Ang kabuuang probability formula ay nagpapahintulot sa iyo na mahanap ang probabilidad ng isang kaganapan A, na maaaring mangyari lamang sa bawat isa sa n kapwa eksklusibong mga kaganapan na bumubuo ng isang kumpletong sistema kung ang kanilang mga probabilidad ay nalalaman, at mga kondisyon na probabilidad mga pag-unlad A na may paggalang sa bawat isa sa mga kaganapan ng sistema ay katumbas ng .

Ang mga kaganapan ay tinatawag ding hypotheses, sila ay kapwa eksklusibo. Samakatuwid, sa panitikan maaari mo ring mahanap ang kanilang pagtatalaga hindi sa pamamagitan ng liham B, ngunit may sulat H(hypothesis).

Upang malutas ang mga problema sa gayong mga kondisyon, kinakailangang isaalang-alang ang 3, 4, 5, o sa pangkalahatang kaso n ang posibilidad ng isang kaganapan A- sa bawat kaganapan.

Gamit ang mga theorems ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad, nakukuha namin ang kabuuan ng mga produkto ng probabilidad ng bawat isa sa mga kaganapan ng system sa pamamagitan ng kondisyon na maaaring mangyari mga pag-unlad A para sa bawat kaganapan sa system. Iyon ay, ang posibilidad ng isang kaganapan A maaaring kalkulahin ng formula

o sa pangkalahatan

,

na tinatawag na kabuuang pormula ng posibilidad .

Total probability formula: mga halimbawa ng paglutas ng problema

Halimbawa 1 Mayroong tatlong magkatulad na hitsura ng urn: ang una ay may 2 puting bola at 3 itim, ang pangalawa ay may 4 na puti at isang itim, at ang pangatlo ay may tatlong puting bola. May random na lumapit sa isa sa mga urn at kumuha ng isang bola mula dito. Sinasamantala kabuuang pormula ng posibilidad, hanapin ang posibilidad na ang bola ay puti.

Solusyon. Kaganapan A- ang hitsura ng isang puting bola. Nagbigay kami ng tatlong hypotheses:

Unang urn napili;

Ang pangalawang urn ay pinili;

Ang ikatlong urn ay napili.

Mga probabilidad ng may kondisyong kaganapan A para sa bawat hypotheses:

, , .

Inilapat namin ang kabuuang formula ng posibilidad, bilang isang resulta - ang kinakailangang posibilidad:

.

Halimbawa 2 Sa unang pabrika, sa bawat 100 na bombilya, isang average ng 90 na karaniwang mga bombilya ang ginawa, sa pangalawa - 95, sa pangatlo - 85, at ang mga produkto ng mga pabrika na ito ay nagkakahalaga ng 50%, 30% at 20%, ayon sa pagkakabanggit, sa lahat ng mga electric bulbs na ibinibigay sa mga tindahan ng isang partikular na lugar. Hanapin ang posibilidad ng pagbili ng karaniwang bombilya.

Solusyon. Tukuyin natin ang posibilidad na makakuha ng karaniwang bombilya bilang A, at ang mga kaganapan na ginawa ang biniling bumbilya sa una, pangalawa at pangatlong pabrika, ayon sa pagkakabanggit, sa pamamagitan ng . Sa pamamagitan ng kundisyon, ang mga probabilidad ng mga kaganapang ito ay kilala: , , at ang mga kondisyon na probabilidad ng kaganapan A tungkol sa bawat isa sa kanila: , , . Ito ang mga posibilidad na makakuha ng karaniwang bombilya, sa kondisyon na ito ay ginawa sa una, pangalawa, at pangatlong pabrika, ayon sa pagkakabanggit.

Kaganapan A magaganap kung may nangyari o K- ang bombilya ay ginawa sa unang pabrika at ito ay karaniwan, o isang kaganapan L- ang bombilya ay ginawa sa pangalawang pabrika at ito ay karaniwan, o isang kaganapan M- ang bombilya ay ginawa sa ikatlong pabrika at ito ay karaniwan. Iba pang mga posibilidad para sa paglitaw ng kaganapan A hindi. Samakatuwid, ang kaganapan A ay ang kabuuan ng mga pangyayari K, L at M na hindi magkatugma. Ang paglalapat ng probability addition theorem, kinakatawan namin ang probabilidad ng isang kaganapan A bilang

at sa pamamagitan ng probability multiplication theorem na nakukuha natin

yan ay, isang espesyal na kaso ng kabuuang formula ng posibilidad.

Ang pagpapalit ng mga probabilidad sa kaliwang bahagi ng formula, nakuha namin ang posibilidad ng kaganapan A :

Halimbawa 3 Ang sasakyang panghimpapawid ay lumapag sa paliparan. Kung pinahihintulutan ng panahon, ang piloto ay lumapag sa eroplano, gamit, bilang karagdagan sa mga instrumento, pati na rin ang visual na pagmamasid. Sa kasong ito, ang posibilidad ng isang matagumpay na landing ay . Kung ang paliparan ay makulimlim na may mababang ulap, ang piloto ay naglapag sa eroplano, na nakatuon lamang sa kanyang sarili sa mga instrumento. Sa kasong ito, ang posibilidad ng isang matagumpay na landing ay ; . Ang mga device na nagbibigay ng blind landing ay may reliability (probability ng failure-free operation) P. Sa pagkakaroon ng mababang cloudiness at nabigong blind landing instruments, ang posibilidad ng isang matagumpay na landing ay ; . Ipinapakita ng mga istatistika na sa k% ng mga landing, ang airfield ay natatakpan ng mababang ulap. Hanapin buong posibilidad ng kaganapan A- ligtas na landing ng sasakyang panghimpapawid.

Solusyon. Hypotheses:

Walang mababang takip ng ulap;

Mayroong mababang takip ng ulap.

Ang mga probabilidad ng mga hypotheses na ito (mga kaganapan):

;

Kondisyon na maaaring mangyari.

Ang conditional probability ay muling natagpuan ng formula para sa kabuuang probabilidad na may hypotheses

Gumagana ang mga blind landing device;

Nabigo ang mga blind landing instrument.

Ang mga probabilidad ng mga hypotheses na ito ay:

Ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad

Halimbawa 4 Maaaring gumana ang device sa dalawang mode: normal at abnormal. Ang normal na mode ay sinusunod sa 80% ng lahat ng mga kaso ng pagpapatakbo ng device, at abnormal - sa 20% ng mga kaso. Ang posibilidad ng pagkabigo ng aparato sa isang tiyak na oras t katumbas ng 0.1; sa abnormal na 0.7. Hanapin buong posibilidad pagkabigo ng device sa oras t.

Solusyon. Muli naming tinutukoy ang posibilidad ng pagkabigo ng device bilang A. Kaya, tungkol sa pagpapatakbo ng device sa bawat mode (mga kaganapan), ang mga probabilidad ay kilala ayon sa kondisyon: para sa normal na mode ito ay 80% (), para sa abnormal na mode - 20% (). Probability ng Kaganapan A(iyon ay, ang pagkabigo ng aparato) depende sa unang kaganapan (normal na mode) ay 0.1 (); depende sa pangalawang kaganapan (abnormal mode) - 0.7 ( ). Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa kabuuang formula ng posibilidad (iyon ay, ang kabuuan ng mga produkto ng posibilidad ng bawat isa sa mga kaganapan ng system at ang kondisyon na posibilidad ng kaganapan A patungkol sa bawat kaganapan ng system) at mayroon kaming kinakailangang resulta.

Kung ang kaganapan PERO ay maaaring mangyari lamang kasama ng isa sa mga kaganapan ,, ..., na bumubuo ng isang kumpletong grupo ng mga hindi magkatugma na mga kaganapan (ang mga kaganapang ito ay tinatawag na mga hypotheses), pagkatapos ay ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A ay kinakalkula ng formula buong posibilidad :

. (4.1)

Hayaan ang kaganapan sa scheme na inilarawan sa itaas PERO nangyari at kinakailangang malaman ang posibilidad na nangyari ito kasama ng isa sa mga hypotheses. Ang posibilidad na ito ay kinakalkula mula sa Mga formula ng Bayes :

, . (4.2)

Mga Sample ng Paglutas ng Problema

Halimbawa1 ‑ May tatlong magkamukhang urn; ang una ay may 2 puti at 3 itim na bola, ang pangalawa ay may 4 na puti at 1 itim na bola, ang pangatlo ay may 3 puting bola. Ang isa sa mga urn ay pinili nang random at isang bola ang nakuha mula dito. Hanapin ang posibilidad na ang bolang ito ay puti.

Solusyon

Ang karanasan ay nagmumungkahi ng tatlong hypotheses:

-pagpili ng unang urn,;

-pagpili ng pangalawang urn, ;

-pagpili ng ikatlong urn, .

Isaalang-alang ang kaganapan ng interes A - ang iginuhit na bola ay puti. Ang kaganapang ito ay maaari lamang mangyari kasabay ng isa sa mga sumusunod na hypotheses:

Ayon sa kabuuang probability formula (4.1), nakukuha namin

Sagot: .

Halimbawa2 ‑ Ang dalawang makina ay gumagawa ng parehong mga bahagi na pinapakain sa isang karaniwang conveyor. Ang pagganap ng unang makina ay dalawang beses kaysa sa pangalawa. Ang unang makina ay gumagawa sa average na 60% ng mga bahagi ng mahusay na kalidad, at ang pangalawa - 84%. Ang bahagi na kinuha nang random mula sa linya ng pagpupulong ay naging mahusay na kalidad. Hanapin ang posibilidad na ang item na ito ay ginawa ng unang makina.

Solusyon

Dalawang pagpapalagay (hypotheses) ang maaaring gawin: - ang bahagi ay ginawa ng unang automat, at (dahil ang unang automat ay gumagawa ng dalawang beses na mas maraming bahagi kaysa sa pangalawa); - ang bahagi ay ginawa ng pangalawang automat, at .

Ang kondisyon na posibilidad na ang bahagi ay magiging may mahusay na kalidad kung ito ay ginawa ng unang makina, kung ito ay ginawa ng pangalawang makina.

Ang posibilidad na ang isang bahagi na kinuha nang random ay magiging may mahusay na kalidad, ayon sa kabuuang probability formula (4.1), ay katumbas ng:

Ang nais na posibilidad na ang mahusay na bahagi na kinuha ay ginawa ng unang automat, ayon sa formula ng Bayes, ay katumbas ng:

.

Sagot: .

Mga gawain para sa malayang solusyon

1 Mayroong 20 skiers, 6 cyclists at 4 runners sa grupo ng mga atleta. Ang posibilidad na matugunan ang pamantayan sa pagiging kwalipikado ay ang mga sumusunod: para sa isang skier - 0.9, para sa isang siklista - 0.8 at para sa isang runner - 0.75. Hanapin ang posibilidad na ang isang atleta, na pinili nang random, ay matupad ang pamantayan.

2 Mula sa isang urn na naglalaman ng 5 puti at 3 itim na bola, ang isang bola ay kinukuha nang random at inilipat sa isa pang urn, na dati ay naglalaman ng 2 puti at 7 itim na bola. Ang kulay ng inilipat na bola ay hindi naayos. Ang isang bola ay kinukuha nang random mula sa pangalawang urn. Ano ang posibilidad na ang bolang ito ay puti?

3 Mayroong 5 riple sa pyramid, tatlo sa mga ito ay nilagyan ng optical sight. Ang posibilidad na matamaan ng tagabaril ang target kapag pinaputok mula sa isang riple na may teleskopiko na paningin ay 0.95; para sa isang rifle na may normal na saklaw, ang posibilidad na ito ay 0.7. Hanapin ang posibilidad na ang target ay matamaan kung ang tagabaril ay nagpaputok ng isang putok mula sa isang random na napiling rifle.

4 Sa mga kondisyon ng nakaraang gawain, ang tagabaril ay tumama sa target. Tukuyin ang posibilidad na siya ay nagpaputok: mula sa isang rifle na may teleskopiko na paningin; mula sa isang rifle na may isang maginoo na paningin.

5 Upang lumahok sa mga kumpetisyon sa palakasan ng mga estudyante na kwalipikado, 4 na mag-aaral ang napili mula sa unang pangkat ng kurso, 6 mula sa pangalawa, at 5 mula sa ikatlo. institute, ayon sa pagkakabanggit, ay 0.9; 0.7 at 0.8. Isang random na napiling mag-aaral ang napunta sa pambansang koponan bilang resulta ng kompetisyon. Sa aling grupo ang estudyanteng ito ay malamang na kabilang?

6 Ang unang urn ay naglalaman ng 10 bola, kung saan 8 ay puti; Ang pangalawang urn ay naglalaman ng 20 bola, 4 sa mga ito ay puti. Ang isang bola ay kinukuha nang random mula sa bawat urn, at pagkatapos ay isang bola ang kinukuha nang random mula sa dalawang bolang ito. Hanapin ang posibilidad na mabunot ang isang puting bola.

7 Sa isang grupo ng 10 mag-aaral na dumating sa pagsusulit, 3 ay mahusay, 4 ay mahusay, 2 ay katamtaman, at 1 ay masama. Mayroong 20 katanungan sa mga papel ng pagsusulit. Alam ng isang handang mag-aaral ang lahat ng 20 tanong, ang isang mag-aaral na handang-handa ay nakakaalam ng 16, isang katamtaman na mag-aaral ay nakakaalam ng 10, at ang isang natalo ay nakakaalam ng 5. Isang random na estudyante ang sumagot ng tatlong random na itinanong. Hanapin ang posibilidad na ang mag-aaral na ito ay handa: mahusay; mahina.

8 Ang bawat isa sa tatlong urn ay naglalaman ng 6 na itim at 4 na puting bola. Ang isang bola ay kinukuha nang random mula sa unang urn at inilipat sa pangalawang urn, pagkatapos nito ay random na kinukuha ang isang bola mula sa pangalawang urn at inilipat sa ikatlong urn. Hanapin ang posibilidad na ang isang bola na iginuhit nang random mula sa ikatlong urn ay puti.

9 Tatlong independyenteng putok ang ipinutok sa bagay. Ang posibilidad na matamaan ang unang shot ay 0.4; sa pangalawa - 0.5; kasama ang pangatlo - 0.7. Tatlong hit ay tiyak na sapat upang hindi paganahin ang isang bagay, na may dalawang hit, nabigo ito na may posibilidad na 0.6; na may isa - na may posibilidad na 0.2. Hanapin ang posibilidad na bilang resulta ng tatlong pag-shot ang bagay ay madi-disable.

10 Tatlong palaso ang nagpaputok ng isang volley, at dalawang bala ang tumama sa target. Hanapin ang posibilidad na ang ikatlong tagabaril ay tumama sa target kung ang mga probabilidad ng pagtama sa target ng una, pangalawa at pangatlong tagabaril, ayon sa pagkakabanggit, ay 0.6; 0.5 at 0.4.

Takdang aralin.

1 Pag-uulit ng mga pagsubok. Bernoulli at Poisson formula. Lokal at integral theorems ng Laplace.

2 Lutasin ang mga problema.

Isang gawain1 . May dalawang urn. Ang unang urn ay naglalaman ng dalawang puti at tatlong itim na bola, at ang pangalawang urn ay naglalaman ng tatlong puti at limang itim. Mula sa una at pangalawang urn, nang hindi tumitingin, isang bola ang kinuha at inilagay sa ikatlong urn. Ang mga bola sa ikatlong urn ay binabalasa at isang bola ang kinuha nang random mula dito. Hanapin ang posibilidad na ang bolang ito ay puti.

Isang gawain2 . Isa sa tatlong bumaril ay tinawag sa linya ng apoy at nagpaputok ng baril. Natamaan ang target. Ang posibilidad na matamaan ang target ng isang shot para sa unang tagabaril ay 0.3, para sa pangalawa - 0.5, para sa pangatlo - 0.8. Hanapin ang posibilidad na ang pagbaril ay pinaputok ng pangalawang tagabaril.

Isang gawain3 . Mula sa unang makina, 40% ang napupunta sa pagpupulong, mula sa pangalawa - 35%, mula sa pangatlo - 25% ng mga bahagi. Kabilang sa mga bahagi ng unang makina 0.2% ay may depekto, ang pangalawa - 0.3%, ang pangatlo - 0.5%. Hanapin ang posibilidad na:

a) ang bahagi na natanggap para sa pagpupulong ay may depekto;

b) ang bahagi na naging depekto ay ginawa sa pangalawang makina.

Isang gawain4 . Sa isang grupo ng 20 shooters, lima ay mahusay, siyam ay mahusay at anim ay katamtaman. Sa isang shot, ang isang mahusay na tagabaril ay tumama sa target na may posibilidad na 0.9, isang mahusay na may posibilidad na 0.8 at isang katamtaman na may posibilidad na 0.7. Isang random na piniling tagabaril ang nagpaputok ng dalawang beses; May isang hit at isang miss. Aling tagabaril ang pinakamalamang na mahusay, mahusay, o katamtaman?

Mula sa urn kung nasaan sila mga bola, kabilang ang itim na puti, aksidenteng nabunot mga bola. Ano ang posibilidad na sa kanila ay magkakaroon itim na puting bola?

Halimbawa 1. Sa unang urn: tatlong pula, isang puting bola. Sa pangalawang urn: isang pula, tatlong puting bola. Ang isang barya ay itinapon nang random: kung ang coat of arm ay pinili mula sa unang urn, kung hindi, mula sa pangalawa.
Solusyon:
a) ang posibilidad ng pagguhit ng pulang bola
A - nakakuha ng pulang bola
P 1 - nalaglag ang coat of arms, P 2 - kung hindi man

b) Isang pulang bola ang napili. Hanapin ang posibilidad na ito ay kinuha mula sa unang urn, mula sa pangalawang urn.
B 1 - mula sa unang urn, B 2 - mula sa pangalawang urn
,

Halimbawa 2. Mayroong 4 na bola sa isang kahon. Maaaring: puti lamang, itim lamang o puti at itim. (Hindi alam ang komposisyon).
Solusyon:
Ang A ay ang posibilidad ng isang puting bola na lumitaw
a) Lahat ng puti:
(probability na isa sa tatlong opsyon kung saan may puti ay nahuli)
(probability ng isang puting bola na lumitaw kung saan ang lahat ay puti)

b) Hinugot kung saan nakaitim ang lahat



c) naglabas ng variant kung saan lahat ay puti o/at itim

- kahit isa sa kanila ay puti

P a + P b + P c =

Halimbawa 3 . Ang isang urn ay naglalaman ng 5 puti at 4 na itim na bola. 2 bola ang kinuha mula dito sa isang hilera. Hanapin ang posibilidad na ang parehong mga bola ay puti.
Solusyon:
5 puti, 4 itim na bola
P(A 1) - gumuhit ng puting bola

Ang P(A 2) ay ang posibilidad na ang pangalawang bola ay puti din

P(A) – Mga puting bola na pinili sa isang hilera

Halimbawa 3a. Mayroong 2 peke at 8 totoong banknotes sa isang pack. 2 banknotes ay kinuha sa labas ng pack sa isang hilera. Hanapin ang posibilidad na pareho ay mali.
Solusyon:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0.022

Halimbawa 4. Mayroong 10 urns. Ang 9 na urn ay naglalaman ng 2 itim at 2 puting bola. Mayroong 5 puti at 1 itim sa 1 urn. Ang isang bola ay nakuha mula sa isang urn na kinuha nang random.
Solusyon:
P(A)-? isang puting bola ay kinuha mula sa isang urn na naglalaman ng 5 puti
B - ang posibilidad na maalis sa urn, kung saan 5 ang puti
, - kinuha mula sa iba
C 1 - ang posibilidad ng paglitaw ng puting bola sa lvl 9.

C 2 - ang posibilidad ng isang puting bola na lumitaw, kung saan mayroong 5 sa kanila

P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

Halimbawa 5. 20 cylindrical roller at 15 conical. Ang picker ay kukuha ng 1 roller at pagkatapos ay isa pa.
Solusyon:
a) parehong mga roller ay cylindrical
P(C 1)=; P(C 2)=
C 1 - ang unang silindro, C 2 - ang pangalawang silindro
P(A)=P(C 1)P(C 2) =
b) Hindi bababa sa isang silindro
K 1 - ang unang kono.
K 2 - ang pangalawang kono.
P(B)=P(C 1)P(K 2)+P(C 2)P(K 1)+P(C 1)P(C 2)
;

c) ang unang silindro, at ang pangalawa ay hindi
P(C)=P(C 1)P(K 2)

e) Walang solong silindro.
P(D)=P(K 1)P(K 2)

e) Eksaktong 1 silindro
P(E)=P(C 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)

Halimbawa 6. Mayroong 10 karaniwang bahagi at 5 may sira na bahagi sa isang kahon.
Tatlong piraso ang iginuhit nang random.
a) Ang isa sa kanila ay may depekto
P n (K)=C n k p k q n-k ,
Ang P ay ang posibilidad ng mga may sira na produkto

q ay ang posibilidad ng mga karaniwang bahagi

n=3, tatlong bahagi


b) dalawa sa tatlong bahagi ay may depekto P(2)
c) hindi bababa sa isang pamantayan
P(0) - walang depekto

P=P(0)+ P(1)+ P(2) - posibilidad na kahit isang bahagi ay magiging pamantayan

Halimbawa 7 . Ang 1st urn ay naglalaman ng 3 puti at 3 itim na bola, at ang 2nd urn ay naglalaman ng 3 puti at 4 na itim. 2 bola ang inililipat mula sa unang urn patungo sa 2nd urn nang hindi tumitingin, at pagkatapos ay 2 bola ang nakuha mula sa 2nd urn. Ano ang posibilidad na magkaiba sila ng kulay?
Solusyon:
Kapag naglilipat ng mga bola mula sa unang urn, posible ang mga sumusunod na opsyon:
a) 2 puting bola ang iginuhit ng magkasunod
P WB 1 =
Palaging magkakaroon ng isang mas kaunting bola sa ikalawang hakbang, dahil ang isang bola ay nakuha na sa unang hakbang.
b) isang puti at isang itim na bola ang iginuhit
Ang sitwasyon kapag ang puting bola ay unang iginuhit, at pagkatapos ay ang itim
P BC =
Ang sitwasyon kung kailan unang iginuhit ang itim na bola, at pagkatapos ay ang puti
P BW =
Kabuuan: P CU 1 =
c) 2 itim na bola ay iginuhit sa isang hilera
P HH 1 =
Dahil 2 bola ang inilipat mula sa unang urn patungo sa pangalawang urn, ang kabuuang bilang ng mga bola sa pangalawang urn ay magiging 9 (7 + 2). Alinsunod dito, hahanapin namin ang lahat ng posibleng opsyon:
a) Una ang isang puti at pagkatapos ay isang itim na bola ay iguguhit mula sa pangalawang urn

P BC 2 P BB 1 - nangangahulugang ang posibilidad na unang nabunot ang isang puting bola, pagkatapos ay isang itim na bola, sa kondisyon na ang 2 puting bola ay nakuha mula sa unang urn sa isang hilera. Kaya naman ang bilang ng mga puting bola sa kasong ito ay 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 - nangangahulugang ang posibilidad na ang isang puting bola ay unang nabunot, pagkatapos ay isang itim na bola, sa kondisyon na ang puti at itim na mga bola ay nakuha mula sa unang urn. Kaya naman ang bilang ng mga puting bola sa kasong ito ay 4 (3+1), at ang bilang ng mga itim na bola ay lima (4+1).
P BC 2 P BC 1 - nangangahulugang ang posibilidad na unang nabunot ang isang puting bola, pagkatapos ay isang itim na bola, sa kondisyon na ang parehong itim na bola ay kinuha mula sa unang urn sa isang hilera. Iyon ang dahilan kung bakit ang bilang ng mga itim na bola sa kasong ito ay 6 (4+2).

Ang posibilidad na ang iginuhit na 2 bola ay magkakaibang kulay ay katumbas ng:

Sagot: P = 0.54

Halimbawa 7a. Mula sa 1st urn, na naglalaman ng 5 puti at 3 itim na bola, 2 bola ang random na inililipat sa 2nd urn, na naglalaman ng 2 puti at 6 na itim na bola. Pagkatapos ay 1 bola ang iginuhit nang random mula sa 2nd urn.
1) Ano ang posibilidad na ang bola na nakuha mula sa urn 2 ay puti?
2) Ang bola na nakuha mula sa 2nd urn ay naging puti. Kalkulahin ang posibilidad na ang mga bola na may iba't ibang kulay ay inilipat mula sa urn 1 hanggang sa urn 2.
Solusyon.
1) Event A - naging puti ang bola na nakuha mula sa 2nd urn. Isaalang-alang ang mga sumusunod na opsyon para sa paglitaw ng kaganapang ito.
a) Dalawang puting bola ang inilalagay mula sa unang urn papunta sa pangalawang isa: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
Mayroong 4 na puting bola sa pangalawang urn. Kung gayon ang posibilidad ng pagguhit ng puting bola mula sa pangalawang urn ay P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) Ang mga puti at itim na bola ay inilalagay mula sa unang urn papunta sa pangalawang isa: P1(bc) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Mayroong 3 puting bola sa pangalawang urn. Kung gayon ang posibilidad ng pagguhit ng puting bola mula sa pangalawang urn ay P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) Dalawang itim na bola ang inilalagay mula sa unang urn papunta sa pangalawang isa: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
Mayroong 2 puting bola sa pangalawang urn. Kung gayon ang posibilidad ng pagguhit ng puting bola mula sa pangalawang urn ay P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Kung gayon ang posibilidad na ang bola na nakuha mula sa 2nd urn ay naging puti ay katumbas ng:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) Ang bola na nakuha mula sa 2nd urn ay naging puti, i.e. ang kabuuang posibilidad ay P(A)=13/32.
Ang posibilidad na ang mga bola ng iba't ibang kulay (itim at puti) ay inilipat sa pangalawang urn at puti ang napili: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Halimbawa 7b. Ang unang urn ay naglalaman ng 8 puti at 3 itim na bola, ang pangalawang urn ay naglalaman ng 5 puti at 3 itim. Isang bola ang pinipili nang random mula sa una, at dalawang bola mula sa pangalawa. Pagkatapos nito, isang bola ang kinuha nang random mula sa napiling tatlong bola. Itong huling bola ay naging itim. Hanapin ang posibilidad na may napiling puting bola mula sa unang urn.
Solusyon.
Isaalang-alang natin ang lahat ng mga variant ng kaganapan A - sa tatlong bola, ang iginuhit na bola ay naging itim. Paano mangyayari na sa tatlong bola ay itim?
a) Ang isang itim na bola ay nakuha mula sa unang urn, at dalawang puting bola ay nakuha mula sa pangalawang urn.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
b) Ang isang itim na bola ay nakuha mula sa unang urn, at dalawang itim na bola ay nakuha mula sa pangalawang urn.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
c) Ang isang itim na bola ay nakuha mula sa unang urn, at isang puti at isang itim na bola ay nakuha mula sa pangalawang urn.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) Isang puting bola ang kinukuha mula sa unang urn, at dalawang itim na bola ang kinuha mula sa pangalawang urn.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
e) Isang puting bola ang kinuha mula sa unang urn, at isang puti at isang itim na bola ang kinuha mula sa pangalawang urn.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Ang kabuuang posibilidad ay: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Ang posibilidad na ang isang puting bola ay napili mula sa isang puting urn ay:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Kung gayon ang posibilidad na ang isang puting bola ay napili mula sa unang urn, sa kondisyon na ang isang itim ay pinili mula sa tatlong bola, ay katumbas ng:
Pch \u003d Pb (1) / P \u003d 36/77 / 57/77 \u003d 36/57

Halimbawa 7c. Ang unang urn ay naglalaman ng 12 puti at 16 itim na bola, ang pangalawang urn ay naglalaman ng 8 puti at 10 itim. Kasabay nito, kumukuha ng bola mula sa 1st at 2nd urn, pinaghalo at ibinalik ng paisa-isa sa bawat urn. Pagkatapos ay kukuha ng bola mula sa bawat urn. Pareho pala silang kulay. Tukuyin ang posibilidad na may natitira pang puting bola sa 1st urn gaya ng mayroon sa simula.

Solusyon.
Kaganapan A - sa parehong oras, ang isang bola ay nakuha mula sa 1st at 2nd urn.
Ang posibilidad ng pagguhit ng puting bola mula sa unang urn: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Ang posibilidad ng pagguhit ng itim na bola mula sa unang urn: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Ang posibilidad ng pagguhit ng puting bola mula sa pangalawang urn: P2(B) = 8/18 = 4/9
Ang posibilidad ng pagguhit ng itim na bola mula sa pangalawang urn: P2(H) = 10/18 = 5/9

Nangyari ang Event A. Kaganapan B - isang bola ay nakuha mula sa bawat urn. Pagkatapos i-shuffling, ang posibilidad na maibalik ang bola sa urn ng puti o itim na bola ay ½.
Isaalang-alang ang mga variant ng kaganapan B - sila ay naging pareho ng kulay.

Para sa unang urn
1) isang puting bola ang inilagay sa unang urn, at isang puting bola ang iginuhit, sa kondisyon na ang isang puting bola ay dati nang iginuhit, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) isang puting bola ang inilagay sa unang urn at isang puting bola ang iginuhit, sa kondisyon na ang isang itim na bola ay nakuha nang mas maaga, P1(BB/A=W) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) isang puting bola ang inilagay sa unang urn at isang itim na bola ang iginuhit, sa kondisyon na ang isang puting bola ay dati nang iginuhit, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) isang puting bola ang inilagay sa unang urn at isang itim na bola ang iginuhit, sa kondisyon na ang isang itim na bola ay nabunot nang mas maaga, P1(BC/A=Ch) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) isang itim na bola ang inilagay sa unang urn at isang puting bola ang iginuhit, sa kondisyon na ang isang puting bola ay dati nang iginuhit, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) isang itim na bola ang inilagay sa unang urn at isang puti ang iginuhit, sa kondisyon na ang isang itim na bola ay dati nang iginuhit, P1(BW/A=W) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) isang itim na bola ang inilagay sa unang urn, at isang itim na bola ang iginuhit, sa kondisyon na ang isang puting bola ay dati nang iginuhit, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) isang itim na bola ang inilagay sa unang urn, at isang itim na bola ang iginuhit, sa kondisyon na ang isang itim na bola ay nabunot nang mas maaga, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

Para sa pangalawang urn
1) isang puting bola ang inilagay sa unang urn, at isang puting bola ang iginuhit, sa kondisyon na ang isang puting bola ay dati nang iginuhit, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) isang puting bola ang inilagay sa unang urn, at isang puting bola ang iginuhit, sa kondisyon na ang isang itim na bola ay nakuha nang mas maaga, P1(BB/A=W) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) isang puting bola ang inilagay sa unang urn at isang itim na bola ang iginuhit, sa kondisyon na ang isang puting bola ay nabunot nang mas maaga, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) isang puting bola ang inilagay sa unang urn at isang itim na bola ang iginuhit, sa kondisyon na ang isang itim na bola ay nabunot nang mas maaga, P1(BC/A=Ch) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) isang itim na bola ang inilagay sa unang urn at isang puting bola ang iginuhit, sa kondisyon na ang isang puting bola ay dati nang iginuhit, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) isang itim na bola ang inilagay sa unang urn at isang puti ang iginuhit, sa kondisyon na ang isang itim na bola ay dati nang iginuhit, P1(BW/A=W) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) isang itim na bola ang inilagay sa unang urn, at isang itim na bola ang iginuhit, sa kondisyon na ang isang puting bola ay dati nang iginuhit, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) isang itim na bola ang inilagay sa unang urn, at isang itim na bola ang iginuhit, sa kondisyon na ang isang itim na bola ay iginuhit nang mas maaga, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Ang mga bola ay naging parehong kulay:
isang puting
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) itim
P1(H) = P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(WB/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252

P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Halimbawa 7g. Ang unang kahon ay naglalaman ng 5 puti at 4 na asul na bola, ang pangalawa ay 3 at 1, at ang pangatlo ay 4 at 5, ayon sa pagkakabanggit. Ang isang kahon ay pinili nang random at ang isang bola na nakuha mula dito ay naging asul. Ano ang posibilidad na ang bolang ito ay mula sa pangalawang kahon?

Solusyon.
A - kaganapan sa pagkuha ng asul na lobo. Isaalang-alang ang lahat ng mga opsyon para sa kinalabasan ng naturang kaganapan.
H1 - iginuhit na bola mula sa unang kahon,
H2 - iginuhit na bola mula sa pangalawang kahon,
H3 - ang iginuhit na bola mula sa ikatlong kahon.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Ayon sa kondisyon ng problema, ang mga kondisyon na probabilidad ng kaganapan A ay:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Ang posibilidad na ang bolang ito ay mula sa pangalawang kahon ay:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0.2

Halimbawa 8 . Limang kahon na may 30 bola bawat isa ay naglalaman ng 5 pulang bola (ito ang H1 composition box), anim na iba pang kahon na may 20 bola bawat isa ay naglalaman ng 4 na pulang bola (ito ang H2 composition box). Hanapin ang posibilidad na ang isang random na iginuhit na pulang bola ay nakapaloob sa isa sa unang limang kahon.
Solusyon: Ang gawain ng paglalapat ng kabuuang probability formula.

Ang posibilidad na anuman ang bola na kinuha ay nakapaloob sa isa sa unang limang kahon:
P(H 1) = 5/11
Ang posibilidad na anuman Ang kinuhang bola ay nakapaloob sa isa sa anim na kahon:
P(H 2) = 6/11
Nangyari ang kaganapan - isang pulang bola ang iginuhit. Samakatuwid, ito ay maaaring mangyari sa dalawang kaso:
a) hinugot sa unang limang kahon.
P 5 = 5 pulang bola * 5 kahon / (30 bola * 5 kahon) = 1/6
P(P 5 / H 1) \u003d 1/6 * 5/11 \u003d 5/66
b) hinugot sa anim na iba pang mga kahon.
P 6 = 4 na pulang bola * 6 na kahon / (20 bola * 6 na kahon) = 1/5
P (P 6 / H 2) \u003d 1/5 * 6/11 \u003d 6/55
Kabuuan: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Samakatuwid, ang posibilidad na ang isang random na iginuhit na pulang bola ay nakapaloob sa isa sa unang limang kahon ay:
P k.sh. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61

Halimbawa 9 . Ang isang urn ay naglalaman ng 2 puti, 3 itim at 4 na pulang bola. Tatlong bola ang iginuhit nang random. Ano ang posibilidad na ang hindi bababa sa dalawang bola ay may parehong kulay?
Solusyon. May tatlong posibleng resulta ng mga kaganapan:
a) sa tatlong bolang iginuhit, hindi bababa sa dalawa ang puti.
P b (2) = P 2b
Ang kabuuang bilang ng mga posibleng resulta ng elementarya para sa mga pagsubok na ito ay katumbas ng bilang ng mga paraan kung saan maaaring makuha ang 3 bola sa 9:

Hanapin ang posibilidad na ang 2 sa 3 bola ay puti.

Bilang ng mga pagpipiliang mapagpipilian mula sa 2 puting bola:

Bilang ng mga pagpipilian upang pumili mula sa 7 iba pang mga bola ikatlong bola:

b) sa tatlong bolang iginuhit, hindi bababa sa dalawa ang itim (i.e. alinman sa 2 itim o 3 itim).
Hanapin ang posibilidad na ang 2 sa 3 bola ay itim.

Bilang ng mga pagpipiliang mapagpipilian mula sa 3 itim na bola:

Bilang ng mga pagpipiliang mapagpipilian mula sa 6 na iba pang bola ng isang bola:


P 2h = 0.214
Hanapin ang posibilidad na ang lahat ng napiling bola ay itim.

P h (2) = 0.214+0.0119 = 0.2259

c) sa tatlong bolang iginuhit, hindi bababa sa dalawa ang pula (i.e. alinman sa 2 pula o 3 pula).
Hanapin natin ang posibilidad na sa napiling 3 bola 2 ay pula.

Bilang ng mga pagpipiliang mapagpipilian mula sa 4 na itim na bola:

Bilang ng mga opsyon na pipiliin mula sa 5 puting bola na natitira sa 1 puti:


Hanapin ang posibilidad na ang lahat ng napiling bola ay pula.

P hanggang (2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
Kung gayon ang posibilidad na ang hindi bababa sa dalawang bola ay magkakaroon ng parehong kulay ay: P = P b (2) + P h (2) + P c (2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138

Halimbawa 10 . Ang unang urn ay naglalaman ng 10 bola, kung saan 7 ay puti; Ang pangalawang urn ay naglalaman ng 20 bola, 5 sa mga ito ay puti. Ang isang bola ay kinukuha nang random mula sa bawat urn, at pagkatapos ay isang bola ang kinukuha nang random mula sa dalawang bolang ito. Hanapin ang posibilidad na mabunot ang isang puting bola.
Solusyon. Ang posibilidad na ang isang puting bola ay nakuha mula sa unang urn ay P(b)1 = 7/10. Alinsunod dito, ang posibilidad ng pagguhit ng isang itim na bola ay P(h)1 = 3/10.
Ang posibilidad na ang isang puting bola ay nakuha mula sa pangalawang urn ay P(b)2 = 5/20 = 1/4. Alinsunod dito, ang posibilidad ng pagguhit ng itim na bola ay P(h)2 = 15/20 = 3/4.
Event A - isang puting bola ang kinuha mula sa dalawang bola
Isaalang-alang ang kinalabasan ng kaganapan A.

1. Ang isang puting bola ay nakuha mula sa unang urn, at isang puting bola ay nakuha mula sa pangalawang urn. Pagkatapos ay isang puting bola ang nakuha mula sa dalawang bolang ito. P1=7/10*1/4=7/40
2. Ang isang puting bola ay nakuha mula sa unang urn, at isang itim na bola ay nakuha mula sa pangalawang urn. Pagkatapos ay isang puting bola ang nakuha mula sa dalawang bolang ito. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
3. Ang isang itim na bola ay nakuha mula sa unang urn, at isang puting bola ay nakuha mula sa pangalawang urn. Pagkatapos ay isang puting bola ang nakuha mula sa dalawang bolang ito. P3=3/10*1/4=3/40

Kaya't ang posibilidad ay matatagpuan bilang kabuuan ng mga probabilidad sa itaas.
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40

Halimbawa 11 . Mayroong n bola ng tennis sa isang kahon. Sa kanila naglaro ng m . Para sa unang laro, kinuha nila ang dalawang bola nang random at ibinalik ang mga ito pagkatapos ng laro. Para sa ikalawang laro, kumuha din sila ng dalawang bola nang random. Ano ang posibilidad na ang ikalawang laro ay lalaruin gamit ang mga bagong bola?
Solusyon. Isaalang-alang ang kaganapan A - ang laro ay nilaro sa pangalawang pagkakataon gamit ang mga bagong bola. Tingnan natin kung anong mga kaganapan ang maaaring humantong dito.
Ipahiwatig ng g = n-m, ang bilang ng mga bagong bola bago bunutin.
a) Dalawang bagong bola ang iguguhit para sa unang laro.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) para sa unang laro ay bumunot sila ng isang bagong bola at naglaro na ang isa.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
c) para sa unang laro, dalawang nilaro na bola ang nabunot.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Isaalang-alang ang mga kaganapan sa ikalawang laro.
a) Dalawang bagong bola ang nabunot, na ibinigay ng P1: dahil ang mga bagong bola ay nabunot na para sa unang laro, pagkatapos ay para sa ikalawang laro ang kanilang bilang ay nabawasan ng 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) Dalawang bagong bola ang nakuha, napapailalim sa P2: dahil ang isang bagong bola ay nakuha na para sa unang laro, pagkatapos ay para sa ikalawang laro ang kanilang bilang ay nabawasan ng 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) Naglabas sila ng dalawang bagong bola, ibinigay ang P3: dahil walang bagong bola na ginamit para sa unang laro, hindi nagbago ang kanilang numero para sa ikalawang laro g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))

Kabuuang posibilidad P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Sagot: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

Halimbawa 12 . Ang una, pangalawa at pangatlong kahon ay naglalaman ng 2 puti at 3 itim na bola bawat isa, ang ikaapat at ikalimang kahon ay naglalaman ng 1 puti at 1 itim na bola. Ang isang kahon ay random na pinili at ang isang bola ay nakuha mula dito. Ano ang conditional na posibilidad na ang ikaapat o ikalimang kahon ay napili kung ang iginuhit na bola ay puti?
Solusyon.
Ang posibilidad ng pagpili sa bawat kahon ay P(H) = 1/5.
Isaalang-alang ang mga kondisyon na probabilidad ng kaganapan A - pagguhit ng puting bola.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Kabuuang posibilidad ng pagguhit ng puting bola:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0.44
May kondisyong posibilidad na ang ikaapat na kahon ay napili
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
May kondisyong posibilidad na ang ikalimang kahon ay napili
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Kaya, ang kondisyon na posibilidad na ang ikaapat o ikalimang kahon ay napili ay
P(H=4, H=5|A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546

Halimbawa 13 . Ang isang urn ay naglalaman ng 7 puti at 4 na pulang bola. Pagkatapos ay isa pang bola ng puti o pula o itim na kulay ang inilagay sa urn at pagkatapos paghaluin ay inilabas ang isang bola. Pula pala siya. Ano ang posibilidad na a) isang pulang bola ang inilagay? b) itim na bola?
Solusyon.
a) pulang bola
Event A - isang pulang bola ang iginuhit. Event H - maglagay ng pulang bola. Ang posibilidad na may inilagay na pulang bola sa urn P(H=K) = 1 / 3
Pagkatapos ay P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0.139
b) itim na bola
Event A - isang pulang bola ang iginuhit. Event H - maglagay ng itim na bola.
Ang posibilidad na ang isang itim na bola ay inilagay sa urn ay P(H=H) = 1/3
Pagkatapos ay P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0.111

Halimbawa 14 . Mayroong dalawang urn na may mga bola. Ang isa ay may 10 pula at 5 asul na bola, ang isa ay may 5 pula at 7 asul na bola. Ano ang posibilidad na ang isang pulang bola ay mabubunot nang random mula sa unang urn at isang asul mula sa pangalawa?
Solusyon. Hayaan ang kaganapan A1 - isang pulang bola ay iginuhit mula sa unang urn; A2 - isang asul na bola ang nakuha mula sa pangalawang urn:
,
Ang mga kaganapan A1 at A2 ay independyente. Ang posibilidad ng magkasanib na paglitaw ng mga kaganapan A1 at A2 ay katumbas ng

Halimbawa 15 . Mayroong isang deck ng mga baraha (36 piraso). Dalawang card ang iginuhit nang random. Ano ang posibilidad na ang parehong card na iginuhit ay pula?
Solusyon. Hayaang ang event A 1 ang unang iginuhit na card ng pulang suit. Event A 2 - ang pangalawang iginuhit na card ng pulang suit. B - parehong iginuhit na card ng pulang suit. Dahil ang parehong kaganapan A 1 at ang kaganapan A 2 ay dapat mangyari, kung gayon B = A 1 · A 2 . Ang mga kaganapan A 1 at A 2 ay nakasalalay, kaya P(B) :
,
Mula rito

Halimbawa 16 . Ang dalawang urn ay naglalaman ng mga bola na naiiba lamang sa kulay, at sa unang urn ay mayroong 5 puting bola, 11 itim at 8 pula, at sa pangalawang 10, 8, 6 na bola, ayon sa pagkakabanggit. Isang bola ang kinukuha ng random mula sa magkabilang urn. Ano ang posibilidad na magkapareho ang kulay ng parehong bola?
Solusyon. Hayaang ang index 1 ay nangangahulugang puti, ang index 2 ay itim; 3 - pulang kulay. Hayaan ang kaganapan A i - isang bola ng i-th na kulay ay iguguhit mula sa unang urn; kaganapan B j - isang bola ng j -th na kulay ay kinuha mula sa pangalawang urn; kaganapan A - ang parehong mga bola ay may parehong kulay.
A \u003d A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3. Ang mga pangyayaring A i at B j ay independyente, habang ang A i · B i at A j · B j ay hindi magkatugma para sa i ≠ j . Dahil dito,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =

Halimbawa 17 . Mula sa isang urn na may 3 puti at 2 itim na bola ay iginuhit nang paisa-isa hanggang lumitaw ang itim. Ano ang posibilidad na makuha ang 3 bola mula sa urn? 5 bola?
Solusyon.
1) ang posibilidad na 3 bola ang makukuha mula sa urn (i.e. ang ikatlong bola ay magiging itim, at ang unang dalawa ay puti).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) ang posibilidad na makuha ang 5 bola mula sa urn
hindi pwede ang ganitong sitwasyon, kasi 3 puting bola lang.
P=0

Ang corollary ng parehong pangunahing theorems - ang probability addition theorem at ang probability multiplication theorem - ay ang tinatawag na kabuuang probability formula.

Hayaang kailanganin upang matukoy ang posibilidad ng ilang kaganapan na maaaring mangyari kasama ng isa sa mga kaganapan:

pagbuo ng isang kumpletong grupo ng mga hindi magkatugma na mga kaganapan. Tatawagin natin ang mga pangyayaring ito na hypotheses.

Patunayan natin iyan sa kasong ito

, (3.4.1)

mga. ang posibilidad ng isang kaganapan ay kinakalkula bilang ang kabuuan ng mga produkto ng posibilidad ng bawat hypothesis at ang posibilidad ng kaganapan sa ilalim ng hypothesis na ito.

Ang formula (3.4.1) ay tinatawag na kabuuang probability formula.

Patunay. Dahil ang mga hypotheses ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat, ang kaganapan ay maaari lamang lumitaw kasama ng alinman sa mga hypotheses na ito:

Dahil ang mga hypotheses ay hindi pare-pareho, ang mga kumbinasyon hindi rin magkatugma; paglalapat ng karagdagan theorem sa kanila, nakukuha natin ang:

Ang paglalapat ng multiplication theorem sa kaganapan, makakakuha tayo ng:

,

Q.E.D.

Halimbawa 1. May tatlong magkamukhang urn; ang unang urn ay naglalaman ng dalawang puti at isang itim na bola; sa pangalawa - tatlong puti at isang itim; sa pangatlo - dalawang puti at dalawang itim na bola. Ang isang tao ay pumili ng isa sa mga urn nang random at kumukuha ng bola mula dito. Hanapin ang posibilidad na ang bolang ito ay puti.

Solusyon. Isaalang-alang natin ang tatlong hypotheses:

Pagpili ng unang urn,

Pagpili ng pangalawang urn,

Pagpili ng ikatlong urn

at ang kaganapan ay ang hitsura ng isang puting bola.

Dahil ang mga hypotheses, ayon sa kondisyon ng problema, ay pantay na posibilidad, kung gayon

.

Ang mga kondisyon na probabilidad ng kaganapan sa ilalim ng mga hypotheses na ito ay pantay-pantay:

Ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad

.

Halimbawa 2. Tatlong solong putok ang pinaputok sa isang sasakyang panghimpapawid. Ang posibilidad ng pagtama sa unang shot ay 0.4, na may pangalawa - 0.5, na may pangatlong 0.7. Tatlong hit ay malinaw na sapat upang hindi paganahin ang isang sasakyang panghimpapawid; sa isang hit, nabigo ang sasakyang panghimpapawid na may posibilidad na 0.2, na may dalawang hit, na may posibilidad na 0.6. Hanapin ang posibilidad na bilang isang resulta ng tatlong shot ang sasakyang panghimpapawid ay mawawala sa aksyon.

Solusyon. Isaalang-alang natin ang apat na hypotheses:

Walang kahit isang bala ang tumama sa eroplano,

Isang shell ang tumama sa eroplano

Tinamaan ng dalawang shell ang eroplano.

Tatlong bala ang tumama sa eroplano.

Gamit ang mga teorema sa pagdaragdag at pagpaparami, makikita natin ang mga probabilidad ng mga hypotheses na ito:

Ang mga kondisyong probabilidad ng kaganapan (pagkabigo ng sasakyang panghimpapawid) sa ilalim ng mga hypotheses na ito ay:

Ang paglalapat ng kabuuang pormula ng posibilidad, nakukuha natin:

Tandaan na ang unang hypothesis ay hindi maisasaalang-alang, dahil ang kaukulang termino sa kabuuang probabilidad na formula ay naglalaho. Ito ay kadalasang ginagawa kapag inilalapat ang kabuuang pormula ng probabilidad, hindi isinasaalang-alang ang kumpletong pangkat ng mga hindi pantay na hypotheses, ngunit ang mga ito lamang kung saan posible ang isang naibigay na kaganapan.

Halimbawa 3. Ang pagpapatakbo ng makina ay kinokontrol ng dalawang regulator. Ang isang tiyak na tagal ng panahon ay isinasaalang-alang, kung saan ito ay kanais-nais upang matiyak ang walang problema na operasyon ng makina. Kung ang parehong mga regulator ay naroroon, ang makina ay nabigo nang may posibilidad , kung ang una lamang sa kanila ay gumagana, na may posibilidad, kung ang pangalawa lamang ay gumagana, kung ang parehong mga regulator ay nabigo, na may posibilidad . Ang una sa mga regulator ay may pagiging maaasahan, ang pangalawa -. Ang lahat ng mga elemento ay nabigo nang nakapag-iisa sa isa't isa. Hanapin ang kabuuang pagiging maaasahan (probability ng failure-free operation) ng makina.