B8. GAMITIN

1. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x) at isang tangent sa graph na ito, na iginuhit sa isang punto na may abscissa x0. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x0. Sagot: 2

2.

Sagot: -5

3.

Sa pagitan (–9; 4).

Sagot: 2

4.

Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x0 Sagot: 0.5

5. Hanapin ang punto ng contact sa pagitan ng linyang y = 3x + 8 at ang graph ng function na y = x3+x2-5x-4. Ipahiwatig ang abscissa ng puntong ito sa iyong sagot. Sagot: -2

6.

Tukuyin ang bilang ng mga halaga ng integer ng argumento kung saan negatibo ang derivative ng function na f(x). Sagot: 4

7.

Sagot: 2

8.

Hanapin ang bilang ng mga punto kung saan ang padaplis sa graph ng function na f(x) ay kahanay o tumutugma sa linyang y=5–x. Sagot: 3

9.

Pagitan (-8; 3).

Direktang y = -20. Sagot: 2

10.

Sagot: -0.5

11

Sagot: 1

12. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y=f(x) at ang padaplis dito sa puntong may abscissa x0.

Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x0. Sagot: 0.5

13. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y=f(x) at ang padaplis dito sa puntong may abscissa x0.

Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x0. Sagot: -0.25

14.

Hanapin ang bilang ng mga punto kung saan ang padaplis sa graph ng function na f(x) ay kahanay o tumutugma sa linyang y = x+7. Sagot: 4

15

Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x0. Sagot: -2

16.

pagitan (-14;9).

Hanapin ang bilang ng pinakamataas na puntos ng function na f(x) sa pagitan [-12;7]. Sagot: 3

17

sa pagitan (-10; 8).

Hanapin ang bilang ng mga extremum point ng function na f(x) sa pagitan [-9;7]. Sagot: 4

18. Ang linyang y = 5x-7 ay dumadampi sa graph ng function na y = 6x2 + bx-1 sa isang punto na may abscissa na mas mababa sa 0. Hanapin ang b. Sagot: 17

19

Sagot:-0,25

20

Sagot: 6

21. Hanapin ang tangent sa graph ng function na y=x2+6x-7, parallel sa linyang y=5x+11. Sa iyong sagot, ipahiwatig ang abscissa ng point of contact. Sagot: -0,5

22.

Sagot: 4

23. f "(x) sa pagitan (-16; 4).

Sa segment [-11; 0] hanapin ang bilang ng pinakamataas na puntos ng function. Sagot: 1

B8 Mga graph ng mga function, derivatives ng mga function. Pananaliksik sa pag-andar . GAMITIN

1. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x) at isang tangent sa graph na ito, na iginuhit sa isang punto na may abscissa x0. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x0.

2. Ang figure ay nagpapakita ng graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa pagitan (-6; 5).

Sa anong punto ng segment [-5; -1] f(x) ang kumukuha ng pinakamaliit na halaga?

3. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng derivative ng function na y = f(x), tinukoy

Sa pagitan (–9; 4).

Hanapin ang bilang ng mga punto kung saan ang padaplis sa graph ng function na f(x) ay parallel sa linya

y = 2x-17 o pareho.

4. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y = f(x) at ang padaplis dito sa puntong may abscissa x0.

Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x0

5. Hanapin ang punto ng contact sa pagitan ng linyang y = 3x + 8 at ang graph ng function na y = x3+x2-5x-4. Ipahiwatig ang abscissa ng puntong ito sa iyong sagot.

6. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y = f(x), na tinukoy sa pagitan (-7; 5).

Tukuyin ang bilang ng mga halaga ng integer ng argumento kung saan negatibo ang derivative ng function na f(x).

7. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y \u003d f "(x), na tinukoy sa pagitan (-8; 8).

Hanapin ang bilang ng mga extremum point ng function na f(x) na kabilang sa pagitan [-4; 6].

8. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y \u003d f "(x), na tinukoy sa pagitan (-8; 4).

Hanapin ang bilang ng mga punto kung saan ang padaplis sa graph ng function na f(x) ay kahanay o tumutugma sa linyang y=5–x.

9. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng derivative ng function na y = f(x) na tinukoy sa

Pagitan (-8; 3).

Hanapin ang bilang ng mga punto kung saan ang tangent sa graph ng isang function ay parallel

Direktang y = -20.

10. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y=f(x) at ang padaplis dito sa puntong may abscissa x0.

Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x0.

11 . Ang figure ay nagpapakita ng graph ng derivative ng function na f (x), na tinukoy sa pagitan (-9; 9).

Hanapin ang bilang ng pinakamababang puntos ng function na $f(x)$ sa segment [-6;8]. 1

12. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y=f(x) at ang padaplis dito sa puntong may abscissa x0.

Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x0.

13. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y=f(x) at ang padaplis dito sa puntong may abscissa x0.

Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x0.

14. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng derivative ng function na f (x), na tinukoy sa pagitan (-6; 8).

Hanapin ang bilang ng mga punto kung saan ang padaplis sa graph ng function na f(x) ay kahanay o tumutugma sa linyang y = x+7.

15 . Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y = f(x) at ang padaplis dito sa puntong may abscissa x0.

Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x0.

16. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa

pagitan (-14;9).

Hanapin ang bilang ng pinakamataas na puntos ng function na f(x) sa pagitan [-12;7].

17 . Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy

sa pagitan (-10; 8).

Hanapin ang bilang ng mga extremum point ng function na f(x) sa pagitan [-9;7].

18. Ang linyang y = 5x-7 ay dumadampi sa graph ng function na y = 6x2 + bx-1 sa isang punto na may abscissa na mas mababa sa 0. Hanapin ang b.

19 . Ipinapakita ng figure ang graph ng derivative ng function na f(x) at ang padaplis dito sa puntong may abscissa x0.

Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x0.

20 . Hanapin ang bilang ng mga puntos sa pagitan (-1;12) kung saan ang derivative ng function na y = f(x) na ipinapakita sa graph ay katumbas ng 0.

21. Hanapin ang tangent sa graph ng function na y=x2+6x-7, parallel sa linyang y=5x+11. Sa iyong sagot, ipahiwatig ang abscissa ng point of contact.

22. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y=f(x). Hanapin ang bilang ng mga integer na puntos sa pagitan (-2;11) kung saan ang derivative ng function na f(x) ay positibo.

23. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y= f "(x) sa pagitan (-16; 4).

Sa segment [-11; 0] hanapin ang bilang ng pinakamataas na puntos ng function.

Ang figure ay nagpapakita ng graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa pagitan [–5; 6]. Hanapin ang bilang ng mga punto ng graph f (x), kung saan ang tangent na iginuhit sa graph ng function ay nag-tutugma o kahanay sa x-axis

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng derivative ng isang differentiable function na y = f(x).

Hanapin ang bilang ng mga puntos sa graph ng function na kabilang sa segment [–7; 7], kung saan ang tangent sa graph ng function ay parallel sa tuwid na linya na ibinigay ng equation na y = –3x.

Ang materyal na punto M ay nagsisimulang gumalaw mula sa punto A at gumagalaw sa isang tuwid na linya sa loob ng 12 segundo. Ipinapakita ng graph kung paano nagbago ang distansya mula sa point A hanggang point M sa paglipas ng panahon. Ang abscissa ay nagpapakita ng oras t sa mga segundo, ang ordinate ay nagpapakita ng distansya s sa metro. Tukuyin kung gaano karaming beses sa panahon ng paggalaw ang bilis ng point M ay napunta sa zero (balewala ang simula at pagtatapos ng paggalaw).

Ipinapakita ng figure ang mga seksyon ng graph ng function na y \u003d f (x) at ang tangent dito sa punto na may abscissa x \u003d 0. Alam na ang tangent na ito ay kahanay sa tuwid na linya na dumadaan sa mga punto ng ang graph na may abscissas x \u003d -2 at x \u003d 3. Gamit ito, hanapin ang halaga ng derivative f "(o).

Ang figure ay nagpapakita ng graph na y = f'(x) - ang derivative ng function na f(x), na tinukoy sa segment (−11; 2). Hanapin ang abscissa ng punto kung saan ang tangent sa graph ng function na y = f(x) ay parallel sa x-axis o katapat nito.

Ang materyal na punto ay gumagalaw nang patuwid ayon sa batas x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, kung saan ang x ay ang distansya mula sa reference point sa metro, t ay ang oras sa mga segundo na sinusukat mula sa simula ng kilusan. Sa anong punto ng oras (sa mga segundo) ang kanyang bilis ay katumbas ng 2 m/s?

Ang materyal na punto ay gumagalaw sa isang tuwid na linya mula sa una hanggang sa huling posisyon. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng paggalaw nito. Ang oras sa mga segundo ay naka-plot sa abscissa axis, ang distansya mula sa unang posisyon ng punto (sa metro) ay naka-plot sa ordinate axis. Hanapin ang average na bilis ng punto. Ibigay ang iyong sagot sa metro bawat segundo.

Ang function na y \u003d f (x) ay tinukoy sa pagitan [-4; apat]. Ipinapakita ng figure ang isang graph ng derivative nito. Hanapin ang bilang ng mga puntos sa graph ng function na y \u003d f (x), ang tangent kung saan bumubuo ng isang anggulo ng 45 ° na may positibong direksyon ng axis ng Ox.

Ang function na y \u003d f (x) ay tinukoy sa segment [-2; apat]. Ipinapakita ng figure ang isang graph ng derivative nito. Hanapin ang abscissa ng punto ng graph ng function na y \u003d f (x), kung saan kinukuha ang pinakamaliit na halaga sa segment [-2; -0.001].

Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y \u003d f (x) at ang tangent sa graph na ito, na iginuhit sa puntong x0. Ang tangent ay ibinibigay ng equation na y = -2x + 15. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na y = -(1/4)f(x) + 5 sa puntong x0.

Pitong puntos ang minarkahan sa graph ng differentiable function na y = f(x): x1,..,x7. Hanapin ang lahat ng minarkahang punto kung saan ang derivative ng function na f(x) ay mas malaki sa zero. Ilagay ang bilang ng mga puntong ito sa iyong sagot.

Ipinapakita ng figure ang graph y \u003d f "(x) ng derivative ng function f (x), na tinukoy sa pagitan (-10; 2). Hanapin ang bilang ng mga punto kung saan ang tangent sa graph ng function Ang f (x) ay parallel sa linyang y \u003d -2x-11 o tumutugma dito.

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng y \u003d f "(x) - ang derivative ng function na f (x). Siyam na puntos ang minarkahan sa x-axis: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7 , x8, x9.
Ilan sa mga puntong ito ang nabibilang sa mga pagitan ng pagpapababa ng function f(x) ?

Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y \u003d f (x) at ang tangent sa graph na ito, na iginuhit sa puntong x0. Ang padaplis ay ibinibigay ng equation na y = 1.5x + 3.5. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na y \u003d 2f (x) - 1 sa puntong x0.

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y=F(x) ng isa sa mga antiderivatives ng function na f (x). Anim na puntos na may abscissas x1, x2, ..., x6 ang minarkahan sa graph. Sa ilan sa mga puntong ito ang function na y=f(x) ay kumukuha ng mga negatibong halaga?

Ipinapakita ng figure ang iskedyul ng sasakyan sa ruta. Ang oras ay naka-plot sa abscissa axis (sa mga oras), sa ordinate axis - ang distansya na nilakbay (sa kilometro). Hanapin ang average na bilis ng sasakyan sa rutang ito. Ibigay ang iyong sagot sa km/h

Ang materyal na punto ay gumagalaw nang patuwid ayon sa batas x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, kung saan ang x ay ang distansya mula sa reference point (sa metro), t ay ang oras ng paggalaw (sa mga segundo). Hanapin ang bilis nito (sa metro bawat segundo) sa oras t=6 s

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng antiderivative y \u003d F (x) ng ilang function y \u003d f (x), na tinukoy sa pagitan (-6; 7). Gamit ang figure, tukuyin ang bilang ng mga zero ng function na f(x) sa isang ibinigay na pagitan.

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y = F(x) ng isa sa mga antiderivatives ng ilang function na f(x) na tinukoy sa pagitan (-7; 5). Gamit ang figure, tukuyin ang bilang ng mga solusyon sa equation f(x) = 0 sa segment [- 5; 2].

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng isang differentiable function y=f(x). Siyam na puntos ang minarkahan sa x-axis: x1, x2, ... x9. Hanapin ang lahat ng minarkahang punto kung saan ang derivative ng f(x) ay negatibo. Ilagay ang bilang ng mga puntong ito sa iyong sagot.

Ang materyal na punto ay gumagalaw nang patuwid ayon sa batas x(t)=12t^3−3t^2+2t, kung saan ang x ay ang distansya mula sa reference point sa metro, t ay ang oras sa mga segundo na sinusukat mula sa simula ng paggalaw. Hanapin ang bilis nito (sa metro bawat segundo) sa oras t=6 s.

Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y=f(x) at ang tangent sa graph na ito na iginuhit sa puntong x0. Ang tangent equation ay ipinapakita sa figure. hanapin ang halaga ng derivative ng function na y=4*f(x)-3 sa puntong x0.

Sa problema B9, isang graph ng isang function o derivative ang ibinigay, kung saan kinakailangan upang matukoy ang isa sa mga sumusunod na dami:

1. Ang halaga ng derivative sa ilang punto x 0,
2. Mataas o mababang mga punto (extremum point),
3. Mga agwat ng pagtaas at pagbaba ng mga pag-andar (mga agwat ng monotonicity).

Ang mga function at derivatives na ipinakita sa problemang ito ay palaging tuluy-tuloy, na lubos na nagpapadali sa solusyon. Sa kabila ng katotohanan na ang gawain ay kabilang sa seksyon ng pagsusuri sa matematika, ito ay nasa loob ng kapangyarihan ng kahit na ang pinakamahina na mga mag-aaral, dahil walang malalim na teoretikal na kaalaman ang kinakailangan dito.

Upang mahanap ang halaga ng derivative, extremum point at monotonicity interval, may mga simple at unibersal na algorithm - lahat ng mga ito ay tatalakayin sa ibaba.

Basahin nang mabuti ang kondisyon ng problema B9 upang hindi makagawa ng mga hangal na pagkakamali: kung minsan ang mga napakaraming teksto ay makikita, ngunit may ilang mahahalagang kundisyon na nakakaapekto sa kurso ng solusyon.

Pagkalkula ng halaga ng derivative. Dalawang punto na pamamaraan

Kung ang problema ay binibigyan ng graph ng function na f(x), padaplis sa graph na ito sa ilang punto x 0 , at kinakailangan upang mahanap ang halaga ng derivative sa puntong ito, ang sumusunod na algorithm ay inilapat:

1. Maghanap ng dalawang "sapat" na punto sa tangent graph: ang kanilang mga coordinate ay dapat na integer. Tukuyin natin ang mga puntong ito bilang A (x 1 ; y 1) at B (x 2 ; y 2). Isulat nang tama ang mga coordinate - ito ang pangunahing punto ng solusyon, at anumang pagkakamali dito ay humahantong sa maling sagot.
2. Alam ang mga coordinate, madaling kalkulahin ang pagtaas ng argumento Δx = x 2 − x 1 at ang pagtaas ng function Δy = y 2 − y 1 .
3. Sa wakas, nakita namin ang halaga ng derivative D = Δy/Δx. Sa madaling salita, kailangan mong hatiin ang pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento - at ito ang magiging sagot.

Muli, tandaan namin: ang mga puntong A at B ay dapat na tiyak na hanapin sa tangent, at hindi sa graph ng function na f(x), gaya ng kadalasang nangyayari. Ang tangent ay kinakailangang maglaman ng hindi bababa sa dalawang ganoong mga punto, kung hindi man ang problema ay nabuo nang hindi tama.

Isaalang-alang ang mga puntong A (−3; 2) at B (−1; 6) at hanapin ang mga increment:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Hanapin natin ang halaga ng derivative: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Isang gawain. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y \u003d f (x) at ang tangent dito sa puntong may abscissa x 0. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x 0 .

Isaalang-alang ang mga puntos A (0; 3) at B (3; 0), hanapin ang mga increment:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Ngayon nakita natin ang halaga ng derivative: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Isang gawain. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y \u003d f (x) at ang tangent dito sa puntong may abscissa x 0. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x 0 .

Isaalang-alang ang mga puntong A (0; 2) at B (5; 2) at hanapin ang mga increment:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Nananatili itong hanapin ang halaga ng derivative: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Mula sa huling halimbawa, maaari nating bumalangkas ng panuntunan: kung ang tangent ay parallel sa OX axis, ang derivative ng function sa punto ng contact ay katumbas ng zero. Sa kasong ito, hindi mo na kailangang kalkulahin ang anuman - tingnan lamang ang graph.

Pagkalkula ng Mataas at Mababang Puntos

Minsan sa halip na isang graph ng isang function sa problema B9, isang derivative graph ang ibinibigay at ito ay kinakailangan upang mahanap ang maximum o minimum na punto ng function. Sa sitwasyong ito, ang two-point na paraan ay walang silbi, ngunit may isa pa, kahit na mas simpleng algorithm. Una, tukuyin natin ang terminolohiya:

1. Ang puntong x 0 ay tinatawag na pinakamataas na punto ng function na f(x) kung ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili sa ilang kapitbahayan ng puntong ito: f(x 0) ≥ f(x).
2. Ang puntong x 0 ay tinatawag na pinakamababang punto ng function na f(x) kung ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili sa ilang kapitbahayan ng puntong ito: f(x 0) ≤ f(x).

Upang mahanap ang maximum at minimum na puntos sa graph ng derivative, sapat na upang maisagawa ang mga sumusunod na hakbang:

1. I-redraw ang graph ng derivative, na inaalis ang lahat ng hindi kinakailangang impormasyon. Tulad ng ipinapakita ng kasanayan, ang labis na data ay nakakasagabal lamang sa solusyon. Samakatuwid, minarkahan namin ang mga zero ng derivative sa coordinate axis - at iyon na.
2. Alamin ang mga palatandaan ng derivative sa pagitan ng mga zero. Kung sa ilang punto x 0 ay kilala na ang f'(x 0) ≠ 0, kung gayon dalawang opsyon lamang ang posible: f'(x 0) ≥ 0 o f'(x 0) ≤ 0. Ang tanda ng derivative ay madaling matukoy mula sa orihinal na drawing: kung ang derivative graph ay nasa itaas ng OX axis, kung gayon ang f'(x) ≥ 0. Sa kabaligtaran, kung ang derivative graph ay nasa ibaba ng OX axis, kung gayon ang f'(x) ≤ 0.
3. Muli naming suriin ang mga zero at mga palatandaan ng hinalaw. Kung saan nagbabago ang sign mula minus hanggang plus, mayroong pinakamababang punto. Sa kabaligtaran, kung ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa plus hanggang minus, ito ang pinakamataas na punto. Ang pagbibilang ay palaging ginagawa mula kaliwa hanggang kanan.

Gumagana lamang ang scheme na ito para sa tuluy-tuloy na mga function - walang iba sa problema B9.

Isang gawain. Ang figure ay nagpapakita ng graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa segment [−5; 5]. Hanapin ang pinakamababang punto ng function na f(x) sa segment na ito.

Alisin natin ang hindi kinakailangang impormasyon - iiwan lamang natin ang mga hangganan [−5; 5] at ang mga zero ng derivative na x = −3 at x = 2.5. Tandaan din ang mga palatandaan:

Malinaw, sa puntong x = −3, ang tanda ng derivative ay nagbabago mula minus hanggang plus. Ito ang pinakamababang punto.

Isang gawain. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa pagitan [−3; 7]. Hanapin ang pinakamataas na punto ng function na f(x) sa segment na ito.

I-redraw natin ang graph, na iiwan lamang ang mga hangganan [−3; 7] at ang mga zero ng derivative x = −1.7 at x = 5. Pansinin ang mga palatandaan ng derivative sa resultang graph. Meron kami:

Malinaw, sa puntong x = 5, ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa plus hanggang minus - ito ang pinakamataas na punto.

Isang gawain. Ang figure ay nagpapakita ng graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa pagitan [−6; apat]. Hanapin ang bilang ng pinakamataas na puntos ng function na f(x) na kabilang sa pagitan [−4; 3].

Ito ay sumusunod mula sa mga kondisyon ng problema na ito ay sapat na upang isaalang-alang lamang ang bahagi ng graph na nililimitahan ng segment [−4; 3]. Samakatuwid, bumuo kami ng bagong graph, kung saan minarkahan lamang namin ang mga hangganan [−4; 3] at ang mga zero ng derivative sa loob nito. Ibig sabihin, ang mga puntos na x = −3.5 at x = 2. Nakukuha namin ang:

Sa graph na ito, mayroon lamang isang maximum na punto x = 2. Nasa loob nito na ang tanda ng derivative ay nagbabago mula plus hanggang minus.

Isang maliit na tala tungkol sa mga puntos na may mga non-integer na coordinate. Halimbawa, sa huling problema, ang puntong x = −3.5 ay isinasaalang-alang, ngunit sa parehong tagumpay maaari nating kunin ang x = −3.4. Kung ang problema ay nabuo nang tama, ang mga pagbabagong ito ay hindi dapat makaapekto sa sagot, dahil ang mga puntong "walang isang nakapirming lugar ng paninirahan" ay hindi direktang kasangkot sa paglutas ng problema. Siyempre, sa mga integer na puntos, ang gayong trick ay hindi gagana.

Paghahanap ng mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng isang function

Sa ganoong problema, tulad ng mga punto ng maximum at minimum, iminungkahi na maghanap ng mga lugar kung saan ang function mismo ay tumataas o bumababa mula sa graph ng derivative. Una, tukuyin natin kung ano ang pataas at pababa:

1. Ang isang function na f(x) ay tinatawag na pagtaas sa isang segment kung para sa alinmang dalawang puntos x 1 at x 2 mula sa segment na ito ang pahayag ay totoo: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Sa madaling salita, mas malaki ang halaga ng argumento, mas malaki ang halaga ng function.
2. Ang isang function na f(x) ay tinatawag na bumababa sa isang segment kung para sa alinmang dalawang puntos x 1 at x 2 mula sa segment na ito ang pahayag ay totoo: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Yung. ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function.

Bumubuo kami ng sapat na mga kondisyon para sa pagtaas at pagbaba:

1. Para sa isang tuluy-tuloy na function na f(x) na tumaas sa segment , sapat na ang derivative nito sa loob ng segment ay positibo, i.e. f'(x) ≥ 0.
2. Para bumaba ang tuluy-tuloy na function na f(x) sa segment , sapat na ang derivative nito sa loob ng segment ay negatibo, i.e. f'(x) ≤ 0.

Tinatanggap namin ang mga pahayag na ito nang walang patunay. Kaya, nakakakuha kami ng isang pamamaraan para sa paghahanap ng mga pagitan ng pagtaas at pagbaba, na sa maraming paraan ay katulad ng algorithm para sa pagkalkula ng mga extremum na puntos:

1. Alisin ang lahat ng kalabisan na impormasyon. Sa orihinal na graph ng derivative, pangunahing interesado kami sa mga zero ng function, kaya iiwan lang namin ang mga ito.
2. Markahan ang mga palatandaan ng derivative sa pagitan ng mga zero. Kung saan ang f'(x) ≥ 0, ang function ay tumataas, at kung saan ang f'(x) ≤ 0, ito ay bumababa. Kung ang problema ay may mga paghihigpit sa variable na x, minarkahan din namin ang mga ito sa bagong chart.
3. Ngayon na alam natin ang pag-uugali ng function at ang pagpilit, nananatili itong kalkulahin ang kinakailangang halaga sa problema.

Isang gawain. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa pagitan [−3; 7.5]. Hanapin ang mga pagitan ng pagpapababa ng function f(x). Sa iyong sagot, isulat ang kabuuan ng mga integer na kasama sa mga pagitan na ito.

Gaya ng dati, muling iginuhit namin ang graph at markahan ang mga hangganan [−3; 7.5], pati na rin ang mga zero ng derivative na x = −1.5 at x = 5.3. Pagkatapos ay markahan namin ang mga palatandaan ng derivative. Meron kami:

Dahil ang derivative ay negatibo sa pagitan (− 1.5), ito ang agwat ng pagpapababa ng function. Ito ay nananatiling pagsasama-sama ng lahat ng mga integer na nasa loob ng agwat na ito:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Isang gawain. Ang figure ay nagpapakita ng graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa segment [−10; apat]. Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas ng function na f(x). Sa iyong sagot, isulat ang haba ng pinakamalaki sa mga ito.

Alisin natin ang mga kalabisan na impormasyon. Iniiwan lamang namin ang mga hangganan [−10; 4] at mga zero ng derivative, na sa pagkakataong ito ay naging apat: x = −8, x = −6, x = −3 at x = 2. Pansinin ang mga palatandaan ng derivative at kunin ang sumusunod na larawan:

Interesado kami sa mga pagitan ng pagtaas ng function, i.e. kung saan ang f'(x) ≥ 0. Mayroong dalawang ganoong pagitan sa graph: (−8; −6) at (−3; 2). Kalkulahin natin ang kanilang mga haba:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Dahil kinakailangan upang mahanap ang haba ng pinakamalaki sa mga pagitan, isinusulat namin ang halaga l 2 = 5 bilang tugon.

Ang linyang y=3x+2 ay padaplis sa graph ng function na y=-12x^2+bx-10. Hanapin ang b , dahil ang abscissa ng touch point ay mas mababa sa zero.

Ipakita ang Solusyon

Solusyon

Hayaang x_0 ang abscissa ng punto sa graph ng function na y=-12x^2+bx-10 kung saan dumadaan ang tangent sa graph na ito.

Ang halaga ng derivative sa puntong x_0 ay katumbas ng slope ng tangent, ibig sabihin, y"(x_0)=-24x_0+b=3. Sa kabilang banda, ang tangent point ay kabilang sa parehong graph ng function at ng padaplis, i.e. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Nakukuha namin ang isang sistema ng mga equation \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Ang paglutas ng sistemang ito, makakakuha tayo ng x_0^2=1, na nangangahulugang alinman sa x_0=-1 o x_0=1. Ayon sa kondisyon ng abscissa, ang mga touch point ay mas mababa sa zero, samakatuwid x_0=-1, pagkatapos b=3+24x_0=-21.

Sagot

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x) (na isang putol na linya na binubuo ng tatlong tuwid na mga segment ng linya). Gamit ang figure, kalkulahin ang F(9)-F(5), kung saan ang F(x) ay isa sa mga antiderivatives ng f(x).

Ipakita ang Solusyon

Solusyon

Ayon sa formula ng Newton-Leibniz, ang pagkakaiba F(9)-F(5), kung saan ang F(x) ay isa sa mga antiderivatives ng function na f(x), ay katumbas ng lugar ng curvilinear trapezoid bounded sa pamamagitan ng graph ng function na y=f(x), tuwid na linya y=0 , x=9 at x=5. Ayon sa graph, tinutukoy namin na ang tinukoy na curvilinear trapezoid ay isang trapezoid na may mga base na katumbas ng 4 at 3 at isang taas na 3.

Ang lawak nito ay katumbas ng \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng y \u003d f "(x) - ang derivative ng function na f (x), na tinukoy sa pagitan (-4; 10). Hanapin ang mga pagitan ng nagpapababa ng function f (x). Sa iyong sagot , ipahiwatig ang haba ng pinakamalaki sa kanila.

Ipakita ang Solusyon

Solusyon

Tulad ng alam mo, ang function na f (x) ay bumababa sa mga agwat na iyon, sa bawat punto kung saan ang derivative f "(x) ay mas mababa sa zero. Isinasaalang-alang na ito ay kinakailangan upang mahanap ang haba ng pinakamalaki sa kanila, tatlong ganoong pagitan ay natural na nakikilala mula sa figure: (-4; -2);(0;3);(5;9).

Ang haba ng pinakamalaki sa kanila - (5; 9) ay katumbas ng 4.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng y \u003d f "(x) - ang derivative ng function f (x), na tinukoy sa pagitan (-8; 7). Hanapin ang bilang ng mga maximum na puntos ng function na f (x) na kabilang sa pagitan [-6; -2].

Ipakita ang Solusyon

Solusyon

Ipinapakita ng graph na ang derivative f "(x) ng function na f (x) ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus (magkakaroon ng maximum sa mga naturang punto) sa eksaktong isang punto (sa pagitan ng -5 at -4) mula sa pagitan [ -6; -2 Samakatuwid, mayroong eksaktong isang pinakamataas na punto sa pagitan [-6;-2].

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x) na tinukoy sa pagitan (-2; 8). Tukuyin ang bilang ng mga puntos kung saan ang derivative ng function na f(x) ay katumbas ng 0 .

Ipakita ang Solusyon

Solusyon

Kung ang derivative sa isang punto ay katumbas ng zero, kung gayon ang tangent sa graph ng function na iginuhit sa puntong ito ay parallel sa Ox axis. Samakatuwid, nakita namin ang mga naturang punto kung saan ang tangent sa function graph ay parallel sa Ox axis. Sa chart na ito, ang mga nasabing puntos ay mga extremum point (maximum o minimum na puntos). Tulad ng nakikita mo, mayroong 5 extremum point.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kundisyon

Ang linyang y=-3x+4 ay parallel sa tangent sa graph ng function na y=-x^2+5x-7. Hanapin ang abscissa ng point of contact.

Ipakita ang Solusyon

Solusyon

Ang slope ng linya sa graph ng function na y=-x^2+5x-7 sa isang arbitrary point x_0 ay y"(x_0). Ngunit y"=-2x+5, so y"(x_0)=- 2x_0+5. Angular ang koepisyent ng linyang y=-3x+4 na tinukoy sa kondisyon ay -3.Ang magkatulad na linya ay may parehong mga slope.Samakatuwid, nakita namin ang isang halagang x_0 na =-2x_0 +5=-3.

Nakukuha namin ang: x_0 = 4.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x) at minarkahang puntos -6, -1, 1, 4 sa x-axis. Alin sa mga puntong ito ang halaga ng derivative ang pinakamaliit? Pakisaad ang puntong ito sa iyong sagot.