Madalas sa mga problema ng tumaas na pagiging kumplikado na nakakaharap natin trigonometric equation na naglalaman ng modulus. Karamihan sa kanila ay nangangailangan ng isang heuristic na diskarte sa solusyon, na ganap na hindi pamilyar sa karamihan ng mga mag-aaral.
Ang mga problemang iminungkahi sa ibaba ay inilaan upang ipakilala sa iyo ang pinakakaraniwang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometrikong equation na naglalaman ng isang modulus.
Suliranin 1. Hanapin ang pagkakaiba (sa digri) ng pinakamaliit na positibo at pinakamalaking negatibong ugat ng equation na 1 + 2sin x |cos x| = 0.
Solusyon.
Palawakin natin ang modyul:
1) Kung ang cos x ≥ 0, ang orihinal na equation ay kukuha ng anyo na 1 + 2sin x · cos x = 0.
Gamit ang double angle sine formula, nakukuha natin ang:
1 + sin 2x = 0; kasalanan 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. Dahil cos x ≥ 0, x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Kung cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – kasalanan 2x = 0; kasalanan 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n € Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Dahil cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) Ang pinakamalaking negatibong ugat ng equation: -π/4; pinakamaliit na positibong ugat ng equation: 5π/4.
Ang kinakailangang pagkakaiba: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
Sagot: 270°.
Suliranin 2. Hanapin (sa digri) ang pinakamaliit na positibong ugat ng equation |tg x| + 1/cos x = tan x.
Solusyon.
Palawakin natin ang modyul:
1) Kung tan x ≥ 0, kung gayon
tan x + 1/cos x = tan x;
Ang resultang equation ay walang mga ugat.
2) Kung tg x< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 at cos x ≠ 0.
Gamit ang Figure 1 at ang kundisyon tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) Ang pinakamaliit na positibong ugat ng equation ay 5π/6. I-convert natin ang value na ito sa degrees:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
Sagot: 150°.
Suliranin 3. Hanapin ang bilang ng iba't ibang ugat ng equation na sin |2x| = cos 2x sa pagitan [-π/2; π/2].
Solusyon.
Isulat natin ang equation sa anyong sin|2x| – cos 2x = 0 at isaalang-alang ang function na y = sin |2x| – dahil 2x. Dahil ang function ay pantay, makikita natin ang mga zero nito para sa x ≥ 0.
kasalanan 2x – cos 2x = 0; Hatiin natin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng cos 2x ≠ 0, makuha natin ang:
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n € Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z.
Gamit ang parity ng function, nakita namin na ang mga ugat ng orihinal na equation ay mga numero ng form
± (π/8 + πn/2), kung saan n € Z.
Pagitan [-π/2; π/2] nabibilang sa mga numero: -π/8; π/8.
Kaya, ang dalawang ugat ng equation ay nabibilang sa ibinigay na pagitan.
Sagot: 2.
Ang equation na ito ay maaari ding malutas sa pamamagitan ng pagbubukas ng module.
Suliranin 4. Hanapin ang bilang ng mga ugat ng equation na sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x sa pagitan [-π; 2π].
Solusyon.
1) Isaalang-alang ang kaso kapag 2cos x – 1 > 0, i.e. cos x > 1/2, pagkatapos ay ang equation ay kukuha ng anyo:
kasalanan x – kasalanan 2 x = kasalanan 2 x;
kasalanan x – 2sin 2 x = 0;
sin x(1 – 2sin x) = 0;
sin x = 0 o 1 – 2sin x = 0;
sin x = 0 o sin x = 1/2.
Gamit ang Figure 2 at ang kondisyon cos x > 1/2, nakita natin ang mga ugat ng equation:
x = π/6 + 2πn o x = 2πn, n € Z.
2) Isaalang-alang ang kaso kapag 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
kasalanan x + kasalanan 2 x = kasalanan 2 x;
x = 2πn, n € Z.
Gamit ang Figure 2 at ang cos x condition< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Pagsasama-sama ng dalawang kaso, nakukuha namin:
x = π/6 + 2πn o x = πn.
3) Pagitan [-π; 2π] nabibilang sa mga ugat: π/6; -π; 0; π; 2π.
Kaya, ang ibinigay na pagitan ay naglalaman ng limang ugat ng equation.
Sagot: 5.
Suliranin 5. Hanapin ang bilang ng mga ugat ng equation (x – 0.7) 2 |sin x| + sin x = 0 sa pagitan [-π; 2π].
Solusyon.
1) Kung ang sin x ≥ 0, kung gayon ang orihinal na equation ay kukuha ng anyo (x – 0.7) 2 sin x + sin x = 0. Matapos kunin ang common factor sin x sa mga bracket, nakukuha natin ang:
sin x((x – 0.7) 2 + 1) = 0; since (x – 0.7) 2 + 1 > 0 para sa lahat ng totoong x, pagkatapos sinx = 0, i.e. x = πn, n € Z.
2) Kung kasalanan x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sin x((x – 0.7) 2 – 1) = 0;
sinx = 0 o (x – 0.7) 2 + 1 = 0. Dahil sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x – 0.7 = 1 o x – 0.7 = -1, na nangangahulugang x = 1.7 o x = -0.3.
Isinasaalang-alang ang kundisyon sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, na nangangahulugang ang numerong -0.3 lamang ang ugat ng orihinal na equation.
3) Pagitan [-π; 2π] nabibilang sa mga numero: -π; 0; π; 2π; -0.3.
Kaya, ang equation ay may limang ugat sa isang naibigay na pagitan.
Sagot: 5.
Maaari kang maghanda para sa mga aralin o pagsusulit gamit ang iba't ibang mapagkukunang pang-edukasyon na magagamit sa Internet. Sa kasalukuyan kahit sino 
kailangan lang ng isang tao na gumamit ng mga bagong teknolohiya ng impormasyon, dahil ang kanilang tama, at pinakamahalagang angkop, ang paggamit ay makakatulong sa pagtaas ng motibasyon sa pag-aaral ng paksa, dagdagan ang interes at makakatulong sa mas mahusay na pagtanggap ng kinakailangang materyal. Ngunit huwag kalimutan na ang computer ay hindi nagtuturo sa iyo na mag-isip; ang impormasyong natanggap ay dapat na maproseso, maunawaan at maalala. Samakatuwid, maaari kang humingi ng tulong sa aming mga online na tutor, na tutulong sa iyo na malaman kung paano lutasin ang mga problemang interesado ka.
May mga tanong pa ba? Hindi mo alam kung paano lutasin ang mga equation ng trigonometriko?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor, magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!
website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.
Gawain Blg. 1
Ang lohika ay simple: gagawin namin tulad ng ginawa namin dati, anuman ang katotohanan na ngayon ang mga function ng trigonometriko ay may mas kumplikadong argumento!
Kung lutasin natin ang isang equation ng form:
Pagkatapos ay isusulat namin ang sumusunod na sagot:
O (mula noong)
Ngunit ngayon ang aming papel ay ginampanan ng expression na ito:
Pagkatapos ay maaari tayong sumulat:
Ang layunin namin sa iyo ay tiyakin na ang kaliwang bahagi ay nakatayo nang simple, nang walang anumang "mga dumi"!
Unti-unti na nating alisin ang mga ito!
Una, alisin natin ang denominator sa: para magawa ito, i-multiply ang ating pagkakapantay-pantay sa:
Ngayon ay alisin natin ito sa pamamagitan ng paghahati sa parehong bahagi:
Ngayon alisin natin ang walo:
Ang resultang expression ay maaaring isulat bilang 2 serye ng mga solusyon (sa pamamagitan ng pagkakatulad sa isang parisukat na equation, kung saan maaari nating idagdag o ibawas ang discriminant)
Kailangan nating hanapin ang pinakamalaking negatibong ugat! Malinaw na kailangan nating ayusin.
Tingnan muna natin ang unang yugto:
Malinaw na kung kukuha tayo, bilang isang resulta ay makakatanggap tayo ng mga positibong numero, ngunit hindi sila interesado sa amin.
Kaya kailangan mong tanggapin ito ng negatibo. Hayaan.
Kapag ang ugat ay magiging mas makitid:
At kailangan nating hanapin ang pinakamalaking negatibo!! Nangangahulugan ito na ang pagpunta sa negatibong direksyon ay hindi na makatuwiran dito. At ang pinakamalaking negatibong ugat para sa seryeng ito ay magiging katumbas ng.
Ngayon tingnan natin ang pangalawang serye:
At muli nating pinapalitan ang: , pagkatapos:
Hindi interesado!
Kung gayon ay walang saysay na dagdagan pa! Bawasan natin! Hayaan pagkatapos:
Angkop!
Hayaan. Pagkatapos
Pagkatapos - ang pinakamalaking negatibong ugat!
Sagot:
Gawain Blg. 2
Malutas namin muli, anuman ang kumplikadong argumento ng cosine:
Ngayon ipinapahayag namin muli sa kaliwa:
I-multiply ang magkabilang panig
Hatiin ang magkabilang panig
Ang natitira na lang ay ilipat ito sa kanan, binabago ang sign nito mula minus hanggang plus.
Muli kaming nakakakuha ng 2 serye ng mga ugat, ang isa ay may at ang isa ay may.
Kailangan nating hanapin ang pinakamalaking negatibong ugat. Tingnan natin ang unang yugto:
Malinaw na makukuha natin ang unang negatibong ugat sa, ito ay magiging katumbas at magiging pinakamalaking negatibong ugat sa 1 serye.
Para sa pangalawang serye
Ang unang negatibong ugat ay makukuha rin sa at magiging katumbas ng. Dahil, pagkatapos ay ang pinakamalaking negatibong ugat ng equation.
Sagot: .
Gawain Blg. 3
Malutas namin, anuman ang kumplikadong padaplis na argumento.
Ngayon, mukhang hindi kumplikado, tama ba?
Tulad ng dati, ipinapahayag namin sa kaliwang bahagi:
Well, iyan ay mahusay, mayroon lamang isang serye ng mga ugat dito! Hanapin natin muli ang pinakamalaking negatibo.
Ito ay malinaw na ito ay lumiliko kung ilalagay mo ito. At ang ugat na ito ay pantay.
Sagot:
Ngayon subukang lutasin ang mga sumusunod na problema sa iyong sarili.
Takdang-aralin o 3 gawain upang malutas nang nakapag-iisa.
- Lutasin ang equation.
- Lutasin ang equation.
Sa sagot sa pi-shi-th-the-smallest-possible root. - Lutasin ang equation.
Sa sagot sa pi-shi-th-the-smallest-possible root.
handa na? Suriin natin. Hindi ko ilalarawan nang detalyado ang buong algorithm ng solusyon; tila sa akin ay nakatanggap na ito ng sapat na pansin sa itaas.
Well, tama ba ang lahat? Oh, ang mga masasamang sinus na iyon, palaging may ilang uri ng problema sa kanila!
Well, ngayon maaari mong malutas ang mga simpleng trigonometriko equation!
Tingnan ang mga solusyon at sagot:
Gawain Blg. 1
Ipahayag natin
Ang pinakamaliit na positibong ugat ay makukuha kung ilalagay natin, simula noon
Sagot:
Gawain Blg. 2
Ang pinakamaliit na positibong ugat ay nakukuha sa.
Magiging pantay.
Sagot: .
Gawain Blg. 3
Kapag nakuha namin, kapag mayroon kami.
Sagot: .
Ang kaalamang ito ay makakatulong sa iyo na malutas ang maraming mga problema na iyong makakaharap sa pagsusulit.
Kung nag-aaplay ka para sa isang "5" na rating, kailangan mo lamang magpatuloy sa pagbabasa ng artikulo para sa Kalagitnaang lebel na ilalaan sa paglutas ng mas kumplikadong mga trigonometric equation (gawain C1).
AVERAGE LEVEL
Sa artikulong ito ay ilalarawan ko paglutas ng mas kumplikadong trigonometriko equation at kung paano piliin ang kanilang mga ugat. Dito ako ay gumuhit sa mga sumusunod na paksa:
- Trigonometric equation para sa beginner level (tingnan sa itaas).
Ang mas kumplikadong trigonometriko equation ay ang batayan para sa mga advanced na problema. Nangangailangan sila ng parehong paglutas ng equation mismo sa pangkalahatang anyo at paghahanap ng mga ugat ng equation na ito na kabilang sa isang tiyak na agwat.
Ang paglutas ng mga trigonometric equation ay bumaba sa dalawang subtasks:
- Paglutas ng equation
- Pagpili ng ugat
Dapat tandaan na ang pangalawa ay hindi palaging kinakailangan, ngunit sa karamihan ng mga halimbawa ay kinakailangan pa rin ang pagpili. Ngunit kung hindi ito kinakailangan, maaari kaming makiramay sa iyo - nangangahulugan ito na ang equation ay medyo kumplikado sa sarili nito.
Ang aking karanasan sa pagsusuri ng mga problema sa C1 ay nagpapakita na ang mga ito ay karaniwang nahahati sa mga sumusunod na kategorya.
Apat na kategorya ng mga gawain na mas kumplikado (dating C1)
- Mga equation na bumababa sa factorization.
- Nabawasan ang mga equation sa anyo.
- Nalutas ang mga equation sa pamamagitan ng pagpapalit ng variable.
- Mga equation na nangangailangan ng karagdagang pagpili ng mga ugat dahil sa irrationality o denominator.
Sa madaling salita: kung mahuli ka isa sa mga equation ng unang tatlong uri, pagkatapos ay isaalang-alang ang iyong sarili na masuwerte. Para sa kanila, bilang isang panuntunan, kailangan mo ring pumili ng mga ugat na kabilang sa isang tiyak na agwat.
Kung nakatagpo ka ng isang uri 4 na equation, kung gayon hindi ka gaanong masuwerte: kailangan mong pag-usapan ito nang mas mahaba at mas maingat, ngunit madalas na hindi ito nangangailangan ng karagdagang pagpili ng mga ugat. Gayunpaman, susuriin ko ang ganitong uri ng mga equation sa susunod na artikulo, at ang isang ito ay ilalaan ko sa paglutas ng mga equation ng unang tatlong uri.
Mga equation na bumababa sa factorization
Ang pinakamahalagang bagay na kailangan mong tandaan upang malutas ang ganitong uri ng equation ay
Tulad ng ipinapakita ng kasanayan, bilang panuntunan, sapat na ang kaalamang ito. Tingnan natin ang ilang halimbawa:
Halimbawa 1. Nabawasan ang equation sa factorization gamit ang reduction at double angle sine formula
- Lutasin ang equation
- Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito na nasa itaas ng hiwa
Dito, tulad ng ipinangako ko, gumagana ang mga formula ng pagbabawas:
Pagkatapos ang aking equation ay magiging ganito:
Pagkatapos ang aking equation ay kukuha ng sumusunod na anyo:
Maaaring sabihin ng isang short-sighted student: ngayon ay babawasan ko ang magkabilang panig, kunin ang pinakasimpleng equation at mag-enjoy sa buhay! At siya ay lubos na magkakamali!
| TANDAAN: HINDI MO MABABAWASAN ANG MAGKABILANG GID NG ISANG TRIGONOMETRIC EQUATION NG ISANG FUNCTION NA NILALAMAN NG HINDI ALAM! KAYA NAWALA KA NG MGA UGAT MO! |
Ano ang gagawin? Oo, ito ay simple, ilipat ang lahat sa isang tabi at alisin ang karaniwang kadahilanan:
Well, isinaalang-alang namin ito sa mga kadahilanan, hurray! Ngayon, magpasya tayo:
Ang unang equation ay may mga ugat:
At ang pangalawa:
Kinukumpleto nito ang unang bahagi ng problema. Ngayon ay kailangan mong piliin ang mga ugat:
Ang gap ay ganito:
O maaari rin itong isulat na ganito:
Buweno, kunin natin ang mga ugat:
Una, magtrabaho tayo sa unang yugto (at mas simple ito, kung hindi man!)
Dahil ang aming pagitan ay ganap na negatibo, hindi na kailangang kumuha ng mga hindi negatibo, magbibigay pa rin sila ng mga hindi negatibong ugat.
Kunin natin, kung gayon - ito ay sobra, hindi ito tumama.
Hayaan mo, kung gayon - hindi ko na ito natamaan muli.
Isang pagsubok pa - pagkatapos - oo, nakuha ko ito! Ang unang ugat ay natagpuan!
Pumatok ulit ako: tapos tumama ulit!
Well, isang beses pa: : - flight na ito.
Kaya mula sa unang serye mayroong 2 ugat na kabilang sa pagitan: .
Kami ay nagtatrabaho sa pangalawang serye (kami ay nagtatayo sa kapangyarihan ayon sa tuntunin):
Undershoot!
Nakakamiss na naman!
Nakakamiss na naman!
Nakuha ko!
Lipad!
Kaya, ang aking pagitan ay may mga sumusunod na ugat:
Ito ang algorithm na gagamitin namin upang malutas ang lahat ng iba pang mga halimbawa. Magsanay tayo kasama ng isa pang halimbawa.
Halimbawa 2. Nabawasan ang equation sa factorization gamit ang mga formula ng pagbabawas
- Lutasin ang equation
Solusyon:
Muli ang kilalang-kilalang mga formula ng pagbabawas:
Huwag subukang magbawas muli!
Ang unang equation ay may mga ugat:
At ang pangalawa:
Ngayon muli ang paghahanap para sa mga ugat.
Magsisimula ako sa pangalawang yugto, alam ko na ang lahat tungkol dito mula sa nakaraang halimbawa! Tingnan at siguraduhin na ang mga ugat na kabilang sa pagitan ay ang mga sumusunod:
Ngayon ang unang episode at mas simple ito:
Kung - angkop
Kung ayos lang din
Kung ito ay isang flight na.
Pagkatapos ang mga ugat ay magiging ganito:
Pansariling gawain. 3 equation.
Well, malinaw ba sa iyo ang pamamaraan? Ang paglutas ba ng mga trigonometrikong equation ay tila hindi na napakahirap? Pagkatapos ay mabilis na lutasin ang mga sumusunod na problema sa iyong sarili, at pagkatapos ay malulutas namin ang iba pang mga halimbawa:
- Lutasin ang equation
Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito na nasa itaas ng pagitan. - Lutasin ang equation
Ipahiwatig ang mga ugat ng equation na nasa itaas ng hiwa - Lutasin ang equation
Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito na nasa pagitan nila.
Equation 1.
At muli ang formula ng pagbawas:
Unang serye ng mga ugat:
Pangalawang serye ng mga ugat:
Nagsisimula kami sa pagpili para sa puwang
Sagot: , .
Equation 2. Sinusuri ang malayang gawain.
Medyo nakakalito na pagpangkat sa mga salik (Gagamitin ko ang double angle sine formula):
pagkatapos o
Ito ay isang pangkalahatang solusyon. Ngayon ay kailangan nating piliin ang mga ugat. Ang problema ay hindi natin masasabi ang eksaktong halaga ng isang anggulo na ang cosine ay katumbas ng isang quarter. Samakatuwid, hindi ko maaalis ang arc cosine - isang kahihiyan!
Ang magagawa ko ay malaman na kaya, kaya, pagkatapos.
Gumawa tayo ng table: interval:
Buweno, sa pamamagitan ng masakit na mga paghahanap ay nakarating kami sa nakakadismaya na konklusyon na ang aming equation ay may isang ugat sa ipinahiwatig na pagitan: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
Equation 3: Independent work test.
Isang nakakatakot na mukhang equation. Gayunpaman, maaari itong malutas nang simple sa pamamagitan ng paglalapat ng double angle sine formula:
Bawasan natin ito ng 2:
Ipangkat natin ang unang termino sa pangalawa at pangatlo sa ikaapat at kunin ang mga karaniwang salik:
Malinaw na ang unang equation ay walang mga ugat, at ngayon isaalang-alang natin ang pangalawa:
Sa pangkalahatan, magtatagal pa ako sa paglutas ng mga naturang equation, ngunit dahil ito ay lumabas, wala nang magagawa, kailangan kong lutasin ito...
Mga equation ng form:
Ang equation na ito ay malulutas sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig sa pamamagitan ng:
Kaya, ang aming equation ay may isang solong serye ng mga ugat:
Kailangan nating hanapin ang mga kabilang sa pagitan: .
Bumuo ulit tayo ng table, gaya ng ginawa ko kanina:
Sagot: .
Ang mga equation ay binawasan sa anyo:
Buweno, ngayon ay oras na upang lumipat sa pangalawang bahagi ng mga equation, lalo na dahil naibuhos ko na ang mga beans sa kung ano ang binubuo ng solusyon sa mga trigonometric equation ng isang bagong uri. Ngunit ito ay nagkakahalaga ng pag-uulit na ang equation ay nasa anyo
Nalutas sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig sa cosine:
- Lutasin ang equation
Ipahiwatig ang mga ugat ng equation na nasa itaas ng hiwa. - Lutasin ang equation
Ipahiwatig ang mga ugat ng equation na nasa pagitan nila.
Halimbawa 1.
Ang una ay medyo simple. Lumipat sa kanan at ilapat ang double angle cosine formula:
Oo! Equation ng form: . Hinahati ko ang dalawang bahagi sa pamamagitan ng
Gumagawa kami ng root screening:
Gap:
Sagot:
Halimbawa 2.
Ang lahat ay medyo walang halaga: buksan natin ang mga bracket sa kanan:
Pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan:
Sine ng dobleng anggulo:
Sa wakas makuha namin:
Root screening: pagitan.
Sagot: .
Well, paano mo gusto ang pamamaraan, hindi ba ito masyadong kumplikado? Sana hindi. Maaari kaming agad na gumawa ng reserbasyon: sa kanilang purong anyo, ang mga equation na agad na bumababa sa isang equation para sa tangent ay medyo bihira. Karaniwan, ang paglipat na ito (dibisyon sa cosine) ay bahagi lamang ng isang mas kumplikadong problema. Narito ang isang halimbawa para sa iyong pagsasanay:
- Lutasin ang equation
- Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito na nasa itaas ng hiwa.
Suriin natin:
Ang equation ay maaaring malutas kaagad; ito ay sapat na upang hatiin ang magkabilang panig sa pamamagitan ng:
Root screening:
Sagot: .
Sa isang paraan o iba pa, hindi pa tayo nakakaranas ng mga equation ng uri na kakasuri pa lang natin. Gayunpaman, masyadong maaga para sa amin na tawagan ito ng isang araw: mayroon pang isa pang "layer" ng mga equation na natitira na hindi namin inayos. Kaya:
Paglutas ng mga trigonometric equation sa pamamagitan ng pagbabago ng mga variable
Ang lahat ay malinaw dito: tinitingnan namin nang mabuti ang equation, pinasimple ito hangga't maaari, gumawa ng isang pagpapalit, lutasin ito, gumawa ng isang reverse substitution! Sa mga salita ang lahat ay napakadali. Tingnan natin sa aksyon:
Halimbawa.
- Lutasin ang equation: .
- Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito na nasa itaas ng hiwa.
Buweno, narito ang kapalit mismo ay nagmumungkahi sa atin!
Pagkatapos ang aming equation ay magiging ganito:
Ang unang equation ay may mga ugat:
At ang pangalawa ay ganito:
Ngayon hanapin natin ang mga ugat na kabilang sa pagitan
Sagot: .
Tingnan natin ang isang bahagyang mas kumplikadong halimbawa nang magkasama:
- Lutasin ang equation
- Ipahiwatig ang mga ugat ng ibinigay na equation, na nakahiga sa itaas-nakahiga sa pagitan nila.
Dito hindi agad makikita ang kapalit, tsaka hindi masyadong halata. Isipin muna natin: ano ang magagawa natin?
Halimbawa, maaari nating isipin
At sa parehong oras
Pagkatapos ang aking equation ay kukuha ng form:
At ngayon pansin, tumuon:
Hatiin natin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng:
Biglang ikaw at ako ay may kamag-anak na quadratic equation! Gumawa tayo ng kapalit, pagkatapos ay makukuha natin:
Ang equation ay may mga sumusunod na ugat:
Hindi kanais-nais na pangalawang serye ng mga ugat, ngunit walang magagawa! Pinipili namin ang mga ugat sa pagitan.
Kailangan din nating isaalang-alang iyon
Simula at, noon
Sagot:
Upang palakasin ito bago mo lutasin ang mga problema sa iyong sarili, narito ang isa pang ehersisyo para sa iyo:
- Lutasin ang equation
- Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito na nasa pagitan nila.
Dito kailangan mong panatilihing bukas ang iyong mga mata: mayroon na tayong mga denominator na maaaring maging zero! Samakatuwid, kailangan mong maging lalo na matulungin sa mga ugat!
Una sa lahat, kailangan kong muling ayusin ang equation upang makagawa ako ng angkop na pagpapalit. Wala akong maisip na mas mahusay ngayon kaysa sa muling pagsulat ng tangent sa mga tuntunin ng sine at cosine:
Ngayon ay lilipat ako mula sa cosine hanggang sa sine gamit ang pangunahing trigonometric identity:
At sa wakas, dadalhin ko ang lahat sa isang karaniwang denominator:
Ngayon ay maaari na akong magpatuloy sa equation:
Ngunit sa (iyon ay, sa).
Ngayon ang lahat ay handa na para sa kapalit:
Tapos o
Gayunpaman, tandaan na kung, pagkatapos ay sa parehong oras!
Sino ang naghihirap mula dito? Ang problema sa tangent ay hindi ito tinukoy kapag ang cosine ay katumbas ng zero (nagkakaroon ng dibisyon sa zero).
Kaya, ang mga ugat ng equation ay:
Ngayon ay sinasala namin ang mga ugat sa pagitan:
| - magkasya | |
| - sobra-sobra |
Kaya, ang aming equation ay may isang ugat sa pagitan, at ito ay pantay.
Nakikita mo: ang hitsura ng isang denominator (tulad ng tangent, humahantong sa ilang mga paghihirap sa mga ugat! Dito kailangan mong maging mas maingat!).
Buweno, ikaw at ako ay halos tapos na sa pagsusuri ng mga trigonometric equation; kakaunti na lang ang natitira - upang malutas ang dalawang problema sa iyong sarili. Nandito na sila.
- Lutasin ang equation
Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito na nasa itaas ng hiwa. - Lutasin ang equation
Ipahiwatig ang mga ugat ng equation na ito, na matatagpuan sa itaas ng hiwa.
Nagpasya? Hindi ba napakahirap? Suriin natin:
- Nagtatrabaho kami ayon sa mga formula ng pagbabawas:
Palitan sa equation:
Isulat muli natin ang lahat sa pamamagitan ng mga cosine upang gawing mas madali ang pagpapalit:
Ngayon ay madali nang gumawa ng kapalit:
Ito ay malinaw na isang extraneous na ugat, dahil ang equation ay walang mga solusyon. Pagkatapos:
Hinahanap namin ang mga ugat na kailangan namin sa pagitan
Sagot: .
Dito makikita agad ang kapalit:Tapos o
- magkasya! - magkasya! - magkasya! - magkasya! - marami! - marami din! Sagot:
Well, ito na ngayon! Ngunit ang paglutas ng mga trigonometrikong equation ay hindi nagtatapos doon; tayo ay naiwan sa pinakamahirap na mga kaso: kapag ang mga equation ay naglalaman ng irrationality o iba't ibang uri ng "complex denominators." Titingnan natin kung paano malutas ang mga naturang gawain sa isang artikulo para sa isang advanced na antas.
ADVANCED LEVEL
Bilang karagdagan sa mga trigonometrikong equation na tinalakay sa nakaraang dalawang artikulo, isasaalang-alang natin ang isa pang klase ng mga equation na nangangailangan ng mas maingat na pagsusuri. Ang mga trigonometrikong halimbawa na ito ay naglalaman ng alinman sa irrationality o denominator, na nagpapahirap sa kanilang pagsusuri. Gayunpaman, maaari mong matugunan ang mga equation na ito sa Bahagi C ng papel ng pagsusulit. Gayunpaman, ang bawat ulap ay may pilak na lining: para sa mga naturang equation, bilang panuntunan, ang tanong kung alin sa mga ugat nito ang nabibilang sa isang naibigay na pagitan ay hindi na itinaas. Huwag tayong magpatalo, ngunit dumiretso tayo sa mga halimbawa ng trigonometriko.
Halimbawa 1.
Lutasin ang equation at hanapin ang mga ugat na kabilang sa segment.
Solusyon:
Mayroon tayong denominator na hindi dapat katumbas ng zero! Kung gayon ang paglutas ng equation na ito ay kapareho ng paglutas ng system
Lutasin natin ang bawat isa sa mga equation:
At ngayon ang pangalawa:
Ngayon tingnan natin ang serye:
Malinaw na ang pagpipiliang ito ay hindi angkop sa amin, dahil sa kasong ito ang aming denominator ay na-reset sa zero (tingnan ang formula para sa mga ugat ng pangalawang equation)
Kung, kung gayon ang lahat ay nasa order, at ang denominator ay hindi zero! Kung gayon ang mga ugat ng equation ay ang mga sumusunod: , .
Ngayon pipiliin namin ang mga ugat na kabilang sa pagitan.
| - hindi angkop | - magkasya | |
| - magkasya | - magkasya | |
| overkill | overkill |
Pagkatapos ang mga ugat ay ang mga sumusunod:
Nakikita mo, kahit na ang hitsura ng isang maliit na kaguluhan sa anyo ng denominator ay makabuluhang nakaapekto sa solusyon ng equation: itinapon namin ang isang serye ng mga ugat na nagpapawalang-bisa sa denominator. Ang mga bagay ay maaaring maging mas kumplikado kung makatagpo ka ng mga trigonometrikong halimbawa na hindi makatwiran.
Halimbawa 2.
Lutasin ang equation:
Solusyon:
Buweno, hindi bababa sa hindi mo kailangang alisin ang mga ugat, at iyan ay mabuti! Lutasin muna natin ang equation, anuman ang irrationality:
So, yun lang ba? Hindi, sayang, magiging napakadali! Dapat nating tandaan na ang mga hindi negatibong numero lamang ang maaaring lumitaw sa ilalim ng ugat. Pagkatapos:
Ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay:
Ngayon ay nananatili upang malaman kung ang bahagi ng mga ugat ng unang equation ay hindi sinasadyang natapos kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi humahawak.
Upang gawin ito, maaari mong gamitin muli ang talahanayan:
| : , Ngunit | Hindi! | |
| Oo! | ||
| Oo! |
Kaya, ang isa sa aking mga ugat ay "nahulog"! Lumalabas kung ibababa mo ito. Pagkatapos ang sagot ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
Sagot:
Kita mo, ang ugat ay nangangailangan ng higit na pansin! Gawin natin itong mas kumplikado: hayaan ngayon na mayroon akong trigonometric function sa ilalim ng aking ugat.
Halimbawa 3.
Tulad ng dati: una naming lutasin ang bawat isa nang hiwalay, at pagkatapos ay iisipin namin kung ano ang aming ginawa.
Ngayon ang pangalawang equation:
Ngayon ang pinakamahirap na bagay ay upang malaman kung ang mga negatibong halaga ay nakuha sa ilalim ng arithmetic root kung papalitan natin ang mga ugat mula sa unang equation doon:
Ang bilang ay dapat na maunawaan bilang mga radian. Dahil ang isang radian ay humigit-kumulang degree, kung gayon ang mga radian ay nasa pagkakasunud-sunod ng mga degree. Ito ang sulok ng ikalawang quarter. Ano ang palatandaan ng cosine ng ikalawang quarter? Minus. Paano naman si sine? Dagdag pa. Kaya ano ang masasabi natin tungkol sa expression:
Ito ay mas mababa sa zero!
Nangangahulugan ito na hindi ito ang ugat ng equation.
Ngayon ay oras na.
Ihambing natin ang numerong ito sa zero.
Ang Cotangent ay isang function na bumababa sa 1 quarter (mas maliit ang argumento, mas malaki ang cotangent). ang mga radian ay humigit-kumulang degree. Sa parehong oras
mula noon, noon, at samakatuwid
,
Sagot: .
Maaari ba itong maging mas kumplikado? Pakiusap! Ito ay magiging mas mahirap kung ang ugat ay isang trigonometric function pa rin, at ang pangalawang bahagi ng equation ay muli ng isang trigonometric function.
Ang mas maraming trigonometriko na mga halimbawa ay mas mahusay, tingnan sa ibaba:
Halimbawa 4.
Ang ugat ay hindi angkop dahil sa limitadong cosine
Ngayon ang pangalawa:
Kasabay nito, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang ugat:
Kailangan nating tandaan ang bilog ng yunit: ibig sabihin, ang mga quarter kung saan ang sine ay mas mababa sa zero. Ano ang mga quarters na ito? Pangatlo at pang-apat. Pagkatapos ay magiging interesado tayo sa mga solusyon ng unang equation na nasa ikatlo o ikaapat na quarter.
Ang unang serye ay nagbibigay ng mga ugat na nakahiga sa intersection ng ikatlo at ikaapat na quarter. Ang pangalawang serye - diametrically na kabaligtaran dito - ay nagbibigay ng mga ugat na nakahiga sa hangganan ng una at ikalawang quarters. Samakatuwid, ang seryeng ito ay hindi angkop para sa amin.
Sagot: ,
At muli mga halimbawa ng trigonometriko na may "mahirap na irrationality". Hindi lamang mayroon tayong trigonometric function sa ilalim ng ugat muli, ngunit ngayon ito ay nasa denominator din!
Halimbawa 5.
Well, walang magagawa - ginagawa namin tulad ng dati.
Ngayon ay nagtatrabaho kami sa denominator:
Hindi ko nais na lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometric, kaya gagawa ako ng isang bagay na tuso: Kukunin ko at papalitan ang aking serye ng mga ugat sa hindi pagkakapantay-pantay:
Kung - ay pantay, mayroon tayong:
dahil lahat ng anggulo ng view ay nasa fourth quarter. At muli ang sagradong tanong: ano ang tanda ng sine sa ikaapat na quarter? Negatibo. Tapos yung inequality
Kung -odd, kung gayon:
Saang quarter matatagpuan ang anggulo? Ito ang sulok ng ikalawang quarter. Pagkatapos ang lahat ng mga sulok ay muli ang mga sulok ng ikalawang quarter. Positive ang sine doon. Ang kailangan mo lang! Kaya ang serye:
Angkop!
Nakikitungo kami sa pangalawang serye ng mga ugat sa parehong paraan:
Pinapalitan namin ang aming hindi pagkakapantay-pantay:
Kung - kahit, kung gayon
Mga sulok ng unang quarter. Positibo ang sine doon, ibig sabihin ay angkop ang serye. Ngayon kung - kakaiba, kung gayon:
kasya din!
Well, ngayon isulat namin ang sagot!
Sagot:
Well, ito ay marahil ang pinaka-labor-intensive na kaso. Ngayon ay nag-aalok ako sa iyo ng mga problema upang malutas sa iyong sarili.
Pagsasanay
- Lutasin at hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na kabilang sa segment.
Mga solusyon:
Unang equation:
o
ODZ ng ugat:Pangalawang equation:
Pagpili ng mga ugat na kabilang sa pagitan
Sagot:
O kaya
o
Pero
Isaalang-alang natin: . Kung - kahit, kung gayon
- hindi kasya!
Kung - kakaiba, : - angkop!
Nangangahulugan ito na ang aming equation ay may mga sumusunod na serye ng mga ugat:
o
Pagpili ng mga ugat sa pagitan:
| - hindi angkop | - magkasya | |
| - magkasya | - marami | |
| - magkasya | marami sa |
Sagot: , .
O kaya
Dahil, pagkatapos ay ang padaplis ay hindi tinukoy. Agad naming itinapon ang serye ng mga ugat na ito!
Ikalawang bahagi:
Kasabay nito, ayon sa DZ ay kinakailangan iyon
Sinusuri namin ang mga ugat na matatagpuan sa unang equation:
Kung ang tanda:
Ang mga anggulo sa unang quarter kung saan positibo ang tangent. Hindi kasya!
Kung ang tanda:
Fourth quarter corner. Doon ay negatibo ang tangent. Angkop. Isulat namin ang sagot:
Sagot: , .
Sama-sama kaming tumingin sa mga kumplikadong halimbawa ng trigonometriko sa artikulong ito, ngunit dapat mong lutasin ang mga equation sa iyong sarili.
BUOD AT BATAYANG FORMULA
Ang trigonometric equation ay isang equation kung saan ang hindi alam ay mahigpit na nasa ilalim ng sign ng trigonometriko function.
Mayroong dalawang paraan upang malutas ang mga equation ng trigonometriko:
Ang unang paraan ay ang paggamit ng mga formula.
Ang pangalawang paraan ay sa pamamagitan ng trigonometric circle.
Binibigyang-daan kang sukatin ang mga anggulo, hanapin ang kanilang mga sine, cosine, atbp.
