Ano ang isang generic na function. Kahit at kakaibang mga function

Pagbabago ng tsart.

Verbal na paglalarawan ng function.

Graphic na paraan.

Ang graphical na paraan ng pagtukoy ng isang function ay ang pinaka-nagpapakita at kadalasang ginagamit sa engineering. Sa mathematical analysis, ang graphical na paraan ng pagtukoy ng mga function ay ginagamit bilang isang paglalarawan.

Function Graph f ay ang hanay ng lahat ng mga punto (x; y) ng coordinate plane, kung saan ang y=f(x), at x ay "tumatakbo sa" buong domain ng ibinigay na function.

Ang subset ng coordinate plane ay isang graph ng ilang function kung mayroon itong hindi hihigit sa isang karaniwang punto na may anumang linya na kahanay sa Oy axis.

Halimbawa. Ang mga figure ba sa ibaba ay mga graph ng mga function?

Ang bentahe ng isang graphic na gawain ay ang kalinawan nito. Makikita mo kaagad kung paano kumikilos ang function, kung saan ito tumataas, kung saan ito bumababa. Mula sa graph, maaari mong agad na malaman ang ilang mahahalagang katangian ng function.

Sa pangkalahatan, ang analytical at graphical na mga paraan ng pagtukoy ng isang function ay magkakasabay. Ang paggawa sa formula ay nakakatulong sa pagbuo ng isang graph. At madalas na nagmumungkahi ang graph ng mga solusyon na hindi mo mapapansin sa formula.

Halos sinumang mag-aaral ang nakakaalam ng tatlong paraan para tukuyin ang isang function na kakatapos lang naming sakop.

Subukan nating sagutin ang tanong na: "Mayroon bang iba pang mga paraan upang tukuyin ang isang function?"

May ganoong paraan.

Ang isang function ay maaaring medyo malinaw na tinukoy sa mga salita.

Halimbawa, ang function na y=2x ay maaaring tukuyin ng sumusunod na verbal na paglalarawan: ang bawat tunay na halaga ng argumentong x ay itinalaga ang dobleng halaga nito. Nakatakda ang panuntunan, nakatakda ang function.

Bukod dito, posibleng tukuyin ang isang function sa salita, na napakahirap, kung hindi imposible, na tukuyin gamit ang isang formula.

Halimbawa: ang bawat halaga ng natural na argumentong x ay nauugnay sa kabuuan ng mga digit na bumubuo sa halaga ng x. Halimbawa, kung x=3, kung gayon y=3. Kung x=257, kung gayon y=2+5+7=14. At iba pa. Mahirap isulat ito sa isang formula. Ngunit ang mesa ay madaling gawin.

Ang paraan ng pandiwang paglalarawan ay isang medyo bihirang ginagamit na paraan. Pero minsan nangyayari.

Kung mayroong batas ng isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng x at y, kung gayon mayroong isang function. Anong batas, sa anong anyo ito ay ipinahayag - sa pamamagitan ng isang formula, tablet, graph, mga salita - ay hindi nagbabago sa kakanyahan ng bagay.

Isaalang-alang ang mga function na ang mga domain ng kahulugan ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan, i.e. para sa sinuman X wala sa saklaw na numero (- X) nabibilang din sa domain ng kahulugan. Kabilang sa mga function na ito ay pantay at kakaiba.

Kahulugan. Tinatawag ang function na f kahit, kung para sa alinman X sa labas ng domain nito

Halimbawa. Isaalang-alang ang function

Siya ay kahit na. Tignan natin.

Para kahit kanino X ang mga pagkakapantay-pantay

Kaya, ang parehong mga kondisyon ay nasiyahan para sa amin, na nangangahulugan na ang function ay kahit na. Nasa ibaba ang isang graph ng function na ito.

Kahulugan. Tinatawag ang function na f kakaiba, kung para sa alinman X sa labas ng domain nito

Halimbawa. Isaalang-alang ang function

Siya ay kakaiba. Tignan natin.

Ang domain ng kahulugan ay ang buong numerical axis, na nangangahulugan na ito ay simetriko tungkol sa punto (0; 0).

Para kahit kanino X ang mga pagkakapantay-pantay

Kaya, ang parehong mga kondisyon ay nasiyahan para sa amin, na nangangahulugan na ang pag-andar ay kakaiba. Nasa ibaba ang isang graph ng function na ito.

Ang mga graph na ipinapakita sa una at ikatlong figure ay simetriko tungkol sa y-axis, at ang mga graph na ipinapakita sa ikalawa at ikaapat na figure ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

Alin sa mga function na ang mga graph ay ipinapakita sa mga figure ay pantay, at alin ang kakaiba?

Pati function.

Kahit na Tinatawag ang isang function na ang sign ay hindi nagbabago kapag binago ang sign x.

x pagkakapantay-pantay f(–x) = f(x). Tanda x hindi nakakaapekto sa tanda y.

Ang graph ng even function ay simetriko tungkol sa coordinate axis (Larawan 1).

Kahit na mga halimbawa ng function:

y= cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Paliwanag:
Magsagawa tayo ng isang function y = x 2 o y = –x 2 .
Para sa anumang halaga x positibo ang function. Tanda x hindi nakakaapekto sa tanda y. Ang graph ay simetriko tungkol sa coordinate axis. Ito ay isang pantay na function.

kakaibang function.

kakaiba ay isang function na ang sign ay nagbabago kapag ang sign ay binago x.

Sa madaling salita, para sa anumang halaga x pagkakapantay-pantay f(–x) = –f(x).

Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko na may kinalaman sa pinagmulan (Larawan 2).

Mga halimbawa ng kakaibang function:

y= kasalanan x

y = x 3

y = –x 3

Paliwanag:

Kunin ang function na y = - x 3 .
Lahat ng halaga sa magkakaroon ito ng minus sign. Iyon ang tanda x nakakaapekto sa tanda y. Kung ang independent variable ay isang positibong numero, kung gayon ang function ay positibo; kung ang independent variable ay isang negatibong numero, ang function ay negatibo: f(–x) = –f(x).
Ang graph ng function ay simetriko tungkol sa pinagmulan. Ito ay isang kakaibang function.

Mga katangian ng pantay at kakaibang pag-andar:

TANDAAN:

Hindi lahat ng feature ay pantay o kakaiba. May mga function na hindi napapailalim sa naturang gradation. Halimbawa, ang root function sa = √X ay hindi nalalapat sa alinman sa kahit o kakaibang mga function (Larawan 3). Kapag naglilista ng mga katangian ng naturang mga pag-andar, dapat magbigay ng angkop na paglalarawan: ni kahit na o kakaiba.

Mga pana-panahong pag-andar.

Tulad ng alam mo, ang periodicity ay ang pag-uulit ng ilang mga proseso sa isang tiyak na agwat. Ang mga function na naglalarawan sa mga prosesong ito ay tinatawag mga pana-panahong pag-andar. Ibig sabihin, ito ay mga function kung saan ang mga graph ay may mga elemento na umuulit sa ilang mga numerical interval.

Ang dependence ng variable y sa variable x, kung saan ang bawat value ng x ay tumutugma sa isang value ng y ay tinatawag na function. Ang notasyon ay y=f(x). Ang bawat function ay may ilang pangunahing katangian, tulad ng monotonicity, parity, periodicity, at iba pa.

Isaalang-alang ang parity property nang mas detalyado.

Tinatawag ang isang function na y=f(x) kahit na natutugunan nito ang sumusunod na dalawang kundisyon:

2. Ang halaga ng function sa puntong x na kabilang sa saklaw ng function ay dapat na katumbas ng halaga ng function sa point -x. Iyon ay, para sa anumang punto x, mula sa domain ng function, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay f (x) \u003d f (-x) ay dapat na totoo.

Graph ng pantay na function

Kung bubuo ka ng graph ng pantay na function, magiging simetriko ito tungkol sa y-axis.

Halimbawa, ang function na y=x^2 ay pantay. Tignan natin. Ang domain ng kahulugan ay ang buong numerical axis, na nangangahulugan na ito ay simetriko tungkol sa puntong O.

Kumuha ng arbitrary na x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Samakatuwid, f(x) = f(-x). Kaya, ang parehong mga kondisyon ay nasiyahan para sa amin, na nangangahulugan na ang function ay kahit na. Nasa ibaba ang isang graph ng function na y=x^2.

Ipinapakita ng figure na ang graph ay simetriko tungkol sa y-axis.

Graph ng isang kakaibang function

Ang isang function na y=f(x) ay tinatawag na kakaiba kung natutugunan nito ang sumusunod na dalawang kundisyon:

1. Ang domain ng ibinigay na function ay dapat na simetriko na may paggalang sa punto O. Iyon ay, kung ang ilang point a ay kabilang sa domain ng function, kung gayon ang katumbas na point -a ay dapat ding kabilang sa domain ng ibinigay na function.

2. Para sa anumang puntong x, mula sa domain ng function, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay f (x) \u003d -f (x) ay dapat masiyahan.

Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko sa puntong O - ang pinagmulan. Halimbawa, ang function na y=x^3 ay kakaiba. Tignan natin. Ang domain ng kahulugan ay ang buong numerical axis, na nangangahulugan na ito ay simetriko tungkol sa puntong O.

Kumuha ng arbitrary x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Samakatuwid f(x) = -f(x). Kaya, ang parehong mga kondisyon ay nasiyahan para sa amin, na nangangahulugan na ang pag-andar ay kakaiba. Nasa ibaba ang isang graph ng function na y=x^3.

Ang figure ay malinaw na nagpapakita na ang kakaibang function y=x^3 ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan.

Itago ang Palabas

Mga paraan upang magtakda ng isang function

Hayaang ibigay ang function ng formula: y=2x^(2)-3 . Sa pamamagitan ng pagtatalaga ng anumang halaga sa independent variable x , maaari mong gamitin ang formula na ito upang kalkulahin ang mga katumbas na halaga ng dependent variable y . Halimbawa, kung x=-0.5 , pagkatapos gamit ang formula, makuha natin na ang katumbas na halaga ng y ay y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 .

Dahil sa anumang value na kinuha ng x argument sa formula y=2x^(2)-3 , isang function value lang ang maaaring kalkulahin na tumutugma dito. Ang function ay maaaring kinakatawan bilang isang talahanayan:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Gamit ang talahanayang ito, maaari mong malaman na para sa halaga ng argumento -1, ang halaga ng function -3 ay tumutugma; at ang halaga x=2 ay tumutugma sa y=0, at iba pa. Mahalaga rin na malaman na ang bawat halaga ng argumento sa talahanayan ay tumutugma lamang sa isang halaga ng function.

Higit pang mga function ang maaaring itakda gamit ang mga graph. Sa tulong ng graph, naitatag kung aling halaga ng function ang nauugnay sa isang tiyak na halaga ng x. Kadalasan, ito ay magiging isang tinatayang halaga ng function.

Kahit at kakaibang pag-andar

Ang function ay kahit function, kapag f(-x)=f(x) para sa anumang x mula sa domain. Ang ganitong function ay magiging simetriko tungkol sa Oy axis.

Ang function ay kakaibang function kapag f(-x)=-f(x) para sa alinmang x sa domain. Ang ganitong function ay magiging simetriko tungkol sa pinanggalingan O (0;0) .

Ang function ay hindi man lang, o kakaiba at tinawag pangkalahatang pag-andar kapag wala itong simetrya tungkol sa axis o pinanggalingan.

Sinusuri namin ang sumusunod na function para sa parity:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) na may simetriko na domain ng kahulugan tungkol sa pinagmulan. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Kaya, ang function na f(x)=3x^(3)-7x^(7) ay kakaiba.

Pana-panahong pag-andar

Ang function na y=f(x) , sa domain kung saan ang f(x+T)=f(x-T)=f(x) ay totoo para sa alinmang x, ay tinatawag pana-panahong pag-andar na may tuldok T \neq 0 .

Pag-uulit ng graph ng function sa anumang segment ng abscissa axis, na may haba T .

Mga agwat kung saan positibo ang function, ibig sabihin, f (x) > 0 - mga segment ng abscissa axis, na tumutugma sa mga punto ng graph ng function na nasa itaas ng abscissa axis.

f(x) > 0 sa (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Mga gaps kung saan negatibo ang function, ibig sabihin, f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Limitasyon sa pag-andar

may hangganan mula sa ibaba kaugalian na tumawag sa isang function na y=f(x), x \in X kapag mayroong isang numerong A kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay na f(x) \geq A ay humahawak para sa alinmang x \in X .

Isang halimbawa ng function na naka-bound sa ibaba: y=\sqrt(1+x^(2)) since y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 para sa anumang x .

may hangganan mula sa itaas ang isang function na y=f(x), x \in X ay tinatawag kung mayroong isang numero B kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay na f(x) \neq B ay humahawak para sa anumang x \in X .

Isang halimbawa ng isang function na nakatali sa ibaba: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] since y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 para sa anumang x \in [-1;1] .

Limitado kaugalian na tumawag sa isang function na y=f(x), x \in X kapag mayroong isang numero na K > 0 kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay \left | f(x) \kanan | \neq K para sa alinmang x \in X .

Halimbawa ng bounded function: y=\sin x ay bounded sa buong number line dahil \kaliwa | \sin x \kanan | \neq 1.

Ang pagtaas at pagbaba ng function

Nakaugalian na magsalita ng isang function na tumataas sa pagitan na isinasaalang-alang bilang pagtaas ng function kapag ang mas malaking halaga ng x ay tumutugma sa mas malaking halaga ng function y=f(x) . Mula dito lumalabas na ang pagkuha mula sa itinuturing na pagitan ng dalawang arbitrary na halaga ng argumento x_(1) at x_(2) , at x_(1) > x_(2) , ito ay magiging y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Ang isang function na bumababa sa pagitan na isinasaalang-alang ay tinatawag nagpapababa ng function kapag ang isang mas malaking halaga ng x ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function na y(x) . Mula dito lumalabas na ang pagkuha mula sa itinuturing na pagitan ng dalawang arbitrary na halaga ng argumento x_(1) at x_(2) , at x_(1) > x_(2) , ito ay magiging y(x_(1))< y(x_{2}) .

Mga ugat ng function kaugalian na pangalanan ang mga punto kung saan ang function na F=y(x) ay nag-intersect sa abscissa axis (nakuha ang mga ito bilang resulta ng paglutas ng equation na y(x)=0 ).

a) Kung ang isang even function ay tumaas para sa x > 0, pagkatapos ay bumababa ito para sa x< 0

b) Kapag ang isang kahit na function ay bumababa para sa x > 0, pagkatapos ito ay tumataas para sa x< 0

c) Kapag tumaas ang kakaibang function para sa x > 0, tataas din ito para sa x< 0

d) Kapag bumaba ang isang kakaibang function para sa x > 0, bababa din ito para sa x< 0

Extreme ang function

Function na pinakamababang punto y=f(x) kaugalian na tawagan ang gayong punto x=x_(0) , kung saan ang kapitbahayan nito ay magkakaroon ng iba pang mga punto (maliban sa puntong x=x_(0) ), at para sa kanila ang hindi pagkakapantay-pantay f( x) > f (x_(0)) . y_(min) - pagtatalaga ng function sa puntong min.

Pinakamataas na punto ng function y=f(x) kaugalian na tawagan ang gayong punto x=x_(0) , kung saan ang kapitbahayan nito ay magkakaroon ng iba pang mga punto (maliban sa puntong x=x_(0) ), at pagkatapos ay ang hindi pagkakapantay-pantay f(x) ay masisiyahan para sa kanila< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Kinakailangang kondisyon

Ayon sa teorama ni Fermat: f"(x)=0, pagkatapos kapag ang function na f(x) , na naiba sa puntong x_(0) , isang extremum ang lilitaw sa puntong ito.

Sapat na kondisyon

Kapag ang tanda ng derivative ay nagbago mula sa plus hanggang minus, kung gayon ang x_(0) ang magiging pinakamababang punto;
x_(0) - ay magiging pinakamataas na punto lamang kapag ang derivative ay nagbago ng sign mula minus hanggang plus kapag dumadaan sa nakatigil na punto x_(0) .

Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa pagitan

Mga hakbang sa pagkalkula:

Naghahanap ng derivative f"(x) ;
Ang mga nakatigil at kritikal na punto ng function ay matatagpuan at ang mga kabilang sa pagitan ay pinili;
Ang mga halaga ng function na f(x) ay matatagpuan sa nakatigil at kritikal na mga punto at dulo ng segment. Ang pinakamaliit sa mga resulta ay magiging ang pinakamaliit na halaga ng function, at iba pa - pinakadakila.

Ang isang function ay tinatawag na even (odd) kung para sa alinman at ang pagkakapantay-pantay

Ang graph ng pantay na function ay simetriko tungkol sa axis
.

Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

Halimbawa 6.2. Suriin para sa pantay o kakaibang mga function

1)
; 2)
; 3)
.

Solusyon.

1) Ang function ay tinukoy sa
. Hanapin natin
.

Yung.
. Kaya ang function na ito ay pantay.

2) Ang function ay tinukoy para sa

Yung.
. Kaya, ang function na ito ay kakaiba.

3) ang function ay tinukoy para sa , i.e. para sa

,
. Samakatuwid, ang pag-andar ay hindi kahit na o kakaiba. Tawagin natin itong isang pangkalahatang function.

3. Pagsisiyasat ng isang function para sa monotonicity.

Function
ay tinatawag na pagtaas (pagbaba) sa ilang pagitan kung sa pagitan na ito ang bawat mas malaking halaga ng argumento ay tumutugma sa isang mas malaki (mas maliit) na halaga ng function.

Ang mga function na tumataas (bumababa) sa ilang pagitan ay tinatawag na monotonic.

Kung ang function
naiba sa pagitan
at may positive (negative) derivative
, pagkatapos ay ang function
tumataas (bumababa) sa pagitan na ito.

Halimbawa 6.3. Maghanap ng mga pagitan ng monotonicity ng mga function

1)
; 3)
.

Solusyon.

1) Ang function na ito ay tinukoy sa buong axis ng numero. Hanapin natin ang derivative.

Ang derivative ay zero kung
at
. Domain ng kahulugan - numerical axis, na hinati sa mga puntos
,
para sa mga pagitan. Tukuyin natin ang tanda ng derivative sa bawat pagitan.

Sa pagitan
ang derivative ay negatibo, ang function ay bumababa sa pagitan na ito.

Sa pagitan
ang derivative ay positibo, samakatuwid, ang function ay tumataas sa pagitan na ito.

2) Ang function na ito ay tinukoy kung
o

Tinutukoy namin ang tanda ng square trinomial sa bawat pagitan.

Kaya, ang saklaw ng pag-andar

Hanapin natin ang derivative
,
, kung
, ibig sabihin.
, ngunit
. Tukuyin natin ang tanda ng derivative sa mga pagitan
.

Sa pagitan
ang derivative ay negatibo, samakatuwid, ang function ay bumababa sa pagitan
. Sa pagitan
ang derivative ay positibo, ang function ay tumataas sa pagitan
.

4. Pagsisiyasat ng isang function para sa isang extremum.

Dot
ay tinatawag na maximum (minimum) point ng function
, kung mayroong ganoong kapitbahayan ng punto na para sa lahat
ang kapitbahayan na ito ay nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay

.

Ang pinakamataas at pinakamababang punto ng isang function ay tinatawag na extremum point.

Kung ang function
sa punto ay may extremum, kung gayon ang derivative ng function sa puntong ito ay katumbas ng zero o wala (isang kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng extremum).

Ang mga punto kung saan ang derivative ay katumbas ng zero o wala ay tinatawag na kritikal.

5. Sapat na mga kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum.

Panuntunan 1. Kung sa panahon ng paglipat (mula kaliwa hanggang kanan) sa pamamagitan ng kritikal na punto derivative
binabago ang sign mula "+" hanggang "-", pagkatapos ay sa punto function
may maximum; kung mula sa "-" hanggang sa "+", kung gayon ang pinakamababa; kung
ay hindi nagbabago ng tanda, pagkatapos ay walang extremum.

Panuntunan 2. Hayaan sa punto
unang derivative ng function
sero
, at ang pangalawang derivative ay umiiral at hindi zero. Kung ang
, pagkatapos ay ang pinakamataas na punto, kung
, pagkatapos ay ang pinakamababang punto ng function.

Halimbawa 6.4 . I-explore ang maximum at minimum na function:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Solusyon.

1) Ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa pagitan
.

Hanapin natin ang derivative
at lutasin ang equation
, ibig sabihin.
.mula rito
ay mga kritikal na punto.

Alamin natin ang tanda ng derivative sa mga pagitan,
.

Kapag dumadaan sa mga puntos
at
ang derivative ay nagbabago ng sign mula “–” hanggang “+”, samakatuwid, ayon sa panuntunan 1
ay ang pinakamababang puntos.

Kapag dumaan sa isang punto
derivative changes sign mula "+" hanggang "-", kaya
ay ang pinakamataas na punto.

,
.

2) Ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa pagitan
. Hanapin natin ang derivative
.

Sa pamamagitan ng paglutas ng equation
, hanapin
at
ay mga kritikal na punto. Kung ang denominator
, ibig sabihin.
, kung gayon ang derivative ay hindi umiiral. Kaya,
ay ang ikatlong kritikal na punto. Alamin natin ang tanda ng derivative sa mga pagitan.

Samakatuwid, ang function ay may pinakamababa sa punto
, maximum sa mga puntos
at
.

3) Ang isang function ay tinukoy at tuloy-tuloy kung
, ibig sabihin. sa
.

Hanapin natin ang derivative

Hanapin natin ang mga kritikal na punto:

Mga kapitbahayan ng mga puntos
hindi kabilang sa domain ng kahulugan, kaya hindi sila extremum t. Kaya't tuklasin natin ang mga kritikal na punto
at
.