Unang antas

Quadratic equation. Comprehensive Guide (2019)

Sa terminong "quadratic equation" ang pangunahing salita ay "quadratic". Nangangahulugan ito na ang equation ay kinakailangang naglalaman ng variable (parehong X) sa parisukat, at sa parehong oras ay hindi dapat magkaroon ng Xs sa pangatlo (o mas mataas) na antas.

Ang solusyon ng maraming equation ay binabawasan sa solusyon ng quadratic equation.

Matuto tayong tukuyin na mayroon tayong quadratic equation, at hindi iba.

Halimbawa 1

Alisin ang denominator at i-multiply ang bawat termino ng equation sa

Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi at ayusin ang mga termino sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga kapangyarihan ng x

Ngayon ay maaari nating sabihin nang may kumpiyansa na ang equation na ito ay quadratic!

Halimbawa 2

I-multiply ang kaliwa at kanang bahagi sa pamamagitan ng:

Ang equation na ito, bagaman ito ay orihinal na nasa loob nito, ay hindi isang parisukat!

Halimbawa 3

I-multiply natin ang lahat sa pamamagitan ng:

Nakakatakot? Ang ika-apat at ikalawang degree ... Gayunpaman, kung gagawa tayo ng kapalit, makikita natin na mayroon tayong simpleng quadratic equation:

Halimbawa 4

Mukhang, ngunit tingnan natin nang maigi. Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi:

Kita mo, lumiit ito - at ngayon isa na itong simpleng linear equation!

Ngayon subukang tukuyin para sa iyong sarili kung alin sa mga sumusunod na equation ang quadratic at alin ang hindi:

Mga halimbawa:

Mga sagot:

1. parisukat;
2. parisukat;
3. hindi parisukat;
4. hindi parisukat;
5. hindi parisukat;
6. parisukat;
7. hindi parisukat;
8. parisukat.

May kondisyong hinahati ng mga mathematician ang lahat ng quadratic equation sa mga sumusunod na uri:

• Kumpletuhin ang mga quadratic equation- mga equation kung saan ang mga coefficient at, pati na rin ang libreng termino c, ay hindi katumbas ng zero (tulad ng sa halimbawa). Bilang karagdagan, kabilang sa mga kumpletong quadratic equation, mayroong binigay ay mga equation kung saan ang coefficient (ang equation mula sa halimbawa ng isa ay hindi lamang kumpleto, ngunit nabawasan din!)

• Hindi kumpletong quadratic equation- mga equation kung saan ang coefficient at o libreng term c ay katumbas ng zero:

  Hindi kumpleto ang mga ito dahil may nawawalang elemento sa kanila. Ngunit ang equation ay dapat palaging naglalaman ng x squared !!! Kung hindi, hindi na ito magiging isang parisukat, ngunit ibang equation.

Bakit sila nagkaroon ng ganitong dibisyon? Mukhang may X squared, at okay. Ang ganitong paghahati ay dahil sa mga pamamaraan ng solusyon. Isaalang-alang natin ang bawat isa sa kanila nang mas detalyado.

Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

Una, tumuon tayo sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation - mas simple ang mga ito!

Ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay may mga uri:

1. , sa equation na ito ang coefficient ay pantay.
2. , sa equation na ito ang libreng termino ay katumbas ng.
3. , sa equation na ito ang coefficient at ang free term ay pantay.

1. i. Dahil alam natin kung paano kunin ang square root, ipahayag natin mula sa equation na ito

Ang expression ay maaaring negatibo o positibo. Ang isang parisukat na numero ay hindi maaaring negatibo, dahil kapag nagpaparami ng dalawang negatibo o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging magiging positibong numero, kaya: kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon.

At kung, pagkatapos ay makakakuha tayo ng dalawang ugat. Ang mga formula na ito ay hindi kailangang isaulo. Ang pangunahing bagay ay dapat mong laging malaman at tandaan na hindi ito maaaring mas mababa.

Subukan nating lutasin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 5:

Lutasin ang Equation

Ngayon ay nananatili itong kunin ang ugat mula sa kaliwa at kanang bahagi. Pagkatapos ng lahat, naaalala mo ba kung paano i-extract ang mga ugat?

Sagot:

Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ugat na may negatibong palatandaan!!!

Halimbawa 6:

Lutasin ang Equation

Sagot:

Halimbawa 7:

Lutasin ang Equation

Aray! Ang parisukat ng isang numero ay hindi maaaring negatibo, na nangangahulugan na ang equation

walang ugat!

Para sa mga naturang equation kung saan walang mga ugat, ang mga mathematician ay may isang espesyal na icon - (walang laman na hanay). At ang sagot ay maaaring isulat tulad nito:

Sagot:

Kaya, ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat. Walang mga paghihigpit dito, dahil hindi namin kinuha ang ugat.
Halimbawa 8:

Lutasin ang Equation

Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:

Sa ganitong paraan,

Ang equation na ito ay may dalawang ugat.

Sagot:

Ang pinakasimpleng uri ng hindi kumpletong quadratic equation (bagama't lahat sila ay simple, tama?). Malinaw, ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang:

Dito gagawin natin nang walang mga halimbawa.

Paglutas ng kumpletong quadratic equation

Ipinapaalala namin sa iyo na ang kumpletong quadratic equation ay isang equation ng form equation kung saan

Ang paglutas ng buong quadratic equation ay medyo mas kumplikado (konti lang) kaysa sa ibinigay.

Tandaan, anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang discriminant! Kahit hindi kumpleto.

Ang natitirang mga pamamaraan ay makakatulong sa iyo na gawin ito nang mas mabilis, ngunit kung mayroon kang mga problema sa quadratic equation, master muna ang solusyon gamit ang discriminant.

1. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang discriminant.

Ang paglutas ng mga quadratic equation sa ganitong paraan ay napaka-simple, ang pangunahing bagay ay tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon at isang pares ng mga formula.

Kung, kung gayon ang equation ay may ugat. Dapat bigyan ng espesyal na pansin ang hakbang. Sinasabi sa atin ng discriminant () ang bilang ng mga ugat ng equation.

• Kung, ang formula sa hakbang ay mababawasan sa. Kaya, ang equation ay magkakaroon lamang ng ugat.
• Kung, kung gayon, hindi namin ma-extract ang ugat ng discriminant sa hakbang. Ito ay nagpapahiwatig na ang equation ay walang mga ugat.

Bumalik tayo sa ating mga equation at tumingin sa ilang mga halimbawa.

Halimbawa 9:

Lutasin ang Equation

Hakbang 1 laktawan.

Hakbang 2

Paghahanap ng discriminant:

Kaya ang equation ay may dalawang ugat.

Hakbang 3

Sagot:

Halimbawa 10:

Lutasin ang Equation

Ang equation ay nasa karaniwang anyo, kaya Hakbang 1 laktawan.

Hakbang 2

Paghahanap ng discriminant:

Kaya ang equation ay may isang ugat.

Sagot:

Halimbawa 11:

Lutasin ang Equation

Ang equation ay nasa karaniwang anyo, kaya Hakbang 1 laktawan.

Hakbang 2

Paghahanap ng discriminant:

Nangangahulugan ito na hindi namin makukuha ang ugat mula sa discriminant. Walang mga ugat ng equation.

Ngayon alam na natin kung paano isulat nang tama ang mga ganoong sagot.

Sagot: walang ugat

2. Solusyon ng mga quadratic equation gamit ang Vieta theorem.

Kung naaalala mo, mayroong isang uri ng mga equation na tinatawag na nabawasan (kapag ang coefficient a ay katumbas ng):

Ang ganitong mga equation ay napakadaling lutasin gamit ang teorem ni Vieta:

Ang kabuuan ng mga ugat binigay ang quadratic equation ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay.

Halimbawa 12:

Lutasin ang Equation

Ang equation na ito ay angkop para sa solusyon gamit ang Vieta's theorem, dahil .

Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay, i.e. makuha namin ang unang equation:

At ang produkto ay:

Gawin at lutasin natin ang system:

• at. Ang kabuuan ay;
• at. Ang kabuuan ay;
• at. Ang halaga ay katumbas.

at ang solusyon ng system:

Sagot: ; .

Halimbawa 13:

Lutasin ang Equation

Sagot:

Halimbawa 14:

Lutasin ang Equation

Ang equation ay nabawasan, na nangangahulugang:

Sagot:

MGA PAQUADRATIC EQUATIONS. AVERAGE LEVEL

Ano ang isang quadratic equation?

Sa madaling salita, ang isang quadratic equation ay isang equation ng form, kung saan - hindi kilala, - ilang mga numero, bukod pa rito.

Ang bilang ay tinatawag na pinakamataas o unang koepisyent quadratic equation, - pangalawang koepisyent, isang - libreng miyembro.

Bakit? Kasi kung, magiging linear agad ang equation, kasi mawawala.

Sa kasong ito, at maaaring katumbas ng zero. Sa stool equation na ito ay tinatawag na hindi kumpleto. Kung ang lahat ng mga termino ay nasa lugar, iyon ay, ang equation ay kumpleto na.

Mga solusyon sa iba't ibang uri ng quadratic equation

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation:

Upang magsimula, susuriin namin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation - mas simple ang mga ito.

Ang mga sumusunod na uri ng mga equation ay maaaring makilala:

I. , sa equation na ito ang coefficient at ang free term ay pantay.

II. , sa equation na ito ang coefficient ay pantay.

III. , sa equation na ito ang libreng termino ay katumbas ng.

Ngayon isaalang-alang ang solusyon ng bawat isa sa mga subtype na ito.

Malinaw, ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang:

Ang isang numerong squared ay hindi maaaring negatibo, dahil kapag nagpaparami ng dalawang negatibo o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging magiging positibong numero. kaya naman:

kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon;

kung mayroon tayong dalawang ugat

Ang mga formula na ito ay hindi kailangang isaulo. Ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay hindi ito maaaring mas mababa.

Mga halimbawa:

Mga solusyon:

Sagot:

Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ugat na may negatibong tanda!

Ang parisukat ng isang numero ay hindi maaaring negatibo, na nangangahulugan na ang equation

walang ugat.

Upang maisulat sa madaling sabi na walang solusyon ang problema, ginagamit namin ang icon na walang laman na hanay.

Sagot:

Kaya, ang equation na ito ay may dalawang ugat: at.

Sagot:

Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:

Ang produkto ay katumbas ng zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Nangangahulugan ito na ang equation ay may solusyon kapag:

Kaya, ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat: at.

Halimbawa:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Isinasaalang-alang namin ang kaliwang bahagi ng equation at hanapin ang mga ugat:

Sagot:

Mga pamamaraan para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation:

1. Diskriminasyon

Ang paglutas ng mga quadratic equation sa ganitong paraan ay madali, ang pangunahing bagay ay tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon at isang pares ng mga formula. Tandaan, anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang discriminant! Kahit hindi kumpleto.

Napansin mo ba ang ugat ng discriminant sa root formula? Ngunit ang discriminant ay maaaring negatibo. Anong gagawin? Kailangan nating bigyang-pansin ang hakbang 2. Sinasabi sa atin ng discriminant ang bilang ng mga ugat ng equation.

• Kung, kung gayon ang equation ay may ugat:
• Kung, kung gayon ang equation ay may parehong ugat, ngunit sa katunayan, isang ugat:

  Ang ganitong mga ugat ay tinatawag na dobleng ugat.

• Kung, kung gayon ang ugat ng discriminant ay hindi nakuha. Ito ay nagpapahiwatig na ang equation ay walang mga ugat.

Bakit may iba't ibang bilang ng mga ugat? Bumaling tayo sa geometric na kahulugan ng quadratic equation. Ang graph ng function ay isang parabola:

Sa isang partikular na kaso, na isang quadratic equation, . At nangangahulugan ito na ang mga ugat ng quadratic equation ay ang mga punto ng intersection sa x-axis (axis). Ang parabola ay maaaring hindi tumawid sa axis, o maaari itong mag-intersect sa isa (kapag ang tuktok ng parabola ay nasa axis) o dalawang punto.

Bilang karagdagan, ang koepisyent ay responsable para sa direksyon ng mga sanga ng parabola. Kung, kung gayon ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pataas, at kung - pagkatapos ay pababa.

Mga halimbawa:

Mga solusyon:

Sagot:

Sagot: .

Sagot:

Nangangahulugan ito na walang mga solusyon.

Sagot: .

2. Vieta's theorem

Ang paggamit ng Vieta theorem ay napakadali: kailangan mo lamang pumili ng isang pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas ng libreng termino ng equation, at ang kabuuan ay katumbas ng pangalawang koepisyent, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda.

Mahalagang tandaan na ang teorama ni Vieta ay maaari lamang ilapat sa ibinigay na mga quadratic equation ().

Tingnan natin ang ilang halimbawa:

Halimbawa #1:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Ang equation na ito ay angkop para sa solusyon gamit ang Vieta's theorem, dahil . Iba pang mga coefficient: ; .

Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay:

At ang produkto ay:

Piliin natin ang gayong mga pares ng mga numero, ang produkto kung saan ay pantay, at suriin kung ang kanilang kabuuan ay pantay:

• at. Ang kabuuan ay;
• at. Ang kabuuan ay;
• at. Ang halaga ay katumbas.

at ang solusyon ng system:

Kaya, at ang mga ugat ng aming equation.

Sagot: ; .

Halimbawa #2:

Solusyon:

Pinipili namin ang mga pares ng mga numero na nagbibigay sa produkto, at pagkatapos ay suriin kung pantay ang kanilang kabuuan:

at: ibigay sa kabuuan.

at: ibigay sa kabuuan. Upang makuha ito, kailangan mo lamang baguhin ang mga palatandaan ng mga pinaghihinalaang ugat: at, pagkatapos ng lahat, ang produkto.

Sagot:

Halimbawa #3:

Solusyon:

Ang libreng termino ng equation ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat ay isang negatibong numero. Ito ay posible lamang kung ang isa sa mga ugat ay negatibo at ang isa ay positibo. Kaya ang kabuuan ng mga ugat ay pagkakaiba ng kanilang mga module.

Pinipili namin ang mga pares ng mga numero na nagbibigay sa produkto, at ang pagkakaiba nito ay katumbas ng:

at: ang kanilang pagkakaiba ay - hindi angkop;

at: - hindi angkop;

at: - hindi angkop;

at: - angkop. Nananatili lamang na tandaan na ang isa sa mga ugat ay negatibo. Dahil ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, kung gayon ang ugat, na mas maliit sa ganap na halaga, ay dapat na negatibo: . Sinusuri namin:

Sagot:

Halimbawa #4:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Ang equation ay nabawasan, na nangangahulugang:

Ang libreng termino ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat ay negatibo. At ito ay posible lamang kapag ang isang ugat ng equation ay negatibo at ang isa ay positibo.

Pinipili namin ang mga pares ng mga numero na ang produkto ay pantay, at pagkatapos ay tinutukoy kung aling mga ugat ang dapat magkaroon ng negatibong tanda:

Malinaw, ang mga ugat lamang at angkop para sa unang kondisyon:

Sagot:

Halimbawa #5:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Ang equation ay nabawasan, na nangangahulugang:

Ang kabuuan ng mga ugat ay negatibo, na nangangahulugan na kahit isa sa mga ugat ay negatibo. Ngunit dahil positibo ang kanilang produkto, nangangahulugan ito na ang parehong mga ugat ay minus.

Pinipili namin ang mga pares ng mga numero, ang produkto kung saan ay katumbas ng:

Malinaw, ang mga ugat ay ang mga numero at.

Sagot:

Sumang-ayon, ito ay napaka-maginhawa - upang mag-imbento ng mga ugat nang pasalita, sa halip na bilangin ang pangit na diskriminasyong ito. Subukang gamitin ang theorem ni Vieta nang madalas hangga't maaari.

Ngunit ang Vieta theorem ay kailangan upang mapadali at mapabilis ang paghahanap ng mga ugat. Upang maging kapaki-pakinabang para sa iyo na gamitin ito, dapat mong dalhin ang mga aksyon sa automatism. At para dito, lutasin ang limang higit pang mga halimbawa. Ngunit huwag mandaya: hindi mo magagamit ang discriminant! Tanging ang teorama ni Vieta:

Mga solusyon para sa mga gawain para sa malayang gawain:

Gawain 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Ayon sa teorama ni Vieta:

Gaya ng dati, sinisimulan namin ang pagpili sa produkto:

Hindi angkop dahil ang dami;

: ang dami mo kailangan.

Sagot: ; .

Gawain 2.

At muli, ang aming paboritong Vieta theorem: ang kabuuan ay dapat gumana, ngunit ang produkto ay pantay.

Ngunit dahil hindi ito dapat, ngunit, binabago natin ang mga palatandaan ng mga ugat: at (sa kabuuan).

Sagot: ; .

Gawain 3.

Hmm... Nasaan na?

Kinakailangang ilipat ang lahat ng mga tuntunin sa isang bahagi:

Ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng produkto.

Oo, tumigil ka! Ang equation ay hindi ibinigay. Ngunit ang teorama ni Vieta ay naaangkop lamang sa mga ibinigay na equation. Kaya kailangan mo munang dalhin ang equation. Kung hindi mo ito masabi, i-drop ang ideyang ito at lutasin ito sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng discriminant). Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang pagdadala ng quadratic equation ay nangangahulugan na gawing katumbas ang nangungunang coefficient sa:

Magaling. Pagkatapos ang kabuuan ng mga ugat ay pantay, at ang produkto.

Mas madaling kunin dito: pagkatapos ng lahat - isang pangunahing numero (paumanhin para sa tautolohiya).

Sagot: ; .

Gawain 4.

Ang libreng termino ay negatibo. Ano ang espesyal dito? At ang katotohanan na ang mga ugat ay magkakaroon ng iba't ibang mga palatandaan. At ngayon, sa panahon ng pagpili, hindi namin sinusuri ang kabuuan ng mga ugat, ngunit ang pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga module: ang pagkakaiba na ito ay pantay, ngunit ang produkto.

Kaya, ang mga ugat ay pantay at, ngunit ang isa sa kanila ay may minus. Sinasabi sa atin ng teorama ni Vieta na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda, iyon ay. Nangangahulugan ito na ang mas maliit na ugat ay magkakaroon ng minus: at, dahil.

Sagot: ; .

Gawain 5.

Ano ang kailangang gawin muna? Tama iyon, ibigay ang equation:

Muli: pinipili namin ang mga kadahilanan ng numero, at ang kanilang pagkakaiba ay dapat na katumbas ng:

Ang mga ugat ay pantay at, ngunit ang isa sa kanila ay minus. alin? Ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, na nangangahulugan na sa isang minus ay magkakaroon ng mas malaking ugat.

Sagot: ; .

Hayaan akong buod:

1. Ang teorama ni Vieta ay ginagamit lamang sa ibinigay na mga equation na parisukat.
2. Gamit ang Vieta theorem, mahahanap mo ang mga ugat sa pamamagitan ng pagpili, pasalita.
3. Kung hindi ibinigay ang equation o walang nakitang angkop na pares ng mga salik ng libreng termino, walang mga integer na ugat, at kailangan mong lutasin ito sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng discriminant).

3. Buong parisukat na paraan ng pagpili

Kung ang lahat ng mga terminong naglalaman ng hindi alam ay kinakatawan bilang mga termino mula sa mga pormula ng pinaikling multiplikasyon - ang parisukat ng kabuuan o pagkakaiba - pagkatapos ay pagkatapos ng pagbabago ng mga variable posible na kumatawan sa equation sa anyo ng isang hindi kumpletong quadratic equation ng uri .

Halimbawa:

Halimbawa 1:

Lutasin ang equation: .

Solusyon:

Sagot:

Halimbawa 2:

Lutasin ang equation: .

Solusyon:

Sagot:

Sa pangkalahatan, ang pagbabago ay magiging ganito:

Ito ay nagpapahiwatig: .

Hindi ba ito nagpapaalala sa iyo ng kahit ano? Ito ang discriminant! Ganyan talaga nakuha ang discriminant formula.

MGA PAQUADRATIC EQUATIONS. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING

Quadratic equation ay isang equation ng anyo, kung saan ang hindi alam, ay ang mga coefficient ng quadratic equation, ay ang libreng termino.

Kumpletuhin ang quadratic equation- isang equation kung saan ang mga coefficient ay hindi katumbas ng zero.

Pinababang quadratic equation- isang equation kung saan ang coefficient, iyon ay: .

Hindi kumpletong quadratic equation- isang equation kung saan ang coefficient at o libreng term c ay katumbas ng zero:

• kung ang coefficient, ang equation ay may anyo: ,
• kung isang libreng termino, ang equation ay may anyo: ,
• kung at, ang equation ay may anyo: .

1. Algorithm para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

1.1. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan, :

1) Ipahayag ang hindi alam: ,

2) Suriin ang tanda ng expression:

• kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon,
• kung, kung gayon ang equation ay may dalawang ugat.

1.2. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan, :

1) Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket: ,

2) Ang produkto ay katumbas ng zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang equation ay may dalawang ugat:

1.3. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan:

Ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang: .

2. Algorithm para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation ng form kung saan

2.1. Solusyon gamit ang discriminant

1) Dalhin natin ang equation sa karaniwang anyo: ,

2) Kalkulahin ang discriminant gamit ang formula: , na nagsasaad ng bilang ng mga ugat ng equation:

3) Hanapin ang mga ugat ng equation:

• kung, kung gayon ang equation ay may ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
• kung, kung gayon ang equation ay may ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
• kung, kung gayon ang equation ay walang mga ugat.

2.2. Solusyon gamit ang teorama ni Vieta

Ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation (isang equation ng form, kung saan) ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay, i.e. , a.

2.3. Buong parisukat na solusyon

Sa math program na ito magagawa mo lutasin ang quadratic equation.

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng solusyon sa dalawang paraan:
- gamit ang discriminant
- gamit ang Vieta theorem (kung maaari).

Bukod dito, ang sagot ay ipinapakita nang eksakto, hindi tinatayang.
Halimbawa, para sa equation na \(81x^2-16x-1=0\), ang sagot ay ipinapakita sa form na ito:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ sa halip na ito: \(x_1 = 0.247; \ quad x_2 = -0.05 \)

Ang program na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school bilang paghahanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, kapag sinusuri ang kaalaman bago ang Pinag-isang State Exam, para sa mga magulang na kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra sa lalong madaling panahon? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawaing dapat lutasin.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng square polynomial, inirerekumenda namin na pamilyar ka sa mga ito.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng square polynomial

Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.
Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atbp.

Maaaring ilagay ang mga numero bilang mga integer o fraction.
Bukod dito, ang mga fractional na numero ay maaaring ipasok hindi lamang sa anyo ng isang decimal, kundi pati na rin sa anyo ng isang ordinaryong fraction.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Sa mga decimal fraction, ang fractional na bahagi mula sa integer ay maaaring paghiwalayin ng alinman sa isang tuldok o kuwit.
Halimbawa, maaari kang maglagay ng mga decimal tulad nito: 2.5x - 3.5x^2

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.

Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.

Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
Ang integer na bahagi ay pinaghihiwalay mula sa fraction ng isang ampersand: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resulta: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Kapag nagpapasok ng isang expression maaari kang gumamit ng mga bracket. Sa kasong ito, kapag nilulutas ang isang quadratic equation, ang ipinakilalang expression ay unang pinasimple.
Halimbawa: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Magpasya

Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi nag-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

Na-disable mo ang JavaScript sa iyong browser.
Dapat na pinagana ang JavaScript para lumitaw ang solusyon.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.

kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Maghintay, mangyaring sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Medyo teorya.

Quadratic equation at mga ugat nito. Hindi kumpletong quadratic equation

Ang bawat isa sa mga equation
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
may porma
\(ax^2+bx+c=0, \)
kung saan ang x ay isang variable, ang a, b at c ay mga numero.
Sa unang equation a = -1, b = 6 at c = 1.4, sa pangalawa a = 8, b = -7 at c = 0, sa pangatlo a = 1, b = 0 at c = 4/9. Ang ganitong mga equation ay tinatawag quadratic equation.

Kahulugan.
quadratic equation tinatawag ang isang equation ng anyong ax 2 +bx+c=0, kung saan ang x ay variable, a, b at c ang ilang numero, at \(a \neq 0 \).

Ang mga numerong a, b at c ay ang mga coefficient ng quadratic equation. Ang numerong a ay tinatawag na unang koepisyent, ang bilang b ay ang pangalawang koepisyent at ang bilang c ay ang intercept.

Sa bawat isa sa mga equation ng anyong ax 2 +bx+c=0, kung saan ang \(a \neq 0 \), ang pinakamalaking kapangyarihan ng variable x ay isang parisukat. Kaya ang pangalan: quadratic equation.

Tandaan na ang isang quadratic equation ay tinatawag ding equation ng pangalawang degree, dahil ang kaliwang bahagi nito ay polynomial ng pangalawang degree.

Ang isang quadratic equation kung saan ang coefficient sa x 2 ay 1 ay tinatawag pinababang quadratic equation. Halimbawa, ang ibinigay na quadratic equation ay ang mga equation
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Kung sa quadratic equation ax 2 +bx+c=0 hindi bababa sa isa sa mga coefficients b o c ay katumbas ng zero, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag hindi kumpletong quadratic equation. Kaya, ang mga equation -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ay mga hindi kumpletong quadratic equation. Sa una sa kanila b=0, sa pangalawa c=0, sa pangatlo b=0 at c=0.

Ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay may tatlong uri:
1) ax 2 +c=0, kung saan \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kung saan \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Isaalang-alang ang solusyon ng mga equation ng bawat isa sa mga uri na ito.

Upang malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +c=0 para sa \(c \neq 0 \), ang libreng termino nito ay inililipat sa kanang bahagi at ang parehong bahagi ng equation ay hinati ng a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Dahil \(c \neq 0 \), pagkatapos \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Kung \(-\frac(c)(a)>0 \), ang equation ay may dalawang ugat.

Kung \(-\frac(c)(a) Upang lutasin ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng anyong ax 2 +bx=0 para sa \(b \neq 0 \) i-factor ang kaliwang bahagi nito at makuha ang equation
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Samakatuwid, ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +bx=0 para sa \(b \neq 0 \) ay palaging may dalawang ugat.

Ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form ax 2 \u003d 0 ay katumbas ng equation x 2 \u003d 0 at samakatuwid ay may isang solong ugat 0.

Ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Isaalang-alang natin ngayon kung paano nalulutas ang mga quadratic equation kung saan ang parehong coefficients ng mga hindi alam at ang free term ay nonzero.

Nalulutas namin ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo at bilang isang resulta nakuha namin ang formula ng mga ugat. Pagkatapos ang formula na ito ay maaaring ilapat upang malutas ang anumang quadratic equation.

Lutasin ang quadratic equation ax 2 +bx+c=0

Ang paghahati sa parehong bahagi nito sa pamamagitan ng a, makuha natin ang katumbas na pinababang quadratic equation
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Binabago namin ang equation na ito sa pamamagitan ng pag-highlight sa parisukat ng binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Ang salitang ugat ay tinatawag discriminant ng isang quadratic equation ax 2 +bx+c=0 (“discriminant” sa Latin - distinguisher). Ito ay tinutukoy ng titik D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Ngayon, gamit ang notasyon ng discriminant, muling isusulat namin ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kung saan \(D= b^2-4ac \)

Malinaw na:
1) Kung D>0, kung gayon ang quadratic equation ay may dalawang ugat.
2) Kung D=0, kung gayon ang quadratic equation ay may isang ugat \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Kung D Kaya, depende sa halaga ng discriminant, ang quadratic equation ay maaaring magkaroon ng dalawang ugat (para sa D > 0), isang ugat (para sa D = 0) o walang ugat (para sa D Kapag nilulutas ang isang quadratic equation gamit ang formula na ito. , ipinapayong gawin ang sumusunod na paraan:
1) kalkulahin ang discriminant at ihambing ito sa zero;
2) kung ang discriminant ay positibo o katumbas ng zero, pagkatapos ay gamitin ang root formula, kung ang discriminant ay negatibo, pagkatapos ay isulat na walang mga ugat.

Ang teorama ni Vieta

Ang ibinigay na quadratic equation ax 2 -7x+10=0 ay may mga ugat 2 at 5. Ang kabuuan ng mga ugat ay 7, at ang produkto ay 10. Nakita natin na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino. Ang anumang pinababang quadratic equation na may mga ugat ay may ganitong katangian.

Ang kabuuan ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng pangalawang koepisyent, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino.

Yung. Ang theorem ng Vieta ay nagsasaad na ang mga ugat x 1 at x 2 ng pinababang quadratic equation x 2 +px+q=0 ay may katangian:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Ang pagkakaroon ng nakatanggap ng isang pangkalahatang ideya ng mga pagkakapareho, at pagiging pamilyar sa isa sa kanilang mga uri - mga pagkakapantay-pantay ng numero, maaari mong simulan ang pag-uusap tungkol sa isa pang anyo ng pagkakapantay-pantay na napakahalaga mula sa isang praktikal na pananaw - tungkol sa mga equation. Sa artikulong ito, susuriin natin ano ang equation, at kung ano ang tinatawag na ugat ng equation. Dito binibigyan namin ang kaukulang mga kahulugan, at nagbibigay din ng iba't ibang mga halimbawa ng mga equation at ang kanilang mga ugat.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang isang equation?

Ang may layuning pamilyar sa mga equation ay karaniwang nagsisimula sa mga klase sa matematika sa grade 2. Sa oras na ito ang mga sumusunod kahulugan ng equation:

Kahulugan.

Ang equation ay isang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi kilalang numero na mahahanap.

Ang mga hindi kilalang numero sa mga equation ay karaniwang tinutukoy gamit ang maliliit na letrang Latin, halimbawa, p, t, u, atbp., ngunit ang mga letrang x, y at z ay kadalasang ginagamit.

Kaya, ang equation ay tinutukoy mula sa kinatatayuan ng anyo ng notasyon. Sa madaling salita, ang pagkakapantay-pantay ay isang equation kapag sumusunod ito sa tinukoy na mga panuntunan sa notasyon - naglalaman ito ng isang liham na kailangang mahanap ang halaga.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng pinakauna at pinakasimpleng equation. Magsimula tayo sa mga equation tulad ng x=8 , y=3 , atbp. Ang mga equation na naglalaman ng mga palatandaan ng mga operasyong aritmetika kasama ang mga numero at titik ay mukhang mas kumplikado, halimbawa, x+2=3 , z−2=5 , 3 t=9 , 8:x=2 .

Ang iba't ibang mga equation ay lumalaki pagkatapos na makilala ang - ang mga equation na may mga bracket ay nagsimulang lumitaw, halimbawa, 2 (x−1)=18 at x+3 (x+2 (x−2))=3 . Ang isang hindi kilalang titik ay maaaring lumitaw nang maraming beses sa isang equation, halimbawa, x+3+3 x−2−x=9 , at ang mga titik ay maaaring nasa kaliwang bahagi ng equation, sa kanang bahagi nito, o sa magkabilang panig ng equation, halimbawa, x (3+1)−4=8 , 7−3=z+1 o 3 x−4=2 (x+12) .

Dagdag pa, pagkatapos pag-aralan ang mga natural na numero, mayroong isang kakilala sa mga integer, makatuwiran, tunay na mga numero, ang mga bagong bagay sa matematika ay pinag-aralan: mga degree, ugat, logarithms, atbp., habang parami nang parami ang mga bagong uri ng mga equation na lumilitaw na naglalaman ng mga bagay na ito. Ang mga halimbawa ay matatagpuan sa artikulo. pangunahing uri ng mga equation nag-aral sa paaralan.

Sa ika-7 baitang, kasama ang mga titik, na nangangahulugang ilang partikular na numero, sinimulan nilang isaalang-alang ang mga titik na maaaring magkaroon ng iba't ibang halaga, ang mga ito ay tinatawag na mga variable (tingnan ang artikulo). Sa kasong ito, ang salitang "variable" ay ipinakilala sa kahulugan ng equation, at ito ay nagiging ganito:

Kahulugan.

Equation pangalanan ang isang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang variable na ang halaga ay makikita.

Halimbawa, ang equation x+3=6 x+7 ay isang equation na may variable x , at 3 z−1+z=0 ay isang equation na may variable z .

Sa mga aralin sa algebra sa parehong ika-7 baitang, mayroong isang pulong na may mga equation na naglalaman sa kanilang talaan hindi isa, ngunit dalawang magkaibang hindi kilalang mga variable. Tinatawag silang mga equation na may dalawang variable. Sa hinaharap, pinapayagan ang pagkakaroon ng tatlo o higit pang mga variable sa talaan ng equation.

Kahulugan.

Mga equation na may isa, dalawa, tatlo, atbp. mga variable- ito ay mga equation na naglalaman ng isa, dalawa, tatlo, ... hindi kilalang mga variable sa kanilang talaan, ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa, ang equation na 3.2 x+0.5=1 ay isang equation na may isang variable x, sa turn, ang isang equation ng form na x−y=3 ay isang equation na may dalawang variable na x at y. At isa pang halimbawa: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27 . Malinaw na ang naturang equation ay isang equation na may tatlong hindi kilalang variable na x, y at z.

Ano ang ugat ng equation?

Ang kahulugan ng ugat ng equation ay direktang nauugnay sa kahulugan ng equation. Magsasagawa kami ng ilang pangangatwiran na makakatulong sa amin na maunawaan kung ano ang ugat ng equation.

Ipagpalagay na mayroon kaming isang equation na may isang titik (variable). Kung sa halip na ang titik na kasama sa talaan ng equation na ito, ang isang tiyak na numero ay papalitan, ang equation ay magiging isang numerical equality. Bukod dito, ang resultang pagkakapantay-pantay ay maaaring parehong totoo at mali. Halimbawa, kung sa halip na letrang a sa equation na a+1=5 ay papalitan natin ang numero 2 , pagkatapos ay makakakuha tayo ng maling pagkakapantay-pantay ng numero 2+1=5 . Kung papalitan natin ang numero 4 sa halip na a sa equation na ito, makukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay 4+1=5.

Sa pagsasagawa, sa napakaraming mga kaso, ang interes ay ang mga naturang halaga ng variable, ang pagpapalit kung saan sa equation ay nagbibigay ng tamang pagkakapantay-pantay, ang mga halagang ito ay tinatawag na mga ugat o solusyon ng equation na ito.

Kahulugan.

Root ng equation- ito ang halaga ng titik (variable), kapag pinapalitan ang equation sa tamang pagkakapantay-pantay ng numero.

Tandaan na ang ugat ng isang equation na may isang variable ay tinatawag ding solusyon ng equation. Sa madaling salita, ang solusyon sa isang equation at ang ugat ng equation ay magkaparehong bagay.

Ipaliwanag natin ang kahulugang ito sa isang halimbawa. Upang gawin ito, bumalik tayo sa equation na nakasulat sa itaas a+1=5 . Ayon sa tininigan na kahulugan ng ugat ng equation, ang numero 4 ay ang ugat ng equation na ito, dahil kapag pinapalitan ang numerong ito sa halip na titik a, nakukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay 4+1=5, at ang numero 2 ay hindi. ugat nito, dahil tumutugma ito sa isang hindi tamang pagkakapantay-pantay ng anyo 2+1= 5 .

Sa puntong ito, lumilitaw ang ilang natural na mga tanong: "May ugat ba ang anumang equation, at gaano karaming mga ugat mayroon ang isang equation?" Sasagutin natin sila.

Mayroong parehong mga equation na may mga ugat at mga equation na walang mga ugat. Halimbawa, ang equation na x+1=5 ay may ugat 4, at ang equation na 0 x=5 ay walang mga ugat, dahil kahit anong numero ang ipalit natin sa equation na ito sa halip na ang variable na x, makakakuha tayo ng maling pagkakapantay-pantay 0= 5.

Kung tungkol sa bilang ng mga ugat ng isang equation, mayroong parehong mga equation na may ilang tiyak na bilang ng mga ugat (isa, dalawa, tatlo, atbp.) at mga equation na mayroong walang katapusang maraming mga ugat. Halimbawa, ang equation x−2=4 ay may iisang ugat 6 , ang mga ugat ng equation x 2 =9 ay dalawang numero −3 at 3 , ang equation x (x−1) (x−2)=0 ay may tatlo mga ugat 0 , 1 at 2 , at ang solusyon sa equation na x=x ay anumang numero, iyon ay, mayroon itong walang katapusang bilang ng mga ugat.

Ang ilang mga salita ay dapat sabihin tungkol sa tinatanggap na notasyon ng mga ugat ng equation. Kung ang equation ay walang mga ugat, pagkatapos ay karaniwang isinusulat nila ang "ang equation ay walang mga ugat" o ginagamit ang tanda ng walang laman na set ∅. Kung ang equation ay may mga ugat, pagkatapos ay isinusulat ang mga ito na pinaghihiwalay ng mga kuwit, o nakasulat bilang itakda ang mga elemento sa mga kulot na bracket. Halimbawa, kung ang mga ugat ng equation ay ang mga numero −1, 2 at 4, pagkatapos ay isulat ang −1, 2, 4 o (−1, 2, 4) . Posible ring isulat ang mga ugat ng equation sa anyo ng mga simpleng pagkakapantay-pantay. Halimbawa, kung ang letrang x ay pumasok sa equation, at ang mga ugat ng equation na ito ay ang mga numero 3 at 5, maaari mong isulat ang x=3, x=5, at ang mga subscript na x 1 =3, x 2 =5 ay madalas na idinagdag. sa variable, na parang nagpapahiwatig ng mga numero ang mga ugat ng equation. Ang isang walang katapusang hanay ng mga ugat ng isang equation ay karaniwang nakasulat sa anyo, gayundin, kung maaari, ang notasyon ng mga hanay ng mga natural na numero N, integers Z, tunay na mga numero R ay ginagamit. Halimbawa, kung ang ugat ng equation na may variable na x ay anumang integer, pagkatapos ay isulat ang , at kung ang mga ugat ng equation na may variable na y ay anumang tunay na numero mula 1 hanggang 9 kasama, pagkatapos ay isulat ang .

Para sa mga equation na may dalawa, tatlo at higit pang mga variable, bilang panuntunan, ang terminong "equation root" ay hindi ginagamit, sa mga kasong ito ay sinasabi nila ang "solusyon ng equation". Ano ang tinatawag na solusyon ng mga equation na may ilang mga variable? Bigyan natin ng angkop na kahulugan.

Kahulugan.

Paglutas ng equation na may dalawa, tatlo, atbp. mga variable tumawag sa isang pares, tatlo, atbp. mga halaga ng mga variable, na ginagawang isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero ang equation na ito.

Magpapakita kami ng mga paliwanag na halimbawa. Isaalang-alang ang isang equation na may dalawang variable x+y=7 . Pinapalitan namin ang numero 1 sa halip na x, at ang numero 2 sa halip na y, habang mayroon kaming pagkakapantay-pantay na 1+2=7. Malinaw, ito ay hindi tama, samakatuwid, ang pares ng mga halaga x=1 , y=2 ay hindi isang solusyon sa nakasulat na equation. Kung kukuha tayo ng isang pares ng mga halaga x=4 , y=3 , pagkatapos pagkatapos ng pagpapalit sa equation ay darating tayo sa tamang pagkakapantay-pantay 4+3=7 , samakatuwid, ang pares na ito ng mga variable na halaga, sa pamamagitan ng kahulugan, ay isang solusyon sa equation na x+y=7 .

Ang mga equation na may maraming mga variable, tulad ng mga equation na may isang variable, ay maaaring walang mga ugat, maaaring may isang may hangganang bilang ng mga ugat, o maaaring may walang katapusang maraming mga ugat.

Pares, triple, fours, atbp. Ang mga variable na halaga ay madalas na isinulat nang maikli, na naglilista ng kanilang mga halaga na pinaghihiwalay ng mga kuwit sa mga panaklong. Sa kasong ito, ang mga nakasulat na numero sa mga bracket ay tumutugma sa mga variable sa alphabetical order. Linawin natin ang puntong ito sa pamamagitan ng pagbabalik sa nakaraang equation x+y=7 . Ang solusyon sa equation na ito x=4 , y=3 ay maaaring maikli na isulat bilang (4, 3) .

Ang pinakadakilang atensyon sa kurso ng paaralan ng matematika, algebra at simula ng pagsusuri ay ibinibigay sa paghahanap ng mga ugat ng mga equation na may isang variable. Susuriin namin ang mga patakaran ng prosesong ito nang detalyado sa artikulo. solusyon ng mga equation.

Bibliograpiya.

• Math. 2 mga cell Proc. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyong may adj. sa isang elektron. carrier. Sa 2 o'clock, Part 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova at iba pa] - 3rd ed. - M.: Edukasyon, 2012. - 96 p.: ill. - (Paaralan ng Russia). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Algebra: aklat-aralin para sa 7 mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-17 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 240 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: Baitang 9: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2009. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Uri ng equation

Pagpapahayag D= b 2 - 4ac tinawag may diskriminasyon quadratic equation. Kung angD = 0, kung gayon ang equation ay may isang tunay na ugat; kung D> 0, kung gayon ang equation ay may dalawang tunay na ugat.
Kung kailan D = 0 , minsan sinasabi na ang isang quadratic equation ay may dalawang magkaparehong ugat.
Gamit ang notasyon D= b 2 - 4ac, ang formula (2) ay maaaring muling isulat bilang

Kung ang b= 2k, pagkatapos ang formula (2) ay kumukuha ng form:

saan k= b / 2 .
Ang huling formula ay lalong maginhawa kapag b / 2 ay isang integer, i.e. koepisyent b- kahit na numero.
Halimbawa 1: lutasin ang equation 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . Dito a=2, b=-5, c=2. Meron kami D= b 2 - 4ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . kasi D > 0 , pagkatapos ang equation ay may dalawang ugat. Hanapin natin sila sa pamamagitan ng formula (2)

Kaya x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
yan ay x 1 = 2 at x 2 = 1 / 2 ay ang mga ugat ng ibinigay na equation.
Halimbawa 2: lutasin ang equation 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . Dito a=2, b=-3, c=5. Paghahanap ng discriminant D= b 2 - 4ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . kasi D 0 , kung gayon ang equation ay walang tunay na mga ugat.

Hindi kumpletong quadratic equation. Kung sa isang quadratic equation palakol 2 +bx+c =0 pangalawang salik b o libreng miyembro c katumbas ng zero, pagkatapos ay tinatawag ang quadratic equation hindi kumpleto. Ang mga hindi kumpletong equation ay nakikilala dahil upang mahanap ang kanilang mga ugat, hindi mo magagamit ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation - mas madaling lutasin ang equation sa pamamagitan ng pagsasaliksik sa kaliwang bahagi nito sa mga salik.
Halimbawa 1: lutasin ang equation 2 x 2 - 5 x = 0 .
Meron kami x(2 x - 5) = 0 . Kaya alinman x = 0 , o 2 x - 5 = 0 , yan ay x = 2.5 . Kaya ang equation ay may dalawang ugat: 0 at 2.5
Halimbawa 2: lutasin ang equation 3 x 2 - 27 = 0 .
Meron kami 3 x 2 = 27 . Samakatuwid, ang mga ugat ng equation na ito ay 3 at -3 .

Ang teorama ni Vieta. Kung ang ibinigay na quadratic equation x 2 +px+ q =0 ay may tunay na mga ugat, kung gayon ang kanilang kabuuan ay katumbas ng - p, at ang produkto ay q, yan ay

x 1 + x 2 \u003d -p,
x 1 x 2 = q

(ang kabuuan ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng pangalawang koepisyent, kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino).

Ang mga quadratic equation ay pinag-aaralan sa grade 8, kaya walang kumplikado dito. Ang kakayahang malutas ang mga ito ay mahalaga.

Ang isang quadratic equation ay isang equation ng anyong ax 2 + bx + c = 0, kung saan ang mga coefficients a , b at c ay mga arbitrary na numero, at a ≠ 0.

Bago pag-aralan ang mga tiyak na pamamaraan ng paglutas, tandaan namin na ang lahat ng mga quadratic equation ay maaaring nahahati sa tatlong klase:

1. Walang mga ugat;
2. Mayroon silang eksaktong isang ugat;
3. Mayroon silang dalawang magkaibang ugat.

Ito ay isang mahalagang pagkakaiba sa pagitan ng mga quadratic at linear na equation, kung saan ang ugat ay palaging umiiral at natatangi. Paano matukoy kung gaano karaming mga ugat ang isang equation? Mayroong isang kahanga-hangang bagay para dito - may diskriminasyon.

diskriminasyon

Hayaang ibigay ang quadratic equation na ax 2 + bx + c = 0. Kung gayon ang discriminant ay simpleng numero D = b 2 − 4ac .

Ang formula na ito ay dapat na kilala sa puso. Kung saan ito nanggaling ay hindi na mahalaga ngayon. Ang isa pang bagay ay mahalaga: sa pamamagitan ng pag-sign ng discriminant, matutukoy mo kung gaano karaming mga ugat mayroon ang isang quadratic equation. Namely:

1. Kung si D< 0, корней нет;
2. Kung D = 0, mayroong eksaktong isang ugat;
3. Kung D > 0, magkakaroon ng dalawang ugat.

Pakitandaan: ang discriminant ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga ugat, at hindi sa lahat ng kanilang mga palatandaan, dahil sa ilang kadahilanan na iniisip ng maraming tao. Tingnan ang mga halimbawa at mauunawaan mo ang lahat sa iyong sarili:

Isang gawain. Ilang ugat mayroon ang mga quadratic equation:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Isinulat namin ang mga coefficient para sa unang equation at hanapin ang discriminant:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Kaya, ang discriminant ay positibo, kaya ang equation ay may dalawang magkaibang ugat. Sinusuri namin ang pangalawang equation sa parehong paraan:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Ang discriminant ay negatibo, walang mga ugat. Ang huling equation ay nananatili:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Ang discriminant ay katumbas ng zero - ang ugat ay magiging isa.

Tandaan na ang mga coefficient ay naisulat para sa bawat equation. Oo, ito ay mahaba, oo, ito ay nakakapagod - ngunit hindi mo paghaluin ang mga posibilidad at hindi gumawa ng mga hangal na pagkakamali. Pumili para sa iyong sarili: bilis o kalidad.

Sa pamamagitan ng paraan, kung "punan mo ang iyong kamay", pagkatapos ng ilang sandali ay hindi mo na kailangang isulat ang lahat ng mga coefficient. Gagawin mo ang gayong mga operasyon sa iyong ulo. Karamihan sa mga tao ay nagsisimulang gawin ito sa isang lugar pagkatapos ng 50-70 na nalutas na mga equation - sa pangkalahatan, hindi gaanong.

Ang mga ugat ng isang quadratic equation

Ngayon ay lumipat tayo sa solusyon. Kung ang discriminant D > 0, ang mga ugat ay makikita gamit ang mga formula:

Ang pangunahing formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Kapag D = 0, maaari mong gamitin ang alinman sa mga formula na ito - makakakuha ka ng parehong numero, na siyang magiging sagot. Sa wakas, kung si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Unang equation:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ang equation ay may dalawang ugat. Hanapin natin sila:

Pangalawang equation:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ ang equation muli ay may dalawang ugat. Hanapin natin sila

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Panghuli, ang ikatlong equation:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ang equation ay may isang ugat. Maaaring gamitin ang anumang formula. Halimbawa, ang una:

Tulad ng nakikita mo mula sa mga halimbawa, ang lahat ay napaka-simple. Kung alam mo ang mga formula at marunong kang magbilang, walang magiging problema. Kadalasan, ang mga error ay nangyayari kapag ang mga negatibong coefficient ay pinalitan sa formula. Dito, muli, ang pamamaraan na inilarawan sa itaas ay makakatulong: tingnan ang formula nang literal, pintura ang bawat hakbang - at mapupuksa ang mga pagkakamali sa lalong madaling panahon.

Hindi kumpletong quadratic equation

Ito ay nangyayari na ang quadratic equation ay medyo naiiba sa kung ano ang ibinigay sa kahulugan. Halimbawa:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Madaling makita na ang isa sa mga termino ay nawawala sa mga equation na ito. Ang ganitong mga quadratic equation ay mas madaling lutasin kaysa sa karaniwang mga equation: hindi na nila kailangan pang kalkulahin ang discriminant. Kaya't ipakilala natin ang isang bagong konsepto:

Ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay tinatawag na incomplete quadratic equation kung b = 0 o c = 0, i.e. ang koepisyent ng variable na x o ang libreng elemento ay katumbas ng zero.

Siyempre, ang isang napakahirap na kaso ay posible kapag ang parehong mga coefficient na ito ay katumbas ng zero: b \u003d c \u003d 0. Sa kasong ito, ang equation ay tumatagal sa anyo ng ax 2 \u003d 0. Malinaw, ang gayong equation ay may isang solong ugat: x \u003d 0.

Isaalang-alang natin ang iba pang mga kaso. Hayaan ang b \u003d 0, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang hindi kumpletong quadratic equation ng form ax 2 + c \u003d 0. Bahagyang baguhin natin ito:

Dahil ang arithmetic square root ay umiiral lamang mula sa isang di-negatibong numero, ang huling pagkakapantay-pantay ay magkakaroon lamang ng kahulugan kapag (−c / a ) ≥ 0. Konklusyon:

1. Kung ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 + c = 0 ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay (−c / a ) ≥ 0, magkakaroon ng dalawang ugat. Ang formula ay ibinigay sa itaas;
2. Kung (−c / a )< 0, корней нет.

Tulad ng nakikita mo, hindi kinakailangan ang discriminant - walang kumplikadong mga kalkulasyon sa hindi kumpletong quadratic equation. Sa katunayan, hindi na kailangang tandaan ang hindi pagkakapantay-pantay (−c / a ) ≥ 0. Ito ay sapat na upang ipahayag ang halaga ng x 2 at makita kung ano ang nasa kabilang panig ng equal sign. Kung mayroong positibong numero, magkakaroon ng dalawang ugat. Kung negatibo, walang magiging ugat.

Ngayon harapin natin ang mga equation ng form na ax 2 + bx = 0, kung saan ang libreng elemento ay katumbas ng zero. Ang lahat ay simple dito: palaging may dalawang ugat. Ito ay sapat na upang i-factor ang polynomial:

Inalis ang karaniwang salik sa bracket

Ang produkto ay katumbas ng zero kapag kahit isa sa mga salik ay katumbas ng zero. Dito nagmula ang mga ugat. Sa konklusyon, susuriin natin ang ilan sa mga equation na ito:

Isang gawain. Lutasin ang mga quadratic equation:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Walang mga ugat, dahil ang parisukat ay hindi maaaring katumbas ng isang negatibong numero.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.