பொதுவான செயல்பாடுகளின் வரையறையின் களங்களைக் கண்டறிய, இந்தப் பாடத்தில் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை ஒரு மாறி மூலம் தீர்ப்போம்.

நீங்களே தீர்க்க வேண்டிய சிக்கல்களும் இருக்கும், அதற்கான பதில்களை நீங்கள் பார்க்கலாம்.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம் என்ன? படத்தில் உள்ள செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் பார்ப்போம். ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் "x" இன் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்புடன் ஒத்துள்ளது - செயல்பாட்டின் வாதம் மற்றும் "y" இன் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பு - செயல்பாடு தானே. வாதத்திலிருந்து - "x" - "y" - செயல்பாட்டின் மதிப்பு - கணக்கிடப்படுகிறது. ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையின் களமானது "x" இன் அனைத்து மதிப்புகளின் தொகுப்பாகும், அதற்காக "y" - செயல்பாட்டின் மதிப்பு - உள்ளது, அதாவது கணக்கிட முடியும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், "செயல்பாடு செயல்படும்" வாத மதிப்புகளின் தொகுப்பு. பெரும்பாலான செயல்பாடுகள் சூத்திரங்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைன் என்பது சூத்திரம் அர்த்தமுள்ள மிகப்பெரிய தொகுப்பாகும்.

படம் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது. ஒரு பின்னத்தின் வகுப்பானது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் நீங்கள் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முடியாது. எனவே, வகுப்பினை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வதன் மூலம், செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தில் சேர்க்கப்படாத மதிப்பைப் பெறுகிறோம்: 1. மேலும் செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் "x" இன் அனைத்து மதிப்புகளும் கழித்தல் முடிவிலியிலிருந்து ஒன்று மற்றும் ஒன்றிலிருந்து கூட்டல் முடிவிலி. இது வரைபடத்தில் தெளிவாகத் தெரியும்

எடுத்துக்காட்டு 0. x மைனஸ் ஐந்து (தீவிர வெளிப்பாடு x கழித்தல் ஐந்து) () என்பதன் வர்க்க மூலத்திற்கு சமமான செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனை எவ்வாறு கண்டறிவது? நீங்கள் சமத்துவமின்மையை தீர்க்க வேண்டும்

எக்ஸ் - 5 ≥ 0 ,

விளையாட்டின் உண்மையான மதிப்பை நாம் பெறுவதற்கு, தீவிர வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்க வேண்டும். நாங்கள் தீர்வைப் பெறுகிறோம்: செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் என்பது ஐந்திற்கு மேல் அல்லது அதற்கு சமமான x இன் அனைத்து மதிப்புகள் (அல்லது x ஐந்திலிருந்து பிளஸ் முடிவிலி வரையிலான இடைவெளிக்கு சொந்தமானது).

மேலே உள்ள வரைபடத்தில் எண் அச்சின் ஒரு துண்டு உள்ளது. அதன் மீது, கருதப்படும் செயல்பாட்டின் வரையறையின் பகுதி நிழலாடப்படுகிறது, அதே நேரத்தில் "பிளஸ்" திசையில் குஞ்சு பொரிப்பது அச்சுடன் காலவரையின்றி தொடர்கிறது.

மாறிலியின் வரையறையின் களம்

நிலையான (நிலையான) வரையறுக்கப்பட்டது எந்த உண்மையான மதிப்புகளுக்கும் எக்ஸ் ஆர் உண்மையான எண்கள். இதை இப்படியும் எழுதலாம்: இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் முழு எண் கோடு ]- ∞; +∞[.

எடுத்துக்காட்டு 1. ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைனைக் கண்டறியவும் ஒய் = 2 .

தீர்வு. செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் குறிப்பிடப்படவில்லை, அதாவது மேலே உள்ள வரையறையின் அடிப்படையில், வரையறையின் இயல்பான களம் குறிக்கப்படுகிறது. வெளிப்பாடு f(எக்ஸ்) = 2 எந்த உண்மையான மதிப்புகளுக்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது எக்ஸ்எனவே, இந்த செயல்பாடு முழு தொகுப்பிலும் வரையறுக்கப்படுகிறது ஆர் உண்மையான எண்கள்.

எனவே, மேலே உள்ள வரைபடத்தில், எண் கோடு மைனஸ் இன்ஃபினிட்டியில் இருந்து பிளஸ் இன்ஃபினிட்டி வரை நிழலிடப்பட்டுள்ளது.

ரூட் வரையறை பகுதி nவது பட்டம்

சூத்திரத்தால் செயல்பாடு வழங்கப்படும் போது மற்றும் n- இயற்கை எண்:

எடுத்துக்காட்டு 2. ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைனைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு. வரையறையிலிருந்து பின்வருமாறு, தீவிர வெளிப்பாடு எதிர்மறையாக இருந்தால், அதாவது - 1 ≤ எனில், சமமான பட்டத்தின் வேர் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். எக்ஸ்≤ 1. எனவே, இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் [- 1; 1] .

மேலே உள்ள வரைபடத்தில் உள்ள எண் கோட்டின் நிழல் பகுதி இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் களமாகும்.

சக்தி செயல்பாட்டின் களம்

முழு எண் அடுக்குடன் கூடிய ஆற்றல் செயல்பாட்டின் டொமைன்

என்றால் அ- நேர்மறை, பின்னர் செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பாகும், அதாவது ]- ∞; + ∞[ ;

என்றால் அ- எதிர்மறை, பின்னர் செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் தொகுப்பு ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , அதாவது பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர முழு எண் கோடு.

மேலே உள்ள தொடர்புடைய வரைபடத்தில், முழு எண் கோடும் நிழலிடப்பட்டுள்ளது, மேலும் பூஜ்ஜியத்துடன் தொடர்புடைய புள்ளி குத்தப்படுகிறது (இது செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தில் சேர்க்கப்படவில்லை).

எடுத்துக்காட்டு 3. ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைனைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு. முதல் சொல் 3 க்கு சமமான x இன் முழு எண் சக்தியாகும், மேலும் இரண்டாவது காலப்பகுதியில் x இன் சக்தியை ஒன்றாகக் குறிப்பிடலாம் - மேலும் ஒரு முழு எண். இதன் விளைவாக, இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் முழு எண் கோடு ஆகும், அதாவது ]- ∞; +∞[.

ஒரு பகுதியளவு அடுக்கு கொண்ட சக்தி செயல்பாட்டின் டொமைன்

சூத்திரத்தால் செயல்பாடு வழங்கப்படும் போது:

நேர்மறையாக இருந்தால், செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம் 0 ஆகும்; +∞[.

எடுத்துக்காட்டு 4. ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைனைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு. சார்பு வெளிப்பாட்டின் இரண்டு சொற்களும் நேர்மறை பகுதியளவு அடுக்குகளைக் கொண்ட ஆற்றல் செயல்பாடுகளாகும். இதன் விளைவாக, இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் தொகுப்பு - ∞; +∞[.

அதிவேக மற்றும் மடக்கை செயல்பாடுகளின் களம்

அதிவேக செயல்பாட்டின் களம்

சூத்திரத்தால் ஒரு சார்பு கொடுக்கப்பட்டால், செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் முழு எண் கோடு, அதாவது ] - ∞; +∞[.

மடக்கைச் செயல்பாட்டின் களம்

மடக்கைச் சார்பு அதன் வாதம் நேர்மறையாக இருந்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது, அதாவது அதன் வரையறையின் களம் ]0 ஆகும்; +∞[.

செயல்பாட்டின் டொமைனை நீங்களே கண்டுபிடித்து, பின்னர் தீர்வைப் பாருங்கள்

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் களம்

செயல்பாட்டு டொமைன் ஒய்= காஸ்( எக்ஸ்) - மேலும் பல ஆர் உண்மையான எண்கள்.

செயல்பாட்டு டொமைன் ஒய்= டிஜி( எக்ஸ்) - ஒரு கொத்து ஆர் எண்களைத் தவிர உண்மையான எண்கள் .

செயல்பாட்டு டொமைன் ஒய்= ctg( எக்ஸ்) - ஒரு கொத்து ஆர் எண்களைத் தவிர உண்மையான எண்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 8. ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைனைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு. வெளிப்புறச் செயல்பாடு ஒரு தசம மடக்கை மற்றும் அதன் வரையறையின் களம் பொதுவாக மடக்கைச் செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனின் நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டது. அதாவது, அவளுடைய வாதம் நேர்மறையாக இருக்க வேண்டும். இங்கே வாதம் "x" இன் சைன் ஆகும். ஒரு கற்பனை திசைகாட்டியை ஒரு வட்டத்தைச் சுற்றிப் பார்த்தால், அந்த நிலை பாவம் என்பதை நாம் காண்கிறோம் எக்ஸ்"x" என்பது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம், "pi", இரண்டு, "pi" ஆல் பெருக்கப்படும் மற்றும் பொதுவாக "pi" மற்றும் ஏதேனும் ஒரு இரட்டை அல்லது ஒற்றைப்படை முழு எண்ணின் பெருக்கத்திற்குச் சமமாக இருக்கும் போது > 0 மீறப்படுகிறது.

எனவே, இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம் வெளிப்பாடு மூலம் வழங்கப்படுகிறது

,

எங்கே கே- ஒரு முழு எண்.

தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வரையறையின் களம்

செயல்பாட்டு டொமைன் ஒய்= ஆர்க்சின்( எக்ஸ்) - தொகுப்பு [-1; 1] .

செயல்பாட்டு டொமைன் ஒய்= ஆர்க்கோஸ்( எக்ஸ்) - தொகுப்பு [-1; 1] .

செயல்பாட்டு டொமைன் ஒய்= ஆர்க்டன்( எக்ஸ்) - ஒரு கொத்து ஆர் உண்மையான எண்கள்.

செயல்பாட்டு டொமைன் ஒய்= arcctg( எக்ஸ்) - மேலும் பல ஆர் உண்மையான எண்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 9. ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைனைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு. சமத்துவமின்மையை தீர்ப்போம்:

எனவே, இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைப் பெறுகிறோம் - பிரிவு [- 4; 4] .

எடுத்துக்காட்டு 10. ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைனைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு. இரண்டு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்போம்:

முதல் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு:

இரண்டாவது சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு:

எனவே, இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைப் பெறுகிறோம் - பிரிவு.

பின்னம் நோக்கம்

ஒரு சார்பு பின்னத்தின் வகுப்பில் மாறி இருக்கும் ஒரு பகுதி வெளிப்பாடு மூலம் கொடுக்கப்பட்டால், செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம் தொகுப்பாகும். ஆர் உண்மையான எண்கள், இவை தவிர எக்ஸ், இதில் பின்னத்தின் வகுத்தல் பூஜ்ஜியமாக மாறும்.

எடுத்துக்காட்டு 11. ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைனைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு. பின்னத்தின் வகுப்பின் சமத்துவத்தை பூஜ்ஜியத்திற்குத் தீர்ப்பதன் மூலம், இந்தச் செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைக் காண்கிறோம் - தொகுப்பு ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

எடுத்துக்காட்டு 12. ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைனைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு. சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

எனவே, இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தைப் பெறுகிறோம் - ]- ∞; - 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[ .

முதலில், எப்படி கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம் செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையின் வரையறையின் களம். அத்தகைய ஒரு சார்பு மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் என்பது தெளிவாகிறது, அதற்காக கூட்டுத்தொகையை உருவாக்கும் அனைத்து செயல்பாடுகளும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். எனவே, பின்வரும் அறிக்கையின் செல்லுபடியாகும் என்பதில் எந்த சந்தேகமும் இல்லை:

f சார்பு f என்பது n சார்புகளின் கூட்டுத்தொகை f 1, f 2, …, f n, அதாவது f சார்பு y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x) சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது. ), பின்னர் f செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் f 1, f 2, ..., f n செயல்பாடுகளின் வரையறையின் களங்களின் குறுக்குவெட்டு ஆகும். என இதை எழுதலாம்.

கடைசியில் உள்ளதைப் போன்ற உள்ளீடுகளைத் தொடர்ந்து பயன்படுத்த ஒப்புக்கொள்கிறோம், இதன் மூலம் சுருள் பிரேஸுக்குள் எழுதப்பட்டதாகவோ அல்லது நிபந்தனைகளை ஒரே நேரத்தில் நிறைவேற்றுவதையோ குறிக்கிறோம். இது வசதியானது மற்றும் அமைப்புகளின் அர்த்தத்துடன் இயற்கையாகவே எதிரொலிக்கிறது.

உதாரணமாக.

y=x 7 +x+5+tgx சார்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் அதன் வரையறையின் டொமைனை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

தீர்வு.

f சார்பு நான்கு சார்புகளின் கூட்டுத்தொகையால் குறிக்கப்படுகிறது: f 1 - அதிவேக 7 உடன் ஆற்றல் செயல்பாடு, f 2 - அதிவேக 1 உடன் சக்தி செயல்பாடு, f 3 - நிலையான செயல்பாடு மற்றும் f 4 - தொடுசார் செயல்பாடு.

அடிப்படை அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரையறையின் களங்களின் அட்டவணையைப் பார்க்கும்போது, ​​D(f 1)=(−∞, +∞), D(f 2)=(-−∞, +∞), D(f 3)= (−∞, +∞), மற்றும் தொடுகோட்டின் வரையறையின் டொமைன் என்பது எண்களைத் தவிர அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பாகும். .

f செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம் f 1, f 2, f 3 மற்றும் f 4 செயல்பாடுகளின் வரையறையின் களங்களின் குறுக்குவெட்டு ஆகும். இது எண்களைத் தவிர, அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பாகும் என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது .

பதில்:

தவிர அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு .

கண்டுபிடிப்பிற்கு செல்லலாம் செயல்பாடுகளின் விளைபொருளின் வரையறையின் களம். இந்த வழக்கில், இதே போன்ற விதி பொருந்தும்:

f சார்பு என்பது n சார்புகளின் விளைபொருளாக இருந்தால் f 1, f 2, ..., f n, அதாவது f சார்பு சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது. y=f 1 (x) f 2 (x)… f n (x), பின்னர் f செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் f 1, f 2, ..., f n செயல்பாடுகளின் வரையறையின் களங்களின் குறுக்குவெட்டு ஆகும். அதனால், .

இது புரிந்துகொள்ளத்தக்கது, சுட்டிக்காட்டப்பட்ட பகுதியில் அனைத்து தயாரிப்பு செயல்பாடுகளும் வரையறுக்கப்படுகின்றன, எனவே செயல்பாடு f தானே.

உதாரணமாக.

Y=3·arctgx·lnx.

தீர்வு.

செயல்பாட்டை வரையறுக்கும் சூத்திரத்தின் வலது பக்க அமைப்பு f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) ஆகக் கருதப்படலாம், இங்கு f 1 என்பது ஒரு நிலையான செயல்பாடு, f 2 என்பது ஆர்க்டேன்ஜென்ட் செயல்பாடு, மற்றும் f 3 என்பது அடிப்படை e கொண்ட மடக்கைச் சார்பு.

D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) மற்றும் D(f 3)=(0, +∞) . பிறகு .

பதில்:

செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் y=3·arctgx·lnx என்பது அனைத்து உண்மையான நேர்மறை எண்களின் தொகுப்பாகும்.

y=C·f(x) சூத்திரத்தால் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைக் கண்டுபிடிப்பதில் தனித்தனியாக கவனம் செலுத்துவோம், அங்கு C என்பது உண்மையான எண். இந்தச் செயல்பாட்டின் வரையறையின் களமும் f செயல்பாட்டின் வரையறையின் களமும் ஒத்துப்போகின்றன என்பதைக் காண்பிப்பது எளிது. உண்மையில், y=C·f(x) சார்பு என்பது ஒரு நிலையான செயல்பாடு மற்றும் f சார்பின் விளைபொருளாகும். ஒரு நிலையான செயல்பாட்டின் டொமைன் அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பாகும், மேலும் f சார்பின் டொமைன் D(f) ஆகும். பின்னர் செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் y=C f(x) ஆகும் , இது காட்டப்பட வேண்டியது.

எனவே, y=f(x) மற்றும் y=C·f(x) செயல்பாடுகளின் வரையறையின் களங்கள், C என்பது சில உண்மையான எண்ணாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, ரூட்டின் டொமைன் , இது D(f) என்பது f 2 செயல்பாட்டின் டொமைனில் இருந்து அனைத்து x இன் தொகுப்பாகும் என்பது தெளிவாகிறது, இதற்காக f 2 (x) என்பது f 1 செயல்பாட்டின் களத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.

இதனால், ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம் y=f 1 (f 2 (x)) என்பது இரண்டு தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு ஆகும்: இது போன்ற அனைத்து x களின் தொகுப்பு x∈D(f 2) மற்றும் f 2 (x)D(f 1) . அதாவது, நாம் ஏற்றுக்கொண்ட குறிப்பில் (இது அடிப்படையில் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பு).

சில உதாரண தீர்வுகளைப் பார்ப்போம். இந்த செயல்முறையை நாங்கள் விரிவாக விவரிக்க மாட்டோம், ஏனெனில் இது இந்த கட்டுரையின் எல்லைக்கு அப்பாற்பட்டது.

உதாரணமாக.

y=lnx 2 செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

அசல் செயல்பாட்டை y=f 1 (f 2 (x)) எனக் குறிப்பிடலாம், இங்கு f 1 என்பது அடிப்படை e உடன் மடக்கை, மற்றும் f 2 என்பது அடுக்கு 2 உடன் ஒரு சக்தி சார்பு ஆகும்.

முக்கிய அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரையறையின் அறியப்பட்ட டொமைன்களுக்கு திரும்பினால், எங்களிடம் D(f 1)=(0, +∞) மற்றும் D(f 2)=(-∞, +∞) .

பிறகு

எனவே நமக்குத் தேவையான செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைக் கண்டுபிடித்தோம், இது பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பாகும்.

பதில்:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

உதாரணமாக.

ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைன் என்ன ?

தீர்வு.

இந்தச் செயல்பாடு சிக்கலானது, இது y=f 1 (f 2 (x)) ஆகக் கருதப்படலாம், இதில் f 1 என்பது அதிவேகத்துடன் கூடிய ஒரு சக்திச் சார்பாகும், மேலும் f 2 என்பது ஆர்க்சைன் சார்பு ஆகும், மேலும் அதன் வரையறையின் டொமைனை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

நமக்குத் தெரிந்ததைப் பார்ப்போம்: D(f 1)=(0, +∞) மற்றும் D(f 2)=[−1, 1] . x∈D(f 2) மற்றும் f 2 (x)∈D(f 1) போன்ற மதிப்புகளின் தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டைக் கண்டறிய இது உள்ளது:

arcsinx>0 க்கு, arcsine செயல்பாட்டின் பண்புகளை நினைவில் கொள்க. [−1, 1] வரையறையின் முழு டொமைன் முழுவதும் ஆர்க்சைன் அதிகரிக்கிறது மற்றும் x=0 இல் பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்கிறது, எனவே, இடைவெளியில் (0, 1] எந்த xக்கும் arcsinx>0.

கணினிக்குத் திரும்புவோம்:

எனவே, செயல்பாட்டின் வரையறைக்கு தேவையான டொமைன் அரை இடைவெளி (0, 1] ஆகும்.

பதில்:

(0, 1] .

இப்போது y=f 1 (f 2 (...f n (x)))) பொது வடிவத்தின் சிக்கலான செயல்பாடுகளுக்கு செல்லலாம். இந்த வழக்கில் f செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் இவ்வாறு காணப்படுகிறது .

உதாரணமாக.

ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைனைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு.

கொடுக்கப்பட்ட சிக்கலான செயல்பாட்டை y=f 1 (f 2 (f 3 (x))) என எழுதலாம், அங்கு f 1 – sin, f 2 – நான்காவது டிகிரி ரூட் செயல்பாடு, f 3 – log.

D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=∪∪∪/அணுகல் முறை: www.fipi.ru, www.eg தளங்களிலிருந்து பொருட்கள்

ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பு - ஒரு தீர்வு உள்ளது [எலக்ட்ரானிக் ஆதாரம்]/அணுகல் முறை: rudocs.exdat.com›docs/index-16853.html

ODZ - ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் பகுதி, ODZ [எலக்ட்ரானிக் ஆதாரம்]/அணுகல் முறை: cleverstudents.ru›expressions/odz.html.

ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பு: கோட்பாடு மற்றும் நடைமுறை [எலக்ட்ரானிக் ஆதாரம்]/அணுகல் முறை: pandia.ru›text/78/083/13650.php

ODZ என்றால் என்ன [மின்னணு வளம்]/ அணுகல் முறை: www.cleverstudents.ru›odz.html

ODZ என்றால் என்ன, அதை எவ்வாறு தேடுவது - விளக்கம் மற்றும் எடுத்துக்காட்டு. மின்னணு வளம்]/ அணுகல் முறை: cos-cos.ru›math/82/

இணைப்பு 1

நடைமுறை வேலை "ODZ: எப்போது, ​​ஏன், எப்படி?"

விருப்பம் 1	விருப்பம் 2
│x+14│= 2 - 2x
	│3x│=1 - 3x

இணைப்பு 2

நடைமுறை வேலைகளின் பணிகளுக்கான பதில்கள் "ODZ: எப்போது, ​​ஏன், எப்படி?"

விருப்பம் 1	விருப்பம் 2
பதில்: வேர்கள் இல்லை	பதில்: x-எந்த எண்ணும் x=5 தவிர
9x+ = +27 ODZ: x≠3 பதில்: வேர்கள் இல்லை	ODZ: x=-3, x=5. பதில்: -3;5.
y= -குறைகிறது, y= -அதிகரிக்கும் இதன் பொருள் சமன்பாடு அதிகபட்சம் ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது. பதில்: x=6.	ODZ: → →х≥5 பதில்: x≥5, x≤-6.
│x+14│=2-2x ODZ:2-2x≥0, x≤1 x=-4, x=16, 16 ODZ க்கு சொந்தமானது அல்ல	குறைகிறது, அதிகரிக்கிறது சமன்பாடு அதிகபட்சம் ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது. பதில்: வேர்கள் இல்லை.
0, ODZ: x≥3, x≤2 பதில்: x≥3, x≤2	8x+ = -32, ODZ: x≠-4. பதில்: வேர்கள் இல்லை.
x=7, x=1. பதில்: தீர்வுகள் இல்லை	பெருகும் - குறையும் பதில்: x=2.
0 ODZ: x≠15 பதில்: x என்பது x=15 தவிர வேறு எந்த எண்ணாகும்.	│3-х│=1-3х, ODZ: 1-3х≥0, x≤ x=-1, x=1 என்பது ODZ க்கு சொந்தமானது அல்ல. பதில்: x=-1.

பின்ன சமன்பாடுகள். ODZ.

கவனம்!
கூடுதல் உள்ளன
சிறப்புப் பிரிவு 555 இல் உள்ள பொருட்கள்.
மிகவும் "மிகவும் இல்லை..." என்று இருப்பவர்களுக்கு.
மற்றும் "மிகவும்..." இருப்பவர்களுக்கு)

சமன்பாடுகளை நாங்கள் தொடர்ந்து மாஸ்டர் செய்கிறோம். நேரியல் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளுடன் எவ்வாறு செயல்படுவது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். கடைசி பார்வை விட்டு - பின்ன சமன்பாடுகள். அல்லது அவர்கள் மிகவும் மரியாதையுடன் அழைக்கப்படுகிறார்கள் - பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள். அதேதான்.

பின்ன சமன்பாடுகள்.

பெயர் குறிப்பிடுவது போல, இந்த சமன்பாடுகள் பின்னங்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். ஆனால் பின்னங்கள் மட்டுமல்ல, கொண்ட பின்னங்களும் வகுப்பில் தெரியவில்லை. குறைந்தபட்சம் ஒன்றில். உதாரணத்திற்கு:

பகுப்புகள் மட்டும் இருந்தால் நினைவூட்டுகிறேன் எண்கள், இவை நேரியல் சமன்பாடுகள்.

எப்படி முடிவு செய்வது பின்ன சமன்பாடுகள்? முதலில், பின்னங்களை அகற்றவும்! இதற்குப் பிறகு, சமன்பாடு பெரும்பாலும் நேரியல் அல்லது இருபடியாக மாறும். பின்னர் என்ன செய்வது என்று எங்களுக்குத் தெரியும்... சில சமயங்களில் அது 5=5 அல்லது 7=2 போன்ற தவறான வெளிப்பாடு போன்ற அடையாளமாக மாறலாம். ஆனால் இது அரிதாக நடக்கும். இதை நான் கீழே குறிப்பிடுகிறேன்.

ஆனால் பின்னங்களை எப்படி அகற்றுவது!? மிக எளிய. ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களைப் பயன்படுத்துதல்.

முழு சமன்பாட்டையும் ஒரே வெளிப்பாடு மூலம் பெருக்க வேண்டும். அதனால் அனைத்து பிரிவுகளும் குறைக்கப்படுகின்றன! எல்லாம் உடனடியாக எளிதாகிவிடும். ஒரு உதாரணத்துடன் விளக்குகிறேன். சமன்பாட்டை நாம் தீர்க்க வேண்டும்:

தொடக்கப்பள்ளியில் உங்களுக்கு எப்படிக் கற்பிக்கப்பட்டது? நாங்கள் எல்லாவற்றையும் ஒரு பக்கத்திற்கு நகர்த்துகிறோம், அதை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருகிறோம். கெட்ட கனவு போல் மறந்துவிடு! பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போது அல்லது கழிக்கும்போது நீங்கள் செய்ய வேண்டியது இதுதான். அல்லது நீங்கள் ஏற்றத்தாழ்வுகளுடன் வேலை செய்கிறீர்கள். சமன்பாடுகளில், நாம் உடனடியாக இரு பக்கங்களையும் ஒரு வெளிப்பாட்டின் மூலம் பெருக்குகிறோம், இது அனைத்து வகைகளையும் (அதாவது, சாராம்சத்தில், ஒரு பொதுவான வகுப்பினால்) குறைக்க வாய்ப்பளிக்கும். இந்த வெளிப்பாடு என்ன?

இடது பக்கத்தில், வகுப்பினைக் குறைப்பதன் மூலம் பெருக்க வேண்டும் x+2. மற்றும் வலதுபுறத்தில், 2 ஆல் பெருக்கல் தேவை, அதாவது சமன்பாடு பெருக்கப்பட வேண்டும் 2(x+2). பெருக்கவும்:

இது பின்னங்களின் பொதுவான பெருக்கல், ஆனால் நான் அதை விரிவாக விவரிக்கிறேன்:

நான் இன்னும் அடைப்புக்குறியைத் திறக்கவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் (x + 2)! எனவே, நான் அதை முழுமையாக எழுதுகிறேன்:

இடது பக்கத்தில் அது முழுவதுமாக சுருங்குகிறது (x+2), மற்றும் வலதுபுறம் 2. எது தேவை! குறைத்த பிறகு நாம் பெறுகிறோம் நேரியல்சமன்பாடு:

இந்த சமன்பாட்டை அனைவரும் தீர்க்க முடியும்! x = 2.

மற்றொரு உதாரணத்தைத் தீர்ப்போம், இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலானது:

3 = 3/1, மற்றும் 2x = 2x/ 1, நாம் எழுதலாம்:

மீண்டும் நாம் உண்மையில் விரும்பாதவற்றை அகற்றுவோம் - பின்னங்கள்.

X உடன் வகுப்பினைக் குறைக்க, நாம் பின்னத்தை பெருக்க வேண்டும் (x – 2). மேலும் ஒரு சிலர் நமக்குத் தடையாக இல்லை. சரி, பெருக்குவோம். அனைத்துஇடது பக்கம் மற்றும் அனைத்துவலது பக்கம்:

மீண்டும் அடைப்புக்குறிகள் (x – 2)நான் வெளிப்படுத்தவில்லை. நான் முழு அடைப்புக்குறியுடன் ஒரு எண்ணைப் போல வேலை செய்கிறேன்! இது எப்போதும் செய்யப்பட வேண்டும், இல்லையெனில் எதுவும் குறைக்கப்படாது.

ஆழ்ந்த திருப்தி உணர்வுடன் நாம் குறைக்கிறோம் (x – 2)மற்றும் நாம் எந்த பின்னங்களும் இல்லாமல், ஒரு ஆட்சியாளருடன் ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்!

இப்போது அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம்:

நாங்கள் ஒத்தவற்றைக் கொண்டு வருகிறோம், எல்லாவற்றையும் இடது பக்கம் நகர்த்திப் பெறுகிறோம்:

ஆனால் அதற்கு முன் மற்ற பிரச்சனைகளை தீர்க்க கற்றுக்கொள்வோம். வட்டி மீது. அது ஒரு ரேக்!

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களைப் பற்றி நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

கணிதத்தில் எண்ணற்ற செயல்பாடுகள் உள்ளன. மற்றும் ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த குணாதிசயங்களைக் கொண்டுள்ளன.) உங்களுக்குத் தேவையான பல்வேறு வகையான செயல்பாடுகளுடன் வேலை செய்ய வேண்டும் ஒற்றைஒரு அணுகுமுறை. இல்லையெனில், இது என்ன வகையான கணிதம்?!) மற்றும் அத்தகைய அணுகுமுறை உள்ளது!

எந்தவொரு செயல்பாட்டிலும் பணிபுரியும் போது, ​​நாங்கள் அதை ஒரு நிலையான கேள்விகளுடன் வழங்குகிறோம். மற்றும் முதல், மிக முக்கியமான கேள்வி செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம்.சில நேரங்களில் இந்த பகுதி செல்லுபடியாகும் வாத மதிப்புகளின் தொகுப்பு, ஒரு செயல்பாடு குறிப்பிடப்பட்ட பகுதி, முதலியன அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைன் என்ன? அதை எப்படி கண்டுபிடிப்பது? இந்தக் கேள்விகள் பெரும்பாலும் சிக்கலானதாகவும் புரிந்துகொள்ள முடியாததாகவும் தோன்றுகின்றன... இருப்பினும், உண்மையில், எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது. இந்தப் பக்கத்தைப் படிப்பதன் மூலம் நீங்களே பார்க்கலாம். போ?)

சரி, நான் என்ன சொல்ல முடியும்... வெறும் மரியாதை.) ஆமாம்! ஒரு செயல்பாட்டின் இயல்பான களம் (இது இங்கே விவாதிக்கப்படுகிறது) போட்டிகளில்செயல்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள வெளிப்பாடுகளின் ODZ உடன். அதன்படி, அவர்கள் அதே விதிகளின்படி தேடப்படுகிறார்கள்.

இப்போது முற்றிலும் இயற்கையான வரையறையின் டொமைனைப் பார்ப்போம்.)

ஒரு செயல்பாட்டின் நோக்கத்தில் கூடுதல் கட்டுப்பாடுகள்.

பணியால் விதிக்கப்படும் கட்டுப்பாடுகள் பற்றி இங்கு பேசுவோம். அந்த. பணியானது கம்பைலர் கொண்டு வந்த சில கூடுதல் நிபந்தனைகளைக் கொண்டுள்ளது. அல்லது செயல்பாட்டை வரையறுக்கும் முறையிலிருந்து கட்டுப்பாடுகள் வெளிப்படுகின்றன.

பணியில் உள்ள கட்டுப்பாடுகளைப் பொறுத்தவரை, எல்லாம் எளிது. பொதுவாக, எதையும் தேட வேண்டிய அவசியமில்லை, எல்லாம் ஏற்கனவே பணியில் கூறப்பட்டுள்ளது. பணியின் ஆசிரியரால் எழுதப்பட்ட கட்டுப்பாடுகள் ரத்து செய்யப்படாது என்பதை நினைவூட்டுகிறேன் கணிதத்தின் அடிப்படை வரம்புகள்.பணியின் நிபந்தனைகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

உதாரணமாக, இந்த பணி:

செயல்பாட்டின் டொமைனைக் கண்டறியவும்:

நேர்மறை எண்களின் தொகுப்பில்.

இந்தச் செயல்பாட்டின் இயற்கையான வரையறையை மேலே கண்டோம். இந்த பகுதி:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

ஒரு செயல்பாட்டைக் குறிப்பிடும் வாய்மொழி முறையில், நீங்கள் நிபந்தனையை கவனமாகப் படித்து, அங்கு Xs இல் கட்டுப்பாடுகளைக் கண்டறிய வேண்டும். சில நேரங்களில் கண்கள் சூத்திரங்களைத் தேடுகின்றன, ஆனால் வார்த்தைகள் நனவைக் கடந்தன ஆம்...) முந்தைய பாடத்திலிருந்து எடுத்துக்காட்டு:

செயல்பாடு நிபந்தனையால் குறிப்பிடப்படுகிறது: இயற்கை வாதம் x இன் ஒவ்வொரு மதிப்பும் x இன் மதிப்பை உருவாக்கும் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையுடன் தொடர்புடையது.

நாம் பேசுகிறோம் என்பதை இங்கே கவனிக்க வேண்டும் மட்டுமே X இன் இயற்கை மதிப்புகள் பற்றி. பிறகு D(f)உடனடியாக பதிவு செய்யப்பட்டது:

D(f): x ∈ என்

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைன் அவ்வளவு சிக்கலான கருத்து அல்ல. இந்த பகுதியைக் கண்டறிவது செயல்பாட்டை ஆராய்வதற்கும், ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பை எழுதுவதற்கும், இந்த அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கும் வருகிறது. நிச்சயமாக, அனைத்து வகையான அமைப்புகள் உள்ளன, எளிய மற்றும் சிக்கலான. ஆனாலும்...

நான் உங்களுக்கு ஒரு சிறிய ரகசியத்தைச் சொல்கிறேன். சில நேரங்களில் நீங்கள் வரையறையின் டொமைனைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய ஒரு செயல்பாடு வெறுமனே அச்சுறுத்தலாகத் தெரிகிறது. நான் வெளிர் மற்றும் அழ வேண்டும்.) ஆனால் நான் ஏற்றத்தாழ்வுகள் அமைப்பு எழுத விரைவில் ... மற்றும், திடீரென்று, அமைப்பு ஆரம்ப மாறிவிடும்! மேலும், அடிக்கடி, மிகவும் பயங்கரமான செயல்பாடு, எளிமையான அமைப்பு ...

ஒழுக்கம்: கண்கள் பயப்படுகின்றன, தலை தீர்மானிக்கிறது!)