Pangkalahatang pagbabalangkas: Ang daloy ng vector ng lakas ng patlang ng kuryente sa anumang arbitraryong napiling saradong ibabaw ay proporsyonal sa singil ng kuryente na nasa loob ng ibabaw na ito.
Sa sistema ng SGSE:
Sa sistema ng SI:
ay ang daloy ng electric field strength vector sa pamamagitan ng saradong ibabaw.
- ang kabuuang singil na nakapaloob sa volume na naglilimita sa ibabaw.
- de-koryenteng pare-pareho.
Ang expression na ito ay kumakatawan sa Gauss's theorem sa integral form.
Sa differential form, ang teorem ni Gauss ay tumutugma sa isa sa mga equation ni Maxwell at ipinahayag bilang mga sumusunod
sa SI system:
,
sa sistema ng SGSE:
Narito ang volumetric charge density (sa kaso ng pagkakaroon ng medium, ang kabuuang density ng libre at bound charges), at ang nabla operator.
Para sa teorama ni Gauss, ang prinsipyo ng superposisyon ay wasto, iyon ay, ang daloy ng intensity vector sa ibabaw ay hindi nakasalalay sa pamamahagi ng singil sa loob ng ibabaw.
Ang pisikal na batayan ng Gauss's theorem ay Coulomb's law o, sa madaling salita, Gauss's theorem ay isang integral formulation ng Coulomb's law.
Gauss's theorem para sa electrical induction (electrical displacement).
Para sa isang patlang sa bagay, ang electrostatic theorem ni Gauss ay maaaring isulat sa ibang paraan - sa pamamagitan ng daloy ng electric displacement vector (electrical induction). Sa kasong ito, ang pagbabalangkas ng theorem ay ang mga sumusunod: ang daloy ng electric displacement vector sa isang saradong ibabaw ay proporsyonal sa libreng electric charge na nasa loob ng ibabaw na ito:
Kung isasaalang-alang natin ang theorem para sa lakas ng patlang sa isang sangkap, kung gayon bilang singil Q kinakailangan na kunin ang kabuuan ng libreng singil na matatagpuan sa loob ng ibabaw at ang polarization (sapilitan, nakatali) na singil ng dielectric:
,
saan 
,
ay ang polarization vector ng dielectric.
Gauss's theorem para sa magnetic induction
Ang flux ng magnetic induction vector sa anumang saradong ibabaw ay zero:
.
Ito ay katumbas ng katotohanan na sa kalikasan ay walang "magnetic charges" (monopoles) na lilikha ng magnetic field, tulad ng electric charges na lumikha ng electric field. Sa madaling salita, ang teorem ni Gauss para sa magnetic induction ay nagpapakita na ang magnetic field ay vortex.
Paglalapat ng teorama ni Gauss
Ang mga sumusunod na dami ay ginagamit upang kalkulahin ang mga electromagnetic field:
Volumetric charge density (tingnan sa itaas).
Densidad ng singil sa ibabaw
kung saan ang dS ay isang infinitesimal surface area.
Linear charge density
kung saan ang dl ay ang haba ng isang infinitesimal na segment.
Isaalang-alang natin ang field na nilikha ng isang walang katapusang unipormeng sisingilin na eroplano. Hayaang magkapareho ang densidad ng singil sa ibabaw ng eroplano at katumbas ng σ. Isipin natin ang isang silindro na may mga generatrice na patayo sa eroplano at isang base ΔS na matatagpuan sa simetriko na nauugnay sa eroplano. Dahil sa simetriya. Ang flux ng tension vector ay katumbas ng . Ang paglalapat ng teorama ni Gauss, nakukuha natin:
,
mula saan
sa sistema ng SSSE
Mahalagang tandaan na sa kabila ng pagiging pangkalahatan at pangkalahatan nito, ang teorem ni Gauss sa integral na anyo ay medyo limitado ang aplikasyon dahil sa abala sa pagkalkula ng integral. Gayunpaman, sa kaso ng isang simetriko na problema, ang solusyon nito ay nagiging mas simple kaysa sa paggamit ng prinsipyo ng superposisyon.
Ang pangunahing inilapat na gawain ng electrostatics ay ang pagkalkula ng mga electric field na nilikha sa iba't ibang mga device at device. Sa pangkalahatan, ang problemang ito ay nalutas gamit ang batas ng Coulomb at ang prinsipyo ng superposisyon. Gayunpaman, ang gawaing ito ay nagiging napakakumplikado kapag isinasaalang-alang ang isang malaking bilang ng mga punto o spatially distributed na mga singil. Kahit na mas malaking kahirapan ang lumitaw kapag may mga dielectric o conductor sa kalawakan, kapag sa ilalim ng impluwensya ng isang panlabas na field E 0 isang muling pamamahagi ng mga microscopic charge ay nangyayari, na lumilikha ng kanilang sariling karagdagang field E. Samakatuwid, upang praktikal na malutas ang mga problemang ito, ang mga pantulong na pamamaraan at pamamaraan ay ginamit na gumagamit ng kumplikadong mathematical apparatus. Isasaalang-alang namin ang pinakasimpleng pamamaraan batay sa aplikasyon ng Ostrogradsky-Gauss theorem. Upang bumalangkas ng teorama na ito, ipinakilala namin ang ilang mga bagong konsepto:
A) density ng singil
Kung malaki ang sinisingil na katawan, kailangan mong malaman ang pamamahagi ng mga singil sa loob ng katawan.
Densidad ng pagsingil ng volume– sinusukat ng singil sa bawat unit volume:
Densidad ng singil sa ibabaw– sinusukat sa pamamagitan ng singil sa bawat yunit ng ibabaw ng isang katawan (kapag ang singil ay ipinamahagi sa ibabaw):
Linear charge density(pamamahagi ng singil sa kahabaan ng konduktor):
b) electrostatic induction vector
Vector ng electrostatic induction
(electric displacement vector) ay isang vector quantity na nagpapakilala sa electric field.
Vector 
katumbas ng produkto ng vector 
sa absolute dielectric constant ng medium sa isang naibigay na punto:
Suriin natin ang sukat D sa mga yunit ng SI:
, dahil 
,
kung gayon ang mga sukat D at E ay hindi nag-tutugma, at ang kanilang mga numerong halaga ay magkakaiba din.
Mula sa kahulugan 
ito ay sumusunod na para sa vector field 
ang parehong prinsipyo ng superposisyon ay nalalapat tulad ng para sa field 
:
Patlang 
graphical na kinakatawan ng mga linya ng induction, tulad ng field
. Ang mga linya ng induction ay iginuhit upang ang tangent sa bawat punto ay tumutugma sa direksyon 
, at ang bilang ng mga linya ay katumbas ng numerical na halaga ng D sa isang partikular na lokasyon.
Upang maunawaan ang kahulugan ng pagpapakilala 
Tingnan natin ang isang halimbawa.
|
|
|
Sa hangganan ng cavity na may dielectric, ang mga nauugnay na negatibong singil ay puro at |
|
Para sa parehong kaso: D = Eεε 0 |
Sa gayon– ang pagpapatuloy ng mga linya ng induction ay lubos na nagpapadali sa pagkalkula |
|
ε> 1
Ang field ay bumababa ng isang factor ng at ang density ay bumababa nang bigla.
, pagkatapos: mga linya 
tuloy tuloy. Mga linya 
magsimula sa mga libreng singil (sa 
sa anumang - nakatali o libre), at sa dielectric na hangganan ang kanilang density ay nananatiling hindi nagbabago.
, at, alam ang koneksyon 
Sa 
mahahanap mo ang vector 
.
V) electrostatic induction vector flux
Isaalang-alang ang ibabaw S sa isang electric field at piliin ang direksyon ng normal 
1. Kung pare-pareho ang field, ang bilang ng mga linya ng field sa ibabaw ng S:
2. Kung ang field ay hindi pare-pareho, kung gayon ang ibabaw ay nahahati sa mga infinitesimal na elemento dS, na itinuturing na flat at ang field sa kanilang paligid ay pare-pareho. Samakatuwid, ang pagkilos ng bagay sa ibabaw ng elemento ay: dN = D n dS,
at ang kabuuang daloy sa anumang ibabaw ay:
(6)
Ang induction flux N ay isang scalar na dami; depende sa ay maaaring > 0 o< 0, или = 0.
Isaalang-alang natin kung paano nagbabago ang halaga ng vector E sa interface sa pagitan ng dalawang media, halimbawa, hangin (ε 1) at tubig (ε = 81). Ang lakas ng field sa tubig ay biglang bumababa ng isang factor na 81. Ang pag-uugali ng vector na ito E lumilikha ng ilang partikular na abala kapag kinakalkula ang mga field sa iba't ibang kapaligiran. Upang maiwasan ang abala na ito, isang bagong vector ang ipinakilala D– vector ng induction o electric displacement ng field. Koneksyon ng vector D At E parang
D = ε ε 0 E.
Malinaw, para sa field ng isang point charge ang electric displacement ay magiging katumbas ng
Madaling makita na ang electrical displacement ay sinusukat sa C/m2, hindi nakadepende sa mga katangian at graphic na kinakatawan ng mga linyang katulad ng mga linya ng pag-igting.
Ang direksyon ng mga linya ng patlang ay nagpapakilala sa direksyon ng patlang sa espasyo (mga linya ng patlang, siyempre, ay hindi umiiral, ipinakilala ang mga ito para sa kaginhawahan ng paglalarawan) o ang direksyon ng vector ng lakas ng patlang. Gamit ang mga linya ng intensity, maaari mong makilala hindi lamang ang direksyon, kundi pati na rin ang magnitude ng lakas ng field. Upang gawin ito, napagkasunduan na isagawa ang mga ito nang may isang tiyak na density, upang ang bilang ng mga linya ng pag-igting na tumutusok sa isang ibabaw ng yunit na patayo sa mga linya ng pag-igting ay proporsyonal sa modulus ng vector E(Larawan 78). Pagkatapos ay ang bilang ng mga linya na tumatagos sa elementarya na lugar dS, ang normal na kung saan n bumubuo ng isang anggulo α sa vector E, ay katumbas ng E dScos α = E n dS,
kung saan ang E n ay ang bahagi ng vector E kasama ang normal na direksyon n. Ang halaga dФ E = E n dS = E d S tinawag daloy ng tension vector sa pamamagitan ng site d S(d S= dS n).
Para sa isang arbitrary na saradong ibabaw S ang daloy ng vector E sa pamamagitan ng ibabaw na ito ay pantay
Ang isang katulad na expression ay may daloy ng electric displacement vector Ф D
.
Ostrogradsky-Gauss theorem
Ang theorem na ito ay nagpapahintulot sa amin na matukoy ang daloy ng mga vectors E at D mula sa anumang bilang ng mga singil. Kumuha tayo ng point charge Q at tukuyin ang flux ng vector E sa pamamagitan ng isang spherical surface ng radius r, sa gitna kung saan ito matatagpuan.
Para sa isang spherical surface α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 at
Ф E = E · 4 πr 2 .
Ang pagpapalit ng expression para sa E nakukuha natin
Kaya, mula sa bawat singil sa punto ay may lumalabas na daloy ng F E vector E katumbas ng Q/ ε 0 . Pag-generalize ng konklusyon na ito sa pangkalahatang kaso ng isang arbitrary na bilang ng mga singil sa punto, binibigyan namin ang pagbabalangkas ng theorem: ang kabuuang daloy ng vector E sa pamamagitan ng isang saradong ibabaw ng arbitrary na hugis ay ayon sa bilang na katumbas ng algebraic na kabuuan ng mga singil sa kuryente na nasa loob ng ibabaw na ito, na hinati ng ε 0, i.e.
Para sa electric displacement vector flux D maaari kang makakuha ng katulad na formula
ang flux ng induction vector sa pamamagitan ng saradong ibabaw ay katumbas ng algebraic na kabuuan ng mga electric charge na sakop ng surface na ito.
Kung kukuha kami ng isang saradong ibabaw na hindi yakapin ang isang singil, pagkatapos ay ang bawat linya E At D ay tatawid sa ibabaw na ito ng dalawang beses - sa pasukan at labasan, kaya ang kabuuang pagkilos ng bagay ay lumalabas na zero. Dito kinakailangang isaalang-alang ang algebraic sum ng mga linyang pumapasok at umaalis.
Application ng Ostrogradsky-Gauss theorem upang makalkula ang mga electric field na nilikha ng mga eroplano, spheres at cylinders
Ang isang spherical na ibabaw ng radius R ay nagdadala ng isang singil Q, pantay na ipinamamahagi sa ibabaw na may density ng ibabaw σ
Kunin natin ang point A sa labas ng sphere sa layong r mula sa gitna at gumuhit ng sphere ng radius r na simetriko na sisingilin (Fig. 79). Ang lugar nito ay S = 4 πr 2. Ang flux ng vector E ay magiging katumbas ng
Ayon sa Ostrogradsky-Gauss theorem 
, samakatuwid, 
isinasaalang-alang na ang Q = σ 4 πr 2 , nakukuha natin 
Para sa mga puntong matatagpuan sa ibabaw ng isang globo (R = r)
D 
Para sa mga puntong matatagpuan sa loob ng isang guwang na globo (walang bayad sa loob ng globo), E = 0.
2
. Hollow cylindrical surface na may radius R at haba l sinisingil ng pare-pareho ang density ng singil sa ibabaw 
(Larawan 80). Gumuhit tayo ng isang coaxial cylindrical na ibabaw ng radius r > R.
Daloy ng vector E sa pamamagitan ng ibabaw na ito
Sa pamamagitan ng teorama ni Gauss
Ang equating ang kanang bahagi ng mga pagkakapantay-pantay sa itaas, makuha namin
.
Kung ang linear charge density ng cylinder (o manipis na thread) ay ibinigay 
yun
3. Patlang ng walang katapusang mga eroplano na may kapal ng singil sa ibabaw σ (Larawan 81).
Isaalang-alang natin ang field na nilikha ng isang walang katapusang eroplano. Mula sa mga pagsasaalang-alang ng symmetry, sumusunod na ang intensity sa anumang punto sa field ay may direksyon na patayo sa eroplano.
Sa mga simetriko na punto, ang E ay magiging pareho sa magnitude at kabaligtaran sa direksyon.
Itayo natin sa isip ang ibabaw ng isang silindro na may base na ΔS. Pagkatapos ay may lalabas na daloy sa bawat base ng silindro
F E = E ΔS, at ang kabuuang daloy sa cylindrical na ibabaw ay magiging katumbas ng F E = 2E ΔS.
Sa loob ng ibabaw ay may singil Q = σ · ΔS. Ayon sa teorama ni Gauss, ito ay dapat na totoo
saan 
Ang resulta na nakuha ay hindi nakasalalay sa taas ng napiling silindro. Kaya, ang lakas ng field E sa anumang distansya ay pareho sa magnitude.
Para sa dalawang magkaibang sisingilin na eroplano na may parehong surface charge density σ, ayon sa prinsipyo ng superposition, sa labas ng espasyo sa pagitan ng mga eroplano ang lakas ng field ay zero E = 0, at sa espasyo sa pagitan ng mga eroplano 
(Larawan 82a). Kung ang mga eroplano ay sinisingil ng mga katulad na singil na may parehong density ng singil sa ibabaw, ang kabaligtaran na larawan ay sinusunod (Larawan 82b). Sa espasyo sa pagitan ng mga eroplano E = 0, at sa espasyo sa labas ng mga eroplano 
.
Layunin ng aralin: Ang Ostrogradsky–Gauss theorem ay itinatag ng Russian mathematician at mechanic na si Mikhail Vasilyevich Ostrogradsky sa anyo ng isang general mathematical theorem at ng German mathematician na si Carl Friedrich Gauss. Ang theorem na ito ay maaaring gamitin kapag nag-aaral ng physics sa isang espesyal na antas, dahil ito ay nagbibigay-daan para sa mas makatwirang mga kalkulasyon ng mga electric field.
Electric induction vector
Upang makuha ang Ostrogradsky–Gauss theorem, kinakailangan na ipakilala ang mga mahalagang pantulong na konsepto tulad ng electrical induction vector at ang flux ng vector na ito na F.
Ito ay kilala na ang electrostatic field ay madalas na inilalarawan gamit ang mga linya ng puwersa. Ipagpalagay natin na tinutukoy natin ang tensyon sa isang puntong nasa pagitan ng dalawang media: hangin (=1) at tubig (=81). Sa puntong ito, kapag lumilipat mula sa hangin patungo sa tubig, ang lakas ng electric field ayon sa formula 
bababa ng 81 beses. Kung pinabayaan natin ang kondaktibiti ng tubig, kung gayon ang bilang ng mga linya ng puwersa ay bababa ng parehong kadahilanan. Kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema ng pagkalkula ng mga patlang, dahil sa hindi pagkakatuloy ng boltahe vector sa interface sa pagitan ng media at sa dielectrics, ang ilang mga abala ay nilikha. Upang maiwasan ang mga ito, isang bagong vector ang ipinakilala, na tinatawag na electrical induction vector:
Ang electric induction vector ay katumbas ng produkto ng vector at ang electric constant at ang dielectric constant ng medium sa isang naibigay na punto.
Malinaw na kapag dumadaan sa hangganan ng dalawang dielectrics, ang bilang ng mga linya ng electric induction ay hindi nagbabago para sa larangan ng isang point charge (1).
Sa sistema ng SI, ang vector ng electrical induction ay sinusukat sa coulombs per square meter (C/m2). Ipinapakita ng expression (1) na ang numerical value ng vector ay hindi nakadepende sa mga katangian ng medium. Ang patlang ng vector ay graphic na inilalarawan nang katulad ng patlang ng intensity (halimbawa, para sa isang point charge, tingnan ang Fig. 1). Para sa isang vector field, nalalapat ang prinsipyo ng superposisyon:
Electrical induction flux
Ang electric induction vector ay nagpapakilala sa electric field sa bawat punto sa espasyo. Maaari kang magpakilala ng isa pang dami na nakasalalay sa mga halaga ng vector hindi sa isang punto, ngunit sa lahat ng mga punto ng ibabaw na nalilimitahan ng isang patag na saradong tabas.
Upang gawin ito, isaalang-alang ang isang flat closed conductor (circuit) na may surface area S, na inilagay sa isang pare-parehong electric field. Ang normal sa eroplano ng konduktor ay gumagawa ng isang anggulo sa direksyon ng electrical induction vector (Larawan 2).
Ang daloy ng electrical induction sa ibabaw ng S ay isang dami na katumbas ng produkto ng modulus ng induction vector sa pamamagitan ng area S at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng vector at ng normal:
Pinagmulan ng Ostrogradsky-Gauss theorem
Ang theorem na ito ay nagpapahintulot sa amin na mahanap ang daloy ng electric induction vector sa pamamagitan ng isang saradong ibabaw, sa loob kung saan may mga singil sa kuryente.
Hayaang ilagay muna ang isang point charge q sa gitna ng isang globo ng arbitrary radius r 1 (Larawan 3). Pagkatapos 
; . Kalkulahin natin ang kabuuang pagkilos ng bagay ng induction na dumadaan sa buong ibabaw ng globo na ito: ; 
(). Kung kukuha tayo ng isang globo ng radius , pagkatapos ay Ф = q din. Kung gumuhit kami ng isang globo na hindi sumasakop sa singil q, kung gayon ang kabuuang pagkilos ng bagay Ф = 0 (dahil ang bawat linya ay papasok sa ibabaw at iiwan ito sa ibang pagkakataon).
Kaya, Ф = q kung ang singil ay matatagpuan sa loob ng saradong ibabaw at Ф = 0 kung ang singil ay matatagpuan sa labas ng saradong ibabaw. Ang daloy Ф ay hindi nakasalalay sa hugis ng ibabaw. Ito ay independyente rin sa pagsasaayos ng mga singil sa loob ng ibabaw. Nangangahulugan ito na ang resulta na nakuha ay wasto hindi lamang para sa isang pagsingil, kundi pati na rin para sa anumang bilang ng mga singil na arbitraryong matatagpuan, kung ang ibig nating sabihin ay q ang algebraic na kabuuan ng lahat ng mga singil na matatagpuan sa loob ng ibabaw.
Gauss's theorem: ang daloy ng electrical induction sa anumang saradong ibabaw ay katumbas ng algebraic sum ng lahat ng singil na matatagpuan sa loob ng surface: .
Mula sa pormula ay malinaw na ang sukat ng daloy ng kuryente ay kapareho ng sa singil ng kuryente. Samakatuwid, ang yunit ng electrical induction flux ay ang coulomb (C).
Tandaan: kung ang field ay hindi pare-pareho at ang ibabaw kung saan tinutukoy ang daloy ay hindi isang eroplano, kung gayon ang ibabaw na ito ay maaaring hatiin sa mga infinitesimal na elemento ds at ang bawat elemento ay maaaring ituring na flat, at ang field na malapit dito ay pare-pareho. Samakatuwid, para sa anumang electric field, ang daloy ng electric induction vector sa pamamagitan ng surface element ay: dФ=. Bilang resulta ng pagsasama, ang kabuuang pagkilos ng bagay sa pamamagitan ng isang saradong ibabaw S sa anumang hindi magkakatulad na electric field ay katumbas ng: 
, kung saan ang q ay ang algebraic sum ng lahat ng singil na napapalibutan ng saradong ibabaw S. Ipahayag natin ang huling equation sa mga tuntunin ng lakas ng electric field (para sa vacuum): .
Ito ay isa sa mga pangunahing equation ni Maxwell para sa electromagnetic field, na nakasulat sa integral form. Ipinapakita nito na ang pinagmumulan ng isang permanenteng electric field ay mga nakatigil na singil sa kuryente.
Paglalapat ng teorama ni Gauss
Larangan ng patuloy na ipinamamahaging mga singil
Alamin natin ngayon ang lakas ng patlang para sa isang bilang ng mga kaso gamit ang Ostrogradsky-Gauss theorem.
1. Electric field ng isang unipormeng sisingilin na spherical surface.
Sphere ng radius R. Hayaang ang charge +q ay pantay na maipamahagi sa isang spherical surface ng radius R. Ang distribusyon ng singil sa ibabaw ay nailalarawan sa pamamagitan ng surface charge density (Fig. 4). Ang density ng singil sa ibabaw ay ang ratio ng singil sa lugar ng ibabaw kung saan ito ipinamamahagi. . Sa SI.
Tukuyin natin ang lakas ng field:
a) sa labas ng spherical surface,
b) sa loob ng isang spherical surface.
a) Kunin ang punto A, na matatagpuan sa layong r>R mula sa gitna ng naka-charge na spherical surface. Sa pamamagitan ng pag-iisip, gumuhit tayo ng isang spherical surface S ng radius r, na may karaniwang center na may charge na spherical surface. Mula sa mga pagsasaalang-alang ng simetrya, malinaw na ang mga linya ng puwersa ay mga linya ng radial na patayo sa ibabaw ng S at pantay na tumagos sa ibabaw na ito, i.e. ang pag-igting sa lahat ng mga punto ng ibabaw na ito ay pare-pareho sa magnitude. Ilapat natin ang Ostrogradsky-Gauss theorem sa spherical surface na ito na S ng radius r. Samakatuwid ang kabuuang pagkilos ng bagay sa pamamagitan ng globo ay N = E? S; N=E. Sa kabila . Equate natin: . Kaya naman: para sa r>R.
Kaya: ang pag-igting na nilikha ng isang pantay na sisingilin na spherical na ibabaw sa labas nito ay kapareho ng kung ang buong singil ay nasa gitna nito (Larawan 5).
b) Hanapin natin ang lakas ng field sa mga puntong nasa loob ng charged spherical surface. Kunin natin ang point B sa layo mula sa gitna ng globo 2. Lakas ng field ng isang unipormeng sisingilin na walang katapusang eroplano Isaalang-alang natin ang electric field na nilikha ng isang walang katapusang eroplano, na sinisingil ng isang pare-parehong density sa lahat ng mga punto ng eroplano. Para sa mga kadahilanan ng mahusay na proporsyon, maaari nating ipagpalagay na ang mga linya ng pag-igting ay patayo sa eroplano at nakadirekta mula dito sa parehong direksyon (Larawan 6). Piliin natin ang point A na nakahiga sa kanan ng eroplano at kalkulahin sa puntong ito gamit ang Ostrogradsky-Gauss theorem. Bilang isang saradong ibabaw, pumili kami ng isang cylindrical na ibabaw upang ang gilid na ibabaw ng silindro ay kahanay sa mga linya ng puwersa, at ang base nito ay parallel sa eroplano at ang base ay dumadaan sa punto A (Larawan 7). Kalkulahin natin ang daloy ng pag-igting sa ibabaw ng cylindrical na isinasaalang-alang. Ang pagkilos ng bagay sa ibabaw ng gilid ay 0, dahil Ang mga linya ng pag-igting ay parallel sa lateral surface. Pagkatapos ang kabuuang daloy ay binubuo ng mga daloy at dumadaan sa mga base ng silindro at . Pareho sa mga daloy na ito ay positibo =+; =; =; ==; N=2. – isang seksyon ng eroplano na nakahiga sa loob ng napiling cylindrical na ibabaw. Ang singil sa loob ng ibabaw na ito ay q. Pagkatapos ; – maaaring kunin bilang singil sa punto) na may punto A. Upang mahanap ang kabuuang patlang, kinakailangan na geometriko na idagdag ang lahat ng mga patlang na nilikha ng bawat elemento: ; . Para sa isang field sa isang dielectric medium, ang electrostatic theorem ng Gauss ay maaaring isulat sa ibang paraan (sa alternatibong paraan) - sa pamamagitan ng daloy ng electric displacement vector (electrical induction). Sa kasong ito, ang pagbabalangkas ng theorem ay ang mga sumusunod: ang daloy ng electric displacement vector sa isang saradong ibabaw ay proporsyonal sa libreng electric charge na nasa loob ng ibabaw na ito: Sa differential form: Ang flux ng magnetic induction vector sa anumang saradong ibabaw ay zero: o sa differential form Katumbas ito ng katotohanan na sa kalikasan ay walang "magnetic charges" (monopoles) na lilikha ng magnetic field, ang paraan ng electric charges na lumikha ng electric field. Sa madaling salita, ang teorem ni Gauss para sa magnetic induction ay nagpapakita na ang magnetic field ay (ganap) puyo ng tubig. Para sa lakas ng field ng Newtonian gravity (gravitational acceleration), ang theorem ni Gauss ay halos kasabay ng electrostatics, maliban sa mga constants lamang (gayunpaman, nakadepende pa rin sa di-makatwirang pagpili ng sistema ng mga yunit) at, higit sa lahat, ang tanda: saan g- lakas ng gravitational field, M- gravitational charge (i.e. mass) sa loob ng ibabaw S, ρ
- mass density, G- Newtonian pare-pareho. Mga konduktor sa isang electric field. Field sa loob ng isang konduktor at sa ibabaw nito. Ang mga konduktor ay mga katawan kung saan ang mga singil ng kuryente ay maaaring dumaan mula sa isang naka-charge na katawan patungo sa isang hindi naka-charge. Ang kakayahan ng mga konduktor na magpasa ng mga singil sa kuryente sa pamamagitan ng kanilang sarili ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng pagkakaroon ng mga carrier ng libreng bayad sa kanila. Konduktor - mga metal na katawan sa solid at likidong estado, mga likidong solusyon ng mga electrolyte. Ang mga libreng singil ng isang konduktor na ipinasok sa isang electric field ay nagsisimulang gumalaw sa ilalim ng impluwensya nito. Ang muling pamamahagi ng mga singil ay nagdudulot ng pagbabago sa electric field. Kapag ang lakas ng electric field sa isang conductor ay naging zero, ang mga electron ay hihinto sa paggalaw. Ang kababalaghan ng paghihiwalay ng hindi katulad na mga singil sa isang konduktor na inilagay sa isang electric field ay tinatawag na electrostatic induction. Walang electric field sa loob ng conductor. Ito ay ginagamit para sa electrostatic protection - proteksyon gamit ang mga metal conductor mula sa isang electric field. Ang ibabaw ng isang conducting body ng anumang hugis sa isang electric field ay isang equipotential surface. Mga kapasitor Upang makakuha ng mga device na, sa mababang potensyal na kamag-anak sa medium, ay mag-iipon (magpabagal) ng mga kapansin-pansing singil sa kanilang mga sarili, ginagamit nila ang katotohanan na ang kapasidad ng kuryente ng isang konduktor ay tumataas habang papalapit dito ang ibang mga katawan. Sa katunayan, sa ilalim ng impluwensya ng patlang na nilikha ng mga sisingilin na konduktor, sapilitan (sa konduktor) o nauugnay (sa dielectric) na mga singil ay lumilitaw sa isang katawan na dinala dito (Larawan 15.5). Ang mga singil sa tapat ng sign sa singil ng konduktor q ay matatagpuan mas malapit sa konduktor kaysa sa mga may parehong pangalan na may q, at, samakatuwid, ay may malaking impluwensya sa potensyal nito. Samakatuwid, kapag ang anumang katawan ay inilapit sa isang sisingilin na konduktor, ang lakas ng field ay bumababa, at, dahil dito, ang potensyal ng konduktor ay bumababa. Ayon sa equation, nangangahulugan ito ng pagtaas sa kapasidad ng konduktor. Ang kapasitor ay binubuo ng dalawang konduktor (mga plato) (Larawan 15.6), na pinaghihiwalay ng isang dielectric layer. Kapag ang isang tiyak na potensyal na pagkakaiba ay inilapat sa isang konduktor, ang mga plato nito ay sinisingil ng pantay na singil ng kabaligtaran na palatandaan. Ang elektrikal na kapasidad ng isang kapasitor ay nauunawaan bilang isang pisikal na dami na proporsyonal sa singil q at inversely proporsyonal sa potensyal na pagkakaiba sa pagitan ng mga plato Tukuyin natin ang kapasidad ng isang flat capacitor. Kung ang lugar ng plato ay S at ang singil dito ay q, kung gayon ang lakas ng patlang sa pagitan ng mga plato Sa kabilang banda, nagmumula ang potensyal na pagkakaiba sa pagitan ng mga plato Enerhiya ng isang sistema ng mga singil sa punto, isang sisingilin na konduktor at isang kapasitor. Ang anumang sistema ng mga singil ay may ilang potensyal na enerhiya sa pakikipag-ugnayan, na katumbas ng gawaing ginugol sa paglikha ng sistemang ito. Enerhiya ng isang sistema ng mga singil sa punto q 1 , q 2 , q 3 ,… q N ay tinukoy bilang mga sumusunod: saan φ
1 – potensyal ng electric field na nilikha ng lahat ng singil maliban q 1 sa punto kung saan matatagpuan ang singil q 1, atbp. Kung nagbabago ang configuration ng system of charges, nagbabago rin ang energy ng system. Upang baguhin ang configuration ng system, dapat gawin ang trabaho. Ang potensyal na enerhiya ng isang sistema ng mga singil sa punto ay maaaring kalkulahin sa ibang paraan. Potensyal na enerhiya ng dalawang puntong singil q 1 , q 2 sa layo mula sa isa't isa ay pantay. Kung mayroong ilang mga singil, kung gayon ang potensyal na enerhiya ng sistemang ito ng mga singil ay maaaring tukuyin bilang ang kabuuan ng mga potensyal na enerhiya ng lahat ng mga pares ng mga singil na maaaring mabuo para sa sistemang ito. Kaya, para sa isang sistema ng tatlong positibong singil, ang enerhiya ng system ay katumbas ng Electric field ng isang point charge q 0 sa layo mula dito sa isang medium na may dielectric constant ε
(Tingnan ang Larawan 3.1.3). Ang potensyal ay isang scalar, ang tanda nito ay nakasalalay sa tanda ng singil na lumilikha ng patlang. Ang electric field ng isang unipormeng sisingilin na globo ng radius sa punto C sa layo mula sa ibabaw nito (Figure 3.1.4). Ang electric field ng isang sphere ay katulad ng field ng isang point charge na katumbas ng charge ng sphere q sf at puro sa gitna nito. Ang distansya sa punto kung saan tinutukoy ang pag-igting ay ( R+a) Sa labas ng saklaw: Ang potensyal sa loob ng globo ay pare-pareho at pantay at ang tensyon sa loob ng globo ay zero Electric field ng isang unipormeng sisingilin na walang katapusang eroplano na may kapal ng ibabaw σ
(Tingnan ang Larawan 3.1.5). Ang isang patlang na ang lakas ay pareho sa lahat ng mga punto ay tinatawag homogenous. Densidad ng ibabaw σ
– singil sa bawat yunit ng ibabaw (, kung saan ang singil at lugar ng eroplano, ayon sa pagkakabanggit). Dimensyon ng density ng singil sa ibabaw. Ang electric field ng isang flat capacitor na may mga singil sa mga plate na pantay na magnitude ngunit kabaligtaran sa sign (tingnan ang Figure 3.1.6). Pag-igting sa pagitan ng mga plate ng isang parallel-plate capacitor, sa labas ng capacitor E=0. Potensyal na pagkakaiba u sa pagitan ng mga plate (plates) ng kapasitor: , kung saan d– ang distansya sa pagitan ng mga plato, – ang dielectric na pare-pareho ng dielectric na inilagay sa pagitan ng mga plato ng kapasitor. Ang density ng singil sa ibabaw sa mga plato ng kapasitor ay katumbas ng ratio ng halaga ng singil dito sa lugar ng plato:. Enerhiya ng isang naka-charge na nag-iisang konduktor at kapasitor Kung ang isang nakahiwalay na konduktor ay may singil q, kung gayon mayroong isang electric field sa paligid nito, ang potensyal na kung saan sa ibabaw ng konduktor ay katumbas ng , at ang kapasidad ay C. Taasan natin ang singil sa halagang dq. Kapag naglilipat ng charge dq mula sa infinity, dapat gawin ang trabaho katumbas ng Kapag naglilipat ng singil dq mula sa isang konduktor hanggang sa infinity, ang parehong gawain ay ginagawa ng mga puwersa ng electrostatic field. Dahil dito, kapag ang singil ng konduktor ay tumaas ng isang halaga dq, ang potensyal na enerhiya ng patlang ay tumataas, i.e. Sa pamamagitan ng pagsasama ng expression na ito, nakita namin ang potensyal na enerhiya ng electrostatic field ng isang naka-charge na konduktor habang tumataas ang singil nito mula sa zero hanggang q: Sa paglalapat ng kaugnayan, maaari nating makuha ang mga sumusunod na expression para sa potensyal na enerhiya W: Para sa isang sisingilin na kapasitor, ang potensyal na pagkakaiba (boltahe) ay samakatuwid ay katumbas ng ratio para sa kabuuang enerhiya ng electrostatic field nito:
Gauss's theorem para sa electrical induction (electrical displacement)[
Gauss's theorem para sa magnetic induction
Gauss's theorem para sa Newtonian gravity
Larawan 3.1.3
; 
Larawan 3.1.4.
; 
,
Larawan 3.1.5.
Larawan 3.1.6
. Ngunit ang potensyal ng electrostatic field ng isang naibigay na konduktor sa infinity ay zero. Pagkatapos
