Edukačná a metodická príručka „Technika vykonávania geometrických konštrukcií“ na vykonávanie grafických prác.

vedieť; že trojuholníky sú rovnaké v dvoch stranách a uhle medzi nimi, môžeme použiť kružidlo a pravítko na rozdelenie daného segmentu na dve rovnaké časti.

Ak napríklad chcete segment rozrezať na polovicu A B(Obr. 69), potom priložte hrot kompasu k bodom A I B a opíšte okolo nich, ako blízko stredov, dva pretínajúce sa oblúky s rovnakým polomerom (obr. 70). Body ich priesečníkov OD a D sú spojené priamkou, ktorá AB na polovicu: JSC= OV.

Aby ste sa uistili, že segmenty JSC a OV musia byť rovnaké, spojte bodky C a D stretnúť sa ALE a AT segmentu (obr. 71). Získajte dva trojuholníky ACD a BCD, ktorého tri strany sú si rovné: AC= slnko; AD= BD; CD- spoločné, t.j. patrí do oboch trojuholníkov. To znamená úplnú rovnosť týchto trojuholníkov, a teda aj rovnosť všetkých uhlov. Takže, mimochodom, uhly sú rovnaké ACD a BCD. Teraz porovnávame trojuholníky ASO a GUS, vidíme, že majú stranu OS - všeobecný, AC= CB a uhol medzi nimi ACO = rohu GUS. Na dvoch stranách a uhle medzi nimi sú trojuholníky rovnaké; takže strany sú rovnaké JSC a OV, teda bod O je stred čiary AB.

§ 22. Ako postaviť trojuholník, ktorý má stranu a dva uhly

Nakoniec zvážte problém, ktorého riešenie vedie ku konštrukcii trojuholníka podľa strany a dvoch uhlov:

Na druhej strane rieky (obr. 72) je viditeľný míľnik A. Bez prekročenia rieky je potrebné zistiť vzdialenosť k nej od míľnika AT na tomto brehu.

Poďme to spraviť. Merať z bodu AT určitú vzdialenosť v priamke slnko a na koncoch AT a OD merajme uhly 1 a 2 (obr. 73). Ak teraz na vhodnom teréne, zmerajte vzdialenosť D.E. rovný slnko a na jej koncoch vytvorte rohy a a b(obr. 74), rovný uhlom 1 a 2, potom v priesečníku ich strán dostaneme tretí vrchol F trojuholník DEF. Je ľahké vidieť, že trojuholník DEF rovný trojuholníku ABC; Ak si totiž predstavíme, že trojuholník DEF navrstvené na ABC takže tá strana DE sa zhodoval s jeho rovnocennou stranou slnko, potom ug. a sa zhoduje s uhlom 1, uhl b- s uhlom 2 a stranou D.F. pôjde na stranu VA a bočné EF na strane SA. Keďže dve čiary sa môžu pretínať iba v jednom bode, vrchole F musí zodpovedať vrchu A. Takže vzdialenosť D.F. rovná požadovanej vzdialenosti VA.

Problém, ako vidíme, má len jedno riešenie. Vo všeobecnosti, ak je daná strana a dva uhly susediace s touto stranou, môže byť zostrojený iba jeden trojuholník; na rovnakých miestach nemôžu byť žiadne iné trojuholníky s rovnakou stranou a rovnakými dvoma uhlami. Všetky trojuholníky, ktoré majú jednu identickú stranu a dva rovnaké uhly, ktoré k nej priliehajú na rovnakých miestach, možno prekryť do úplnej zhody. Takže toto je znamenie, pomocou ktorého môžete určiť úplnú rovnosť trojuholníkov.

Spolu s predtým stanovenými kritériami pre rovnosť trojuholníkov teraz poznáme tieto tri:

Trojuholníky:

p o r e m s t o r o n a m;

na dvoch s tor o n a m a roh medzi nimi;

p o r o n e a d v u m u g l m.

Kvôli stručnosti označíme tieto tri prípady rovnosti trojuholníkov takto:

na troch stranách: CCC;

na dvoch stranách a uhol medzi nimi: SUS;

bočné a dva rohy: USU.

Aplikácie

14. Zistiť vzdialenosť k bodu A na druhej strane rieky od AT na tomto brehu (obr. 5) odmerajte v priamke nejakú čiaru slnko, potom v bode AT vytvoriť uhol rovný ABC, na druhej strane slnko a v určitom bode OD- rovnakým spôsobom sa uhol rovná DIA. Bodová vzdialenosť D priesečník strán oboch strán rohov do bodu AT rovná požadovanej vzdialenosti AB. prečo?

Riešenie: Trojuholníky ABC a VDC na jednej strane rovnaké slnko) a dva rohy (ang. DCB= ang. DIA; rohu DBC= ang. ABC.) V dôsledku toho AB= BD, ako strany ležiace v rovnakých trojuholníkoch oproti rovnakým uhlom.

§ 23. Rovnobežníky

Prejdime od trojuholníkov k štvoruholníkom, teda k obrazcom ohraničeným 4 stranami. Príklad štvoruholníka môže slúžiť ako štvoruholník - štvoruholník, ktorého všetky strany sú rovnaké a všetky uhly sú pravé (obr. 76). Ďalším typom štvoruholníka, ktorý je tiež bežný, je obdĺžnik:

takto sa nazýva akýkoľvek štvoruholník so 4 pravými uhlami (obr. 77 a 78). Štvorec je tiež obdĺžnik, ale s rovnakými stranami.

Zvláštnosťou obdĺžnika (a štvorca) je, že oba páry jeho protiľahlých strán sú rovnobežné. v obdĺžniku A B C D, napríklad (dev. 78), AB paralelný DC, a AD paralelný Slnko. Vyplýva to z toho, že obe protiľahlé strany sú kolmé na tú istú priamku a vieme, že dve kolmice na jednu priamku sú navzájom rovnobežné (§ 16).

Ďalšou vlastnosťou každého obdĺžnika je, že jeho protiľahlé strany sú si navzájom rovné. To je možné vidieť, ak spojíte protiľahlé vrcholy obdĺžnika s priamkou, to znamená, že do nej nakreslíte uhlopriečku. Spojením ALE s OD(dev. 79) dostaneme dva trojuholníky ABC a ADC. Je ľahké ukázať, že tieto trojuholníky sú si navzájom rovné: strana AS - celkový, uhol 1 = ang. 2, pretože sú to priečne uhly, keď sú rovnobežné AB a CD z rovnakého dôvodu sú rovnaké uhly 3 a 4. Na tej istej strane a dva uhly, trojuholníky ABC a ACD sú si rovní; teda strana AB= strana DC, a bočné AD= strana Slnko.

Takéto štvoruholníky, v ktorých sú protiľahlé strany ako obdĺžniky rovnobežné, sa nazývajú rovnobežníky. Sakra. 80 ukazuje príklad rovnobežníka: AB paralelný DC, a AD paralelný BC. Sakra.80

Obdĺžnik je jeden z rovnobežníkov, konkrétne taký, v ktorom sú všetky uhly pravé. Je ľahké vidieť, že každý rovnobežník má nasledujúce vlastnosti:

Opačné uhly rovnobežníka sú rovnaké; o p o p o s t s o u s

paralelelogogrammmmaravny.

Aby sme to overili, nakreslíme rovnobežník A B C D(dev. 81) rovný BD(uhlopriečka) a porovnajte trojuholníky ABD a VDC. Tieto trojuholníky sú zhodné (vec USU): BD- spoločná strana rohu 1 = ang. 2, roh 3 = ang. 4 (prečo?). Z toho vyplývajú vlastnosti uvedené vyššie.

Rovnobežník so štyrmi rovnakými stranami sa nazýva a r o m b o m.

Opakujte otázky

Aký tvar sa nazýva štvorec? Obdĺžnik? Čo je to uhlopriečka? Aký obrazec sa nazýva rovnobežník? Kosoštvorec? - Zadajte vlastnosti uhlov a strán akéhokoľvek rovnobežníka. Aký obdĺžnik sa nazýva štvorec? Aký rovnobežník sa nazýva obdĺžnik? Aké sú podobnosti a rozdiely medzi štvorcom a kosoštvorcom.

Rozdelenie čiary na polovicu

Rozdelenie segmentu na polovicu sa vykonáva nasledovne. Na segmente AB je potrebné z bodu A položiť oblúk na viac ako polovicu tohto segmentu. Ďalej, bez zmeny hodnoty kompasu, z bodu B vytvárame pätky, ktoré pretínajú náš oblúk. Priesečník oblúka a pätiek tvoria body E a D, potom cez tieto body nakreslíme priamku, ktorá rozdelí náš segment AB presne na dve časti. Ak budete pokračovať v delení výsledných častí na polovicu, môžete segment rozdeliť rovnakým spôsobom na 4, 8, 16 atď., t.j. násobkom 2.

dôkaz:

Spojte body E a D s koncami segmentu AB. Podľa konštrukcie AD = AE = DB = EB. Preto sú rovnoramenné trojuholníky DAE a DBE rovnaké na troch stranách. To znamená rovnosť uhlov ADO a BDO. V rovnoramennom trojuholníku ABD je DO os pripojená k základni, teda je to stred a výška. Preto AO = OB a bod O je stredom segmentu AB.

Rozdelenie úsečky na proporcionálne časti

Existuje Thalesova veta, ktorá znie takto: „ak je na jednej z dvoch priamych čiar postupne odložených niekoľko rovnakých segmentov a cez ich konce sú nakreslené rovnobežné čiary, ktoré pretínajú druhú priamku, potom odrežú segmenty rovné navzájom na druhej priamke." Pomocou tejto vety môžeme rozdeliť úsečku na proporcionálne časti. Pozrime sa, ako sa toto rozdelenie robí.

Na rozdelenie segmentu AB v pomere napr. 3:2 (počítajúc od bodu A) je potrebné nakresliť pomocnú priamku z bodu A pod ľubovoľným uhlom. Potom na tomto riadku odložte 5 ľubovoľných, ale rovnakých segmentov. Ďalej spojte priame body B a 5 a z bodu 3 rovnobežne s priamkou B5 nakreslite priamku, až kým sa nepretne s úsečkou AB, výsledný priesečník D rozdelí úsečku AB v pomere 3:2. Dostaneme pomer AD:DB = 3:2

dôkaz:

Zvážte trojuholníky ACB a AEB. Tieto trojuholníky sú podobné v dvoch uhloch (?A- spoločný,?ACD=?AEB- zodpovedajúci). Preto sú pomery strán trojuholníkov rovnaké. Podľa konštrukcie znamená = a =. Segment AB je teda rozdelený v danom pomere.

Rozdelenie segmentu v extrémnom a priemernom pomere

Na obrázku je segment AO rozdelený tak, že pomer segmentu AO k segmentu AK sa rovná pomeru segmentu AK k segmentu KO (AO: AK \u003d AK: KO). Toto rozdelenie je známe ako zlatý rez alebo zlatý rez. Pravidlo zlatého rezu získalo popularitu vďaka svojim aplikáciám v maľbe a najmä v architektúre, ako aj objavom tohto podielu (a úzko súvisiacich Fibonacciho čísel) vo voľnej prírode.

Grafická konštrukcia zlatého rezu sa vykonáva nasledovne: segment AO rozdelíme na dve rovnaké časti (bod C); v bode O postavíme kolmicu na úsečku AO, na kolmicu vyčleníme úsečku OM, ktorá sa rovná úsečke OS; body A a M sú spojené priamkou. Ďalej na tejto priamke z bodu M sa odloží úsečka MN = OM a na úsečke AO z bodu A sa z bodu N položí úsečka AK. Bod K bude výsledný bod, ktorý rozdelí úsečku AO v extréme a priemerný pomer.

TROJUHOLNÍKY.

§ 28. KONŠTRUKCIE S KOMPASOM A PRAVIDLOM.

Doteraz sme pri riešení konštrukčných úloh používali kružidlo, pravítko, rysovací trojuholník, uhlomer.

Množstvo konštrukčných problémov teraz riešime len pomocou dvoch nástrojov – kružidla a pravítka.

Úloha 1. Rozdeľte tento segment na polovicu.

Segment AB je daný, je potrebné ho rozdeliť na polovicu.

Riešenie. S polomerom väčším ako polovica úsečky AB opisujeme z bodov A a B ako zo stredov pretínajúce sa oblúky (obr. 161). Cez priesečníky týchto oblúkov nakreslíme priamku CD, ktorá pretne úsečku AB v niektorom bode K a rozdelí ju na polovicu týmto bodom: AK = KV.

Poďme to dokázať. Spojte body A a B s bodmi C a D. /\ CAD = /\ CBD, pretože podľa konštrukcie je AC \u003d CB, AD \u003d BD, CD spoločnou stranou.

Z rovnosti týchto trojuholníkov vyplýva, že / ACK = / VSK, t.j., SK je osina uhla vo vrchole rovnoramenného trojuholníka DAB. A osi uhla vo vrchole rovnoramenného trojuholníka je zároveň jeho stredom, to znamená, že priamka CD delila úsečku AB na polovicu.

Úloha 2. Nakreslite kolmicu na danú priamku AB cez bod O na tejto priamke.

Daná je priamka AB a bod O ležiaci na tejto priamke. Je potrebné nakresliť kolmicu na priamku AB prechádzajúcu bodom O.

Riešenie. Nakreslite na priamku AB z bodu O dve rovnaké úsečky OM a ON
(dev. 162). Z bodov M a N, ako zo stredov, s rovnakým polomerom, väčším ako OM, opíšeme dva oblúky. Ich priesečník K spojíme s bodom O. KO je stred v rovnoramennom trojuholníku MKN, teda KO_|_A B (§ 18).

Úloha 3. Nakreslite kolmicu na danú priamku AB cez bod C, ktorý je mimo tejto priamky.

Vzhľadom na priamku AB a bod C mimo tejto priamky je potrebné nakresliť kolmicu na priamku AB prechádzajúcu bodom C.

Riešenie. Z bodu C ako zo stredu opíšeme oblúk s takým diusom, že pretína priamku AB napríklad v bodoch M a N (obr. 163). Z bodov M a N. ako zo stredov, s rovnakým polomerom, väčším ako polovica MN, opisujeme oblúky. Ich priesečník E spojíme s bodom C as bodmi M a N. Trojuholníky CME a CNE sú na troch stranách rovnaké. znamená, / 1 = / 2 a CE je os uhla C v rovnoramennom trojuholníku MCN, a teda aj kolmica na priamku AB (§ 18).

vedieť; že trojuholníky sú rovnaké v dvoch stranách a uhle medzi nimi, môžeme použiť kružidlo a pravítko na rozdelenie daného segmentu na dve rovnaké časti.

Aby ste sa uistili, že segmenty JSC a OV musia byť rovnaké, spojte bodky C a D stretnúť sa ALE a AT segmentu (obr. 71). Získajte dva trojuholníky ACD a BCD, ktorého tri strany sú si rovné: AC= slnko; AD = BD; CD- spoločné, t.j. patrí do oboch trojuholníkov. To znamená úplnú rovnosť týchto trojuholníkov, a teda aj rovnosť všetkých uhlov. Takže, mimochodom, uhly sú rovnaké ACD a BCD. Teraz porovnávame trojuholníky ASO a GUS, vidíme, že majú stranu OS - všeobecný, AC = CB a uhol medzi nimi ACO = rohu GUS. Na dvoch stranách a uhle medzi nimi sú trojuholníky rovnaké; takže strany sú rovnaké JSC a OV, teda bod O je stred čiary AB.

Ako postaviť trojuholník so stranou a dvoma uhlami

Nakoniec zvážte problém, ktorého riešenie vedie ku konštrukcii trojuholníka podľa strany a dvoch uhlov:

Na druhej strane rieky (obr. 72) je viditeľný míľnik A. Bez prekročenia rieky je potrebné zistiť vzdialenosť k nej od míľnika AT na tomto brehu.

Spolu s predtým stanovenými kritériami pre rovnosť trojuholníkov teraz poznáme tieto tri:

Trojuholníky:

p o r e m s t o r o n a m;

na dvoch s tor o n a m a roh medzi nimi;

p o r o n e a d v u m u g l m.

Kvôli stručnosti označíme tieto tri prípady rovnosti trojuholníkov takto:

na troch stranách: CCC;

na dvoch stranách a uhol medzi nimi: SUS;

bočné a dva rohy: USU.

Aplikácie

rovnobežníky

takto sa nazýva akýkoľvek štvoruholník so 4 pravými uhlami (obr. 77 a 78). Štvorec je tiež obdĺžnik, ale s rovnakými stranami.

Obdĺžnik je jeden z rovnobežníkov, konkrétne taký, v ktorom sú všetky uhly pravé. Je ľahké vidieť, že každý rovnobežník má nasledujúce vlastnosti:

Opačné uhly rovnobežníka sú rovnaké; o p o p o s t s o u s

paralelelogogrammmmaravny.

Rovnobežník so štyrmi rovnakými stranami sa nazýva a r o m b o m.

Opakujte otázky

Aplikácie

15. Štvorec sa nakreslí takto: po odložení jednej strany k nemu na koncoch nakreslite kolmice, položte na ne rovnaké dĺžky a konce spojte priamkou (obr. 82). Ako zabezpečiť, aby sa štvrtá strana nakresleného štvoruholníka rovnala ostatným trom a aby všetky jeho uhly boli správne?

Riešenie.Ak bola stavba realizovaná tak, že bočná AB v bodoch ALE a AT boli nakreslené kolmice, na ktorých sú položené: AC = AB a DB= AB, potom zostáva dokázať, že uhly OD a D rovno a čo CD rovná sa AB. Za týmto účelom nakreslite (obr. 83) uhlopriečku AD. ug. CAD = adb, ako zodpovedajúce (na akej rovnobežke?); AC= D.B., teda trojuholníky CAD a zlý rovný (na základe SUS). Preto to dedukujeme CD = AB a ug. C = pravý uhol AT. Ako dokázať, že štvrtý roh CDB tiež rovno?

16. Ako nakresliť obdĺžnik? Prečo možno nakreslenú postavu nazvať obdĺžnikom? (Ukážte, že všetky rohy nakreslenej postavy sú správne).

Riešenie je podobné riešeniu predchádzajúcej úlohy.

17. Dokážte, že obe uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké.

Riešenie (obr. 84) vyplýva z rovnosti trojuholníkov ABC a ABD(založené na SUS).

18. Dokážte, že uhlopriečky rovnobežníka sa navzájom pretínajú.

RIEŠENIE Porovnanie (obr. 85) trojuholníkov AVO a DCO, uistite sa, že sú rovnaké (na základe USU). Odtiaľ JSC= OS, 0V= OD.

19. Dĺžka spoločnej kolmice medzi dvoma rovnobežnými priamkami sa nazýva vzdialenosť medzi nimi. Dokážte, že vzdialenosť medzi rovnobežkami je všade rovnaká.

Označenie: Aký obrazec tvoria rovnobežné čiary, medzi ktorými sú dve kolmice?

IV. MERANIE PLOCHY

štvorcové miery. Paleta

V číslach je často potrebné merať nielen dĺžku čiar a uhly medzi nimi, ale aj veľkosť plochy, ktorú pokrývajú - teda ich plochu. Ako sa meria plocha? Určitá dĺžka (meter, centimeter) sa berie ako miera dĺžky, určitý uhol (1 °) sa berie ako miera uhlov; určitá plocha sa berie ako miera plochy, konkrétne plocha štvorca so stranou 1 meter, 1 cm atď. Takýto štvorec sa nazýva „meter štvorcový“, „centimeter štvorcový“, atď. Merať plochu znamená zistiť, koľko štvorcových merných jednotiek je v nej.

Ak meraná plocha nie je veľká (vojde sa na hárok papiera), možno ju zmerať nasledovne. Priehľadný papier sa nareže na centimetrové štvorce a položí sa na nameranú postavu. Potom nie je ťažké priamo vypočítať, koľko štvorcových centimetrov je obsiahnutých v hraniciach obrázku. Súčasne sa neúplné štvorce pri hranici berú (okom) na polovicu štvorca, na štvrtinu štvorca atď., Alebo ich mentálne niekoľkokrát spojte do celých štvorcov. Takto vystrihnutý priehľadný papier sa nazýva paleta. Táto metóda sa často používa na meranie plôch nepravidelných pozemkov v pláne.

Nie je však vždy možné a vhodné vložiť na meraný obrazec sieť štvorcov. Týmto spôsobom nie je možné napríklad merať plochu podlahy alebo pozemku. V takýchto prípadoch sa namiesto priameho merania plochy uchýlia k nepríjemnému, ktorý spočíva v meraní iba dĺžky určitých lineárnych útvarov a vykonaní určitých akcií na získaných číslach. Neskôr si ukážeme, ako sa to robí.

Opakujte otázky

Aká je miera plochy čísel? Čo je to paletka a ako sa používa?

Oblasť obdĺžnika

Nech je potrebné určiť plochu obdĺžnika, napr. ABDC(Obr. 86). Merané lineárnou jednotkou, napr. meter, dĺžku tohto úseku. Predpokladajme, že meter sa do dĺžky zmestí 5-krát. Pozemok rozdelíme na priečne pásy široké meter, ako je znázornené na obr. 87. Takýchto pruhov bude zrejme 5. Ďalej zmerajte šírku úseku metrom; nech sú 3 metre. Pozemok rozdelíme na pozdĺžne pásy široké 1 meter, ako je znázornené na obr. 88; budú, samozrejme, 3. Každý z piatich priečnych pásov sa rozreže na 3 metre štvorcové a celá plocha sa rozdelí na 5 × 3 = 15 štvorcov so stranou 1 meter: dozvedeli sme sa, že plocha obsahuje 15 metrov štvorcových. metrov. Rovnaké číslo 15 by sme však mohli dostať bez vykreslenia úseku, ale iba vynásobením jeho dĺžky jeho šírkou. Ak chcete zistiť, koľko metrov štvorcových je v obdĺžniku, musíte zmerať jeho dĺžku, šírku a vynásobiť obe čísla.

V uvažovanom prípade bola jednotka dĺžky, meter, umiestnená na obe strany obdĺžnika viackrát ako celé číslo. V podrobných učebniciach matematiky je dokázané, že teraz zavedené pravidlo platí aj vtedy, keď strany obdĺžnika neobsahujú celý počet jednotiek dĺžky. V každom prípade:

A oblasť

p r o d e n e n i e n i e n o n o n o n o n o n o n o n o n o n o n o n s t ý m,

alebo, ako sa hovorí v geometriách, - ego

„zakladá“ na jeho „výške“.

Ak je dĺžka základne obdĺžnika označená písmenom a, a dĺžka výšky - podľa písmena b, potom jeho oblasť S rovná sa

S = a? b,

alebo jednoducho S = ab, pretože znak násobenia medzi písmenami sa nedáva.

Je ľahké zistiť, že na určenie plochy štvorca je potrebné vynásobiť dĺžku jeho strany, to znamená „štvorec“. Inými slovami:

S c a d r a t a r e n c a c a d r a t o n s. Ak je dĺžka strany štvorca a, potom jeho oblasť S rovná sa

S= a? a = a 2.

Keď to vieme, je možné určiť pomer medzi rôznymi štvorcovými jednotkami. Napríklad štvorcový meter obsahuje 10 × 10 štvorcových decimetrov, t. j. 100, a 100 × 100 štvorcových centimetrov, t.

Na meranie pozemkov sa používa špeciálna miera - hektár s rozlohou 10 000 metrov štvorcových. Štvorcový pozemok so stranou 100 metrov má rozlohu 1 hektár; obdĺžnikový pozemok so základňou 200 metrov a výškou 150 metrov má rozlohu 200 x 150, teda 30 000 metrov štvorcových. m alebo 3 hektáre. Merajú sa veľké oblasti, ako sú kraje a okresy

štvorcový m a kil o m et r a m

Skratka pre štvorcové miery je nasledovná:

námestie meter ………………………………. sq m alebo m2

námestie decimeter ………………………………. sq dm alebo dm2

námestie centimeter ………………………… štvorcových cm alebo cm2

námestie milimeter ……………………….. štvorcových mm alebo mm2

hektár ……………………………………….. ha

Opakujte otázky

Ako sa vypočíta plocha obdĺžnika? Námestie? - Koľko štvorcových cm v štvorcových m? Koľko štvorcových mm na štvorcových m? - Čo je to hektár? Koľko hektárov na štvorcový km? Aká je skratka pre štvorcové miery?

Aplikácie

20. Je potrebné vymaľovať iol miestnosti znázornenej na výkrese. 6. Rozmery sú uvedené v metroch. Koľko materiálov a práce na to bude potrebné, ak je známe, že na maľovanie jedného štvorca. metrov drevených podláh s tmelovými prasklinami a konármi na predtým natretých, pre dvoch sa vyžaduje (podľa Naliehavého nariadenia):

Malyarov………………………………………….. 0,044

Sušiace oleje, kilogramy……………………….… 0,18

Svetlookrová, kg……………………………… 0;099

Tmely, kg ………………………………… 0,00225

Pemza, kg……………………………………….. 0,0009.

RIEŠENIE: Podlahová plocha je 8? 12 = 96 štvorcových m.

Spotreba materiálu a práce je

Malyarov ........ 0,044? 96 = 4,2

Sušiace oleje........... 0,18? 96 = 17 kg

Okry......... 0,099? 96 - 9,9 kg

Tmely........ 0,00225? 96 = 0,22 kg

Pemza......... 0,0009? 96 = 0,09 kg.

21. Urobte vyhlásenie o vynaložení práce a materiálu na tapetovanie miestnosti predtým. úlohy. Pre nalepenie stien jednoduchou tapetou s bordúrami je potrebné (podľa polohy Uroch.) na m2. meter:

Maliari alebo čalúnnici……………………… 0,044

Kusy tapety (šírka 44 cm)……………………… 0,264

Hranica (podľa výpočtu)

Gram škrobu ………………………………. 90.

Riešenie - podľa vzoru uvedeného v predchádzajúcom probléme. Poznamenávame len, že pri výpočte potrebného počtu tapiet sa v praxi otvory v stene neodpočítavajú od ich plochy (keďže pri osadzovaní figúr do susedných panelov sa časť tapety stratí).

Oblasť trojuholníka

Najprv zvážime, ako sa vypočíta plocha pravouhlého trojuholníka. Nech je potrebné určiť plochu trojuholníka ABC(obr. 89), v ktorom je uhol AT- rovný. Poďme cez vrcholy ALE a OD rovné čiary rovnobežné s opačnými stranami. Dostaneme (obr. 90) obdĺžnik A B C D(prečo je tento obrazec obdĺžnik?), ktorý je rozdelený uhlopriečkou AC na dva rovnaké trojuholníky (prečo?). Oblasť tohto obdĺžnika je ah; plocha nášho trojuholníka je polovica plochy obdĺžnika, teda rovná 1/2 ach Takže plocha akéhokoľvek pravouhlého trojuholníka sa rovná polovici súčinu jeho strán, ktoré tvoria pravý uhol.

Teraz je potrebné určiť napríklad plochu šikmého (to znamená nie pravouhlého) trojuholníka. ABC(dev. 91). Cez jeden z jej vrcholov nakreslíme kolmicu na opačnú stranu; takáto kolmica sa nazýva výška tohto trojuholníka a strana, na ktorú je nakreslená, je základňou trojuholníka. Označme výšku podľa h, a segmenty, na ktoré rozdeľuje základňu, cez p a q. Oblasť pravouhlého trojuholníka ABD, ako už vieme, sa rovná 1/2 ph; námestie VDC = 1/2 qh. Námestie S trojuholník ABC sa rovná súčtu týchto oblastí: S= 1/2 ph + 1/2 qh = 1/2 h (R+ q). ale R+ q = a; V dôsledku toho S = 1/2 Ach.

Túto úvahu nemožno priamo aplikovať na trojuholník s tupým uhlom (obr. 92), pretože kolmica CD sa nestretáva so základňou AB a jeho pokračovanie. V tomto prípade treba rozmýšľať inak. Označte segment AD cez p, BD- cez, q, teda základ a trojuholník je p – q. Oblasť nášho trojuholníka ABC rovný rozdielu medzi plochami dvoch trojuholníkov ADC – bdc = 1/2 ph – 1/2 qh = 1/2 h (p – q) = 1/2 Ach.

Takže vo všetkých prípadoch sa plocha trojuholníka rovná polovici súčinu ktorejkoľvek z jeho základov o zodpovedajúcu výšku.

Z toho vyplýva, že trojuholníky s rovnakými základňami a výškami majú rovnaké plochy, alebo, ako sa hovorí,

r a v n o v e l a k i.

Čísla rovnakej veľkosti sa vo všeobecnosti nazývajú útvary, ktoré majú rovnaké plochy, aj keď samotné útvary neboli rovnaké (to znamená, že sa nezhodovali, keď sa prekrývali).

Opakujte otázky

Aká je výška trojuholníka? Základňa trojuholníka? Koľko výšok možno nakresliť v jednom trojuholníku? - Nakreslite trojuholník s tupým uhlom a nakreslite do neho všetky výšky. Ako sa vypočíta plocha trojuholníka? Ako vyjadriť toto pravidlo vo vzorci? Aké čísla sa nazývajú rovnaké?

Aplikácie

22. Záhrada má tvar trojuholníka so základňou 13,4 m a výškou 37,2 m ... Koľko (hmotnostných) semien je potrebných na zasadenie kapusty, ak na štvorec. m ide 0,5 gramu semien?

Riešenie. Plocha záhrady je 13,4? 37,2 = 498 štvorcových m.

Semená budú potrebovať 250 g.

23. Rovnobežník je rozdelený uhlopriečkami na 4 trojuholníkové časti. Ktorá má najväčšiu plochu?

Riešenie: Všetky 4 trojuholníky majú rovnakú veľkosť, pretože majú rovnakú základňu a výšku.

Plocha rovnobežníka

Pravidlo na výpočet plochy rovnobežníka je stanovené veľmi jednoducho, ak je rozdelené uhlopriečkou na dva trojuholníky. Napríklad oblasť rovnobežníka A B C D(obr. 93) sa rovná dvojnásobku priestoru každého z dvoch rovnakých trojuholníkov, na ktoré je rozdelený uhlopriečkou AS. Označenie základne trojuholníka ADC cez a a výška cez h, dostaneme oblasť S rovnobežník

Kolmý h sa nazýva "výška rovnobežníka" a strana a, ku ktorému je nakreslený, - "základňa rovnobežníka." Preto teraz zavedené pravidlo možno vyjadriť takto:

P a r a l e l e l o g r a m m a r a v a n d e c u n t o n d o u s n o v e n t i e n c o s p r o n t e c o n t e t.

Opakujte otázky

Aká je základňa a výška rovnobežníka? Ako sa vypočíta plocha rovnobežníka? Vyjadrite toto pravidlo ako vzorec. Koľkokrát väčšia je plocha rovnobežníka ako plocha trojuholníka, ktorý má rovnakú základňu a výšku? - Ktorý obrazec má pri rovnakých výškach a základniach väčšiu plochu: obdĺžnik alebo rovnobežník?

Aplikácia

24. Štvorec so stranou 12,4 cm je rovnako veľký ako rovnobežník s výškou 8,8 cm Nájdite základňu rovnobežníka.

Riešenie: Plocha tohto štvorca, a teda rovnobežníka, je 12,42 = 154 metrov štvorcových. cm. Požadovaná základňa je 154: 8,8 \u003d 18 cm.

Oblasť trapézu

Okrem rovnobežníkov uvažujme aj o ďalšom type štvoruholníkov – a to o tých, ktoré majú len jeden pár rovnobežných strán (obr. 94). Takéto postavy sa nazývajú lichobežník a m a. Rovnobežné strany lichobežníka sa nazývajú jeho základne a nerovnobežné strany sa nazývajú strany.

Sakra. 94 Do pekla. 95

Stanovme pravidlo na výpočet plochy lichobežníka. Nech je potrebné vypočítať plochu lichobežníka A B C D(obr. 95), ktorého dĺžka základov a a b. Nakreslíme uhlopriečku AU, ktorá rozreže lichobežník na dva trojuholníky ACD a ABC. My to vieme

oblasť ACD = 1/2 Ach

oblasť ABC = 1/2 bh.

oblasť A B C D= 1/2 Ach+ 1/2 bh= 1/2 (a+ b) h.

Od diaľky h medzi základňami lichobežníka sa nazýva jeho výška, potom pravidlo na výpočet plochy lichobežníka možno vyjadriť takto:

Plocha lichobežníka sa rovná polovici súčtu báz vynásobených n a v u s o t u.

Opakujte otázky

Aký tvar sa nazýva lichobežník? Ako sa nazývajú základne lichobežníka, jeho strany a výška? Ako sa vypočíta plocha lichobežníka?

Aplikácie

25. Uličná časť má tvar lichobežníka so základňami 180 m a 170 m a výškou 8,5 m. m ide 48 dáma?

Riešenie. Plocha pozemku je 8,5 H = (180 + 170) / 2 = 1490 m2. m) Počet dám = 72 000.

26. Sklon strechy má tvar lichobežníka, ktorého základňa je 23,6 m a 19,8 m a výška je 8,2 m. Koľko materiálu a práce bude potrebné na jej pokrytie, ak na štvorcový. m požadované:

Železné plechy...... 1.23

Strešné klince kg.... 0,032

Sušiace oleje kg..........0,036

Pokrývači....... 0,45.

Riešenie. Plocha svahu je 8,2? (23,6 + 19,8) / 2 = 178 m2. Zostáva vynásobiť 178 všetky čísla taniera.

Znalosť základných geometrických konštrukcií umožňuje správne a rýchlo kresliť, pričom pre každý prípad si vyberiete najracionálnejšie metódy.

2.1. Rozdelenie segmentu na rovnaké časti

Úsek môžete rozdeliť na polovicu pomocou kružidla zostrojením stredovej kolmice (obr. 18, ale). Aby sme to urobili, vezmeme polomer väčší ako polovica dĺžky segmentu a nakreslíme oblúky kruhov z jeho koncov na oboch stranách, kým sa nepretnú. Cez priesečníky oblúkov nakreslíme stredovú kolmicu.

Na rozdelenie na ľubovoľný počet rovnakých častí používame vetu Fa.

lešenie: ak sú na jednej strane uholníka odložené navzájom rovnaké segmenty a cez ich konce sú nakreslené rovnobežné čiary, potom sa na druhú stranu uhla uložia aj navzájom rovnaké segmenty (obr. 18, b) . Pod pro-

v ľubovoľnom uhle k segmentu AB nakreslíme pomocný lúčAC, na ktorý odložíme segment ľubovoľnej dĺžky toľkokrát, na koľko častí je potrebné tento segment rozdeliť. Koniec posledného segmentu spojíme s bodom B a cez konce zostávajúcich segmentov nakreslíme rovné čiary rovnobežné s BC.

2.2. Rozdelenie kruhu na ľubovoľný počet rovnakých častí

Schopnosť rozdeliť kruh na rovnaké časti je potrebná na vytvorenie pravidelných mnohouholníkov. Najprv zvážme súkromné metódy delenia kruhu.

Rozdelenie na tri časti (obr. 19)

Nohu kružidla nasadíme na jeden z koncov vzájomne kolmých priemerov kruhu. S kompasovým riešením, ktoré sa rovná polomeru kruhu, urobíme na ňom zárezy na oboch stranách tohto konca priemeru. Dostaneme dva vrcholy pravidelného trojuholníka. Tretí vrchol je opačný koniec priemeru.

Rozdelenie na štyri časti (obr. 20)

Dva navzájom kolmé priemery rozdeľujú kruh na štyri rovnaké časti. Ak sú priame čiary nakreslené stredom kruhu pod uhlom 45ᵒ k osám, potom tiež rozdelia kruh na štyri rovnaké časti. Strany vpísaného štvorca budú rovnobežné s osami kruhu. Tieto dva štvorce spolu rozdelili kruh na osem rovnakých častí.

Rozdelenie na päť častí (obr. 21)

● 1). S kompasovým riešením rovným polomeru urobíme zárez na kruhu. Dostávame bod 2.

● Z bodu 2 spustíme kolmicu na priemer, z ktorého konca bol urobený zárez. Dostávame bod 3.

● Nohu kompasu položíme na bod 3. Zoberieme polomer rovný vzdialenosti od bodu 3 po koniec vertikálneho priemeru (bod 4) a nakreslíme oblúk, kým sa nepretína s horizontálnym priemerom. Dostávame bod 5.

● Body 4 a 5 spojíme. Akord 4-5 bude 1/5 kruhu.

● Dĺžku tetivy meriame kompasom 4–5 a začnite ho ukladať od jedného z koncov priemeru (v závislosti od toho, ako má byť päťuholník orientovaný vzhľadom na osi). Priemer, od ktorého konca začneme odkladať segment, bude osou symetrie obrázku.

Segmenty sa odporúča okamžite odložiť z dvoch strán. Zostávajúci segment by mal byť kolmý na os symetrie. Ak sa jeho dĺžka nerovná dĺžke zostávajúcich segmentov, znamená to, že konštrukcia nebola presne dokončená alebo tetiva 4–5 bola nepresne zmeraná. Mali by ste vykonať úpravu dĺžky segmentu a znova zopakovať rozdelenie kruhu.

Rozdelenie na šesť častí (obr. 22)

S kompasovým riešením, ktoré sa rovná polomeru kruhu, urobíme zárezy z oboch koncov rovnakého priemeru na oboch stranách. Získame štyri vrcholy pravidelného šesťuholníka. Ďalšie dva vrcholy sú konce priemeru, z ktorých sú vyrobené pätky.

Rozdelenie na sedem častí (obr. 23)

● Nohu kompasu položíme na jeden z koncov priemeru (bod jeden). S kompasovým riešením rovným polomeru kruhu na ňom urobíme zárez. Dostávame bod 2.

● Z bodu 2 spustíme kolmicu na priemer, z ktorého konca bol urobený zárez. Dostávame bod 3. Segment 2-3 je 1/7 kruhu.

● Dĺžku segmentu meriame kompasom 2-3 a postupne ho odložte z ľubovoľného konca priemeru z dvoch strán naraz. Posledný segment by mal byť kolmý na priemer, od konca ktorého sa segmenty začali ukladať. Tento priemer bude osou symetrie v vpísanom sedemuholníku.

Rozdelenie na desať častí (obr. 24)

● Kruh rozdelíme na 5 častí, ako je znázornené na obr. 21. Získame pravidelný päťuholník.

● Z každého vrcholu päťuholníka spúšťame kolmice na opačné strany. Všetky prejdú stredom kruhu a rozdelia stranu a oblúk, ktorý ho podopiera, na polovicu. Získame ďalších 5 vrcholov.

Rozdelenie na dvanásť častí (obr. 25)

S kompasovým riešením rovným polomeru kruhu urobíme zárezy z koncov oboch priemerov na oboch ich stranách.

Existuje aj všeobecná technika rozdelenia kruhu na ľubovoľný počet častí. Zvážte to na príklade konštrukcie pravidelného neuholníka (obr. 27).

● Nakreslite dva na seba kolmé priemery (horizontálny a vertikálny).

● Priemer, z ktorého chceme urobiť os súmernosti obrazca, rozdelíme na toľko častí, na koľko chceme rozdeliť kruh. Na obr. priemer 27 AB je rozdelená na 9 častí. Výsledné deliace body sú očíslované.

● Nohu kompasu položíme na bod A s polomerom rovným priemeru kruhu nakreslíme oblúk, kým sa nepretína s pokračovaním vertikálneho priemeru. Dostaneme bod C.

● Bod C spojíme cez jeden s deliacimi bodmi priemeru a pokračujeme, kým sa nepretne s opačným oblúkom kružnice v bodoch I, II, III, IV. Ak by jeden z vrcholov neuholníka mal byť bod A, potom lúče nakreslíme cez všetky párne časti priemeru (obr. 27, a). Ak by sa bod B mal stať jedným z vrcholov, potom by mali byť lúče nakreslené cez všetky nepárne časti priemeru (obr. 27, b).

● Zobrazte vykreslené body symetricky vzhľadom na horizontálny priemer. Získame zvyšok vrcholov obrázku.

2.2.1. Úloha číslo 4. Rozdelenie kruhu

Účel: študovať metódy rozdelenia kruhu na rovnaké časti.

Na formát A3 nakreslite v prvom rade pravidelné mnohouholníky (troj-, štvor-, päť-, šesť-, sedem- a neuholníky) vpísané do kruhov s priemerom 60 mm. Kruhy ako pomocné čiary by mali byť tenké. Zakrúžkujte mnohouholníky hrubými čiarami.

Portál pre študenta. Samotréning

2.1. Rozdelenie segmentu na rovnaké časti

SÚVISIACE ČLÁNKY