Paksa bilang 2.

Pag-convert ng Algebraic Expressions

ako. Teoretikal na materyal

Pangunahing konsepto

Algebraic expression: integer, fractional, rational, irrational.

Saklaw, wastong mga halaga ng expression.

Ang halaga ng isang algebraic expression.

Monomial, polinomyal.

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami.

Factorization, bracketing the common factor.

Pangunahing katangian ng isang fraction.

Degree, mga katangian ng degree.

Kortym, mga katangian ng mga ugat.

Pagbabago ng makatwiran at hindi makatwiran na mga ekspresyon.

Ang isang expression na binubuo ng mga numero at variable na gumagamit ng mga palatandaan ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, pagtaas sa isang makatwirang kapangyarihan, pagkuha ng ugat at paggamit ng mga bracket ay tinatawag algebraic.

Halimbawa: ;
;
;

;
;
;
.

Kung ang isang algebraic expression ay hindi naglalaman ng paghahati sa mga variable at pagkuha ng isang ugat mula sa mga variable (sa partikular, exponentiation na may isang fractional exponent), kung gayon ito ay tinatawag buo.

Halimbawa:
;
;
.

Kung ang isang algebraic expression ay binubuo ng mga numero at variable gamit ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon, exponentiation na may natural na exponent at dibisyon, at paghahati sa mga expression na may mga variable ay ginagamit, kung gayon ito ay tinatawag na fractional.

Halimbawa:
;
.

Ang mga integer at fractional na expression ay tinatawag makatwiran mga ekspresyon.

Halimbawa: ;
;

.

Kung ang isang algebraic expression ay gumagamit ng pagkuha ng isang ugat mula sa mga variable (o pagtaas ng mga variable sa isang fractional power), kung gayon ang gayong algebraic expression ay tinatawag na hindi makatwiran.

Halimbawa:
;
.

Ang mga halaga ng mga variable na kung saan ang algebraic expression ay may katuturan ay tinatawag wastong mga halaga ng variable.

Ang hanay ng lahat ng mga tinatanggap na halaga ng mga variable ay tinatawag domain ng kahulugan.

Ang domain ng isang buong algebraic expression ay ang hanay ng mga tunay na numero.

Ang domain ng isang fractional algebraic expression ay ang set ng lahat ng tunay na numero, maliban sa mga nagiging zero ang denominator.

Halimbawa: may katuturan kapag
;

may katuturan kapag
, ibig sabihin, kapag
.

Ang domain ng isang irrational algebraic expression ay ang set ng lahat ng totoong numero, maliban sa mga nagiging negatibong numero ang expression sa ilalim ng sign ng root ng even degree o sa ilalim ng sign ng pagtaas sa fractional power.

Halimbawa:
may katuturan kapag
;

may katuturan kapag
, ibig sabihin, kapag
.

Ang numerical value na nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga pinahihintulutang halaga ng mga variable sa isang algebraic expression ay tinatawag ang halaga ng algebraic expression.

Halimbawa: pagpapahayag
sa
,
kinukuha ang halaga
.

Ang isang algebraic expression na naglalaman lamang ng mga numero, natural na kapangyarihan ng mga variable, at ang kanilang mga produkto ay tinatawag monomial.

Halimbawa:
;
;
.

Ang monomial, na isinulat bilang produkto ng numerical factor sa unang lugar, at ang mga kapangyarihan ng iba't ibang mga variable, ay binabawasan sa karaniwang anyo.

Halimbawa:
;
.

Ang numerical factor ng standard notation ng isang monomial ay tinatawag monomial coefficient. Ang kabuuan ng mga exponent ng lahat ng mga variable ay tinatawag monomial degree.

Kapag nagpaparami ng isang monomial sa isang monomial at nagtataas ng isang monomial sa isang natural na kapangyarihan, nakakakuha tayo ng isang monomial, na dapat bawasan sa isang karaniwang anyo.

Ang kabuuan ng monomials ay tinatawag polinomyal.

Halimbawa:
; ;
.

Kung ang lahat ng mga termino ng polynomial ay nakasulat sa karaniwang anyo at ang pagbabawas ng mga katulad na termino ay ginanap, kung gayon ang resulta karaniwang anyo polynomial.

Halimbawa: .

Kung mayroon lamang isang variable sa polynomial, kung gayon ang pinakamalaking exponent ng variable na ito ay tinatawag polynomial degree.

Halimbawa: ang polynomial ay may ikalimang antas.

Ang halaga ng isang variable kung saan ang halaga ng polynomial ay zero ay tinatawag polynomial na ugat.

Halimbawa: polynomial roots
ay ang mga numero 1.5 at 2.

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami

Mga espesyal na kaso ng paggamit ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon

Pagkakaiba ng parisukat:
o

Ang parisukat ng kabuuan:
o

Ang parisukat ng pagkakaiba:
o

Kabuuan ng mga cube:
o

Pagkakaiba ng mga cube:
o

Sum Cube:
o

Kubo ng Pagkakaiba:
o

Ang pagbabago ng isang polynomial sa isang produkto ng ilang mga kadahilanan (polynomials o monomials) ay tinatawag factorization ng isang polynomial.

Halimbawa:.

Mga pamamaraan para sa pag-factor ng isang polynomial

Halimbawa: .

Paggamit ng Mga Formula ng Pagpaparami ng Shorthand.

Halimbawa: .

Paraan ng pagpapangkat. Nagbibigay-daan sa iyo ang mga commutative at associative na batas na pagpangkatin ang mga termino ng isang polynomial sa iba't ibang paraan. Ang isa sa mga paraan ay humahantong sa katotohanan na ang parehong expression ay nakuha sa mga bracket, na kung saan ay kinuha sa labas ng mga bracket.

Halimbawa:.

Anumang fractional algebraic expression ay maaaring isulat bilang isang quotient ng dalawang rational expression na may variable sa denominator.

Halimbawa:
.

Ang isang fraction na ang numerator at denominator ay rational expression at ang denominator ay naglalaman ng variable ay tinatawag rational fraction.

Halimbawa:
;
;
.

Kung ang numerator at denominator ng isang rational fraction ay pinarami o hinati sa parehong di-zero na numero, monomial o polynomial, kung gayon ang halaga ng fraction ay hindi magbabago. Ang ekspresyong ito ay tinatawag pangunahing katangian ng isang fraction:

.

Ang aksyon ng paghahati ng numerator at denominator ng isang fraction sa parehong numero ay tinatawag pagbawas ng fraction:

.

Halimbawa:
;
.

Trabaho n multiplier, ang bawat isa ay katumbas ng a, saan a ay isang arbitrary na algebraic expression o isang tunay na numero, at n ay isang natural na numero, ay tinatawag na degreea :

.

Algebraic expression a tinawag base ng degree, numero
n – tagapagpahiwatig.

Halimbawa:
.

Ito ay ipinapalagay sa pamamagitan ng kahulugan na para sa anumang a, hindi katumbas ng zero:

at
.

Kung ang
, pagkatapos
.

mga katangian ng degree

1.
.

2.
.

3.
.

4.
.

5.
.

Kung ang ,
, pagkatapos ay ang expression n-ika na antas na katumbas ng a, ay tinatawag na ugatn ika-degree nga . Ito ay karaniwang tinutukoy
. Kung saan a tinawag radikal na pagpapahayag, n tinawag tagapagpahiwatig ng ugat.

Halimbawa:
;
;
.

Mga Katangian ng Rootnika-antas ng a

1.
.

2.
,
.

3.
.

4.
.

5.
.

Pag-generalize ng konsepto ng degree at root, nakuha namin ang konsepto ng degree na may rational exponent:

.

Sa partikular,
.

Mga aksyon na ginawa sa mga ugat

Halimbawa: .

II. Praktikal na materyal

Mga halimbawa ng pagkumpleto ng mga gawain

Halimbawa 1. Hanapin ang halaga ng isang fraction
.

Sagot: .

Halimbawa 2. Pasimplehin ang expression
.

Ibahin natin ang expression sa mga unang bracket:

, kung
.

Ibahin natin ang expression sa pangalawang bracket:

.

Hatiin ang resulta mula sa unang panaklong sa resulta mula sa pangalawang panaklong:

Sagot:

Halimbawa 3. Pasimplehin ang expression:

.

Halimbawa 4. Pasimplehin ang expression.

I-convert natin ang unang fraction:

.

Ibahin natin ang pangalawang bahagi:

.

Bilang resulta, nakukuha namin ang:
.

Halimbawa 5 Pasimplehin ang expression
.

Solusyon. Kumilos tayo:

1)
;

2)
;

3)
;

6)
;

Sagot:
.

Halimbawa 6 Patunayan ang Pagkakakilanlan
.

1)
;

2)
;

Halimbawa 7 Pasimplehin ang expression:

.

Solusyon. Isinasagawa namin ang mga aksyon:

;

2)
.

Halimbawa 8 Patunayan ang Pagkakakilanlan
.

Solusyon. Isinasagawa namin ang mga aksyon:

1)
;

2)

;

3)
.

Mga gawain para sa malayang gawain

1. Pasimplehin ang expression:

a)
;

b)
;

2. Factor out:

a)
;

b)
;.Dokumento

Paksa No. 5.1. Trigonometric equation I. Teoretikalmateryal Basic concepts Trigonometric equation... gamit ang iba't-ibang algebraic at trigonometriko formula at mga pagbabagong-anyo. II. Praktikal materyal Mga halimbawa ng gawain...

Teoretikal na materyal para sa mga panlabas na grupo at session ng mga mag-aaral talaan ng nilalaman aralin 1 impormasyon aralin 2 impormasyon

Aral

Teoretikalmateryal para sa... , mga pagbabagong-anyo, paglipat at paggamit. Ang impormasyon ay kaalaman binibigkas... at dating naipon, mga paksa sa gayon, nag-aambag sa progresibong ... kanilang katotohanan sa tulong algebraic paraan. Mga kasabihan at pahayag...

Tema "Pagbuo ng isang elective course program bilang bahagi ng pre-profile na pagsasanay" Nakumpleto

Dokumento

... teoretikal pag-aaral sa pagiging posible ng proyekto Hunyo-Agosto 2005 3. Pagpili materyal... ipinapakita ang aplikasyon ng kahulugan ng modyul kapag pagbabagong-anyoalgebraicmga ekspresyon. Module sa Equation: - ... mag-udyok sa mag-aaral sa pamamagitan ng pagtataguyod mga paksa ang pinaka, intraprofile...

Tulong sa pagtuturo

... Paksa 1. Magkapareho mga pagbabagong-anyoalgebraicmga ekspresyon Paksa 2. Algebraic teoretikalmateryal

At sa Kondaurova napiling mga kabanata ng teorya at pamamaraan ng pagtuturo ng matematika karagdagang matematikal na edukasyon ng mga mag-aaral.

Tulong sa pagtuturo

... Paksa 1. Magkapareho mga pagbabagong-anyoalgebraicmga ekspresyon(kabilang ang paggamit ng mga pagpapalit, ang konsepto ng modulus ng isang numero). Paksa 2. Algebraic... mga tagapagturo. Distance lectures ay teoretikalmateryal na maaaring ipakita sa...

Mga pangunahing katangian ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga numero.

Commutative property ng karagdagan: kapag ang mga termino ay muling inayos, ang halaga ng kabuuan ay hindi nagbabago. Para sa anumang mga numero a at b, ang pagkakapantay-pantay ay totoo

Ang nauugnay na pag-aari ng karagdagan: upang magdagdag ng ikatlong numero sa kabuuan ng dalawang numero, maaari mong idagdag ang kabuuan ng pangalawa at pangatlo sa unang numero. Para sa anumang mga numero a, b at c ang pagkakapantay-pantay ay totoo

Commutative property ng multiplication: hindi binabago ng permutation ng mga salik ang halaga ng produkto. Para sa anumang mga numero a, b at c, ang pagkakapantay-pantay ay totoo

Ang nauugnay na pag-aari ng multiplikasyon: upang i-multiply ang produkto ng dalawang numero sa ikatlong numero, maaari mong i-multiply ang unang numero sa produkto ng pangalawa at pangatlo.

Para sa anumang mga numero a, b at c, ang pagkakapantay-pantay ay totoo

Distributive property: Upang i-multiply ang isang numero sa isang kabuuan, maaari mong i-multiply ang numerong iyon sa bawat termino at idagdag ang mga resulta. Para sa anumang mga numero a, b at c ang pagkakapantay-pantay ay totoo

Ito ay sumusunod mula sa commutative at associative na mga katangian ng karagdagan na sa anumang kabuuan maaari mong muling ayusin ang mga termino ayon sa gusto mo at pagsamahin ang mga ito sa mga pangkat sa isang arbitrary na paraan.

Halimbawa 1 Kalkulahin natin ang kabuuan na 1.23+13.5+4.27.

Upang gawin ito, ito ay maginhawa upang pagsamahin ang unang termino sa pangatlo. Nakukuha namin:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Ito ay sumusunod mula sa commutative at associative properties ng multiplication: sa anumang produkto, maaari mong muling ayusin ang mga salik sa anumang paraan at arbitraryong pagsamahin ang mga ito sa mga grupo.

Halimbawa 2 Hanapin natin ang halaga ng produkto 1.8 0.25 64 0.5.

Ang pagsasama-sama ng unang kadahilanan sa ikaapat, at ang pangalawa sa pangatlo, magkakaroon tayo ng:

1.8 0.25 64 0.5 \u003d (1.8 0.5) (0.25 64) \u003d 0.9 16 \u003d 14.4.

Ang ari-arian ng pamamahagi ay may bisa din kapag ang bilang ay pinarami ng kabuuan ng tatlo o higit pang mga termino.

Halimbawa, para sa anumang mga numero a, b, c at d, ang pagkakapantay-pantay ay totoo

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Alam namin na ang pagbabawas ay maaaring palitan ng karagdagan sa pamamagitan ng pagdaragdag sa minuend ng kabaligtaran na numero sa subtrahend:

Nagbibigay-daan ito sa isang numerical expression ng anyong a-b na ituring na kabuuan ng mga numero a at -b, isang numerical na expression ng anyong a + b-c-d na ituring na kabuuan ng mga numerong a, b, -c, -d, atbp. Ang ang mga itinuturing na katangian ng mga aksyon ay may bisa din para sa mga naturang kabuuan.

Halimbawa 3 Hanapin natin ang halaga ng expression na 3.27-6.5-2.5+1.73.

Ang expression na ito ay ang kabuuan ng mga numero 3.27, -6.5, -2.5 at 1.73. Ang paglalapat ng mga katangian ng karagdagan, makakakuha tayo ng: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -apat.

Halimbawa 4 Kalkulahin natin ang produkto 36·().

Ang multiplier ay maaaring isipin bilang kabuuan ng mga numero at -. Gamit ang distributive property ng multiplication, nakukuha natin ang:

36()=36-36=9-10=-1.

Mga pagkakakilanlan

Kahulugan. Dalawang expression na ang katumbas na mga halaga ay pantay para sa anumang mga halaga ng mga variable ay sinasabing magkaparehong pantay.

Kahulugan. Ang pagkakapantay-pantay na totoo para sa anumang mga halaga ng mga variable ay tinatawag na pagkakakilanlan.

Hanapin natin ang mga halaga ng mga expression na 3(x+y) at 3x+3y para sa x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Nakakuha kami ng parehong resulta. Ito ay sumusunod mula sa distributive property na, sa pangkalahatan, para sa anumang mga halaga ng mga variable, ang mga katumbas na halaga ng mga expression na 3(x+y) at 3x+3y ay pantay.

Isaalang-alang ngayon ang mga expression na 2x+y at 2xy. Para sa x=1, y=2 kumuha sila ng pantay na halaga:

Gayunpaman, maaari mong tukuyin ang mga halaga ng x at y na ang mga halaga ng mga expression na ito ay hindi pantay. Halimbawa, kung x=3, y=4, kung gayon

Ang mga expression na 3(x+y) at 3x+3y ay magkapareho, ngunit ang mga expression na 2x+y at 2xy ay hindi magkapareho.

Ang pagkakapantay-pantay na 3(x+y)=x+3y, totoo para sa anumang mga halaga ng x at y, ay isang pagkakakilanlan.

Ang mga tunay na pagkakapantay-pantay ng numero ay itinuturing din na mga pagkakakilanlan.

Kaya, ang mga pagkakakilanlan ay mga pagkakapantay-pantay na nagpapahayag ng mga pangunahing katangian ng mga aksyon sa mga numero:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Ang iba pang mga halimbawa ng pagkakakilanlan ay maaaring ibigay:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Mga pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga expression

Ang pagpapalit ng isang ekspresyon ng isa pa, na kapareho nito, ay tinatawag na magkaparehong pagbabago o simpleng pagbabago ng isang ekspresyon.

Ang mga magkatulad na pagbabagong-anyo ng mga expression na may mga variable ay ginagawa batay sa mga katangian ng mga operasyon sa mga numero.

Upang mahanap ang halaga ng expression na xy-xz na ibinigay ng mga halaga x, y, z, kailangan mong magsagawa ng tatlong hakbang. Halimbawa, sa x=2.3, y=0.8, z=0.2 nakukuha natin ang:

xy-xz=2.3 0.8-2.3 0.2=1.84-0.46=1.38.

Ang resultang ito ay maaaring makuha sa dalawang hakbang lamang, gamit ang expression na x(y-z), na kaparehong katumbas ng expression na xy-xz:

xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3 0.6=1.38.

Pinasimple namin ang mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pagpapalit ng expression na xy-xz ng magkaparehong expression na x(y-z).

Ang mga pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga expression ay malawakang ginagamit sa pagkalkula ng mga halaga ng mga expression at paglutas ng iba pang mga problema. Ang ilang magkatulad na pagbabago ay naisagawa na, halimbawa, ang pagbabawas ng mga katulad na termino, ang pagbubukas ng mga bracket. Alalahanin ang mga patakaran para sa pagsasagawa ng mga pagbabagong ito:

upang magdala ng mga katulad na termino, kailangan mong idagdag ang kanilang mga coefficient at i-multiply ang resulta sa karaniwang bahagi ng titik;

kung mayroong plus sign sa harap ng mga bracket, maaaring tanggalin ang mga bracket, na pinapanatili ang tanda ng bawat termino na nakapaloob sa mga bracket;

kung mayroong minus sign bago ang mga bracket, maaaring tanggalin ang mga bracket sa pamamagitan ng pagpapalit ng sign ng bawat term na nakapaloob sa mga bracket.

Halimbawa 1 Magdagdag tayo ng mga katulad na termino sa kabuuan na 5x+2x-3x.

Ginagamit namin ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga katulad na termino:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Ang pagbabagong ito ay batay sa distributive property ng multiplication.

Halimbawa 2 Palawakin natin ang mga bracket sa expression na 2a+(b-3c).

Paglalapat ng panuntunan para sa pagbubukas ng mga bracket na pinangungunahan ng plus sign:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Ang isinagawang pagbabago ay batay sa kaakibat na katangian ng karagdagan.

Halimbawa 3 Palawakin natin ang mga bracket sa expression na a-(4b-c).

Gamitin natin ang panuntunan para sa pagpapalawak ng mga bracket na pinangungunahan ng minus sign:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Ang ginawang pagbabago ay nakabatay sa distributive property ng multiplication at sa associative property ng karagdagan. Ipakita natin. Katawanin natin ang pangalawang termino -(4b-c) sa expression na ito bilang isang produkto (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Sa paglalapat ng mga katangiang ito ng mga aksyon, nakukuha namin ang:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Numeric at algebraic expression. Pagbabago ng ekspresyon.

Ano ang isang expression sa matematika? Bakit kailangan ang mga conversion ng expression?

Ang tanong, gaya ng sinasabi nila, ay kawili-wili... Ang katotohanan ay ang mga konseptong ito ang batayan ng lahat ng matematika. Ang lahat ng matematika ay binubuo ng mga expression at ang kanilang mga pagbabago. Hindi masyadong malinaw? Hayaan mo akong magpaliwanag.

Sabihin nating mayroon kang masamang halimbawa. Napakalaki at napakakomplikado. Sabihin na nating magaling ka sa math at hindi ka natatakot sa kahit ano! Makasagot ka agad?

Kakailanganin mo magpasya halimbawang ito. Sunud-sunod, hakbang-hakbang, ang halimbawang ito pasimplehin. Ayon sa ilang mga patakaran, siyempre. Yung. gawin conversion ng expression. Kung gaano ka matagumpay na naisagawa ang mga pagbabagong ito, kaya malakas ka sa matematika. Kung hindi mo alam kung paano gawin ang mga tamang pagbabago, sa matematika ay hindi mo magagawa wala...

Upang maiwasan ang gayong hindi komportable na hinaharap (o kasalukuyan ...), hindi masakit na maunawaan ang paksang ito.)

Upang magsimula, alamin natin ano ang expression sa math. Ano pagpapahayag ng numero at kung ano ang algebraic expression.

Ano ang isang expression sa matematika?

Pagpapahayag sa matematika ay isang napakalawak na konsepto. Halos lahat ng bagay na pinag-uusapan natin sa matematika ay isang set ng mga mathematical expression. Anumang mga halimbawa, formula, fraction, equation, at iba pa - lahat ng ito ay binubuo ng mga pagpapahayag ng matematika.

Ang 3+2 ay isang mathematical expression. c 2 - d 2 ay isa ring mathematical expression. At isang malusog na fraction, at kahit isang numero - lahat ito ay mga mathematical expression. Ang equation, halimbawa, ay:

5x + 2 = 12

ay binubuo ng dalawang mathematical expression na konektado ng isang equals sign. Ang isang expression ay nasa kaliwa, ang isa ay nasa kanan.

Sa pangkalahatan, ang termino pagpapahayag ng matematika" ay ginagamit, kadalasan, upang hindi umimik. Tatanungin ka nila kung ano ang isang ordinaryong fraction, halimbawa? At paano sasagutin?!

Sagot 1: "Ito ay... m-m-m-m... ganoong bagay ... kung saan ... Maaari ba akong magsulat ng isang fraction ng mas mahusay? Alin ang gusto mo?"

Ang pangalawang pagpipilian sa sagot: "Ang isang ordinaryong bahagi ay (masaya at masaya!) pagpapahayag ng matematika , na binubuo ng numerator at denominator!"

Ang pangalawang opsyon ay kahit papaano ay mas kahanga-hanga, tama?)

Para sa layuning ito, ang pariralang " pagpapahayag ng matematika "Very good. Parehong tama at solid. But for practical application, you need to be well versed in mga tiyak na uri ng pagpapahayag sa matematika .

Ang tiyak na uri ay isa pang bagay. ito ibang bagay! Ang bawat uri ng mathematical expression ay may akin isang hanay ng mga tuntunin at pamamaraan na dapat gamitin sa pagpapasya. Upang gumana sa mga fraction - isang set. Para sa pagtatrabaho sa mga trigonometrikong expression - ang pangalawa. Para sa pagtatrabaho sa logarithms - ang pangatlo. At iba pa. Sa isang lugar ang mga panuntunang ito ay nag-tutugma, sa isang lugar na naiiba ang mga ito nang husto. Ngunit huwag matakot sa mga kakila-kilabot na salitang ito. Logarithms, trigonometry at iba pang mahiwagang bagay na ating pag-uusapan sa mga nauugnay na seksyon.

Dito namin master (o - ulitin, hangga't gusto mo ...) ng dalawang pangunahing uri ng mga mathematical expression. Mga numeric na expression at algebraic na expression.

Mga numeric na expression.

Ano pagpapahayag ng numero? Ito ay isang napakasimpleng konsepto. Ang pangalan mismo ay nagpapahiwatig na ito ay isang expression na may mga numero. ganyan yan. Ang isang mathematical expression na binubuo ng mga numero, bracket at mga palatandaan ng mga operasyong arithmetic ay tinatawag na numeric expression.

Ang 7-3 ay isang numeric na expression.

(8+3.2) Ang 5.4 ay isa ring numeric na expression.

At ang halimaw na ito:

isang numeric expression din, oo...

Isang ordinaryong numero, isang fraction, anumang halimbawa ng pagkalkula na walang mga x at iba pang mga titik - lahat ito ay mga numerical na expression.

pangunahing tampok numerical mga ekspresyon sa loob nito walang mga titik. wala. Mga numero at mathematical icon lamang (kung kinakailangan). Simple lang diba?

At ano ang maaaring gawin sa mga numerical expression? Karaniwang mabibilang ang mga numeric na expression. Upang gawin ito, kung minsan kailangan mong buksan ang mga bracket, baguhin ang mga palatandaan, paikliin, palitan ang mga termino - i.e. gawin mga conversion ng expression. Ngunit higit pa sa ibaba.

Dito ay haharapin natin ang gayong nakakatawang kaso kapag may numerical expression wala kang kailangang gawin. Well, wala naman! Ang magandang operasyon na ito Para walang magawa)- ay naisakatuparan kapag ang expression walang saysay.

Kailan walang saysay ang isang numeric na expression?

Siyempre, kung may nakikita tayong abracadabra sa harap natin, gaya ng

tapos wala tayong gagawin. Dahil hindi malinaw kung ano ang gagawin dito. Ilang kalokohan. Maliban kung, upang mabilang ang bilang ng mga plus ...

Ngunit may mga panlabas na medyo disenteng mga ekspresyon. Halimbawa ito:

(2+3): (16 - 2 8)

Gayunpaman, ang expression na ito ay din walang saysay! Para sa simpleng dahilan na sa pangalawang bracket - kung bibilangin mo - makakakuha ka ng zero. Hindi mo maaaring hatiin sa zero! Ito ay isang ipinagbabawal na operasyon sa matematika. Samakatuwid, hindi rin kailangang gumawa ng anuman sa ekspresyong ito. Para sa anumang gawain na may ganitong expression, ang sagot ay palaging magiging pareho: "Walang sense yung expression!"

Upang magbigay ng ganoong sagot, siyempre, kailangan kong kalkulahin kung ano ang nasa mga bracket. At kung minsan sa mga bracket tulad ng isang twist ... Well, walang dapat gawin tungkol dito.

Walang napakaraming ipinagbabawal na operasyon sa matematika. Isa lang ang nasa thread na ito. Dibisyon sa pamamagitan ng zero. Ang mga karagdagang pagbabawal na nagmumula sa mga ugat at logarithms ay tinatalakay sa mga nauugnay na paksa.

Kaya, isang ideya kung ano ang pagpapahayag ng numero- nakuha. konsepto walang saysay ang numeric na expression- napagtanto. Tayo ay pumunta sa karagdagang.

Algebraic expression.

Kung lumilitaw ang mga titik sa isang numerical expression, ang expression na ito ay nagiging... Ang expression ay nagiging... Oo! Ito ay nagiging algebraic expression. Halimbawa:

5a 2 ; 3x-2y; 3(z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...

Ang ganitong mga ekspresyon ay tinatawag din literal na mga pagpapahayag. O kaya mga expression na may mga variable. Ito ay halos pareho. Pagpapahayag 5a +c, halimbawa - parehong literal at algebraic, at expression na may mga variable.

konsepto algebraic expression - mas malawak kaysa numerical. Ito kasama ang at lahat ng mga numeric na expression. Yung. ang numeric na expression ay isa ring algebraic expression, kung wala lang ang mga letra. Ang bawat herring ay isang isda, ngunit hindi lahat ng isda ay isang herring...)

Bakit literal- malinaw. Well, dahil may mga titik ... Parirala pagpapahayag na may mga variable hindi rin masyadong nakakalito. Kung naiintindihan mo na ang mga numero ay nakatago sa ilalim ng mga titik. Ang lahat ng uri ng mga numero ay maaaring maitago sa ilalim ng mga titik ... At 5, at -18, at kahit anong gusto mo. Ibig sabihin, pwede ang isang sulat palitan para sa iba't ibang numero. Iyon ang dahilan kung bakit ang mga titik ay tinatawag mga variable.

Sa ekspresyon y+5, Halimbawa, sa- variable. O sabihin mo lang" variable", nang walang salitang "halaga". Hindi tulad ng lima, na isang palaging halaga. O kaya lang- pare-pareho.

Termino algebraic expression Nangangahulugan na upang gumana sa expression na ito, kailangan mong gamitin ang mga batas at panuntunan algebra. Kung ang aritmetika gumagana sa mga partikular na numero, kung gayon algebra- kasama ang lahat ng mga numero nang sabay-sabay. Isang simpleng halimbawa para sa paglilinaw.

Sa aritmetika, maaaring isulat iyon

Ngunit kung sumulat tayo ng katulad na pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng mga algebraic na expression:

a + b = b + a

kami na agad ang magdedesisyon lahat mga tanong. Para sa lahat ng numero stroke. Para sa isang walang katapusang bilang ng mga bagay. Dahil sa ilalim ng mga titik a at b ipinahiwatig lahat numero. At hindi lamang mga numero, ngunit kahit na iba pang mga mathematical expression. Ito ay kung paano gumagana ang algebra.

Kailan walang kahulugan ang isang algebraic expression?

Ang lahat ay malinaw tungkol sa numerical expression. Hindi mo maaaring hatiin sa zero. At sa pamamagitan ng mga titik, posible bang malaman kung ano ang ating hinahati ?!

Kunin natin ang sumusunod na variable na expression bilang isang halimbawa:

2: (a - 5)

May katuturan ba ito? Ngunit sino ang nakakakilala sa kanya? a- kahit anong numero...

Anuman, anuman... Ngunit may isang kahulugan a, kung saan ang expression na ito eksakto walang saysay! At ano ang numerong iyon? Oo! 5 na! Kung ang variable a palitan (sabi nila - "kapalit") ng numero 5, sa panaklong, zero ang lalabas. na hindi maaaring hatiin. Kaya pala yung expression namin walang saysay, kung a = 5. Ngunit para sa iba pang mga halaga a may katuturan ba ito? Maaari mo bang palitan ang iba pang mga numero?

Syempre. Sa ganitong mga kaso, ito ay sinabi lamang na ang expression

2: (a - 5)

may katuturan para sa anumang halaga a, maliban sa a = 5 .

Ang buong hanay ng mga numero pwede pamalit sa ibinigay na expression ay tinatawag na wastong saklaw expression na ito.

Tulad ng nakikita mo, walang nakakalito. Tinitingnan namin ang expression na may mga variable, at iniisip: sa anong halaga ng variable ang ipinagbabawal na operasyon na nakuha (dibisyon sa zero)?

At pagkatapos ay siguraduhing tingnan ang tanong ng takdang-aralin. Ano ba ang tinatanong nila?

walang saysay, ang ating ipinagbabawal na halaga ang magiging sagot.

Kung tatanungin nila kung anong halaga ng variable ang expression may kahulugan(feel the difference!), ang magiging sagot lahat ng iba pang mga numero maliban sa bawal.

Bakit kailangan natin ang kahulugan ng expression? Nandiyan siya, wala siya... Anong pinagkaiba?! Ang katotohanan ay ang konseptong ito ay nagiging napakahalaga sa mataas na paaralan. Napakahalaga! Ito ang batayan para sa mga solidong konsepto bilang saklaw ng mga wastong halaga o saklaw ng isang function. Kung wala ito, hindi mo malulutas ang mga seryosong equation o hindi pagkakapantay-pantay. Ganito.

Pagbabago ng ekspresyon. Mga pagbabago sa pagkakakilanlan.

Nakilala namin ang mga numerical at algebraic na expression. Unawain kung ano ang ibig sabihin ng pariralang "ang expression ay walang kahulugan". Ngayon kailangan nating malaman kung ano conversion ng expression. Ang sagot ay simple, mapangahas.) Ito ay anumang aksyon na may ekspresyon. At ayun na nga. Ginagawa mo ang mga pagbabagong ito mula pa noong unang klase.

Kunin ang cool na numerical expression na 3+5. Paano ito mababago? Oo, napakadali! Kalkulahin:

Ang pagkalkula na ito ang magiging pagbabago ng expression. Maaari mong isulat ang parehong expression sa ibang paraan:

Wala kaming binilang dito. Isulat lamang ang ekspresyon sa ibang anyo. Ito rin ay magiging pagbabago ng ekspresyon. Maaari itong isulat tulad nito:

At ito rin ay ang pagbabago ng isang ekspresyon. Maaari mong gawin ang marami sa mga pagbabagong ito hangga't gusto mo.

Anuman aksyon sa isang ekspresyon anuman ang pagsulat nito sa ibang anyo ay tinatawag na transpormasyon ng ekspresyon. At lahat ng bagay. Napakasimple ng lahat. Ngunit mayroong isang bagay dito napakahalagang tuntunin. Napakahalaga na maaari itong ligtas na matawag pangunahing tuntunin lahat ng matematika. Paglabag sa panuntunang ito hindi maiiwasan humahantong sa mga pagkakamali. Naiintindihan ba natin?)

Sabihin nating binago natin ang ating ekspresyon nang arbitraryo, tulad nito:

Pagbabago? Syempre. Isinulat namin ang expression sa ibang anyo, ano ang mali dito?

Hindi naman sa ganun.) The fact is that the transformations "kahit ano" ang matematika ay hindi interesado sa lahat.) Ang lahat ng matematika ay binuo sa mga pagbabagong kung saan ang hitsura ay nagbabago, ngunit hindi nagbabago ang diwa ng pagpapahayag. Maaaring isulat ang tatlo at lima sa anumang anyo, ngunit dapat itong walo.

mga pagbabago, mga ekspresyong hindi nagbabago sa diwa tinawag magkapareho.

Eksakto magkaparehong pagbabago at payagan kami, hakbang-hakbang, na gawing isang simpleng pagpapahayag ang isang kumplikadong halimbawa, pinapanatili kakanyahan ng halimbawa. Kung magkamali tayo sa chain of transformations, gagawa tayo ng NOT identical transformation, then we will decide isa pa halimbawa. Sa iba pang mga sagot na hindi nauugnay sa mga tama.)

Narito ito ang pangunahing panuntunan para sa paglutas ng anumang mga gawain: pagsunod sa pagkakakilanlan ng mga pagbabago.

Nagbigay ako ng isang halimbawa na may numerical expression 3 + 5 para sa kalinawan. Sa mga algebraic expression, ang magkaparehong pagbabago ay ibinibigay ng mga formula at panuntunan. Sabihin nating mayroong isang formula sa algebra:

a(b+c) = ab + ac

Kaya, sa anumang halimbawa, maaari naming sa halip na ang expression a(b+c) huwag mag-atubiling magsulat ng isang expression ab+ac. At vice versa. ito magkatulad na pagbabago. Binibigyan tayo ng matematika ng pagpipilian sa dalawang expression na ito. At kung alin ang isusulat ay depende sa partikular na halimbawa.

Isa pang halimbawa. Ang isa sa pinakamahalaga at kinakailangang pagbabago ay ang pangunahing katangian ng isang fraction. Makakakita ka ng higit pang mga detalye sa link, ngunit narito ko lang pinapaalalahanan ang panuntunan: kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami (hinati) sa parehong numero, o isang expression na hindi katumbas ng zero, ang fraction ay hindi magbabago. Narito ang isang halimbawa ng magkakaparehong pagbabago para sa property na ito:

Tulad ng malamang na nahulaan mo, ang chain na ito ay maaaring ipagpatuloy nang walang katapusan...) Isang napakahalagang pag-aari. Ito ang nagpapahintulot sa iyo na gawing puti at malambot ang lahat ng uri ng mga halimaw.)

Mayroong maraming mga formula na tumutukoy sa magkatulad na pagbabago. Ngunit ang pinakamahalaga - medyo isang makatwirang halaga. Isa sa mga pangunahing pagbabago ay ang factorization. Ginagamit ito sa lahat ng matematika - mula elementarya hanggang advanced. Magsimula tayo sa kanya. sa susunod na aralin.)

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

ako. Ang mga ekspresyon kung saan ang mga numero, palatandaan ng mga operasyong aritmetika at mga bracket ay maaaring gamitin kasama ng mga titik ay tinatawag na algebraic expression.

Mga halimbawa ng algebraic expression:

2m-n; 3 · (2a+b); 0.24x; 0.3a-b · (4a + 2b); isang 2 - 2ab;

Dahil ang isang titik sa isang algebraic expression ay maaaring mapalitan ng ilang iba't ibang mga numero, ang titik ay tinatawag na isang variable, at ang algebraic expression mismo ay tinatawag na isang expression na may isang variable.

II. Kung sa isang algebraic expression na mga titik (mga variable) ay pinalitan ng kanilang mga halaga at ang mga tinukoy na aksyon ay ginanap, kung gayon ang resultang numero ay tinatawag na halaga ng algebraic expression.

Mga halimbawa. Hanapin ang halaga ng isang expression:

1) a + 2b -c para sa a = -2; b = 10; c = -3.5.

2) |x| + |y| -|z| sa x = -8; y=-5; z = 6.

Solusyon.

1) a + 2b -c para sa a = -2; b = 10; c = -3.5. Sa halip na mga variable, pinapalitan namin ang kanilang mga halaga. Nakukuha namin:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| sa x = -8; y=-5; z = 6. Pinapalitan namin ang mga tinukoy na halaga. Tandaan na ang modulus ng isang negatibong numero ay katumbas ng kabaligtaran na numero nito, at ang modulus ng isang positibong numero ay katumbas ng numerong ito mismo. Nakukuha namin:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Ang mga halaga ng isang titik (variable) kung saan ang algebraic expression ay may katuturan ay tinatawag na mga wastong halaga ng titik (variable).

Mga halimbawa. Sa anong mga halaga ng variable ang expression ay hindi makatwiran?

Solusyon. Alam namin na imposibleng hatiin sa zero, samakatuwid, ang bawat isa sa mga expression na ito ay hindi magkakaroon ng kahulugan sa halaga ng titik (variable) na nagiging zero ang denominator ng fraction!

Sa halimbawa 1), ang halagang ito ay a = 0. Sa katunayan, kung sa halip na isang papalitan natin ang 0, ang numero 6 ay kailangang hatiin ng 0, ngunit hindi ito magagawa. Sagot: expression 1) ay hindi makatwiran kapag a = 0.

Sa halimbawa 2) ang denominator x - 4 = 0 sa x = 4, samakatuwid, ang halagang ito x = 4 at hindi maaaring kunin. Sagot: expression 2) ay walang kahulugan para sa x = 4.

Sa halimbawa 3) ang denominator ay x + 2 = 0 para sa x = -2. Sagot: expression 3) ay walang kahulugan sa x = -2.

Sa halimbawa 4) ang denominator ay 5 -|x| = 0 para sa |x| = 5. At dahil |5| = 5 at |-5| \u003d 5, pagkatapos ay hindi ka maaaring kumuha ng x \u003d 5 at x \u003d -5. Sagot: expression 4) ay walang kahulugan para sa x = -5 at para sa x = 5.
IV. Ang dalawang expression ay tinatawag na magkaparehong pantay kung, para sa anumang tinatanggap na mga halaga ng mga variable, ang mga katumbas na halaga ng mga expression na ito ay pantay.

Halimbawa: 5 (a - b) at 5a - 5b ay magkapareho, dahil ang pagkakapantay-pantay 5 (a - b) = 5a - 5b ay magiging totoo para sa anumang mga halaga ng a at b. Ang pagkakapantay-pantay 5 (a - b) = 5a - 5b ay isang pagkakakilanlan.

Pagkakakilanlan ay isang pagkakapantay-pantay na wasto para sa lahat ng mga tinatanggap na halaga ng mga variable na kasama dito. Ang mga halimbawa ng pagkakakilanlan na alam mo na ay, halimbawa, ang mga katangian ng pagdaragdag at pagpaparami, ang katangian ng pamamahagi.

Ang pagpapalit ng isang ekspresyon ng isa pa, na kapareho nito, ay tinatawag na magkaparehong pagbabago o simpleng pagbabago ng isang ekspresyon. Ang mga magkatulad na pagbabagong-anyo ng mga expression na may mga variable ay ginagawa batay sa mga katangian ng mga operasyon sa mga numero.

Mga halimbawa.

a) i-convert ang expression sa magkaparehong pantay gamit ang distributive property ng multiplication:

1) 10 (1.2x + 2.3y); 2) 1.5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Solusyon. Alalahanin ang distributive property (batas) ng multiplikasyon:

(a+b) c=a c+b c(distributive law of multiplication na may kinalaman sa karagdagan: upang i-multiply ang kabuuan ng dalawang numero sa ikatlong numero, maaari mong i-multiply ang bawat termino sa numerong ito at idagdag ang mga resulta).
(a-b) c=a c-b c(distributive law of multiplication na may kinalaman sa subtraction: upang i-multiply ang pagkakaiba ng dalawang numero sa ikatlong numero, maaari mong i-multiply ang bilang na ito na binawasan at ibawas nang hiwalay at ibawas ang pangalawa sa unang resulta).

1) 10 (1.2x + 2.3y) \u003d 10 1.2x + 10 2.3y \u003d 12x + 23y.

2) 1.5 (a -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) ibahin ang anyo ng expression sa magkaparehong pantay gamit ang commutative at associative na katangian (mga batas) ng karagdagan:

4) x + 4.5 + 2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.

Solusyon. Inilalapat namin ang mga batas (mga katangian) ng karagdagan:

a+b=b+a(displacement: hindi nagbabago ang kabuuan mula sa muling pagsasaayos ng mga termino).
(a+b)+c=a+(b+c)(combinative: upang magdagdag ng ikatlong numero sa kabuuan ng dalawang termino, maaari mong idagdag ang kabuuan ng pangalawa at pangatlo sa unang numero).

4) x + 4.5 + 2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5.

sa) ibahin ang anyo ng expression sa magkaparehong pantay gamit ang commutative at associative properties (mga batas) ng multiplication:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2y · (-isa); 9) 3a · (-3) · 2s.

Solusyon. Ilapat natin ang mga batas (properties) ng multiplikasyon:

a b=b a(displacement: hindi binabago ng permutation of factors ang produkto).
(a b) c=a (b c)(combinative: upang i-multiply ang produkto ng dalawang numero sa ikatlong numero, maaari mong i-multiply ang unang numero sa produkto ng pangalawa at pangatlo).

Kabilang sa iba't ibang mga expression na isinasaalang-alang sa algebra, ang mga kabuuan ng monomial ay sumasakop sa isang mahalagang lugar. Narito ang mga halimbawa ng gayong mga ekspresyon:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Ang kabuuan ng monomials ay tinatawag na polynomial. Ang mga termino sa isang polynomial ay tinatawag na mga miyembro ng polynomial. Ang mga monomial ay tinutukoy din bilang mga polynomial, na isinasaalang-alang ang isang monomial bilang isang polynomial na binubuo ng isang miyembro.

Halimbawa, polynomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
maaaring gawing simple.

Kinakatawan namin ang lahat ng mga termino bilang monomials ng karaniwang anyo:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Nagbibigay kami ng mga katulad na termino sa nagresultang polynomial:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Ang resulta ay isang polynomial, ang lahat ng mga miyembro ay monomials ng karaniwang anyo, at kasama ng mga ito ay walang mga katulad. Ang ganitong mga polynomial ay tinatawag polynomial ng karaniwang anyo.

Per polynomial degree karaniwang anyo ang pinakamalaki sa mga kapangyarihan ng mga miyembro nito. Kaya, ang binomial \(12a^2b - 7b \) ay may ikatlong antas, at ang trinomial \(2b^2 -7b + 6 \) ay may pangalawa.

Karaniwan, ang mga tuntunin ng karaniwang anyo na polynomial na naglalaman ng isang variable ay nakaayos sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga exponents nito. Halimbawa:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Ang kabuuan ng ilang polynomial ay maaaring i-convert (pinasimple) sa isang karaniwang anyo na polynomial.

Kung minsan ang mga miyembro ng isang polynomial ay kailangang hatiin sa mga grupo, na nakapaloob sa bawat pangkat sa mga panaklong. Dahil ang mga panaklong ay kabaligtaran ng mga panaklong, madali itong bumalangkas mga panuntunan sa pagbubukas ng panaklong:

Kung ang + sign ay inilalagay bago ang mga bracket, ang mga terminong nakapaloob sa mga bracket ay nakasulat na may parehong mga palatandaan.

Kung ang isang "-" na palatandaan ay inilagay sa harap ng mga bracket, kung gayon ang mga termino na nakapaloob sa mga bracket ay nakasulat na may kabaligtaran na mga palatandaan.

Pagbabago (pagpapasimple) ng produkto ng isang monomial at isang polynomial

Gamit ang distributive property ng multiplication, ang isa ay maaaring baguhin (pasimplehin) ang produkto ng isang monomial at isang polynomial sa isang polynomial. Halimbawa:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Ang produkto ng isang monomial at isang polynomial ay magkaparehong katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng monomial na ito at bawat isa sa mga termino ng polynomial.

Ang resulta na ito ay kadalasang binabalangkas bilang panuntunan.

Upang i-multiply ang isang monomial sa isang polynomial, dapat isa paramihin ang monomial na ito sa bawat isa sa mga tuntunin ng polynomial.

Paulit-ulit naming ginamit ang panuntunang ito para sa pagpaparami ng kabuuan.

Ang produkto ng polynomials. Pagbabago (pagpapasimple) ng produkto ng dalawang polynomial

Sa pangkalahatan, ang produkto ng dalawang polynomial ay magkapareho sa kabuuan ng produkto ng bawat termino ng isang polynomial at bawat termino ng isa.

Karaniwang gamitin ang sumusunod na panuntunan.

Upang i-multiply ang isang polynomial sa isang polynomial, kailangan mong i-multiply ang bawat termino ng isang polynomial sa bawat termino ng isa at idagdag ang mga resultang produkto.

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Mga parisukat ng Kabuuan, Pagkakaiba, at Pagkakaiba

Ang ilang mga expression sa algebraic transformations ay kailangang harapin nang mas madalas kaysa sa iba. Marahil ang pinakakaraniwang mga expression ay \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) at \(a^2 - b^2 \), iyon ay, ang parisukat ng kabuuan, ang parisukat ng pagkakaiba, at parisukat na pagkakaiba. Napansin mo na ang mga pangalan ng mga expression na ito ay tila hindi kumpleto, kaya, halimbawa, \((a + b)^2 \) ay, siyempre, hindi lamang ang parisukat ng kabuuan, ngunit ang parisukat ng kabuuan ng a at b. Gayunpaman, ang parisukat ng kabuuan ng a at b ay hindi gaanong karaniwan, bilang panuntunan, sa halip na mga titik a at b, naglalaman ito ng iba't ibang, kung minsan ay medyo kumplikadong mga expression.

Ang mga ekspresyong \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ay madaling i-convert (pasimplehin) sa mga polynomial ng karaniwang anyo, sa katunayan, natugunan mo na ang ganoong gawain kapag nagpaparami ng mga polynomial. :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Ang mga resultang pagkakakilanlan ay kapaki-pakinabang na tandaan at ilapat nang walang mga intermediate na kalkulasyon. Ang mga maikling pormulasyon sa salita ay nakakatulong dito.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ang parisukat ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat at ang dobleng produkto.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - ang parisukat ng pagkakaiba ay ang kabuuan ng mga parisukat nang hindi nadodoble ang produkto.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ang pagkakaiba ng mga parisukat ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba at ang kabuuan.

Ang tatlong pagkakakilanlan na ito ay nagpapahintulot sa mga pagbabagong palitan ang kanilang mga kaliwang bahagi ng mga kanan at vice versa - mga kanang bahagi ng mga kaliwa. Ang pinakamahirap na bagay sa kasong ito ay upang makita ang kaukulang mga expression at maunawaan kung ano ang mga variable na a at b ay pinalitan sa kanila. Tingnan natin ang ilang halimbawa ng paggamit ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon.