stojíme pred úlohou naučiť sa vypočítať mieru možnosti výskytu (pravdepodobnosti) udalosti.