Najjednoduchšie goniometrické rovnice sa zvyčajne riešia pomocou vzorcov. Dovoľte mi pripomenúť, že nasledujúce trigonometrické rovnice sa nazývajú najjednoduchšie:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x je uhol, ktorý sa má nájsť,
a je ľubovoľné číslo.

A tu sú vzorce, pomocou ktorých si môžete okamžite zapísať riešenia týchto najjednoduchších rovníc.

Pre sínus:

Pre kosínus:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Pre dotyčnicu:

x = arctg a + π n, n ∈ Z

Pre kotangens:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

V skutočnosti ide o teoretickú časť riešenia najjednoduchších goniometrických rovníc. A celé!) Vôbec nič. Množstvo chýb na túto tému sa však len prevalí. Najmä s miernou odchýlkou ​​príkladu od šablóny. prečo?

Áno, pretože veľa ľudí zapisuje tieto listy, bez toho, aby ste vôbec pochopili ich význam! S obavami zapisuje, nech sa deje čokoľvek...) Toto treba vyriešiť. Trigonometria pre ľudí, alebo ľudia pre trigonometriu, predsa!?)

Poďme na to?

Jeden uhol sa bude rovnať arccos, druhý: - arccos a.

A tak to bude fungovať vždy. Pre akékoľvek a.

Ak mi neveríte, prejdite myšou na obrázok alebo sa dotknite obrázka na tablete.) Zmenil som číslo a k nejakému negatívu. Každopádne máme jeden roh arccos, druhý: - arccos a.

Preto môže byť odpoveď vždy napísaná ako dve série koreňov:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Tieto dve série spájame do jednej:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

A všetky veci. Získali sme všeobecný vzorec na riešenie najjednoduchšej goniometrickej rovnice s kosínusom.

Ak pochopíte, že to nie je nejaká supervedecká múdrosť, ale len skrátený záznam dvoch sérií odpovedí, vy a úlohy "C" budete na pleci. S nerovnosťami, s výberom koreňov z daného intervalu ... Tam sa odpoveď s plus/mínus nehádže. A ak s odpoveďou naložíte obchodne a rozdelíte ju na dve samostatné odpovede, o všetkom je rozhodnuté.) V skutočnosti tomu rozumieme. Čo, ako a kde.

V najjednoduchšej goniometrickej rovnici

sinx = a

získať aj dve série koreňov. Je vždy. A tieto dve série sa dajú aj nahrať jedna čiara. Len tento riadok bude múdrejší:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Ale podstata zostáva rovnaká. Matematici jednoducho vytvorili vzorec na vytvorenie jedného namiesto dvoch záznamov radov koreňov. A je to!

Skontrolujeme matematikov? A to nestačí...)

V predchádzajúcej lekcii bolo podrobne analyzované riešenie (bez akýchkoľvek vzorcov) goniometrickej rovnice so sínusom:

Odpoveďou boli dve série koreňov:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ak tú istú rovnicu vyriešime pomocou vzorca, dostaneme odpoveď:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Vlastne je to napoly hotová odpoveď.) Študent to musí vedieť arcsin 0,5 = π /6.Úplná odpoveď by bola:

x = (-1) n π /6+ πn, n ∈ Z

Tu vzniká zaujímavá otázka. Odpovedať cez x 1; x 2 (toto je správna odpoveď!) a cez osamelých X (a toto je správna odpoveď!) - to isté, alebo nie? Poďme to zistiť teraz.)

Nahraďte v odpovedi s x 1 hodnoty n =0; jeden; 2; atď., uvažujeme, dostaneme sériu koreňov:

x 1 \u003d π / 6; 13π/6; 25π/6 a tak ďalej.

S rovnakým striedaním v reakcii na x 2 , dostaneme:

x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 a tak ďalej.

A teraz dosadíme hodnoty n (0; 1; 2; 3; 4...) do všeobecného vzorca pre osamelých X . To znamená, že zvýšime mínus jedna na nulovú mocninu, potom na prvú, druhú atď. A samozrejme do druhého člena dosadíme 0; jeden; 2 3; 4 atď. A myslíme si. Dostaneme sériu:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 a tak ďalej.

To je všetko, čo môžete vidieť.) Všeobecný vzorec nám dáva presne tie isté výsledkyčo sú dve odpovede oddelene. Všetko naraz, v poradí. Matematici neklamali.)

Kontrolovať sa dajú aj vzorce na riešenie goniometrických rovníc s dotyčnicou a kotangensom. Ale nie.) Sú takí nenároční.

Celé toto nahrádzanie a overovanie som namaľoval zámerne. Tu je dôležité pochopiť jednu jednoduchú vec: existujú vzorce na riešenie elementárnych goniometrických rovníc, len zhrnutie odpovedí. Pre túto stručnosť som musel vložiť plus/mínus do kosínusového riešenia a (-1) n do sínusového roztoku.

Tieto vložky nijako nezasahujú do úloh, kde si stačí zapísať odpoveď na elementárnu rovnicu. Ale ak potrebujete vyriešiť nerovnosť, alebo potom musíte urobiť niečo s odpoveďou: vyberte korene na intervale, skontrolujte ODZ atď., Tieto vložky môžu človeka ľahko znepokojiť.

A čo robiť? Áno, buď vyfarbite odpoveď v dvoch sériách, alebo vyriešte rovnicu / nerovnosť v trigonometrickom kruhu. Potom tieto vložky zmiznú a život sa stane ľahším.)

Môžete to zhrnúť.

Na riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc existujú hotové vzorce odpovedí. Štyri kusy. Sú dobré na okamžité zapísanie riešenia rovnice. Napríklad musíte vyriešiť rovnice:

sinx = 0,3

jednoducho: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Žiaden problém: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

jednoducho: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Zostal jeden: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z

cos x = 1,8

Ak žiarite vedomosťami, okamžite napíšte odpoveď:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

potom už svietiš, toto ... tamto ... z kaluže.) Správna odpoveď je: neexistujú žiadne riešenia. nerozumieš prečo? Prečítajte si, čo je arckozín. Okrem toho, ak sú na pravej strane pôvodnej rovnice tabuľkové hodnoty sínus, kosínus, tangens, kotangens, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 atď. - odpoveď cez oblúky bude nedokončená. Oblúky musia byť prevedené na radiány.

A ak už narazíte na nerovnosť, nech sa páči

potom je odpoveď:

x πn, n ∈ Z

existuje zriedkavý nezmysel, áno ...) Tu je potrebné rozhodnúť o trigonometrickom kruhu. Čo budeme robiť v príslušnej téme.

Pre tých, ktorí hrdinsky čítajú až po tieto riadky. Nemôžem si pomôcť, ale oceniť vaše titanské úsilie. máš bonus.)

Bonus:

Pri písaní vzorcov v úzkostnej bojovej situácii sa aj otužilí nerdi často zamotajú kde pn, A kde 2πn. Tu je pre vás jednoduchý trik. In všetky vzorce pn. Okrem jedinej formuly s oblúkovým kosínusom. Stojí tam 2πn. Dva pien. Kľúčové slovo - dva. V rovnakom jedinom vzorci sú dva podpísať na začiatku. Plus a mínus. Tu a tam - dva.

Ak si teda napísal dva znak pred arc cosínusom, ľahšie si zapamätáte, čo sa stane na konci dva pien. A deje sa to aj naopak. Preskočte mužské znamenie ± , dostaň sa na koniec, napíš správne dva pien, áno, a chyťte to. Pred niečím dva podpísať! Človek sa vráti na začiatok, ale chybu napraví! Páči sa ti to.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Lekcia a prezentácia na tému: "Riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Návody a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre stupeň 10 od 1C
Riešime úlohy v geometrii. Interaktívne úlohy pre budovanie vo vesmíre
Softvérové ​​prostredie "1C: Mathematical Conštruktor 6.1"

Čo budeme študovať:
1. Čo sú to goniometrické rovnice?

3. Dve hlavné metódy riešenia goniometrických rovníc.
4. Homogénne goniometrické rovnice.
5. Príklady.

Čo sú to goniometrické rovnice?

Chlapci, už sme študovali arkzín, arkkozín, arktangens a arkkotangens. Teraz sa pozrime na trigonometrické rovnice všeobecne.

Goniometrické rovnice - rovnice, v ktorých je premenná obsiahnutá pod znamienkom goniometrickej funkcie.

Zopakujeme formu riešenia najjednoduchších goniometrických rovníc:

1) Ak |а|≤ 1, potom rovnica cos(x) = a má riešenie:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ak |а|≤ 1, potom rovnica sin(x) = a má riešenie:

3) Ak |a| > 1, potom rovnica sin(x) = a a cos(x) = a nemajú riešenia 4) Rovnica tg(x)=a má riešenie: x=arctg(a)+ πk

5) Rovnica ctg(x)=a má riešenie: x=arcctg(a)+ πk

Pre všetky vzorce je k celé číslo

Najjednoduchšie goniometrické rovnice majú tvar: Т(kx+m)=a, T- ľubovoľná goniometrická funkcia.

Príklad.

Riešte rovnice: a) sin(3x)= √3/2

Riešenie:

A) Označme 3x=t, potom našu rovnicu prepíšeme do tvaru:

Riešenie tejto rovnice bude: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Z tabuľky hodnôt dostaneme: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vráťme sa k našej premennej: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Potom x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odpoveď: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kde n je celé číslo. (-1)^n - mínus jedna na mocninu n.

Ďalšie príklady goniometrických rovníc.

Riešte rovnice: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Riešenie:

A) Tentoraz prejdeme priamo k výpočtu koreňov rovnice:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Potom x/5= πk => x=5πk

Odpoveď: x=5πk, kde k je celé číslo.

B) Píšeme v tvare: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Vieme, že: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odpoveď: x=2π/9 + πk/3, kde k je celé číslo.

Riešte rovnice: cos(4x)= √2/2. A nájdite všetky korene na segmente.

Riešenie:

Vyriešme našu rovnicu vo všeobecnom tvare: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Teraz sa pozrime, aké korene padajú do nášho segmentu. Pre k Pre k=0, x= π/16 sme v danom segmente .
S k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 opäť zasiahli.
Pre k=2, x= π/16+ π=17π/16, ale tu sme netrafili, čo znamená, že nezasiahneme ani pre veľké k.

Odpoveď: x= π/16, x= 9π/16

Dve hlavné metódy riešenia.

Zvažovali sme najjednoduchšie goniometrické rovnice, existujú však aj zložitejšie. Na ich riešenie sa používa metóda zavedenia novej premennej a metóda faktorizácie. Pozrime sa na príklady.

Poďme vyriešiť rovnicu:

Riešenie:
Na vyriešenie našej rovnice používame metódu zavedenia novej premennej označenej: t=tg(x).

V dôsledku nahradenia dostaneme: t 2 + 2t -1 = 0

Nájdite korene kvadratickej rovnice: t=-1 a t=1/3

Potom tg(x)=-1 a tg(x)=1/3, dostali sme najjednoduchšiu goniometrickú rovnicu, nájdime jej korene.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odpoveď: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Príklad riešenia rovnice

Riešte rovnice: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Riešenie:

Použime identitu: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naša rovnica znie: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Zavedieme náhradu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Riešením našej kvadratickej rovnice sú korene: t=2 a t=-1/2

Potom cos(x)=2 a cos(x)=-1/2.

Pretože kosínus nemôže nadobúdať hodnoty väčšie ako jedna, potom cos(x)=2 nemá korene.

Pre cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odpoveď: x= ±2π/3 + 2πk

Homogénne goniometrické rovnice.

Definícia: Rovnica v tvare a sin(x)+b cos(x) sa nazýva homogénne goniometrické rovnice prvého stupňa.

Rovnice formulára

homogénne goniometrické rovnice druhého stupňa.

Na vyriešenie homogénnej goniometrickej rovnice prvého stupňa ju vydelíme cos(x): Nie je možné deliť kosínusom, ak sa rovná nule, uistite sa, že to tak nie je:
Nech cos(x)=0, potom asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ale sínus a kosínus sa nerovnajú nule súčasne, dostali sme rozpor, takže môžeme pokojne deliť o nulu.

Vyriešte rovnicu:
Príklad: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Riešenie:

Vyberte spoločný faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Potom musíme vyriešiť dve rovnice:

cos(x)=0 a cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 pre x= π/2 + πk;

Zvážte rovnicu cos(x)+sin(x)=0 Vydeľte našu rovnicu cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odpoveď: x= π/2 + πk a x= -π/4+πk

Ako riešiť homogénne goniometrické rovnice druhého stupňa?
Chlapci, vždy sa držte týchto pravidiel!

1. Pozrite sa, čomu sa rovná koeficient a, ak a \u003d 0, potom bude mať naša rovnica tvar cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), príklad riešenia je na predchádzajúcom šmykľavka

2. Ak a≠0, potom musíte obe časti rovnice vydeliť druhou mocninou kosínusu, dostaneme:

Zmenou premennej t=tg(x) dostaneme rovnicu:

Vyriešte príklad č.:3

Vyriešte rovnicu:
Riešenie:

Vydeľte obe strany rovnice kosínusovou druhou mocninou:

Urobíme zmenu premennej t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Nájdite korene kvadratickej rovnice: t=-3 a t=1

Potom: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odpoveď: x=-arctg(3) + πk a x= π/4+ πk

Vyriešte príklad č.:4

Vyriešte rovnicu:

Riešenie:
Transformujme náš výraz:

Môžeme riešiť také rovnice: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk

Odpoveď: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk

Vyriešte príklad č.:5

Vyriešte rovnicu:

Riešenie:
Transformujme náš výraz:

Zavedieme náhradu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Riešením našej kvadratickej rovnice budú korene: t=-2 a t=1/2

Potom dostaneme: tg(2x)=-2 a tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odpoveď: x=-arctg(2)/2 + πk/2 a x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Úlohy na samostatné riešenie.

1) Vyriešte rovnicu

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Riešte rovnice: sin(3x)= √3/2. A nájdite všetky korene na segmente [π/2; π].

3) Vyriešte rovnicu: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Vyriešte rovnicu: 3 sin 2 (x) + √3 sin (x) cos(x) = 0

5) Vyriešte rovnicu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Vyriešte rovnicu: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Pri riešení mnohých matematické problémy, najmä tie, ktoré sa vyskytnú pred 10. ročníkom, je jasne definované poradie vykonaných akcií, ktoré povedú k cieľu. Medzi takéto problémy patria napríklad lineárne a kvadratické rovnice, lineárne a kvadratické nerovnosti, zlomkové rovnice a rovnice, ktoré sa redukujú na kvadratické. Princíp úspešného riešenia každej zo spomínaných úloh je nasledovný: je potrebné ustanoviť, aký typ úlohy sa rieši, pamätať si na potrebnú postupnosť akcií, ktoré povedú k požadovanému výsledku, t.j. odpovedzte a postupujte podľa týchto krokov.

Je zrejmé, že úspech alebo neúspech pri riešení konkrétneho problému závisí najmä od toho, ako správne je určený typ riešenej rovnice, ako správne je reprodukovaná postupnosť všetkých fáz jej riešenia. Samozrejme, v tomto prípade je potrebné mať zručnosti na vykonávanie identických transformácií a výpočtov.

Iná situácia nastáva pri goniometrické rovnice. Nie je ťažké určiť skutočnosť, že rovnica je trigonometrická. Ťažkosti vznikajú pri určovaní postupnosti akcií, ktoré by viedli k správnej odpovedi.

Niekedy je ťažké určiť jej typ podľa vzhľadu rovnice. A bez znalosti typu rovnice je takmer nemožné vybrať si tú správnu z niekoľkých desiatok goniometrických vzorcov.

Na vyriešenie goniometrickej rovnice musíme skúsiť:

1. priviesť všetky funkcie zahrnuté v rovnici do „rovnakých uhlov“;
2. priviesť rovnicu k „rovnakým funkciám“;
3. faktorizujte ľavú stranu rovnice atď.

Zvážte základné metódy riešenia goniometrických rovníc.

I. Redukcia na najjednoduchšie goniometrické rovnice

Schéma riešenia

Krok 1. Vyjadrite goniometrickú funkciu pomocou známych komponentov.

Krok 2 Nájdite argument funkcie pomocou vzorcov:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

hriech x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Krok 3 Nájdite neznámu premennú.

Príklad.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Riešenie.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Odpoveď: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabilná substitúcia

Schéma riešenia

Krok 1. Uveďte rovnicu do algebraického tvaru vzhľadom na jednu z goniometrických funkcií.

Krok 2 Výslednú funkciu označíme premennou t (v prípade potreby zaveďte obmedzenia na t).

Krok 3 Výslednú algebraickú rovnicu zapíšte a vyriešte.

Krok 4 Vykonajte opačnú náhradu.

Krok 5 Vyriešte najjednoduchšiu goniometrickú rovnicu.

Príklad.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Riešenie.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5 sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Nech sin (x/2) = t, kde |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 alebo e = -3/2 nespĺňa podmienku |t| ≤ 1.

4) hriech (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Odpoveď: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metóda redukcie poradia rovníc

Schéma riešenia

Krok 1. Nahraďte túto rovnicu lineárnou pomocou vzorcov na zníženie výkonu:

hriech 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Krok 2 Výslednú rovnicu riešte metódami I a II.

Príklad.

cos2x + cos2x = 5/4.

Riešenie.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Odpoveď: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogénne rovnice

Schéma riešenia

Krok 1. Preneste túto rovnicu do formulára

a) a sin x + b cos x = 0 (homogénna rovnica prvého stupňa)

alebo do výhľadu

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogénna rovnica druhého stupňa).

Krok 2 Vydeľte obe strany rovnice

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

a získajte rovnicu pre tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Krok 3 Riešte rovnicu pomocou známych metód.

Príklad.

5 sin 2 x + 3 sin x cos x - 4 = 0.

Riešenie.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.

3) Nech tg x = t, potom

t2 + 3t-4 = 0;

t = 1 alebo t = -4, takže

tg x = 1 alebo tg x = -4.

Z prvej rovnice x = π/4 + πn, n Є Z; z druhej rovnice x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Odpoveď: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metóda transformácie rovnice pomocou goniometrických vzorcov

Schéma riešenia

Krok 1. Pomocou všetkých druhov goniometrických vzorcov priveďte túto rovnicu do rovnice, ktorú možno vyriešiť metódami I, II, III, IV.

Krok 2 Vyriešte výslednú rovnicu pomocou známych metód.

Príklad.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Riešenie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 alebo 2cos x + 1 = 0;

Z prvej rovnice 2x = π/2 + πn, n Є Z; z druhej rovnice cos x = -1/2.

Máme x = π/4 + πn/2, n Є Z; z druhej rovnice x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Výsledkom je, že x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Odpoveď: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Schopnosť a zručnosti riešiť goniometrické rovnice sú veľmi dôležité, ich rozvoj si vyžaduje značné úsilie, tak zo strany žiaka, ako aj učiteľa.

S riešením goniometrických rovníc sa spája veľa problémov stereometrie, fyziky atď.. Proces riešenia takýchto úloh, ako to bolo, obsahuje mnohé vedomosti a zručnosti, ktoré sa získavajú pri štúdiu prvkov trigonometrie.

Goniometrické rovnice zaujímajú dôležité miesto v procese vyučovania matematiky a rozvoja osobnosti vôbec.

Máte nejaké otázky? Neviete, ako riešiť goniometrické rovnice?
Ak chcete získať pomoc od tútora -.
Prvá lekcia je zadarmo!

blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.

Zložitejšie goniometrické rovnice

Rovnice

hriech x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

sú najjednoduchšie goniometrické rovnice. V tejto časti na konkrétnych príkladoch zvážime zložitejšie goniometrické rovnice. Ich riešenie sa spravidla redukuje na riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc.

Príklad 1 . vyriešiť rovnicu

hriech 2 X= cos X hriech 2 X.

Prenesením všetkých členov tejto rovnice na ľavú stranu a rozložením výsledného výrazu na faktory dostaneme:

hriech 2 X(1 - cos X) = 0.

Súčin dvoch výrazov sa rovná nule vtedy a len vtedy, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule a druhý má akúkoľvek číselnú hodnotu za predpokladu, že je definovaná.

Ak hriech 2 X = 0 , potom 2 X=n π ; X = π / 2n.

Ak 1 - čos X = 0 , potom cos X = 1; X = 2kπ .

Takže máme dve skupiny koreňov: X = π / 2n; X = 2kπ . Druhá skupina koreňov je zjavne obsiahnutá v prvej, keďže pre n = 4k je výraz X = π / 2n sa stáva
X = 2kπ .

Preto môže byť odpoveď napísaná jedným vzorcom: X = π / 2n, kde n- ľubovoľné celé číslo.

Všimnite si, že túto rovnicu nebolo možné vyriešiť znížením o sin 2 X. Skutočne, po redukcii by sme dostali 1 - cos x = 0, odkiaľ X= 2k π . Takto by sme prišli o niektoré korene napr π / 2 , π , 3π / 2 .

PRÍKLAD 2. vyriešiť rovnicu

Zlomok je nula iba vtedy, ak je jeho čitateľ nula.
Preto hriech 2 X = 0 , odkiaľ 2 X=n π ; X = π / 2n.

Z týchto hodnôt X by sa mali vyradiť ako cudzie hodnoty, pre ktoré hriechX zmizne (zlomky s nulovým menovateľom nemajú význam: delenie nulou nie je definované). Tieto hodnoty sú čísla, ktoré sú násobkami π . Vo vzorci
X = π / 2n získavajú sa za párne n. Preto koreňmi tejto rovnice budú čísla

X = π / 2 (2 000 + 1),

kde k je ľubovoľné celé číslo.

Príklad 3 . vyriešiť rovnicu

2 hriech 2 X+ 7 cos X - 5 = 0.

expresné hriech 2 X cez cosX : hriech 2 X = 1 - čo 2X . Potom je možné túto rovnicu prepísať ako

2 (1 - cos 2 X) + 7 cos X - 5 = 0 , alebo

2cos 2 X- 7 cos X + 3 = 0.

označujúci cosX cez pri, dospejeme ku kvadratickej rovnici

2r 2 – 7r + 3 = 0,

ktorých korene sú čísla 1/2 a 3. Preto buď cos X= 1/2 alebo cos X= 3. To druhé je však nemožné, pretože absolútna hodnota kosínusu žiadneho uhla nepresahuje 1.

Zostáva uznať, že cos X = 1 / 2 , kde

X = ± 60° + 360° n.

Príklad 4 . vyriešiť rovnicu

2 hriech X+ 3 cos X = 6.

Pretože hriech X a cos X nepresiahnu 1 v absolútnej hodnote, potom výraz
2 hriech X+ 3 cos X nemôže nadobudnúť hodnoty väčšie ako 5 . Preto táto rovnica nemá korene.

Príklad 5 . vyriešiť rovnicu

hriech X+ cos X = 1

Umocnením oboch strán tejto rovnice dostaneme:

hriech 2 X+ 2 hriech X cos X+ cos2 X = 1,

ale hriech 2 X + pretože 2 X = 1 . Preto 2 hriech X cos X = 0 . Ak hriech X = 0 , potom X = nπ ; ak
cos X , potom X = π / 2 + kπ . Tieto dve skupiny riešení možno zapísať do jedného vzorca:

X = π / 2n

Keďže sme odmocnili obe časti tejto rovnice, nie je vylúčená možnosť, že medzi získanými koreňmi sú cudzie. Preto je v tomto príklade, na rozdiel od všetkých predchádzajúcich, potrebné vykonať kontrolu. Všetky hodnoty

X = π / 2n možno rozdeliť do 4 skupín

	1) X = 2kπ .	(n=4k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n=4k+1)
	3) X = π + 2kπ .	(n=4k+2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n=4k+3)

O X = 2kπ hriech X+ cos X= 0 + 1 = 1. Preto X = 2kπ sú korene tejto rovnice.

O X = π / 2 + 2kπ. hriech X+ cos X= 1 + 0 = 1 X = π / 2 + 2kπ sú tiež koreňmi tejto rovnice.

O X = π + 2kπ hriech X+ cos X= 0 - 1 = - 1. Preto hodnoty X = π + 2kπ nie sú koreňmi tejto rovnice. Podobne sa ukazuje, že X = 3π / 2 + 2kπ. nie sú korene.

Táto rovnica má teda tieto korene: X = 2kπ a X = π / 2 + 2 mπ., kde k a m- ľubovoľné celé čísla.