Jedným z najzáhadnejších čísel, ktoré ľudstvo pozná, je samozrejme číslo Π (čítaj pí). V algebre toto číslo odráža pomer obvodu kruhu k jeho priemeru. Predtým sa táto veličina nazývala Ludolfovo číslo. Ako a odkiaľ pochádza číslo Pi, nie je s určitosťou známe, ale matematici rozdeľujú celú históriu čísla Π na 3 etapy: starovekú, klasickú a éru digitálnych počítačov.

Číslo P je iracionálne, to znamená, že ho nemožno reprezentovať ako jednoduchý zlomok, kde čitateľ a menovateľ sú celé čísla. Preto takéto číslo nemá koniec a je periodické. Iracionalitu P prvýkrát dokázal v roku 1761 I. Lambert.

Okrem tejto vlastnosti nemôže byť číslo P ani koreňom žiadneho polynómu, a preto vlastnosť čísla, keď sa preukázala v roku 1882, ukončila takmer posvätný spor medzi matematikmi „o kvadratúre kruhu“, ktorý trval na 2500 rokov.

Je známe, že Briton Jones bol prvý, kto zaviedol označenie tohto čísla v roku 1706. Po objavení sa Eulerových diel sa používanie tohto zápisu stalo všeobecne akceptovaným.

Aby sme podrobne pochopili, čo je číslo Pi, treba povedať, že jeho použitie je také rozšírené, že je ťažké dokonca pomenovať oblasť vedy, ktorá by sa bez neho zaobišla. Jedným z najjednoduchších a najznámejších významov zo školských osnov je označenie geometrického obdobia. Pomer dĺžky kruhu k dĺžke jeho priemeru je konštantný a rovná sa 3,14. Túto hodnotu poznali najstarší matematici v Indii, Grécku, Babylone a Egypte. Najstaršia verzia výpočtu pomeru pochádza z roku 1900 pred Kristom. e. Čínsky vedec Liu Hui vypočítal hodnotu P, ktorá je bližšia modernej hodnote, navyše vynašiel rýchlu metódu na takýto výpočet. Jeho hodnota zostala všeobecne akceptovaná takmer 900 rokov.

Klasické obdobie vo vývoji matematiky bolo poznačené skutočnosťou, že vedci začali používať metódy matematickej analýzy, aby presne určili, čo je číslo Pi. V roku 1400 použil indický matematik Madhava teóriu sérií na výpočet a určenie periódy P s presnosťou na 11 desatinných miest. Prvým Európanom, po Archimedesovi, ktorý študoval číslo P a výrazne prispel k jeho zdôvodneniu, bol Holanďan Ludolf van Zeilen, ktorý určil už 15 číslic za desatinnou čiarkou a do testamentu napísal veľmi zábavné slová: „. .. kto má záujem, nech ide ďalej.“ Na počesť tohto vedca dostalo číslo P svoje prvé a jediné meno v histórii.

Éra počítačovej výpočtovej techniky priniesla nové detaily do chápania podstaty čísla P. Aby sme teda zistili, čo je to číslo Pi, v roku 1949 bol prvýkrát použitý počítač ENIAC, ktorého jedným z vývojárov bol budúci „otec“ teórie moderných počítačov J. Prvé meranie sa uskutočnilo viac ako 70 hodín a dalo 2037 číslic za desatinnou čiarkou v perióde čísla P. Miliónová hranica bola dosiahnutá v roku 1973. Okrem toho sa v tomto období ustanovili ďalšie vzorce, ktoré odrážali číslo P. Bratom Chudnovským sa teda podarilo nájsť taký, ktorý umožňoval vypočítať 1 011 196 691 číslic obdobia.

Vo všeobecnosti je potrebné poznamenať, že s cieľom odpovedať na otázku: „Čo je Pi?“ sa mnohé štúdie začali podobať súťažiam. Dnes už superpočítače riešia otázku, aké je skutočné číslo Pi. zaujímavé fakty súvisiace s týmito štúdiami prenikajú takmer celou históriou matematiky.

Dnes sa napríklad konajú majstrovstvá sveta v zapamätávaní čísla P a zaznamenávajú sa svetové rekordy, posledný patrí Číňanovi Liu Chao, ktorý za niečo vyše dňa pomenoval 67 890 znakov. Na svete je dokonca sviatok s číslom P, ktorý sa oslavuje ako „Pi Day“.

Od roku 2011 už bolo stanovených 10 biliónov číslic číselného obdobia.

Text práce je uverejnený bez obrázkov a vzorcov.
Plná verzia diela je dostupná v záložke „Pracovné súbory“ vo formáte PDF

ÚVOD

1. Relevantnosť práce.

V nekonečnej rozmanitosti čísel, rovnako ako medzi hviezdami vesmíru, vynikajú jednotlivé čísla a celé ich „súhvezdia“ úžasnej krásy, čísla s mimoriadnymi vlastnosťami a jedinečnou harmóniou, ktorá je im vlastná. Musíte len vidieť tieto čísla a všímať si ich vlastnosti. Pozrite sa bližšie na prirodzenú sériu čísel - a nájdete v nej veľa prekvapivých a bizarných, vtipných aj vážnych, nečakaných a zvedavých. Kto sa pozerá, vidí. Koniec koncov, ľudia si počas hviezdnej letnej noci ani nevšimnú... tú žiaru. Polárna hviezda, ak svoj pohľad nenasmerujú do bezoblačných výšin.

Prechádzaním z triedy do triedy som sa zoznámil s prirodzeným, zlomkovým, desatinným, záporným, racionálnym. Tento rok som študoval iracionálne. Medzi iracionálnymi číslami existuje špeciálne číslo, ktorého presné výpočty vykonávajú vedci už mnoho storočí. Narazil som na to už v 6. ročníku, keď som študoval tému „Obvod a plocha kruhu“. Zdôrazňovalo sa, že na strednej škole sa s ním budeme stretávať pomerne často. Zaujímavé boli praktické úlohy na zistenie číselnej hodnoty π. Číslo π je jedným z najzaujímavejších čísel, s ktorými sa stretávame pri štúdiu matematiky. Nachádza sa v rôznych školských disciplínach. S číslom π sa spája veľa zaujímavých faktov, preto vzbudzuje záujem o štúdium.

Keďže som o tomto čísle počul veľa zaujímavostí, rozhodol som sa preštudovaním ďalšej literatúry a hľadaním na internete, aby som o ňom zistil čo najviac informácií a odpovedal na problematické otázky:

Ako dlho ľudia vedia o čísle pí?

Prečo je potrebné ho študovať?

Aké zaujímavé skutočnosti sa s tým spájajú?

Je pravda, že hodnota pi je približne 3,14

Preto som sa nastavil cieľ: preskúmať históriu čísla π a význam čísla π v súčasnej fáze vývoja matematiky.

Úlohy:

Preštudujte si literatúru, aby ste získali informácie o histórii čísla π;

Stanovte niektoré fakty z „modernej biografie“ čísla π;

Praktický výpočet približnej hodnoty pomeru obvodu k priemeru.

Predmet štúdia:

Predmet štúdia: PI číslo.

Predmet štúdia: Zaujímavé fakty súvisiace s číslom PI.

2. Hlavná časť. Úžasné číslo pí.

Žiadne iné číslo nie je také tajomné ako Pí so svojím slávnym nekonečným číselným radom. V mnohých oblastiach matematiky a fyziky vedci používajú toto číslo a jeho zákony.

Zo všetkých čísel používaných v matematike, vede, technike a každodennom živote sa len máloktorému číslu venuje taká pozornosť ako pí. Jedna kniha hovorí: „Pi uchvacuje mysle vedeckých géniov a amatérskych matematikov po celom svete“ („Fraktály pre triedu“).

Možno ho nájsť v teórii pravdepodobnosti, pri riešení problémov s komplexnými číslami a iných neočakávaných a vzdialených od geometrie oblastí matematiky. Anglický matematik Augustus de Morgan raz nazval pí „...záhadné číslo 3.14159..., ktoré sa plazí cez dvere, cez okno a cez strechu“. Toto záhadné číslo, spojené s jedným z troch klasických problémov staroveku – zostrojenie štvorca, ktorého plocha sa rovná ploche daného kruhu – prináša so sebou sled dramatických historických a kurióznych zábavných faktov.

Niektorí ho dokonca považujú za jedno z piatich najdôležitejších čísel v matematike. Ale ako poznamenáva kniha Fractals for the Classroom, hoci pí je dôležité, „je ťažké nájsť oblasti vo vedeckých výpočtoch, ktoré vyžadujú viac ako dvadsať desatinných miest pí“.

3. Pojem pí

Číslo π je matematická konštanta vyjadrujúca pomer obvodu kruhu k dĺžke jeho priemeru. Číslo π (vyslov "pi") je matematická konštanta vyjadrujúca pomer obvodu kruhu k dĺžke jeho priemeru. Označuje sa písmenom „pi“ gréckej abecedy.

V číselnom vyjadrení π začína ako 3,141592 a má nekonečné matematické trvanie.

4. História čísla "pi"

Podľa odborníkov toto číslo objavili babylonskí mágovia. Bol použitý pri stavbe slávnej Babylonskej veže. Nedostatočne presný výpočet hodnoty Pi však viedol ku krachu celého projektu. Je možné, že táto matematická konštanta bola základom stavby legendárneho chrámu kráľa Šalamúna.

História pí, ktorá vyjadruje pomer obvodu kruhu k jeho priemeru, sa začala v Starovekom Egypte. Plocha kruhu s priemerom d Egyptskí matematici to definovali ako (d-d/9) 2 (tento záznam je tu uvedený v moderných symboloch). Z vyššie uvedeného výrazu môžeme usúdiť, že v tom čase sa číslo p považovalo za rovné zlomku (16/9) 2 , alebo 256/81 , t.j. π = 3,160...

V posvätnej knihe džinizmu (jedno z najstarších náboženstiev, ktoré existovalo v Indii a vzniklo v 6. storočí pred Kristom) je údaj, z ktorého vyplýva, že číslo p sa v tom čase považovalo za rovnaké, čo udáva zlomok 3,162... Starovekí Gréci Eudoxus, Hippokrates a iní redukovali meranie kruhu na konštrukciu úsečky a meranie kruhu na konštrukciu rovnakého štvorca. Treba poznamenať, že po mnoho storočí sa matematici z rôznych krajín a národov snažili vyjadriť pomer obvodu k priemeru ako racionálne číslo.

Archimedes v 3. storočí BC. vo svojom krátkom diele „Measuring a Circle“ zdôvodnil tri tvrdenia:

Každý kruh má rovnakú veľkosť ako pravouhlý trojuholník, ktorého ramená sa rovnajú dĺžke kruhu a jeho polomeru;

Plochy kruhu súvisia so štvorcom postaveným na priemere, as 11 až 14;

Pomer akéhokoľvek kruhu k jeho priemeru je menší 3 1/7 a viac 3 10/71 .

Podľa presných výpočtov Archimedes pomer obvodu k priemeru je uzavretý medzi číslami 3*10/71 A 3*1/7 , čo znamená, že π = 3,1419... Skutočný význam tohto vzťahu 3,1415922653... V 5. stor BC. čínsky matematik Zu Chongzhi bola nájdená presnejšia hodnota pre toto číslo: 3,1415927...

V prvej polovici 15. stor. observatórium Ulugbek, blízko Samarkand, astronóm a matematik al-Kashi vypočítané pí na 16 desatinných miest. Al-Kashi urobil jedinečné výpočty, ktoré boli potrebné na zostavenie tabuľky sínusov v krokoch 1" . Tieto tabuľky hrali dôležitú úlohu v astronómii.

O storočie a pol neskôr v Európe F. Viet našiel pi iba s 9 správnymi desatinnými miestami zdvojnásobením počtu strán mnohouholníkov 16-krát. Ale v rovnakom čase F. Viet bol prvý, kto si všimol, že pi možno nájsť pomocou limitov určitých sérií. Tento objav bol skvelý

hodnotu, pretože nám to umožnilo vypočítať pi s akoukoľvek presnosťou. Len po 250 rokoch al-Kashi jeho výsledok bol prekonaný.

Narodeniny čísla „“.

Neoficiálny sviatok “PI Day” sa oslavuje 14. marca, čo sa v americkom formáte (deň/dátum) píše ako 3/14, čo zodpovedá približnej hodnote PI.

Existuje alternatívna verzia dovolenky - 22. júla. Volá sa Približný deň pí. Faktom je, že vyjadrenie tohto dátumu ako zlomku (22/7) dáva vo výsledku aj číslo Pi. Predpokladá sa, že sviatok vynašiel v roku 1987 sanfranciský fyzik Larry Shaw, ktorý si všimol, že dátum a čas sa zhodujú s prvými číslicami čísla π.

Zaujímavé fakty súvisiace s číslom „“

Vedcom na Tokijskej univerzite pod vedením profesora Yasumasa Kanady sa podarilo vytvoriť svetový rekord vo výpočte čísla Pi na 12 411 biliónov číslic. Na to potrebovala skupina programátorov a matematikov špeciálny program, superpočítač a 400 hodín počítačového času. (Guinessova kniha rekordov).

Toto číslo zaujalo nemeckého kráľa Fridricha II. natoľko, že mu venoval... celý palác Castel del Monte, v pomeroch ktorého možno vypočítať PI. Teraz je magický palác pod ochranou UNESCO.

Ako si zapamätať prvé číslice čísla „“.

Prvé tri číslice čísla  = 3,14... nie je ťažké si zapamätať. A aby ste si zapamätali viac znamení, sú tu vtipné výroky a básne. Napríklad tieto:

Treba len skúšať

A pamätajte si všetko tak, ako to je:

Deväťdesiat dva a šesť.

S. Bobrov. "Magický dvojrožec"

Každý, kto sa naučí toto štvorveršie, bude vždy vedieť pomenovať 8 znakov čísla :

V nasledujúcich frázach môžu byť číselné znaky  určené počtom písmen v každom slove:

“Čo viem o kruhoch?" (3,1416);

“Takže poznám číslo s názvom Pi. - Výborne!"

(3,1415927);

“Naučte sa a poznajte číslo za číslom, ako si všimnúť šťastie.“

(3,14159265359)

5. Zápis pre pi

Prvý, kto zaviedol moderný symbol pí pre pomer obvodu kruhu k jeho priemeru, bol anglický matematik W.Johnson v roku 1706. Ako symbol si vzal prvé písmeno gréckeho slova "periféria", čo v preklade znamená "kruh". Zadané W.Johnson označenie sa začalo bežne používať po zverejnení prác L. Euler, ktorý zadaný znak prvýkrát použil v r 1736 G.

Koncom 18. stor. A.M.Lagendre na základe prac I.G. Lambert dokázal, že pi je iracionálne. Potom nemecký matematik F. Lindeman na základe výskumu S.Ermita, našiel prísny dôkaz, že toto číslo je nielen iracionálne, ale aj transcendentálne, t.j. nemôže byť koreňom algebraickej rovnice. Po práci pokračovalo hľadanie presného výrazu pre pí F. Vieta. Začiatkom 17. stor. holandský matematik z Kolína nad Rýnom Ludolf van Zeijlen(1540-1610) (niektorí historici ho nazývajú L. van Keulen) nájdených 32 správnych znakov. Odvtedy (rok vydania 1615) sa hodnota čísla p s 32 desatinnými miestami nazýva číslom. Ludolph.

6. Ako si zapamätať číslo "Pi" s presnosťou na jedenásť číslic

Číslo "Pi" je pomer obvodu kruhu k jeho priemeru, vyjadruje sa ako nekonečný desatinný zlomok. V bežnom živote nám stačí poznať tri znamenia (3.14). Niektoré výpočty však vyžadujú väčšiu presnosť.

Naši predkovia nemali počítače, kalkulačky ani príručky, ale už od čias Petra I. sa zaoberali geometrickými výpočtami v astronómii, strojárstve a stavbe lodí. Následne sa sem pridala elektrotechnika - existuje pojem „kruhová frekvencia striedavého prúdu“. Na zapamätanie čísla „Pi“ bolo vynájdené dvojveršie (žiaľ, nepoznáme autora ani miesto jeho prvého vydania; ale koncom 40-tych rokov dvadsiateho storočia moskovskí školáci študovali Kiselevovu učebnicu geometrie, kde bola daný).

Dvojveršie je napísané podľa pravidiel starého ruského pravopisu, podľa ktorého po spoluhláska musí byť umiestnený na konci slova "mäkký" alebo "pevný" znamenie. Tu je tento nádherný historický dvojverší:

Komu, žartom, bude čoskoro priať

„Pi“ pozná číslo - už vie.

Pre každého, kto sa v budúcnosti plánuje venovať presným výpočtom, dáva zmysel, aby si to zapamätal. Aké je teda číslo „Pi“ s presnosťou na jedenásť číslic? Spočítajte počet písmen v každom slove a napíšte tieto čísla do radu (prvé číslo oddeľte čiarkou).

Táto presnosť je už pre inžinierske výpočty úplne dostatočná. Okrem starodávneho existuje aj moderná metóda memorovania, na ktorú upozornil čitateľ, ktorý sa identifikoval ako Georgij:

Aby sme neurobili chyby,

Musíte si to prečítať správne:

Tri, štrnásť, pätnásť,

Deväťdesiat dva a šesť.

Treba len skúšať

A pamätajte si všetko tak, ako to je:

Tri, štrnásť, pätnásť,

Deväťdesiat dva a šesť.

Tri, štrnásť, pätnásť,

Deväť, dva, šesť, päť, tri, päť.

Robiť vedu,

Toto by mal vedieť každý.

Môžete to len skúsiť

A opakujte častejšie:

"Tri, štrnásť, pätnásť,

Deväť, dvadsaťšesť a päť."

Matematici s pomocou moderných počítačov dokážu vypočítať takmer ľubovoľný počet číslic Pi.

7. Pamäťový záznam pí

Ľudstvo sa už dlho snaží zapamätať si znaky pí. Ale ako vložiť nekonečno do pamäte? Obľúbená otázka profesionálnych mnemonistov. Bolo vyvinutých mnoho jedinečných teórií a techník na zvládnutie obrovského množstva informácií. Mnohé z nich boli testované na pí.

Svetový rekord stanovený v minulom storočí v Nemecku je 40 000 znakov. Ruský rekord v hodnotách pí bol stanovený 1. decembra 2003 v Čeľabinsku Alexandrom Beljajevom. Za hodinu a pol s krátkymi prestávkami Alexander napísal na tabuľu 2500 číslic pí.

Predtým bolo uvedenie 2 000 znakov v Rusku považované za rekord, čo sa podarilo v roku 1999 v Jekaterinburgu. Podľa Alexandra Beljajeva, vedúceho centra pre rozvoj obrazovej pamäte, môže takýto experiment so svojou pamäťou uskutočniť každý z nás. Dôležité je len poznať špeciálne techniky zapamätania a pravidelne ich precvičovať.

Záver.

Číslo pi sa objavuje vo vzorcoch používaných v mnohých poliach. Fyzika, elektrotechnika, elektronika, teória pravdepodobnosti, konštrukcia a navigácia sú len niektoré. A zdá sa, že tak ako znamenia čísla pí nekončia, nekončia ani možnosti praktickej aplikácie tohto užitočného, ​​neuchopiteľného čísla pí.

V modernej matematike nie je číslo pí len pomerom obvodu k priemeru, ale je zahrnuté vo veľkom množstve rôznych vzorcov.

Táto a ďalšie vzájomné závislosti umožnili matematikom ďalej pochopiť podstatu pí.

Presná hodnota čísla π v modernom svete nemá len vlastnú vedeckú hodnotu, ale používa sa aj na veľmi presné výpočty (napríklad dráha satelitu, stavba obrovských mostov), ​​ako aj na hodnotenie rýchlosť a výkon moderných počítačov.

V súčasnosti je číslo π spojené s ťažko viditeľnou množinou vzorcov, matematických a fyzikálnych faktov. Ich počet naďalej rýchlo rastie. To všetko hovorí o rastúcom záujme o najdôležitejšiu matematickú konštantu, ktorej štúdium trvá viac ako dvadsaťdva storočí.

Práca, ktorú som robil, bola zaujímavá. Chcel som sa dozvedieť o histórii pí, praktických aplikáciách a myslím, že som dosiahol svoj cieľ. Zhrnutím práce som dospel k záveru, že táto téma je relevantná. S číslom π sa spája veľa zaujímavých faktov, preto vzbudzuje záujem o štúdium. Vo svojej práci som sa bližšie zoznámil s číslom - jednou z večných hodnôt, ktoré ľudstvo používa už mnoho storočí. Dozvedel som sa niektoré aspekty jeho bohatej histórie. Zistil som, prečo staroveký svet nepoznal správny pomer obvodu k priemeru. Prehľadne som sa pozrel na spôsoby, akými sa dá číslo získať. Na základe pokusov som rôznymi spôsobmi vypočítal približnú hodnotu čísla. Spracoval a analyzoval výsledky experimentov.

Každý školák by dnes mal vedieť, čo číslo znamená a približne sa rovná. Koniec koncov, prvé zoznámenie každého s číslom, jeho použitie pri výpočte obvodu kruhu, plochy kruhu, sa vyskytuje v 6. Ale, bohužiaľ, táto znalosť zostáva pre mnohých formálna a po roku alebo dvoch si málokto pamätá nielen to, že pomer dĺžky kruhu k jeho priemeru je rovnaký pre všetky kruhy, ale dokonca má problém zapamätať si číselnú hodnotu. z čísla rovného 3,14.

Snažil som sa poodhrnúť závoj bohatej histórie čísla, ktoré ľudstvo používa už mnoho storočí. Prezentáciu k svojej práci som urobil sám.

História čísel je fascinujúca a tajomná. Rád by som pokračoval vo výskume ďalších úžasných čísel v matematike. Toto bude predmetom mojich ďalších výskumných štúdií.

Bibliografia.

1. Glazer G.I. Dejiny matematiky v škole, ročníky IV-VI. - M.: Vzdelávanie, 1982.

2. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky - M.: Prosveshchenie, 1989.

3. Žukov A.V. Všadeprítomné číslo „pi“. - M.: Úvodník URSS, 2004.

4. Kympan F. História čísla „pi“. - M.: Nauka, 1971.

5. Svechnikov A.A. cesta do dejín matematiky - M.: Pedagogika - Press, 1995.

6. Encyklopédia pre deti. T.11.Matematika - M.: Avanta +, 1998.

Internetové zdroje:

- http:// crow.academy.ru/materials_/pi/history.htm

Http://hab/kp.ru// daily/24123/344634/

História čísla Pi začína v starovekom Egypte a ide súbežne s vývojom celej matematiky. Toto je prvýkrát, čo sa s touto veličinou stretávame medzi stenami školy.

Číslo Pi je možno najzáhadnejšie z nekonečného množstva iných. Venujú sa mu básne, zobrazujú ho umelci, dokonca bol o ňom natočený aj film. V našom článku sa pozrieme na históriu vývoja a výpočtu, ako aj na oblasti použitia konštanty Pi v našom živote.

Pi je matematická konštanta rovnajúca sa pomeru obvodu kruhu k dĺžke jeho priemeru. Pôvodne sa nazývalo Ludolphovo číslo a britský matematik Jones v roku 1706 navrhol označovať ho písmenom Pi. Po práci Leonharda Eulera v roku 1737 sa toto označenie stalo všeobecne akceptovaným.

Pi je iracionálne číslo, čo znamená, že jeho hodnotu nemožno presne vyjadriť ako zlomok m/n, kde m a n sú celé čísla. Prvýkrát to dokázal Johann Lambert v roku 1761.

História vývoja čísla Pi siaha asi 4000 rokov dozadu. Dokonca aj starí egyptskí a babylonskí matematici vedeli, že pomer obvodu k priemeru je rovnaký pre akýkoľvek kruh a jeho hodnota je o niečo väčšia ako tri.

Archimedes navrhol matematickú metódu výpočtu Pi, v ktorej vpísal pravidelné mnohouholníky do kruhu a opísal ho okolo neho. Podľa jeho výpočtov bolo Pi približne rovné 22/7 ≈ 3,142857142857143.

V 2. storočí Zhang Heng navrhol dve hodnoty pre Pi: ​​≈ 3,1724 a ≈ 3,1622.

Indickí matematici Aryabhata a Bhaskara našli približnú hodnotu 3,1416.

Najpresnejšou aproximáciou Pi za 900 rokov bol výpočet čínskeho matematika Zu Chongzhi v 480. rokoch. Odvodil, že Pi ≈ 355/113 a ukázal, že 3,1415926< Пи < 3,1415927.

Pred 2. tisícročím nebolo vypočítaných viac ako 10 číslic pí. Až s rozvojom matematickej analýzy, a najmä s objavom sérií, sa dosiahli ďalšie veľké pokroky vo výpočte konštanty.

V roku 1400 bol Madhava schopný vypočítať Pi=3,14159265359. Jeho rekord prekonal v roku 1424 perzský matematik Al-Kashi. Vo svojej práci „Pojednanie o kruhu“ citoval 17 číslic Pi, z ktorých sa 16 ukázalo ako správnych.

Holandský matematik Ludolf van Zeijlen dosiahol vo svojich výpočtoch 20 čísel, ktorým venoval 10 rokov svojho života. Po jeho smrti bolo v jeho poznámkach objavených ďalších 15 číslic Pi. Odkázal, aby tieto čísla boli vytesané na jeho náhrobnom kameni.

S príchodom počítačov má číslo Pi dnes niekoľko biliónov číslic a toto nie je limit. Ako však uvádza Fractals for the Classroom, hoci je Pi dôležité, „je ťažké nájsť oblasti vo vedeckých výpočtoch, ktoré vyžadujú viac ako dvadsať desatinných miest“.

V našom živote sa číslo Pi používa v mnohých vedeckých oblastiach. Fyzika, elektronika, teória pravdepodobnosti, chémia, stavebníctvo, navigácia, farmakológia – to je len niekoľko z nich, ktoré si bez tohto záhadného čísla jednoducho nemožno predstaviť.

Na základe materiálov zo stránky Calculator888.ru - Číslo pí - význam, história, kto ho vynašiel.

Po mnoho storočí a dokonca, napodiv, tisícročia, ľudia chápali dôležitosť a hodnotu pre vedu matematickej konštanty rovnajúcej sa pomeru obvodu kruhu k jeho priemeru. číslo Pi je stále neznáme, ale zaoberali sa ním najlepší matematici v celej našej histórii. Väčšina z nich to chcela vyjadriť ako racionálne číslo.

1. Výskumníci a skutoční fanúšikovia čísla Pi zorganizovali klub, na vstup do ktorého musíte poznať naspamäť pomerne veľké množstvo jeho znakov.

2. Od roku 1988 sa oslavuje “Pí deň”, ktorý pripadá na 14. marca. Pripravujú šaláty, koláče, sušienky a pečivo s jeho podobizňou.

3. Číslo Pi už bolo zhudobnené a znie to celkom dobre. V americkom Seattli mu dokonca postavili pomník pred mestským múzeom umenia.

V tom vzdialenom čase sa pokúsili vypočítať číslo Pi pomocou geometrie. Skutočnosť, že toto číslo je konštantné pre širokú škálu kruhov, vedeli geometri v starovekom Egypte, Babylone, Indii a starovekom Grécku, ktorí vo svojich prácach uvádzali, že je to len o niečo viac ako tri.

V jednej z posvätných kníh džinizmu (staroindické náboženstvo, ktoré vzniklo v 6. storočí pred Kristom) sa uvádza, že vtedy sa číslo Pi považovalo za rovné druhej odmocnine z desiatich, čo nakoniec dáva 3,162... .

Starovekí grécki matematici merali kruh zostrojením úsečky, ale aby zmerali kružnicu, museli zostrojiť rovnaký štvorec, teda obrazec, ktorý má rovnakú plochu ako on.

Keď ešte neboli známe desatinné zlomky, veľký Archimedes našiel hodnotu Pi s presnosťou 99,9%. Objavil metódu, ktorá sa stala základom mnohých následných výpočtov, vpisovaním pravidelných mnohouholníkov do kruhu a jeho opisovaním. V dôsledku toho Archimedes vypočítal hodnotu Pi ako pomer 22 / 7 ≈ 3,142857142857143.

V Číne matematik a dvorný astronóm Zu Chongzhi v 5. storočí pred n. e. určil presnejšiu hodnotu pre Pi, vypočítal ju na sedem desatinných miest a určil jej hodnotu medzi číslami 3, 1415926 a 3,1415927. Vedcom trvalo viac ako 900 rokov, kým pokračovali v tejto digitálnej sérii.

Stredovek

Slávny indický vedec Madhava, ktorý žil na prelome 14. - 15. storočia a stal sa zakladateľom keralskej školy astronómie a matematiky, prvýkrát v histórii začal pracovať na rozšírení trigonometrických funkcií do sérií. Pravda, z jeho diel sa zachovali len dve a o ostatných sú známe len odkazy a citáty jeho žiakov. Vedecké pojednanie „Mahajyanayana“, ktoré sa pripisuje Madhavovi, uvádza, že číslo Pi je 3,14159265359. A v pojednaní „Sadratnamala“ je číslo uvedené s ešte presnejšími desatinnými miestami: 3,14159265358979324. V uvedených číslach posledné číslice nezodpovedajú správnej hodnote.

V 15. storočí samarkandský matematik a astronóm Al-Kashi vypočítal číslo Pi so šestnástimi desatinnými miestami. Jeho výsledok bol považovaný za najpresnejší na nasledujúcich 250 rokov.

W. Johnson, matematik z Anglicka, ako jeden z prvých označil pomer obvodu kruhu k jeho priemeru písmenom π. Pi je prvé písmeno gréckeho slova "περιφέρεια" - kruh. Ale toto označenie sa podarilo všeobecne akceptovať až po tom, čo ho v roku 1736 použil slávnejší vedec L. Euler.

Záver

Moderní vedci pokračujú v práci na ďalších výpočtoch hodnôt Pi. Na to už slúžia superpočítače. V roku 2011 vedec zo Shigeru Kondo v spolupráci s americkým študentom Alexandrom Yi správne vypočítal postupnosť 10 biliónov číslic. Ale stále nie je jasné, kto objavil číslo Pi, kto prvý premýšľal o tomto probléme a urobil prvé výpočty tohto skutočne mystického čísla.

Úvod

Článok obsahuje matematické vzorce, takže ak si chcete prečítať, prejdite na stránku, aby ste ich správne zobrazili.Číslo \(\pi\) má bohatú históriu. Táto konštanta označuje pomer obvodu kruhu k jeho priemeru.

Vo vede sa číslo \(\pi \) používa pri akýchkoľvek výpočtoch zahŕňajúcich kruhy. Počnúc objemom plechovky sódy až po obežné dráhy satelitov. A nielen kruhy. V skutočnosti pri štúdiu zakrivených čiar číslo \(\pi \) pomáha pochopiť periodické a oscilačné systémy. Napríklad elektromagnetické vlny a dokonca aj hudba.

V roku 1706, v knihe A New Introduction to Mathematics od britského vedca Williama Jonesa (1675-1749), bolo písmeno gréckej abecedy \(\pi\) prvýkrát použité na vyjadrenie čísla 3,141592.... Toto označenie pochádza zo začiatočného písmena gréckych slov περιϕερεια - kruh, obvod a περιµετρoς - obvod. Toto označenie sa stalo všeobecne akceptovaným po práci Leonharda Eulera v roku 1737.

Geometrické obdobie

Nemennosť pomeru dĺžky akéhokoľvek kruhu k jeho priemeru bola zaznamenaná už dlho. Obyvatelia Mezopotámie používali pomerne približnú aproximáciu čísla \(\pi\). Ako vyplýva zo starovekých problémov, vo svojich výpočtoch používajú hodnotu \(\pi ≈ 3\).

Presnejšiu hodnotu pre \(\pi\) používali starí Egypťania. V Londýne a New Yorku sa uchovávajú dva kusy staroegyptského papyrusu, ktorý sa nazýva „Rinda papyrus“. Papyrus zostavil pisár Armes niekedy v rokoch 2000-1700. BC Armes napísal vo svojom papyruse, že plocha kruhu s polomerom \(r\) sa rovná ploche štvorca so stranou rovnou \(\frac(8)(9) \) priemer kruhu \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), teda \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Preto \(\pi = 3,16\).

Staroveký grécky matematik Archimedes (287-212 pred n. l.) ako prvý postavil problém merania kruhu na vedecký základ. Získal skóre \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Metóda je pomerne jednoduchá, ale pri absencii hotových tabuliek trigonometrických funkcií bude potrebná extrakcia koreňov. Navyše aproximácia konverguje k \(\pi \) veľmi pomaly: s každou iteráciou sa chyba zníži iba štvornásobne.

Analytické obdobie

Napriek tomu sa až do polovice 17. storočia všetky pokusy európskych vedcov o výpočet čísla \(\pi\) scvrkli na zväčšenie strán mnohouholníka. Napríklad holandský matematik Ludolf van Zeijlen (1540-1610) vypočítal približnú hodnotu čísla \(\pi\) s presnosťou na 20 desatinných miest.

Výpočet mu trval 10 rokov. Zdvojnásobením počtu strán vpísaných a opísaných mnohouholníkov pomocou Archimedovej metódy dospel k \(60 \cdot 2^(29) \) - trojuholníku na výpočet \(\pi \) s 20 desatinnými miestami.

Po jeho smrti bolo v jeho rukopisoch objavených 15 presnejších číslic čísla \(\pi\). Ludolf odkázal, aby znaky, ktoré našiel, boli vytesané na jeho náhrobnom kameni. Na jeho počesť sa číslo \(\pi\) niekedy nazývalo „Ludolfovo číslo“ alebo „Ludolfova konštanta“.

Jedným z prvých, ktorí zaviedli metódu odlišnú od metódy Archimedes, bol François Viète (1540-1603). Dospel k výsledku, že kruh, ktorého priemer sa rovná jednej, má obsah:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt ( \frac(1)(2) \cdots )))) \]

Na druhej strane je oblasť \(\frac(\pi)(4)\). Nahradením a zjednodušením výrazu môžeme získať nasledujúci nekonečný vzorec súčinu na výpočet približnej hodnoty \(\frac(\pi)(2)\):

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2 )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Výsledný vzorec je prvým presným analytickým výrazom pre číslo \(\pi\). Okrem tohto vzorca dal Viet pomocou metódy Archimeda pomocou vpísaných a opísaných mnohouholníkov, počínajúc 6-uholníkom a končiac mnohouholníkom so stranami \(2^(16) \cdot 6 \) aproximáciu čísla \(\pi \) s 9 so správnymi znamienkami.

Anglický matematik William Brounker (1620-1684) pomocou nepretržitého zlomku získal nasledujúce výsledky na výpočet \(\frac(\pi)(4)\):

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) ) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

Tento spôsob výpočtu aproximácie čísla \(\frac(4)(\pi)\) vyžaduje pomerne veľa výpočtov na získanie čo i len malej aproximácie.

Hodnoty získané v dôsledku substitúcie sú buď väčšie alebo menšie ako číslo \(\pi\), a zakaždým sú bližšie k skutočnej hodnote, ale na získanie hodnoty 3,141592 bude potrebné vykonať pomerne veľké výpočty.

Ďalší anglický matematik John Machin (1686-1751) v roku 1706 na výpočet čísla \(\pi\) so 100 desatinnými miestami použil vzorec odvodený Leibnizom v roku 1673 a použil ho takto:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) - arctg\frac(1)(239) \]

Séria rýchlo konverguje a s jej pomocou dokážete vypočítať číslo \(\pi \) s veľkou presnosťou. Tieto typy vzorcov sa používali na nastavenie niekoľkých záznamov počas počítačovej éry.

V 17. storočí so začiatkom obdobia matematiky premenných hodnôt sa začala nová etapa vo výpočte \(\pi\). Nemecký matematik Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) našiel v roku 1673 rozklad čísla \(\pi\), vo všeobecnosti ho možno zapísať ako nasledujúci nekonečný rad:

\[ \pi = 1 — 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) — \frac(1)(7) + \frac(1)(9) — \frac(1) (11) + \cdots) \]

Séria sa získa dosadením x = 1 do \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) — \cdots\)

Leonhard Euler rozvíja Leibnizovu myšlienku vo svojich prácach o použití radov pre arktan x pri výpočte čísla \(\pi\). Traktát „De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi“ (O rôznych spôsoboch vyjadrenia kvadratúry kruhu približnými číslami), napísaný v roku 1738, pojednáva o metódach na zlepšenie výpočtov pomocou Leibnizovho vzorca.

Euler píše, že rad pre arkustangens bude konvergovať rýchlejšie, ak má argument tendenciu k nule. Pre \(x = 1\) je konvergencia radu veľmi pomalá: na výpočet s presnosťou 100 číslic je potrebné pridať \(10^(50)\) členov radu. Výpočty môžete urýchliť znížením hodnoty argumentu. Ak vezmeme \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), dostaneme rad

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 — \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) — \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

Podľa Eulera, ak vezmeme 210 členov tohto radu, dostaneme 100 správnych číslic čísla. Výsledný rad je nepohodlný, pretože je potrebné poznať pomerne presnú hodnotu iracionálneho čísla \(\sqrt(3)\). Euler vo svojich výpočtoch použil aj expanzie arkustangens na súčet arkustangens menších argumentov:

\[kde x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Neboli zverejnené všetky vzorce na výpočet \(\pi\), ktoré Euler používal vo svojich zápisníkoch. V publikovaných článkoch a zošitoch zvažoval 3 rôzne série na výpočet arkustangensu a tiež urobil veľa vyhlásení týkajúcich sa počtu sčítateľných členov potrebných na získanie približnej hodnoty \(\pi\) s danou presnosťou.

V nasledujúcich rokoch dochádzalo k spresňovaniu hodnoty čísla \(\pi\) rýchlejšie a rýchlejšie. Napríklad v roku 1794 Georg Vega (1754-1802) identifikoval už 140 znakov, z ktorých sa len 136 ukázalo ako správnych.

Výpočtové obdobie

20. storočie sa nieslo v znamení úplne novej etapy vo výpočte čísla \(\pi\). Indický matematik Srinivasa Ramanujan (1887-1920) objavil mnoho nových vzorcov pre \(\pi\). V roku 1910 získal vzorec na výpočet \(\pi\) prostredníctvom expanzie arctangens v Taylorovom rade:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

Pri k=100 sa dosiahne presnosť 600 správnych číslic čísla \(\pi\).

Nástup počítačov umožnil výrazne zvýšiť presnosť získaných hodnôt v kratšom čase. V roku 1949, len za 70 hodín, pomocou ENIAC, skupina vedcov vedená Johnom von Neumannom (1903-1957) získala 2037 desatinných miest pre číslo \(\pi\). V roku 1987 David a Gregory Chudnovsky získali vzorec, pomocou ktorého boli schopní vytvoriť niekoľko rekordov vo výpočte \(\pi\):

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Každý člen série dáva 14 číslic. V roku 1989 bolo získaných 1 011 196 691 desatinných miest. Tento vzorec je vhodný na výpočet \(\pi \) na osobných počítačoch. V súčasnosti sú bratia profesormi na Polytechnickom inštitúte New York University.

Dôležitým nedávnym vývojom bol objav vzorca v roku 1997 Simonom Plouffom. Umožňuje extrahovať ľubovoľnú šestnástkovú číslicu čísla \(\pi\) bez výpočtu predchádzajúcich. Vzorec sa nazýva „formula Bailey-Borwain-Plouffe“ na počesť autorov článku, kde bol vzorec prvýkrát publikovaný. Vyzerá to takto:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) — \frac(2)(8k+4 ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

V roku 2006 Simon pomocou PSLQ vymyslel niekoľko pekných vzorcov na výpočet \(\pi\). Napríklad,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) — 1) — \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

kde \(q = e^(\pi)\). V roku 2009 japonskí vedci pomocou superpočítača T2K Tsukuba System získali číslo \(\pi\) s 2 576 980 377 524 desatinnými miestami. Výpočty trvali 73 hodín 36 minút. Počítač bol vybavený 640 štvorjadrovými procesormi AMD Opteron, ktoré poskytovali výkon 95 biliónov operácií za sekundu.

Ďalší úspech vo výpočtoch \(\pi\) patrí francúzskemu programátorovi Fabriceovi Bellardovi, ktorý koncom roka 2009 na svojom osobnom počítači so systémom Fedora 10 vytvoril rekord vypočítaním 2 699 999 990 000 desatinných miest čísla \(\pi\ ). Za posledných 14 rokov ide o prvý svetový rekord, ktorý bol vytvorený bez použitia superpočítača. Pre vysoký výkon použil Fabrice formulu bratov Chudnovských. Celkovo výpočet trval 131 dní (103 dní výpočtov a 13 dní overovania výsledku). Bellarov úspech ukázal, že takéto výpočty nevyžadujú superpočítač.

Len o šesť mesiacov neskôr prekonali Francoisov rekord inžinieri Alexander Yi a Singer Kondo. Na dosiahnutie rekordu 5 biliónov desatinných miest \(\pi\) bol použitý aj osobný počítač, ale s pôsobivejšími vlastnosťami: dva procesory Intel Xeon X5680 na 3,33 GHz, 96 GB RAM, 38 TB diskovej pamäte a operačný systém Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Na výpočty použili Alexander a Singer vzorec bratov Chudnovských. Proces výpočtu trval 90 dní a 22 TB miesta na disku. V roku 2011 vytvorili ďalší rekord, keď pre číslo \(\pi\) vypočítali 10 biliónov desatinných miest. Výpočty prebiehali na tom istom počítači, na ktorom bol nastavený ich predchádzajúci záznam a trvali spolu 371 dní. Na konci roka 2013 Alexander a Singerou zlepšili rekord na 12,1 bilióna číslic čísla \(\pi\), čo im zabralo len 94 dní na výpočet. Toto zlepšenie výkonu sa dosahuje optimalizáciou výkonu softvéru, zvýšením počtu procesorových jadier a výrazným zlepšením odolnosti softvéru voči chybám.

Aktuálny rekord je rekord Alexander Yee a Singer Kondo, čo je 12,1 bilióna desatinných miest \(\pi\).

Pozreli sme sa teda na metódy výpočtu čísla \(\pi\) používané v staroveku, analytické metódy a pozreli sme sa aj na moderné metódy a záznamy na výpočet čísla \(\pi\) na počítačoch.

Zoznam zdrojov

1. Žukov A.V. Všadeprítomné číslo Pi - M.: Vydavateľstvo LKI, 2007 - 216 s.
2. F.Rudio. Na kvadratúre kruhu s aplikáciou histórie problematiky zostavenej F. Rudiom. / Rudio F. – M.: ONTI NKTP ZSSR, 1936. – 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. – Springer, 2001. – 270s.
4. Shukhman, E.V. Približný výpočet Pi pomocou série pre arctan x v publikovaných a nepublikovaných prácach Leonharda Eulera / E.V. Shukhman. — Dejiny vedy a techniky, 2008 – č. 4. – S. 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 – Vol.9 – 222-236s.
6. Shumikhin, S. Číslo Pi. História 4000 rokov / S. Shumikhin, A. Shumikhina. - M.: Eksmo, 2011. - 192 s.
7. Borwein, J.M. Ramanujan a číslo Pi. / Borwein, J.M., Borwein P.B. Vo svete vedy. 1988 – č.4. – s. 58-66.
8. Alex Yee. Číselný svet. Režim prístupu: numberworld.org

Páčilo sa?

Povedz