Vlnová rovnica je výraz, ktorý udáva posun oscilujúcej častice ako funkciu jej súradníc x, y, z a času t:

(čo znamená súradnice rovnovážnej polohy častice). Táto funkcia musí byť periodická vzhľadom na čas t aj vzhľadom na súradnice x, y, z. Periodicita v čase vyplýva z toho, že opisuje kmity častice so súradnicami x, y, z. Periodicita v súradniciach vyplýva zo skutočnosti, že body oddelené od seba vzdialenosťou K kmitajú rovnako.

Nájdite tvar funkcie v prípade rovinnej vlny za predpokladu, že kmity sú harmonického charakteru. Pre zjednodušenie nasmerujme súradnicové osi tak, aby sa os zhodovala so smerom šírenia vlny. Potom budú vlnoplochy kolmé na os a keďže všetky body vlnoplochy kmitajú rovnako, posun bude závisieť len od Nech majú kmity bodov ležiacich v rovine (obr. 94.1) tvar

Nájdite typ kmitania bodov v rovine zodpovedajúcej ľubovoľnej hodnote x. Na to, aby vlna prešla z roviny x = 0 do tejto roviny, potrebuje čas – rýchlosť šírenia vlny).

V dôsledku toho sa oscilácie častíc ležiacich v rovine x budú časovo oneskorovať od oscilácií častíc v rovine, t.j. budú mať tvar

Takže rovnica rovinnej vlny (pozdĺžnej aj priečnej) šíriacej sa v smere osi x je nasledovná:

Veličina a predstavuje amplitúdu vlny. Počiatočná fáza vlny a je určená výberom počiatkov Pri uvažovaní o jednej vlne sa počiatky času a súradnice zvyčajne vyberajú tak, že a je rovné nule. Pri zvažovaní viacerých vĺn spolu zvyčajne nie je možné zabezpečiť, aby počiatočné fázy pre všetky boli rovné nule.

Opravme ľubovoľnú hodnotu fázy v rovnici (94.2) vložením

(94.3)

Tento výraz definuje vzťah medzi časom t a miestom x, v ktorom má fáza pevnú hodnotu. Výsledná hodnota udáva rýchlosť, ktorou sa daná hodnota fázy pohybuje. Získame diferenciačný výraz (94.3).

Rýchlosť šírenia vlny v v rovnici (94.2) je teda rýchlosťou fázového pohybu, a preto sa nazýva fázová rýchlosť.

Podľa (94.4). V dôsledku toho rovnica (94.2) popisuje vlnu šíriacu sa v smere rastúceho x. Vlna šíriaca sa opačným smerom je opísaná rovnicou

Skutočne, prirovnaním fázy vlny (94.5) ku konštante a diferenciáciou výslednej rovnosti dospejeme k vzťahu

z čoho vyplýva, že vlna (94.5) sa šíri v smere klesajúceho x.

Rovnica rovinných vĺn môže mať tvar, ktorý je symetrický vzhľadom na x a t. Na tento účel uvádzame množstvo

ktoré sa nazýva vlnové číslo. Po zredukovaní čitateľa a menovateľa výrazu (94.6) na frekvenciu v môžeme vlnové číslo znázorniť v tvare

(pozri vzorec (93.2)). Otvorením zátvoriek v (94.2) a pri zohľadnení (94.7) dospejeme k nasledujúcej rovnici pre rovinnú vlnu šíriacu sa pozdĺž osi x:

Rovnica vlny šíriacej sa v smere klesajúceho x sa od (94.8) líši iba znamienkom členu.

Pri odvodzovaní vzorca (94.8) sme predpokladali, že amplitúda kmitov nezávisí od x. Pre rovinnú vlnu sa to pozoruje v prípade, keď vlnová energia nie je absorbovaná médiom. Pri šírení v prostredí absorbujúcom energiu intenzita vlny so vzdialenosťou od zdroja kmitov postupne klesá - pozoruje sa útlm vlny. Skúsenosti ukazujú, že v homogénnom prostredí k takémuto útlmu dochádza podľa exponenciálneho zákona: s poklesom času amplitúdy tlmených kmitov; pozri vzorec (58.7) 1. zväzku). Rovnica rovinných vĺn má teda nasledujúci tvar:

Amplitúda v bodoch roviny

Teraz nájdime rovnicu sférickej vlny. Každý skutočný zdroj vĺn má určitý rozsah. Ak sa však obmedzíme na uvažovanie vĺn vo vzdialenostiach od zdroja, ktoré výrazne presahujú jeho rozmery, potom možno zdroj považovať za bodový. V izotropnom a homogénnom prostredí bude vlna generovaná bodovým zdrojom sférická. Predpokladajme, že fáza kmitov zdroja je rovnaká. Potom body ležiace na vlnovej ploche polomeru budú oscilovať s fázou

Pred uvažovaním o vlnovom procese uveďme definíciu oscilačného pohybu. Váhanie - Toto je periodicky sa opakujúci proces. Príklady oscilačných pohybov sú veľmi rôznorodé: zmena ročných období, vibrácie srdca, dýchanie, náboj na doskách kondenzátora a iné.

Oscilačná rovnica vo všeobecnom tvare je napísaná ako

Kde - amplitúda kmitov,
- cyklická frekvencia, - čas, - počiatočná fáza. Počiatočnú fázu možno často považovať za nulovú.

Od oscilačného pohybu môžeme prejsť k vlneniu pohybu. Mávať je proces šírenia vibrácií v priestore v čase. Keďže oscilácie sa šíria v priestore v čase, vlnová rovnica musí brať do úvahy priestorové súradnice aj čas. Vlnová rovnica má tvar

kde A 0 – amplitúda,  – frekvencia, t – čas,  – vlnové číslo, z – súradnica.

Fyzikálna podstata vĺn je veľmi rôznorodá. Známe sú zvukové, elektromagnetické, gravitačné a akustické vlny.

Podľa druhu vibrácií možno všetky vlny rozdeliť na pozdĺžne a priečne. Pozdĺžne vlny - sú to vlny, pri ktorých častice média kmitajú v smere šírenia vlny (obr. 3.1a). Príkladom pozdĺžnej vlny je zvuková vlna.

Priečne vlny - sú to vlny, pri ktorých častice média kmitajú v priečnom smere voči smeru šírenia (obr. 3.1b).

Elektromagnetické vlny sú klasifikované ako priečne vlny. Malo by sa vziať do úvahy, že pri elektromagnetických vlnách pole osciluje a nedochádza k oscilácii častíc média. Ak sa v priestore šíri vlna s jednou frekvenciou , tak napr mávať volal monochromatické .

Na opis šírenia vlnových procesov sú uvedené nasledujúce charakteristiky. Argument kosínus (pozri vzorec (3.2)), t.j. výraz
, volal vlnová fáza .

Schematicky je šírenie vlny pozdĺž jednej súradnice znázornené na obr. 3.2, v tomto prípade dochádza k šíreniu pozdĺž osi z.

Obdobie – čas jedného úplného kmitu. Perióda je označená písmenom T a meria sa v sekundách (s). Recipročné obdobie je tzv lineárna frekvencia a je určený f merané v Hertzoch (=Hz). Lineárna frekvencia súvisí s kruhovou frekvenciou. Vzťah je vyjadrený vzorcom

(3.3)

Ak zafixujeme čas t, tak z obr. 3.2 je jasné, že sú body, napríklad A a B, ktoré kmitajú rovnako, t.j. vo fáze (vo fáze). Vzdialenosť medzi najbližšími dvoma bodmi oscilujúcimi vo fáze sa nazýva vlnová dĺžka . Vlnová dĺžka je označená  a meria sa v metroch (m).

Vlnové číslo  a vlnová dĺžka  sú vo vzájomnom vzťahu podľa vzorca

(3.4)

Vlnové číslo  sa inak nazýva fázová konštanta alebo konštanta šírenia. Zo vzorca (3.4) je zrejmé, že konštanta šírenia sa meria v ( ). Fyzikálny význam je, že ukazuje, o koľko radiánov sa zmení fáza vlny pri prejdení jedného metra dráhy.

Na opísanie vlnového procesu je zavedený pojem vlnového čela. Predná časť vlny – ide o geometrické umiestnenie imaginárnych bodov povrchu, ku ktorým dosiahlo budenie. Čelo vlny sa tiež nazýva čelo vlny.

Rovnicu popisujúcu čelo rovinnej vlny je možné získať z rovnice (3.2) v tvare

(3.5)

Vzorec (3.5) je rovnica čela vlny rovinnej vlny. Rovnica (3.4) ukazuje, že vlnové fronty sú nekonečné roviny pohybujúce sa v priestore kolmo na os z.

Rýchlosť pohybu fázového čela je tzv fázová rýchlosť . Fázová rýchlosť je označená V f a je určená vzorcom

(3.6)

Na začiatku rovnica (3.2) obsahuje fázu s dvoma znamienkami – záporné a kladné. Záporné znamienko, t.j.
, označuje, že čelo vlny sa šíri pozdĺž kladného smeru šírenia osi z. Takáto vlna sa nazýva cestovanie alebo klesanie.

Kladné znamienko vlnovej fázy indikuje pohyb čela vlny v opačnom smere, t.j. proti smeru osi z. Takáto vlna sa nazýva odrazená.

V nasledujúcom texte budeme uvažovať o putujúcich vlnách.

Ak sa vlna šíri v reálnom prostredí, potom v dôsledku vznikajúcich tepelných strát nevyhnutne nastáva zníženie amplitúdy. Pozrime sa na jednoduchý príklad. Nech sa vlna šíri po osi z a počiatočná hodnota amplitúdy vlny zodpovedá 100 %, t.j. A0 = 100. Povedzme, že pri prejdení jedného metra dráhy sa amplitúda vlny zníži o 10%. Potom budeme mať nasledujúce hodnoty amplitúd vĺn

Všeobecný vzor zmien amplitúdy má tvar

Tieto vlastnosti má exponenciálna funkcia. Graficky je možné proces znázorniť vo forme obr. 3.3.

Vo všeobecnosti vzťah proporcionality píšeme ako

, (3.7)

kde  je konštanta útlmu vlny.

Fázovú konštantu  a konštantu tlmenia  je možné kombinovať zavedením komplexnej konštanty šírenia , t.j.

, (3.8)

kde  je fázová konštanta,  je konštanta útlmu vlny.

V závislosti od typu čela vlny sa rozlišujú rovinné, sférické a valcové vlny.

Rovinná vlna je vlna, ktorá má rovinné čelo vlny. Rovinná vlna môže mať aj nasledujúcu definíciu. Vlna sa nazýva rovinne homogénna, ak je vektorové pole A v ktoromkoľvek bode roviny sú kolmé na smer šírenia a nemenia sa vo fáze a amplitúde.

Rovnica rovinných vĺn

Ak je zdrojom generujúcim vlnenie bodový zdroj, potom čelo vlny šíriace sa v neobmedzenom homogénnom priestore je guľa. Sférická vlna je vlna, ktorá má guľové čelo vlny. Rovnica sférickej vlny má tvar

, (3.10)

kde r je vektor polomeru nakreslený od začiatku, ktorý sa zhoduje s polohou bodového zdroja, ku konkrétnemu bodu v priestore, ktorý sa nachádza vo vzdialenosti r.

Vlny môžu byť excitované nekonečným reťazcom zdrojov umiestnených pozdĺž osi z. V tomto prípade bude takýto závit generovať vlny, ktorých fázová predná časť je valcová plocha.

Valcová vlna je vlna, ktorá má fázové čelo v tvare valcovej plochy. Rovnica valcovej vlny je

, (3.11)

Vzorce (3.2), (3.10, 3.11) označujú inú závislosť amplitúdy od vzdialenosti medzi zdrojom vlny a konkrétnym bodom v priestore, do ktorého vlna dosiahla.

Helmholtzove rovnice

Maxwell získal jeden z najdôležitejších výsledkov v elektrodynamike, ktorý dokazuje, že šírenie elektromagnetických procesov v priestore v čase prebieha vo forme vlny. Uvažujme o dôkaze tohto tvrdenia, t.j. Dokážme vlnovú povahu elektromagnetického poľa.

Napíšme prvé dve Maxwellove rovnice v komplexnom tvare ako

(3.12)

Zoberme si druhú rovnicu systému (3.12) a aplikujme na ňu činnosť rotora na ľavej a pravej strane. V dôsledku toho dostaneme

Označme
, ktorá predstavuje konštantu šírenia. Teda

(3.14)

Na druhej strane, na základe dobre známej identity vo vektorovej analýze môžeme písať

, (3.15)

Kde
je Laplaceov operátor, ktorý je v karteziánskom súradnicovom systéme vyjadrený identitou

(3.16)

Vzhľadom na Gaussov zákon, t.j.
, rovnicu (3.15) napíšeme v jednoduchšej forme

, alebo

(3.17)

Podobne pomocou symetrie Maxwellových rovníc môžeme získať rovnicu pre vektor , t.j.

(3.18)

Rovnice tvaru (3.17, 3.18) sa nazývajú Helmholtzove rovnice. V matematike sa dokázalo, že ak je nejaký proces opísaný vo forme Helmholtzových rovníc, znamená to, že ide o vlnový proces. V našom prípade sme dospeli k záveru: časovo premenné elektrické a magnetické polia nevyhnutne vedú k šíreniu elektromagnetických vĺn v priestore.

V súradnicovom tvare sa Helmholtzova rovnica (3.17) zapisuje ako

Kde ,,- jednotkové vektory pozdĺž príslušných súradnicových osí

,

,

.(3.20)

Vlastnosti rovinných vĺn pri šírení v neabsorbujúcich prostrediach

Nech sa rovinná elektromagnetická vlna šíri pozdĺž osi z, potom šírenie vlny popisuje sústava diferenciálnych rovníc

(3.21)

Kde A - komplexné amplitúdy poľa,

(3.22)

Riešenie sústavy (3.21) má tvar

(3.23)

Ak sa vlna šíri len jedným smerom pozdĺž osi z, a vektor smeruje po osi x, vtedy je vhodné zapísať riešenie sústavy rovníc do tvaru

(3.24)

Kde A - jednotkové vektory pozdĺž osí x, y.

Ak v médiu nie sú straty, t.j. parametre prostredia  a a  a, a
sú reálne množstvá.

Uveďme si vlastnosti rovinných elektromagnetických vĺn

Pre médium sa zavádza pojem vlnová impedancia média

(3.25)

Kde ,
- hodnoty amplitúd intenzity poľa. Charakteristická impedancia pre bezstratové médium je tiež skutočná hodnota.

Pre vzduch je vlnový odpor

(3.26)

Z rovnice (3.24) je zrejmé, že magnetické a elektrické pole sú vo fáze. Pole rovinnej vlny je postupujúca vlna, ktorá je zapísaná v tvare

(3.27)

Na obr. 3,4 vektory poľa A zmena fázy, ako vyplýva zo vzorca (3.27).

Poyntingov vektor sa kedykoľvek zhoduje so smerom šírenia vlny

(3.28)

Poyntingov vektorový modul určuje hustotu toku energie a meria sa v
.

Priemerná hustota toku energie je určená

(3.29)

, (3.30)

Kde
- efektívne hodnoty intenzity poľa.

Energia poľa obsiahnutá v jednotke objemu sa nazýva hustota energie. Elektromagnetické pole sa v čase mení, t.j. je variabilný. Hodnota hustoty energie v danom čase sa nazýva okamžitá hustota energie. Pre elektrickú a magnetickú zložku elektromagnetického poľa sú okamžité hustoty energie rovnaké

Zvažujem to
, zo vzťahov (3.31) a (3.32) je zrejmé, že
.

Celková hustota elektromagnetickej energie je daná

(3.33)

Fázová rýchlosť šírenia elektromagnetickej vlny je určená vzorcom

(3.34)

Určuje sa vlnová dĺžka

(3.35)

Kde - vlnová dĺžka vo vákuu (vzduchu), s - rýchlosť svetla vo vzduchu,  - relatívna dielektrická konštanta,  - relatívna magnetická permeabilita, f– lineárna frekvencia,  – cyklická frekvencia, V f – fázová rýchlosť,  – konštanta šírenia.

Rýchlosť pohybu energie (skupinová rýchlosť) sa dá určiť zo vzorca

(3.36)

Kde - Poyntingov vektor, - hustota energie.

Ak maľujete a v súlade so vzorcami (3.28), (3.33) dostaneme

(3.37)

Tak dostaneme

(3.38)

Keď sa elektromagnetická monochromatická vlna šíri v bezstratovom prostredí, fázová a skupinová rýchlosť sú rovnaké.

Existuje vzťah medzi fázovou a skupinovou rýchlosťou vyjadrenou vzorcom

(3.39)

Uvažujme príklad šírenia elektromagnetickej vlny vo fluoroplaste s parametrami  =2, =1. Nech zodpovedá sile elektrického poľa

(3.40)

Rýchlosť šírenia vlny v takomto prostredí bude rovná

Charakteristická impedancia fluoroplastu zodpovedá hodnote

Ohm (3,42)

Hodnoty amplitúdy intenzity magnetického poľa nadobúdajú hodnoty

, (3.43)

Hustota toku energie sa teda rovná

Vlnová dĺžka pri frekvencii
má význam

(3.45)

Umov-Poyntingova veta

Elektromagnetické pole je charakterizované vlastnou energiou poľa a celková energia je určená súčtom energií elektrických a magnetických polí. Nech elektromagnetické pole zaberá uzavretý objem V, potom môžeme písať

(3.46)

Energia elektromagnetického poľa v zásade nemôže zostať konštantnou hodnotou. Vynára sa otázka: Aké faktory ovplyvňujú zmenu energie? Zistilo sa, že zmena energie v uzavretom objeme je ovplyvnená nasledujúcimi faktormi:

časť energie elektromagnetického poľa sa môže premeniť na iné druhy energie, napríklad mechanickú;

vnútri uzavretého objemu môžu pôsobiť vonkajšie sily, ktoré môžu zvýšiť alebo znížiť energiu elektromagnetického poľa obsiahnutého v uvažovanom objeme;

Uvažovaný uzavretý objem V si môže vymieňať energiu s okolitými telesami prostredníctvom procesu energetického žiarenia.

Intenzitu žiarenia charakterizuje Poyntingov vektor . Objem V má uzavretú plochu S. Zmenu energie elektromagnetického poľa môžeme považovať za tok Poyntingovho vektora cez uzavretú plochu S (obr. 3.5), t.j.
a možnosti sú možné
>0 ,
<0 ,
=0 . Všimnite si, že normálna nakreslená na povrch
, je vždy vonkajší.

Pripomeňme si to
, Kde
sú hodnoty okamžitej intenzity poľa.

Prechod z plošného integrálu
k integrálu nad objemom V sa vykonáva na základe Ostrogradského-Gaussovej vety.

S vedomím, že

Dosadme tieto výrazy do vzorca (3.47). Po transformácii dostaneme výraz v tvare:

Zo vzorca (3.48) je zrejmé, že ľavá strana je vyjadrená súčtom pozostávajúcim z troch členov, z ktorých každý budeme uvažovať samostatne.

Termín
vyjadruje okamžitá strata výkonu , spôsobené vodivými prúdmi v uvažovanom uzavretom objeme. Inými slovami, pojem vyjadruje straty tepelnej energie poľa uzavretého v uzavretom objeme.

Druhý termín
vyjadruje prácu vonkajších síl vykonanú za jednotku času, t.j. sila vonkajších síl. Pre takýto výkon sú možné hodnoty
>0,
<0.

Ak
>0, tie. k objemu V sa pridáva energia, potom vonkajšie sily možno považovať za generátor. Ak
<0 , t.j. v objeme V dochádza k poklesu energie, potom hrajú rolu záťaže vonkajšie sily.

Posledný výraz pre lineárne médium môže byť reprezentovaný ako:

(3.49)

Vzorec (3.49) vyjadruje rýchlosť zmeny energie elektromagnetického poľa obsiahnutého vo vnútri objemu V.

Po zvážení všetkých pojmov možno vzorec (3.48) zapísať ako:

Vzorec (3.50) vyjadruje Poyntingovu vetu. Poyntingova veta vyjadruje energetickú rovnováhu v ľubovoľnej oblasti, v ktorej existuje elektromagnetické pole.

Oneskorené potenciály

Maxwellove rovnice v komplexnej forme, ako je známe, majú tvar:

(3.51)

Nech existujú vonkajšie prúdy v homogénnom prostredí. Skúsme transformovať Maxwellove rovnice pre takéto prostredie a získajme jednoduchšiu rovnicu, ktorá popisuje elektromagnetické pole v takomto prostredí.

Zoberme si rovnicu
.Vediac, že ​​vlastnosti A vzájomne prepojené
, potom môžeme písať
Zoberme si, že silu magnetického poľa možno vyjadriť pomocou vektorový elektrodynamický potenciál , ktorý je zavedený vzťahom
, Potom

(3.52)

Zoberme si druhú rovnicu Maxwellovho systému (3.51) a vykonajte transformácie:

(3.53)

Vzorec (3.53) vyjadruje druhú Maxwellovu rovnicu z hľadiska vektorového potenciálu . Vzorec (3.53) možno zapísať ako

(3.54)

V elektrostatike, ako je známe, platí nasledujúci vzťah:

(3.55)

Kde - vektor sily poľa,
- skalárny elektrostatický potenciál. Znamienko mínus znamená, že vektor smerované z bodu s vyšším potenciálom do bodu s nižším potenciálom.

Výraz v zátvorkách (3.54) možno analogicky so vzorcom (3.55) zapísať v tvare

(3.56)

Kde
- skalárny elektrodynamický potenciál.

Zoberme si prvú Maxwellovu rovnicu a napíšme ju pomocou elektrodynamických potenciálov

Vo vektorovej algebre bola dokázaná nasledujúca identita:

Pomocou identity (3.58) môžeme reprezentovať prvú Maxwellovu rovnicu, napísanú v tvare (3.57), ako

Dajme podobne

Vynásobte ľavú a pravú stranu faktorom (-1):

môžu byť špecifikované ľubovoľným spôsobom, takže to môžeme predpokladať

Zavolá sa výraz (3.60). Lorentzove meradlo .

Ak w=0 , potom dostaneme Coulombova kalibrácia
=0.

S prihliadnutím na meradlá možno napísať rovnicu (3.59).

(3.61)

Rovnica (3.61) vyjadruje nehomogénna vlnová rovnica pre vektorový elektrodynamický potenciál.

Podobným spôsobom na základe tretej Maxwellovej rovnice
, môžeme získať nehomogénnu rovnicu pre skalárny elektrodynamický potenciál ako:

(3.62)

Výsledné nehomogénne rovnice pre elektrodynamické potenciály majú svoje riešenia

, (3.63)

Kde M- ľubovoľný bod M, - objemová hustota náboja, γ - konštanta šírenia, r

(3.64)

Kde V- objem zaberaný vonkajšími prúdmi, r– aktuálna vzdialenosť od každého prvku zdrojového objemu k bodu M.

Riešením pre vektorový elektrodynamický potenciál (3.63), (3.64) je tzv Kirchhoffov integrál pre retardované potenciály .

Faktor
možno vyjadriť s prihliadnutím
ako

Tento faktor zodpovedá konečnej rýchlosti šírenia vlny od zdroja, a
Pretože rýchlosť šírenia vlny je konečná hodnota, potom vplyv zdroja generujúceho vlny dosiahne ľubovoľný bod M s časovým oneskorením. Hodnota času oneskorenia je určená:
Na obr. 3.6 znázorňuje bodový zdroj U, ktorý vyžaruje sférické vlny šíriace sa rýchlosťou v v okolitom homogénnom priestore, ako aj ľubovoľný bod M umiestnený vo vzdialenosti r, ktorú vlna dosiahne.

V určitom okamihu t vektorový potenciál
v bode M je funkciou prúdov tečúcich v zdroji U v skoršom čase
Inými slovami,
závisí od zdrojových prúdov, ktoré v ňom tiekli v skoršom okamihu

Zo vzorca (3.64) je zrejmé, že vektorový elektrodynamický potenciál je rovnobežný (kosmerný) s prúdovou hustotou vonkajších síl; jeho amplitúda podľa zákona klesá; pri veľkých vzdialenostiach v porovnaní s veľkosťou žiariča má vlna sférické čelo vlny.

Berúc do úvahy
a podľa Maxwellovej prvej rovnice možno intenzitu elektrického poľa určiť:

Výsledné vzťahy určujú elektromagnetické pole v priestore vytvorenom daným rozložením vonkajších prúdov

Šírenie rovinných elektromagnetických vĺn vo vysoko vodivých médiách

Uvažujme o šírení elektromagnetickej vlny vo vodivom prostredí. Takéto médiá sa tiež nazývajú médiá podobné kovu. Skutočné médium je vodivé, ak hustota vodivých prúdov výrazne prevyšuje hustotu posunových prúdov, t.j.
A
, a
, alebo

(3.66)

Vzorec (3.66) vyjadruje podmienku, za ktorej možno skutočné médium považovať za vodivé. Inými slovami, imaginárna časť komplexnej dielektrickej konštanty musí prevyšovať skutočnú časť. Vzorec (3.66) tiež ukazuje závislosť na frekvencii a čím je frekvencia nižšia, tým výraznejšie sú vlastnosti vodiča v médiu. Pozrime sa na túto situáciu na príklade.

Áno, vo frekvencii f = 1 MHz = 10 6 Hz suchá pôda má parametre =4, =0,01 ,. Porovnajme medzi sebou A , t.j.
. Zo získaných hodnôt je zrejmé, že 1,610 -19 >> 3,5610 -11, preto suchú pôdu treba považovať za vodivú, keď sa šíri vlna s frekvenciou 1 MHz.

Pre reálne médium zapíšeme komplexnú dielektrickú konštantu

(3.67)

pretože v našom prípade
, potom pre vodivé médium môžeme písať

, (3.68)

kde  je špecifická vodivosť,  je cyklická frekvencia.

Konštanta šírenia , ako je známe, je určená z Helmholtzových rovníc

Takto získame vzorec pre konštantu šírenia

(3.69)

To je známe

(3.70)

S prihliadnutím na identitu (3.49) môže byť vzorec (3.50) napísaný vo forme

(3.71)

Konštanta šírenia je vyjadrená ako

(3.72)

Porovnanie reálnej a imaginárnej časti vo vzorcoch (3.71), (3.72) vedie k rovnosti hodnôt fázovej konštanty  a konštanty tlmenia , t.j.

(3.73)

Zo vzorca (3.73) vypíšeme vlnovú dĺžku, ktorú pole získa pri šírení v dobre vodivom prostredí.

(3.74)

Kde - vlnová dĺžka v kove.

Z výsledného vzorca (3.74) je zrejmé, že dĺžka elektromagnetickej vlny šíriacej sa v kove je výrazne znížená v porovnaní s vlnovou dĺžkou v priestore.

Vyššie bolo povedané, že amplitúda vlny pri šírení v prostredí so stratami klesá podľa zákona
. Na charakterizáciu procesu šírenia vĺn vo vodivom médiu je zavedený pojem hĺbka povrchovej vrstvy alebo hĺbka prieniku .

Hĺbka povrchovej vrstvy - je to vzdialenosť d, pri ktorej sa amplitúda povrchovej vlny zníži o faktor e v porovnaní s jej počiatočnou úrovňou.

(3.75)

Kde - vlnová dĺžka v kove.

Zo vzorca možno určiť aj hĺbku povrchovej vrstvy

, (3.76)

kde  je cyklická frekvencia,  a je absolútna magnetická permeabilita média,  je merná vodivosť média.

Zo vzorca (3.76) je zrejmé, že so zvyšujúcou sa frekvenciou a mernou vodivosťou klesá hĺbka povrchovej vrstvy.

Uveďme si príklad. Vodivosť medi
pri frekvencii f = 10 GHz ( = 3 cm) má hĺbku povrchovej vrstvy d =
. Z toho môžeme vyvodiť pre prax dôležitý záver: nanesenie vrstvy vysoko vodivej látky na nevodivý povlak umožní vyrábať prvky zariadenia s nízkymi tepelnými stratami.

Odraz a lom rovinnej vlny na rozhraní

Keď sa v priestore šíri rovinná elektromagnetická vlna, ktorá pozostáva z oblastí s rôznymi hodnotami parametrov
a rozhraním v tvare roviny vznikajú odrazené a lomené vlny. Intenzity týchto vĺn sa určujú pomocou koeficientov odrazu a lomu.

Koeficient odrazu vlny je pomer komplexných hodnôt intenzity elektrického poľa odrazených a dopadajúcich vĺn na rozhraní a je určený vzorcom:

(3.77)

Miera úspešnosti vlny do druhého média z prvého sa nazýva pomer komplexných hodnôt intenzity elektrického poľa lomu k pádu vlny a je určený vzorcom

(3.78)

Ak je Poyntingov vektor dopadajúcej vlny kolmý na rozhranie, potom

(3.79)

kde Z 1 ,Z 2 – charakteristická odolnosť pre príslušné médiá.

Charakteristická odolnosť je určená vzorcom:

Kde
(3.80)

.

Pri šikmom dopade je smer šírenia vlny vzhľadom na rozhranie určený uhlom dopadu. Uhol dopadu – uhol medzi normálou k povrchu a smerom šírenia lúča.

Rovina dopadu je rovina, ktorá obsahuje dopadajúci lúč a normálu obnovenú do bodu dopadu.

Z okrajových podmienok vyplýva, že uhly dopadu a lom súvisiace so Snellovým zákonom:

(3.81)

kde n 1, n 2 sú indexy lomu príslušných médií.

Elektromagnetické vlny sa vyznačujú polarizáciou. Existujú eliptické, kruhové a lineárne polarizácie. Pri lineárnej polarizácii sa rozlišuje horizontálna a vertikálna polarizácia.

Horizontálna polarizácia – polarizácia, pri ktorej je vektor kmitá v rovine kolmej na rovinu dopadu.

Nechajte rovinnú elektromagnetickú vlnu s horizontálnou polarizáciou dopadať na rozhranie medzi dvoma médiami, ako je znázornené na obr. 3.7. Poyntingov vektor dopadajúcej vlny je označený . Pretože vlna má horizontálnu polarizáciu, t.j. vektor intenzity elektrického poľa kmitá v rovine kolmej na rovinu dopadu, potom je označený a na obr. 3.7 je zobrazený ako kruh s krížikom (smerovaný od nás). V súlade s tým leží vektor intenzity magnetického poľa v rovine dopadu vlny a je označený . vektory ,,tvoria pravostrannú trojicu vektorov.

Pre odrazenú vlnu sú zodpovedajúce vektory poľa vybavené indexom „neg“, pre lomenú vlnu je index „pr“.

Pri horizontálnej (kolmej) polarizácii sa koeficienty odrazu a priepustnosti určujú nasledovne (obr. 3.7).

Na rozhraní medzi dvoma médiami sú splnené okrajové podmienky, t.j.

V našom prípade musíme identifikovať tangenciálne projekcie vektorov, t.j. dá sa zapísať

Intenzívne čiary magnetického poľa pre dopadajúce, odrazené a lomené vlny sú nasmerované kolmo na rovinu dopadu. Preto by sme mali písať

Na základe toho môžeme vytvoriť systém založený na okrajových podmienkach

Je tiež známe, že intenzity elektrického a magnetického poľa sú vzájomne prepojené prostredníctvom charakteristickej impedancie média Z

Potom možno druhú rovnicu systému zapísať ako

Takže systém rovníc dostal formu

Vydeľme obe rovnice tohto systému amplitúdou dopadajúcej vlny
a berúc do úvahy definície indexu lomu (3.77) a priepustnosti (3.78), môžeme systém napísať v tvare

Sústava má dve riešenia a dve neznáme veličiny. O takomto systéme je známe, že je riešiteľný.

Vertikálna polarizácia – polarizácia, pri ktorej je vektor osciluje v rovine dopadu.

Pri vertikálnej (paralelnej) polarizácii sú koeficienty odrazu a priepustnosti vyjadrené nasledovne (obr. 3.8).

Pre vertikálnu polarizáciu je napísaný podobný systém rovníc ako pre horizontálnu polarizáciu, ale s prihliadnutím na smer vektorov elektromagnetického poľa

Takúto sústavu rovníc možno podobne zredukovať na formu

Riešením systému sú výrazy pre koeficient odrazu a priepustnosti

Keď rovinné elektromagnetické vlny s paralelnou polarizáciou dopadajú na rozhranie medzi dvoma médiami, koeficient odrazu môže byť nulový. Uhol dopadu, pri ktorom dopadajúca vlna úplne, bez odrazu, preniká z jedného média do druhého, sa nazýva Brewsterov uhol a označuje sa ako
.

(3.84)

(3.85)

Zdôrazňujeme, že Brewsterov uhol pri dopade rovinnej elektromagnetickej vlny na nemagnetické dielektrikum môže existovať len s paralelnou polarizáciou.

Ak rovinná elektromagnetická vlna dopadá pod ľubovoľným uhlom na rozhranie medzi dvoma médiami so stratami, potom by sa odrazené a lomené vlny mali považovať za nehomogénne, pretože rovina rovnakých amplitúd sa musí zhodovať s rozhraním. Pre skutočné kovy je uhol medzi fázovým čelom a rovinou rovnakých amplitúd malý, takže môžeme predpokladať, že uhol lomu je 0.

Približné hraničné podmienky Shchukin-Leontovič

Tieto okrajové podmienky platia, keď je jedno z médií dobrým vodičom. Predpokladajme, že rovinná elektromagnetická vlna dopadá zo vzduchu pod uhlom  na rovinné rozhranie s dobre vodivým prostredím, ktoré je opísané komplexným indexom lomu

(3.86)

Z definície pojmu dobre vodivé médium vyplýva, že
. Aplikovaním Snellovho zákona možno poznamenať, že uhol lomu  bude veľmi malý. Z toho môžeme predpokladať, že lomená vlna vstupuje do dobre vodivého prostredia takmer v normálnom smere pri akejkoľvek hodnote uhla dopadu.

Pomocou Leontovičových okrajových podmienok potrebujete poznať dotyčnicovú zložku magnetického vektora . Zvyčajne sa približne predpokladá, že táto hodnota sa zhoduje s podobnou zložkou vypočítanou pre povrch ideálneho vodiča. Chyba vyplývajúca z takejto aproximácie bude veľmi malá, pretože koeficient odrazu od povrchu kovov je spravidla blízky nule.

Vyžarovanie elektromagnetických vĺn do voľného priestoru

Poďme zistiť, aké sú podmienky pre vyžarovanie elektromagnetickej energie do voľného priestoru. Za týmto účelom uvažujme bodový monochromatický vysielač elektromagnetických vĺn, ktorý je umiestnený na začiatku sférického súradnicového systému. Ako je známe, sférický súradnicový systém je daný vzťahom (r, Θ, φ), kde r je vektor polomeru nakreslený od začiatku systému k bodu pozorovania; Θ – poludníkový uhol, meraný od osi Z (zenitu) po vektor polomeru nakreslený do bodu M; φ – azimutálny uhol, meraný od osi X k priemetu vektora polomeru nakresleného z počiatku do bodu M′ (M′ je priemet bodu M do roviny XOY). (Obr.3.9).

Bodový žiarič je umiestnený v homogénnom prostredí s parametrami

Bodový žiarič vyžaruje elektromagnetické vlny vo všetkých smeroch a akákoľvek zložka elektromagnetického poľa sa riadi Helmholtzovou rovnicou, s výnimkou bodu. r=0 . Môžeme zaviesť komplexnú skalárnu funkciu Ψ, ktorá sa chápe ako ľubovoľná zložka poľa. Potom má Helmholtzova rovnica pre funkciu Ψ tvar:

(3.87)

Kde
- vlnové číslo (konštanta šírenia).

(3.88)

Predpokladajme, že funkcia Ψ má sférickú symetriu, potom možno Helmholtzovu rovnicu zapísať ako:

(3.89)

Rovnicu (3.89) je možné zapísať aj takto:

(3.90)

Rovnice (3.89) a (3.90) sú navzájom zhodné. Rovnica (3.90) je vo fyzike známa ako oscilačná rovnica. Táto rovnica má dve riešenia, ktoré, ak sú amplitúdy rovnaké, majú tvar:

(3.91)

(3.92)

Ako vidno z (3.91), (3.92), riešenie rovnice sa líši len v znamienkach. navyše označuje prichádzajúcu vlnu zo zdroja, t.j. vlna sa šíri od zdroja do nekonečna. Druhá vlna znamená, že vlna prichádza k zdroju z nekonečna. Fyzicky jeden a ten istý zdroj nemôže generovať dve vlny súčasne: putovanie a prichádzajúce z nekonečna. Preto je potrebné vziať do úvahy, že vlna fyzicky neexistuje.

Uvedený príklad je celkom jednoduchý. Ale v prípade emisie energie zo sústavy zdrojov je výber správneho riešenia veľmi ťažký. Preto je potrebný analytický výraz, ktorý je kritériom pre výber správneho riešenia. Potrebujeme všeobecné kritérium v ​​analytickej forme, ktoré nám umožní zvoliť jednoznačné fyzikálne určené riešenie.

Inými slovami, potrebujeme kritérium, ktoré rozlišuje funkciu, ktorá vyjadruje postupnú vlnu od zdroja do nekonečna, od funkcie, ktorá opisuje vlnu prichádzajúcu z nekonečna do zdroja žiarenia.

Tento problém vyriešil A. Sommerfeld. Ukázal to pre postupujúcu vlnu opísanú funkciou , platí nasledujúci vzťah:

(3.93)

Tento vzorec sa nazýva radiačný stav alebo Sommerfeld stav .

Uvažujme elementárny elektrický žiarič vo forme dipólu. Elektrický dipól je krátky kus drôtu l v porovnaní s vlnovou dĺžkou  ( l<< ), по которому протекает переменный ток (рис. 3.9). Т.к. соблюдается выполнение условия l<< , то можно считать, что во всех сечениях провода в данный момент времени протекает одинаковый ток

Nie je ťažké ukázať, že zmena elektrického poľa v priestore okolo drôtu má vlnový charakter. Pre názornosť uvažujme extrémne zjednodušený model procesu vzniku a zmeny elektrickej zložky elektromagnetického poľa, ktoré drôt vyžaruje. Na obr. Na obrázku 3.11 je znázornený model procesu vyžarovania elektrického poľa elektromagnetickej vlny za časové obdobie rovnajúce sa jednej perióde

Ako je známe, elektrický prúd je spôsobený pohybom elektrických nábojov, a to

alebo

V budúcnosti budeme uvažovať iba o zmene polohy kladných a záporných nábojov na drôte. Čiara elektrického poľa začína pri kladnom náboji a končí pri zápornom náboji. Na obr. 3.11 je elektrická čiara znázornená bodkovanou čiarou. Je potrebné pripomenúť, že elektrické pole sa vytvára v celom priestore obklopujúcom vodič, hoci na obr. Obrázok 3.11 znázorňuje jedno elektrické vedenie.

Aby striedavý prúd prúdil cez vodič, je potrebný zdroj striedavého emf. Takýto zdroj je zahrnutý v strede drôtu. Stav procesu emisie elektrického poľa je znázornený číslami od 1 do 13. Každé číslo zodpovedá určitému časovému bodu spojenému so stavom procesu. Moment t=1 zodpovedá začiatku procesu, t.j. EMF = 0. V momente t=2 sa objaví striedavé EMF, ktoré spôsobí pohyb nábojov, ako je znázornené na obr. 3.11. s výskytom pohybujúcich sa nábojov v drôte vzniká v priestore elektrické pole. časom (t = 3÷5) sa náboje presúvajú na konce vodiča a elektrické vedenie pokrýva čoraz väčšiu časť priestoru. siločiara sa rozširuje rýchlosťou svetla v smere kolmom na drôt. V čase t = 6 – 8 sa emf po prechode cez maximálnu hodnotu znižuje. Náboje sa pohybujú smerom k stredu drôtu.

V čase t = 9 končí polperióda zmien EMP a klesá na nulu. V tomto prípade sa poplatky spájajú a navzájom sa kompenzujú. V tomto prípade nie je žiadne elektrické pole. Silová línia vyžarovaného elektrického poľa sa uzavrie a naďalej sa vzďaľuje od drôtu.

Nasleduje druhá polovica cyklu zmeny EMF, procesy sa opakujú s prihliadnutím na zmenu polarity. Na obr. Obrázok 3.11 v momentoch t = 10÷13 ukazuje proces zohľadňujúci siločiaru elektrického poľa.

Skúmali sme proces tvorby uzavretých siločiar vírivého elektrického poľa. Je však potrebné pripomenúť, že emisia elektromagnetických vĺn je jediný proces. Elektrické a magnetické polia sú neoddeliteľne vzájomne závislé zložky elektromagnetického poľa.

Proces žiarenia znázornený na obr. 3.11 je podobný vyžarovaniu elektromagnetického poľa symetrickým elektrickým vibrátorom a je široko používaný v rádiokomunikačnej technike. Je potrebné mať na pamäti, že rovina oscilácie vektora intenzity elektrického poľa je vzájomne kolmá na rovinu kmitania vektora intenzity magnetického poľa .

Emisia elektromagnetických vĺn je spôsobená premenlivým procesom. Preto do vzorca pre náboj môžeme dať konštantu C = 0. Pre komplexnú hodnotu poplatku možno zapísať.

(3.94)

Analogicky s elektrostatikou môžeme zaviesť pojem momentu elektrického dipólu so striedavým prúdom

(3.95)

Zo vzorca (3.95) vyplýva, že vektory momentu elektrického dipólu a smerovaného kusu drôtu sú ko-smerné.

Treba poznamenať, že skutočné antény majú dĺžky vodičov zvyčajne porovnateľné s vlnovou dĺžkou. Na určenie vyžarovacích charakteristík takýchto antén je drôt zvyčajne mentálne rozdelený na samostatné malé časti, z ktorých každá sa považuje za elementárny elektrický dipól. výsledné pole antény sa zistí súčtom emitovaných vektorových polí generovaných jednotlivými dipólmi.

Vlnové procesy

Základné pojmy a definície

Zoberme si nejaké elastické médium - pevné, kvapalné alebo plynné. Ak sú vibrácie jeho častíc excitované v ktoromkoľvek mieste tohto média, potom v dôsledku interakcie medzi časticami sa vibrácie prenášané z jednej častice média na druhú budú šíriť cez médium určitou rýchlosťou. Proces šírenie vibrácií v priestore je tzv mávať .

Ak častice v médiu kmitajú v smere šírenia vlny, ide o tzv pozdĺžne Ak sa oscilácie častíc vyskytujú v rovine kolmej na smer šírenia vlny, potom sa vlna nazýva priečne . Priečne mechanické vlny môžu vznikať len v prostredí s nenulovým modulom šmyku. Preto sa môžu šíriť v kvapalných a plynných médiách len pozdĺžne vlny . Rozdiel medzi pozdĺžnymi a priečnymi vlnami je najzreteľnejšie vidieť na príklade šírenia vibrácií v pružine - viď obrázok.

Na charakterizáciu priečnych vibrácií je potrebné nastaviť polohu v priestore rovina prechádzajúca smerom kmitania a smerom šírenia vlny - rovina polarizácie .

Oblasť priestoru, v ktorej vibrujú všetky častice média, sa nazýva vlnové pole . Hranica medzi vlnovým poľom a zvyškom média sa nazýva čelo vlny . Inými slovami, čelo vlny - geometrické umiestnenie bodov, do ktorých oscilácie dosiahli v danom časovom bode. V homogénnom a izotropnom prostredí je smer šírenia vlny kolmý na čelo vlny.

Kým v médiu existuje vlna, častice média oscilujú okolo svojich rovnovážnych polôh. Nech sú tieto oscilácie harmonické a perióda týchto oscilácií je T. Častice oddelené vzdialenosťou

po smere šírenia vlny, kmitajú rovnako, t.j. v každom danom časovom okamihu sú ich posuny rovnaké. Vzdialenosť je tzv vlnová dĺžka . Inými slovami, vlnová dĺžka je vzdialenosť, ktorú vlna prekoná za jednu periódu kmitania .

Geometrické umiestnenie bodov, ktoré oscilujú v rovnakej fáze, sa nazývajú vlnová plocha . Čelo vlny je špeciálny prípad vlnovej plochy. Vlnová dĺžka – minimum vzdialenosť medzi dvoma vlnovými plochami, v ktorých body kmitajú rovnakým spôsobom, alebo to môžeme povedať fázy ich kmitov sa líšia o .

Ak sú vlnové plochy roviny, potom sa vlna nazýva plochý , a ak guľami, tak guľovitý. Rovinná vlna je excitovaná v spojitom homogénnom a izotropnom prostredí, keď kmitá nekonečná rovina. Budenie guľového povrchu môže byť reprezentované ako výsledok radiálnych pulzácií guľového povrchu a tiež ako výsledok pôsobenia bodový zdroj, ktorých rozmery možno zanedbať v porovnaní so vzdialenosťou k pozorovaciemu bodu. Pretože každý skutočný zdroj má konečné rozmery, v dostatočne veľkej vzdialenosti od neho bude vlna blízko gule. Zároveň sa úsek vlnoplochy guľovej vlny pri zmenšovaní jej veľkosti ľubovoľne približuje k úseku vlnovej plochy rovinnej vlny.

Rovnice rovinných a sférických vĺn

Vlnová rovnica je výraz, ktorý určuje posun kmitajúceho bodu ako funkciu súradníc rovnovážnej polohy bodu a času:

Ak sa zdroj zaviaže periodické oscilácie, potom funkcia (22.2) musí byť periodickou funkciou súradníc aj času. Periodicita v čase vyplýva zo skutočnosti, že funkcia popisuje periodické kmity bodu so súradnicami; periodicita v súradniciach - zo skutočnosti, že body umiestnené vo vzdialenosti pozdĺž smeru šírenia vlny oscilujú rovnakym sposobom

Obmedzme sa na harmonické vlny, keď body v médiu vykonávajú harmonické kmity. Je potrebné poznamenať, že akákoľvek neharmonická funkcia môže byť reprezentovaná ako výsledok superpozície harmonických vĺn. Zohľadňovanie iba harmonických vĺn teda nevedie k zásadnému zhoršeniu všeobecnej hodnoty získaných výsledkov.

Zoberme si rovinnú vlnu. Zvoľme súradnicový systém tak, že os Oh sa zhodoval so smerom šírenia vlny. Potom budú vlnové plochy kolmé na os Oh a keďže všetky body vlnového povrchu vibrujú rovnako, posunutie bodov média z rovnovážnych polôh bude závisieť len od x a t:

Nech majú vibrácie bodov ležiacich v rovine tvar:

(22.4)

Oscilácie v rovine umiestnenej na diaľku X od začiatku, oneskorenie v čase od kmitov v časovom úseku potrebnom na to, aby vlna prekonala vzdialenosť X, a sú opísané rovnicou

ktorý je rovnica rovinnej vlny šíriacej sa v smere osi Ox.

Pri odvodzovaní rovnice (22.5) sme predpokladali, že amplitúda kmitov je vo všetkých bodoch rovnaká. V prípade rovinnej vlny to platí, ak energiu vlny médium neabsorbuje.

Uvažujme nejakú hodnotu fázy v rovnici (22.5):

(22.6)

Rovnica (22.6) udáva vzťah medzi časom t a miesto - X, v ktorom sa práve realizuje zadaná hodnota fázy. Po určení z rovnice (22.6) nájdeme rýchlosť, akou sa daná hodnota fázy pohybuje. Diferencovaním (22.6) dostaneme:

Kde nasleduje (22.7)

TANIEROVÁ VLNA

TANIEROVÁ VLNA

Vlna, ktorej smer šírenia je rovnaký vo všetkých bodoch priestoru. Najjednoduchším príkladom je homogénna monochromatická. netlmené P.v.:

u(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

kde A je amplitúda, j= wt±kz-, w=2p/T - kruhová frekvencia, T - perióda oscilácie, k -. Konštantné fázové plochy (fázové čelá) j=konšt. P.v. sú lietadlá.

Pri absencii disperzie, keď sú vph a vgr identické a konštantné (vgr = vph = v), existujú stacionárne (t. j. pohybujúce sa ako celok) prebiehajúce lineárne pohyby, ktoré umožňujú všeobecnú reprezentáciu formy:

u(z, t)=f(z±vt), (2)

kde f je ľubovoľná funkcia. V nelineárnych médiách s disperziou sú možné aj stacionárne bežiace PV. typu (2), ale ich tvar už nie je ľubovoľný, ale závisí tak od parametrov systému, ako aj od charakteru pohybu. V absorbujúcich (disipatívnych) médiách P. v. znížiť ich amplitúdu, keď sa šíria; pri lineárnom tlmení to možno vziať do úvahy nahradením k v (1) komplexným vlnovým číslom kd ± ikм, kde km je koeficient. útlm P. v.

Homogénna PV, ktorá zaberá celé nekonečno, je idealizácia, ale akákoľvek vlna sústredená v konečnej oblasti (napríklad nasmerovaná prenosovými vedeniami alebo vlnovodom) môže byť reprezentovaná ako superpozícia PV. s jedným alebo druhým priestorom. spektrum k. V tomto prípade môže mať vlna stále ploché fázové čelo, ale nerovnomernú amplitúdu. Taký P. v. volal rovinné nehomogénne vlny. Niektoré oblasti sú guľovité. a valcové vlny, ktoré sú malé v porovnaní s polomerom zakrivenia čela fázy, sa správajú približne ako fázová vlna.

Fyzický encyklopedický slovník. - M.: Sovietska encyklopédia. . 1983 .

TANIEROVÁ VLNA

- mávať, smer šírenia je rovnaký vo všetkých bodoch priestoru.

Kde A - amplitúda, - fáza, - kruhová frekvencia, T - perióda oscilácie k- vlnové číslo. = const P.v. sú lietadlá.
Pri absencii disperzie, keď je fázová rýchlosť v f a skupina v gr sú rovnaké a konštantné ( v gr = v f = v) existujú stacionárne (t. j. pohybujúce sa ako celok) bežiace P. c., ktorá môže byť zastúpená vo všeobecnej forme

Kde f- ľubovoľná funkcia. V nelineárnych médiách s disperziou sú možné aj stacionárne bežiace PV. typu (2), ale ich tvar už nie je ľubovoľný, ale závisí tak od parametrov systému, ako aj od charakteru pohybu vĺn. V absorbujúcom (disipatívnom) prostredí P. k na komplexnom vlnovom čísle k d ik m, kde k m - koeficient útlm P. v. Homogénne vlnové pole, ktoré zaberá celé nekonečno je idealizáciou, ale akékoľvek vlnové pole sústredené v konečnej oblasti (napr. prenosové linky alebo vlnovody), možno znázorniť ako superpozíciu P. V. s tým či oným priestorovým spektrom k. V tomto prípade môže mať vlna stále ploché fázové čelo s nerovnomerným rozložením amplitúdy. Taký P. v. volal rovinné nehomogénne vlny. Dlh. oblasti sférické alebo valcové vlny, ktoré sú malé v porovnaní s polomerom zakrivenia čela fázy sa správajú približne ako PT.

Lit. pozri pod čl. Vlny.

M. A. Miller, L. A. Ostrovský.

Fyzická encyklopédia. V 5 zväzkoch. - M.: Sovietska encyklopédia. Šéfredaktor A. M. Prochorov. 1988 .

Pre väčšinu problémov týkajúcich sa vĺn je dôležité poznať stav oscilácií rôznych bodov v médiu v tom či onom čase. Stavy bodov v médiu sa určia, ak sú známe amplitúdy a fázy ich kmitov. Pre priečne vlny je potrebné poznať aj charakter polarizácie. Pre rovinnú lineárne polarizovanú vlnu stačí mať výraz, ktorý umožňuje určiť posunutie c(x, t) z rovnovážnej polohy ľubovoľného bodu v médiu so súradnicou X, kedykoľvek t. Tento výraz sa nazýva vlnová rovnica.

Ryža. 2.21.

Uvažujme o tzv bežiaca vlna, tie. vlna s rovinnou vlnoplochou šíriaca sa v jednom konkrétnom smere (napríklad pozdĺž osi x). Nechajte častice prostredia bezprostredne susediace so zdrojom rovinných vĺn kmitať podľa harmonického zákona; %(0, /) = = LsobsoG (obr. 2.21). Na obrázku 2.21 A cez ^(0, t) označuje posun častíc média ležiacich v rovine kolmej na výkres a majúcich súradnicu vo zvolenom súradnicovom systéme X= 0 v čase t. Počiatok času je zvolený tak, aby počiatočná fáza oscilácií definovaná pomocou kosínusovej funkcie bola rovná nule. Os X kompatibilný s lúčom, t.j. so smerom šírenia vibrácií. V tomto prípade je čelo vlny kolmé na os X, takže častice ležiace v tejto rovine budú oscilovať v jednej fáze. Samotné čelo vlny v danom médiu sa pohybuje pozdĺž osi X s rýchlosťou Ašírenie vĺn v danom prostredí.

Nájdeme výraz? (x, t) posun častíc média vzdialených od zdroja vo vzdialenosti x. Toto je vzdialenosť, ktorú prejde čelo vlny

v čase Následne oscilácie častíc ležiacich v rovine vzdialenej od zdroja na diaľku X, bude meškať v čase o hodnotu m od kmitov častíc priamo susediacich so zdrojom. Tieto častice (so súradnicou x) budú tiež vykonávať harmonické vibrácie. Pri absencii tlmenia amplitúda A kmity (pri rovinnej vlne) nebudú závisieť od súradnice x, t.j.

Toto je požadovaná rovnica melanchólia bežiacej vlny(nezamieňať s vlnovou rovnicou diskutovanou nižšie!). Rovnica, ako už bolo uvedené, nám umožňuje určiť posunutie % častice média so súradnicou x v čase t. Fáza kmitania závisí

na dvoch premenných: na súradnici x častice a čase t. V danom pevnom časovom okamihu budú fázy oscilácií rôznych častíc vo všeobecnosti rôzne, ale je možné identifikovať častice, ktorých oscilácie sa budú vyskytovať v rovnakej fáze (vo fáze). Môžeme tiež predpokladať, že fázový rozdiel medzi osciláciami týchto častíc je rovný 2pt(Kde t = 1, 2, 3,...). Najkratšia vzdialenosť medzi dvoma časticami postupujúcej vlny kmitajúcou v rovnakej fáze sa nazýva vlnová dĺžka X.

Poďme nájsť vzťah vlnovej dĺžky X s inými veličinami charakterizujúcimi šírenie kmitov v médiu. V súlade so zavedenou definíciou vlnovej dĺžky môžeme písať

alebo po skratkách Od , potom

Tento výraz nám umožňuje poskytnúť inú definíciu vlnovej dĺžky: Vlnová dĺžka je vzdialenosť, na ktorú sa vibrácie častíc média majú čas šíriť za čas rovnajúci sa perióde vibrácií.

Vlnová rovnica odhaľuje dvojitú periodicitu: v súradniciach a v čase: ^(x, t) = Z, (x + nk, t) = l,(x, t + mT) = ​​​​Tx + pX, ml), Kde Pete - akékoľvek celé čísla. Môžete napríklad opraviť súradnice častíc (d x = const) a uvažujte ich posunutie ako funkciu času. Alebo naopak, opravte moment v čase (akceptujte t = const) a uvažujme posun častíc ako funkciu súradníc (okamžitý stav posunov je okamžitá fotografia vlny). Takže keď ste na móle, môžete okamžite použiť kameru t fotografovať morskú hladinu, ale môžete tak, že hodíte čip do mora (t.j. fixujete súradnicu X), sledovať jeho výkyvy v čase. Oba tieto prípady sú vo forme grafov znázornené na obr. 2.21, a-c.

Vlnová rovnica (2.125) sa dá prepísať inak

Vzťah je označený Komu a volá sa vlnové číslo

Pretože , To

Vlnové číslo teda ukazuje, koľko vlnových dĺžok sa zmestí do segmentu 2l jednotiek dĺžky. Zavedením vlnového čísla do vlnovej rovnice dostaneme rovnicu vlny postupujúcej v kladnom smere Oh vlny v najčastejšie používanej forme

Nájdime výraz týkajúci sa fázového rozdielu Der vibrácií dvoch častíc patriacich k rôznym vlnovým povrchom X a x 2. Pomocou vlnovej rovnice (2.131) píšeme:

Ak označíme alebo podľa (2.130)

Rovinná postupujúca vlna šíriaca sa v ľubovoľnom smere je vo všeobecnom prípade opísaná rovnicou

Kde G-vektor polomeru nakreslený od začiatku k častici ležiacej na povrchu vlny; Komu - vlnový vektor rovný vlnovému číslu (2.130) a zhodný v smere s normálou k povrchu vlny v smere šírenia vlny.

Je tiež možná zložitá forma zápisu vlnovej rovnice. Takže napríklad v prípade rovinnej vlny šíriacej sa pozdĺž osi X

a vo všeobecnom prípade rovinnej vlny ľubovoľného smeru

Vlnová rovnica v ktorejkoľvek z uvedených foriem môže byť získaná ako riešenie diferenciálnej rovnice tzv vlnová rovnica. Ak poznáme riešenie tejto rovnice v tvare (2.128) alebo (2.135) - rovnica postupujúcej vlny, tak nájdenie samotnej vlnovej rovnice nie je ťažké. Rozlišujme 4(x, t) = % z (2,135) dvakrát v súradnici a dvakrát v čase a dostaneme

vyjadrením?, prostredníctvom získaných derivátov a porovnaním výsledkov dostaneme

S ohľadom na vzťah mysle (2.129) píšeme

Toto je vlnová rovnica pre jednorozmerný prípad.

Vo všeobecnosti pre?, = c(x, y, z,/) vlnová rovnica v karteziánskych súradniciach vyzerá takto

alebo v kompaktnejšej forme:

kde D je Laplaceov diferenciálny operátor

Fázová rýchlosť je rýchlosť šírenia vlnových bodov oscilujúcich v rovnakej fáze. Inými slovami, toto je rýchlosť pohybu „hrebeňa“, „žľabu“ alebo akéhokoľvek iného bodu vlny, ktorého fáza je pevná. Ako už bolo uvedené, čelo vlny (a teda akýkoľvek povrch vlny) sa pohybuje pozdĺž osi Oh s rýchlosťou A. V dôsledku toho sa rýchlosť šírenia kmitov v médiu zhoduje s rýchlosťou pohybu danej fázy kmitov. Preto rýchlosť a určený vzťahom (2,129), t.j.

zvyčajne nazývaný fázová rýchlosť.

Rovnaký výsledok možno získať nájdením rýchlosti bodov v médiu, ktoré spĺňajú podmienku konštantnej fázy co/ - poplatok = konšt. Odtiaľto zistíme závislosť súradnice od času (co/ - const) a rýchlosti pohybu tejto fázy.

ktorý sa zhoduje s (2,142).

Rovinná postupujúca vlna šíriaca sa v smere zápornej osi oh, opísané rovnicou

V tomto prípade je skutočne fázová rýchlosť záporná

Fázová rýchlosť v danom médiu môže závisieť od frekvencie kmitov zdroja. Závislosť fázovej rýchlosti od frekvencie je tzv rozptyl, a prostredia, v ktorých sa táto závislosť vyskytuje, sa nazývajú disperzné médiá. Netreba si však myslieť, že výraz (2.142) je indikovaná závislosť. Ide o to, že pri absencii disperzie vlnové číslo Komu v priamej úmere

s a preto . K disperzii dochádza len vtedy, keď ω závisí od Komu nelineárne).

Pohybujúca sa rovinná vlna sa nazýva monochromatické (majú jednu frekvenciu), ak sú vibrácie v zdroji harmonické. Monochromatické vlny zodpovedajú rovnici tvaru (2.131).

Pre monochromatickú vlnu je uhlová frekvencia co a amplitúda A nezávisia od času. To znamená, že monochromatická vlna je neobmedzená v priestore a nekonečná v čase, t.j. je idealizovaný model. Akákoľvek skutočná vlna, bez ohľadu na to, ako starostlivo sa udržiava stálosť frekvencie a amplitúdy, nie je monochromatická. Skutočná vlna netrvá nekonečne dlho, ale začína a končí v určitých časoch na určitom mieste, a preto je amplitúda takejto vlny funkciou času a súradníc tohto miesta. Čím dlhší je však časový interval, počas ktorého sa amplitúda a frekvencia kmitov udržiava konštantná, tým je táto vlna bližšie k monochromatickej. V praxi sa monochromatická vlna často nazýva dostatočne veľký segment vlny, v rámci ktorého sa frekvencia a amplitúda nemenia, rovnako ako segment sínusovej vlny je znázornený na obrázku a nazýva sa sínusová vlna.