பெஸ்க்ரோவ்னி ஐ.எம். ஒன்று

1 OAO ஆங்ஸ்ட்ரெம்-எம்

A2+b2=c2 வடிவத்தின் பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள் மற்றும் வழிமுறைகளை உருவாக்குவதே பணியின் நோக்கமாகும். ஒரு முறையான அணுகுமுறையின் கொள்கைகளின்படி பகுப்பாய்வு செயல்முறை மேற்கொள்ளப்பட்டது. கணித மாதிரிகளுடன், வரைகலை மாதிரிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவை பித்தகோரியன் ட்ரிப்லின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரையும் கலப்பு சதுர வடிவில் காட்டுகின்றன, ஒவ்வொன்றும் அலகு சதுரங்களின் தொகுப்பைக் கொண்டிருக்கும். பித்தகோரியன் மும்மடங்கின் முடிவிலா தொகுப்பானது b-c மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டால் வேறுபடுத்தும் எண்ணற்ற துணைக்குழுக்களைக் கொண்டுள்ளது என்று நிறுவப்பட்டுள்ளது. இந்த வேறுபாட்டின் முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட மதிப்புடன் பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளை உருவாக்குவதற்கான வழிமுறை முன்மொழியப்பட்டது. 3≤a எந்த மதிப்புக்கும் பித்தகோரியன் மும்மடங்குகள் இருப்பதாகக் காட்டப்படுகிறது

பித்தகோரியன் மும்மூர்த்திகள்

அமைப்பு பகுப்பாய்வு

கணித மாதிரி

கிராஃபிக் மாதிரி

1. அனோசோவ் டி.என். கணிதம் மற்றும் அதிலிருந்து ஏதாவது ஒரு பார்வை. - எம்.: எம்டிஎஸ்என்எம்ஓ, 2003. - 24 பக்.: நோய்.

2. அயர்லாண்ட் கே., ரோசன் எம். நவீன எண் கோட்பாட்டிற்கான கிளாசிக்கல் அறிமுகம். – எம்.: மிர், 1987.

3. பெஸ்க்ரோவ்னி ஐ.எம். நிறுவனங்களில் கணினி பகுப்பாய்வு மற்றும் தகவல் தொழில்நுட்பம்: பாடநூல். - எம்.: RUDN, 2012. - 392 பக்.

4. சைமன் சிங். ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றம்.

5. ஃபெர்மா பி. எண் கோட்பாடு மற்றும் டையோபான்டைன் பகுப்பாய்வு ஆகியவற்றில் ஆய்வுகள். – எம்.: நௌகா, 1992.

6. யாப்ட்ரோ. Ucoz, இங்கு கிடைக்கிறது: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

பித்தகோரியன் மும்மடங்கு என்பது பித்தகோரியன் உறவை x2 + y2 = z2 ஐ திருப்திப்படுத்தும் மூன்று முழு எண்களின் கூட்டாகும். பொதுவாக, இது Diophantine சமன்பாடுகளின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும், அதாவது, அறியப்படாதவர்களின் எண்ணிக்கை சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையை விட அதிகமாக இருக்கும் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள். அவர்கள் நீண்ட காலமாக, பாபிலோனின் காலத்திலிருந்தே, அதாவது பித்தகோரஸுக்கு நீண்ட காலத்திற்கு முன்பே அறியப்பட்டுள்ளனர். பித்தகோரஸ் தனது புகழ்பெற்ற தேற்றத்தை அவர்களின் அடிப்படையில் நிரூபித்த பின்னர் அவர்கள் பெயரைப் பெற்றனர். எவ்வாறாயினும், பித்தகோரியன் மும்மடங்கு பற்றிய கேள்வி ஒரு வழியில் அல்லது இன்னொரு வகையில் தொட்ட பல ஆதாரங்களின் பகுப்பாய்விலிருந்து பின்வருமாறு, இந்த மும்மடங்குகளின் தற்போதைய வகுப்புகள் மற்றும் அவற்றின் உருவாக்கத்தின் சாத்தியமான வழிகள் பற்றிய கேள்வி இன்னும் முழுமையாக வெளிப்படுத்தப்படவில்லை.

எனவே சைமன் சிங்கின் புத்தகத்தில் இது கூறுகிறது: - "பித்தகோரஸின் சீடர்கள் மற்றும் பின்பற்றுபவர்கள் ... பித்தகோரியன் மூன்று கே என்று அழைக்கப்படுவதைக் கண்டுபிடிக்கும் ரகசியத்தை உலகிற்குச் சொன்னார்கள்." இருப்பினும், இதைத் தொடர்ந்து நாம் படிக்கிறோம்: - “பித்தகோரியர்கள் மற்ற பித்தகோரியன் மும்மடங்குகள், பிற சதுரங்களைக் கண்டுபிடிப்பதைக் கனவு கண்டார்கள், அதில் இருந்து மூன்றாவது பெரிய சதுரத்தைச் சேர்க்க முடியும். …எண்கள் அதிகரிக்கும் போது, ​​பித்தகோரியன் மும்மடங்குகள் அரிதாகி வருகின்றன, மேலும் கடினமாகவும் கண்டுபிடிக்க கடினமாகவும் உள்ளன. பித்தகோரியர்கள் அத்தகைய மும்மடங்குகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு முறையைக் கண்டுபிடித்தனர், அதைப் பயன்படுத்தி, எண்ணற்ற பித்தகோரியன் மும்மூர்த்திகள் இருப்பதை நிரூபித்தார்கள்.

குழப்பத்தை ஏற்படுத்தும் வார்த்தைகள் மேற்கோளில் முன்னிலைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. ஏன் "பித்தகோரியர்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று கனவு கண்டார்கள் ..." அவர்கள் "அத்தகைய மும்மடங்குகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு முறையைக் கண்டுபிடித்தார்கள் ...", மற்றும் ஏன் அதிக எண்ணிக்கையில் "அவற்றைக் கண்டுபிடிப்பது மேலும் மேலும் கடினமாகிறது ...".

பிரபல கணிதவியலாளர் டி.வி. அனோசோவ், விரும்பிய பதில் கொடுக்கப்பட்டதாகத் தெரிகிறது. - “இயற்கை (அதாவது நேர்மறை முழு எண்) எண்கள் x, y, z போன்ற மூன்று மடங்குகள் உள்ளன

x2 + y2 = z2. (ஒன்று)

x2+y2=z2 சமன்பாட்டின் அனைத்து தீர்வுகளையும் இயற்கை எண்களில் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? …ஆம். பதில் என்னவென்றால், அத்தகைய ஒவ்வொரு தீர்வையும் இவ்வாறு குறிப்பிடலாம்

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

இங்கு l, m, n ஆகியவை இயற்கை எண்கள், மற்றும் m>n அல்லது x மற்றும் y ஆகியவை ஒன்றோடொன்று மாற்றப்படும் அதே வடிவத்தில். (2) இலிருந்து x, y, z, l மற்றும் m > n ஆகியவற்றுடன் கூடிய அனைத்து சாத்தியமான தீர்வுகளும் (1) x மற்றும் y இன் வரிசைமாற்றம் வரை சாத்தியமான தீர்வுகள் என்று நாம் இன்னும் கொஞ்சம் சுருக்கமாகக் கூறலாம். எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று (3, 4, 5) l=1, m=2, n=1 உடன் பெறப்படுகிறது. ... வெளிப்படையாக, பாபிலோனியர்களுக்கு இந்த பதில் தெரியும், ஆனால் அவர்கள் அதை எப்படி அடைந்தார்கள் என்பது தெரியவில்லை.

பொதுவாக கணிதவியலாளர்கள் தங்கள் சூத்திரங்களின் கடுமைத்தன்மைக்கு பெயர் பெற்றவர்கள். ஆனால், இந்த மேற்கோளில், அத்தகைய கடுமை கவனிக்கப்படவில்லை. எனவே சரியாக என்ன: கண்டுபிடிக்க அல்லது கற்பனை? வெளிப்படையாக, இவை முற்றிலும் வேறுபட்ட விஷயங்கள். இங்கே "புதிதாக சுடப்பட்ட" மும்மடங்குகளின் வரி (கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ள முறை மூலம் பெறப்பட்டது):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

இந்த மும்மடங்குகள் ஒவ்வொன்றும் தொடர்பு (2) வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம் என்பதில் சந்தேகமில்லை, பின்னர் l, m, n ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடலாம். ஆனால், இது மும்மடங்குகளின் அனைத்து மதிப்புகளும் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பிறகு. ஆனால் அதற்கு முன் என்ன?

இந்த கேள்விகளுக்கான பதில்கள் நீண்ட காலமாக அறியப்பட்டவை என்பதை நிராகரிக்க முடியாது. ஆனால் சில காரணங்களால், அவர்கள் இன்னும் கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை. எனவே, இந்த வேலையின் நோக்கம் பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் அறியப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளின் முழுமையான பகுப்பாய்வு, மும்மடங்குகளின் பல்வேறு குழுக்களில் அமைப்பு-உருவாக்கும் உறவுகளைத் தேடுதல் மற்றும் இந்த குழுக்களின் சிறப்பியல்பு அம்சங்களை அடையாளம் காண்பது, பின்னர் எளிமையான வளர்ச்சி. முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட உள்ளமைவுடன் மும்மடங்கைக் கணக்கிடுவதற்கான திறமையான வழிமுறைகள். உள்ளமைவு என்பதன் மூலம், மும்மடங்கை உருவாக்கும் அளவுகளுக்கு இடையிலான உறவைக் குறிக்கிறோம்.

ஒரு கருவித்தொகுப்பாக, உயர்நிலைப் பள்ளியில் கற்பிக்கப்படும் கணிதத்தின் கட்டமைப்பிற்கு அப்பால் செல்லாத மட்டத்தில் ஒரு கணித கருவி பயன்படுத்தப்படும், மேலும் கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ள முறைகளின் அடிப்படையில் கணினி பகுப்பாய்வு.

மாதிரி கட்டிடம்

கணினி பகுப்பாய்வின் நிலைப்பாட்டில் இருந்து, எந்த பித்தகோரியன் டிரிபிள் என்பது மூன்று எண்கள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகளால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு அமைப்பு ஆகும். அவற்றின் முழுமை, இதில் பொருள்கள் சில உறவுகளில் வைக்கப்பட்டு புதிய பண்புகளைக் கொண்ட ஒரு அமைப்பை உருவாக்குகின்றன, அவை தனிப்பட்ட பொருள்களிலோ அல்லது அவற்றின் முழுமையிலோ பிற உறவுகளில் பொருள்கள் வைக்கப்படுகின்றன.

சமன்பாட்டில் (1), கணினியின் பொருள்கள் எளிய இயற்கணித உறவுகளால் தொடர்புடைய இயற்கை எண்கள்: சம அடையாளத்தின் இடதுபுறத்தில் 2 இன் சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்ட இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை, வலதுபுறம் மூன்றாவது எண், மேலும் உயர்த்தப்பட்டது. 2 இன் சக்திக்கு. தனிப்பட்ட எண்கள், சமத்துவத்தின் இடதுபுறம், 2 இன் சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்டால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகையின் செயல்பாட்டில் எந்த கட்டுப்பாடுகளையும் விதிக்க வேண்டாம் - இதன் விளைவாக வரும் தொகை எதுவும் இருக்கலாம். ஆனால், கூட்டுச் செயல்பாட்டிற்குப் பிறகு வைக்கப்படும் சமமான அடையாளம், இந்தத் தொகையின் மதிப்பில் கணினிக் கட்டுப்பாட்டை விதிக்கிறது: கூட்டு மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கும் செயல்பாட்டின் விளைவாக ஒரு இயற்கை எண்ணாக இருக்க வேண்டும். சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்தில் மாற்றப்பட்ட எந்த எண்களுக்கும் இந்த நிபந்தனை திருப்தி அளிக்காது. இவ்வாறு, சமன்பாட்டின் இரண்டு சொற்களுக்கும் மூன்றாவது ஒன்றிற்கும் இடையில் உள்ள சம அடையாளம் மூன்று சொற்களை ஒரு அமைப்பாக மாற்றுகிறது. இந்த அமைப்பின் புதிய அம்சம் அசல் எண்களின் மதிப்புகள் மீதான கட்டுப்பாடுகளை அறிமுகப்படுத்துவதாகும்.

எழுத்து வடிவத்தின் அடிப்படையில், பித்தகோரியன் டிரிபிள் என்பது படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, கூட்டுத்தொகை மற்றும் சமத்துவ உறவுகளால் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்ட மூன்று சதுரங்களைக் கொண்ட வடிவியல் அமைப்பின் கணித மாதிரியாகக் கருதப்படலாம். 1. படம். 1 என்பது பரிசீலனையில் உள்ள அமைப்பின் வரைகலை மாதிரியாகும், மேலும் அதன் வாய்மொழி மாதிரி அறிக்கை:

பக்க நீளம் c கொண்ட ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவை எஞ்சியாமல் a மற்றும் b பக்க நீளம் கொண்ட இரண்டு சதுரங்களாகப் பிரிக்கலாம், அதாவது அவற்றின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை அசல் சதுரத்தின் பரப்பளவிற்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது மூன்று அளவுகள் a, b மற்றும் c ஆகியவை உறவின் மூலம் தொடர்புடையவை

ஒரு சதுரத்தின் சிதைவின் வரைகலை மாதிரி

கணினி பகுப்பாய்வின் நியதிகளின் கட்டமைப்பிற்குள், ஒரு கணித மாதிரி ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவியல் அமைப்பின் பண்புகளை போதுமான அளவு பிரதிபலிக்கிறது என்றால், இந்த அமைப்பின் பண்புகளின் பகுப்பாய்வு அதன் கணித மாதிரியின் பண்புகளை தெளிவுபடுத்த அனுமதிக்கிறது. அவற்றை இன்னும் ஆழமாக அறிந்து, தெளிவுபடுத்தவும், தேவைப்பட்டால் மேம்படுத்தவும். இதுதான் நாம் பின்பற்றும் பாதை.

கணினி பகுப்பாய்வின் கொள்கைகளின்படி, கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் செயல்பாடுகளை கலப்பு பொருள்களில் மட்டுமே செய்ய முடியும் என்பதை தெளிவுபடுத்துவோம், அதாவது அடிப்படை பொருள்களின் தொகுப்பால் ஆன பொருள்கள். எனவே, எந்தவொரு சதுரத்தையும் அடிப்படை அல்லது அலகு சதுரங்களின் தொகுப்பால் ஆன ஒரு உருவமாக நாம் உணர்வோம். பின்னர் இயற்கை எண்களில் ஒரு தீர்வைப் பெறுவதற்கான நிபந்தனை அலகு சதுரம் பிரிக்க முடியாதது என்ற நிபந்தனையை ஏற்றுக்கொள்வதற்கு சமம்.

ஒரு அலகு சதுரம் என்பது ஒவ்வொரு பக்கத்தின் நீளமும் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு சதுரம். அதாவது, ஒரு அலகு சதுரத்தின் பரப்பளவு பின்வரும் வெளிப்பாட்டைத் தீர்மானிக்கும் போது.

ஒரு சதுரத்தின் அளவு அளவுரு அதன் பரப்பளவு ஆகும், இது கொடுக்கப்பட்ட பகுதியில் வைக்கக்கூடிய அலகு சதுரங்களின் எண்ணிக்கையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. x இன் தன்னிச்சையான மதிப்பைக் கொண்ட ஒரு சதுரத்திற்கு, x2 என்ற வெளிப்பாடு நீளம் x அலகு பிரிவுகளின் பிரிவுகளால் உருவாக்கப்பட்ட சதுரத்தின் பகுதியை தீர்மானிக்கிறது. இந்த சதுரத்தின் பரப்பளவில் x2 அலகு சதுரங்களை வைக்கலாம்.

மேலே உள்ள வரையறைகள் அற்பமானவை மற்றும் வெளிப்படையானவை என்று கருதப்படலாம், ஆனால் அவை இல்லை. டி.என். அனோசோவ் பகுதியின் கருத்தை வேறுவிதமாக வரையறுக்கிறார்: - "... ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு அதன் பகுதிகளின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். இது ஏன் என்று நாம் உறுதியாக இருக்கிறோம்? ... சில வகையான ஒரே மாதிரியான பொருட்களால் செய்யப்பட்ட ஒரு உருவத்தை நாங்கள் கற்பனை செய்கிறோம், அதன் பரப்பளவு அதில் உள்ள பொருளின் அளவிற்கு விகிதாசாரமாகும் - அதன் நிறை. ஒரு உடலைப் பல பகுதிகளாகப் பிரிக்கும்போது, ​​அவற்றின் நிறைகளின் கூட்டுத்தொகையானது அசல் உடலின் நிறைக்குச் சமம் என்பது மேலும் புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. இது புரிந்துகொள்ளத்தக்கது, ஏனென்றால் எல்லாமே அணுக்கள் மற்றும் மூலக்கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அவற்றின் எண்ணிக்கை மாறாததால், அவற்றின் மொத்த நிறை மாறவில்லை ... எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, உண்மையில், ஒரே மாதிரியான பொருளின் நிறை அதன் தொகுதிக்கு விகிதாசாரமாகும்; எனவே, கொடுக்கப்பட்ட உருவத்தின் வடிவத்தைக் கொண்ட "தாளின்" அளவு அதன் பகுதிக்கு விகிதாசாரமாக இருப்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். ஒரு வார்த்தையில், ... ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு அதன் பகுதிகளின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், வடிவவியலில் இதை நிரூபிக்க வேண்டியது அவசியம். ... Kiselev இன் பாடப்புத்தகத்தில், நாம் இப்போது விவாதிக்கும் சொத்துக்களைக் கொண்ட ஒரு பகுதியின் இருப்பு ஒருவித அனுமானமாக நேர்மையாக முன்வைக்கப்பட்டது, மேலும் இது உண்மையில் உண்மை என்று கூறப்பட்டது, ஆனால் இதை நாங்கள் நிரூபிக்க மாட்டோம். எனவே, பித்தகோரியன் தேற்றம், பகுதிகளுடன் நிரூபிக்கப்பட்டால், முற்றிலும் தர்க்கரீதியான அர்த்தத்தில், முழுமையாக நிரூபிக்கப்படாமல் இருக்கும்.

மேலே அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட அலகு சதுரத்தின் வரையறைகள் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட D.N ஐ அகற்றுவதாக நமக்குத் தோன்றுகிறது. அனோசோவ் நிச்சயமற்ற தன்மை. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒரு சதுரம் மற்றும் செவ்வகத்தின் பரப்பளவு அவற்றை நிரப்பும் அலகு சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையால் தீர்மானிக்கப்பட்டால், செவ்வகத்தை தன்னிச்சையான அடுத்தடுத்த பகுதிகளாகப் பிரிக்கும்போது, ​​செவ்வகத்தின் பரப்பளவு இயற்கையாகவே சமமாக இருக்கும். அதன் அனைத்து பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை.

மேலும், அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட வரையறைகள் சுருக்க வடிவியல் புள்ளிவிவரங்கள் தொடர்பாக "வகுத்தல்" மற்றும் "சேர்" ஆகிய கருத்துகளைப் பயன்படுத்துவதன் நிச்சயமற்ற தன்மையை நீக்குகின்றன. உண்மையில், ஒரு செவ்வகத்தை அல்லது வேறு எந்த தட்டையான உருவத்தையும் பகுதிகளாகப் பிரிப்பதன் அர்த்தம் என்ன? அது ஒரு தாள் என்றால், அதை கத்தரிக்கோலால் வெட்டலாம். நிலம் என்றால் - வேலி போடுங்கள். அறை - ஒரு பகிர்வை வைக்கவும். அது வரையப்பட்ட சதுரமாக இருந்தால் என்ன செய்வது? ஒரு பிரிக்கும் கோட்டை வரைந்து, சதுரம் பிரிக்கப்பட்டதாக அறிவிக்கவா? ஆனால், எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, டி.ஐ. மெண்டலீவ்: "... நீங்கள் எல்லாவற்றையும் அறிவிக்கலாம், ஆனால் நீங்கள் - மேலே செல்லுங்கள், நிரூபிக்கவும்!"

முன்மொழியப்பட்ட வரையறைகளைப் பயன்படுத்தி, “ஒரு உருவத்தைப் பிரித்தல்” என்பது இந்த உருவத்தை இரண்டு (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) பகுதிகளாக நிரப்பும் அலகு சதுரங்களின் எண்ணிக்கையைப் பிரிப்பதாகும். இந்த ஒவ்வொரு பகுதியிலும் உள்ள அலகு சதுரங்களின் எண்ணிக்கை அதன் பரப்பளவை தீர்மானிக்கிறது. இந்த பகுதிகளின் உள்ளமைவு தன்னிச்சையாக கொடுக்கப்படலாம், ஆனால் அவற்றின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் அசல் உருவத்தின் பகுதிக்கு சமமாக இருக்கும். ஒருவேளை, கணிதவியலாளர்கள் இந்த வாதங்களை தவறாகக் கருதுவார்கள், பின்னர் அவற்றை ஒரு அனுமானமாக எடுத்துக்கொள்வோம். கிஸ்லியோவின் பாடப்புத்தகத்தில் இத்தகைய அனுமானங்கள் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டால், அத்தகைய நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தாமல் இருப்பது பாவம்.

கணினி பகுப்பாய்வின் முதல் படி சிக்கலைக் கண்டறிவதாகும். இந்த கட்டத்தின் தொடக்கத்தில், பல்வேறு ஆதாரங்களில் காணப்படும் பல நூறு பித்தகோரியன் மும்மடங்குகள் ஆராயப்பட்டன. அதே நேரத்தில், வெளியீடுகளில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் முழு தொகுப்பையும் உள்ளமைவில் வேறுபடும் பல குழுக்களாகப் பிரிக்கலாம் என்பதில் கவனம் செலுத்தப்பட்டது. அசல் மற்றும் கழிக்கப்பட்ட சதுரங்களின் பக்கங்களின் நீளத்தில் உள்ள வித்தியாசத்தை, அதாவது c-b மதிப்பை ஒரு குறிப்பிட்ட கட்டமைப்பின் அடையாளமாகக் கருதுவோம். எடுத்துக்காட்டாக, வெளியீடுகளில், c-b=1 நிபந்தனையைப் பூர்த்தி செய்யும் மும்மடங்குகள் பெரும்பாலும் உதாரணமாகக் காட்டப்படுகின்றன. அத்தகைய பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் முழு தொகுப்பும் ஒரு தொகுப்பை உருவாக்குகிறது என்று நாங்கள் கருதுகிறோம், அதை நாங்கள் "கிளாஸ் சி-1" என்று அழைப்போம், மேலும் இந்த வகுப்பின் பண்புகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள மூன்று சதுரங்களைக் கவனியுங்கள், இங்கு c என்பது குறைக்கப்பட வேண்டிய சதுரத்தின் பக்கத்தின் நீளம், b என்பது கழிக்கப்பட வேண்டிய சதுரத்தின் பக்கத்தின் நீளம் மற்றும் a என்பது சதுரத்தின் பக்கத்தின் நீளம் அவர்களின் வேறுபாட்டிலிருந்து. அத்திப்பழத்தில். 1 குறைக்கப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பளவிலிருந்து கழித்த சதுரத்தின் பரப்பளவைக் கழிக்கும்போது, ​​​​மீதத்தில் இரண்டு அலகு சதுரங்களின் பட்டைகள் இருப்பதைக் காணலாம்:

இந்த மீதியிலிருந்து ஒரு சதுரத்தை உருவாக்க, நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்

இந்த உறவுகள் மும்மடங்கின் அனைத்து உறுப்பினர்களின் மதிப்புகளையும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது c. உறவை (6) திருப்திப்படுத்தும் மிகச்சிறிய எண் c என்பது c = 5. எனவே, உறவைத் திருப்திப்படுத்தும் சதுரங்களின் மூன்று பக்கங்களின் நீளமும் (1) தீர்மானிக்கப்பட்டது. சராசரி சதுரத்தின் பக்கத்தின் மதிப்பு b என்பதை நினைவில் கொள்க

அசல் சதுரத்தின் பக்கத்தை ஒன்றால் குறைத்து நடுத்தர சதுரத்தை உருவாக்க முடிவு செய்தபோது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது. பின்னர் உறவுகளிலிருந்து (5), (6). (7) பின்வரும் தொடர்பைப் பெறுகிறோம்:

இதிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மதிப்பு c = 5 தனித்துவமாக b = 4, a = 3 மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்கிறது.

இதன் விளைவாக, "c - 1" வகுப்பின் எந்தவொரு பித்தகோரியன் மும்மடங்கையும் அத்தகைய வடிவத்தில் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த அனுமதிக்கும் உறவுகள் பெறப்படுகின்றன, அங்கு மூன்று உறுப்பினர்களின் மதிப்புகள் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவுருவால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன - மதிப்பு c:

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில் உள்ள எண் 5 ஆனது c இன் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளின் குறைந்தபட்சமாக தோன்றியதைச் சேர்க்கிறோம், அதற்கான சமன்பாடு (6) இயற்கை எண்களில் ஒரு தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. அதே பண்பு கொண்ட அடுத்த எண் 13, பின்னர் 25, பின்னர் 41, 61, 85, முதலியன. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இந்த எண்களின் தொடரில், அருகில் உள்ள எண்களுக்கு இடையிலான இடைவெளிகள் வேகமாக அதிகரிக்கின்றன. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, செல்லுபடியாகும் மதிப்புக்குப் பிறகு, அடுத்த செல்லுபடியாகும் மதிப்பு , மற்றும் , அடுத்த செல்லுபடியாகும் மதிப்பு , அதாவது, செல்லுபடியாகும் மதிப்பு முந்தையதை விட ஐம்பது மில்லியனுக்கும் அதிகமாகும்!

புத்தகத்தில் இந்த சொற்றொடர் எங்கிருந்து வந்தது என்பது இப்போது தெளிவாகிறது: - “எண்கள் அதிகரிக்கும் போது, ​​​​பித்தகோரியன் மும்மடங்கு குறைவாகவும் குறைவாகவும் காணப்படுகிறது, மேலும் அவற்றைக் கண்டுபிடிப்பது மேலும் மேலும் கடினமாகிறது ...”. எனினும், இந்தக் கூற்று உண்மையல்ல. c இன் அண்டை மதிப்புகளின் மேலே உள்ள ஜோடிகளுடன் தொடர்புடைய பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளை ஒருவர் பார்க்க வேண்டும், ஏனெனில் ஒரு அம்சம் உடனடியாக கண்ணைக் கவரும் - இரண்டு ஜோடிகளிலும், c இன் மதிப்புகள் இவ்வளவு பெரிய இடைவெளிகளால் பிரிக்கப்படுகின்றன, ஒரு திருப்பத்தின் மதிப்புகள் அண்டை ஒற்றைப்படை எண்களாக இருக்கும். உண்மையில், எங்களிடம் உள்ள முதல் ஜோடிக்கு

மற்றும் இரண்டாவது ஜோடிக்கு

எனவே இது "குறைவான மற்றும் குறைவான பொதுவானது" என்பது மூன்று மடங்கு அல்ல, ஆனால் c இன் அண்டை மதிப்புகளுக்கு இடையிலான இடைவெளிகள் அதிகரித்து வருகின்றன. பித்தகோரியன் மும்மடங்குகள், கீழே காட்டப்பட்டுள்ளபடி, எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் இருக்கும்.

இப்போது அடுத்த வகுப்பின் மூன்று மடங்குகளைக் கவனியுங்கள் - "வகுப்பு c-2". அத்திப்பழத்திலிருந்து பார்க்க முடியும். 1, c பக்கமுள்ள ஒரு சதுரத்திலிருந்து பக்கத்துடன் (c - 2) ஒரு சதுரத்தைக் கழிக்கும்போது, ​​மீதமுள்ளவை இரண்டு அலகு பட்டைகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். இந்த தொகையின் மதிப்பு சமன்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

சமன்பாடு (10) இலிருந்து எல்லையற்ற டிரிபிள்ஸ் கிளாஸ் "c-2" எதையும் வரையறுக்கும் உறவைப் பெறுகிறோம்:

இயற்கை எண்களில் சமன்பாடு (11) க்கு தீர்வு இருப்பதற்கான நிபந்தனை, இது போன்ற ஏதேனும் ஒரு மதிப்பு c ஆகும், அதற்கான ஒரு இயற்கை எண்ணாகும். ஒரு தீர்வு இருக்கும் c இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு c = 5. இந்த வகை மும்மடங்கிற்கான "தொடக்க" மும்மடங்கு a = 4, b = 3, c = 5 என்ற தொகுப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. அதாவது, மீண்டும் கிளாசிக்கல் டிரிபிள் 3, 4, 5 உருவாகிறது, இப்போதுதான் கழிக்கப்பட வேண்டிய சதுரத்தின் பரப்பளவு மீதமுள்ள பகுதியை விட குறைவாக உள்ளது.

இறுதியாக, "s-8" வகுப்பின் மூன்று மடங்குகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம். இந்த மும்மடங்கு வகுப்பிற்கு, அசல் சதுரத்தின் பகுதி c2 இலிருந்து சதுரத்தின் பகுதியைக் கழித்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

பின்னர், சமன்பாடு (12) இலிருந்து பின்வருமாறு:

தீர்வு இருக்கும் c இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு c = 13. இந்த மதிப்பில் உள்ள பித்தகோரியன் ட்ரிபிள் 12, 5, 13 வடிவத்தை எடுக்கும். இந்த வழக்கில், கழிக்கப்பட வேண்டிய சதுரத்தின் பரப்பளவு மீண்டும் குறைவாக இருக்கும் மீதமுள்ள பகுதி. மற்றும் இடங்களில் பதவிகளை மறுசீரமைப்பதன் மூலம், டிரிபிள் 5, 12, 13 ஐப் பெறுகிறோம், இது அதன் உள்ளமைவின் மூலம் "c - 1" வகுப்பிற்கு சொந்தமானது. மற்ற சாத்தியமான உள்ளமைவுகளின் மேலும் பகுப்பாய்வு அடிப்படையில் புதிய எதையும் வெளிப்படுத்தாது என்று தெரிகிறது.

கணக்கிடப்பட்ட விகிதங்களின் வழித்தோன்றல்

முந்தைய பிரிவில், பகுப்பாய்வின் தர்க்கம் அதன் ஐந்து முக்கிய நிலைகளில் நான்கில் கணினி பகுப்பாய்வின் தேவைகளுக்கு ஏற்ப உருவாக்கப்பட்டது: சிக்கல் சூழ்நிலையின் பகுப்பாய்வு, இலக்குகளை உருவாக்குதல், செயல்பாடுகளை உருவாக்குதல் மற்றும் கட்டமைப்பை உருவாக்குதல். இப்போது இறுதி, ஐந்தாவது கட்டத்திற்கு செல்ல வேண்டிய நேரம் இது - சாத்தியக்கூறு சோதனை, அதாவது இலக்குகள் எந்த அளவிற்கு அடையப்படுகின்றன என்பதற்கான சோதனை. .

அட்டவணை 1 கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது. 1, இது "c - 1" வகுப்பைச் சேர்ந்த பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் மதிப்புகளைக் காட்டுகிறது. பெரும்பாலான மும்மடங்குகள் பல்வேறு வெளியீடுகளில் காணப்படுகின்றன, ஆனால் 999, 1001 க்கு சமமான மதிப்புகளுக்கான மூன்று மடங்குகள் அறியப்பட்ட வெளியீடுகளில் காணப்படவில்லை.

அட்டவணை 1

"சி-1" வகுப்பின் பித்தகோரியன் டிரிபிள்ஸ்

அனைத்து மும்மடங்குகள் உறவை திருப்திப்படுத்துகின்றனவா என்பதை ஒருவர் சரிபார்க்கலாம் (3). இதனால், நிர்ணயிக்கப்பட்ட இலக்குகளில் ஒன்று எட்டப்பட்டுள்ளது. முந்தைய பிரிவில் பெறப்பட்ட உறவுகள் (9), (11), (13) குறைக்கப்பட்ட சதுரத்தின் பக்கமான c என்ற அளவுருவை அமைப்பதன் மூலம் எல்லையற்ற மும்மடங்குகளை உருவாக்குவதை சாத்தியமாக்குகிறது. நிச்சயமாக, இது உறவை (2) விட மிகவும் ஆக்கபூர்வமான விருப்பமாகும், இதன் பயன்பாட்டிற்கு ஒருவர் தன்னிச்சையாக மூன்று எண்களை அமைக்க வேண்டும் l, m, n, ஏதேனும் மதிப்பு இருந்தால், பின்னர் ஒரு தீர்வைத் தேடுங்கள். ஒரு பித்தகோரியன் ட்ரிபிள் நிச்சயமாக பெறப்படும், எது தெரியவில்லை. எங்கள் விஷயத்தில், உருவாக்கப்பட்ட ட்ரிப்லின் உள்ளமைவு முன்கூட்டியே அறியப்படுகிறது மற்றும் ஒரே ஒரு அளவுருவை அமைக்க வேண்டும். ஆனால், ஐயோ, இந்த அளவுருவின் ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் தீர்வு இல்லை. மற்றும் அதன் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை நீங்கள் முன்கூட்டியே தெரிந்து கொள்ள வேண்டும். எனவே முடிவு நல்லது, ஆனால் இலட்சியத்திலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ளது. எந்தவொரு தன்னிச்சையாக கொடுக்கப்பட்ட இயற்கை எண்ணிற்கும் பித்தகோரியன் மும்மடங்கு கணக்கிடப்படும் அத்தகைய தீர்வைப் பெறுவது விரும்பத்தக்கது. இந்த நோக்கத்திற்காக, நான்காவது கட்டத்திற்குத் திரும்புவோம் - பெறப்பட்ட கணித உறவுகளின் கட்டமைப்பின் உருவாக்கம்.

டிரிபிளின் மீதமுள்ள உறுப்பினர்களைத் தீர்மானிப்பதற்கான அடிப்படை அளவுருவாக c மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுப்பது சிரமமாக இருந்ததால், மற்றொரு விருப்பத்தை முயற்சிக்க வேண்டும். அட்டவணையில் இருந்து பார்க்க முடியும். 1, இந்த அளவுருவின் மதிப்புகள் ஒற்றைப்படை இயற்கை எண்களின் வரிசையில் ஒரு வரிசையில் இருப்பதால், அளவுரு a ஐ அடிப்படையாகத் தேர்ந்தெடுப்பது விரும்பத்தக்கதாகத் தெரிகிறது. எளிமையான மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, உறவுகளை (9) மிகவும் ஆக்கபூர்வமான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருகிறோம்:

உறவுகள் (14) முன்னரே ஒதுக்கப்பட்ட ஒற்றைப்படை மதிப்பிற்கு பித்தகோரியன் ட்ரிப்பிள் ஒன்றைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது a. அதே நேரத்தில், b க்கான வெளிப்பாட்டின் எளிமை, கால்குலேட்டர் இல்லாமல் கூட கணக்கீடுகளைச் செய்ய உங்களை அனுமதிக்கிறது. உண்மையில், தேர்வு, எடுத்துக்காட்டாக, எண் 13, நாம் பெறுகிறோம்:

முறையே 99 என்ற எண்ணுக்கு, நாம் பெறுகிறோம்:

தொடர்புகள் (15) பித்தகோரியன் சரத்தின் மூன்று சொற்களின் மதிப்புகளை n=1 இலிருந்து தொடங்கும் எந்த ஒரு nக்கும் பெற அனுமதிக்கின்றன.

இப்போது "c - 2" வகுப்பின் பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளைக் கவனியுங்கள். அட்டவணையில். 2 போன்ற பத்து மூன்று மடங்குகளை உதாரணமாகக் காட்டுகிறது. மேலும், அறியப்பட்ட வெளியீடுகளில் மூன்று ஜோடி மும்மடங்குகள் மட்டுமே காணப்பட்டன - 8, 15, 23; 12, 35, 36; மற்றும் 16, 63, 65. அவை உருவாகும் வடிவங்களைத் தீர்மானிக்க இது போதுமானதாக மாறியது. மீதமுள்ள ஏழு முன்பு பெறப்பட்ட உறவுகளிலிருந்து கண்டுபிடிக்கப்பட்டது (11). கணக்கீட்டின் வசதிக்காக, இந்த விகிதங்கள் மாற்றப்பட்டன, இதனால் அனைத்து அளவுருக்களும் a இன் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. (11) இலிருந்து, "c - 2" வகுப்பிற்கான அனைத்து மும்மடங்குகள் பின்வரும் உறவுகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது:

அட்டவணை 2

"சி-2" வகுப்பின் பித்தகோரியன் டிரிபிள்ஸ்

அட்டவணையில் இருந்து பார்க்க முடியும். 2, "c - 2" வகுப்பின் மும்மடங்கின் முழு எல்லையற்ற தொகுப்பையும் இரண்டு துணைப்பிரிவுகளாகப் பிரிக்கலாம். ஒரு மீதம் இல்லாமல் 4 ஆல் வகுபடும் மூன்று மடங்குகளுக்கு, b மற்றும் c இன் மதிப்புகள் ஒற்றைப்படை. GCD = 1 போன்ற மூன்று மடங்குகள் பழமையானவை என அழைக்கப்படுகின்றன. முழு எண்களில் a 4 ஆல் வகுபடாத மூன்று மடங்குகளுக்கு, மூன்று a, b, c ஆகிய மூன்று உறுப்பினர்களும் சமமாக இருக்கும்.

இப்போது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வகுப்புகளில் மூன்றாவது பகுப்பாய்வின் முடிவுகளை மதிப்பாய்வு செய்ய செல்லலாம் - வகுப்பு "சி - 8". (13) இலிருந்து பெறப்பட்ட இந்த வகுப்பிற்கான கணக்கிடப்பட்ட உறவுகள் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளன:

உறவுகள் (20), (21) அடிப்படையில் ஒரே மாதிரியானவை. செயல்களின் வரிசையின் தேர்வில் மட்டுமே வேறுபாடு உள்ளது. அல்லது, (20) க்கு இணங்க, a இன் விரும்பிய மதிப்பு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது (இந்த விஷயத்தில், இந்த மதிப்பை 4 ஆல் வகுக்க வேண்டும்), பின்னர் b மற்றும் c இன் மதிப்புகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. அல்லது, ஒரு தன்னிச்சையான எண் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது, பின்னர், உறவுகளிலிருந்து (21), பித்தகோரியன் ட்ரிப்லின் மூன்று உறுப்பினர்களும் தீர்மானிக்கப்படுகிறார்கள். அட்டவணையில். இந்த வழியில் கணக்கிடப்பட்ட பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் எண்ணிக்கையை 3 காட்டுகிறது. இருப்பினும், பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவது இன்னும் எளிதானது. குறைந்தபட்சம் ஒரு மதிப்பு தெரிந்தால், அனைத்து அடுத்தடுத்த மதிப்புகளும் பின்வரும் உறவுகளால் மிகவும் எளிமையாக தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:

அட்டவணை 3

அனைவருக்குமான உறவின் செல்லுபடியாகும் (22) அட்டவணையில் இருந்து மும்மடங்கு மூலம் சரிபார்க்கப்படலாம். 2, அத்துடன் பிற மூலங்களிலிருந்தும். உதாரணமாக, அட்டவணையில். பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் (10,000 மும்மடங்குகள்) விரிவான அட்டவணையில் இருந்து 4 சாய்வு செய்யப்பட்ட மும்மடங்குகள் (10,000 மும்மடங்குகள்) கணினி நிரலின் அடிப்படையில் தொடர்பு (2) மற்றும் தடித்த வகை - உறவால் கணக்கிடப்படும் மும்மடங்குகள் (20). இந்த மதிப்புகள் குறிப்பிட்ட அட்டவணையில் இல்லை.

அட்டவணை 4

"s-8" வகுப்பின் பித்தகோரியன் டிரிபிள்ஸ்

அதன்படி, படிவத்தின் மூன்று மடங்குகளுக்கு, பின்வரும் உறவுகளைப் பயன்படுத்தலாம்:

மற்றும் படிவத்தின் மும்மடங்குகளுக்கு<>, எங்களிடம் விகிதம் உள்ளது:

மேலே உள்ள மூன்று வகைகளான "c - 1", "c - 2", "c - 8" ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட அட்டவணையில் இருந்து முதல் ஆயிரம் மும்மடங்கில் 90% க்கும் அதிகமானவை என்பதை வலியுறுத்த வேண்டும். இது இந்த வகுப்புகளை அடிப்படையாகக் கருதுவதற்கான காரணத்தை அளிக்கிறது. உறவுகளைப் பெறும்போது (22), (23), (24), எண் கோட்பாட்டில் (பிரதமம், காபிரைம், முதலியன) ஆய்வு செய்யப்பட்ட எண்களின் சிறப்பு பண்புகள் எதுவும் பயன்படுத்தப்படவில்லை. பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் உருவாக்கத்தில் வெளிப்படுத்தப்பட்ட ஒழுங்குமுறைகள் இந்த மும்மடங்குகளால் விவரிக்கப்பட்ட வடிவியல் உருவங்களின் அமைப்பு பண்புகளால் மட்டுமே - சதுரங்கள், அலகு சதுரங்களின் தொகுப்பைக் கொண்டிருக்கும்.

முடிவுரை

இப்போது, ​​1993 இல் ஆண்ட்ரூ வைல்ஸ் கூறியது போல், "நான் அங்கு நிறுத்த வேண்டும் என்று நினைக்கிறேன்." நிர்ணயிக்கப்பட்ட இலக்கு முழுமையாக அடையப்பட்டுள்ளது. பகுப்பாய்வின் செயல்பாட்டில், முற்றிலும் கணிதக் கணக்கீடுகளுடன், ஆய்வின் கீழ் உள்ள மாதிரிகளின் வடிவியல் பண்புகளை எடுத்துக் கொண்டால், கணித மாதிரிகளின் பண்புகளின் பகுப்பாய்வு, வடிவியல் புள்ளிவிவரங்களுடன் தொடர்புடைய அமைப்பு, பெரிதும் எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது. கணக்கில். குறிப்பாக, கணித மாற்றங்களைச் செய்யாமல் ஆராய்ச்சியாளர் விரும்பிய முடிவுகளை "பார்க்கிறார்" என்பதன் காரணமாக எளிமைப்படுத்தல் அடையப்படுகிறது.

உதாரணமாக, சமத்துவம்

அதன் இடது பக்கத்தில் மாற்றங்கள் இல்லாமல் தெளிவாகிறது, ஒருவர் அத்தியை மட்டுமே பார்க்க வேண்டும். இந்த சமத்துவத்தின் வரைகலை மாதிரிக்கு 1.

இதன் விளைவாக, நிகழ்த்தப்பட்ட பகுப்பாய்வின் அடிப்படையில், ஒரு பக்கத்துடன் கூடிய எந்த சதுரத்திற்கும், b மற்றும் c பக்கங்களைக் கொண்ட சதுரங்களைக் காணலாம், அதாவது சமத்துவம் அவர்களுக்கு திருப்தி அளிக்கும் மற்றும் குறைந்தபட்ச தொகையுடன் முடிவுகளை வழங்கும் உறவுகள் பெறப்படுகின்றன. கணக்கீடுகள்:

ஒற்றைப்படை மதிப்புகளுக்கு a,

மற்றும் - சம மதிப்புகளுக்கு.

நூலியல் இணைப்பு

பெஸ்க்ரோவ்னி ஐ.எம். பித்தகோரியன் டிரிபிள்ஸின் பண்புகளின் அமைப்பு பகுப்பாய்வு // நவீன அறிவியல்-தீவிர தொழில்நுட்பங்கள். - 2013. - எண் 11. - பி. 135-142;
URL: http://site/ru/article/view?id=33537 (அணுகல் தேதி: 03/20/2020). "அகாடமி ஆஃப் நேச்சுரல் ஹிஸ்டரி" என்ற பதிப்பகத்தால் வெளியிடப்பட்ட பத்திரிகைகளை உங்கள் கவனத்திற்குக் கொண்டு வருகிறோம்.

பெலோடெலோவ் வி.ஏ. பித்தகோரியன் மும்மடங்கு மற்றும் அவற்றின் எண் // நெஸ்டெரோவ்ஸின் என்சைக்ளோபீடியா

இந்த கட்டுரை ஒரு பேராசிரியருக்கான பதில் - ஒரு பிஞ்சர். பேராசிரியர், எங்கள் கிராமத்தில் எப்படி செய்கிறார்கள் என்று பாருங்கள்.

நிஸ்னி நோவ்கோரோட் பகுதி, ஜாவோல்ஷியே.

Diophantine சமன்பாடுகளை (ADDE) தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையின் அறிவு மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவை முன்னேற்றங்கள் பற்றிய அறிவு தேவை.

IF என்பது ஒரு முதன்மை எண்.

MF என்பது ஒரு கூட்டு எண்.

ஒற்றைப்படை எண் N இருக்கட்டும். ஒன்றைத் தவிர வேறு எந்த ஒற்றைப்படை எண்ணுக்கும், நீங்கள் ஒரு சமன்பாட்டை எழுதலாம்.

ப 2 + N \u003d q 2,

இங்கு р + q = N, q – р = 1.

எடுத்துக்காட்டாக, 21 மற்றும் 23 எண்களுக்கு, சமன்பாடுகள், -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

N முதன்மையாக இருந்தால், இந்த சமன்பாடு தனித்துவமானது. எண் N என்பது கலவையாக இருந்தால், 1 x N உட்பட இந்த எண்ணைக் குறிக்கும் காரணிகளின் ஜோடிகளின் எண்ணிக்கைக்கு ஒத்த சமன்பாடுகளை உருவாக்க முடியும்.

N = 45 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம், -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

நான் கனவு கண்டேன்.

குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்;

கீழ் சமன்பாட்டை மாற்றுவோம், -

N \u003d இல் 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

உள்ள அளவுகோலின்படி N இன் மதிப்புகளை குழுவாக்கலாம் - a, i.e. ஒரு அட்டவணை செய்வோம்.

N எண்கள் ஒரு அணியில் சுருக்கப்பட்டுள்ளன, -

இந்தப் பணிக்காகத்தான் நான் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் அவற்றின் மெட்ரிக்குகளின் முன்னேற்றங்களைக் கையாள வேண்டியிருந்தது. எல்லாம் வீணாக மாறியது - பிசிஎச் பாதுகாப்பு சக்தி வாய்ந்தது. அட்டவணை 1 இல் ஒரு நெடுவரிசையை உள்ளிடுவோம், அதில் - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

மீண்டும் ஒருமுறை. IF மற்றும் MF ஐ அடையாளம் காணும் சிக்கலைத் தீர்க்கும் முயற்சியின் விளைவாக அட்டவணை 2 பெறப்பட்டது. எந்த எண் N க்கும், 2 இல் 2 + N \u003d வடிவத்தின் பல சமன்பாடுகள் உள்ளன, காரணி 1 x N உட்பட, N எண்ணை எத்தனை ஜோடி காரணிகளாகப் பிரிக்கலாம். கூடுதலாக எண்கள் N \u003d ℓ 2, எங்கே

ℓ - எஃப்சி. N = ℓ 2 க்கு, ℓ IF ஆக இருக்கும் இடத்தில், p 2 + N = q 2 என்ற தனித்துவமான சமன்பாடு உள்ளது. ஒன்று முதல் ∞ வரை N ஐ உருவாக்கும் ஜோடி காரணிகளிலிருந்து சிறிய காரணிகளை அட்டவணை பட்டியலிட்டால் என்ன கூடுதல் ஆதாரம் பற்றி பேசலாம். நாங்கள் அட்டவணை 2 ஐ ஒரு மார்பில் வைப்போம், மேலும் மார்பை ஒரு அலமாரியில் மறைப்போம்.

கட்டுரையின் தலைப்பில் கூறப்பட்டுள்ள தலைப்புக்கு வருவோம்.

இந்த கட்டுரை ஒரு பேராசிரியருக்கான பதில் - ஒரு பிஞ்சர்.

நான் உதவி கேட்டேன் - இணையத்தில் என்னால் கண்டுபிடிக்க முடியாத எண்களின் தொடர் தேவை. "எதற்கு?", "ஆனால் எனக்கு முறையைக் காட்டுங்கள்" போன்ற கேள்விகளை நான் எதிர்கொண்டேன். குறிப்பாக, பித்தகோரியன் மும்மூர்த்திகளின் தொடர் எல்லையற்றதா, "எப்படி நிரூபிப்பது?" என்ற கேள்வி இருந்தது. அவர் எனக்கு உதவவில்லை. பேராசிரியர், எங்கள் கிராமத்தில் எப்படி செய்கிறார்கள் என்று பாருங்கள்.

பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் சூத்திரத்தை எடுத்துக் கொள்வோம், -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (ஒன்று)

ARDU வழியாக செல்வோம்.

மூன்று சூழ்நிலைகள் சாத்தியம்:

I. x என்பது ஒற்றைப்படை எண்,

y என்பது இரட்டை எண்

z என்பது இரட்டை எண்.

மேலும் x > y > z என்ற நிபந்தனை உள்ளது.

II. x என்பது ஒற்றைப்படை எண்

y என்பது இரட்டை எண்

z என்பது ஒற்றைப்படை எண்.

x > z > y.

III.x - ஒரு இரட்டை எண்,

y என்பது ஒற்றைப்படை எண்

z என்பது ஒற்றைப்படை எண்.

x > y > z.

ஐயில் இருந்து ஆரம்பிக்கலாம்.

புதிய மாறிகளை அறிமுகப்படுத்துவோம்

சமன்பாட்டில் மாற்றவும் (1).

சிறிய மாறி 2γ மூலம் ரத்து செய்யலாம்.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

ஒரு புதிய அளவுருவின் ஒரே நேரத்தில் அறிமுகம் ƒ, - என்ற மாறி 2β – 2γஐ சிறியதாகக் குறைப்போம்.

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

பின்னர், 2α - 2β = x - y - 1.

சமன்பாடு (2) வடிவம் எடுக்கும், -

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

அதை சதுரமாக்குவோம் -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU சமன்பாட்டின் மூத்த சொற்களுக்கு இடையிலான உறவை அளவுருக்கள் மூலம் வழங்குகிறது, எனவே சமன்பாடு (3) கிடைத்தது.

தீர்வுகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதைக் கையாள்வது திடமானதல்ல. ஆனால், முதலில், எங்கும் செல்ல முடியாது, இரண்டாவதாக, இவற்றில் பல தீர்வுகள் தேவைப்படுகின்றன, மேலும் எண்ணற்ற தீர்வுகளை நாம் மீட்டெடுக்க முடியும்.

ƒ = 1, k = 1 க்கு, எங்களிடம் x – y = 1 உள்ளது.

ƒ = 12, k = 16 உடன், எங்களிடம் x - y = 9 உள்ளது.

ƒ = 4, k = 32 உடன், எங்களிடம் x - y = 25 உள்ளது.

நீங்கள் அதை நீண்ட நேரம் எடுக்கலாம், ஆனால் இறுதியில் தொடர் வடிவம் எடுக்கும் -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

விருப்பம் II ஐக் கவனியுங்கள்.

சமன்பாட்டில் புதிய மாறிகளை அறிமுகப்படுத்துவோம் (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

நாம் ஒரு சிறிய மாறி 2 β ஆல் குறைக்கிறோம், -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

சிறிய மாறி 2α – 2β, – மூலம் குறைப்போம்

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (நான்கு)

2α - 2γ = x - z மற்றும் சமன்பாட்டில் மாற்றீடு (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

ƒ = 3, k = 4 உடன், எங்களிடம் x - z = 2 உள்ளது.

ƒ = 8, k = 14 உடன், எங்களிடம் x - z = 8 உள்ளது.

ƒ = 3, k = 24 உடன், எங்களிடம் x - z = 18 உள்ளது.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

ஒரு ட்ரேப்சாய்டை வரைவோம் -

ஒரு சூத்திரம் எழுதுவோம்.

எங்கே n=1, 2,...∞.

வழக்கு III விவரிக்கப்படாது - அங்கு தீர்வுகள் இல்லை.

நிபந்தனை II க்கு, மூன்று மடங்குகளின் தொகுப்பு பின்வருமாறு இருக்கும்:

சமன்பாடு (1) தெளிவுக்காக x 2 = z 2 + y 2 என வழங்கப்படுகிறது.

நிபந்தனை Iக்கு, மூன்று மடங்குகளின் தொகுப்பு பின்வருமாறு இருக்கும்:

மொத்தத்தில், 9 நெடுவரிசைகள் மூன்று மடங்காக வரையப்பட்டுள்ளன, ஒவ்வொன்றிலும் ஐந்து மூன்று மடங்குகள். மேலும் வழங்கப்பட்ட நெடுவரிசைகள் ஒவ்வொன்றும் ∞ வரை எழுதப்படலாம்.

உதாரணமாக, x - y \u003d 81 என்ற கடைசி நெடுவரிசையின் மும்மடங்குகளைக் கவனியுங்கள்.

x இன் மதிப்புகளுக்கு, நாம் ஒரு ட்ரெப்சாய்டை எழுதுகிறோம், -

சூத்திரத்தை எழுதுவோம்

மதிப்புகளுக்கு நாம் ஒரு ட்ரேப்சாய்டை எழுதுகிறோம், -

சூத்திரத்தை எழுதுவோம்

Z இன் மதிப்புகளுக்கு, நாம் ஒரு ட்ரெப்சாய்டை எழுதுகிறோம், -

சூத்திரத்தை எழுதுவோம்

எங்கே n = 1 ÷ ∞.

உறுதியளித்தபடி, x - y = 81 உடன் மும்மடங்குகளின் தொடர் ∞க்கு பறக்கிறது.

x, y, z க்கான மெட்ரிக்ஸை உருவாக்க I மற்றும் II வழக்குகளுக்கு ஒரு முயற்சி இருந்தது.

மேல் வரிசைகளிலிருந்து x இன் கடைசி ஐந்து நெடுவரிசைகளை எழுதி, ஒரு ட்ரேப்சாய்டை உருவாக்கவும்.

இது வேலை செய்யவில்லை, மற்றும் முறை இருபடி இருக்க வேண்டும். எல்லாவற்றையும் ஓப்பன்வொர்க்கில் செய்ய, I மற்றும் II நெடுவரிசைகளை இணைப்பது அவசியம் என்று மாறியது.

வழக்கு II இல், y, z அளவுகள் மீண்டும் ஒன்றுக்கொன்று மாற்றப்படும்.

ஒரு காரணத்திற்காக நாங்கள் ஒன்றிணைக்க முடிந்தது - இந்த பணியில் அட்டைகள் நன்றாக பொருந்துகின்றன - நாங்கள் அதிர்ஷ்டசாலிகள்.

இப்போது நீங்கள் x, y, z க்கு மெட்ரிக்குகளை எழுதலாம்.

மேல் வரிசைகளிலிருந்து x மதிப்பின் கடைசி ஐந்து நெடுவரிசைகளில் இருந்து எடுத்து ஒரு ட்ரேப்சாய்டை உருவாக்குவோம்.

எல்லாம் நன்றாக இருக்கிறது, நீங்கள் மெட்ரிக்குகளை உருவாக்கலாம், மேலும் zக்கான மேட்ரிக்ஸுடன் ஆரம்பிக்கலாம்.

நான் ஒரு மார்புக்காக அலமாரிக்கு ஓடுகிறேன்.

மொத்தம்: ஒன்றுக்கு கூடுதலாக, எண் அச்சின் ஒவ்வொரு ஒற்றைப்படை எண்ணும் பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் உருவாக்கத்தில் பங்கு கொள்கிறது, இந்த எண் N ஐ உருவாக்கும் காரணிகளின் சம எண்ணிக்கையிலான ஜோடிகளால், காரணி 1 x N உட்பட.

எண் N \u003d ℓ 2, அங்கு ℓ - IF, ஒரு பித்தகோரியன் ட்ரிப்பிள் உருவாக்குகிறது, ℓ MF ஆக இருந்தால், காரணிகளில் மும்மடங்கு இல்லை.

x, y க்கான மெட்ரிக்குகளை உருவாக்குவோம்.

xக்கான மேட்ரிக்ஸில் ஆரம்பிக்கலாம். இதைச் செய்ய, IF மற்றும் MF ஐ அடையாளம் காண்பதில் உள்ள சிக்கலில் இருந்து ஒருங்கிணைப்பு கட்டத்தை இழுப்போம்.

செங்குத்து வரிசைகளின் எண்ணிக்கை வெளிப்பாடு மூலம் இயல்பாக்கப்படுகிறது

முதல் நெடுவரிசையை அகற்றுவோம், ஏனெனில்

அணி வடிவம் எடுக்கும் -

செங்குத்து வரிசைகளை விவரிப்போம், -

குணகங்களை "a" இல் விவரிப்போம், -

இலவச உறுப்பினர்களை விவரிப்போம், -

"x"க்கான பொதுவான சூத்திரத்தை உருவாக்குவோம், -

"y" க்கு இதேபோன்ற வேலையைச் செய்தால், நமக்கு கிடைக்கும் -

இந்த முடிவை நீங்கள் மறுபக்கத்திலிருந்து அணுகலாம்.

சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம்,

மற்றும் 2 + N = 2 இல்.

கொஞ்சம் மாற்றுவோம் -

N \u003d இல் 2 - a 2.

அதை சதுரமாக்குவோம் -

N 2 \u003d இல் 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில், அளவு 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d in 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

இறுதியாக -

(2 + a 2 இல்) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

பித்தகோரியன் மும்மூர்த்திகள் பின்வருமாறு தொகுக்கப்பட்டுள்ளன:

N = 117 என்ற எண்ணுடன் ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

அட்டவணை 2 இன் செங்குத்து நெடுவரிசைகள் - a இன் மதிப்புகளுடன் எண்ணப்பட்டுள்ளன, அதே நேரத்தில் அட்டவணை 3 இன் செங்குத்து நெடுவரிசைகள் x - y மதிப்புகளுடன் எண்ணப்பட்டுள்ளன.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

மூன்று சமன்பாடுகளை உருவாக்குவோம்.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

காரணிகள் 3 மற்றும் 39 ஆகியவை ஒப்பீட்டளவில் பகா எண்கள் அல்ல, எனவே ஒரு மூன்று மடங்கு 9 காரணியாக மாறியது.

மேலே எழுதப்பட்ட பொதுவான குறியீடுகளை சித்தரிப்போம், -

இந்த வேலையில், எண்ணுடன் பித்தகோரியன் மும்மடங்கைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டு உட்பட அனைத்தும்

N = 117, சிறிய காரணியுடன் பிணைக்கப்பட்டுள்ளது - a. + அ காரணி தொடர்பாக வெளிப்படையான பாகுபாடு. இந்த அநியாயத்தை சரி செய்வோம் - + a இன் காரணியுடன் மூன்று சமன்பாடுகளை உருவாக்குவோம்.

IF மற்றும் MF ஐ அடையாளம் காணும் கேள்விக்கு திரும்புவோம்.

இந்த திசையில் நிறைய விஷயங்கள் செய்யப்பட்டுள்ளன, இன்று பின்வரும் எண்ணம் கைகளில் வந்துவிட்டது - அடையாளச் சமன்பாடு இல்லை, காரணிகளைத் தீர்மானிப்பது போன்ற எதுவும் இல்லை.

F = a, b (N) உறவைக் கண்டுபிடித்துள்ளோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

ஒரு சூத்திரம் உள்ளது

நீங்கள் ஃபார்முலா ஃபார்முலாவில் இருந்து வெளியேறலாம் மற்றும் நீங்கள் n வது பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள், அதாவது. F = a(N).

இந்த சமன்பாட்டின் எந்த டிகிரி n க்கும், m > nக்கு, m ஜோடி காரணிகளுடன் N எண் உள்ளது.

இதன் விளைவாக, பட்டம் n இன் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு m வேர்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.

ஆம், இது இருக்க முடியாது.

இந்தத் தாளில், N எண்கள் x 2 = y 2 + z 2 என்ற சமன்பாட்டிற்குக் கருதப்பட்டது, அவை z இடத்தில் சமன்பாட்டில் இருக்கும் போது. x இன் இடத்தில் N இருக்கும்போது, ​​இது மற்றொரு பணி.

உண்மையுள்ள, பெலோடெலோவ் வி.ஏ.

நில அளவையாளர்களால் தரையில் செங்குத்தாக கோடுகளை வரைவதற்கு வசதியான மற்றும் மிகவும் துல்லியமான முறை பின்வருமாறு. புள்ளி A (படம் 13) மூலம் MN கோட்டிற்கு செங்குத்தாக வரைய வேண்டும். A இலிருந்து AM திசையில் மூன்று மடங்கு சிறிது தூரம் a. பின்னர் தண்டு மீது மூன்று முடிச்சுகள் கட்டப்பட்டுள்ளன, அவற்றுக்கிடையேயான தூரம் 4a மற்றும் 5a ஆகும். A மற்றும் B புள்ளிகளுடன் தீவிர முடிச்சுகளை இணைத்து, நடு முடிச்சின் மேல் வடத்தை இழுக்கவும். தண்டு ஒரு முக்கோணத்தில் அமைந்திருக்கும், இதில் கோணம் A வலதுபுறமாக இருக்கும்.

இந்த பண்டைய முறை, ஆயிரக்கணக்கான ஆண்டுகளுக்கு முன்பு எகிப்திய பிரமிடுகளைக் கட்டுபவர்களால் பயன்படுத்தப்பட்டது, இது ஒவ்வொரு முக்கோணமும், அதன் பக்கங்களும் 3:4:5 என நன்கு அறியப்பட்ட பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி தொடர்புடையவை என்பதை அடிப்படையாகக் கொண்டது. வலது கோணம், முதல்

3 2 + 4 2 = 5 2 .

3, 4, 5 எண்களுக்கு கூடுதலாக, அறியப்பட்டபடி, எண்ணற்ற நேர்மறை முழு எண்கள் a, b, c, உறவை திருப்திப்படுத்துகிறது.

A 2 + b 2 \u003d c 2.

அவை பித்தகோரியன் எண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி, அத்தகைய எண்கள் சில செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளமாக செயல்படும்; எனவே, a மற்றும் b "கால்கள்" என்றும், c "ஹைபோடென்யூஸ்" என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன.

a, b, c பித்தகோரியன் எண்களின் மும்மடங்காக இருந்தால், p என்பது ஒரு முழு எண் காரணியாக இருக்கும் pa, pb, pc ஆகியவை பித்தகோரியன் எண்கள் என்பது தெளிவாகிறது. மாறாக, பித்தகோரியன் எண்களுக்கு பொதுவான காரணி இருந்தால், இந்த பொதுவான காரணி மூலம் நீங்கள் அனைத்தையும் குறைக்கலாம், மீண்டும் நீங்கள் பித்தகோரியன் எண்களின் மூன்று மடங்குகளைப் பெறுவீர்கள். எனவே, நாம் முதலில் காபிரைம் பித்தகோரியன் எண்களின் மூன்று மடங்குகளை மட்டுமே படிப்போம் (மீதமுள்ளவை முழு எண் காரணி p ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் அவற்றிலிருந்து பெறப்படுகின்றன).

அத்தகைய மும்மடங்குகள் ஒவ்வொன்றிலும் a, b, c "கால்களில்" ஒன்று சமமாகவும் மற்றொன்று ஒற்றைப்படையாகவும் இருக்க வேண்டும் என்பதைக் காட்டுவோம். "மாறாக" வாதிடுவோம். "கால்" a மற்றும் b இரண்டும் சமமாக இருந்தால், a 2 + b 2 என்ற எண் சமமாக இருக்கும், எனவே "ஹைபோடென்யூஸ்". எவ்வாறாயினும், இது a, b, c எண்களுக்கு பொதுவான காரணிகள் இல்லை என்ற உண்மைக்கு முரண்படுகிறது, ஏனெனில் மூன்று இரட்டை எண்களுக்கு பொதுவான காரணி 2 உள்ளது. எனவே, "கால்களில்" குறைந்தபட்சம் a, b ஒற்றைப்படை.

இன்னும் ஒரு வாய்ப்பு உள்ளது: இரண்டு "கால்களும்" ஒற்றைப்படை, மற்றும் "ஹைபோடென்யூஸ்" சமமானது. இது முடியாது என்பதை நிரூபிப்பது எளிது. உண்மையில், "கால்கள்" வடிவம் இருந்தால்

2x + 1 மற்றும் 2y + 1,

பின்னர் அவற்றின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 \u003d 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

அதாவது, இது 4 ஆல் வகுக்கும் போது, ​​2 இன் மீதியைக் கொடுக்கும் ஒரு எண். இதற்கிடையில், எந்த இரட்டை எண்ணின் வர்க்கமும் மீதி இல்லாமல் 4 ஆல் வகுபட வேண்டும். எனவே இரண்டு ஒற்றைப்படை எண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை இரட்டை எண்ணின் வர்க்கமாக இருக்க முடியாது; வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எங்கள் மூன்று எண்கள் பித்தகோரியன் அல்ல.

எனவே, "கால்களில்" இருந்து a, b, ஒன்று சமமாகவும் மற்றொன்று ஒற்றைப்படையாகவும் இருக்கும். எனவே, a 2 + b 2 என்ற எண் ஒற்றைப்படை, அதாவது "ஹைபோடென்யூஸ்" c என்பதும் ஒற்றைப்படை.

திட்டவட்டமாக, அந்த ஒற்றைப்படை "கால்" a, மற்றும் b கூட என்று வைத்துக்கொள்வோம். சமத்துவத்தில் இருந்து

a 2 + b 2 = c 2

நாம் எளிதாகப் பெறுகிறோம்:

A 2 \u003d c 2 - b 2 \u003d (c + b) (c - b).

வலது பக்கத்தில் உள்ள c + b மற்றும் c - b காரணிகள் coprime ஆகும். உண்மையில், இந்த எண்களுக்கு ஒன்று தவிர வேறு பொதுவான முதன்மைக் காரணி இருந்தால், கூட்டுத்தொகை இந்தக் காரணியால் வகுபடும்.

(c + b) + (c - b) = 2c,

மற்றும் வேறுபாடு

(c + b) - (c - b) = 2b,

மற்றும் வேலை

(c + b) (c - b) \u003d a 2,

அதாவது எண்கள் 2c, 2b மற்றும் a ஆகியவை பொதுவான காரணியைக் கொண்டிருக்கும். a ஒற்றைப்படை என்பதால், இந்த காரணி இரண்டிலிருந்து வேறுபட்டது, எனவே a, b, c எண்கள் ஒரே பொதுவான காரணியைக் கொண்டுள்ளன, இருப்பினும், இது இருக்க முடியாது. இதன் விளைவாக வரும் முரண்பாடு c + b மற்றும் c - b எண்கள் coprime என்று காட்டுகிறது.

ஆனால் காபிரைம் எண்களின் பலன் சரியான சதுரமாக இருந்தால், அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு சதுரம், அதாவது.

இந்த அமைப்பைத் தீர்ப்பதில், நாங்கள் காண்கிறோம்:

C \u003d (m 2 + n 2) / 2, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, மற்றும் 2 \u003d (c + b) (c - b) \u003d m 2 n 2, a \u003d mn

எனவே, கருதப்படும் பித்தகோரியன் எண்களுக்கு வடிவம் உள்ளது

A \u003d mn, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, c \u003d (m 2 + n 2) / 2.

m மற்றும் n ஆகியவை சில ஒற்றைப்படை ஒற்றைப்படை எண்கள். வாசகர் எளிதாக எதிர் சரிபார்க்க முடியும்: எந்த ஒற்றைப்படை வகைக்கும், எழுதப்பட்ட சூத்திரங்கள் மூன்று பித்தகோரியன் எண்களைக் கொடுக்கின்றன a, b, c.

பல்வேறு வகைகளில் பெறப்பட்ட பித்தகோரியன் எண்களின் சில மும்மடங்குகள் இங்கே:

m = 3க்கு, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 க்கு m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 m க்கு = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 at m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 at m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 இல் m = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 க்கு m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 க்கு m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 at m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 at m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 at m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 at m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 at m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 at m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(பித்தகோரியன் எண்களின் மற்ற மூன்று மடங்குகளும் பொதுவான காரணிகளைக் கொண்டிருக்கின்றன அல்லது நூற்றுக்கும் அதிகமான எண்களைக் கொண்டிருக்கின்றன.)

செர்வியாக் விட்டலி

பதிவிறக்க Tamil:

முன்னோட்ட:

பள்ளி மாணவர்களின் அறிவியல் திட்டங்களின் போட்டி

பிராந்திய அறிவியல் மற்றும் நடைமுறை மாநாட்டின் கட்டமைப்பிற்குள் "யுரேகா"

குபனின் மாணவர்களின் மைனர் அகாடமி ஆஃப் சயின்ஸ்

பித்தகோரியன் எண்களின் ஆய்வு

கணிதப் பிரிவு.

செர்வியாக் விட்டலி ஜெனடிவிச், தரம் 9

MOBU SOSH எண் 14

கோரெனோவ்ஸ்கி மாவட்டம்

கலை. ஜுரவ்ஸ்கயா

அறிவியல் ஆலோசகர்:

மான்கோ கலினா வாசிலீவ்னா

கணித ஆசிரியர்

MOBU SOSH எண் 14

கொரெனோவ்ஸ்க் 2011

செர்வியாக் விட்டலி ஜெனடிவிச்

பித்தகோரியன் எண்கள்

சிறுகுறிப்பு.

ஆராய்ச்சி தலைப்பு:பித்தகோரியன் எண்கள்

ஆராய்ச்சி நோக்கங்கள்:

ஆராய்ச்சி நோக்கங்கள்:

• கணித திறன்களின் அடையாளம் மற்றும் வளர்ச்சி;
• தலைப்பில் கணித பிரதிநிதித்துவத்தின் விரிவாக்கம்;
• பொருளில் நிலையான ஆர்வத்தை உருவாக்குதல்;
• சுயாதீன வேலையின் தகவல்தொடர்பு மற்றும் பொது கல்வி திறன்களின் வளர்ச்சி, ஒரு விவாதத்தை நடத்தும் திறன், வாதிடுதல், முதலியன;
• பகுப்பாய்வு மற்றும் தர்க்கரீதியான சிந்தனையின் உருவாக்கம் மற்றும் வளர்ச்சி;

ஆராய்ச்சி முறைகள்:

• இணைய வளங்களைப் பயன்படுத்துதல்;
• குறிப்பு இலக்கியத்திற்கான அணுகல்;
• ஒரு பரிசோதனையை நடத்துதல்;

முடிவுரை:

• இந்த வேலையை வடிவியல் பாடத்தில் கூடுதல் பொருளாகப் பயன்படுத்தலாம், கணிதத்தில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட படிப்புகள் அல்லது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட படிப்புகளை நடத்துவதற்கும், அத்துடன் கணிதத்தில் பாடநெறிக்கு அப்பாற்பட்ட வேலைகளுக்கும் பயன்படுத்தலாம்;

செர்வியாக் விட்டலி ஜெனடிவிச்

கிராஸ்னோடர் பிரதேசம், கிராமம் ஜுரவ்ஸ்கயா, MOBU மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 14, தரம் 9

பித்தகோரியன் எண்கள்

மேற்பார்வையாளர்: Manko Galina Vasilievna, கணித ஆசிரியர், MOBU மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 14

1. அறிமுகம்……………………………………………………………… 3
2. முக்கிய பாகம்

2.1 வரலாற்றுப் பக்கம்………………………………………………………………

2.2 சம மற்றும் ஒற்றைப்படை கால்களுக்கான ஆதாரம்............................................ .........5-6

2.3 கண்டுபிடிப்பதற்கான வடிவத்தின் வழித்தோன்றல்

பித்தகோரியன் எண்கள் ……………………………………………………… 7

2.4 பித்தகோரியன் எண்களின் பண்புகள் ……………………………………………… 8

3. முடிவு …………………………………………………………………………. 9

4. பயன்படுத்தப்பட்ட ஆதாரங்கள் மற்றும் இலக்கியங்களின் பட்டியல்…………………… 10

விண்ணப்பங்கள் .................................................. .................................................. .....பதினொன்று

பின்னிணைப்பு I……………………………………………………………………………….11

இணைப்பு II…………………………………………………………………….13

செர்வியாக் விட்டலி ஜெனடிவிச்

கிராஸ்னோடர் பிரதேசம், கிராமம் ஜுரவ்ஸ்கயா, MOBU மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 14, தரம் 9

பித்தகோரியன் எண்கள்

மேற்பார்வையாளர்: Manko Galina Vasilievna, கணித ஆசிரியர், MOBU மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 14

அறிமுகம்

கணித பாடத்தில் ஐந்தாம் வகுப்பில் பித்தகோரஸ் மற்றும் அவரது வாழ்க்கையைப் பற்றி கேள்விப்பட்டேன், மேலும் "பித்தகோரியன் கால்சட்டை எல்லா திசைகளிலும் சமம்" என்ற அறிக்கையில் ஆர்வமாக இருந்தேன். பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் படிக்கும் போது, ​​பித்தகோரியன் எண்களில் ஆர்வம் ஏற்பட்டது.ஆய்வின் நோக்கம்: பித்தகோரியன் தேற்றம் மற்றும் "பித்தகோரியன் எண்கள்" பற்றி மேலும் அறிக.

தலைப்பின் பொருத்தம். பித்தகோரியன் தேற்றம் மற்றும் பித்தகோரியன் மும்மடங்கின் மதிப்பு பல நூற்றாண்டுகளாக உலகெங்கிலும் உள்ள பல விஞ்ஞானிகளால் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. எனது படைப்பில் விவாதிக்கப்படும் சிக்கல் மிகவும் எளிமையானது, ஏனெனில் இது அனைவருக்கும் தெரிந்த ஒரு கணித அறிக்கையை அடிப்படையாகக் கொண்டது - பித்தகோரியன் தேற்றம்: எந்த செங்கோண முக்கோணத்திலும், ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட சதுரம் அதன் மீது கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். கால்கள். இப்போது x, y, z என்ற இயற்கை எண்களின் மும்மடங்கு x 2 + y 2 = z 2 , பொதுவாக அழைக்கப்படுகிறதுபித்தகோரியன் மும்மூர்த்திகள். பித்தகோரியன் மும்மடங்கு ஏற்கனவே பாபிலோனில் அறியப்பட்டது என்று மாறிவிடும். படிப்படியாக, கிரேக்க கணிதவியலாளர்களும் அவற்றைக் கண்டுபிடித்தனர்.

இந்த வேலையின் நோக்கம்

1. பித்தகோரியன் எண்களை ஆராயுங்கள்;
2. பித்தகோரியன் எண்கள் எவ்வாறு பெறப்படுகின்றன என்பதைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள்;
3. பித்தகோரியன் எண்கள் என்ன பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதைக் கண்டறியவும்;
4. பித்தகோரியன் எண்களைப் பயன்படுத்தி சோதனை முறையில் தரையில் செங்குத்தாகக் கோடுகளை உருவாக்குங்கள்;

பணியின் நோக்கத்திற்கு ஏற்ப, பின்வருவனவற்றில் பலபணிகள்:

1. பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் வரலாற்றின் ஆழமான ஆய்வு;

2. பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் உலகளாவிய பண்புகளின் பகுப்பாய்வு.

3. பித்தகோரியன் ட்ரிப்பிள்களின் நடைமுறை பயன்பாட்டின் பகுப்பாய்வு.

ஆய்வு பொருள்: பித்தகோரியன் மும்மடங்கு.

ஆய்வுப் பொருள்: கணிதம் .

ஆராய்ச்சி முறைகள்: - இணைய வளங்களைப் பயன்படுத்துதல்; - குறிப்பு இலக்கியத்திற்கு மேல்முறையீடு; - ஒரு பரிசோதனையை நடத்துதல்;

தத்துவார்த்த முக்கியத்துவம்:அறிவியலில் பித்தகோரியன் மும்மடங்கு கண்டுபிடிப்பின் பங்கு; மனித வாழ்க்கையில் பித்தகோரஸின் கண்டுபிடிப்பின் நடைமுறை பயன்பாடு.

பயன்பாட்டு மதிப்புஆராய்ச்சி இலக்கிய ஆதாரங்களின் பகுப்பாய்வு மற்றும் உண்மைகளை முறைப்படுத்துதல் ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது.

செர்வியாக் விட்டலி ஜெனடிவிச்

கிராஸ்னோடர் பிரதேசம், கிராமம் ஜுரவ்ஸ்கயா, MOBU மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 14, தரம் 9

பித்தகோரியன் எண்கள்

மேற்பார்வையாளர்: Manko Galina Vasilievna, கணித ஆசிரியர், MOBU மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 14

பித்தகோரியன் எண்களின் வரலாற்றிலிருந்து.

• பண்டைய சீனா:

சு-பே கணித புத்தகம்:[ 2]

"சரியான கோணம் அதன் கூறு பாகங்களாக சிதைந்தால், அதன் பக்கங்களின் முனைகளை இணைக்கும் கோடு 5 ஆகவும், அடித்தளம் 3 ஆகவும், உயரம் 4 ஆகவும் இருக்கும்."

• பண்டைய எகிப்து: [2]

கேன்டர் (கணிதத்தின் மிகப்பெரிய ஜெர்மன் வரலாற்றாசிரியர்) சமத்துவம் என்று நம்புகிறார் 3² + 4² = 5² கிமு 2300 இல் எகிப்தியர்களுக்கு ஏற்கனவே தெரிந்திருந்தது. இ., மன்னர் காலத்தில்அமெனெம்ஹெட் (பெர்லின் அருங்காட்சியகத்தின் பாப்பிரஸ் 6619 இன் படி). காண்டரின் கூற்றுப்படிஹார்பிடோனாப்ட்ஸ், அல்லது "ரோப் டென்ஷனர்கள்", 3 பக்கங்களைக் கொண்ட செங்கோண முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்தி செங்கோணங்கள் கட்டப்பட்டன; 4 மற்றும் 5.

• பாபிலோனியா: [3]

"தலேஸ், பித்தகோரஸ் மற்றும் பித்தகோரியன்ஸ் போன்ற முதல் கிரேக்க கணிதவியலாளர்களின் தகுதியானது கணிதத்தின் கண்டுபிடிப்பு அல்ல, ஆனால் அதன் முறைப்படுத்தல் மற்றும் நியாயப்படுத்தல் ஆகும். அவர்களின் கைகளில், தெளிவற்ற யோசனைகளின் அடிப்படையிலான கணக்கீட்டு செய்முறைகள் ஒரு துல்லியமான அறிவியலாக மாறிவிட்டன.

• பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் வரலாறு:,

இந்த தேற்றம் பித்தகோரஸின் பெயருடன் தொடர்புடையது என்றாலும், அது அவருக்கு நீண்ட காலத்திற்கு முன்பே அறியப்பட்டது.

பாபிலோனிய நூல்களில், அவள் பித்தகோரஸுக்கு 1200 ஆண்டுகளுக்கு முன்பு நடந்தாள்.

வெளிப்படையாக, அவர் அதன் ஆதாரத்தை முதலில் கண்டுபிடித்தார். இது சம்பந்தமாக, பின்வரும் நுழைவு செய்யப்பட்டது: "... ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் ஹைப்போடென்யூஸ் கால்களுக்கு ஒத்திருப்பதைக் கண்டுபிடித்தபோது, ​​அவர் கோதுமை மாவைக் கொண்டு செய்யப்பட்ட காளையை பலியிட்டார்."

செர்வியாக் விட்டலி ஜெனடிவிச்

கிராஸ்னோடர் பிரதேசம், கிராமம் ஜுரவ்ஸ்கயா, MOBU மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 14, தரம் 9

பித்தகோரியன் எண்கள்

மேற்பார்வையாளர்: Manko Galina Vasilievna, கணித ஆசிரியர், MOBU மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 14

பித்தகோரியன் எண்களின் ஆய்வு.

• ஒவ்வொரு முக்கோணமும், நன்கு அறியப்பட்ட பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி, பக்கங்களும் 3:4:5 ஆக தொடர்புடையவை, ஏனெனில்

3 2 + 4 2 = 5 2.

• 3,4 மற்றும் 5 எண்களுக்கு கூடுதலாக, உங்களுக்குத் தெரிந்தபடி, எல்லையற்ற நேர்மறை முழு எண்கள் a, b மற்றும் c ஆகியவை உள்ளன.
• A 2 + in 2 = c 2.
• இந்த எண்கள் அழைக்கப்படுகின்றனபித்தகோரியன் எண்கள்

பித்தகோரியன் மும்மடங்கு மிக நீண்ட காலமாக அறியப்படுகிறது. பழங்கால வன பொடாம் கல்லறைகளின் கட்டிடக்கலையில், 9, 12 மற்றும் 15 முழங்கள் கொண்ட இரண்டு செவ்வக வடிவங்களைக் கொண்ட ஒரு சமபக்க முக்கோணம் உள்ளது. பாரோ ஸ்னெஃப்ருவின் பிரமிடுகள் (கிமு XXVII நூற்றாண்டு) 20, 21 மற்றும் 29 பக்கங்களைக் கொண்ட முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்தி கட்டப்பட்டன, அத்துடன் 18, 24 மற்றும் 30 பத்து எகிப்திய முழங்கள்.[ 1 ]

கால்கள் 3, 4 மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் 5 கொண்ட வலது முக்கோணம் எகிப்திய முக்கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த முக்கோணத்தின் பரப்பளவு சரியான எண் 6 க்கு சமம். சுற்றளவு 12 க்கு சமம் - இது மகிழ்ச்சி மற்றும் செழிப்பின் அடையாளமாக கருதப்பட்டது.

முடிச்சுகளால் 12 சம பாகங்களாகப் பிரிக்கப்பட்ட கயிற்றின் உதவியுடன், பண்டைய எகிப்தியர்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தையும் ஒரு செங்கோணத்தையும் உருவாக்கினர். நில அளவையாளர்கள் தரையில் செங்குத்தாக கோடுகளை வரைவதற்கு வசதியான மற்றும் மிகவும் துல்லியமான முறை. ஒரு தண்டு மற்றும் மூன்று ஆப்புகளை எடுத்துக்கொள்வது அவசியம், தண்டு ஒரு முக்கோணத்தில் அமைக்கப்பட்டிருக்கும், இதனால் ஒரு பக்கத்தில் 3 பகுதிகள், இரண்டாவது 4 பங்குகள் மற்றும் ஐந்து பங்குகளில் கடைசியாக இருக்கும். தண்டு ஒரு முக்கோணத்தில் அமைந்திருக்கும், அதில் வலது கோணம் இருக்கும்.

இந்த பண்டைய முறை, ஆயிரக்கணக்கான ஆண்டுகளுக்கு முன்பு எகிப்திய பிரமிடுகளை உருவாக்குபவர்களால் பயன்படுத்தப்பட்டது, பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி 3:4:5 என பக்கங்கள் இணைக்கப்பட்டுள்ள ஒவ்வொரு முக்கோணமும் ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகும் என்ற உண்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

யூக்லிட், பிதாகரஸ், டையோபாண்டஸ் மற்றும் பலர் பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளைக் கண்டுபிடிப்பதில் ஈடுபட்டுள்ளனர்.[ 1]

என்றால் (x, y, z.) என்பது தெளிவாகிறது ) என்பது பித்தகோரியன் ட்ரிபிள், பிறகு எந்த இயற்கைக்கும்கே டிரிபிள் (kx, ky, kz ) பித்தகோரியன் மும்மடங்காகவும் இருக்கும். குறிப்பாக, (6, 8, 10), (9, 12, 15) போன்றவை. பித்தகோரியன் மும்மூர்த்திகளாகும்.

எண்கள் அதிகரிக்கும் போது, ​​பித்தகோரியன் மும்மடங்கு அரிதாகி, கண்டுபிடிப்பது கடினமாகிறது. பித்தகோரியர்கள் கண்டுபிடிக்கும் முறையைக் கண்டுபிடித்தனர்

அத்தகைய மும்மடங்கு மற்றும், அதைப் பயன்படுத்தி, எண்ணற்ற பித்தகோரியன் மும்மடங்குகள் உள்ளன என்பதை நிரூபித்தது.

1க்கு மேல் பொதுவான வகுப்பிகள் இல்லாத மும்மடங்குகள் எளிய மும்மடங்குகள் எனப்படும்.

பித்தகோரியன் மும்மடங்கின் சில பண்புகளைக் கவனியுங்கள்.[ 1]

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி, இந்த எண்கள் சில செங்கோண முக்கோணத்தின் நீளங்களாகச் செயல்படும்; எனவே, a மற்றும் b "கால்கள்" என்றும், c "ஹைபோடென்யூஸ்" என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன.
a, b, c பித்தகோரியன் எண்களின் மும்மடங்காக இருந்தால், p என்பது ஒரு முழு எண் காரணியாக இருக்கும் pa, p, pc ஆகியவை பித்தகோரியன் எண்கள் என்பது தெளிவாகிறது.
இதற்கு நேர்மாறானது உண்மையும் கூட!
எனவே, நாம் முதலில் காபிரைம் பித்தகோரியன் எண்களின் மூன்று மடங்குகளை மட்டுமே படிப்போம் (மீதமுள்ளவை முழு எண் காரணி p ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் அவற்றிலிருந்து பெறப்படுகின்றன).

அத்தகைய மும்மடங்குகள் ஒவ்வொன்றிலும் a, b, c, "கால்களில்" ஒன்று சமமாகவும் மற்றொன்று ஒற்றைப்படையாகவும் இருக்க வேண்டும் என்பதைக் காட்டுவோம். "மாறாக" வாதிடுவோம். "கால்" a மற்றும் b இரண்டும் சமமாக இருந்தால், a எண் சமமாக இருக்கும் 2 + இல் 2 , எனவே ஹைப்போடென்யூஸ். ஆனால் இது a, b மற்றும் c எண்களுக்கு பொதுவான காரணிகள் இல்லை என்ற உண்மைக்கு முரணானது, ஏனெனில் மூன்று இரட்டை எண்கள் 2 இன் பொதுவான காரணியைக் கொண்டுள்ளன. எனவே, "கால்களில்" a மற்றும் b இல் குறைந்தபட்சம் ஒன்று ஒற்றைப்படை ஆகும்.

இன்னும் ஒரு வாய்ப்பு உள்ளது: இரண்டு "கால்களும்" ஒற்றைப்படை, மற்றும் "ஹைபோடென்யூஸ்" சமமானது. "கால்கள்" 2 x + 1 மற்றும் 2y + 1 வடிவத்தைக் கொண்டிருந்தால், அவற்றின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும் என்பதால், இது முடியாது என்பதை நிரூபிப்பது எளிது.

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 = 4 (x 2 + x + y 2 + y) +2, அதாவது. 4 ஆல் வகுக்கும் போது, ​​2 இன் மீதியைக் கொடுக்கும் ஒரு எண்ணாகும். இதற்கிடையில், எந்த இரட்டை எண்ணின் வர்க்கமும் மீதி இல்லாமல் 4 ஆல் வகுபட வேண்டும்.

எனவே இரண்டு ஒற்றைப்படை எண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை இரட்டை எண்ணின் வர்க்கமாக இருக்க முடியாது; வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எங்கள் மூன்று எண்கள் பித்தகோரியன் அல்ல.

முடிவுரை:

எனவே, "கால்கள்" a இலிருந்து ஒன்று கூட, மற்றொன்று ஒற்றைப்படை. எனவே எண் அ 2 + இல் 2 ஒற்றைப்படை, அதாவது "ஹைபோடென்யூஸ்" c.

பித்தகோரஸ் நவீன குறியீட்டில் இப்படி எழுதலாம் என்று சூத்திரங்களைக் கண்டறிந்தார்: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2 n 2 +2n+1, n என்பது ஒரு முழு எண்.

இந்த எண்கள் பித்தகோரியன் மும்மடங்காகும்.

செர்வியாக் விட்டலி ஜெனடிவிச்

கிராஸ்னோடர் பிரதேசம், கிராமம் ஜுரவ்ஸ்கயா, MOBU மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 14, தரம் 9

பித்தகோரியன் எண்கள்

மேற்பார்வையாளர்: Manko Galina Vasilievna, கணித ஆசிரியர், MOBU மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 14

பித்தகோரியன் எண்களைக் கண்டறிவதற்கான வடிவத்தின் வழித்தோன்றல்.

பின்வரும் பித்தகோரியன் மும்மூர்த்திகள் இங்கே:

• 3, 4, 5; 9+16=25.
• 5, 12, 13; 25+144=225.
• 7, 24, 25; 49+576=625.
• 8, 15, 17; 64+225=289.
• 9, 40, 41; 81+1600=1681.
• 12, 35, 37; 144+1225=1369.
• 20, 21, 29; 400+441=881

பித்தகோரியன் மும்மடங்கின் ஒவ்வொரு எண்களையும் 2, 3, 4, 5, போன்றவற்றால் பெருக்கும்போது, ​​​​பின்வரும் மும்மடங்கைப் பெறுகிறோம் என்பதைக் காணலாம்.

• 6, 8, 10;
• 9,12,15.
• 12, 16, 20;
• 15, 20, 25;
• 10, 24, 26;
• 18, 24, 30;
• 16, 30, 34;
• 21, 28, 35;
• 15, 36, 39;
• 24, 32, 40;
• 14, 48, 50;
• 30, 40, 50 போன்றவை.

அவையும் பித்தகோரியன் எண்கள்/

செர்வியாக் விட்டலி ஜெனடிவிச்

கிராஸ்னோடர் பிரதேசம், கிராமம் ஜுரவ்ஸ்கயா, MOBU மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 14, தரம் 9

பித்தகோரியன் எண்கள்

மேற்பார்வையாளர்: Manko Galina Vasilievna, கணித ஆசிரியர், MOBU மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 14

பித்தகோரியன் எண்களின் பண்புகள்.

• பித்தகோரியன் எண்களைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, ​​​​நான் பல பண்புகளைக் கண்டேன்:
• 1) பித்தகோரியன் எண்களில் ஒன்று மூன்றின் பெருக்கமாக இருக்க வேண்டும்;
• 2) அவற்றில் மற்றொன்று நான்கின் பெருக்கமாக இருக்க வேண்டும்;
• 3) மற்றும் பித்தகோரியன் எண்களில் மூன்றாவது ஐந்தின் பெருக்கமாக இருக்க வேண்டும்;

செர்வியாக் விட்டலி ஜெனடிவிச்

கிராஸ்னோடர் பிரதேசம், கிராமம் ஜுரவ்ஸ்கயா, MOBU மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 14, தரம் 9

பித்தகோரியன் எண்கள்

மேற்பார்வையாளர்: Manko Galina Vasilievna, கணித ஆசிரியர், MOBU மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 14

முடிவுரை.

ஜியோமெட்ரி, மற்ற அறிவியல்களைப் போலவே, நடைமுறையின் தேவைகளிலிருந்து எழுந்தது. "வடிவியல்" என்ற வார்த்தை - கிரேக்கம், மொழிபெயர்ப்பில் "கணக்கெடுப்பு" என்று பொருள்.

நிலத்தை அளவிட வேண்டிய அவசியத்தை மக்கள் மிக ஆரம்பத்திலேயே எதிர்கொண்டனர். ஏற்கனவே 3-4 ஆயிரம் ஆண்டுகளாக கி.மு. சீனாவின் நதிகளான நைல், யூப்ரடீஸ் மற்றும் டைக்ரிஸ் பள்ளத்தாக்குகளில் உள்ள வளமான நிலத்தின் ஒவ்வொரு பகுதியும் மக்களின் வாழ்க்கைக்கு முக்கியமானதாக இருந்தது. இதற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு வடிவியல் மற்றும் எண்கணித அறிவு தேவைப்பட்டது.

படிப்படியாக, மக்கள் மிகவும் சிக்கலான வடிவியல் வடிவங்களின் பண்புகளை அளவிடவும் படிக்கவும் தொடங்கினர்.

எகிப்து மற்றும் பாபிலோன் ஆகிய இரண்டிலும், பிரம்மாண்டமான கோயில்கள் கட்டப்பட்டன, அவற்றின் கட்டுமானம் ஆரம்ப கணக்கீடுகளின் அடிப்படையில் மட்டுமே மேற்கொள்ளப்படும். ஆழ்குழாய்களும் கட்டப்பட்டன. இதற்கெல்லாம் வரைபடங்களும் கணக்கீடுகளும் தேவைப்பட்டன. இந்த நேரத்தில், பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் சிறப்பு நிகழ்வுகள் நன்கு அறியப்பட்டவை, x, y, z பக்கங்களைக் கொண்ட முக்கோணங்களை எடுத்துக் கொண்டால், x, y, z போன்ற முழு எண்கள் என்று அவர்கள் ஏற்கனவே அறிந்திருந்தனர். x 2 + y 2 = z 2 , இந்த முக்கோணங்கள் வலது கோணத்தில் இருக்கும்.

இந்த அறிவு மனித வாழ்க்கையின் பல துறைகளில் நேரடியாகப் பயன்படுத்தப்பட்டது.

எனவே இப்போது வரை, விஞ்ஞானி மற்றும் பழங்கால தத்துவஞானி பித்தகோரஸின் சிறந்த கண்டுபிடிப்பு நம் வாழ்வில் நேரடி பயன்பாட்டைக் காண்கிறது.

வீடுகள், சாலைகள், விண்கலங்கள், கார்கள், இயந்திர கருவிகள், எண்ணெய் குழாய்கள், விமானங்கள், சுரங்கங்கள், சுரங்கப்பாதைகள் மற்றும் பலவற்றை நிர்மாணித்தல். பித்தகோரியன் மும்மூர்த்திகள் அன்றாட வாழ்வில் நம்மைச் சுற்றியுள்ள பல விஷயங்களை வடிவமைப்பதில் நேரடிப் பயன்பாட்டைக் காண்கின்றனர்.

விஞ்ஞானிகளின் மனம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரங்களின் புதிய பதிப்புகளைத் தொடர்ந்து தேடுகிறது.

• AT எனது வேலையின் விளைவாக, நான் முடிந்தது:
• 1. பிதாகரஸ், அவரது வாழ்க்கை, பித்தகோரியன் சகோதரத்துவம் பற்றி மேலும் அறிக.
• 2. பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் வரலாற்றை அறிந்து கொள்ளுங்கள்.
• 3. பித்தகோரியன் எண்கள், அவற்றின் பண்புகள், அவற்றை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது மற்றும் நடைமுறையில் அவற்றை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதை அறியவும்.

செர்வியாக் விட்டலி ஜெனடிவிச்

கிராஸ்னோடர் பிரதேசம், கிராமம் ஜுரவ்ஸ்கயா, MOBU மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 14, தரம் 9

பித்தகோரியன் எண்கள்

மேற்பார்வையாளர்: Manko Galina Vasilievna, கணித ஆசிரியர், MOBU மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 14

இலக்கியம்.

1. பொழுதுபோக்கு அல்ஜீப்ரா. என்னை. பெரல்மேன் (ப.117-120)
2. www.garshin.ru
3. image.yandex.ru

4. அனோசோவ் டி.வி. கணிதம் மற்றும் அதிலிருந்து ஏதாவது ஒரு பார்வை. – எம்.: MTsNMO, 2003.

5. குழந்தைகள் கலைக்களஞ்சியம். - எம் .: RSFSR இன் கல்வியியல் அறிவியல் அகாடமியின் பப்ளிஷிங் ஹவுஸ், 1959.

6. ஸ்டெபனோவா எல்.எல். அடிப்படை எண் கோட்பாட்டின் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அத்தியாயங்கள். - எம்.: ப்ரோமிதியஸ், 2001.

7. வி. சியர்பின்ஸ்கி பித்தகோரியன் முக்கோணங்கள். - எம்.: உச்பெட்கிஸ், 1959. எஸ்.111

ஆராய்ச்சியின் முன்னேற்றம் வரலாற்றுப் பக்கம்; பித்தகோரியன் தேற்றம்; "கால்களில்" ஒன்று சமமாகவும் மற்றொன்று ஒற்றைப்படையாகவும் இருக்க வேண்டும் என்பதை நிரூபிக்கவும்; பித்தகோரியன் எண்களைக் கண்டறிவதற்கான வடிவத்தின் வழித்தோன்றல்; பித்தகோரியன் எண்களின் பண்புகளை வெளிப்படுத்தவும்;

அறிமுகம் பித்தகோரஸ் மற்றும் அவரது வாழ்க்கையைப் பற்றி ஐந்தாம் வகுப்பில் ஒரு கணித பாடத்தில் நான் கேள்விப்பட்டேன், மேலும் "பித்தகோரியன் கால்சட்டை எல்லா திசைகளிலும் சமம்" என்ற அறிக்கையில் ஆர்வமாக இருந்தேன். பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் படிக்கும் போது, ​​பித்தகோரியன் எண்களில் ஆர்வம் ஏற்பட்டது. நான் ஆய்வின் இலக்கை நிர்ணயித்தேன்: பித்தகோரியன் தேற்றம் மற்றும் "பித்தகோரியன் எண்கள்" பற்றி மேலும் அறிய.

உண்மை நித்தியமாக இருக்கும், ஒரு பலவீனமான நபர் எவ்வளவு விரைவில் அதை அறிவார்! இப்போது பித்தகோரஸ் வெர்னின் தேற்றம், அவரது தொலைதூர வயதில் இருந்தது

பித்தகோரியன் எண்களின் வரலாற்றிலிருந்து. பண்டைய சீனக் கணிதப் புத்தகம் சூ-பே: "செங்கோணம் அதன் கூறு பாகங்களாக சிதைக்கப்பட்டால், அதன் பக்கங்களின் முனைகளை இணைக்கும் கோடு 5 ஆக இருக்கும் போது அடித்தளம் 3 ஆகவும் உயரம் 4 ஆகவும் இருக்கும்."

பண்டைய எகிப்தியர்களிடையே உள்ள பித்தகோரியன் எண்கள் கான்டர் (கணிதத்தின் மிகப்பெரிய ஜெர்மன் வரலாற்றாசிரியர்) 3² + 4 ² = 5² சமத்துவம் ஏற்கனவே எகிப்தியர்களுக்கு கிமு 2300 இல் தெரியும் என்று நம்புகிறார். e., கிங் அமெனெம்ஹாட்டின் காலத்தில் (பெர்லின் அருங்காட்சியகத்தின் பாப்பிரஸ் 6619 இன் படி). கேண்டரின் கூற்றுப்படி, ஹார்பிடோனாப்ட்ஸ் அல்லது "ஸ்ட்ரிங்கர்கள்", 3 பக்கங்களைக் கொண்ட செங்கோண முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்தி வலது கோணங்களை உருவாக்குகின்றன; 4 மற்றும் 5.

பாபிலோனியாவில் பித்தகோரியன் தேற்றம் “தலேஸ், பிதாகரஸ் மற்றும் பித்தகோரியன்ஸ் போன்ற முதல் கிரேக்கக் கணிதவியலாளர்களின் தகுதியானது கணிதத்தின் கண்டுபிடிப்பு அல்ல, மாறாக அதன் முறைப்படுத்தல் மற்றும் நியாயப்படுத்தல். அவர்களின் கைகளில், தெளிவற்ற யோசனைகளின் அடிப்படையிலான கணக்கீட்டு செய்முறைகள் ஒரு துல்லியமான அறிவியலாக மாறிவிட்டன.

ஒவ்வொரு முக்கோணமும், நன்கு அறியப்பட்ட பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி, பக்கங்களும் 3:4:5 ஆக தொடர்புடையவை, 3 2 + 4 2 \u003d 5 2 முதல் செவ்வக வடிவமாகும். 3,4 மற்றும் 5 எண்களுக்கு கூடுதலாக, உள்ளது , உங்களுக்குத் தெரியும், a , in மற்றும் c, 2 \u003d c 2 இல் உள்ள A 2 + உறவை திருப்திப்படுத்தும் நேர்மறை முழு எண்களின் எண்ணற்ற தொகுப்பு. இந்த எண்கள் பித்தகோரியன் எண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி, இந்த எண்கள் சில செங்கோண முக்கோணத்தின் நீளங்களாகச் செயல்படும்; எனவே, a மற்றும் b "கால்கள்" என்றும், c "ஹைபோடென்யூஸ்" என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. a, b, c பித்தகோரியன் எண்களின் மும்மடங்காக இருந்தால், p என்பது ஒரு முழு எண் காரணியாக இருக்கும் pa, p, pc ஆகியவை பித்தகோரியன் எண்கள் என்பது தெளிவாகிறது. இதற்கு நேர்மாறானது உண்மையும் கூட! எனவே, நாம் முதலில் காபிரைம் பித்தகோரியன் எண்களின் மூன்று மடங்குகளை மட்டுமே படிப்போம் (மீதமுள்ளவை முழு எண் காரணி p ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன)

முடிவுரை! எனவே, a மற்றும் b எண்களில் இருந்து ஒன்று சமம், மற்றொன்று ஒற்றைப்படை, அதாவது மூன்றாவது எண்ணும் ஒற்றைப்படை.

இங்கே பின்வரும் பித்தகோரியன் மும்மடங்குகள் உள்ளன: 3, 4, 5; 9+16=25 . 5, 12, 13; 25+144=169. 7, 24, 25; 49+576=625. 8, 15, 17; 64+225=289. 9, 40, 41; 81+1600=1681. 12, 35, 37; 144+1225=1369. 20, 21, 29; 400+441=841

பித்தகோரியன் மும்மடங்கின் ஒவ்வொரு எண்களையும் 2, 3, 4, 5, போன்றவற்றால் பெருக்கும்போது, ​​​​பின்வரும் மும்மடங்கைப் பெறுகிறோம் என்பதைக் காணலாம். 6, 8, 10; 9,12,15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 போன்றவை. அவையும் பித்தகோரியன் எண்கள்

பித்தகோரியன் எண்களின் பண்புகள் பித்தகோரியன் எண்களைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, ​​நான் பல பண்புகளைக் கண்டேன்: 1) பித்தகோரியன் எண்களில் ஒன்று மூன்றின் பெருக்கமாக இருக்க வேண்டும்; 2) அவற்றில் ஒன்று நான்கின் பெருக்கமாக இருக்க வேண்டும்; 3) மற்றும் பித்தகோரியன் எண்களில் மற்றொன்று ஐந்தின் பெருக்கமாக இருக்க வேண்டும்;

பித்தகோரியன் எண்களின் நடைமுறை பயன்பாடு

முடிவு: எனது பணியின் விளைவாக, நான் 1. பிதாகரஸ், அவரது வாழ்க்கை, பித்தகோரியன் சகோதரத்துவம் பற்றி மேலும் அறிய முடிந்தது. 2. பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் வரலாற்றை அறிந்து கொள்ளுங்கள். 3. பித்தகோரியன் எண்களைப் பற்றி அறிக, அவற்றின் பண்புகள், அவற்றை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை அறியவும். பரிசோதனை ரீதியாக-பித்தகோரியன் எண்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு செங்கோணத்தை ஒதுக்கி வைக்கவும்.

பித்தகோரியன் எண்களின் மும்மடங்கு

படைப்பு வேலை

மாணவர் 8 ”ஏ”வர்க்கம்

MAOU "ஜிம்னாசியம் எண். 1"

சரடோவின் Oktyabrsky மாவட்டம்

பன்ஃபிலோவா விளாடிமிர்

மேற்பார்வையாளர் - மிக உயர்ந்த வகையின் கணித ஆசிரியர்

க்ரிஷினா இரினா விளாடிமிரோவ்னா

உள்ளடக்கம்

அறிமுகம்…………………………………………………………………………………………

வேலையின் தத்துவார்த்த பகுதி

அடிப்படை பித்தகோரியன் முக்கோணத்தைக் கண்டறிதல்

(பண்டைய இந்துக்களின் சூத்திரங்கள்)…………………………………………………………………………

வேலையின் நடைமுறை பகுதி

பல்வேறு வழிகளில் பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளை இயற்றுதல்............................ 6

பித்தகோரியன் முக்கோணங்களின் முக்கியமான சொத்து …………………………………………… 8

முடிவு …………………………………………………………………………………….9

இலக்கியம் ………………………………………………………………………………… 10

அறிமுகம்

இந்த கல்வியாண்டில், கணித பாடங்களில், வடிவவியலில் மிகவும் பிரபலமான தேற்றங்களில் ஒன்றைப் படித்தோம் - பித்தகோரியன் தேற்றம். பித்தகோரியன் தேற்றம் ஒவ்வொரு அடியிலும் வடிவவியலில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது நடைமுறையிலும் அன்றாட வாழ்விலும் பரந்த பயன்பாட்டைக் கண்டறிந்துள்ளது. ஆனால், தேற்றத்தைத் தவிர, பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு நேர்மாறான தேற்றத்தையும் ஆய்வு செய்தோம். இந்த தேற்றத்தின் ஆய்வு தொடர்பாக, பித்தகோரியன் மும்மடங்கு எண்களை நாம் அறிந்திருக்கிறோம், அதாவது. 3 இயற்கை எண்களின் தொகுப்புகளுடன்அ , பி மற்றும்c , அதற்கான உறவு செல்லுபடியாகும்: = + . அத்தகைய தொகுப்புகளில், எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் மும்மடங்குகள் அடங்கும்:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

எனக்கு உடனடியாக கேள்விகள் இருந்தன: எத்தனை பித்தகோரியன் ட்ரிபிள்களை நீங்கள் கொண்டு வர முடியும்? மற்றும் அவற்றை எவ்வாறு உருவாக்குவது?

எங்கள் வடிவியல் பாடப்புத்தகத்தில், பித்தகோரியன் தேற்றத்துடன் தேற்றம் உரையாடலை முன்வைத்த பிறகு, ஒரு முக்கியமான கருத்து கூறப்பட்டது: கால்கள் என்பதை நிரூபிக்க முடியும்.அ மற்றும்பி மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ்உடன் வலது கோண முக்கோணங்கள், அதன் பக்கங்களின் நீளம் இயற்கை எண்களில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, சூத்திரங்கள் மூலம் காணலாம்:

அ = 2கிமீ b = k( - )c = k( + , (1)

எங்கேகே , மீ , n ஏதேனும் இயற்கை எண்கள், மற்றும்மீ > n .

இயற்கையாகவே, கேள்வி எழுகிறது - இந்த சூத்திரங்களை எவ்வாறு நிரூபிப்பது? மேலும் இந்த சூத்திரங்களால் மட்டுமே பித்தகோரியன் மும்மடங்கு உருவாகுமா?

என் மனதில் எழும் கேள்விகளுக்கு விடையளிக்க எனது படைப்பில் முயற்சித்தேன்.

வேலையின் தத்துவார்த்த பகுதி

முக்கிய பித்தகோரியன் முக்கோணத்தைக் கண்டறிதல் (பண்டைய இந்துக்களின் சூத்திரங்கள்)

முதலில் சூத்திரங்களை (1) நிரூபிப்போம்:

கால்களின் நீளத்தைக் குறிப்போம்எக்ஸ் மற்றும்மணிக்கு , மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளம்z . பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி, நமக்கு சமத்துவம் உள்ளது:+ = .(2)

இந்த சமன்பாடு பித்தகோரியன் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பித்தகோரியன் முக்கோணங்களின் ஆய்வு இயற்கை எண்களில் சமன்பாடு (2) ஐ தீர்க்கிறது.

சில பித்தகோரியன் முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கமும் அதே எண்ணிக்கையில் அதிகரிக்கப்பட்டால், இயற்கை எண்களில் வெளிப்படுத்தப்பட்ட பக்கங்களுடன் கொடுக்கப்பட்டதைப் போன்ற புதிய வலது கோண முக்கோணத்தைப் பெறுகிறோம், அதாவது. மீண்டும் பித்தகோரியன் முக்கோணம்.

அனைத்து ஒத்த முக்கோணங்களிலும், மிகச்சிறிய ஒன்று உள்ளது, இது ஒரு முக்கோணமாக இருக்கும் என்று யூகிக்க எளிதானது.எக்ஸ் மற்றும்மணிக்கு காபிரைம் எண்களில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

(ஜிசிடிx,y )=1).

அப்படிப்பட்டதை பித்தகோரியன் முக்கோணம் என்கிறோம்முக்கிய .

முக்கிய பித்தகோரியன் முக்கோணங்களைக் கண்டறிதல்.

முக்கோணத்தை விடுங்கள் (எக்ஸ் , ஒய் , z ) முக்கிய பித்தகோரியன் முக்கோணம். எண்கள்எக்ஸ் மற்றும்மணிக்கு சமமானவை, எனவே இரண்டும் சமமாக இருக்க முடியாது. அவை இரண்டும் ஒற்றைப்படையாக இருக்க முடியாது என்பதை நிரூபிப்போம். இதற்காக, நாங்கள் கவனிக்கிறோம்ஒற்றைப்படை எண்ணின் வர்க்கம் 8 ஆல் வகுத்தால் மீதி 1ஐக் கொடுக்கும். உண்மையில், எந்த ஒற்றைப்படை இயற்கை எண்ணையும் இவ்வாறு குறிப்பிடலாம்2 கே -1 , எங்கேகே சொந்தமானதுஎன் .

இங்கிருந்து: = -4 கே +1 = 4 கே ( கே -1)+1.

எண்கள்( கே -1) மற்றும்கே தொடர்ச்சியாக உள்ளன, அவற்றில் ஒன்று சமமாக இருக்க வேண்டும். பின்னர் வெளிப்பாடுகே ( கே -1) வகுக்க2 , 4 கே ( கே -1) 8 ஆல் வகுபடும், அதாவது 8 ஆல் வகுத்தால், மீதி 1 ஆகும்.

இரண்டு ஒற்றைப்படை எண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 8 ஆல் வகுக்கும் போது 2 இன் மீதியைக் கொடுக்கும், எனவே, இரண்டு ஒற்றைப்படை எண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை இரட்டை எண், ஆனால் 4 இன் பெருக்கல் அல்ல, எனவே இந்த எண்இயற்கை எண்ணின் வர்க்கமாக இருக்க முடியாது.

எனவே சமத்துவம் (2) என்றால் வைத்திருக்க முடியாதுஎக்ஸ் மற்றும்மணிக்கு இரண்டும் ஒற்றைப்படை.

எனவே, பித்தகோரியன் முக்கோணம் என்றால் (x, y, z ) - முக்கியமானது, பின்னர் எண்களில்எக்ஸ் மற்றும்மணிக்கு ஒன்று சமமாகவும் மற்றொன்று ஒற்றைப்படையாகவும் இருக்க வேண்டும். y என்ற எண் சமமாக இருக்கட்டும். எண்கள்எக்ஸ் மற்றும்z ஒற்றைப்படை (ஒற்றைப்படைz சமத்துவத்திலிருந்து பின்வருமாறு (2)).

சமன்பாட்டிலிருந்து+ = நாங்கள் அதைப் பெறுகிறோம்= ( z + எக்ஸ் )( z - எக்ஸ் ) (3).

எண்கள்z + எக்ஸ் மற்றும்z - எக்ஸ் இரண்டு ஒற்றைப்படை எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாடு இரட்டை எண்கள், எனவே (4):

z + எக்ஸ் = 2 அ , z - எக்ஸ் = 2 பி , எங்கேஅ மற்றும்பி சேர்ந்தவைஎன் .

z + எக்ஸ் =2 அ , z - எக்ஸ் = 2 பி ,

z = a+b , எக்ஸ் = அ - பி. (5)

இந்த சமத்துவங்களிலிருந்து அது பின்வருமாறுஅ மற்றும்பி ஒப்பீட்டளவில் பகா எண்கள்.

இதற்கு நேர்மாறாக வாதிடுவதன் மூலம் நாங்கள் நிரூபிக்கிறோம்.

GCD (அ , பி )= ஈ , எங்கேஈ >1 .

பிறகுஈ z மற்றும்எக்ஸ் , எனவே எண்கள்z + எக்ஸ் மற்றும்z - எக்ஸ் . பின்னர், சமத்துவத்தின் அடிப்படையில் (3) ஒரு வகுப்பியாக இருக்கும் . இந்த வழக்கில்ஈ எண்களின் பொதுவான வகுப்பாக இருக்கும்மணிக்கு மற்றும்எக்ஸ் , ஆனால் எண்கள்மணிக்கு மற்றும்எக்ஸ் காபிரைம் இருக்க வேண்டும்.

எண்மணிக்கு சமமாக அறியப்படுகிறது, அதனால்y = 2s , எங்கேஉடன் - இயற்கை எண். சமத்துவம் (3) சமத்துவத்தின் அடிப்படையில் (4) பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்: =2a*2 பி , அல்லது =ஏபி.

என்று எண்கணிதத்தால் அறியப்படுகிறதுஇரண்டு காபிரைம் எண்களின் பெருக்கல் ஒரு இயற்கை எண்ணின் வர்க்கமாக இருந்தால், அந்த எண்கள் ஒவ்வொன்றும் இயற்கை எண்ணின் வர்க்கமாகும்.

பொருள்a = மற்றும்பி = , எங்கேமீ மற்றும்n காபிரைம் எண்கள், ஏனெனில் அவை முதன்மை எண்களின் வகுப்பிகள்அ மற்றும்பி .

சமத்துவத்தின் அடிப்படையில் (5) எங்களிடம் உள்ளது:

z = + , எக்ஸ் = - , = ab = * = ; c = mn

பிறகுy = 2 mn .

எண்கள்மீ மற்றும்n , ஏனெனில் சமமாக இருக்கும், அதே நேரத்தில் கூட இருக்க முடியாது. ஆனால் அவை ஒரே நேரத்தில் ஒற்றைப்படையாக இருக்க முடியாது, ஏனென்றால் இந்த வழக்கில்x = - சமமாக இருக்கும், இது சாத்தியமற்றது. எனவே எண்களில் ஒன்றுமீ அல்லதுn சமமானது மற்றொன்று ஒற்றைப்படை. வெளிப்படையாக,y = 2 mn 4 ஆல் வகுபடும். எனவே, ஒவ்வொரு முக்கிய பித்தகோரியன் முக்கோணத்திலும், குறைந்தபட்சம் ஒரு கால் 4 ஆல் வகுபடும். பித்தகோரியன் முக்கோணங்கள் எதுவும் இல்லை, அதன் பக்கங்கள் அனைத்தும் பகா எண்களாகும்.

பெறப்பட்ட முடிவுகளை பின்வரும் தேற்றமாக வெளிப்படுத்தலாம்:

இதில் அனைத்து முக்கிய முக்கோணங்கள்மணிக்கு இரட்டை எண் என்பது சூத்திரத்தில் இருந்து பெறப்படுகிறது

x = - , ஒய் =2 mn , z = + ( மீ > n ), எங்கேமீ மற்றும்n - ஒப்பீட்டளவில் பகா எண்களின் அனைத்து ஜோடிகளும், அவற்றில் ஒன்று சமமானது மற்றொன்று ஒற்றைப்படை (எது என்பது முக்கியமல்ல). ஒவ்வொரு அடிப்படை பித்தகோரியன் டிரிபிள் (x, y, z ), எங்கேமணிக்கு - கூட, இந்த வழியில் தனிப்பட்ட முறையில் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

எண்கள்மீ மற்றும்n இரண்டும் கூட அல்லது இரண்டும் ஒற்றைப்படையாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் இந்த சந்தர்ப்பங்களில்

x = சமமாக இருக்கும், இது சாத்தியமற்றது. எனவே எண்களில் ஒன்றுமீ அல்லதுn சம மற்றும் மற்ற ஒற்றைப்படைஒய் = 2 mn 4 ஆல் வகுபடும்).

வேலையின் நடைமுறை பகுதி

பல்வேறு வழிகளில் பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளை இயற்றுதல்

இந்து சூத்திரங்களில்மீ மற்றும்n - coprime, ஆனால் தன்னிச்சையான சமநிலை எண்களாக இருக்கலாம் மற்றும் அவற்றைப் பயன்படுத்தி பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளை உருவாக்குவது மிகவும் கடினம். எனவே, பித்தகோரியன் மும்மடங்கைத் தொகுக்க வேறு அணுகுமுறையைக் கண்டறிய முயற்சிப்போம்.

= - = ( z - ஒய் )( z + ஒய் ), எங்கேஎக்ஸ் - ஒற்றைப்படை,ஒய் - கூட,z - ஒற்றைப்படை

v = z - ஒய் , u = z + ஒய்

= UV , எங்கேu - ஒற்றைப்படை,v - ஒற்றைப்படை (கோபிரைம்)

ஏனெனில் இரண்டு ஒற்றைப்படை எண்களின் பெருக்கல் ஒரு இயற்கை எண்ணின் வர்க்கமாகும்u = , v = , எங்கேகே மற்றும்எல் இணை, ஒற்றைப்படை எண்கள்.

z - ஒய் = z + ஒய் = கே 2 , எங்கிருந்து, சமத்துவங்களைக் கூட்டி, ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றைக் கழித்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

2 z = + 2 ஒய் = - அது

z= y= x = cl

கே

எல்

எக்ஸ்

ஒய்

z

37

9

1

9

40

41 (கள்பூஜ்ஜியங்கள்)*(100…0 (கள்பூஜ்ஜியங்கள்) +1)+1 =200…0 (s-1பூஜ்ஜியங்கள்) 200…0 (s-1பூஜ்ஜியங்கள்) 1

பித்தகோரியன் முக்கோணங்களின் முக்கியமான சொத்து

தேற்றம்

முக்கிய பித்தகோரியன் முக்கோணத்தில், கால்களில் ஒன்று 4 ஆல் வகுக்கப்பட வேண்டும், கால்களில் ஒன்று 3 ஆல் வகுக்கப்பட வேண்டும், மேலும் பித்தகோரியன் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு 6 இன் பெருக்கமாக இருக்க வேண்டும்.

ஆதாரம்

நாம் அறிந்தபடி, எந்த பித்தகோரியன் முக்கோணத்திலும் குறைந்தது ஒரு கால் 4 ஆல் வகுபடும்.

கால்களில் ஒன்று 3 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபிப்போம்.

இதை நிரூபிக்க, பித்தகோரியன் முக்கோணத்தில் (எக்ஸ் , ஒய் , z எக்ஸ் அல்லதுஒய் 3 இன் பல.

இப்போது பித்தகோரியன் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு 6 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபிப்போம்.

எந்த பித்தகோரியன் முக்கோணமும் 6 இன் இயற்கையான பெருக்கமாக வெளிப்படுத்தப்படும் பரப்பளவைக் கொண்டுள்ளது. குறைந்தபட்சம் ஒரு கால் 3 ஆல் வகுபடும் மற்றும் குறைந்தபட்சம் ஒரு கால் 4 ஆல் வகுபடும். முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, கால்களின் அரை-தயாரிப்பு மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, 6 இன் பெருக்கத்தால் வெளிப்படுத்தப்பட வேண்டும்.

முடிவுரை

வேலையில்

- பண்டைய இந்துக்களின் நிரூபிக்கப்பட்ட சூத்திரங்கள்

- பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் எண்ணிக்கையில் ஒரு ஆய்வு நடத்தப்பட்டது (அவற்றில் எண்ணற்ற பல உள்ளன)

- பித்தகோரியன் மும்மடங்கைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான முறைகள் சுட்டிக்காட்டப்பட்டுள்ளன

- பித்தகோரியன் முக்கோணங்களின் சில பண்புகளை ஆய்வு செய்தார்

என்னைப் பொறுத்தவரை இது மிகவும் சுவாரஸ்யமான தலைப்பு மற்றும் எனது கேள்விகளுக்கான பதில்களைக் கண்டுபிடிப்பது மிகவும் சுவாரஸ்யமான செயலாக மாறியது. எதிர்காலத்தில், பித்தகோரியன் முக்கோணங்களின் ஃபைபோனச்சி வரிசை மற்றும் ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்துடன் பித்தகோரியன் மும்மடங்களின் தொடர்பைக் கருத்தில் கொண்டு மேலும் பல பண்புகளைக் கற்றுக்கொள்ள திட்டமிட்டுள்ளேன்.

இலக்கியம்

எல்.எஸ். அதனஸ்யன் "ஜியோமெட்ரி. 7-9 கிரேடுகள்" எம் .: கல்வி, 2012.

V. செர்பின்ஸ்கி "பித்தகோரியன் முக்கோணங்கள்" M.: Uchpedgiz, 1959.

சரடோவ்

2014