Mga operasyon na may mga fraction ng isang equation. Mga operasyon na may mga fraction

Mga tagubilin

Una, tandaan na ang isang fraction ay isang conventional notation lamang para sa paghahati ng isang numero sa isa pa. Bilang karagdagan at pagpaparami, kapag naghahati ng dalawang integer, ang isang buong numero ay hindi palaging nakuha. Kaya't tawagan ang dalawang numerong ito na "divisible". Ang numerong hinahati ay ang numerator, at ang bilang na hinahati ay ang denominator.

Upang magsulat ng fraction, isulat muna ang numerator, pagkatapos ay gumuhit ng pahalang na linya sa ilalim ng numero, at isulat ang denominator sa ibaba ng linya. Ang pahalang na linya na naghihiwalay sa numerator at denominator ay tinatawag na fraction line. Minsan ito ay inilalarawan bilang isang slash na "/" o "∕". Sa kasong ito, ang numerator ay nakasulat sa kaliwa ng linya, at ang denominator sa kanan. Kaya, halimbawa, ang fraction na "two thirds" ay isusulat bilang 2/3. Para sa kalinawan, ang numerator ay karaniwang nakasulat sa tuktok ng linya, at ang denominator sa ibaba, iyon ay, sa halip na 2/3 ay makikita mo ang: ⅔.

Kung ang numerator ng isang fraction ay mas malaki kaysa sa denominator nito, kung gayon ang hindi wastong fraction ay karaniwang isinusulat bilang isang mixed fraction. Upang makagawa ng pinaghalong praksiyon mula sa hindi wastong praksiyon, hatiin lamang ang numerator sa denominator at isulat ang resultang quotient. Pagkatapos ay ilagay ang natitirang bahagi sa numerator ng fraction at isulat ang fraction na ito sa kanan ng quotient (huwag hawakan ang denominator). Halimbawa, 7/3 = 2⅓.

Upang magdagdag ng dalawang fraction na may parehong denominator, idagdag lamang ang kanilang mga numerator (iwanan ang mga denominator). Halimbawa, 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. Magbawas ng dalawang fraction sa parehong paraan (ang mga numerator ay ibabawas). Halimbawa, 6/7 – 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.

Upang magdagdag ng dalawang fraction na may magkaibang denominator, i-multiply ang numerator at denominator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa, at i-multiply ang numerator at denominator ng pangalawang fraction sa denominator ng una. Bilang resulta, makukuha mo ang kabuuan ng dalawang fraction na may parehong denominator, ang pagdaragdag nito ay inilarawan sa nakaraang talata.

Halimbawa, 3/4 + 2/3 = (3*3)/(4*3) + (2*4)/(3*4) = 9/12 + 8/12 = (9+8)/12 = 12/17 = 1 5/12.

Kung ang mga denominator ng mga fraction ay may mga karaniwang salik, iyon ay, sila ay nahahati sa parehong bilang, piliin bilang karaniwang denominador ang pinakamaliit na bilang na nahahati ng una at pangalawang denominador sa parehong oras. Kaya, halimbawa, kung ang unang denominator ay 6 at ang pangalawa ay 8, kung gayon bilang isang karaniwang denamineytor ay hindi kunin ang kanilang produkto (48), ngunit ang bilang na 24, na nahahati sa parehong 6 at 8. Ang mga numerator ng mga praksiyon ay pinarami ng quotient ng paghahati ng common denominator sa denominator ng bawat fraction. Halimbawa, para sa denominator ng 6 ang numerong ito ay magiging 4 – (24/6), at para sa denominator ng 8 – 3 (24/8). Ang prosesong ito ay mas malinaw na nakikita sa isang partikular na halimbawa:

5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.

Ang pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator ay ginagawa sa parehong paraan.

Sumang-ayon tayo na ang "mga aksyon na may mga fraction" sa ating aralin ay mangangahulugan ng mga aksyon na may mga ordinaryong fraction. Ang karaniwang fraction ay isang fraction na may mga katangian tulad ng numerator, fraction line, at denominator. Tinutukoy nito ang isang ordinaryong fraction mula sa isang decimal, na nakukuha mula sa isang ordinaryong fraction sa pamamagitan ng pagbabawas ng denominator sa isang multiple ng 10. Ang decimal fraction ay isinusulat na may kuwit na naghihiwalay sa buong bahagi mula sa fractional na bahagi. Pag-uusapan natin ang tungkol sa mga operasyon na may mga ordinaryong fraction, dahil sila ang nagdudulot ng pinakamalaking paghihirap para sa mga mag-aaral na nakalimutan ang mga pangunahing kaalaman ng paksang ito, na sakop sa unang kalahati ng kurso sa matematika ng paaralan. Kasabay nito, kapag binabago ang mga expression sa mas mataas na matematika, ito ay pangunahing mga operasyon na may mga ordinaryong fraction na ginagamit. Ang fraction abbreviations lamang ay sulit! Ang mga desimal na fraction ay hindi nagdudulot ng anumang partikular na paghihirap. Mauna ka na!

Dalawang fraction ay sinasabing magkapareho kung .

Halimbawa, mula noong

Ang mga praksiyon at (mula noong), at (mula noong) ay pantay din.

Malinaw, ang parehong mga fraction at ay pantay. Nangangahulugan ito na kung ang numerator at denominator ng isang ibinigay na fraction ay pinarami o hinati sa parehong natural na numero, makakakuha ka ng isang fraction na katumbas ng ibinigay na isa: .

Ang katangiang ito ay tinatawag na pangunahing katangian ng isang fraction.

Ang pangunahing katangian ng isang fraction ay maaaring gamitin upang baguhin ang mga palatandaan ng numerator at denominator ng isang fraction. Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami ng -1, makukuha natin ang . Nangangahulugan ito na ang halaga ng isang fraction ay hindi magbabago kung ang mga palatandaan ng numerator at denominator ay binago nang sabay. Kung babaguhin mo ang tanda ng numerator lamang o denominator lamang, ang fraction ay babaguhin ang tanda nito:

Pagbawas ng mga Fraction

Gamit ang pangunahing katangian ng isang fraction, maaari mong palitan ang isang ibinigay na fraction ng isa pang fraction na katumbas ng ibinigay na isa, ngunit may mas maliit na numerator at denominator. Ang pagpapalit na ito ay tinatawag na fraction reduction.

Hayaan, halimbawa, bigyan ng fraction. Ang mga numerong 36 at 48 ay may pinakamalaking karaniwang divisor na 12. Pagkatapos

Sa pangkalahatan, ang pagbabawas ng isang fraction ay palaging posible kung ang numerator at denominator ay hindi magkaparehong prime number. Kung ang numerator at denominator ay magkaparehong prime number, ang fraction ay tinatawag na irreducible.

Kaya, upang bawasan ang isang fraction ay nangangahulugan na hatiin ang numerator at denominator ng fraction sa isang karaniwang kadahilanan. Nalalapat din ang lahat ng nasa itaas sa mga fractional na expression na naglalaman ng mga variable.

Halimbawa 1. Bawasan ang fraction

Solusyon. Upang i-factor ang numerator, unang iharap ang monomial - 5 xy bilang kabuuan - 2 xy - 3xy, nakukuha namin

Upang i-factor ang denominator, ginagamit namin ang difference ng squares formula:

Ang resulta

Pagbawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator

Hayaan ang dalawang fraction at . May iba't ibang denominator ang mga ito: 5 at 7. Gamit ang pangunahing katangian ng mga fraction, maaari mong palitan ang mga fraction na ito ng iba na katumbas ng mga ito, at para ang mga resultang fraction ay magkakaroon ng parehong denominator. Ang pagpaparami ng numerator at denominator ng fraction sa 7, nakukuha natin

Ang pagpaparami ng numerator at denominator ng fraction sa 5, nakukuha natin

Kaya, ang mga fraction ay binabawasan sa isang karaniwang denominator:

Ngunit hindi lamang ito ang solusyon sa problema: halimbawa, ang mga fraction na ito ay maaari ding bawasan sa isang karaniwang denominator na 70:

at sa pangkalahatan sa anumang denominator na mahahati ng parehong 5 at 7.

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa: dalhin natin ang mga fraction at sa isang common denominator. Ang pagtatalo tulad ng sa nakaraang halimbawa, nakukuha natin

Ngunit sa kasong ito, posibleng bawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator na mas mababa kaysa sa produkto ng mga denominator ng mga fraction na ito. Hanapin natin ang least common multiple ng mga numero 24 at 30: LCM(24, 30) = 120.

Dahil 120:4 = 5, para magsulat ng fraction na may denominator na 120, kailangan mong i-multiply ang numerator at denominator sa 5, ang numerong ito ay tinatawag na karagdagang factor. ibig sabihin .

Susunod, makakakuha tayo ng 120:30=4. Ang pagpaparami ng numerator at denominator ng fraction sa pamamagitan ng karagdagang salik na 4, nakukuha natin .

Kaya, ang mga fraction na ito ay binabawasan sa isang karaniwang denominator.

Ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng mga denominator ng mga fraction na ito ay ang pinakamaliit na posibleng common denominator.

Para sa mga fractional na expression na kinabibilangan ng mga variable, ang common denominator ay isang polynomial na hinahati sa denominator ng bawat fraction.

Halimbawa 2. Hanapin ang karaniwang denominator ng mga fraction at.

Solusyon. Ang karaniwang denominator ng mga fraction na ito ay isang polynomial, dahil ito ay nahahati ng pareho at. Gayunpaman, hindi lamang ang polynomial na ito ang maaaring maging common denominator ng mga fraction na ito. Maaari rin itong maging isang polynomial , at polinomyal , at polinomyal atbp. Karaniwan silang kumukuha ng isang karaniwang denominator na ang anumang iba pang karaniwang denominador ay hinati ng napili nang walang natitira. Ang denominator na ito ay tinatawag na lowest common denominator.

Sa aming halimbawa, ang pinakamababang common denominator ay . Nakakuha:

;

Nagawa naming bawasan ang mga fraction sa kanilang pinakamababang common denominator. Nangyari ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator ng unang fraction sa , at ang numerator at denominator ng pangalawang fraction sa . Ang mga polynomial ay tinatawag na karagdagang mga kadahilanan, ayon sa pagkakabanggit para sa una at pangalawang mga praksyon.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction

Ang pagdaragdag ng mga fraction ay tinukoy bilang mga sumusunod:

Halimbawa,

Kung b = d, Iyon

Nangangahulugan ito na upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, sapat na upang idagdag ang mga numerator at iwanan ang denominator na pareho. Halimbawa,

Kung magdadagdag ka ng mga fraction na may iba't ibang denominator, karaniwan mong binabawasan ang mga fraction sa pinakamababang common denominator, at pagkatapos ay idaragdag ang mga numerator. Halimbawa,

Ngayon tingnan natin ang isang halimbawa ng pagdaragdag ng mga fractional na expression na may mga variable.

Halimbawa 3. I-convert ang expression sa isang fraction

Solusyon. Hanapin natin ang lowest common denominator. Para magawa ito, i-factorize muna natin ang mga denominator.

Pagpaparami at paghahati ng mga fraction.

Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga "napakarami...")

Ang operasyong ito ay mas maganda kaysa sa karagdagan-pagbawas! Dahil mas madali. Bilang paalala, upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang mga numerator (ito ang magiging numerator ng resulta) at ang mga denominator (ito ang magiging denominator). Yan ay:

Halimbawa:

Ang lahat ay sobrang simple. At mangyaring huwag maghanap ng isang karaniwang denominator! Hindi na siya kailangan dito...

Upang hatiin ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong baligtarin pangalawa(ito ay mahalaga!) fraction at i-multiply ang mga ito, i.e.:

Halimbawa:

Kung makakita ka ng multiplication o division na may mga integer at fraction, okay lang. Tulad ng karagdagan, gumawa kami ng isang fraction mula sa isang buong numero na may isa sa denominator - at magpatuloy! Halimbawa:

Sa mataas na paaralan, madalas mong kailangang harapin ang tatlong-kuwento (o kahit apat na palapag!) na mga praksyon. Halimbawa:

Paano ko gagawing disente ang fraction na ito? Oo, napakasimple! Gumamit ng two-point division:

Ngunit huwag kalimutan ang tungkol sa pagkakasunud-sunod ng dibisyon! Hindi tulad ng pagpaparami, ito ay napakahalaga dito! Siyempre, hindi natin malito ang 4:2 o 2:4. Ngunit madaling magkamali sa tatlong palapag na bahagi. Pakitandaan halimbawa:

Sa unang kaso (expression sa kaliwa):

Sa pangalawa (expression sa kanan):

Nararamdaman mo ba ang pagkakaiba? 4 at 1/9!

Ano ang tumutukoy sa pagkakasunud-sunod ng paghahati? Alinman sa may mga bracket, o (tulad dito) na may haba ng mga pahalang na linya. Paunlarin ang iyong mata. At kung walang mga bracket o gitling, tulad ng:

pagkatapos ay hatiin at paramihin sa pagkakasunud-sunod, mula kaliwa hanggang kanan!

At isa pang napaka-simple at mahalagang pamamaraan. Sa mga aksyon na may degree, ito ay magiging kapaki-pakinabang sa iyo! Hatiin natin ang isa sa anumang fraction, halimbawa, sa 13/15:

Nabaligtad ang shot! At ito ay palaging nangyayari. Kapag hinahati ang 1 sa anumang fraction, ang resulta ay parehong fraction, baligtad lamang.

Iyon lang para sa mga operasyon na may mga fraction. Ang bagay ay medyo simple, ngunit nagbibigay ito ng higit sa sapat na mga pagkakamali. Isaalang-alang ang praktikal na payo, at magkakaroon ng mas kaunti sa kanila (mga pagkakamali)!

Mga praktikal na tip:

1. Ang pinakamahalagang bagay kapag nagtatrabaho sa mga fractional na expression ay ang kawastuhan at pagkaasikaso! Hindi ito mga pangkalahatang salita, hindi magandang hangarin! Ito ay isang matinding pangangailangan! Gawin ang lahat ng mga kalkulasyon sa Unified State Exam bilang isang ganap na gawain, nakatutok at malinaw. Mas mainam na magsulat ng dalawang dagdag na linya sa iyong draft kaysa magulo kapag gumagawa ng mga kalkulasyon sa isip.

2. Sa mga halimbawa na may iba't ibang uri ng mga fraction, nagpapatuloy tayo sa mga ordinaryong fraction.

3. Binabawasan namin ang lahat ng fraction hanggang sa huminto ang mga ito.

4. Binabawasan namin ang mga multi-level na fractional expression sa mga ordinaryo gamit ang paghahati sa pamamagitan ng dalawang puntos (sinusunod namin ang pagkakasunud-sunod ng paghahati!).

5. Hatiin ang isang yunit sa pamamagitan ng isang fraction sa iyong ulo, ibalik lamang ang fraction.

Narito ang mga gawain na dapat mong tapusin. Ang mga sagot ay ibinibigay pagkatapos ng lahat ng mga gawain. Gamitin ang mga materyales sa paksang ito at mga praktikal na tip. Tantyahin kung gaano karaming mga halimbawa ang iyong nalutas nang tama. Unang beses! Nang walang calculator! At gumawa ng tamang konklusyon...

Tandaan - ang tamang sagot ay natanggap mula sa pangalawa (lalo na sa pangatlo) oras ay hindi binibilang! Ganyan ang malupit na buhay.

Kaya, solve sa exam mode ! Ito pala ay paghahanda para sa Unified State Exam. Nalulutas namin ang halimbawa, suriin ito, lutasin ang susunod. Napagpasyahan namin ang lahat - sinuri muli mula sa una hanggang sa huli. Ngunit lamang Pagkatapos tingnan ang mga sagot.

Kalkulahin:

Nakapagdesisyon ka na ba?

Naghahanap kami ng mga sagot na tumutugma sa iyo. Sinadya kong isulat ang mga ito nang magulo, malayo sa tukso, kumbaga... Heto, ang mga sagot, na may nakasulat na semicolon.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Ngayon gumawa kami ng mga konklusyon. Kung maayos ang lahat, masaya ako para sa iyo! Ang mga pangunahing kalkulasyon na may mga fraction ay hindi ang iyong problema! Maaari kang gumawa ng mas seryosong mga bagay. Kung hindi...

Kaya mayroon kang isa sa dalawang problema. O pareho nang sabay-sabay.) Kakulangan ng kaalaman at (o) kawalan ng pansin. Pero ito nalulusaw Mga problema.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong idagdag ang kanilang mga numerator at iwanan ang denominator na pareho.
Upang ibawas ang mga fraction na may katulad na denominator, kailangan mong ibawas ang numerator ng minuend mula sa numerator ng minuend, at iwanan ang denominator na pareho.
Upang magdagdag o magbawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator, dapat mo munang bawasan ang mga ito sa isang karaniwang denominator, at pagkatapos ay ilapat ang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga fraction na may karaniwang denominator.
Ang produkto ng mga fraction ay isang fraction na ang numerator ay katumbas ng produkto ng mga numerator ng mga fraction na ito, at ang denominator ay produkto ng mga denominator ng mga fraction na ito.
Upang hatiin ang isang fraction sa isang fraction, dapat mong i-multiply ang dibidendo sa pamamagitan ng reciprocal ng divisor.
Ang anumang natural na numero ay maaaring katawanin bilang isang fraction sa anumang natural na denominator.
Upang i-convert ang isang fraction (o natural na numero) sa isang bagong denominator, kailangan mong gamitinpangunahing katangian ng isang fraction :

Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami o hinati sa parehong numero na hindi katumbas ng zero, makakakuha ka ng isang fraction na katumbas ng ibinigay na isa.

Mga panuntunan para sa pagharap sa mga halo-halong numero.

Ang pinaghalong numero ay ang kabuuan ng isang natural na numero at isang wastong fraction. Ang natural na numero ay tinatawag na integer na bahagi, at ang tamang fraction ay tinatawag na fractional na bahagi ng pinaghalong numero.

Halimbawa, - halo-halong bahagi.

Upang magdagdag ng magkahalong mga numero, kailangan mong idagdag ang buong bahagi nang hiwalay at ang mga fractional na bahagi nang hiwalay, at idagdag ang mga resultang resulta. Kung, bilang isang resulta ng karagdagan, ang fractional na bahagi ay nagiging isang hindi wastong bahagi, kung gayon ang buong bahagi ay dapat na ihiwalay mula dito at idagdag sa buong bahagi ng resulta.
Kung ang mga fractional na bahagi ng pinaghalong numero ay may iba't ibang denominator, dapat munang dalhin ang mga ito sa isang common denominator, at pagkatapos ay dapat ilapat ang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga mixed number.
Upang ibawas ang mga pinaghalong numero, kailangan mong ibawas nang hiwalay ang integer at fractional na mga bahagi, at pagkatapos ay idagdag ang mga resulta. Magagawa ito kung ang integer at fractional na bahagi ng minuend ay ayon sa pagkakabanggit ay mas malaki kaysa sa integer at fractional na bahagi ng subtrahend.
Kung ang fractional na bahagi ng minuend ay mas mababa kaysa sa fractional na bahagi ng subtrahend, dapat kang kumuha ng unit mula sa buong bahagi ng minuend, katawanin ito bilang isang fraction na may parehong denominator at idagdag ito sa fractional na bahagi ng minuend . Pagkatapos ay ilapat ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction.
Pansin! Hindi na kailangang kumatawan sa buong minuend at subtrahend bilang isang hindi tamang fraction! Ito ay maaaring humantong sa mga error sa computational!
Kung ang magkahalong mga numero ay may iba't ibang denominator, pagkatapos bago ang pagbabawas kailangan mong dalhin ang mga ito sa isang karaniwang denominator, at pagkatapos ay ilapat ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga pinaghalong numero.
Upang i-multiply o hatiin ang mga pinaghalong numero, maaari mong ipahayag ang mga ito bilang mga hindi wastong fraction at pagkatapos ay ilapat ang panuntunan para sa pag-multiply o paghahati ng mga karaniwang fraction.

Maliit na bahagi- isang anyo ng kumakatawan sa isang numero sa matematika. Ang fraction bar ay nagpapahiwatig ng operasyon ng paghahati. Numerator fraction ay tinatawag na dibidendo, at denominador- divider. Halimbawa, sa isang fraction ang numerator ay 5 at ang denominator ay 7.

Tama Ang isang fraction ay tinatawag na kung saan ang modulus ng numerator ay mas malaki kaysa sa modulus ng denominator. Kung ang isang fraction ay wasto, kung gayon ang modulus ng halaga nito ay palaging mas mababa sa 1. Ang lahat ng iba pang mga fraction ay mali.

Ang fraction ay tinatawag magkakahalo, kung ito ay nakasulat bilang isang integer at isang fraction. Ito ay kapareho ng kabuuan ng numerong ito at ang fraction:

Ang pangunahing katangian ng isang fraction

Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami ng parehong numero, kung gayon ang halaga ng fraction ay hindi magbabago, iyon ay, halimbawa,

Pagbawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator

Para magdala ng dalawang fraction sa isang common denominator, kailangan mo:

I-multiply ang numerator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa
I-multiply ang numerator ng pangalawang fraction sa denominator ng una
Palitan ang mga denominator ng parehong fraction ng kanilang produkto